高中数学竞赛模拟试题二

高中数学竞赛模拟试题二

一、选择题：

1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是 （ D ）

（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2

且0

提示：若0=a ,则0≠b ,则02

=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由

0)1(,0)2(<->f f 可得结论.

2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450

，则2=

a 是△ABC 只有一解的 （ A ）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件

3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x x x m ,定义函数x f ⋅=)(.若对任意的]2

,

0[π

∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是 （ A ） （A ）),8

1

(+∞（B ）)8

1,0[（C ）)2,8

1(（D ）),2(+∞

4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是 （ D ） （A ）36arcsin （B ）3

3

arccos 2+π（C ）2arctan

2-π（D ）2

2

cot

arc -π

5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为 （ A ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）1891

6.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足

2

)

1(1

+=

∑=n n x n

i i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是 （ C ） （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9

二、填空题：

7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则

x y x 212

+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .

8. 对于给定的正整数4≥n ，等式4

23n

m C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）

【答案】21-=n C m (

4≥n ).提示:由4

23n m C C =得222)13()12(+-=-n n m , 从而2

1-=n C m (

4≥n ). 9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.

【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，449

2)1(2

121

913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，2201

2)3(412

1

933===C C C P ξ. 3.0220

13220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯

=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。设P 点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E 的离心率e 满足21PF e PF =，

则e 的值为_______. 【答案】

3

3 11. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是

_________________.

【答案】0或2或3或4. 提示：令221:,2:x t y C x y C --=-=，利用数形结合知：

当210><

12. 函数1

)(2

-=x x x f （1,≠∈x R x 且）的单调递增区间是______________________.

【答案】),2[],0,(+∞-∞. 提示：1

1

)1(2-+-+=x x y （1≠x ），利用典型函数来分析； 本题也可直接依函数的单调性定义来分析。 三、解答题：

13.向量1OP 、2OP 、3OP 满足条件0321=++OP OP OP 1===，试判断△P 1P 2P 3的形状，并加以证明。

解:∵0321=++OP OP OP ，∴321OP OP OP --=，

∴322

32

22

12OP OP OP OP OP ⋅++=.

又∵1===，∴12

32221===OP OP OP

，∴2

1

32-=⋅OP OP ，

∴2

1

cos 32-=∠OP P ，在△P 2OP 33=.

3=

3=.∴△P 1P 2P 3为正三角形.

14.设数列}{n a 满足1111+=⋅=+n a a a n n ，（*

N n ∈）

，求证：)11(21

1-+≥∑=n a n

k k

. 证明:由题意知.,0,2*2N n a a n ∈>=当1=n 时,

)12(211

1

->=a ,命题成立； 当2≥n 时，由11+=⋅+n a a n n ，得n a a n n =⋅-1，∴1)(11=--+n n n a a a ，

111

-+-=n n n

a a a ，从而有)11(2222)(1

11121111-+≥-≥-+=-+=++=-+=∑∑n a a a a a a a a n n n n n

k k k n

k k

.

15.设函数x x x f λ-+=31)(，其中.0>λ

（1）求λ的取值范围，使得函数)(x f 在),0[+∞上是单调递减函数； （2）此单调性能否扩展到整个定义域),(+∞-∞上？ （3）求解不等式.12123<+-x x 解：（1）设+∞<<≤210x x ， 则].)

1(11)1(1

)[

()()(3

2

232313

212121λ-+++⋅+++-=-x x x x x x x f x f

设32232313

21)1(11)1(x x x x M +++⋅+++=

，则显然3>M .