(反比例函数在中考中的常见题型)

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

反比例函数在中考中的常见题型

◆知识讲解

1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k

x

（k ≠0）． 2．反比例函数y=

k

x

（k ≠0）的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．

（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．

（3）在反比例函数y=

k

x

中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值，•也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积，•通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k 的值． （4）若双曲线y=

k

x

图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=

2x

-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y•轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． ◆例题解析

例1 如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y=

12

x

的图像经过点A ， （1）求点A 的坐标；

（2）如果经过点A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点B ，且OB=AB ，•求这个一

次函数的解析式．

【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=12

x

可求得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，•从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=12

x 的图像上，得3a=12

a

，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，

a2=－2•是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．

∵m>0，∴22

(6)2

m-+

解得m=10

3，经检验m=10

3

是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，10

13

）．

设一次函数的解析式为y=kx+10

13

．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+10

3，得k=

4

3

．

∴所求一次函数的解析式为y=4

3

x+10

3

．

例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=m

x

的图像在第一象限内的交点，且S△AOB=3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，•请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x•轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的1

2

，•而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．

由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，•该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的．

【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，

m

x

），其中0>0，m>0．

在Rt△ABO中，AB=

m

x

，OB=x0．

则S△ABO =1

2

·x0·

m

x

=3，即m=6．

所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=6

x

．

（2）由

6

6

y x

y

x

=

+

⎧

⎪

⎨

=

⎪⎩

得x2+6x－6=0，

解得x1=－3+15，x2=－3－15．

∴A（－3+15，3+15），D（－3－15，3－15）．

由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有

y=6

x

．即xy=6．

∴S△DEO =1

2

│x D y D│=3，即S△DEO =S△ABO．

（3）由A（－3+15，3+15）和D（－3－15，3－15）可得AO=43，DO=43，即AO=DO．

由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．

【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．

◆强化训练

一、填空题

1．如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4

x

交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，•则2x1y2－7x2y1的值等于_______．

图1 图2 图3