第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案
等腰三角形典型例题练习(含答案)-2
等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析全等三角形的判定与性质；角平分线的定义. 14189444. 在△ABC中, AD是∠BAC的平分线, E、F分别为AB.AC上的点,且∠EDF+∠EAF=180°, 求证DE=DF.考点:考点：分析: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N, 根据角平分线性质求出DN=DM, 根据四边形的内角和定理和平角定义求出∠AED=∠CFD, 根据全等三角形的判定AAS推出△EMD≌△FND即可．解答: 证明: 过D作DM⊥AB, 于M, DN⊥AC于N,即∠EMD=∠FND=90°,∵AD平分∠BAC, DM⊥AB, DN⊥AC, ∴DM=DN（角平分线性质）, ∠DME=∠DNF=90°,∵∠EAF+∠EDF=180°, ∴∠MED+∠AFD=360°﹣180°=180°,∵∠AFD+∠NFD=180°, ∴∠MED=∠NFD,在△EMD和△FND中, ∴△EMD≌△FND, ∴DE=DF．，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF.，∴△EMD≌△FND，∴DE=DF．5. 在△ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线相交于点O, 过点O作DE∥BC, 分别交AB.AC于点D.E. 请说明DE=BD+EC.考点: 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质. 1418944分析: 根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB, 和DE∥BC, 利用两直线平行, 内错角相等和等量代换, 求证出DB=DO, OE=EC．然后即可得出答案．解答: 解: ∵在△ABC中, OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB,∴∠DBO=∠OBC, ∠ECO=∠OCB,∵DE∥BC, ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO, ∠EOC=∠OCB=∠ECO,∴DB=DO, OE=EC, ∵DE=DO+OE, ∴DE=BD+EC．∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC.∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+EC．6. ＞已知: 如图, D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AB, DF⊥AC, 垂足分别为E, F, 且DE=DF. 请判断△ABC是什么三角形？并说明理由.考点: 等腰三角形的判定；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 用（HL）证明△EBD≌△FCD, 从而得出∠EBD=∠FCD, 即可证明△ABC是等腰三角形．解答: △ABC是等腰三角形.证明: 连接AD, ∵DE⊥AB, DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 且DE=DF,∵D是△ABC的BC边上的中点, ∴BD=DC,∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）, ∴∠EBD=∠FCD, ∴△ABC是等腰三角形．7. 如图, △ABC是等边三角形, BD是AC边上的高, 延长BC至E, 使CE=CD. 连接DE.（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？考点: 等边三角形的性质；等腰三角形的判定. 1418944分析: （1）由题意可推出∠ACB=60°, ∠E=∠CDE, 然后根据三角形外角的性质可知: ∠ACB=∠E+∠CDE, 即可推出∠E的度数；（2）根据等边三角形的性质可知, BD不但为AC边上的高, 也是∠ABC的角平分线, 即得：∠DBC=30°, 然后再结合（1）中求得的结论, 即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形.（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得: ∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．（2）根据等边三角形的性质可知，BD不但为AC边上的高，也是∠ABC的角平分线，即得：∠DBC=30°，然后再结合（1）中求得的结论，即可推出△DBE是等腰三角形．解答: 解: （1）∵△ABC是等边三角形, ∴∠ACB=60°,∵CD=CE, ∴∠E=∠CDE, ∵∠ACB=∠E+∠CDE, ∴,（2）∵△ABC是等边三角形, BD⊥AC, ∴∠ABC=60°, ∴,∵∠E=30°, ∴∠DBC=∠E, ∴△DBE是等腰三角形．∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形.∵∠E=30°，∴∠DBC=∠E，∴△DBE是等腰三角形．8. 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD是AB边上的高, ∠A=30°. 求证: AB=4BD.考点: 含30度角的直角三角形. 1418944分析: 由△ABC中, ∠ACB=90°, ∠A=30°可以推出AB=2BC, 同理可得BC=2BD, 则结论即可证明．解答: 解: ∵∠ACB=90°, ∠A=30°, ∴AB=2BC, ∠B=60°.又∵CD⊥AB, ∴∠DCB=30°, ∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD. ∴AB=2BC=4BD.又∵CD⊥AB，∴∠DCB=30°，∴BC=2BD．∴AB=2BC=4BD．9. 如图, △ABC中, AB=AC, 点D.E分别在AB.AC的延长线上, 且BD=CE, DE与BC相交于点F. 求证: DF=EF.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 由平行线的性质得∠1=∠2, ∠4=∠3, 再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠2, 则∠B=∠1, 于是有DB=DG, 根据全等三角形的判定易得△DFG≌△EFC, 即可得到结论．解答: 证明: 过D点作DG∥AE交BC于G点, 如图,∴∠1=∠2, ∠4=∠3,∵AB=AC, ∴∠B=∠2, ∴∠B=∠1, ∴DB=DG, 而BD=CE, ∴DG=CE,在△DFG和△EFC中, ∴△DFG≌△EFC, ∴DF=EF.10. 已知等腰直角三角形ABC, BC是斜边. ∠B的角平分线交AC于D, 过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 延长CE, BA交于一点F, 由已知条件可证得△BFE全≌△BEC, 所以FE=EC, 即CF=2CE, 再通过证明△ADB≌△FAC可得FC=BD, 所以BD=2CE．解答: 证明: 如图, 分别延长CE, BA交于一点F.∵BE⊥EC, ∴∠FEB=∠CEB=90°, ∵BE平分∠ABC, ∴∠FBE=∠CBE,又∵BE=BE, ∴△BFE≌△BCE （ASA）. ∴FE=CE. ∴CF=2CE.∵AB=AC, ∠BAC=90°, ∠ABD+∠ADB=90°, ∠ADB=∠EDC, ∴∠ABD+∠EDC=90°.又∵∠DEC=90°, ∠EDC+∠ECD=90°, ∴∠FCA=∠DBC=∠ABD.∴△ADB≌△AFC．∴FC=DB, ∴BD=2EC．11. （2012•牡丹江）如图①, △ABC中. AB=AC, P为底边BC上一点, PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, 垂足分别为E、F、H. 易证PE+PF=CH. 证明过程如下:如图①, 连接AP.∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH.又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC, ∴AB•PE+ AC•PF= AB•CH.∵AB=AC, ∴PE+PF=CH.（1）如图②, P为BC延长线上的点时, 其它条件不变, PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明:（2）填空：若∠A=30°, △ABC的面积为49, 点P在直线BC上, 且P到直线AC的距离为PF, 当PF=3时, 则AB边上的高CH=7．点P到AB边的距离PE=4或10．考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: （1）连接AP. 先根据三角形的面积公式分别表示出S△ABP, S△ACP, S△ABC, 再由S△ABP=S △ACP+S△ABC即可得出PE=PF+PH；（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH, 再由△ABC的面积为49, 求出CH=7, 由于CH＞PF, 则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点, 运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时, 运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH.（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论: ①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．（2）先根据直角三角形的性质得出AC=2CH，再由△ABC的面积为49，求出CH=7，由于CH＞PF，则可分两种情况进行讨论：①P为底边BC上一点，运用结论PE+PF=CH；②P为BC延长线上的点时，运用结论PE=PF+CH．解答: 解: （1）如图②, PE=PF+CH. 证明如下:∵PE⊥AB, PF⊥AC, CH⊥AB, ∴S△ABP= AB•PE, S△ACP= AC•PF, S△ABC= AB•CH,∵S△ABP=S△ACP+S△ABC, ∴AB•PE= AC•PF+ AB•CH, 又∵AB=AC, ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH中, ∠A=30°, ∴AC=2CH.∵S△ABC= AB•CH, AB=AC, ∴×2CH•CH=49, ∴CH=7．分两种情况:①P为底边BC上一点, 如图①.∵PE+PF=CH, ∴PE=CH﹣PF=7﹣3=4；②P为BC延长线上的点时, 如图②.∵PE=PF+CH, ∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．12. 数学课上, 李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中, 点E在AB上, 点D在CB的延长线上, 且ED=EC, 如图, 试确定线段AE与DB的大小关系, 并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后, 进行了如下解答:（1）特殊情况, 探索结论当点E为AB的中点时, 如图1, 确定线段AE与DB的大小关系, 请你直接写出结论: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）.（2）特例启发, 解答题目解: 题目中, AE与DB的大小关系是: AE=DB（填“＞”, “＜”或“=”）. 理由如下: 如图2, 过点E作EF∥BC, 交AC于点F. （请你完成以下解答过程）（3）拓展结论, 设计新题在等边三角形ABC中, 点E在直线AB上, 点D在直线BC上, 且ED=EC．若△ABC的边长为1, AE=2, 求CD的长（请你直接写出结果）．考点: 等边三角形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.1418944分析: （1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°, 求出∠DEB=30°, 求出BD=BE即可；（2）过E作EF∥BC交AC于F, 求出等边三角形AEF, 证△DEB和△ECF全等, 求出BD=EF即可；（3）当D在CB的延长线上, E在AB的延长线式时, 由（2）求出CD=3, 当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时, 求出CD=1．（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1.（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．解答: 解: （1）故答案为: =.（2）过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC, ∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°, AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, 即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形, ∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°, ∴∠DBE=∠EFC=120°, ∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC, ∴∠D=∠ECD, ∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中, ∴△DEB≌△ECF, ∴BD=EF=AE, 即AE=BD, 故答案为: =.（3）解：CD=1或3,理由是: 分为两种情况: ①如图1过A作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N, 则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴△AMB∽△ENB, ∴= , ∴= ,∴BN= , ∴CN=1+ = , ∴CD=2CN=3；②如图2, 作AM⊥BC于M, 过E作EN⊥BC于N,则AM∥EM,∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC, ∴BM=CM= BC= , ∵DE=CE, EN⊥BC, ∴CD=2CN,∵AM∥EN, ∴= , ∴= , ∴MN=1, ∴CN=1﹣= , ∴CD=2CN=113. 已知: 如图, AF平分∠BAC, BC⊥AF于点E, 点D在AF上, ED=EA, 点P在CF上, 连接PB交AF于点M. 若∠BAC=2∠MPC, 请你判断∠F与∠MCD的数量关系, 并说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质. 1418944分析: 根据全等三角形的性质和判定和线段垂直平分线性质求出AB=AC=CD, 推出∠CDA=∠CAD=∠CPM, 求出∠MPF=∠CDM, ∠PMF=∠BMA=∠CMD, 在△DCM和△PMF中根据三角形的内角和定理求出即可．解答: 解: ∠F=∠MCD,理由是：∵AF平分∠BAC, BC⊥AF, ∴∠CAE=∠BAE, ∠AEC=∠AEB=90°,在△ACE和△ABE中∵, ∴△ACE≌△ABE（ASA）∴AB=AC,∵∠CAE=∠CDE∴AM是BC的垂直平分线, ∴CM=BM, CE=BE, ∴∠CMA=∠BMA,∵AE=ED, CE⊥AD, ∴AC=CD, ∴∠CAD=∠CDA,∵∠BAC=2∠MPC, 又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD, ∴∠MPC=∠CDA, ∴∠MPF=∠CDM,∴∠MPF=∠CDM（等角的补角相等）,∵∠DCM+∠CMD+∠CDM=180°, ∠F+∠MPF+∠PMF=180°,又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD, ∴∠MCD=∠F．又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F.又∵∠PMF=∠BMA=∠CMD，∴∠MCD=∠F．14. 如图, 已知△ABC是等边三角形, 点D.E分别在BC.AC边上, 且AE=CD, AD与BE相交于点F.（1）线段AD与BE有什么关系？试证明你的结论.（2）求∠BFD的度数.考点: 等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质. 1418944分析: （1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°, AB=CA, 结合AE=CD, 可证明△ABE≌△CAD, 从而证得结论；（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD, ∠ABE=∠CAD, 可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．解答: （1）证明: ∵△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=∠C=60°, AB=CA.在△ABE和△CAD中,∴△ABE≌△CAD∴AD=BE.（2）解: ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,又∵△ABE≌△CAD, ∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD. ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.又∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD．∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．15. 如图, 在△ABC中, AB=BC, ∠ABC=90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, BE=BF, 连接AE、EF和CF, 求证：AE=CF.考点: 全等三角形的判定与性质. 1418944分析: 根据已知利用SAS即可判定△ABE≌△CBF, 根据全等三角形的对应边相等即可得到AE=CF．解答: 证明: ∵∠ABC=90°, ∴∠ABE=∠CBF=90°,又∵AB=BC, BE=BF, ∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）. ∴AE=CF.又∵AB=BC，BE=BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．16. 已知: 如图, 在△OAB中, ∠AOB=90°, OA=OB, 在△EOF中, ∠EOF=90°, OE=OF, 连接AE、BF. 问线段AE与BF之间有什么关系？请说明理由.考点: 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形. 1418944分析: 可以把要证明相等的线段AE, CF放到△AEO, △BFO中考虑全等的条件, 由两个等腰直角三角形得AO=BO, OE=OF, 再找夹角相等, 这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果, 当然相等了, 由此可以证明△AEO≌△BFO；延长BF交AE于D, 交OA于C, 可证明∠BDA=∠AOB=90°, 则AE⊥BF．解答: 解: AE与BF相等且垂直,理由: 在△AEO与△BFO中,∵Rt△OAB与Rt△OEF等腰直角三角形, ∴AO=OB, OE=OF, ∠AOE=90°﹣∠BOE=∠BOF,∴△AEO≌△BFO, ∴AE=BF.延长BF交AE于D, 交OA于C, 则∠ACD=∠BCO,由（1）知∠OAE=∠OBF, ∴∠BDA=∠AOB=90°, ∴AE⊥BF．17. （2006•郴州）如图, 在△ABC中, AB=AC, D是BC上任意一点, 过D分别向AB, AC引垂线, 垂足分别为E, F, CG是AB边上的高.（1）DE, DF, CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明；（2）若D在底边的延长线上, （1）中的结论还成立吗？若不成立, 又存在怎样的关系？请说明理由．考点: 等腰三角形的性质. 1418944分析: （1）连接AD, 根据三角形ABC的面积=三角形ABD的面积+三角形ACD的面积, 进行分析证明；（2）类似（1）的思路, 仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系. 即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积.（2）类似（1）的思路，仍然用计算面积的方法来确定线段之间的关系．即三角形ABC的面积=三角形ABD的面积﹣三角形ACD的面积．解答: 解: （1）DE+DF=CG.证明: 连接AD,则S△ABC=S△ABD+S△ACD, 即AB•CG= AB•DE+ AC•DF, ∵AB=AC, ∴CG=DE+DF．（2）当点D在BC延长线上时, （1）中的结论不成立, 但有DE﹣DF=CG.理由: 连接AD, 则S△ABD=S△ABC+S△ACD, 即AB•DE= AB•CG+ AC•DF∵AB=AC, ∴DE=CG+DF, 即DE﹣DF=CG.同理当D点在CB的延长线上时, 则有DE﹣DF=CG, 说明方法同上．18. 如图甲所示, 在△ABC中, AB=AC, 在底边BC上有任意一点P, 则P点到两腰的距离之和等于定长（腰上的高）, 即PD+PE=CF, 若P点在BC的延长线上, 那么请你猜想PD.PE和CF之间存在怎样的等式关系？写出你的猜想并加以证明.考点: 等腰三角形的性质；三角形的面积. 1418944分析: 猜想：PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF．根据∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S △CAB= AB•CF, S△PAC= AC•PE, AB•PD= AB•CF+ AC•PE, 即可求证．解答: 解: 我的猜想是: PD.PE、CF之间的关系为PD=PE+CF. 理由如下:连接AP, 则S△PAC+S△CAB=S△PAB,∵S△PAB= AB•PD, S△PAC= AC•PE, S△CAB= AB•CF,又∵AB=AC, ∴S△PAC= AB•PE, ∴AB•PD= AB•CF+ AB•PE,即AB（PE+CF）= AB•PD, ∴PD=PE+CF．即AB（PE+CF）= AB•PD，∴PD=PE+CF.即AB（PE+CF）=AB•PD，∴PD=PE+CF．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形含练习答案
等腰三角形知识点一：等腰三角形有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角， 腰与底边的夹角叫做底角． 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 特别的：（1）等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等.简称等腰三角形三线合一.1.△ABC 中,AB=AC.(1)若∠B=50°, 则∠C=__ ,∠A=___ (2)若∠A=100°, 则∠B=__ ,∠C=__2. (1) 等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角为 (2) 等腰三角形的一个内角为100°,则另两个角为__ . (3) 等腰三角形的一个内角为90°,则另两个角为___ 归纳：已知等腰三角形的一个内角的度数,求其它两角时, (a)若已知角为钝角或直角,则它一定是顶角； (b)若已知角为锐角,它可能是顶角,也可能是底角。
例1、等腰三角形的顶角为70°，底角为_______.。
2、在三角形ABC 中，AB=AC,BAC ∠=90°，ＡＤ是ＢＣ边上的高，则BAC ∠=_____ BD=____=______3、如图2，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD 图中共有几个等腰三角形？分别写出它们的顶角和底角。
4、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC,BAD ∠=36°，求B ∠和C ∠度数。
DCABCD B A例1 如图所示，在Rt△ABC中，∠BCA是直角,E是AC上的一点，ED⊥AB于D，BD=BC,CD、BE交于点F.求证：CD⊥BE.思路：由BD=BC知△BCD是等腰三角形，所以要证明CD⊥BE只需证明BE是△BCD的底边上的中线或者顶角的平分线即可。
初中数学专题复习等腰三角形的性质与判定精讲精练(含答案)
等腰三角形的性质与判定一、重点和难点都是等腰三角形的性质和判定1.尺规作图尺规作图与通常的画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步都必须有根有据不能随便画。
对于较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。
2.等腰三角形的性质与判定（1）性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。
定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。
判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
3.等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。
①已知角的度数，求其它角的度数；②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）；（2）证明线段或角相等；（3）有等腰三角形条件时的常用辅助线。
如图：若AB=AC①作AD ⊥BC 于D ，必有结论:∠1=∠2，BD=DC ②若BD=DC ，连结AD ，必有结论：∠1=∠2，AD ⊥BC ③作AD 平分∠BAC 必有结论：AD ⊥BC ，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD ⊥BC ，使∠1=∠2. 二、例题分析例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a 、h求作：△ABC ，使AB=AC=a ，高AD=h 作法：1、作PQ ⊥MN ，垂足为D ；2、在DM 上截取DA=h ；3、以点A 为圆心，以a 为半径作弧，交PQ 于点B 、C ；4、连结AB 、AC ； 则△ABC 为所求的三角形。
人教版八年级上册数学等腰三角形的性质与判定练习题及答案
13.3.1 第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（）A． 3.5 B． 4.2 C． 5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5，则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D． 2.53．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC的两边相交于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线BM，交AC于点D．若△BDC的面积为10，∠ABC=2∠A，则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm，则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图，已知∠ABC=60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE=S△CBE，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．10．如图，∠AO E=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF=_________．11．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC的长为_________．12．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=_______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm，则AD=_________cm．第13题第14题第15题第16题14．如图，在△ABC中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD=_________cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长约为12米，则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________米．16．在△ABC中，已知A B=4，BC=10，∠B=30°，那么S△ABC=_________．17．如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AC，若AB=12cm，则CE=______cm．18．有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B 处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是_________海里．三．解答题（共5小题）19．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．20．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线MN交AC于D，求证：AD=DC．21．如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，求AC的长．22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是△ABC的高，∠A=30°，AB=4，求BD长．23．如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△A ED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．20、解：如图，连接DB．∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=DB，∴∠A=∠ABD，∵BA=BC，∠B=120°，∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，∴∠ABD=30°，又∵∠ABC=120°，∴∠DBC=120°﹣30°=90°，∴BD=DC，∴AD=DC．21、解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∴∠2=∠3=30°；在Rt△BCD中，CD= BD，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理），∴∠1=∠2=30°，∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6，∴AC=9．22、解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∴BC=AB=×4=2，∵CD是△A BC的高，∴∠CDA=∠ACB=90°，∠B=∠B，故∠BCD=∠A=30°，∴在Rt△BCD中，BD=BC=×2=1，∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠DCA=∠BCA=30°，在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30°∴AC=2AD，AC=2AB，∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE，∵∠BAC=60°，∴△CAE为等边三角形，∴AC=CE，∠AEC=60°，∵∠DAC=60°，∴∠DAC=∠AEC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，∴∠ADC=∠EBC，∴△ADC≌△EBC，∴DC=BC，DA=BE，∴AD+AB=AB+BE=AE，∴AD+AB=AC．13.3.1 第2课时等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，则AB 的长为 。
等腰三角形的判定(分层作业)(解析版)-八年级数学上册
13.3.2等腰三角形的判定夯实基础篇一、单选题：1．在△AB C中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】A【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：∵△AB C中，∠A：∠B：∠C＝2：2：5，∴设∠A＝2x，则∠B＝2x，∠C＝5x，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2x+2x+5x＝180°，解得x＝20°，∴∠A＝∠B＝40°，∠C＝5x＝5×20°＝100°.∴AC＝C B.∴△ABC是钝角三角形，等腰三角形.故答案为：A.【分析】设∠A=2x，则∠B=2x，∠C=5x，再由三角形内角和定理求出x的度数，进而可得出∠C的度数，由此判断出△ABC的形状即可2．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为()A．2.5B．1.5C．2D．1【答案】D【知识点】等腰三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，∴BC=CE．又∵∠A=∠ABE，∴AE=BE．∴BD=12BE=12AE=12（AC-BC）．∵AC=5，BC=3，∴BD=12×（5-3）=2．故答案为：D【分析】角平分线得出线段相等，等角对等边，在根据相对垂直平分线的性质求BD 3．如图，在△AB C中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【知识点】等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BC D中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形．，则经过三角形的一个顶点的一条直线能4．已知：如图，下列三角形中，AB AC够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.故答案为：C.【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形. 5．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D．若请你再补充一个条件，使得△BOC是等腰三角形，则你补充的条件不能是（）A．OA＝OD B．AB＝CDC．∠ABO＝∠DCO D．∠ABC＝∠DCB【答案】C【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定（ASA ）；三角形全等的判定（AAS ）【解析】【解答】解：A 、在△AOB 和△DO C 中A D OA OD AOB COD＝∴△AOB ≌△DOC （ASA ）∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故A 不符合题意；B 、在△AOB 和△DOC 中A D AOB COD AB CD＝∴△AOB ≌△DOC （AAS ）∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故B 不符合题意；C 、补充∠ABO ＝∠DCO ，不能证明△AOB ≌△DOC ，因此不能证明△BOC 是等腰三角形，故C 符合题意；D 、在△ACB 和△DB C 中A D ABC DCB BC CB＝＝∴△ACB ≌△DBC （AAS ）∴∠ACB =∠DBC∴OB =OC∴△BOC 是等腰三角形，故D 不符合题意；故答案为：C.【分析】图形中的隐含条件为：∠AOB=∠DOC，BC=CB，利用ASA可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的对应边相等，可证得OB=OC，可对A作出判断；利用AAS可证得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质，可证得OB=CO，可对B作出判断；再根据证明两三角形全等至少要有一组对应边相等，可对C作出判断；利用AAS证明△ACB ≌△DBC，利用全等三角形的对应角相等，可证得∠ACB=∠DBC，利用等角对等边，可证得OB=OC，可对D作出判断.6．如图，在△AB C中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC=110°，则∠EAF为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】B【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠BAC=110°，∴∠C+∠B=70°，∵EG、FH分别为AC、AB的垂直平分线，∴EC=EA，FB=FA，∴∠EAC=∠C，∠FAB=∠B，∴∠EAC+∠FAB=70°，∴∠EAF=40°，故答案为：B．【分析】根据三角形内角和定理求出∠C+∠B的度数，根据线段垂直平分线定理得出EC=EA，FB=FA，从而求出∠EAC+∠FAB的度数，即可求得∠EAF的度数。
湘教版八年级数学上册《2.3.2等腰三角形的判定》同步测试题及答案
湘教版八年级数学上册《2.3.2等腰三角形的判定》同步测试题及答案班级：___________姓名：___________得分：__________（满分：100分，考试时间：40分钟）一．选择题（共5小题，每题8分）1．下列推理中，错误的是( )A．∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形B．∵AB＝AC，且∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形C．∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形D．∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°,那么这个三角形是( )A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．含30°角的直角三角形3．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形( )A．8个B．7个C．6个D．5个第3题图第5题图4．下列能判定三角形是等腰三角形的是( )A．有两个角为30°、60°B．有两个角为40°、80°C．有两个角为50°、80°D．有两个角为100°、120°5．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为( )A．7 B．8 C．9 D．10二．填空题（共4小题，每题5分）6．如图，在ΔABC中，∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是__________第6题图第7题图第8题图7．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD=6㎝，则CD的长等于____________ ．8．小明从A处出发，要到北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200米到达B处，再沿北偏东30°方向走恰能到达目的地C处. 则B、C两地的距离为________9．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=__________时，△ABC是等腰三角形．三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）10．△ABC是等边三角形，点D在边BC上，DE∥AC，△BDE是等边三角形吗？试说明理由．11．如图，在△ABC中，∠BAD=∠B，∠EAC=∠C，若△ADE的周长是12，则BC的长是多少？12．如图，AD∥BC，∠BAC＝70°，DE⊥AC于点E，∠D＝20°.(1)求∠B的度数，并判断△ABC的形状；(2)若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．参考答案与解析1．B【解析】A∵∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC是等边三角形，故正确；B条件重复且条件不足，故不正确；C∵∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C=60°，∴△ABC是等边三角形60°，故正确；D根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可以得到，故正确.故选B.2．A【解析】∵这个三角形是轴对称图形∴一定有两个角相等∴这是一个等腰三角形.∵有一个内角是60°∴这个三角形是等边三角形.故选A.3．A【解析】△ABC, △BCE,△CDB, △BFC,△BFD,△CEF,△AEB,△ADC,故选A.4．C【解析】A、因为有两个角为30°、60°,则第三个角为90°，所以此选项不正确；B、因为有两个角为40°、80°,则第三个角为60°，所以此选项不正确；C、因为有两个角为50°、80°,则第三个角为50°，有两个角相等，所以此选项正确；D、因为100°+120°>180°，所以此选项不正确；故选：C.5．D【解析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB=MO，NC=NO，将三角形AMN 周长转化为AB+AC，求出即可．解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO．∵MN∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠BCO，∴∠ABO=∠MOB，∠NOC=∠ACO，∴MB=MO，NC=NO，∴MN=MO+NO=MB+N C．∵AB=4，AC=6，∴△AMN周长为AM+MN+AN=AM+MB+AN+NC=AB+AC=10．故答案为：10．6．3【解析】由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角形的定义及等角对等边得出答案．解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．∵BD平分∠ABC交AC于D∴∠ABD=∠DBC=36°∵∠A=∠ABD=36°∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C∴△BDC是等腰三角形．∴共有3个等腰三角形．故答案为：3．7．6cm【解析】∵OC平分∠AOB∴∠AOC=∠BOC；又∵CD∥OB∴∠C=BOC∴∠C=∠AOC；∴CD=OD=6cm.故答案为：6cm.8．200米【解析】根据题中的角的关系证明∠BAC＝∠C.解：根据题意得，∠BAC＝90°－60°＝30°，∠ABC＝90°＋30°＝120°所以∠C＝30°，所以∠BAC＝∠C，所以BC＝AB＝200.故答案为200米.9．80°或50°或20°【解析】分三种情况分析解：∵∠A=80°∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°或50°或20°10．证明见解析．【解析】根据△ABC是等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，利用DE∥AC，求得∠B=∠BED=∠BDE 即可得出结论．解：△BDE是等边三角形理由：∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°∵DE∥AC∴∠BED=∠A=60°，∠BDE=∠C=60°∴∠B=∠BED=∠BDE∴△BDE是等边三角形.11．12．【解析】结合图形，利用等腰三角形的判定，可所求出BC的长度．解：∵∠BAD=∠B∴BD=AD∵∠EAC=∠C∴AE=CE．∵AD+DE+DE=12∴BC=BD+DE+EC=12．12．（1）△ABC是等腰三角形，∠B＝40°；（2）见解析.【解析】分析：(1)、根据Rt△ADE的内角和得出∠DAC=70°，根据平行线的性质得出∠C=70°，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰三角形底边上的三线合一定理得出DB为顶角的角平分线．。
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。
两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。
2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。
②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。
（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。
练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。
人教版八年级数学上册13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定精选练习1含答案.doc
1第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图（1），△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE为14，BC=6，则AB的长为 。
2．在△ABC 中，∠A=90°，BD为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E BC 中点，则∠ABC 等于 。
3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两部分之差为3cm ，则腰长为 。
4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。
5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，则∠A= ，∠B= 。
6．等腰三角形底角的一个外角为100°，7．如图（2），AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，若∠D=136∠DCA= 。
8．如图（3），在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、E 在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，则∠∠D= ，∠DAE= 。
9．如图（4），已知∠AOB=40°，O M 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，则∠MAB 的度数为 。
10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，则另外两条边为 。
二、解答题 1．如图（5），△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。
图（1）B 图（2）图（3）OA B M图（4）图（5）22．如图（6），在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。
求证：BD=CF 。
3．如图（7），△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。
求证：CF=2BF 。
4．如图（8），△ABC 中，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，H 是BE 、CF 的交点，且HB=HC 。
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析
初二数学等腰三角形的判定试题答案及解析1.有一轮船由东向西航行，在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处，又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是海里．【答案】10【解析】过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，求出∠APB=∠PAB，推出PA=PB=20，根据含30度角的直角三角形性质求出PD=PB，代入求出即可．解：如图：过P作PD⊥AB于D，则PD的长就是灯塔与船之间的最近距离，∴∠PDB=90°，∵∠PBD=30°，∠PAB=15°，∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=15°=∠PAB，∴PB=AB=20，在Rt△PBD中，PB=20，∠PBD=30°，∴PD=PB=10，故答案为：10．点评：本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，关键是求出PB的长和得出PD=PB，题目比较典型，是一道比较好的题目，主要考查学生的理解能力和计算能力．2.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，有下列结论：①∠ACD=∠B；②CH=CE=EF；③AC=AF；④CH=HD；⑤BE=CH．其中你认为正确的有．（填序号就可以）【答案】①②③【解析】①由CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，得到∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，即可得到答案；②由角平分线的性质得到CE=EF，根据三角形的外角性质能求出∠CHE=∠CEA，推出CH=CE即可得到答案；③根据直角三角形全等的判定定理HL即可；④⑤根据边得关系即可判断．解：①∵CD是斜边AB上的高，∠ACB=90°，∴∠CDB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴①正确；②∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE，∵∠C=90°，EF⊥AB，∴CE=FE，∵∠CHE=∠CAE+ACD，∠CEA=∠BAE+∠B，∠ACD=∠B，∴∠CHE=∠CEA，∴CH=CE，即：CH=CE=EF，∴②正确；③∵在Rt△ACE和Rt△AFE中AE=AE，CE=EF，∴Rt△ACE≌Rt△AFE，∴AC=AF，∴③正确；④∵CH=EF，∴CH≠HD，∴④错误；⑤∵在Rt△BFE中，BE＞EF，而EF=CH，∴⑤错误；故答案为：①②③．点评：本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，解此题的关键是综合运用性质进行证明．此题题型较好，综合性强．3.下列说法：①如图1，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，则△ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形．②如图2，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个．③如图3，△ABC是等边三角形，CD⊥AD，且AD∥BC，则AD=AB．④如图4，△ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，∠DAC=∠CAB，则∠DBC=∠DAB其中，正确的有（请写序号，错选少选均不得分）【答案】③④．【解析】不管过A（或过B或过C）作直线，都不能把三角形ABC分成两个等腰三角形，即可判断①；求出∠A=∠ABD=∠DBC=∠ACE=∠BCE=36°，根据三角形的内角和定理求出三角形其余角的度数，根据等腰三角形的判定定理推出边相等，即可判断②；求出∠ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AD=AC，即可判断③；过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，求出EF=BC，证三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出∠CDB=∠CBD，根据三角形的内角和定理求出∠CDB=∠CAB即可．解：若△ABC中，AB=AC，∠A=45°，不论过A作直线（或过B作直线或过C作直线）都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形，∴①错误；图②中，有等腰三角形7个：△ABD，△CBD，△ACE，△CDE，△BEF，△CDF，△FBC，∴②错误；∵等边△ABC，∴AB=AC，∠ACB=60°，∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠DCB=∠D=90°，∴∠ACD=30°，∴AD=AC=AB，∴③正确；过C作CF∥BD交AB的延长线于F，连接DC，EF，∴=，∵AE=AB，AD=AC，∴AF=AC=AD，∴CE=BF，即BE∥CF，CE=BF，∴四边形BECF是等腰梯形，∴EF=BC，在△DAC和△FAC中，∴△DAC≌△FAC，∴CD=CF，同理DE=EF，∵AD=AC，AE=AB，∴∠ADC=∠ACD，∠AEB=∠ABE，∵∠DAC=∠BAC，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，∠CAB+∠AEB+∠ABE=180°，∴∠ACD=∠AEB，∵∠AEB=∠DEC，∴∠ACD=∠DEC，∴DE=CD，∴DC=CF=EF=ED，∵EF=CB，∴DC=BC，∴∠CBD=∠CDE，∵∠DCA=∠DEC=∠AEB=∠ABE，由三角形的内角和定理得：∠CDE=∠CAB=∠DAB，∴∠DBC=∠DAB，∴④正确．故答案为：③④．点评：本题考查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判断，角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，第④小题证明过程偏难，对学生提出较高的要求，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．4.如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．【答案】4个【解析】当O为等腰三角形的两条腰的交点时，以O为圆心，OP为半径画弧，交直线a于两点；当P为等腰三角形的两条腰的交点时，以P为圆心，OP为半径画弧，交直线a于一点；当所求的第三点为等腰三角形的两条腰的交点时，可作OP的垂直平分线，与直线a交于一点，那么可作出等腰三角形共4个．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．点评：本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形有2条边相等，注意可选不同的顶点为等腰三角形的两条腰的交点．5.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，∠A=36°，BC=2，BD是△ABC的角平分线，则AD= ．【答案】2【解析】根据等腰三角形的性质，先证∠B=∠C=72°，再由角平分线的定义可证∠ABD=∠CBD=36°，即可求∠BDC=72°，即证BD=BC=AD=2．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°=∠C，∴BD=BC=AD=2．故填2．点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质；由已知条件结合性质得到BD=BC=AD是正确解答本题的关键．6.如图，在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，则图中的等腰三角形有个，分别为．【答案】4；△BOC，△AOD，△ABD，△ACD【解析】根据已知条件可以推知∠OBC=∠OCB，∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，然后由等角对等边可以找出图中的等腰三角形．解：∵在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ACB，即∠CBD=∠ACB，∴OB=OC（等角对等边），∴△BOC是等腰三角形；又∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等），∴∠OAD=∠DOA，∠ABD=∠ADB，∠DAC=∠DCA，∴OA=OD，AB=AD，AD=DC，∴△AOD，△ABD，△ACD是等腰三角形；故答案是：4；△BOC，△AOD，△ABD，△ACD．点评：本题考查了等腰三角形的判定．角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．7.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM=BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP=NP；（2）若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．【答案】（1）见解析（2）y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4（3）【解析】（1）过点M作MD∥BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；（2）求出AB，根据△MDP≌△NBP推出DP=BP，推出方程即可；（3）求出BP=BN，所得方程的解即可．（1）证明：过点M作MD∥BC交AB于点D，∵MD∥BC，∴∠MDP=∠NBP，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵MD∥BC，∴∠ADM=∠ABC=45°，∴∠ADM=∠A，∴AM=DM．∵AM=BN，∴BN=DM，在△MDP和△NBP中，∴△MDP≌△NBP，∴MP=NP．（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=BC=4，∴．∵MD∥BC，∴∠AMD=∠C=90°．在Rt△ADM中，AM=DM=x，∴．∵△MDP≌△NBP，∴DP=BP=y，∵AD+DP+PB=AB，∴，∴所求的函数解析式为，定义域为0＜x＜4．答：y与x之间的函数关系式为，它的定义域是0＜x＜4．（3）解：∵△MDP≌△NBP，∴BN=MD=x．∵∠ABC+∠PBN=180°，∠ABC=45°，∴∠PBN=135°．∴当△BPN是等腰三角形时，只有BP=BN，即x=y．∴，解得，∴当△BPN是等腰三角形时，AM的长为．答：AM的长为．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20゜，在AB、AC上分别取点E、D，使∠CBD=60°，∠BCE=50°，求∠AED的度数．【答案】50°【解析】作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG，证DF=DG，BC=BG，求出∠BEC，推出BE=BG，求出△EFG是等腰三角形，推出EF=EG，证△DFE≌△DGE，求出△EDB，根据三角形外角性质求出即可．解：∵AB=AC，∠A=20°，∴∠ABC=∠ACB=80°，∴∠ABD=20°，作DF∥BC，与AB相交于F，连接CF，设CF与BD相交于G，连接EG．∴四边形DFBC为等腰梯形．∵∠DBC=∠FCB=60°，∴△BGC，△DGF都是正三角形，即BG=CG，∵∠BCE=50°，∠EBC=80°，∴∠BEC=50°，即BE=BC，知△BGE是等腰三角形．得：∠BGE=80°，∠FGE=40°．又因∠EFG=∠BDC=40°，∴△EFG是等腰三角形，EF=GE．∵DF=DG，∴△DFE≌△DGE．∴DE平分∠FDG，∴∠EDB=30°，∴∠AED=∠EDB+∠EBD=50°．答：∠AED的度数是50°．点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．9.已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF⊥DE．【答案】见解析【解析】作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．证明：连接DG、EG．∵CD⊥AB，点G是BC的中点，∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）同理，EG=BC．（2分）∴DG=EG（等量代换）．（1分）∵F是DE的中点，∴GF⊥DE．（2分）点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．10.在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】假如∠A=100°，求出∠B=100°，不符合三角形的内角和定理，即可判断①；假如∠C=100°，能够求出∠A、∠B的度数；关键等腰三角形的判定推出AC=BC，即可判断③④．解：∠A=∠B=100°时，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的内角和定理，∴①错误；∠C=100°时，∠A=∠b=（180°﹣∠c）=40°，∴②正确；∵∠A=∠B，∴AC=BC，③正确；④错误；正确的有②③，2个，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的判定和三角形的内角和定理等知识点的应用，能根据定理进行说理是解此题的关键，分类讨论思想的运用．11.如图所示．△ABC中，∠B=∠C，D在BC上，∠BAD=50°，AE=AD，则∠EDC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．50°【答案】B【解析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，再根据等边对等角的性质∠B=∠C，∠ADE=∠AED，代入数据计算即可求出∠BAD的度数．解：如图，∠AED=∠EDC+∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE，∵∠B=∠C，∴∠B+∠BAD=∠EDC+∠C+∠EDC，即∠BAD=2∠EDC，∵∠BAD=50°，∴∠EDC=25°．故选B．点评：本题主要考查利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和的性质，熟练掌握性质是解题的关键．12.如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA=1，OB=2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【答案】D【解析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．13.下列三角形中，是正三角形的为（）①有一个角是60°的等腰三角形；②有两个角是60°的三角形；③底边与腰相等的等腰三角形；④三边相等的三角形．A．①④B．②③C．③④D．①②③④【答案】D【解析】等边三角形的判定定理有①三个都相等的三角形是等边三角形，②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，③三边都相等的三角形是等边三角形，根据以上定理判断即可．解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ACB是等边三角形，∴①正确；∵∠A=∠B=60°，∴AC=BC，∴△ACB是等边三角形，∴②正确；∵AB=AC，AB=BC，∴AB=AC=BC∴△ACB是等边三角形，∴③正确；∵AB=AC=BC，∴△ACB是等边三角形，∴④正确．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定等的应用，主要检查学生是否掌握等边三角形的判定定理，题型较好，但是一道容易出错的题目．14.在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】本题利用了等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线．解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，作AD⊥AE交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．故选D．点评：本题容易找出三条边上的高交于点O，是满足题中要求的点，其它点容易漏掉，这样的点不一定是等腰三角形的顶角所在的点，也可以是底角所在的点，明白这点后，就要做圆来找到所要求的点．15.如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO，BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N，BC于M，则△CMN的周长为（）A．12B．24C．36D．不确定【答案】B【解析】由AO，BO分别是角平分线求得∠1=∠2，∠3=∠4，利用平行线性质求得，∠1=∠6，∠3=∠5，利用等量代换求得∠2=∠6，∠4=∠5，即可解题．解：由AO，BO分别是角平分线得∠1=∠2，∠3=∠4，又∵MN∥BA，∴∠1=∠6，∠3=∠5，∴∠2=∠6，∠4=∠5，∴AN=NO，BM=OM．∵AC+BC=24，∴AC+BC=AN+NC+BM+MC=24，即MN+MC+NC=24，也就是△CMN的周长是24．故选B．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线行至的理解和掌握，此题主要求得△ANO△BMO是等腰三角形，这是解答此题的关键．16.如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点AB之间的距离是（）A．13B．9C．18D．10【答案】C【解析】运用勾股定理可将三角形的直角边求出，将两个直角边进行相加即为两个固定点之间的距离．解：∵电线杆高为12m，铁丝长15m，∴固定点与电线杆的距离==9m，∵两个直角三角形全等，∴两个固定点之间的距离=9×2=18m．故选C．点评：本题考查正确运用勾股定理，关键是从实际问题中找到直角三角形，并利用勾股定理进行有关的运算．17.如图，在△ABC中，BD=DE=EC，△ADE为等边三角形，则图中等腰三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】根据已知的BD=DE=EC和△ADE为等边三角形，利用等腰三角形的判定进行判断即可．解：∵△ADE为等边三角形，∴AD=DE=AE，∵BD=DE=EC，∴AD=DE=AE=BD=EC，∴等腰三角形有△ABD、△ACE、△ADE、△ABC共四个．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的判定及等边三角形的性质，属于基础题，应该重点掌握．18.已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（）A.5B.6C.7D.8【答案】A【解析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案．解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，∴DB=DO，OE=EC，∵DE=DO+OE，∴DE=BD+CE=5．故选A．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证DB=DO，OE=EC，难度不大，是一道基础题．19.推理：如图，∵∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，（已知）∴AD=CD，CD=DB（等腰三角形的性质）∴AD=DB，依据是（）A．旋转不改变图形的大小B．连接两点的所有线中线段最短C．等量代换D．整体大于部分【答案】C【解析】由∠A=∠ACD，得AD=CD，再由∠B=∠BCD得CD=DB，利用等量代换即可解题．解：∵∠A=∠ACD，∴AD=CD，∵∠B=∠BCD∴CD=DB，因AD和DB都等于同一个量CD，所以AD=DB，依据是等量代换．故选C．点评：此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要利用了等量代换求得两边相等．20.如图，在下列三角形中，若AB=AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A、D是黄金三角形，C、过A点作BC的垂线即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．解：A、中作∠B的角平分线即可；C、过A点作BC的垂线即可；D、中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；只有B选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．故选B．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题的4个选项中只有D选项有点难度，所以此题属于中档题．。
2022年《等腰三角形的判定》专题练习(附答案)
第2课时 等腰三角形的判定一、填空题1．如图〔1〕，△ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的中垂线，△BCE 的周长为14，BC=6，那么AB 的长为 。
2．在△ABC 中，∠A=90°，BD 为角平分线，DE ⊥BC 于E ，且E 恰为BC 中点，那么∠ABC 等于 。
3．等腰三角形的底边长为5cm ，一腰上中线把其周长分成两局部之差为3cm ，那么腰长为 。
4．如果等腰三角形的顶角是它的一个底角的2倍，这个三角形按角分类应为 。
5．△ABC 中，AB=AC ，∠A+∠B=115°，那么∠A= ，∠B= 。
6．等腰三角形底角的一个外角为100°，那么它的顶角为 。
7．如图〔2〕，AB ∥CD ，AC 平分∠DAB ，假设∠D=136°，那么∠DCA= 。
8．如图〔3〕，在△ABC 中，∠ABC=70°，∠ACB=50°，D 、C 、B 、E在一条直线上，且D B=AB ，CE=AC ，那么∠E= ， ∠D= ，∠DAE= 。
9．如图〔4〕，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于A ，MB ⊥OB 于B ，那么∠MAB 的度数为 。
10．等腰三角形的周长为24cm ，其中一边长为7cm ，那么另外两条边为 。
二、解答题1．如图〔5〕，△ABC 中，∠A=80°，BD=BE ，CD=CF ，求∠EDF 的度数。
AB CDE 图〔1〕D AB C图〔2〕A图〔3〕OAB M图〔4〕ABFE 图〔5〕2．如图〔6〕，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是AB 上一点，AD=AC ，DF ⊥AB 于D ，交BC 于F 。
求证：BD=CF 。
3．如图〔7〕，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，AB 的垂直平分线EF 交AB 于E ，交BC 于F 。
求证：CF=2BF 。
人教版八年级数学上册《13-3-1 第2课时 等腰三角形的判定》作业同步练习题及参考答案
第 2 课时等腰三角形的判定1.如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E,过点E 作MN∥BC 交AB 于点M,交AC 于点N,若BM+CN=9,则线段MN 的长为( ).A.6B.7C.8D.92.如图,直线a,b 相交于点O,∠1=50°,点A 在直线a 上,直线b 上存在点B,使以O,A,B 为顶点的三角形是等腰三角形,这样的点B 有( ).A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.如图,在△ABC 中,点D 是BC 的中点,DE∥AB 交AC 于点E,BF 平分∠ABC,交DE 于点F.若BC=6, 则DF 的长是.4.如图,在△ABC 中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,点D 在BC 的延长线上, 且∠D=20°,则CD= .5.上午8 时,一艘船从A 处出发以20 海里/时的速度向正北方向航行,上午11 时,到达B 处,从A,B 望灯塔C 分别测得∠NAC=44°,∠NBC=88°,则从B 处到灯塔C 的距离为海里.6.如图,在△ABC 的边AB 的延长线上有一点D,过点D 作DF⊥AC,垂足为点F,交BC 于点E,且BD=BE.求证:△ABC 为等腰三角形.7.在如图所示的三角形中,若AB=AC,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ).A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证:AD=BC.★9.如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AC 上一点,BE 与AD 交于点F.若AE=EF,求证:AC=BF.答案与解析夯基达标1.D2.D3.34.35.60 ∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故从 B 处到灯塔 C 的距离是60 海里.6.证明因为DF⊥AC,所以∠A+∠D=90°,∠C+∠CEF=90°.因为BD=BE,所以∠D=∠BED.因为∠BED=∠CEF,所以∠C+∠CEF=∠C+∠D=90°.所以∠A=∠C.所以AB=CB,即△ABC 为等腰三角形.7.D8.证明∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°.∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=36°.∴∠ABD=∠A.∴AD=BD.∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°,∴∠BDC=∠C.∴BD=BC.∴AD=BC.创新应用9.分析要证明AC=BF,可利用三角形全等,而它们所在的三角形不全等,故想到可将它们移到同一个三角形中,利用等角对等边来证明.证明方法一:如图,延长AD 至点M,使DM=AD,连接BM.∵AD 为BC 边上的中线,∴BD=CD.B = B,在△ADC 和△MDB 中, ∠1 = ∠2,B = B,∴△ADC≌△MDB(SAS).∴AC=MB,∠3=∠M.∴∠3=∠4.∴∠4=∠M.又∠5=∠4,∴∠5=∠M.∴BM=BF.∵MB=AC,∴AC=BF.方法二:如图,延长FD 至点N,使DN=DF,连接NC.B = B,在△BDF 和△CDN 中, ∠1 = ∠2,�� = ��,∴△BDF≌△CDN(SAS).∴∠5=∠N,BF=CN.∵AE=FE,∴∠3=∠4.∵∠5=∠4,∴∠3=∠N,∴AC=NC,∴AC=BF.。
八年级上册数学人教版课时练《13.3.1 等腰三角形》02(含答案解析)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！《13．3．1等腰三角形》课时练一、选择题1．下列命题中，属于假命题的是()A．等腰三角形底边上的高是它的对称轴B．有两个角相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形底边上的中线平分顶角D．等边三角形的每一个内角都等于60∘2．如图，在△ABC中，∠B=∠C， AB=5，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．53．如图：等腰直角△ABC中，若∠ACB=90∘，CD=DE=CE，则∠DAB 的度数为（）A．60∘B．30∘C．45∘D．15∘4．等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角是48∘，它的一个底角的度数是()A．48∘B．21∘或69∘C．21∘D．48∘或69∘5．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝B．9㎝C．12㎝或者9㎝D．12㎝6．等腰直角三角形的底边长为5，则它的面积是()A．25B．12．5C．10D．6．257．如图，△ABC中，∠ABC=90∘，∠C=30∘，AD是角平分线，DE⊥AC 于E，AD、BE相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．一个角是60∘的等腰三角形是（）A．等腰直角三角形B．等边三角形C．直角三角形D．上述都正确9．以下关于等边三角形的判定：①三条边相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60∘的三角形是等边三角形④三个角相等的三角形是等边三角形其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④10．如图，在△ABC中，∠B=60∘，AB=9，BP=3，AP=AC，则BC 的长为（）A．8B．7C．6D．511．等腰三角形一腰上的高等于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30∘B．30∘或150∘C．120∘或150∘D．120∘、30∘或150∘12．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是()A．140∘B．20∘或80∘C．44∘或80∘D．140∘或44∘或80∘二、填空题13．等腰三角形一腰的高等于腰长的一半，则其顶角的度数为________．14．如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点D在BC的延长线上，做DF⊥AB，垂足为F，若CD=6，则AF的长等于________．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm，则直角三角形（4）的斜边长为________．16．如图等边三角形ABC中，AB=3，D、E是BC上的两点，AD、AE把△ABC分割成周长相等的三个三角形，则CD=________．17．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100∘，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是________．三、解答题18．从①∠B=∠C；②∠BAD=∠CDA；③AB=DC；④BE=CE四个等式中选出两个作为条件，证明△AED是等腰三角形（写出一种即可）．已知：________(只填序号)，求证：△AED是等腰三角形．19．如图，BD//AC，BD=BC，点E在BC上，且BE=AC．求证：D=∠ABC．20．如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE=30∘，DE=4，求这个矩形的周长．21．如图，在△ABC中，∠ACB−∠B=90∘，∠BAC的平分线交BC于点E，∠BAC的外角∠CAD的平分线交BC的延长线于点F，试判断△AEF的形状．22．（1）如图①，△ABC是等边三角形，△ABC所在平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．（2）如图②，正方形ABCD所在的平面上有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，问：具有这样性质的点P有几个？在图中画出来．参考答案题号12345678910答案A D D B D D C B D C 题号1112答案D D13．30∘或150∘14．115．416．−3+3331617．30∘或70∘18．证明：选择的条件是：①∠B=∠C②∠BAD=∠CDA（或①③，①④，②③）；证明：在△BAD和△CDA中，∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDA，AD=DA，∴△BAD≅△CDA(AAS)，∴∠ADB=∠DAC，即在△AED中∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，△AED为等腰三角形．19．证明：∵BD//AC，∴∠EBD=∠C，BD=BC，BE=AC，∴△EDB≅ABC SAS，∴∠D=∠ABC20．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90∘，AD=BC．在Rt△ADE中，∵∠A=90∘，∠ADE=30∘，DE=4，∴AE=12DE=2，AD=3AE=23．∵DE⊥CE，∠A=90∘，∴∠BEC=∠ADE=90∘−∠AED=30∘．在Rt△BEC中，∵∠B=90∘，∠BEC=30∘，BC=AD=23，∴BE=3BC=6，∴AB=AE+BE=2+6=8，∴矩形ABCD的周长=2(AB+AD)=2(8+23)=16+43．21．解：△AEF是等腰直角三角形；理由如下：如图所示：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，∴∠EAC=12∠BAC，∠FAC=12∠CAD，∵∠BAC+∠CAD=180∘，∴∠EAC+∠FAC=12(∠BAC+∠CAD)=90∘，即∠EAF=90∘，∵∠ACB−∠B=90∘，∴∠ACB=90∘+∠B，∴∠1=90∘−∠B=∠B+∠BAC，∴∠B=12(90∘−∠BAC)，∴∠4=∠B+∠AEF，∵AE平分∠DAC，∴∠3=∠4=∠B+∠AEF，∵∠BAC+∠3+∠4=180∘，∴2(∠B+∠AEF)+∠BAC=2[12(90∘−∠BAC)+∠AEF]+∠BAC=180∘，∴∠AEF=45∘，∴∠AFE=45∘，∴△AEF是等腰直角三角形．22．【解答】（1）10个，如解图①，当点P在△ABC内部时，P是边AB．BC．CA的垂直平分线的交点：当点P在△ABC外部时，P是以三角形各顶点为圆心，边长为半径的圆与三条垂直平分线的交点每条垂直平分线上得3个交点，故具有这样性质的点P共有10个．（2）9个，如解图③．两条对角线的交点是1个，以正方形各顶点为圆心，边长为半径画圆，在正方形里面和外面的交点一共有8个，故具有这样性质的点P共有9个．。
专题：等腰三角形的性质与判定(答案)
专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。
八年级数学上册：等腰三角形的判定定理及推论练习(含答案)
八年级数学上册：等腰三角形的判定定理及推论练习（含答案）一．选择题（共8小题）1．如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A．5个B．6个 C．7个 D．8个第1题第2题第4题7．如图,坐标平面内一点A（2,﹣1）,O为原点,P是x轴上的一个动点,如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形,那么符合条件的动点P的个数为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 53．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图,在△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE相交于点O,给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中,选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．6种5．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C．AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为136．下列说法中：（1）顶角相等,并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等,且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等,且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A．1,2,1 B．2,2,1 C．1,3,1 D． 2,2,58．已知：如图,下列三角形中,AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④ B．①②③④C．①②④ D．①③二．填空题（共10小题）9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,底边用了10根,则一腰至少要用_________ 根火柴．10．如图,∠BAC=100°,∠B=40°,∠D=20°,AB=3,则CD= _________第10题第11题第14题第18题11．如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE经过点M,且DE∥BC,则图中有_________ 个等腰三角形．12．在△ABC中,与∠A相邻的外角是100°,要使△ABC是等腰三角形,则∠B的度数是_________ ．13．在△ABC中,∠A=100°,当∠B= _________ °时,△ABC是等腰三角形．14．如图,在△ABC中AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,则∠1=_________ 度,图中有_________ 个等腰三角形．15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0,则△ABC的形状是_________ ．16．如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________ 三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形,这样的等腰三角形一共可以围攻成_________ 种．18．如图,已知AD平分∠EAC,且AD∥BC,则△ABC一定是_________ 三角形．三．解答题（共5小题）19．如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O．AB=DC,AC=BD．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC的形状是_________ ．（直接写出结论,不需证明）20．已知：如图,OA平分∠BA C,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．21．如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的一点,BE与CD交于点O,给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．（1）上述四个条件中,哪两个可以判定△ABC是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件,试说明△ABC是等腰三角形．22．如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．23．如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,连接AC,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD 和B′C相交于点O,连接BB′．（1）求证：△ABC≌△CDA．（2）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等,请说明理由．答案：一、DCDCBABA二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；16、等腰；17、4；18、等腰三、19、（1）证明：在△ABC和△DCB中,∴△ABC≌△DCB（SSS）．（2）解：∵△ABC≌△DCB,∴∠OBC=∠OCB．∴OB=OC．∴△OBC为等腰三角形．故填等腰三角形．20、解答：证明：作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB ．∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．21解：（1）①③,①④,②③和②④；（2）以①④为条件,理由：∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB ．又∵∠DBO=∠ECO,∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形．22解：△ABC 中∵AB=AC,∠A=36°∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB∴∠DCB=21∠ACB=36° 在△DBC 中∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B∴CD=CB即△BCD 是等腰三角形．23、解：（1）证明：∵AB ∥CD,AD ∥BC,∴∠DAC=∠BCA,∠ACD=∠BAC,在△ABC 和△CDA 中,,∴△ABC ≌△CDA （ASA ）；（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC,△ABB′,△CBB′；∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,∴△AB′C≌△ABC,∴∠ACB=∠ACB′,AB=AB′,即△ABB′为等腰三角形,∴∠DAC=∠ACB′,∴OA=OC,即△OAC为等腰三角形,∵CB=CB′,∴△CBB′为等腰三角形；（3）△AB′O≌△CDO,理由为：证明：∵△AB′C≌△ABC,且△ABC≌△CDA,∴△AB′C≌△CDA,∴B′C=DA,AB′=CD,又OA=OC,∴DA﹣OA=B′C﹣OC,即OB′=OD,在△AB′O和△CDO中,,∴△AB′O≌△CDO．。
初中数学：等腰三角形练习(含答案)
初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。
八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)
八年级数学上册《第二章 等腰三角形》练习题-含答案(湘教版)一、选择题1.等腰三角形的一边长为3 cm ，周长为19 cm ，则该三角形的腰长为（ ）A.3 cmB.8 cmC.3 cm 或8 cmD.以上答案均不对2.在等腰三角形ABC 中,AB=AC,其周长为20cm,则边AB 的取值范围是( ).A.1cm<AB<4cmB.5cm<AB<10cmC.4cm<AB<8cmD.4cm<AB<10cm3.已知等腰△ABC 的底边BC=8,且|AC-BC|=2,那么腰AC 的长为( )A.10或6B.10C.6D.8或64.若a,b 为等腰△ABC 的两边，且满足520a b --=，则△ABC 的周长为 ( ）A.9B.12C.15或12D.9或125.若三角形三个内角的比为1：2：3，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形6.在△ABC 中，∠A=70°，∠B=55°，则△ABC 是( )A.钝角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ）A ．21B ．21或27C ．27D ．258.在等腰△ABC 中，AB=AC ，其周长为20cm ，则AB 边的取值范围是（ ）A ．1cm ＜AB ＜4cm B ．5cm ＜AB ＜10cmC ．4cm ＜AB ＜8cmD ．4cm ＜AB ＜10cm二、填空题9.如果等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则这个等腰三角形的底边长是 .10.已知等腰△ABC 的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．11.一个等腰三角形的底边长为5 cm ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成的两部分之差是3 cm ，则它的腰长是12.如图，l ∥m ，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 在直线m 上，若∠β=20°，则∠α的度数为________13.一副三角形叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度；14.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.三、解答题15.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 9cm和 15cm两部分求这个三角形的腰长。
初中数学专题复习等腰三角形的判定精讲精练(含答案)
等腰三角形判定【基础知识精讲】本节包括等腰三角形判定，特殊等腰三角形(等边三角形)的判定及特殊直角三角形(一个锐角为30°的直角三角形)的短直角边与斜边的关系.后几个定理都是判定定理的推论.等腰三角形判定定理：若一个三角形有两个角相等，那么两角所对边也相等.它与性质定理互为逆定理，判定也简写成“等角对等边”.推论1 三个角相等的三角形是等边三角形.推论2 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3 直角三角形中，若有一个锐角为30°，则该角所对的直角边为斜边的一半. 关于推论1，也有说成“有两个角为60°的三角形是等边三角形”理由是显然的. 对于判定定理的证明，可用作第三个角的角平分线或等角夹边上的高相等.作辅助线方法，通过全等来进行证明.但不能作夹边中线来解决，因为此时两个三角形不能满足全等判定.在掌握了“大边对大角”后，亦可利用反证法来进行证明.设两角对边不相等，则长边所对的角必大，与两角相等矛盾.判定定理及几个推论在今后有着广泛的应用. 【重点难点解析】本节重点均在判定定理及几个推论的掌握及灵活运用上.判定定理为我们证明线段相等提供了除全等以外的又一重要手段，而推论又为已知线段之间的关系(相等或成1∶2的比例)求角的度数，提供了有力的工具.例1 △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°,D 为BC 上一点，DA ⊥AB ，AD=24,求BC.分析 由已知等腰三角形顶角120°,可求出底角30°(∠B=30°)，可计算出∠C =∠CAD=30°.再利用等腰△ADC 及有一个锐角为30°的Rt △ADB 三边的关系求出结论.解 ∵AB=AC ∠BAC=120° ∴∠B=∠C=30°. 又AD ⊥AB ∴∠CAD=30°=∠CAD=21DB=CD ∴BC=BD+DC=2AD+AD=3AD ∵AD=24 ∴BC=72. * 例2 △ABC 中，∠B ＞∠C ，求证AC ＞AB.分析本题可通过在大角内构造一个角等于∠C，再通过等腰三角形判定及三角形三边关系得出结论.本题亦可利用“等边对等角”“大边对大角”定理，通过反证法说明AC≤AB 不成立，进而得结论.证一∵∠B＞∠C 在∠B内作∠CBD=∠DCB，BD交AC于D.∴BD=DC 在△ABD中AD+BD＞AB∴AD+DC＞AB ∴AC＞AB.证二设AC≤AB.若AC=AB 则∠B=∠C，若AC＜AB,则∠B＜∠C，均与∠B＞∠C矛盾∴AC≤AB不成立∴AC＞AB注：本例结论为一个定理：一个三角形中两内角不相等，则较大内角的对边也较大。
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第2课时等腰三角形的判定精选练习含答案
一．选择题（共8小题）
1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，则图中等腰三角形共有（）
A． 5个B． 6个C． 7个D． 8个
第1题第2题第4题
7．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，假如以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）
A．三条边都相等的三角形D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
B．有一个锐角是45°的直角三角形C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形4．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个能够判定△ABC是等腰三角形的方法有（）
A． 2种B． 3种C． 4种D． 6种
5．下列能确信△ABC为等腰三角形的是（）
A．∠A=30°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=80°
C． AB=AC=2，BC=4 D． AB=3，BC=7，周长为13
6．下列说法中：（1）顶角相等，同时有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）
A． 1个B．2个C． 3个D．4个
7．已知下列各组数据，能够构成等腰三角形的是（）
A． 1，2，1 B． 2，2，1 C． 1，3，1 D．2，2，5
8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则通过三角形的一个顶点的一条直线能够将那个三角形分成两个小等腰三角形的是（）
A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③
二．填空题（共10小题）
9．用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形，底边用了10根，则一腰至少要用_________根火柴．
10．如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD=_________
第10题第11题第14题第18题11．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠ABC，∠ACB，DE通过点M，且DE∥BC，则图中有_________个等腰三角形．
12．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．
13．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．14．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．
15．若三角形三边长满足（a﹣b）（a﹣c）=0，则△ABC的形状是_________．16．假如一个三角形有两个角分别为80°，50°，则那个三角形是_________三角形．17．在平面上用18根火柴首尾相接围成等腰三角形，如此的等腰三角形一共能够围攻成_________种．
18．如图，已知AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是_________三角形．三．解答题（共5小题）
19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC的形状是_________．（直截了当写出结论，不需证明）
20．已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
21．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO=∠ECO；②∠BDO=∠CEO；③BD=CE；④OB=OC．
（1）上述四个条件中，哪两个能够判定△ABC是等腰三角形？
（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形．
22．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，CD平分∠ACB，试说明△BCD是等腰三角形．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，连接AC，△AB′C和△ABC关于AC
所在的直线对称，AD和B′C相交于点O，连接BB′．
（1）求证：△ABC≌△CDA．
（2）请直截了当写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（3）图中阴影部分的△AB′O和△CDO是否全等？若全等请给出证明；若不全等，请说明理由．
答案：一、DCDCBABA
二、9、6；10、3；11、5；12、80°或50°或20°；13、40度；14、72,3；15、等腰三角形；
16、等腰；17、4；18、等腰
三 、19、（1）证明：在△ABC 和△DCB 中， ∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．
（2）解：∵△ABC ≌△DCB ，
∴∠OBC=∠OCB ．
∴OB=OC ．
∴△OBC 为等腰三角形．
故填等腰三角形．
20、解答： 证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵AO 平分∠B AC ，
∴OE=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）．
∵∠1=∠2，
∴OB=OC ．
∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ）．
∴∠5=∠6．
∴∠1+∠5=∠2+∠6．
即∠ABC=∠ACB ．
∴AB=AC ．
∴△ABC 是等腰三角形．
21解：（1）①③，①④，②③和②④；
（2）以①④为条件，理由：
∵OB=OC ，
∴∠OBC=∠OCB ．
又∵∠DBO=∠ECO ，
∴∠DBO+∠OBC=∠ECO+∠OCB ，即∠ABC=∠ACB ， ∴AB=AC ，
∴△ABC 是等腰三角形．
22解：△ABC 中
∵AB=AC ，∠A=36°
∴∠B=∠ACB=21（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB
∴∠DCB=2
1∠ACB=36° 在△DBC 中
∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B
∴CD=CB
即△BCD 是等腰三角形．
23、解：（1）证明：∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴∠DAC=∠BCA ，∠ACD=∠BAC ，
在△ABC和△CDA中，，
∴△ABC≌△CDA（ASA）；
（2）图中所有的等腰三角形有：△OAC，△ABB′，△CBB′；∵AD∥B C，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称，
∴△AB′C≌△ABC，
∴∠ACB=∠ACB′，AB=AB′，即△ABB′为等腰三角形，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∵CB=CB′，
∴△CBB′为等腰三角形；
（3）△AB′O≌△CDO，理由为：
证明：∵△AB′C≌△ABC，且△ABC≌△CDA，
∴△AB′C≌△CDA，
∴B′C=DA，AB′=CD，
又OA=OC，
∴DA﹣OA=B′C﹣OC，即OB′=OD，
在△AB′O和△CDO中，，
∴△AB′O≌△CDO．。