6.3直方图正态
正态分布讲解含标准表
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线,可求出总体在区间a ,b 内取值的概率等于总体密度曲线,直线x =a ,x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示： 式中的实数μ、)0(>σσ是参数,分别表示总体的平均数与标准差,,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线． 讲解新课：一般地,如果对于任何实数a b <,随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布normal distribution ．正态分布完全由参数μ和σ确定,因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布,则记为X ～),(2σμN .经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布．例如,高尔顿板试验中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果,所以它近似服从正态分布．在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年,法国数学家棣莫弗就用n 的近似公式得到了正态分布．之后,德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它,并研究了它的性质,因此,人们也称正态分布为高斯分布． 2．正态分布),(2σμN 是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板,形象、美观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：1曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交2曲线关于直线x=μ对称3当x=μ时,曲线位于最高点4当x ＜μ时,曲线上升增函数；当x ＞μ时,曲线下降减函数 并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近5μ一定时,曲线的形状由σ确定σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原则,采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π,-∞＜x ＜+∞其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N0,1在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ１),(,21)(22+∞-∞∈=-x ex f x π２),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x ex f x π３22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 答案：10,1；21,2；3-1,例2求标准正态总体在-1,2内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有=1)1()2(-Φ+Φ=＋－1=．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N0,1,)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率, 即 )()(00x x P x <=Φ,其中00>x ,图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时,)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时,Φ0=2.标准正态分布表 标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位,为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中,对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率,即 )()(00x x P x <=Φ,)0(0≥x ．若00<x ,则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表,可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率,即直线1x x =,2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体,然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差,然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件,即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先,假设总体应是或近似为正态总体,然后,依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序,即“三步曲”一是提出统计假设,教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入μ-3σ,μ+3σ； 三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N 0,1,求l P <x <；2Px >2. 解：1P <x <=- =-1-==.2Px >2=1-Px <2=1-2==.例2．利用标准正态分布表,求标准正态总体在下面区间取值的概率： 1在N1,4下,求)3(F 2在N μ,σ2下,求Ｆμ－σ,μ＋σ； Ｆμ－σ,μ＋σ；Ｆμ－2σ,μ＋2σ； Ｆμ－3σ,μ＋3σ解：１)3(F ＝)213(-Φ＝Φ1＝ ２Ｆμ＋σ＝)(σμσμ-+Φ＝Φ1＝Ｆμ－σ＝)(σμσμ--Φ＝Φ－1＝１－Φ1＝１－＝Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝－＝ Ｆμ－σ,μ＋σ＝Ｆμ＋σ－Ｆμ－σ＝ Ｆμ－2σ,μ＋2σ＝Ｆμ＋2σ－Ｆμ－2σ＝ Ｆμ－3σ,μ＋3σ＝Ｆμ＋3σ－Ｆμ－3σ＝ 对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间μ-σ,μ+σ、μ-2σ,μ+2σ、μ-3σ,μ+3σ内取值的概率分别为%、%、% 因此我们时常只在区间μ-3σ,μ+3σ内研究正态总体分布情况,而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为π21,求总体落入区间－,之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ,它是偶函数,说明μ＝0,)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21,所以σ＝1,这个正态分布就是标准正态分布教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 ,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞, σ＞0由此可见,正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线,其对称轴为x=μ,并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始,曲线向正负两个方向递减延伸,不断逼近x 轴,但永不与x 轴相交,因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线,可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征;由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的,因此从某种意义上说,正态分布就有好多好多,这给我们深入研究带来一定的困难 发现,许多正态分布中,重点研究N0,1,其他的正态分布都可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化为N0,1,我们把N0,1称为标准正态分布,其密度函数为22121)(x ex F -=π,x ∈-∞,+∞,从而使正态分布的研究得以简化;结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质 正态曲线的作图较难,教科书没做要求,授课时可以借助几何画板作图,学生只要了解大致的情形就行了,关键是能通过正态曲线,引导学生归纳其性质;8 3 9 4 5 7 0 1 9 3 3 9 2 2 2 2 4 1 3 2 1 827111685997534898681585429216862743663734973785872642428478149354895912512838678682439194554598482664234415421965863654387648772856368434736597265522431794923915791536777。
正态分布讲解(含标准表)
2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线． 总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞ 式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()b aP a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解范例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ （１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π （３）22(1)2(),(,)2x f x e x π-+=∈-∞+∞ 答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题: xy对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ， 其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x < 只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=0.5 2.标准正态分布表标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即)()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ． 3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化4.小概率事件的含义发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解范例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求)3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413 Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997对于正态总体),(2σμN 取值的概率：68.3%2σx 95.4%4σx 99.7%6σx在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7% 因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分 例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 教学反思：1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口 正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布 2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成：22()21(),(,)2x f x e x μσπσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。
直方图及正态分布制作
5/ 26
2、分组
1、根据之前得出结论，总共分成8组，第一组 上组界值是7.95，组距是0.5，所以第二组是 7.95+0.5=8.45，以此类推。直到之后一组的 下组距大于11.9
6/ 26
2、统计频率
• “频率”就是去统计每个分组中所包含的数据的个数。 • 最简单的方法就是直接在所有的数据中直接去统计，但当数 据量很大的时候，这种方法不但费时，而且容易出错。 • 这里介绍的是“FREQUENCY（频率分布）”函数方法和EXCEL 数据分析法：统计每个小组的数据个数 “Date_array 数据区域”：是选取要统计的数据源，就是选 择原始数据的范围； “Bins_array 分段点（区间）”：是选取直方图分组的数据
20 频率 15 正态分布曲线
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
22/ 26
5、正态分布曲线图
2、调整图形 1、在图表区柱形较下方选中正态分布曲线数据，（正态分布密度值和频率数值 相比太小了，实在看不清，多试几次，选中后如图，同时正态分布曲线那数 数据处于选中状态）。
直方图、正态分布、柏拉图(向阳教学)
8% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 9% 11% 11% 11% 11% 12% 12% 12% 13% 13% 13% 13% 13% 18% 19% 19% 28% 30% 16% 16% 16%
10% 11% 11% 11% 11% 11% 11% 11% 11% 12% 12% 12% 12% 12% 12% 12% 12% 12% 12% 13% 14% 14% 20% 21% 21% 23% 24% 18% 18% 16%
85.1%
81.6%
0.8
76.3%
80
0.7
63.2% 0.6
60 45.6%
40
0.5 次数
0.4 累计比例
0.3
22.8% 0.2
20
0.1
0
0
基础教学
33
3.3 柏拉图作用
1、作为降低不良依据。
1、80%的问题由20%的原因引起；
2、决定改善的攻击目标。
2、80%的索赔发生在20%的生产线上；
2
基础教学
14
2.1 正态分布简介
基础教学
15
2.1 正态分布简介
基础教学
16
2.2 标准正态分布
参数＝0，2＝1的正态分布称为标准正态分布，记作 X~N(0, 1)。
其密度函数为
(x)
(x)
1
x2
e2
2
( x )
4 2
0
2 4x
基础教学
17
2.3 正态分布性质
• 均数处最高，以均数为中心，两端对称 • 永远不与x轴相交的钟型曲线 • 正态曲线下的面积总和是1 • 正态曲线下一定区间内的面积代表变量值落在该区间
直方图和正态分布图
直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。
品质手法直方图及正态分布知识
f(X)
图形特点：
1. 钟型 2. 中间高 3. 两头低 4. 左右对称 5. 最高处对应于X轴
的值就是均数
6. 曲线下面积为1 7. 标准差决定曲线
的形状
X
N (1,0.82 )
0.6 f (X )
TTAA制造部
0.5 N(0,12 )
0.4
0.3
N(1,1.22 )
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
TTAA制造部
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
TTAA制造部
正态分布N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
TTAA制造部
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
正态分布示范教案
正态分布示范教案第一章：正态分布的基本概念1.1 引入：通过引入日常生活中的例子，如考试成绩、身高、体重等，引导学生理解数据的分布规律。
1.2 定义：介绍正态分布的定义，解释均值、标准差等基本术语。
1.3 图形表示：教授如何绘制正态分布曲线，并解释曲线特点。
1.4 实例分析：分析一些实际数据集，让学生通过计算和绘图验证它们是否符合正态分布。
第二章：正态分布的性质2.1 引入：通过讲解正态分布的性质，使学生理解正态分布的重要性和广泛应用。
2.2 均值、中位数和众数：解释正态分布中均值、中位数和众数的关系，并通过实例进行说明。
2.3 概率密度函数：教授正态分布的概率密度函数公式，并解释其意义。
2.4 标准正态分布：介绍标准正态分布的概念，并解释其与普通正态分布的关系。
第三章：正态分布的应用3.1 引入：通过实际案例，让学生了解正态分布在实际问题中的应用。
3.2 假设检验：讲解如何使用正态分布进行假设检验，包括Z检验和t检验。
3.3 置信区间：教授如何计算正态分布数据的置信区间，并解释其含义。
3.4 数据分析：通过实际数据集，让学生运用正态分布进行数据分析，解决实际问题。
第四章：正态分布在实际领域的应用4.1 引入：通过讲解正态分布在不同领域的应用，让学生了解其广泛性。
4.2 医学领域：介绍正态分布在医学领域的应用，如疾病风险评估、药物剂量确定等。
4.3 工程领域：解释正态分布在工程领域的应用，如产品质量控制、可靠性分析等。
4.4 金融领域：讲解正态分布在金融领域的应用，如投资组合优化、风险管理等。
第五章：正态分布的扩展5.1 引入：引导学生思考正态分布的局限性，引出正态分布的扩展。
5.2 非正态分布：介绍一些常见的非正态分布，如泊松分布、二项分布等，并解释其特点。
5.3 转换方法：教授如何将非正态分布数据转换为正态分布，以及如何将正态分布数据转换为其他分布。
5.4 应用案例：通过实际案例，让学生了解在实际问题中如何灵活运用正态分布及其扩展。
直方图、正态分布、柏拉图
3.2 柏拉图绘制
2013试剂市场反馈总结 反馈原因 展板问题 假阳性 漏诊 发货问题 检测线双线 C线浅 检测值偏低 注册变更 批间差大 SD卡难插 加样溢出 检测窗口粗红线 灰壳子灵敏度低 检测线颜色不均 其他 次数 26 26 20 15 6 4 4 2 1 1 1 1 1 1 5
3.2 柏拉图绘制
组距=极差R/组数
第一组下组界 = 最小值－测定值最小位數／２ 第一组上组界 = 第一组下组界 + 组距 第一组上组界 = 第一组下组界 + 组距 第二组上组界 = 第二组下组界 + 组距
画图
1.2 直方图绘制（EXCEL）
1.2 直方图绘制（SPSS）
1.2 直方图绘制（SPSS）
1.3 直方图类型
x
和s 来估计，此时，7条水平线分别
x
±2s , x ±3s 。
2.6.2 控制图
4.质量控制图的做法
对某一观察指标，依时间顺序记录其观察数据，并在控制图上依次
描出各点。若出现以下8种情况之一，则有理由认为其数据波动不
仅仅是随机测量误差所引起，而是可能存在某种系统误差。
2.6.2 控制图
判断异常的8种情况如下：
（Lorenz）曲线.
3. 美国品管专家J.M.Juran（朱兰博士）将劳伦兹曲线应用于品管上,同时创出“Vital few,Trivial many”（重要的 少数,琐细的多数）的见解,并借用Pareto的名字,将此现象定为“柏拉图原理”.
4.“柏拉图”方法,由品管圈（QCC）创始人日本石川罄介绍到品管圈活动中使用,而成为品管七大手法之一.
1.5 直方图实例
2.1 正态分布简介
正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的 概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
直方图正态
由上下限来判定直方图
• 这里规格的上限用Tu表示，Tl为规格 的下限，公差中心M= Tu+ Tl/2
• 样本的分布中心为x • 样本的标准差为s。
• 1.理想型
• 图型对称分布，样本分布中心
• 与公差中心M近似重合，分布在公差范 围内且两边有一定余量，是理想状态。 因此，可保持状态水平加以监督。
A5 800ml 90次净含量
频率
-1 20
15
10
50Biblioteka 0C1 直方图715
3
6
9
12
15
C1
从图像形状上看是孤岛型，且是偏态型。由上下限判断是偏 态型，且是能力不足型，
• (2)运用直方图勘量生产的质量状况。将直方图与公差 范围相比较，看直方图是否都落在公差要求的范围之 内，可以提高生产的质量状况。这种对比大体上存在 六种情况，如下图所示。
• ①理想的情况； • ②经济性不好，需降低加工精度； • ③需要采取措施适当缩小分布； • ④过分偏离公差中心，可能造成废品； • ⑤完全不留余地，容易出现废品，应采取措施调整 • ⑥已经产生废品，应停产检查。
6 偏态型
偏态型直方图是指图的顶峰有时偏向左侧、有 时偏向右侧。不纯成分接近于0，疵点数接近 于0或由于工作习惯都会造成偏左型。 由于某 种原因使上限受到限制时，易发生偏右型。 如：用标准尺控制上限，精度接近100%，合 格率也接近100%或由于工作习惯都会造成偏 右型。
• 7 平顶型
• 体、多总分布混在一起。 B、由于 生产过程中某中缓慢的倾向在起作 用，如工具的磨损、操作者的疲劳 等。 C、质量指标在某个区间中均 匀变化。
• 4 折齿型
• 当直方图出现凹凸不平的形状，这是 由于作图时数据分组太多，测量仪器 误差过大或观测数据不准确等造成
管理统计学6 第六章 概率及其分布
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时，均 值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的变 化而变化，当P=0.5时基本对称。
式中，Cnx
n!
x!n
x!
表示n个产品取x个不合格品的组合数。
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6.4 二项分布和泊松分布
6.4.1 二项分布
例题: 已知产品合格率为0.9，对产品检验100次，出现2次不合格品的概 率。 解:
C1200 0.120.91002 4950 0.01 0.00003279 0.0016231
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6.3 正态分布
6.3.1 正态分布的特点
总体落在总体平均数1倍标准差周围的概率为68.26%。即 当t=1时，则有
P X P X 1 68.26%
总体落在总体平均数2倍标准差周围的概率为95.45%。即 当t=2时，则有
二项分布的均值为 标准差为
np
npq
由于概率P的取值不同，二项分布的形状有差异。当P=0.25时，均值偏向 中心值以下的小值一方；当P=0.5时，均值处于中心位置；当P=0.75时， 均值偏向中心值以上的大值一方。所以，二项分布图形随着不合格率P的 变化而变化，当P=0.5时基本对称。
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学习目标
本章要掌握: 1. 数据与概率的关系; 2. 从概率分布上把握统计的特点; 3. 正态分布及其概率计算方法（学习的重点)。
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直方图和正态分布
u
x
σ 相同而μ 不同的三个正态分布
μ相同而σ不同的三个正态分布
6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1， 即：
1 P ( x ) e 2 ( x )2 2 2
dx 1
二、标准正态分布
μ=0,σ2=1的正态分布称为标准正态分布(standard
normal distribution)。 随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)， u 称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。
（3）确定组数和组距；
组数的确定根据经验公式：
组数=1+3.3LogN（N为数据的个数），
组距=全距/组数；
样本容量与组数
样本容量 30—60 60—100 100—200 200—500 组 数
5 —8 8—10 10—12 12—18
500以上
18—30
（4）确定组限和组中值。各组的最大值和最小值称为组限， 每一组的中点值为组中值。 组中值 = （组下限+组上限）/2 在资料分组时为了避免第一组中的观测值过多，第一组的 组中值以接近或等于资料中的最小观测值为好。 为了恰好使等于前一组上限和后一组下限的数据能确切归 组，确定将其归入后一组，即约定“上限不在内”。 （5）归组、作次数分布表
2
其中，μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量x服从正态 分布(normal distribution)， 记为x～N （ μ,σ2 ）
(二) 正态分布的特征
正态分布密度曲线
正态分布的重要特征：
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的“悬钟”形曲
线，
对称轴为x=μ；
2、概率分布密度函数f(x)在x=μ处达到极大。
正态分布的概念和特征
正态分布的概念和特征一、正态分布的概念由表1.1的频数表资料所绘制的直方图，图3.1（1）可以看出，高峰位于中部，左右两侧大致对称。
我们设想，如果观察例数逐渐增多，组段不断分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且左右对称，不与横轴相交的光滑曲线图 3.1（3）。
这条曲线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的正态分布（normal distribution）。
由于频率的总和为100%或1，故该曲线下横轴上的面积为100%或1。
图3.1频数分布逐渐接近正态分布示意图为了应用方便，常对正态分布变量X作变量变换。
（3.1）该变换使原来的正态分布转化为标准正态分布(standard normal distribution)，亦称u分布。
u被称为标准正态变量或标准正态离差（standard normal deviate）。
二、正态分布的特征：1．正态曲线（normal curve）在横轴上方均数处最高。
2．正态分布以均数为中心，左右对称。
3．正态分布有两个参数，即均数和标准差。
是位置参数，当固定不变时，越大，曲线沿横轴越向右移动；反之，越小，则曲线沿横轴越向左移动。
是形状参数，当固定不变时，越大，曲线越平阔；越小，曲线越尖峭。
通常用表示均数为，方差为的正态分布。
用N（0，1）表示标准正态分布。
4．正态曲线下面积的分布有一定规律。
实际工作中，常需要了解正态曲线下横轴上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估计该区间的例数占总例数的百分数（频数分布）或观察值落在该区间的概率。
正态曲线下一定区间的面积可以通过附表1求得。
对于正态或近似正态分布的资料，已知均数和标准差，就可对其频数分布作出概约估计。
查附表1应注意：①表中曲线下面积为-∞到u的左侧累计面积；②当已知μ、σ和X时先按式（3.1）求得u值，再查表，当μ、σ未知且样本含量n足够大时，可用样本均数和标准差S分别代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲线下对称于0的区间面积相等，如区间（-∞，-1.96）与区间（1.96，∞）的面积相等，④曲线下横轴上的总面积为100%或1。
正态分布详解
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直方图。
红线是拟 合的正态 密度曲线
可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布。
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
请同学们想一想，实际生活中具有这 种特点的随机 街头赌博
高尔顿钉板试验
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
后面第五章中，我们还将介绍为什么 这么多随机现象都近似服从正态分布 .
谢谢！
谢谢大家！
再看一个应用正态分布的例子: 例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
对于连续型随机变量，一般是给出 它的概率密度函数。
一、正态分布的定义 若r.v X的概率密度为
f(x) 1 e , (x2 2)2 x
2
其中 和 2 都是常数，任意，>0， 则称X服从参数为 和 2 的正态分布.
记作 X~N(,2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
正态分布教案
.......正态分布教案一、教材分析正态分布是高中新教材人教A版选修2-3的第二章“随机变量及其分布”的最后一节容，在学习了离散型随机变量之后，正态分布作为连续型随机变量，在这里既是对前面容的一种补充，也是对前面知识的一种拓展，是必修三第三章概率知识的后续。
该节容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的特点，最后研究了它的应用。
旧教材采用直接给出正态分布密度函数表达式的方法，这使学生在很长一段时间里不理解正态分布的来源。
新教材利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线的来源。
正态分布是描述随机现象的一种最常见的分布，在现实生活中有非常广泛的应用。
在这里学习正态分布，也有利于学生在大学阶段的进一步学习。
二、教学目标1．知识与技能①通过高尔顿板试验，了解正态分布密度曲线的来源②通过借助几何画板，理解正态分布的概念及其曲线特点，掌握利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题2．过程与方法①通过试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限到无限的思想方法②通过观察正态曲线研究正态曲线的性质，体会数形结合的方法，增强观察、分析和归纳的能力3、情感态度与价值观①通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学习数学的兴趣②通过σ3原则的学习，充分感受数学的对称美三、重点、难点重点：正态分布密度曲线的特点，利用σ3原则解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题..难点：正态分布密度曲线的特点四、教法与学法学情分析在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分布直方图来研究小球的分布规律奠定了基础。
但正态分布的密度函数表达式较为复杂抽象，学生理解比较困难。
根据以上学情，我采取了如下的教学方法：1、教法本节课是概念课教学，应该有一个让学生参与讨论、发现规律、总结特点的探索过程，所以在教学中我采取了直观教学法、探究教学法和多媒体辅助教学法。
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• 4 能力富余型
• 样本分布中心与公差中心M近似一致， 但两边与规格上、下限有很大距离， 说明工序能力出现过剩，经济性差。 因此，可考虑改变工艺，放宽加工精 度或减少检验频次，以降低成本
• 5 能力不足型
• 样本中心与公差中心M近似重合，但分 布已超出上、下限。这时不合格已经 出现。因此，要采取措施提高加工精 度，减少标准偏差
• 4 折齿型
• 当直方图出现凹凸不平的形状，这是 由于作图时数据分组太多，测量仪器 误差过大或观测数据不准确等造成
• 的，此时应重新收集数据和整理数据
5 陡壁型 当直方图像高山的陡壁向一边倾斜时，通常 表现在产品质量较差时，为了符合标准的产 品，需要进行全数检查，以剔除不合格品。 当用剔除了不合格品的产品数据作频数直方 图时容易产生这种陡壁型，这是一种非自然 形态。
2.偏向型 样本分布中心 比公差中心M有较大偏移， 这种情况下，稍有不慎就会出现不合格,因 此要调整分布中心与公差中心近似重合。
• 3无富余型
• 样本分布中心与公差中心M近似重合， 但两边与规格的上、下限紧紧相连， 没有余地，表明过程能力已到极限， 非常容易出现失控，造成不合格。因 此，要立即采取措施，提高过程能力， 减少标准偏差。
• (2)运用直方图勘量生产的质量状况。将直方图与公差 范围相比较，看直方图是否都落在公差要求的范围之 内，可以提高生产的质量状况。这种对比大体上存在 六种情况，如下图所示。
• ①理想的情况； • ②经济性不好，需降低加工精度； • ③需要采取措施适当缩小分布； • ④过分偏离公差中心，可能造成废品； • ⑤完全不留余地，容易出现废品，应采取措施调整 • ⑥已经产生废品，应停产检查。
形状的判断直方图
• 概述
• 1 正常型是指过程处于稳定的图型，它 的形状是中间高、两边低，左右近似 对称。近似是指直方图多少有点参差 不齐，主要看整体形状。
• 2 孤岛型
• 人替人加班，测量有误等，都会造成 孤岛型分布，应及时查明原因、采取 措施。
• 3 双峰型
• 布的数据混合在一起造成的。如：两 种有一定差别的原料所生产的产品混 合在一起，或者就是两种产品混在一 起，此时应当加以分层。
分析质量
• 有六种，如图所示。
• (1)通过直方图判断生产过程是否有异常。对直方图有 些参差不齐不必太注意，主要应着眼于图形的整个形 状。常见的直方图分布图形大体上有六种，如图所示
• ①理想的图形；
• ②多是因为测量和读数有问题或是数据分组不当所引 起的；
• ③多是因加工习惯造成的； • ④多是加工条件的变动造成的； • ⑤多是两种不同生产条件的数据混在一起造成的； • ⑥多是由于生产过程中某种缓慢的倾向起作用所至。
由上下限来判定直方图
• 这里规格的上限用Tu表示，Tl为规格 的下限，公差中心M= Tu+ Tl/2
• 样本的分布中心为x • 样本的标准差为s。
• 1.理想型
• 图型对称分布，样本分布中心
• 与公差中心M近似重合，分布在公差范 围内且两边有一定余量，是理想状态。 因此，可保持状态水平加以监督。
直方图
• 酱包五班范力艺
直方图的应用步骤
①集中和记录数据，求出其最大值和最小值。 数据 的数量应在100个以上，在数量不多的情况 下，至少也应在50个以上。 我们把分成组的个 数称为组数每一个组的两个端点的差称为组距。 ②将数据分成若干组，并做好记号。分组的数量 在5－12之间较为适宜。 ③计算组距的宽度。用最大值和最小值之差去除 组数，求出组距的宽度。
A5 800ml 90次净含量
从图像形状上看是孤岛型，且是偏态型。由上下限限位可以从第 一组开始依次计算，第一组的下界为最小值减 去最小测定单位的一半，第一组的上界为其下 界值加上组距。第二组的下界限位为第一组的 上界限值，第二组的下界限值加上组距，就是 第二组的上界限位，依此类推。 ⑤统计各组数据出现频数，作频数分布表。 ⑥作直方图。以组距为底长，以频数为高， 作各组的矩形图
• 能力不足，左、右超限
• 样本中心与公差中心M有偏移且分布有部分 已超出上、下限。这种情况比较复杂。首先， 调整分布中心，使之与公差中心近似重合， 如果，调整后，不合格消失，说明不合格主 要是由于某个系统原因造成的，这时，在深 入分析过程能力是否需要继续提升等。其次， 如果经调整，分布中心与公差中心已近似重 合，但仍有不合格，则说明过程能力已严重 不足，样本分散程度过大，要继续提高加工 精度，减少标准偏差。
6 偏态型
偏态型直方图是指图的顶峰有时偏向左侧、有 时偏向右侧。不纯成分接近于0，疵点数接近 于0或由于工作习惯都会造成偏左型。 由于某 种原因使上限受到限制时，易发生偏右型。 如：用标准尺控制上限，精度接近100%，合 格率也接近100%或由于工作习惯都会造成偏 右型。
• 7 平顶型
• 体、多总分布混在一起。 B、由于 生产过程中某中缓慢的倾向在起作 用，如工具的磨损、操作者的疲劳 等。 C、质量指标在某个区间中均 匀变化。