高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

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高三数学利用导数求最值和极值试题

高三数学利用导数求最值和极值试题1.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】不等式变形为．当时，，故实数a的取值范围是；当时，，记，，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．【考点】利用导数求函数的极值和最值．2.函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为()A．72B．36C．12D．0【答案】D【解析】因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极小值为y|＝1＝0，而在端点处的函数值y|x＝－2＝27，y|x＝3＝72，所以y min＝0.x3. [2014·长沙模拟]已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【答案】C【解析】∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81.令y′＝0，得x＝9，x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时，y′>0，函数f(x)单调递增；当x>9时，y′＜0，函数f(x)单调递减．故当x＝9时，y取最大值．4.（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【答案】D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．5.如图，半径为30的圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其中点在圆弧上，点在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设与矩形材料的边的夹角为，圆柱的体积为.（1）求关于的函数关系式？（2）求圆柱形罐子体积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用解直角三角形用将OA，AB表示出来，利用OA是圆柱的底面周长，将圆柱的底面半径用表示出来，圆柱的高就是AB，再利用圆柱的体积公式求出圆柱的体积即为所求关于的函数关系式，注意要标明定义域；（2）设sin=,将圆柱形罐子体积化为关于的函数，注意的范围，求出的导数，利用导数求出单调区间，求出的极值，再求出函数的最大值就是圆柱形罐子体积的最大值.试题解析：（1）（2）令，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，体积取得最大值.【解法2】：（1）连接，在中，设，则设圆柱底面半径为，则，即，，其中.（2）由，得由解得；由解得．因此在上是增函数，在上是减函数．所以当时，有最大值．【考点】1.圆的参数方程；2.圆柱的体积公式；3.利用导数求函数最值；4.运算求解能力.6.已知曲线.(1)若曲线C在点处的切线为，求实数和的值；(2)对任意实数，曲线总在直线:的上方，求实数的取值范围.【答案】(1)，，(2)．【解析】(1)根据导数几何意义，所以.因为，所以.因为过点，所以，(2)由题意得：不等式恒成立，恒成立问题一般转化为最值问题.一是分类讨论求函数最小值，二是变量分离为恒成立，求函数最小值.两种方法都是，然后对实数a进行讨论，当时，，所以.当时,由得，不论还是，都是先减后增，即的最小值为，试题解析：解（1）， 2分因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：，所以且. 4分解得， -5分（2）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令， 7分①若a=0，则，所以实数b的取值范围是； 8分②若,，由得， 9分的情况如下：+11分所以的最小值为， 12分所以实数b的取值范围是；综上，实数b的取值范围是． 13分法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于∀x,，都有，即∀x,R，恒成立， 6分令，则等价于∀，恒成立，令，则， 7分由得， 9分的情况如下：+-11分所以的最小值为， 12分实数b的取值范围是． 13分【考点】利用导数求切线、最值.7.已知为自然对数的底数，设函数，则( )A．是的极小值点B．是的极小值点C．是的极大值点D．是的极大值点【解析】根据题意对函数求导可得,令可得,因为,所以当时,,原函数单调递增,当时,,原函数单调递减,所以为函数的极小值点,故选B.【考点】导函数极值8.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】取函数f(x)＝x3－x，则x＝－为f(x)的极大值点，但f(3)>f，排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，但－1不是f(－x)的极小值点，排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，排除C.9.若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．【答案】9【解析】依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为910.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．11.已知函数（1）若函数在点处的切线与圆相切，求的值；（2）当时，函数的图像恒在坐标轴轴的上方，试求出的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题综合考查函数与导数及运用导数研究函数的单调区间、最值等数学知识和方法，突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力，考查函数思想、分类讨论思想.第一问，先将代入中，得到切点的纵坐标，对求导，将代入得到切线的斜率，所以点斜式写出切线方程，因为它与圆相切，所以圆心到切线的距离等于半径，列出表达式，求出；第二问，对求导，通过分析可转化为当时，恒成立，设，讨论，讨论的正负，通过抛物线的性质，求最小值.试题解析：(1) ，而，故，所以在点处的切线方程为，即，由，配方得，故该圆的圆心为，半径，由题意可知，圆与直线相切，所以，即，解得. （4分）（2）函数的定义域为，，由题意，只需当时，恒成立. （5分）设，，当时，，当时，恒成立，即恒成立，故在上是增函数，∴当时，，（7分）当时，函数的对称轴，则在上是增函数，当时，，∴，∴在上是增函数，∴当时，，（9分）当时，函数的对称轴，在是减函数，，故，∴在是减函数，∴当时，与当时，矛盾，（11分）综上所述，的取值范围是.【考点】1.利用导数求切线的方程；2.点到直线的距离公式；3.利用导数求函数最值.12.函数上有最小值，实数a的取值范围是（）A．(-1,3)B．(-1,2)C．D．【答案】D【解析】由题 f'（x）=3-3x2，令f'（x）＞0解得-1＜x＜1；令f'（x）＜0解得x＜-1或x＞1,由此得函数在（-∞，-1）上是减函数，在（-1，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数故函数在x=-1处取到极小值-2，判断知此极小值必是区间（a2-12，a）上的最小值.∴a2-12＜-1＜a，解得-1＜a＜，又当x=2时，f（2）=-2，故有a≤2,综上知a∈（-1，2],故选D.【考点】用导数研究函数的最值13.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.14.（本小题满分共12分）已知函数，曲线在点处切线方程为。

专题训练--利用导数求单调区间、极值、最值

利用导数求函数的单调性、极值、最值一．求单调区间的步骤①求定义域；①求导函数f ′(x )；①解方程f ′(x )＝0；④分区间；⑤列表定导数正负得单调区间. 二．求极值的步骤（同上）极值的定义：①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值．三．求函数最值的步骤①求极值；①求[a ，b ]端点的函数值f (a )、f (b )；①比较极值与端点函数值的大小，得最值.考向一求单调区间【例题】求下列函数的单调区间：（1）3()23f x x x =-；（2）2()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【练习】1．函数 f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ） A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)2.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为( )A.(0，1)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(－∞，0)①(1，＋∞) 3．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R4．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【答案】()12，＋∞ 5．函数f (x )＝x ·e x －e x＋1的单调增区间是________．【答案】 (e －1，＋∞)6．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调减区间是________．【答案】()0，1e7．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调增区间是_______．()－π，－π2和()0，π28. 函数f (x )=(x-3)e x 的单调递增区间是。

高三数学利用导数求最值和极值试题

(完整版)导数与极值、最值练习题

三、知识新授（一）函数极值的概念（二）函数极值的求法：（1）考虑函数的定义域并求f'(x);（2）解方程f'(x)=0，得方程的根x(可能不止一个）（3）如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x)是极大值；反之，那么f(x）是极大值题型一图像问题1、函数()f x的导函数图象如下图所示，则函数()f x在图示区间上（）（第二题图） A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数()f x的定义域为开区间()a b，，导函数()f x'在()a b，内的图象如图所示，则函数()f x在开区间()a b，内有极小值点（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3、若函数2()f x x bx c=++的图象的顶点在第四象限，则函数()f x'的图象可能为（）D.C.B.A.4、设()f x'是函数()f x的导函数，()y f x'=的图象如下图所示，则()y f x=的图象可能是（）C.A.5、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x的图象最有可能的是（）-11 f '(x )yxO6、()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）2xO222D.C.B.A.OxOx x Ox y7、如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（）yyyxx xyxDCBA xyy=f(x)8、如图所示是函数()y f x =的导函数()y f x '=图象，则下列哪一个判断可能是正确的（）A ．在区间(20)-，内()y f x =为增函数B ．在区间(03)，内()y f x =为减函数C ．在区间(4)+∞，内()y f x =为增函数D ．当2x =时()y f x =有极小值9、如果函数()y f x =的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数()y f x =在区间13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭内单调递增；②函数()y f x =在区间1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当12x =-时，函数()y f x =有极大值；则上述判断中正确的是___________． 10、函数321()2f x x x =-+的图象大致是（）DCBA11、己知函数()32f x ax bx c=++，其导数()f x '的图象如图所示，则函数()f x 的极小值是（）A ．a b c ++B ．84a b c ++C ．32a b +D ．c题型二极值求法 1 求下列函数的极值（1）f(x)=x 3-3x 2-9x+5; (2)f(x)=ln x x （3）f(x)=1cos ()2x x x ππ+-<<2、设a 为实数，函数y=e x -2x+2a,求y 的单调区间与极值3、设函数f(x)=313x -+x 2+(m 2-1)x,其中m>0。

导数与极值最大值与最小值问题练习题

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

高二数学利用导数求最值和极值试题

高二数学利用导数求最值和极值试题1.函数在（0,1）内有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】首先对函数进行求导，即，然后根据函数在（0,1）内有最小值，讨论参数与0的大小关系，进而找到符合条件的的取值范围，即（1）若，此时，这表明在（0,1）上单调递增的，所以在处取得最小值，显然不可能；（2）若，令，解得，当时，为增函数，为减函数，所以在处取得最小值，也是最小值，故极小值点在（0,1）内，符合条件要求.综上所述，的取值范围为（0,1）.故答案应选B.【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.2.已知函数.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】（1）对函数求导，求出极值点，范围在内，得到不等式关系，解不等式即可；（2）要对恒成立问题转化,转化为求最值问题，令，求出在的最小值.试题解析：（1）当x>0时，，有；所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为.（2）当时，令，由题意，在上恒成立令，则，当且仅当时取等号．所以在上单调递增，．因此，在上单调递增，．所以．【考点】导数运算，化归思想.3.设函数，则的极小值点为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，令得解得，又因为函数的定义域为，当时，，所以时为减函数；当时，，所以时为增函数；所以当时函数取得极小值；【考点】导数在求函数极值中的应用；4.已知函数.（1）求曲线在点（1，0）处的切线方程；（2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)【答案】（1）（2）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论.试题解析：（1）由，得切线的斜率为．又切线过点，所以直线的方程为 4分（2），则令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，在上单调递增，所以在上的最小值为②当，即时，在上单调递减，在上单调递增．在上的最小值为③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值为．综上：当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为． 12分【考点】（1）利用导数求切线方程；（2）利用导数求函数的最值.5.已知函数在与处都取得极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由已知函数在与处都取得极值，得到，求出得到：关于a,b的两个方程，联立解方程组可得到a,b的值，从而可写出函数的解析式；（2）由（１）已求出的解析式，要求函数在区间[-2，2]的最大值与最小值，只需先求出函数在区间[-2，2]的极大值与极小值，再求出两个端点的函数值，然后比较这四个数值的大小，得其中的最大者就是该函数的最大值，最小者就是该函数的最小值．试题解析：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx，f¢（x）＝3x2＋2ax＋b 1分由f¢（）＝，f¢（1）＝3＋2a＋b＝0 3分得a＝，b＝－2 5分经检验，a＝，b＝－2符合题意所以，所求的函数解析式为： 6分（2）由（1）得f¢（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1）， 7分列表如下：（－2，－）－（－，1）9分11分所以当时， 12分【考点】１．函数导数；２．函数极值；３．函数最值．6.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.7.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是A．5，15B．5，－14C．5，－15D．5，－16【答案】C【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.8.函数．（1）求函数的极值；（2）设函数，对，都有，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解题思路：（1）求导，令得，列表即可极值；（2）因为，都有，所以只需即可，即求的最值.规律总结：（1）利用导数求函数的极值的步骤：①求导；②解，得分界点；③列表求极值点及极值；（2）恒成立问题要转化为求函数的最值问题.注意点：因为，都有，所以只需即可.试题解析：（1）因为，所以，令，解得，或，则＋－＋故当时，有极大值，极大值为；当时，有极小值，极小值为．（2）因为，都有，所以只需即可．由（1）知：函数在区间上的最小值，又，则函数在区间上的最大值，由，即，解得，故实数m的取值范围是．【考点】1.函数的极值；2.不等式恒成立问题.9.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】求导得=，当-1＜＜0时，，当时，＜0，所以该函数在（-1,0）上是增函数，在（0,1）是减函数，故当=0时，=，所以=3，所以当=-1时，y=，当=1时，=，所以该函数在[-1,1]上的最小值为.【考点】利用导数求函数在某个闭区间上的最值10.设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上 ( )A．既有极大值,也有极小值B．既有极大值,也有最小值C．有极大值,没有极小值D．没有极大值,也没有极小值【答案】C【解析】由题设可知:在(-1,2)上恒成立,由于从而,所以有在(-1,2)上恒成立,故知，又因为，所以；从而，得；且当时，当时，所以在上在处取得极大值，没有极小值．【考点】新定义,函数的极值．11.若函数在（0，1）内有极小值，则 ( )A．＜1B．0＜＜1C．b＞0D．b＜【答案】B【解析】由得：，若函数在（0，1）内有极小值，则必在区间内有解，即关于的方程区间内有解，所以有，故选B.【考点】导数与函数的极值.12.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是。

导数的应用----导数与函数的极值、最值(训练1)

导数与函数的极值、最值（训练题1）1.函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( )A ．－4B ．－2C ．4D ．23．函数y ＝x e x 的最小值是( )A ．－1B ．－eC ．－1eD ．不存在4．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值5．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞6．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为( )A ．1百万件B ．2百万件C ．3百万件D ．4百万件7．函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是________．8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．9．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．10．(2018·长沙调研)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.11．设函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切． (1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值．12．(2018·武汉质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．13．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20 B．18 C．3 D．014．(2018·忻州模拟)已知函数f(x)＝a e x－2x－2a，且a∈[1,2]，设函数f(x)在区间[0，ln 2]上的最小值为m，则m的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x ln x＋m e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________．16．已知函数f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]的最小值是2，求正实数a的值．。

高三数学利用导数求最值和极值试题

高三数学利用导数求最值和极值试题1. 函数f(x)＝x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________．【答案】3【解析】f′(x)＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1,3)上是减函数，由f(x)极小值＝f(3)＝－10<0，f(x)极大值＝f(－1)＝>0知函数f(x)的图象与x 轴的交点个数为3.2. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是( )． A ．(0,2] B ．(0,2) C ．[，2) D ．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得又a >0，解得<a <2，故选D.3. 已知且关于的函数在上有极值,则与的夹角范围是（） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】，因为在上有极值，所以【考点】有解，，即，，所以],故选B.【考点】1.函数的导数；2.向量的数量积以及向量的夹角.4. 不等式的解集为，且，则实数的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】①当时，不等式对任意实数恒成立；②当时，不等式可变形为，由不等式的解集为，且设，令，解得．当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．由此可知，当时，函数取得极小值，也即最小值，且．．故选A．【考点】利用导数研究函数的极值5.记函数的最大值为M，最小值为m，则的值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知得，，解得，所以函数的定义域是. 已知函数求导得，，时，当时，，当时，，所以在区间上先增后减，最大值是，因为，，所以，所以.【考点】1.利用导数研究函数的最值；2.函数的单调性与导数的关系6.设.(Ⅰ)若对一切恒成立,求的取值范围;(Ⅱ)设,且是曲线上任意两点,若对任意的,直线AB的斜率恒大于常数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）；（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.（Ⅱ）直线的斜率为：由题设有,不妨设则这样问题转化为函数,在上单调递增所以恒成立，即对任意,恒成立这样只需求出的最小值即可.（Ⅲ）不等式可变为由(Ⅰ) 知（时取等号）,在此不等式中取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：取得：变形得：将以上不等式相加即可得证.试题解析：(Ⅰ)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：(II)由题设得，直线AB的斜率满足：,不妨设，则即：令函数,则由以上不等式知：在上单调递增,所以恒成立所以，对任意,恒成立又=故(Ⅲ)由(Ⅰ) 知时取等号）,取,得即累加得所以【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系及重要不等式；3、不等式的证明.7.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.8.已知且，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：（）A．①③B．①④C．②④D．②③【答案】D【解析】,函数在处取得极大值，在处取得极小值，由知函数有3个零点，则有，即解得，即，，所以，.【考点】1.函数的极值；2.函数的零点.9.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为，，，，综合以上信息可得示意图如右，由图可知，.【考点】考查函数的零点.10.已知函数，且函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，则的取值范围为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析:因为函数在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值，所以即画出可行域如图所示，为可行域内的点到的距离的平方，由图可知，距离的最小值为距离的最大值为，所以的取值范围为【考点】本小题主要考查导数与极值的关系以及线性规划的应用.点评：对于此类问题，必须牢固掌握导数的运算，利用导数求单调性以及极值和最值.本题导数与线性规划结合，学生必须熟练应用多个知识点，准确分析问题考查的实质，正确答题.11.已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是_______________【答案】或；【解析】本试题主要是考查了一元三次函数的极值问题的运用。

高二数学利用导数求最值和极值试题

高二数学利用导数求最值和极值试题1.若函数，则（）A．最大值为，最小值为B．最大值为，无最小值C．最小值为，无最大值D．既无最大值也无最小值【答案】D【解析】，令，得或，令，得，因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在时，函数取得极大值，在时，函数取得极小值，但是函数在上，既无最大值也无最小值，弄清楚极值与最值是两个不同的概念，就不会选错答案，此处选择D.【考点】导数的应用、函数的极值与最值.2.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是( ).A．5，－15B．5，－14C．5，－16D．5，15【答案】A【解析】，；令得；令得；函数在递减，在递增；又，.【考点】利用导数求闭区间上的最值.3.已知既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得:在R上有两个不相等的实根,所以解得:,故选D．【考点】函数的极值．4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．个C．个D．个【答案】A【解析】设导函数在内的图像与轴的交点(自左向右)分别为，其中，则由导函数的图像可得:当时，，时，且，所以是函数的极大值点；当时，，时，且，所以是函数的极小值点；当或时，，故不是函数的极值点；当时，，而当时，，且，所以是函数的极大值点；综上可知，函数在开区间内有极小值点只有1个，故选A．【考点】1．函数的图像；2．函数的导数与极值．5.已知函数在处取得极值，求函数以及的极大值和极小值．【答案】在处取得极大值，在处取得极小值．【解析】先求出导函数，进而根据条件得出，列出方程组，从中解出的值，进而根据函数的极值与导数的关系求解出函数的极大值与极小值即可．试题解析：因为，所以因为函数在处取得极值所以即∴，令，得或当变化时，与的变化情况如下表：1+—+∴在处取得极大值，在处取得极小值．【考点】函数的极值与导数．6.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________【答案】【解析】由函数得，令0得x=0或x=1，<0得，>0得x>1或x<0，所以函数在（0,1）上是减函数，在上是增函数，故最大值为f(0)=a=3,f(1)=,f(-1)=,故最小值为,【考点】导数与函数的极值.7.函数在x=1处取到极值，则a的值为（）A．B．C．0D．【答案】A.【解析】∵，∴，又∵在处取到极值，∴.【考点】导数的运用.8.设，若函数，，有大于零的极值点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵f(x)=e x+ax,∴,令=0,可得x=-ln(-a)>0,解得a<-1．【考点】导数的运用．9.（本题满分12分）已知函数在处取得极值－2.（1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）先对函数求导，在取得极值处导数值为0，则，又极值为，可得，可得关于的方程，解得可知解析式；（2）由（1）可得，在处的切线的斜率为，过切点，由直线方程的点斜式，写出切线方程.解：（1）， 1分依题意有，，即， 3分解得, 5分∴． 6分（2）,∴，又 , 9分故曲线在点处的切线方程为，即 12分【考点】求函数的极值，求曲线的切线方程.10.已知函数在处取得极值－2.（1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）由题知,在处取得极值－2,可得，，得到关于的方程组，解出后可得的解析式；（2）曲线在处的切线斜率为，又过点，由直线的点斜式方程可得切线方程.解：（1）， 1分依题意有，，即， 3分解得, 5分∴． 6分（2）,∴，又 , 9分故曲线在点处的切线方程为，即 12分【考点】求函数的极值，求曲线的切线方程.11.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ;【答案】【解析】由题意得：在上恒成立，即，因为则由得，所以当时，；当时，；因此当时，取最大值即实数的取值范围是.【考点】利用导数求参数取值范围12.函数有()A．极大值，极小值B．极大值，极小值C．极大值，无极小值D．极小值，无极大值【答案】C【解析】因为，而，而当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在取得极大值，没有极小值，故选答案C.【考点】函数的极值与导数.13.已知函数的导函数存在，则函数在一点的导数值为是函数在这点取极值的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为函数的导函数存在，所以当函数在处取得极值时，必有；反过来若，函数在处不一定取得极值，如，，有，但由于恒成立，所以在上单调递增，并不是函数的极值点，故选B.【考点】1.函数的极值与导数；2.充分必要条件.14.已知函数f(x)＝e x－ax在区间(0，1)上有极值，则实数a的取值范围是．【答案】(1，e)【解析】函数f(x)＝e x－ax在区间(0，1)上有极值，就是导函数在区间(0，1)上有解，即【考点】函数极值15.下列函数中，x＝0是其极值点的是 ()．A．y＝－x3B．y＝cos2xC．y＝tan x－x D．y＝【答案】B【解析】显然x＝0不是y＝－x3，y＝的极值点．又y′＝(cos2x)′＝2cos x(－sin x)＝－sin 2x.显然x＝0时，y′＝0，在x0的左右附近y′正、负变化．∴x＝0是y＝cos2x的极大值点16.设函数，则（）A．最大值为B．最大值为C．最小值为D．最小值为【答案】A【解析】解：因为，所以，由，得：，所以在区间上恒成立所以函数在区间上为增函数，所以在区间上有最大值.故选A【考点】导数在研究函数性质中的应用.17.已知函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点，则实数的取值范围是 ____ ．【答案】【解析】解：由，得：因为函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点所以导函数在区间（-1,1）内恰有一零点，所以有，即：，解得：当时，，令得：当时，当时，函数在区间（-1,1）上恰有一个极值点所以适合题意.当时，，令得：、当时，所以函数在区间（-1,1）上单调递减，没有极值点，所以不适合题意.综上：，所以答案应填：【考点】1、函数导数的求法；2、用导数研究函数的单调性与极值.18.下列函数中，是其极值点的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于B，，当时，，当时，，故在的左侧范围内单调递减，在其右侧单调递增，所以是的一个极小值点；对于C，恒成立，在上单调递减，没有极值点；对于D，在没有定义，所以不可能成为极值点；综上可知，答案选B.【考点】函数的极值与导数.19.已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若函数在区间上存在递减区间，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】解：（1），令，解得 3分，在上为增函数，在上为减函数，． 6分（2）在上存在递减区间，在上有解， 9分在上有解，，所以，实数的取值范围为【考点】导数的运用点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。

高考数学专题《应用导数研究函数的极值、最值》练习

专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值1．（2021·河南高三其他模拟（文））函数()ln f x x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．1ln 22+-B ．-1C ．0D ．2ln 22-2．（2021·全国高考真题（理））设0a ≠，若x a =为函数()()()2f x a x a x b =--的极大值点，则（）A ．a b <B ．a b >C ．2ab a <D ．2ab a >3．（2021·全国高三其他模拟）已知函数f （x ）＝ln x x﹣e x ，则下列说法正确的是（）A ．f （x ）无极大值，也无极小值B ．f （x ）有极大值，也有极小值C ．f （x ）有极大值，无极小值D ．f （x ）无极小值，有极大值4.（2021·全国高三月考（理））已知函数()ln 3f x a x x =-，当(0,)x ∈+∞时，(1)3x f x e ax ++≥恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．3C ．2D ．15．（2021·广东高三其他模拟）若函数()23222,126,1x m x f x x x x -⎧-<=⎨-≥⎩有最小值，则m 的一个正整数取值可以为___________.6．（2021·全国高三其他模拟（文））函数()cos 744x x f x x e ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭……取最大值时x 的值为___________.7．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））设x θ=是函数()cos 3sin f x x x =+的一个极值点，则2cos 2sin θθ+=___________.8.（2021·贵州贵阳市·贵阳一中高三月考（理））已知函数()1.x f x e x =--（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数2()()ln g x xf x x x =+-的最小值练基础9．（2021·河南高三其他模拟（文））已知函数()()2e ln 1x f x x a =-+ .（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）若1a >，证明：()f x 存在极小值.10．（2021·玉林市育才中学高三三模（文））设函数2()ln()f x x b x a =++，其中0b ≠．（Ⅰ）当1b =时，()f x 在2x =-时取得极值，求a ；（Ⅱ）当1a =时，若()f x 在(1,)-+∞上单调递增，求b 的取值范围；1．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()1sin x x f x e x e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中e 是自然对数的底数，则下列说法正确的是（）．A ．()f x 是偶函数B ．2π是()f x 的周期C ．()f x 在()π,0-上单调递减D ．()f x 在()π,π-上有3个极值点2．（2021·辽宁丹东市·高三二模）设函数()323334f x x ax ax a =-++，已知()f x 的极大值与极小值之和为()g a ，则()g a 的值域为______．3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知,a b ∈R ，若关于x 的不等式2ln 0x a x a b -+-≥恒成立，则ab 的最大值为_______．4．（2021·全国高三月考（文））已知函数()()e sin x f x x ax a =-∈R ，()e cos xg x x =.（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()F x f x g x =-在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点，求实数a 的取值范围.5．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()()ln x a f x a x +=+，()0,x ∈+∞.（1）当0a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极大值M ，证明：12M e≤<.练提升6．（2021·河南郑州市·高三二模（理））已知函数()ln x f x xe a x e =--．（1）当2a e =时，不等式()f x mx m ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若0a >，()f x 最小值为()g a ，求()g a 的最大值以及此时a 的值．7．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））已知函数()32111323f x x mx =-+.（1）求曲线()y f x =上一点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程；（2）当()0,2m ∈时，()f x 在区间[]0,1的最大值记为()H m ，最小值记为()h m ，设()()()G m H m h m =-，求()G m 的最小值.8.（2021·成都七中实验学校高三三模（文））已知函数()()11ln ,(ln )m f x x m x g x x x x x=--=+-，其中0,x m R >∈.（1）若函数()f x 无极值，求m 的取值范围；（2）当m 取（1）中的最大值时，求函数()g x 的最小值.9．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知函数()sin cos =-f x x x x（1）当[0,2]x πÎ时，求()f x 的最大值；（2）若[0,]x π∈时，()sin f x ax x -…恒成立，求实数a 的取值范围.10．（2022·河南高三月考（理））已知函数(3)e ()xx f x x-=.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）假设函数()()(0)a g x f x x x=+>有两个极值点.①求实数a 的取值范围；②若函数()g x 的极大值小于整数m ，求m 的最小值.1．（2021·全国高考真题）函数()212ln f x x x =--的最小值为______.2．（2020·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221()362x y +-=上练真题的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．3．（2020·北京高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．4．（2017·北京高考真题（理））已知函数f (x )=e x cos x ―x ．（Ⅰ）求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值和最小值．5.（2018·全国高考真题（理））已知函数f (x )=(2+x +ax 2)ln (1+x )―2x ．（1）若a =0，证明：当―1<x <0时，f (x )<0；当x >0时，f (x )>0；（2）若x =0是f (x )的极大值点，求a ．6．（2019·江苏高考真题）设函数，为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和的零点均在集合中，求f （x ）的极小值；（3）若，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤．()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈()f 'x ()f 'x {3,1,3}-0,01,1a b c =<= (427)。

完整版)导数与极值、最值练习题

完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。

二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。

题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。

B。

C。

D。

7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。

高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学导数的应用——极值)全(与最值专项训练题．高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题123)和，．函数y＝ax则＋bx(取得极大值和极小值时的x的值分别为0130 b＝2a－2b＝0B．A．a－0 ＝＋2b D．a2C．a＋b＝0 D答案 2bx，据题意，＋2ax＝3y解析′1 的两根bx＝0是方程3ax＋22、031b20.＝＋2＝∴，∴a3a3x) x＝(2．当函数y＝x·2取极小值时，11 B．－ A ln2ln2ln2 D．．－ln2 C B答案2·＝2＋x得y′xxx ln22·解析由y＝x·2得y′＝0令x0＝＋x·ln2)(11＝－，∴x∵2＞0x ln23) (0,1)内有极小值，则(3bx＋3bx3．函数f(x)＝在－1＜B．b0＜b＜1 ．A1C．b＞0 D．b 2答案 A－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)2x＝3′则f(x)(解析fx)在(0,1)内有极小值，＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜14．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案B解析x>－1时，f′(x)>0)<0x(′f时，1－<x为极小值＝－1单减，在(－1，＋∞)单增，∴x∞∴连续函数f(x)在(－，－1) 点．3x2)－3x－4在[0,2]上的最小值是5．函数y＝＋x(31017 ．－B．－A336 4 D．－C．－3A答案3.2x－＋2x＝解析y′＝1为极值点．，x＝－3或x＝令y′＝x＋2x－302时，函数取得极＝1时，y′>0，所以当x时，当x∈[0,1]y′<0.当x∈[1,2] 小值，也为最小值．17＝－y∴当x＝1时. min3)(x)的图象，如右图所示，则(．函数6f(x)的导函数f′是最小值点．x ＝1A 是极小值点．x＝0B x．＝2是极小值点C )在(1,2)上单增D．函数f(x C 答案2为极大值点，x＝xx＝2为两极值点，＝0x解析由导数图象可知，＝0，C. 为极小值点，选71322)与f(－1)的大小关系为(x－，则f(－a)．已知函数7f(x＝x－x)222)≤f(－－A．f(a1)2)<f(－f(－a1) B．2)≥f(－(C．f－a1)2的大小关系不确定1)－(f与)a－(f．D．A答案73－x－22.x＝由题意可得f′(x)解析2271＝由f′x)(.＝1＝－或xx＋1)＝0，得x(3x－7)(327是函1)f(－时，f(x)为减函数．所以(当x<－1时，fx)为增函数；当－1<x<3a0]上的最大值，又因为－在x)(－∞，数f(22．)≤f(－≤0，故f(－a1) )－x·xe8．函数f(x)＝，则(A．仅有极小值e2 ．仅有极大值Be21 ，极大值C．有极小值0e2 ．以上皆不正确D B 答案x21－11e＝xxxx－－－－.·x＝＋·eex)＝－e(－x·(解析f′x2x22x1＝，得xx)＝0令f′(.21 x)<0f′(；当x时，21)>0.′(时，fx当x21111＝时取极大值，xf(.)·222ee2 二、填空题2＝b＝1和x＝2处有极值，则a＝________bx9．若y ＝alnx＋，＋x在x________.1 答案－63a1.bx＋＋2＝′解析y2??01＝＋2b＋a＝－a?3??，解得由已知 a10＋4b＋1＝???＝－b26123取得极)时，函数2f(x，c(bc为常数)．当x＝x10．已知函数f()＝x－bx＋3________的取值范围为)只有三个零点，则实数cf值，若函数(x4 <0<c答案31－bx ＋c，∴f′(x)＝x－2bx，∵x＝2时，f(x)取得极值，∴223x(∵解析f)x＝3．1.0，解得b＝－2b×2＝22单)(x∞∈(－，0) 或x∈(2，＋∞)时，f∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x 调递增．个实根，有3若f(x)＝0?>0c0f??＝4?<c，解得则0 13，<0－2＋c232×f?2?＝?3x的取值范有大于零的极值点，则y＝em＋2mx(x∈R)11．设m∈R，若函数围是________． m<－答案2＝＋2mx∈R)有大于零的极值点，所以y′＝e2＋mx(xx e＝因为函数y解析，则两曲线的交点必在第一象限．由图2m，y＝－x e有大于0的实根．令y＝0211－，即m<象可得－2m>1.223，则极小值为x轴相切于－px(1,0)－qx的图象与xf12．已知函数(x)＝________．0答案，－2px－q2x＝3解析f′(x)0. ＝(1)＝3－2p－q由题知f′ 01－p－q ＝，又f(1)＝1. 联立方程组，解得p＝2，q＝－1. x＋x－43x－2x＋x，f′(x)＝＝∴f(x)232，1＝0xf′(x)＝3－4x＋由21，或x＝1解得x＝3 是函数的极小值点，x＝1经检验知0. ＝f(1)x∴f()＝极小值三、解答题的单调区间与极)fx＜2π，求函数(x＋＝13．设函数f(x)sinx－cosx＋x1,0＜值． x＜2π，＜xf(x)＝sin－cosx＋x＋1,0解析由，＋1＋f知′(x)＝cosxsinxπ＋2sin(1于是f′(x)＝x)．4ππ23＝x＝xπ，或sin()f令′(x＝0，从而x＋，得.＝－)422 的变化情况如下表：)x(f，)x(′f变化时，x当．π3π33π (0x，π) π () π (，2π，)222 －＋＋ 0 0f′(x)3 单调递增 f)(x 单调递减＋2 单调递增ππ2π3，π，单调递减区间是(，因此，由上表知f(x)的单调递增区间是(0，π)与(2π)2π3π3π32. ＋)＝π，极大值为f(π＝)f)，极小值为22223.214．设函数f(x)＝6x＋＋3(a2)xax＋的值；，(1)若f(x)的两个极值点为xx，且xx＝1，求实数a2211上的单调函数？若存在，求出是否存在实数(2)a，使得f(x)是(－∞，＋∞) a的值；若不存在，说明理由．.2a＋6(a＋2)x＋2x18)′(x＝解析fa2 ＝1，所以a＝9；＝(1)由已知有f′(x)＝f′(x)xx＝0，从而221118 4)>0，36(a＋a－4×18×2＝222)＋36(a(2)由于Δ＝上的单调函数．，＋∞)是所以不存在实数a，使得f(x)(－∞2为常数．3)，其中15．已知定义在R上的函数xf()＝xa(ax－的值；)的一个极值点，求＝(1)若x1是函数af(x 上是增函数，求a的取值范围．x(2)若函数f()在区间(－1,0) －2)．－3x，f′(x)＝3ax－6x＝3x(ax223ax)(1)f(x＝解析2.＝a∵x＝1是f(x)的一个极值点，∴f′(1)＝0，∴符0在区间(－1,0)上是增函数，∴a＝2x3)＝－时，f(x＝(2)解法一①当a0 合题意；22－(x②当aax ≠0时，f′(x)＝3. ＝＝)，令f′(x)＝0得：x0，x21aa －(1,0)，f′(x)>0，∴a>0符合题意；当a>0时，对任意x∈22，∴时，f′(∈，0)x)>0a当<0时，当x －1，∴－≤≤a<0符合题意；aa2.≥综上所述，a－2≥a，6≤0∴上恒成立，6－x≥0在区间(－1,0)∴3ax－2ax)＝3(解法二f′xx222.a≥－，∴(在区间－1,0)上恒成立，＝－<x1－2.x(x)＝－x＋ax＋1－ln．已知函数16f1 )在a上是减函数，求的取值范围；(0)((1)若fx2若不a是否既有极大值又有极小值？若存在，求出的取值范围；x(2)函数f() 存在，请说明理由．111，(0在xf，∵()时－x′(1)解析f())，∈－ax2＝－＋x 上为减函数，∴(0)x22．11 恒成立．＋xa<2<02x ＋a －恒成立，即xx1111－＝2′(x)设g(x)＝2x ＋，则g 在)g(x ′.∵x ∈(0，)时>4，∴g(x)<0，∴22xx2x113.，∴()＝3a ≤(0，)上单调递减，g(x)>g22必须有两个不等的正实数根′(x)＝0(2)若f(x)既有极大值又有极小值，则f有两个不等的正实数根．1＝0＋－ax 2x2x ，x ，即21 >0Δ? 8>0－??2a 应满足故a ?? 2?>2?a 时，>22，∴当a>0??>0a2? x)＝0有两个不等的实数根，f ′( x<x ，不妨设2121＝－1)＝－－ax ＋由f ′(x)2，)<0(x<x －x)(x －x)知，0<(2xxx 时f ′(112xx ，x ′(x)>0，x>x 时f ′()<0时x<x<xf 212 ．(x)既有极大值fx)又有极小值f(x)∴当2>2时f(12 12,0)－∈(a)，当xln∈y1. 已知＝f(x)是奇函数，当x(0,2)时，f(x)＝x－ax(2 ．a1，则的值等于________f时，(x)的最小值为1答案上的最大值为－1，f解析∵f(x)是奇函数，∴(x)在(0,2)11110<>，∴得(x)＝0x，又a，令＝′∈当x(0,2)时，f(x)－af′<2.axa211，(0f(x)在<x令f′()>0，则x，∴ )上递增；aa11 上递减，()(，∴>，则x′令f()<0xfx在2)，aa11111.＝0，得a∴f(x)＝f(－a·＝－1，∴ln＝ln＝)max aaaa23＝＝2x2＋3ax时取得极值．＋3bx＋8c在x＝1及x(2．设函数fx) 、b的值；(1)求a2 c(2)若对任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c的取值范围．成立，求，ax＋6＋3b2x ＝6解(1)f′(x)时取得极值，因为函数f(x)在x ＝1及x ＝2 0则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝， ?，0b ＝6a ＋36＋?4. ＝，b 解得a ＝－3即??0.b ＝3＋12a ＋24? ，x ＋8c －9x ＋1223x2(2)由(1)可知，f(x)＝ x －2)．x ＋12＝6(x －1)(－182xx6)＝f ′( ；x)<0∈；当x(1,2)时，f ′(当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0)>0.(x ′当x ∈(2,3)时，f. c ＝)取得极大值f(1)5＋8所以，当x ＝1时，f(x ，f(3)＝9＋8c 又f(0)＝8c ，. (3)＝9＋8cf 则当x ∈[0,3]时，f(x)的最大值为 f(xc 恒成立，)<因为对于任意的x ∈[0,3]，有2>9.c －<1或所以9＋8c<c ，解得c 2 ∞，＋)．因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9231. x3．已知函数f(x)＝x ＋－3ax ＋3 )的单调区间；(1)设a ＝2，求f(x 的取值范围．(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a －2x2－－3)(，f′(x)＝3(x＋－6x3x＋123xa＝)＝x2时，f((1)解析当 3)． 3)∞，2上单调增加；f(x)在(－－当x∈(∞，2f3)时′(x)＞0 (x)在(2上单调减少；3，23)x当∈(2)3，23)时f′(x＜0，f 上单调增加．x)在(2，＋3∞)(′当x∈(23，＋∞)时f(x)＞0，f的单调减区x)3，＋∞)，fx综上，f()的单调增区间是(－∞，23)和(2( ＋(3)3，2．间是a1－＋22])((2)f′x)＝3[(x－a．a－当12x)无极值点；(0≥，f(x)为增函数，故f(0≥时，f′x) 有两个根，x′()＝0时，a当1－＜0f21.－＋a，－1＝xa22a＝xa－21，①3aa2由题意知，＜－＜1－2．②1＜或2＜a3.＋a－255＜①式无解．②式的解为＜a.3455，的取值范围是(因此a )．34，axf()在区间[为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝＝1．“我们称使f(x)0的x上]在区间[a，b(b)<0，则函数y＝f(x)b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f2，2x－＝6ln(x＋1)－x1＋f有唯一的零点”．对于函数(x) 在其定义域内的单调性，并求出函数极值．f(x)(1)讨论函数[2，＋∞)内只有一个零点．)(2)证明连续函数f(x在∞)，，＋x－1定义域为(－1＋22x－＋1)6ln((1)解：f(x)＝x解析2x－286).舍去x0?＝2(－－2x＋2，f′(x)＝＝且f′(x)11xx＋)，＋(1,2x取得极大值 f(x)由表可知，f(x)值在区间(－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减，又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0，故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x 在定义域内只有一个零点．1－x2＋2．．>0)＋ax(a江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)2．(2010·的单调区间；f(x)(1)当a＝1时，求1 a的值．在(0,1]上的最大值为，求(2)若f(x)2 (0,2)，x)的定义域为解析函数f(11.－＋a＝x)f′(xx2－2＋－x2，单调x)的单调递增区间为(2，所以f(＝x)＝1时，f′((1)当a?xx?2－，2)递减区间为2x22－，＋a>0＝)′(x当x∈(0,1]时，f(2)?x?2－x1即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.232＋9x＋3xa(3．已知函数fx)＝－x. ＋(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.＋6x＋9. 2x3(1)f′(x)＝－解令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x＋3x＋9x－2. 23∴f(－1)＝a－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.．)R∈x(xe＝)x(f．已知函数4．－x的单调区间和极值；(1)求函数f(x)对称．证明x)的图象关于直线x＝1已知函数(2)y＝g(x)的图象与函数y＝f( ＞g(x)；当x＞1时，f(x)2.)，证明x＋x＞≠x，且f(x)＝f(x(3)如果x212211x－. x)e(1)解析f′(x)＝(1－1.＝0，解得x＝令f′(x)的变化情况如下表x当变化时)1(，＋x－∞x极大值f(x)内是减函数．内是增函数，在(1，＋∞)f(x)在(－∞，1)所以1＝(1)处取得极大值f(1)，且f函数f(x)在x＝1. e2x－. )e()，得gx)＝(2－x(2)由题意可知g(x)＝f(2－x ，x－2)e，即F(x)＝xe＋(令F(x)＝f(x)－g(x)x－2x－e－－1)(e1)F′(x)＝(x于是x－22x－.从而x)＞0.，又e＞0.所以F′(x＞1时，2x－2＞0，从而e－1＞0当x－22x －，＋∞)上是增函数．函数F(x)在[1 x)．f(x)＞g(x＞1时，有F(x)＞F(1)＝0，即＝又F(1)＝e－e0，所以11－－矛≠x，与x＝x＝1x，由(1)及f(x)＝f(x)，得x(3)①若(－1)(x－1)＝021221211盾． x矛盾．＝x，与x≠x及f(x)＝f()，得x－②若(x－1)(x1)＞0，由(1)212111221.＞＜，不妨设x1，x根据①②得(x－1)(x－1)＜02211)(xx)，从而f，所以f(x)＞f(2－xf(x＞)g(x)，g(x)＝f(2－)(2)由可知，12222221)，在区间(－∞1，又由(1)可知函数f(x)＞＞f(2－x)，因为x1，所以2－x＜2222. ＞，即x＋x内是增函数，所以x＞2－x22113223.x－1)g(x)＝5．已知函数f(x)＝ax－ax3(，函数2 x)的公共单调区间；(x)和g((1)当a>0时，求f )的极小值；(x)－gx当a>2时，求函数h(x)＝f((2) )的解的个数．)＝g(x(3)讨论方程f(x，x>1x<0或x>0，由f′()>0得1)3－ax＝3ax(x－，又a2ax(′x)＝(1)解f3f′(x)<0得0<x<1，即函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)由，单调递减区间是(0,1)，而函数g(x)的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．32－－3(x－1)，h′(x)＝3ax－3(a＋2)x＋6＝3a(x－2322)((2)ax＝x(h)xax－a2．22由于，x＝1或的极小值点，(x)易知(1)，令h′x)＝0，得x＝x＝1为函数h<1，aaa＝－(1))的极小值为h∴h(x.23 ，－3＋－6x23xφ((a＋x)＝ax2)gx)＝f(x)－((3)令22－xa(x＋6＝3－3(a＋2)2ax＝3φ′(x) ，－1))(xa轴只有一个交点，即方xxφ()的图象与＝①若a0，则φ(x)＝－3(x－1)，∴2只有一个解；g(x)程f(x)＝6a42－x)的极大值为φ(1)＝－＋②若a<0，则φ(＝－)的极小值为φ(>0，φ(x)2aaa2 3<0，g(x)有三个解；的图象与φ(x)x轴有三个交点，即方程f(x)＝∴a＝－x)的极大值为φ(1)③若0<a<2，则φ(轴只有一个x)的图象与x∴<0，φ(2 只有一个解；x)(交点，即方程f(x)＝g1)x－6(，则φ′(x)＝2④若a＝2轴只x))单调递增，∴φ(x的图象与φ≥0，(x 只有一个解；＝g(x))有一个交点，即方程f(x3231⑤若a>2，由(2)知φ(x)的极大值为φ－－<0，∴φ(4)＝－))的图象与aa44x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解．afxgxafxgx)＝只有一个解；若，方程综上知，若≥0()＝()<0，方程()( 有三个解．。

高三数学利用导数求最值和极值试题

高三数学利用导数求最值和极值试题1.对于三次函数。

定义：（1）设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；定义：（2）设为常数，若定义在上的函数对于定义域内的一切实数，都有成立，则函数的图象关于点对称。

己知，请回答下列问题：（1）求函数的“拐点”的坐标（2）检验函数的图象是否关于“拐点”对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）（3）写出一个三次函数，使得它的“拐点”是（不要过程）【答案】（1）“拐点”坐标是;（2）一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.（3）或.【解析】（1）依题意，计算，.由，得，再据，可得“拐点”坐标是.（2）由(1)知“拐点”坐标是.根据定义（2），考查===，作出结论：一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心.或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数.（3）根据（2）写出或写出一个具体的函数,如或.试题解析：（1）依题意，得：，。

2分由，即。

∴，又，∴的“拐点”坐标是.。

4分（2）由(1)知“拐点”坐标是.而===，由定义(2)知：关于点对称。

8分一般地，三次函数的“拐点”是，它就是的对称中心. 10分（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数）都可以给分（3）或写出一个具体的函数,如或. 12分【考点】新定义问题，导数的计算，函数图象的对称性.2.若函数f(x)＝x3－3x在(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A．(－，1)B．[－，1)C．[－2,1)D．(－2,1)【答案】C【解析】f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以f(x)的大致图象如图所示，f(1)＝－2，f(－2)＝－2，若函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则，解得－2≤a<1.3.（5分）（2011•福建）若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于（）A．2B．3C．6D．9【答案】D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．4.函数y＝x＋sinx，x∈[0，2π]的值域为________．【答案】[0，2π]【解析】由y′＝1＋cosx≥0，所以函数y＝x＋sinx在[0，2π]上是单调增函数，所以值域为[0，2π]．5.若函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为.【答案】6【解析】x=2是f(x)的极大值点,f(x)=x(x2-2cx+c2)=x3-2cx2+c2x,∴f'(x)=3x2-4cx+c2,∴f'(2)=3×4-8c+c2=0,解得c=2或c=6,当c=2时,不能取极大值,∴c=6.【误区警示】本题易出现由f'(2)=0求出c后,不验证是否能够取到极大值这一条件,导致产生增根. 6.设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)()．A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝，得f ′(x )＝，令g (x )＝e x －2x 2f (x )，x ＞0，则g ′(x )＝e x－2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2·＝.令g ′(x )＝0，得x ＝2.当x ＞2时，g ′(x )＞0；0＜x ＜2时，g ′(x )＜0，∴g (x )在x ＝2时有最小值g (2)＝e 2－8f (2)＝0，从而当x ＞0时，f ′(x )≥0，则f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )无极大值，也无极小值．7. 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB= α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角α．【答案】（1）=80+60tanα;（2）,.【解析】（1）过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF="α," 故有，，,化简即可；（2），利用导数求出的最大值和相应的角度即可.试题解析：（1）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得∠MEF=α，故有，，， 3分所以=80+ 60tanα（其中8分（2）W．设，则． 11分令得，即，得．列表所以当时有，此时有． 14分答：铺设水管的最小费用为万元，相应的角． 16分【考点】函数模型的应用、利用导数求函数极值、三角函数综合.8.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．9.已知函数f(x)＝cos x＋x，x∈，sinx0＝，x∈，那么下面命题中真命题的序号是________①f(x)的最大值为f(x0)；②f(x)的最小值为f(x)；③f(x)在上是增函数；④f(x)在上是增函数【答案】①③【解析】，令，得，又在x∈时，单调递增，故当时，，，递增；时，，，递减，所以当函数取到最大值.【考点】1、利用导数求函数的最大值；2、利用导数研究函数的单调性.10.设函数，．（1）记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）若，对任意的，不等式恒成立，求m（m∈Z，m1）的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先由已知条件将不等式转化为它在上有解等价于，再利用导数求函数的最小值；（2）由已知时，对任意的，不等式恒成立，等价变形为在上恒成立，为此只需构造函数，只要证明函数在上单调递增即可．试题解析：（1）不等式即为化简得由知，因而设由当时在上恒成立．由不等式有解，可得知即实数的取值范围是（2）当．由恒成立，得恒成立．设，由题意知，故当时函数单调递增，恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．由此可得，故，结合已知条件，，可得．【考点】1．导数的应用；2．恒成立问题中的参数取值范围问题．11.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式其中为常数．己知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得利润最大．【答案】（1）；（2）【解析】（1）商品每日的销售量与销售价格满足的关系中，只含有一个参数，所以只需一个条件即可，已知，代入解析式，可求；（2）利用函数思想，列利润关于销售价格的函数解析式，再求其最大值，利润=（每千克商品的利润）(每日销售量). 试题解析：（1）∵时，，，∴；（2）销售利润=2+∴于是，当变化时，，的变化情况如下表，由表知，是函数在区间内的极大值点，亦是最大值点，所以当时，函教取得最大值，且最大值为42.【考点】1、函数的应用；2、利用导数求函数的最值.12.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.13.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.14.已知函数在处取得极大值，则的值为 .【答案】.【解析】，，依题意知，于是有，，整理得，解得或.①当时，，此时，此时函数在处取得极小值，不合乎题意！②当时，，此时，此时函数在处取得极大值，合乎题意！故.【考点】函数的极值15.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值16.已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）若函数有两个不同的极值点、且，求实数的取值范围．【答案】（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.【解析】（1）先求出函数在上的单调区间，并求出相应的极小值点，然后就极小值点是否在区间内进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，从而求出最小值；（2）将函数在定义域上有两个极值点等价转化为导函数方程在定义域上有两个不等的实根，借助参数分离法先求出当函数有两个极值点时，的取值范围，然后求出当时的取值，利用图象的特点即可以得到当时，参数的取值范围.试题解析：（1），所以，令，解得，列表如下：极小值①当时，即当时，则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，亦即最小值，即；②当时，函数在区间上单调递增，此时函数在处取得最小值，即，综上所述；（2），所以，函数有两个极值点、，等价于方程有两个不等的正实根，令，则，令，解得，列表如下：极小值增故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，由图象知，当时，方程有两个不相等的正实根、，考查当时，的取值，由题意知，两式相减得，所以，故，所以，，所以，此时，故当的取值范围是时，.【考点】1.函数的单调区间；2.函数的极值与最值；3.函数的零点个数17.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（）A．当时，，B．当时，，C．当时，，D．当时，，【答案】B【解析】函数求导，得：，得两个极值点：因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：因此，可知，，只有B符合..【考点】导数的应用.18.设函数有三个零点，且则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求导数，令，解得故+0—0+又因为由图可知，.【考点】考查函数的零点.19.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.20.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：-+-由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。

导数练习二(极值与最值)(有答案)

导数练习二（极值、最值）班级：姓名：一、求下列函数的导数（1）)3)(2)(1()(+++=x x x x f （2）x x x f =)(（3）xx x x f sin cos 2cos )(-= （4）x e x f x 4cos )(2=（5）2)35ln()(+=x x f 二、切线方程问题1、经过（-1,1）且与x x y 23-=相切的直线方程为：2、经过（0,16）且与x x y 33-=相切的直线方程为：3、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则=+b a 4点p 在41xy e =+上，α为曲线在点p 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是：5、曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为：三、原函数与导函数的图像关系 1、如果函数()y f x =的图象如右图，那么导函数()y f x '=的图象可能是（）2、已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（）D3、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个四、极值与最值的应用 1、不等式类型：（1）求证：1+≥x e x（2）若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围（29，+∞）________ ．（3）设a ＞0，函数，若对任意的x 1，x 2∈[1，e ]，都有f （x 1）≥g （x 2）成立，则a 的取值范围为 [e ﹣2，+∞）_________ ．2、设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值3、已知函数c bx ax x x f +++=23)(在32-=x 与1=x 时都取得极值。

高三数学利用导数求最值和极值试题

高三数学利用导数求最值和极值试题1.已知函数（1）若是的极值点，求的极大值；（2）求实数的范围，使得恒成立.【答案】（1）极大值为;（2）综上所述：时，恒成立．【解析】（1）通过“求导数、求驻点、讨论驻点附近导数值的符号、确定极值”，“表解法”形象直观；（2）应用转化与化归思想.要使得恒成立，即时，恒成立；构造函数，应用导数研究函数的最值，注意分以下情况：（ⅰ）当时，（ii）当时，（iii）当时，（iv）当a>1时，综上所述：时，恒成立．试题解析：（1）是的极值点解得 2分当时，当变化时，+4分的极大值为 6分（2）要使得恒成立，即时，恒成立 8分设，则（ⅰ）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，得 10分（ii）当时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时，不合题意． 10分（iii）当时，在上单增，不合题意． 12分（iv）当a>1时，由得单减区间为，由得单增区间为，此时不合题意． 13分综上所述：时，恒成立． 14分【考点】1.应用导数研究函数的单调性、极（最）值，2.应用导数证明不等式3.转化与化归思想.2.设函数在处取极值，则= ．【答案】2.【解析】因为，又函数在处取极值，所以，从而．【考点】１．函数导数的求法；２．三角恒等变形公式．3.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)．4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(2－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)B．函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(2)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)D．函数f(x)有极大值f(－1)和极小值f(2)【答案】A【解析】由函数y＝(2－x)f′(x)的图像可知，方程f′(x)＝0有两个实根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函数f(x)有极大值f(1)和极小值f(－1)．5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．【答案】(，2)【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2.7.设函数f(x)满足x2f′(x)＋2xf(x)＝，f(2)＝，则x＞0时，f(x)()．A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】由x2f′(x)＋2xf(x)＝，得f′(x)＝，令g(x)＝e x－2x2f(x)，x＞0，则g′(x)＝e x－2x2f′(x)－4xf(x)＝e x－2·＝.令g′(x)＝0，得x＝2.当x＞2时，g′(x)＞0；0＜x＜2时，g′(x)＜0，∴g(x)在x＝2时有最小值g(2)＝e2－8f(2)＝0，从而当x＞0时，f′(x)≥0，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值．8.设函数f(x)＝＋ln x，则()．A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点【答案】D【解析】∵f(x)＝＋ln x(x>0)，∴f′(x)＝－＋，由f′(x)＝0解得x＝2.当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．x＝2为f(x)的极小值点．9.函数不存在极值点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意，，要函数无极值点，则，解得.【考点】函数的极值.10.若函数满足：在定义域内存在实数，使(k为常数)，则称“f（x）关于k可线性分解”．（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数关于可线性分解，求的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：．【答案】（Ⅰ）是关于1可线性分解；（Ⅱ）a的取值范围是；（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）函数是否关于1可线性分解，关键是看是否存在使得成立，若成立，是关于1可线性分解，否则不是关于1可线性分解，故看是否有解，构造函数，看它是否有零点，而，观察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先确定定义域为，函数关于可线性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，从而求出的取值范围；（Ⅲ）证明不等式：，当时，，对求导，判断最大值为，可得，分别令，叠加可得证结论．试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是R，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数，使得．构造函数．∵，且在上是连续的，∴在上至少存在一个零点．即存在，使． 4分（Ⅱ）的定义域为．由已知，存在，使．即．整理，得，即．∴，所以．由且，得．∴a的取值范围是． 9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．当时，，所以的单调递增区间是，当时，，所以的单调递减区间是，因此时，的最大值为，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．１４分【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．11.设函数在内有意义．对于给定的正数，已知函数，取函数．若对任意的，恒有，则的最小值为 .【答案】.【解析】由于，且对任意的，恒有，则不等式在上恒成立，，，令，当时，，当，，故函数在处取得极大值，亦即最大值，即，所以，即实数的最小值为.【考点】1.函数不等式恒成立；2.利用导数求函数的最值12.已知函数只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．∪C．D．∪【答案】B【解析】求导得：，所以的极大值为，极小值为.因为该函数只有一个零点，所以或，所以，选B.【考点】1、导数的应用；2、函数的零点；3、解不等式.13.已知函数，（1）求函数的极值点；（2）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（3）设函数，其中，求函数在上的最小值（其中为自然对数的底数）.【答案】（1）是函数的极小值点，极大值点不存在；（2）；（3）当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.【解析】（1）先求函数的定义域，再按用导数法求极值的步骤求解；（2）设切点的坐标，用点斜式写出切线的方程，由点在切线上求出切点的横坐标，从而求得切线的方程；（3）.试题解析：（1），，，令，则.当，，，，故是函数的极小值点，极大值点不存在.（2）由直线过点，并且与曲线相切，而不在的图象上，设切点为，直线的斜率，方程为，又在直线上，，解得，故直线的方程为.（3）依题意，，，，令，则，所以当，，单调递减；，，单调递增；又，所以①当，即时，的极小值为；②当，即时，的极小值为；③当，即时，的极小值为.故①当时，的最小值为0；②当时，的最小值为；③当时，的最小值为.【考点】用导数法求函数的极值，最值.14.已知函数 .（1）若的极小值为1，求a的值.（2）若对任意，都有成立，求a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）先求导，利用导数的性质求出存在极小值的条件，然后求解即可；（2）利用导数的求出函数的单调性，然后在求出函数在上的极小值，可得极小值大于等于1，解之即可.试题解析：（1）因为，所以当a≤0时，，所以在定义域（0，+∞上单调递减，不存在极小值；当a>0时，令，可得，当时，有，单调递减；当时，由，单调递增，所以是函数的极小值点，故函数的极小值为，解得. （2）由（1）可知，当a≤0时，在定义域（0，+∞上单调递减，且在x=0附近趋于正无穷大，而，由零点存在定理可知函数在（0,1]内存在一个零点，不恒成立；当a>0时，若恒成立，则，即a≥1，结合（1）a≥1时，函数在（0,1]内先减后增，要使恒成立，则的极小值大于或等于1成立，所以即，可得，综上可得.【考点】1.求函数的导数和利用导数求函数的单调性；（2）利用导数由不等式恒成立问题求出参数.15.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.16.已知函数，当时取得极小值，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得，当；当；当，故在处取得最小值，即，则，所以，故选D.【考点】导数的极值点求法，导数的极值求解.17.已知函数在处取得极大值，则的值为（）A．B．－C．－2或一D．不存在【答案】B【解析】：∵，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b－a2－7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=－2，b=1或a=－6，b=9．当a=－2，b=1时，f′（x）=3x2－4x+1=（3x－1）（x－1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=-6，b=9时，f′（x）=3x2－12x+9=3（x－1）（x－3），当x＜1时，f′（x）＞0，当＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=－，故选B。

高考数学复习专题训练—利用导数研究函数的单调性、极值与最值(含解析)

高考数学真题演练—利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+ln x在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=3xe x,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减C.有极大值3e,无极小值D.有极小值3e,无极大值4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k>0)和曲线f(x)=x-a ln x(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=() A.5 B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.π4B.π2C.2π3D.5π67.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=sinxe x+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为() A.y=x-1 B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f (x )的极大值为0B.曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线为x 轴C.f (x )的最小值为0D.f (x )在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e 是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是( ) A.ln 2>2e B.ln 3<3e C.ln π>πeD.ln3ln π<3π10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f (x )={2x +2,-2≤x ≤1,lnx -1,1<x ≤e ,若关于x 的方程f (x )=m 恰有两个不同的根x 1,x 2(x 1<x 2),则(x 2-x 1)f (x 2)的取值可能是( ) A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切,则a= . 12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a 的一个取值范围 ,使函数f (x )=sinx -ae x有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f (x )=e x -2x ,直线y=ax+b 是曲线y=f (x )的切线,则2a+b 的最大值是 .四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f (x )=ax 2+bx+c e x 的单调递增区间是[0,1],极大值是3e. (1)求曲线y=f (x )在点(-1,f (-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x 0,使得f (x 0)=1,求f (x )在区间(-∞,m ](m>0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f (x )=a e x -x-1(a ∈R ),g (x )=x 2. (1)讨论函数f (x )的单调性;(2)当a>0时,若曲线C 1:y 1=f (x )+x+1与曲线C 2:y 2=g (x )存在唯一的公切线,求实数a 的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f (x )=a 2ln x-12ax 2-(a 2-a )x (a ≠0). (1)当a=1时,求f (x )的单调区间;(2)若函数f (x )在x=1处取得极大值,求实数a 的取值范围.答案与解析1.C 解析因为f (x )=(x-a )3-3x+b ,所以f'(x )=3(x-a )2-3,令f'(x )=3(x-a )2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f (a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b ,极小值m=f (a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b ,因此M-m=4.故选C .2.B 解析依题意f'(x )=2x-a+1x ≥0在区间(1,e)上恒成立,即a ≤2x+1x 在区间(1,e)上恒成立,令g (x )=2x+1x (1<x<e),则g'(x )=2-1x 2=2x 2-1x 2=(√2x+1)(√2x -1)x 2>0,所以g (x )在区间(1,e)上单调递增,而g (1)=3,所以a ≤3,即实数a 的取值范围是(-∞,3].故选B .3.C 解析由题意得函数f (x )的定义域为R ,f'(x )=3(1-x )e x .令f'(x )=0,得x=1,当x<1时,f'(x )>0,f (x )单调递增;当x>1时,f'(x )<0,f (x )单调递减,故f (1)是函数f (x )的极大值,也是最大值,且f (1)=3e ,函数f (x )无极小值.故选C .4.A 解析设直线y=kx (k>0)与曲线f (x )=x-a ln x (a ≠0)相切于点P (x 0,x 0-a ln x 0)(x 0>0).由题意得,f'(x )=1-ax ,则以P 为切点的切线方程为y-x 0+a ln x 0=1-ax 0(x-x 0),因为该切线过原点,所以-x 0+a ln x 0=1-ax 0(-x 0),因此ln x 0=1,即x 0=e,所以k=1-ae >0,得a<e,又a ≠0,故实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A .5.A 解析 f'(x )=6x 2+6mx+2n.因为f (x )在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{f '(1)=0,f (1)=6,即{6+6m +2n =0,2+3m +2n +m 2=6,解得{m =5,n =-18或{m =-2,n =3.当m=5,n=-18时,f'(x )=6x 2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f (x )在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f (x )在x=1处取得极小值,且极小值为f (1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x )=6x 2-12x+6=6(x-1)2≥0,则f (x )在R 上单调递增,f (x )无极值. 综上可得,m=5,n=-18. 6.C 解析如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sin x (x ∈[0,π])在点P 处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sin x 求导得y'=-cos x ,令y'=12,可得cos x=-12,由于0≤x ≤π,所以x=2π3.故选C . 7.C 解析由题得y'=cosx ·e x -sinx ·e x(e x )2=cosx -sinxe x. 设切点为(x 0,y 0)(x 0≥0),则y'|x=x 0=cos x 0-sin x 0e x 0,由y'|x=x 0=1,得e x 0=cos x 0-sin x 0.令f (x )=e x -cos x+sin x (x ≥0),则f'(x )=e x +sin x+cos x=e x +√2sin x+π4,当0≤x<1时,f'(x )>0,当x ≥1时,e x ≥e,√2sin (x +π4)≥-√2,f'(x )>0,所以∀x ≥0,f'(x )>0,所以f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,则f (x )≥f (0)=0,所以方程e x 0=cos x 0-sin x 0只有一个实根x 0=0,所以y 0=sin0e 0+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1. 8.BC 解析函数f (x )=x 3-3ln x-1的定义域为(0,+∞),f'(x )=3x 2-3x =3x (x 3-1).令f'(x )=3x (x 3-1)=0,得x=1,列表得:所以f (x )的极小值,也是最小值为f (1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C 正确,A,D 错误;对于B,由f (1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B 正确,故选BC .9.ACD 解析令f (x )=ln x-xe ,x>0,则f'(x )=1x −1e ,令f'(x )=0,得x=e,当0<x<e 时,f'(x )>0,当x>e 时,f'(x )<0,所以f (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f (x )max =f (e)=ln e -ee =0,则f (2)=ln 2-2e <0得ln 2<2e ,故A 错误;f (3)=ln 3-3e <0得ln 3<3e ,故B 正确;f (π)=ln π-πe <0得ln π<πe ,故C 错误;对于D 项,令g (x )=lnxx ,x>0,则g'(x )=1-lnxx 2,当0<x<e 时,g'(x )>0,当x>e 时,g'(x )<0,所以g (x )在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g (3)>g (π),得ln33>ln ππ,即ln3ln π>3π,故D 错误.故选ACD . 10.BC 解析画出函数f (x )的图象,如图,因为f (x )=m 的两根为x 1,x 2(x 1<x 2),所以x 1=m -22,x 2=e m+1,m ∈(-1,0],从而(x 2-x 1)·f (x 2)=em+1-m -22m=m em+1-m 22+m.令g (x )=x e x+1-12x 2+x ,x ∈(-1,0],则g'(x )=(x+1)e x+1-x+1. 因为x ∈(-1,0],所以x+1>0,e x+1>e 0=1,-x+1>0, 所以g'(x )>0,从而g (x )在区间(-1,0]上单调递增.又g (0)=0,g (-1)=-52,所以g (x )∈-52,0,即(x 2-x 1)·f (x 2)的取值范围是-52,0,故选BC . 11.1 解析由题意得函数y=ln x+ax 的定义域为x>0,y'=1x +a.设曲线y=ln x+ax 与直线y=2x-1相切于点P (x 0,y 0),可得1x 0+a=2,即ax 0=2x 0-1①,y 0=ln x 0+ax 0,y 0=2x 0-1,所以ln x 0+ax 0=2x 0-1②,联立①②,可得x 0=1,a=1. 12.(-√2,√2)(答案不唯一) 解析 f (x )=sinx -ae x 的定义域为R ,f'(x )=cosx -sinx+ae x,由于函数f (x )=sinx -ae x 有极值,所以f'(x )=cosx -sinx+ae x有变号零点,因此由cos x-sin x+a=0,即a=sin x-cos x=√2sin x-π4,可得a ∈(-√2,√2),答案只要为(-√2,√2)的子集都可以. 13.e 2-4 解析 f'(x )=e x -2.设切点为(t ,f (t )),则f (t )=e t -2t ,f'(t )=e t -2,所以切线方程为y-(e t -2t )=(e t -2)(x-t ),即y=(e t -2)x+e t (1-t ),所以a=e t -2,b=e t (1-t ),则2a+b=-4+3e t -t e t .令g (t )=-4+3e t -t e t ,则g'(t )=(2-t )e t .当t>2时,g'(t )<0,g (t )在区间(2,+∞)上单调递减; 当t<2时,g'(t )>0,g (t )在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g (t )取最大值g (2)=-4+3e 2-2e 2=-4+e 2,即2a+b 的最大值为e 2-4. 14.解 (1)因为f (x )=ax 2+bx+ce x,所以f'(x )=-ax 2+(2a -b )x+b -ce x.因为e x >0,所以f'(x )≥0的解集与-ax 2+(2a-b )x+b-c ≥0的解集相同,且同为[0,1]. 所以有{ a >0,2a -ba =1,b -c-a =0,解得a=b=c.所以f(x)=a(x2+x+1)e x(a>0),f'(x)=-ax2+axe x(a>0).因为a>0,所以当x<0或x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为3 e ,所以f(1)=3ae=3e,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=x2+x+1e x,f'(x)=-x2+xe x.所以f(-1)=1e-1=e,f'(-1)=-2e-1=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2e x-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)=1e0=1, 所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0<m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当m>x0时,f(m)<f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=m 2+m+1 e m.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{1,0<m≤x0,m2+m+1e m,m>x0.15.解(1)f'(x)=a e x-1.当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,得x=-ln a.当x<-ln a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>-ln a时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在区间(-∞,-ln a)上单调递减,在区间(-ln a,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C1:y1=a e x与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a e x1),(x2,x22),显然x1≠x2.由于y1'=a e x,y2'=2x,所以a e x1=2x2=ae x1-x22 x1-x2,因此2x2x1-2x22=a e x1−x22=2x2-x22,所以2x1x2-x22=2x2,即x2=2x1-2.由于a>0,故x2>0,从而x2=2x1-2>0,因此x1>1.此时a=2x2e x1=4(x1-1)e x1(x1>1).设F(x)=4(x-1)e x(x>1),则问题等价于当x>1时,直线y=a与曲线y=F(x)有且只有一个公共点.又F'(x)=4(2-x)e x,令F'(x)=0,解得x=2,所以F(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减.而F(2)=4e2,F(1)=0,当x→+∞时,F(x)→0,所以F(x)的值域为0,4e2,故a=4e2.16.解(1)由题意得,当a=1时,函数f(x)=ln x-12x2,其定义域为(0,+∞),因此f'(x)=1x-x=1-x2x.令f'(x)>0,即1-x2>0,得0<x<1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增; 令f'(x)<0,即1-x2<0,得x>1,所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)由题意,函数f(x)=a2ln x-12ax2-(a2-a)x(a≠0)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=a2x-ax-(a2-a)=-a(x+a)(x-1)x.当a<0时,-a>0,①若-1<a<0,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1或0<x<-a;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得-a<x<1,所以函数f(x)在区间(1,+∞),(0,-a)上单调递增,在区间(-a,1)上单调递减.所以当x=1时,函数f(x)取得极小值,不符合题意.②若a=-1,可得f'(x)=(x-1)2x≥0,此时函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值,不符合题意.③若a<-1,令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)>0,得x>-a或0<x<1,令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)<0,得1<x<-a,所以函数f(x)在区间(1,-a)上单调递减,在区间(0,1),(-a,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.当a>0时,-a<0.令f'(x)>0,即(x+a)(x-1)<0,得0<x<1;令f'(x)<0,即(x+a)(x-1)>0,得x>1,所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得极大值,符合题意.综上可得,实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).。

高中数学导数地应用——极值与最值专项训练题(全)

高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则( )A．a－2b＝0 B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根∴－2b3a＝13，∴a＋2b＝0.2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )A.1ln2B．－1ln2C．－ln2 D．ln2答案 B解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0∵2x＞0，∴x＝－1 ln23．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( ) A．0＜b＜1 B．b＜1C．b＞0 D．b＜1 2答案 A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜14．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是( )A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案 B解析x>－1时，f′(x)>0x<－1时，f′(x)<0∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( )A ．－173B ．－103C ．－4D ．－643答案 A解析 y ′＝x 2＋2x －3.令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点．当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x ＝1时，y min ＝－173.6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( )A ．x ＝1是最小值点B ．x ＝0是极小值点C ．x ＝2是极小值点D ．函数f (x )在(1,2)上单增答案 C解析由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C.7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( )A ．f (－a 2)≤f (－1)B ．f (－a 2)<f (－1)C ．f (－a 2)≥f (－1)D ．f (－a 2)与f (－1)的大小关系不确定答案 A解析由题意可得f ′(x )＝32x 2－2x －72.由f ′(x )＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73.当x <－1时，f (x )为增函数；当－1<x <73时，f (x )为减函数．所以f (－1)是函数f (x )在(－∞，0]上的最大值，又因为－a 2≤0，故f (－a 2)≤f (－1)．8．函数f (x )＝e －x ·x ，则( )A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B解析 f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x ·e －x ＝e －x (－x ＋12x )＝e －x ·1－2x2x .令f ′(x )＝0，得x ＝12.当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e·12＝12e. 二、填空题9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案－23 －16解析 y ′＝a x＋2bx ＋1.由已知⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0a2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－1610．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________答案 0<c <43解析 ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx ，∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0) 或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎨⎧f 0＝c >0f2＝13×23－22＋c <0，，解得0<c <4311．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13，经检验知x ＝1是函数的极小值点， ∴f (x )极小值＝f (1)＝0. 三、解答题13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解析由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2.因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9； (2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)>0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数． 15．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2(ax －3)，其中a 为常数． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上是增函数，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝ax 3－3x 2，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴a ＝2.(2)解法一 ①当a ＝0时，f (x )＝－3x 2在区间(－1,0)上是增函数，∴a ＝0符合题意；②当a ≠0时，f ′(x )＝3ax (x －2a)，令f ′(x )＝0得：x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，对任意x ∈(－1,0)，f ′(x )>0，∴a >0符合题意；当a <0时，当x ∈(2a ，0)时，f ′(x )>0，∴2a≤－1，∴－2≤a <0符合题意；综上所述，a ≥－2.解法二 f ′(x )＝3ax 2－6x ≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax －6≤0，∴a ≥2x 在区间(－1,0)上恒成立，又2x <2－1＝－2，∴a ≥－2. 16．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x .(1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x <0恒成立，即a <2x ＋1x恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎨⎧Δ>0a2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x(x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．1. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为 1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴f (x )在(0，1a)上递增；令f ′(x )<0，则x >1a，∴f (x )在(1a，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎨⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 3．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解析 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时f ′(x )＞0，f (x )在(－∞，2－3)上单调增加；当x ∈(2－3，2＋3)时f ′(x )＜0，f (x )在(2－3，2＋3)上单调减少；当x ∈(2＋3，＋∞)时f ′(x )＞0，f (x )在(2＋3，＋∞)上单调增加．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意知，2＜a－a2－1＜3，①或2＜a＋a2－1＜3.②①式无解．②式的解为54＜a＜53.因此a的取值范围是(54，53)．1．“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1，(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值．(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．解析(1)解：f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝6x＋1－2x＋2＝8－2x2x＋1，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去). x (－1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)取得极大值∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减，又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0，故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1在定义域内只有一个零点．2．(2010·江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12. 3．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f (2)和f (－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a .解 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9. 令f ′(x )<0，解得x <－1，或x >3，∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ， f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ， ∴f (2)>f (－2)．∵在(－1,3)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(－1,2]上单调递增．又由于f (x )在[－2，－1)上单调递减，∴f (－1)是f (x )的极小值，且f (－1)＝a －5.∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2. ∴f (－1)＝a －5＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7. 4．已知函数f (x )＝xe －x (x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．证明当x ＞1时，f (x )＞g (x )；(3)如果x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，证明x 1＋x 2＞2. 解析 (1)f ′(x )＝(1－x )e －x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当x所以f (x函数f (x )在x ＝1处取得极大值f (1)，且f (1)＝1e.(2)由题意可知g (x )＝f (2－x )，得g (x )＝(2－x )e x －2.令F (x )＝f (x )－g (x )，即F (x )＝xe －x ＋(x －2)e x －2，于是F ′(x )＝(x －1)(e 2x －2－1)e －x .当x ＞1时，2x －2＞0，从而e 2x －2－1＞0，又e －x ＞0.所以F ′(x )＞0.从而函数F (x )在[1，＋∞)上是增函数．又F (1)＝e －1－e －1＝0，所以x ＞1时，有F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )． (3)①若(x 1－1)(x 2－1)＝0，由(1)及f (x 1)＝f (x 2)，得x 1＝x 2＝1，与x 1≠x 2矛盾．②若(x 1－1)(x 2－1)＞0，由(1)及f (x 1)＝f (x 2)，得x 1＝x 2，与x 1≠x 2矛盾．根据①②得(x 1－1)(x 2－1)＜0，不妨设x 1＜1，x 2＞1.由(2)可知，f (x 2)＞g (x 2)，g (x 2)＝f (2－x 2)，所以f (x 2)＞f (2－x 2)，从而f (x 1)＞f (2－x 2)，因为x 2＞1，所以2－x 2＜1，又由(1)可知函数f (x )在区间(－∞，1)内是增函数，所以x 1＞2－x 2，即x 1＋x 2＞2.5．已知函数f (x )＝ax 3－32ax 2，函数g (x )＝3(x －1)2.(1)当a >0时，求f (x )和g (x )的公共单调区间； (2)当a >2时，求函数h (x )＝f (x )－g (x )的极小值； (3)讨论方程f (x )＝g (x )的解的个数．解 (1)f ′(x )＝3ax 2－3ax ＝3ax (x －1)，又a >0，由f ′(x )>0得x <0或x >1，由f ′(x )<0得0<x <1，即函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)，而函数g (x )的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．(2)h (x )＝ax 3－32ax 2－3(x －1)2，h ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a (x －2a)(x－1)，令h ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝1，由于2a<1，易知x ＝1为函数h (x )的极小值点，∴h (x )的极小值为h (1)＝－a2.(3)令φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－32(a ＋2)x 2＋6x －3，φ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a (x －2a)(x －1)，①若a ＝0，则φ(x )＝－3(x －1)2，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；②若a <0，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a 2>0，φ(x )的极小值为φ(2a )＝－4a 2＋6a－3<0，∴φ(x )的图象与x 轴有三个交点，即方程f (x )＝g (x )有三个解； ③若0<a <2，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a2<0，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；④若a ＝2，则φ′(x )＝6(x －1)2≥0，φ(x )单调递增，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；⑤若a>2，由(2)知φ(x)的极大值为φ(2a)＝－4(1a－34)2－34<0，∴φ(x)的图象与x轴只有一个交点，即方程f(x)＝g(x)只有一个解．综上知，若a≥0，方程f(x)＝g(x)只有一个解；若a<0，方程f(x)＝g(x)有三个解．。

高三数学利用导数求最值和极值试题

高三数学利用导数求最值和极值试题1.函数已知时取得极值，则的值等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因为,所以,解得.故选D．2.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.3.已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边有f′(x)＞0，右边有f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．4.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．【答案】－4＜a＜0.【解析】由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以解得－4＜a＜0.5.设函数f(x)的定义域为R，x0(x≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()．A．∀x∈R，f(x)≤f(x)B．－x是f(－x)的极小值点C．－x是－f(x)的极小值点D．－x是－f(－x)的极小值点【答案】D【解析】A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图象关于y轴对称，－x应是f(－x)的极大值点；C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于x轴对称，x 0应为－f(x)的极小值点；D正确，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，－x应为y＝－f(－x)的极小值点．6.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.7.函数不存在极值点，则的取值范围是_________.【答案】【解析】依题意，，要函数无极值点，则，解得.【考点】函数的极值.8.某人进行了如下的“三段论”推理：如果，则是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点.你认为以上推理的 ( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】本题中，如果，则是函数的极值点是错误的.若是函数的极值点，则函数在的左右两侧异号，而否则尽管有，都不能说明是函数的极值点.如，其导数，函数在上是增函数.所以不是函数的极值点.因此本题是大前提错误.【考点】推理与证明、导数、函数的极值9.设函数在内有意义．对于给定的正数，已知函数，取函数．若对任意的，恒有，则的最小值为 .【答案】.【解析】由于，且对任意的，恒有，则不等式在上恒成立，，，令，当时，，当，，故函数在处取得极大值，亦即最大值，即，所以，即实数的最小值为.【考点】1.函数不等式恒成立；2.利用导数求函数的最值10.设函数，．（1）记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）若，对任意的，不等式恒成立，求m（m∈Z，m1）的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先由已知条件将不等式转化为它在上有解等价于，再利用导数求函数的最小值；（2）由已知时，对任意的，不等式恒成立，等价变形为在上恒成立，为此只需构造函数，只要证明函数在上单调递增即可．试题解析：（1）不等式即为化简得由知，因而设由当时在上恒成立．由不等式有解，可得知即实数的取值范围是（2）当．由恒成立，得恒成立．设，由题意知，故当时函数单调递增，恒成立，即恒成立，因此，记，得，∵函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在时取得极大值，并且这个极大值就是函数的最大值．由此可得，故，结合已知条件，，可得．【考点】1．导数的应用；2．恒成立问题中的参数取值范围问题．11.设.(Ⅰ)若，求的单调区间;(Ⅱ) 若对一切恒成立,求的取值范围.【答案】（Ⅰ)的单调递增区间为,的单调递减区间为；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）将代入得：求的导数，由；便可得的单调区间.（Ⅱ）∴对一切恒成立等价于恒成立.这只要求出函数的最小值即可.试题解析：(Ⅰ)时，,故由得：；由得：；∴的单调递增区间为, 的单调递减区间为(II)令，则由得.所以在上单调递增, 在单调递减.所以由此得：又时，即为此时取任意值都成立综上得：【考点】1、函数的导数及其应用；2、不等关系.12.定义在上的函数满足：①（为正常数）；②当时，.若函数的所有极大值点均在同一条直线上，则_____________.【答案】或.【解析】当时，，故函数在上单调递增，在上单调递增，故函数在处取得极大值，当时，则，此时，此时，函数在处取得极大值，对任意，当时，函数在处取得极大值，故函数的所有极大值点为，由于这些极大值点均在同一直线上，则直线的斜率为定值，即为定值，故或，即或.【考点】1.函数的极值；2.直线的斜率13.在区间上的最大值是（）A．-2B．0C．2D．4【答案】C【解析】，所以，由于，解得，当时，，当时，，故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，故函数在处取得极大值，亦即最大值，即，故选C.【考点】利用导数求函数的最值14.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由得或，即或.又，所以或.因为不等式对恒成立，所以或.(1)令，则.令得，当时，；当时，.所以在上是增函数，在是减函数.所以，所以.(2)令，则，因为，所以，所以易知，所以在上是增函数.易知当时，，故在上无最小值，所以在上不能恒成立.综上所述，，即实数的取值范围是.【考点】利用导数研究函数的单调性、利用函数单调性求最值、含绝对值不等式的解法15.函数在区间上的最小值为_________．【解析】求导得，当，，所以在区间是增函数，所以它的最小值为.【考点】函数的导数及其应用.16.已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（）A．当时，，B．当时，，C．当时，，D．当时，，【答案】B【解析】函数求导，得：，得两个极值点：因为函数f（x）过定点（0，－2），有且仅有两个不同的零点，所以，可画出函数图象如下图：因此，可知，，只有B符合..【考点】导数的应用.17.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.18.（5分）已知函数在x=3时取得最小值，则a=．【答案】36【解析】由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，即4﹣=0，解得a=36．19.设函数( )A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值【答案】D【解析】，即，,当时，当时，，故当时，，，。

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高中数学专题训练导数的应用——极值与最值一、选择题1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和13，则()A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0、13是方程3ax2＋2bx＝0的两根∴－2b3a ＝13，∴a＋2b＝0.2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.1ln2B．－1ln2C．－ln2 D．ln2答案 B解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0∵2x＞0，∴x＝－1ln23．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1C．b＞0 D．b＜1 2答案 A解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0，∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1综上，b的范围为0＜b＜14．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是()A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点C．x＝－1不是函数f(x)的极值点D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点答案 B解析x>－1时，f′(x)>0x<－1时，f′(x)<0∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．5．函数y＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是()A．－173B．－103C．－4 D．－64 3答案 A解析y′＝x2＋2x－3.令y′＝x2＋2x－3＝0，x＝－3或x＝1为极值点．当x∈[0,1]时，y′<0.当x∈[1,2]时，y′>0，所以当x＝1时，函数取得极小值，也为最小值．∴当x＝1时，y min＝－173.6．函数f(x)的导函数f′(x)的图象，如右图所示，则()A．x＝1是最小值点B．x＝0是极小值点C．x＝2是极小值点D．函数f(x)在(1,2)上单增答案 C解析由导数图象可知，x＝0，x＝2为两极值点，x＝0为极大值点，x＝2为极小值点，选C.7．已知函数f(x)＝12x3－x2－72x，则f(－a2)与f(－1)的大小关系为()A．f(－a2)≤f(－1)B．f(－a2)<f(－1)C．f(－a2)≥f(－1)D．f(－a2)与f(－1)的大小关系不确定答案 A解析由题意可得f′(x)＝32x2－2x－72.由f′(x)＝12(3x－7)(x＋1)＝0，得x＝－1或x＝7 3.当x<－1时，f(x)为增函数；当－1<x<73时，f(x)为减函数．所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值，又因为－a2≤0，故f(－a2)≤f(－1)．8．函数f(x)＝e－x·x，则()A ．仅有极小值12eB ．仅有极大值12eC ．有极小值0，极大值12eD ．以上皆不正确答案 B 解析f ′(x )＝－e －x ·x ＋12x·e －x ＝e －x (－x ＋12x)＝e －x ·1－2x2x. 令f ′(x )＝0，得x ＝12. 当x >12时，f ′(x )<0；当x <12时，f ′(x )>0.∴x ＝12时取极大值，f (12)＝1e ·12＝12e.二、填空题9．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________.答案－23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎨⎧a ＋2b ＋1＝0a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23b ＝－1610．已知函数f (x )＝13x 3－bx 2＋c (b ，c 为常数)．当x ＝2时，函数f (x )取得极值，若函数f (x )只有三个零点，则实数c 的取值范围为________答案 0<c <43解析 ∵f (x )＝13x 3－bx 2＋c ，∴f ′(x )＝x 2－2bx ，∵x ＝2时，f (x )取得极值，∴22－2b ×2＝0，解得b ＝1.∴当x ∈(0,2)时，f (x )单调递减，当x ∈(－∞，0) 或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增．若f (x )＝0有3个实根，则⎩⎨⎧f (0)＝c >0f (2)＝13×23－22＋c <0，，解得0<c <4311．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．答案 m <－12解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R )有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图象可得－2m >1，即m <－12.12．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)，则极小值为________．答案 0解析 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由题知f ′(1)＝3－2p －q ＝0. 又f (1)＝1－p －q ＝0，联立方程组，解得p ＝2，q ＝－1. ∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝1或x ＝13，经检验知x ＝1是函数的极小值点，∴f (x )极小值＝f (1)＝0. 三、解答题 13．设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，求函数f (x )的单调区间与极值．解析由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0＜x ＜2π，知f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1，于是f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2. 因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.14．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解析 f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .(1)由已知有f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9； (2)由于Δ＝36(a ＋2)2－4×18×2a ＝36(a 2＋4)>0，所以不存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数． 15．已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2(ax －3)，其中a 为常数． (1)若x ＝1是函数f (x )的一个极值点，求a 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,0)上是增函数，求a 的取值范围．解析 (1)f (x )＝ax 3－3x 2，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)． ∵x ＝1是f (x )的一个极值点，∴f ′(1)＝0，∴a ＝2.(2)解法一 ①当a ＝0时，f (x )＝－3x 2在区间(－1,0)上是增函数，∴a ＝0符合题意；②当a ≠0时，f ′(x )＝3ax (x －2a )，令f ′(x )＝0得：x 1＝0，x 2＝2a . 当a >0时，对任意x ∈(－1,0)，f ′(x )>0，∴a >0符合题意；当a <0时，当x ∈(2a ，0)时，f ′(x )>0，∴2a ≤－1，∴－2≤a <0符合题意；综上所述，a ≥－2.解法二 f ′(x )＝3ax 2－6x ≥0在区间(－1,0)上恒成立，∴3ax －6≤0，∴a ≥2x在区间(－1,0)上恒成立，又2x <2－1＝－2，∴a ≥－2.16．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋1－ln x .(1)若f (x )在(0，12)上是减函数，求a 的取值范围；(2)函数f (x )是否既有极大值又有极小值？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)f ′(x )＝－2x ＋a －1x ，∵f (x )在(0，12)上为减函数，∴x ∈(0，12)时－2x ＋a －1x <0恒成立，即a <2x ＋1x 恒成立．设g (x )＝2x ＋1x ，则g ′(x )＝2－1x 2.∵x ∈(0，12)时1x 2>4，∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，12)上单调递减，g (x )>g (12)＝3，∴a ≤3.(2)若f (x )既有极大值又有极小值，则f ′(x )＝0必须有两个不等的正实数根x 1，x 2，即2x 2－ax ＋1＝0有两个不等的正实数根．故a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0a 2>0⇒⎩⎨⎧a 2－8>0a >0⇒a >22，∴当a >22时，f ′(x )＝0有两个不等的实数根，不妨设x 1<x 2，由f ′(x )＝－1x (2x 2－ax ＋1)＝－2x (x －x 1)(x －x 2)知，0<x <x 1时f ′(x )<0，x 1<x <x 2时f ′(x )>0，x >x 2时f ′(x )<0，∴当a >22时f (x )既有极大值f (x 2)又有极小值f (x 1)．1. 已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为 1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1，当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a ，又a >12，∴0<1a <2.令f ′(x )>0，则x <1a ，∴f (x )在(0，1a )上递增；令f ′(x )<0，则x >1a ，∴f (x )在(1a ，2)上递减，∴f (x )max ＝f (1a )＝ln 1a －a ·1a ＝－1，∴ln1a ＝0，得a ＝1.2．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2时取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ， f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0.所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c . 又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c ，则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立，所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9.因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．3．已知函数f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求f(x)的单调区间；(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a的取值范围．解析(1)当a＝2时，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋3)(x－2－3)．当x∈(－∞，2－3)时f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－3)上单调增加；当x∈(2－3，2＋3)时f′(x)＜0，f(x)在(2－3，2＋3)上单调减少；当x∈(2＋3，＋∞)时f′(x)＞0，f(x)在(2＋3，＋∞)上单调增加．综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f(x)的单调减区间是(2－3，2＋3)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．当1－a2≥0时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，故f(x)无极值点；当1－a2＜0时，f′(x)＝0有两个根，x1＝a－a2－1，x2＝a＋a2－1.由题意知，2＜a－a2－1＜3，①或2＜a＋a2－1＜3.②①式无解．②式的解为54＜a＜53.因此a的取值范围是(54，5 3)．1．“我们称使f(x)＝0的x为函数y＝f(x)的零点．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上是连续的，单调的函数，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上有唯一的零点”．对于函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1，(1)讨论函数f(x)在其定义域内的单调性，并求出函数极值．(2)证明连续函数f(x)在[2，＋∞)内只有一个零点．解析(1)解：f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝6x＋1－2x＋2＝8－2x2x＋1，f′(x)＝0⇒x＝2(－2舍去).x (－1,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－f(x)取得极大值由表可知，f(x)值在区间(－1,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．∴当x＝2时，f(x)的极大值为f(2)＝6ln3－1.(2)证明：由(1)知f(2)＝6ln3－1>0，f(x)在[2,7]上单调递减，又f(7)＝6ln8－36＝18(ln2－2)<0，∴f(2)·f(7)<0.∴f(x)在[2,7]上有唯一零点．当x∈[7，＋∞)时，f(x)≤f(7)<0，故x∈[7，＋∞)时，f(x)不为零．∴y＝f(x)在[7，＋∞)上无零点．∴函数f(x)＝6ln(x＋1)－x2＋2x－1在定义域内只有一个零点．2．(2010·江西高考)设函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)＋ax(a>0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解析函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x(2－x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx(2－x)＋a>0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.3．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．分析本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的最值，题目中需注意应先比较f(2)和f(－2)的大小，然后判定哪个是最大值从而求出a.解(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)<0，解得x<－1，或x>3，∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)>f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)>0，∴f(x)在(－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1)上单调递减，∴f(－1)是f(x)的极小值，且f(－1)＝a－5.∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a＝－2.∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2.∴f(－1)＝a－5＝－7，即函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.4．已知函数f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y＝g(x)的图象与函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．证明当x＞1时，f(x)＞g(x)；(3)如果x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明x1＋x2＞2.解析(1)f′(x)＝(1－x)e－x.令f′(x)＝0，解得x＝1.当x所以f(x)函数f(x)在x＝1处取得极大值f(1)，且f(1)＝1e.(2)由题意可知g(x)＝f(2－x)，得g(x)＝(2－x)e x－2.令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe－x＋(x－2)e x－2，于是F′(x)＝(x－1)(e2x－2－1)e－x.当x＞1时，2x－2＞0，从而e2x－2－1＞0，又e－x＞0.所以F′(x)＞0.从而函数F(x)在[1，＋∞)上是增函数．又F(1)＝e－1－e－1＝0，所以x＞1时，有F(x)＞F(1)＝0，即f(x)＞g(x)．(3)①若(x1－1)(x2－1)＝0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2＝1，与x1≠x2矛盾．②若(x1－1)(x2－1)＞0，由(1)及f(x1)＝f(x2)，得x1＝x2，与x1≠x2矛盾．根据①②得(x1－1)(x2－1)＜0，不妨设x1＜1，x2＞1.由(2)可知，f(x2)＞g(x2)，g(x2)＝f(2－x2)，所以f(x2)＞f(2－x2)，从而f(x1)＞f(2－x2)，因为x2＞1，所以2－x2＜1，又由(1)可知函数f(x)在区间(－∞，1)内是增函数，所以x1＞2－x2，即x1＋x2＞2.5．已知函数f(x)＝ax3－32ax2，函数g(x)＝3(x－1)2.(1)当a>0时，求f(x)和g(x)的公共单调区间；(2)当a>2时，求函数h(x)＝f(x)－g(x)的极小值；(3)讨论方程f(x)＝g(x)的解的个数．解(1)f′(x)＝3ax2－3ax＝3ax(x－1)，又a>0，由f′(x)>0得x<0或x>1，由f ′(x )<0得0<x <1，即函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)与(1，＋∞)，单调递减区间是(0,1)，而函数g (x )的单调递减区间是(－∞，1)，单调递增区间是(1，＋∞)，故两个函数的公共单调递减区间是(0,1)，公共单调递增区间是(1，＋∞)．(2)h (x )＝ax 3－32ax 2－3(x －1)2，h ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a (x －2a )(x －1)，令h ′(x )＝0，得x ＝2a 或x ＝1，由于2a <1，易知x ＝1为函数h (x )的极小值点，∴h (x )的极小值为h (1)＝－a2.(3)令φ(x )＝f (x )－g (x )＝ax 3－32(a ＋2)x 2＋6x －3，φ′(x )＝3ax 2－3(a ＋2)x ＋6＝3a (x －2a)(x －1)，①若a ＝0，则φ(x )＝－3(x －1)2，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；②若a <0，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a 2>0，φ(x )的极小值为φ(2a )＝－4a 2＋6a －3<0，∴φ(x )的图象与x 轴有三个交点，即方程f (x )＝g (x )有三个解；③若0<a <2，则φ(x )的极大值为φ(1)＝－a2<0，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；④若a ＝2，则φ′(x )＝6(x －1)2≥0，φ(x )单调递增，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解；⑤若a >2，由(2)知φ(x )的极大值为φ(2a )＝－4(1a －34)2－34<0，∴φ(x )的图象与x 轴只有一个交点，即方程f (x )＝g (x )只有一个解．综上知，若a ≥0，方程f (x )＝g (x )只有一个解；若a <0，方程f (x )＝g (x )有三个解．。