第6章抽样与抽样分布

2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
2 1
X
2 2
X
2 n
n
X
2 i
i 1
为自由度是n的 2分布,记为 2 ~ 2 (n)
2分布的密度函数为
f
(x)
2n / 2
1 (n
/
2)
x e n / 21 x / 2
0
x0 其他
2分布的性质
(1).可加性:若X ~ 2 (m),Y ~ 2 (n),且X 与Y独立,则 X Y ~ 2(m n)
3. F分布
设X1 ~ 2 (n1),Y ~ 2 (n2 ),且X 与Y相互独立,则称
F X / n1 Y / n2
为服从第一自由度是n1,第二自由度是n2的F分布,记为F ~ F (n1, n2 )
F分布的性质 :
(1)若t ~ t(n),则t2 ~ F (1, n);
(2)若X
~
F
(n1,
T X Y /n
为服从自由度是n的t分布,记为t ~ t(n).
t分布的密度函数为 h(t)= [(n+1)/2] (1 t 2 )(n1)/2
n (n / 2) n
tR
t分布的分位点： 对给定的0<<1,称满足条件
P(t(n) t (n))
则称t
(n)为t(n)分布的上
y
分位点.
ft (x)
推广:若Xi ~ 2 (ni ), (i 1, 2
k
k
Xi ~ 2 ( ni )
i 1
i 1
k )且相互独立, 则
(2).若 2 ~ 2 (m),则有
E( 2 ) n D( 2) 2n
证明(2): Xi ~ N (0,1)
E( Xi2 ) D( X i ) (EXi )2 1
o
x
t (n)
查表可得 t0.05 (20) 1.7247
(表示P(t(20) 1.7247) 0.05)
例1 设X ~ t(10),确定x1, x2,使 (1)P( X x1) 0.95; (2)P( X x2 ) 0.99
解 : (1)P( X x1) 0.05
查表得 : x1 t0.05 (10) 1.8125
第一节 数理统计的基本概念 第二节 抽样分布定理
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本章要求
1.掌握随机样本的概念; 2.熟悉一些常用的统计量及其分布;
重点
抽样分布定理
学时数 3-4
第一节 数理统计的基本概念 一、总体、个体与样本
定义1 在统计学中，我们把所要研究的对象的 全体称为总体(母体),记为X; 组成总体的每个元素 称为个体.
0
Fn
(
x)
k n
1
x x1*
xk*
x
x* k 1
xn* x
称为样本分布函数或经验分布函数.
可以证明,当n 时,总体X的样本分布函数Fn (x) 依概率收敛于X的分布函数F (x（) P133证明略）
三、统计量
定义5 设(X1,X2, …,Xn)为总体X的一个样本, f(X1,X2,…Xn)为样本的连续函数. 如果f中不包含任何未知参数, 则称f(X1,X2,…Xn)为一个统计量.
X
2 i
)
D(
X
2 i
)
2n
i 1
i 1
2分布的分位点:
P{ 2 (n) 2 (n)}
则称2 (n)为 2 (n)分布的上分位点.
y
f2 (x)
查表可得
o
2 (n)
x
2 0.05
(30)
43.773
(表示P( 2 (30) 43.773) 0.05)
2. t分布
设X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n),且X与Y相互独立,则称
(2)显然P( X x2 ) 0.01
由对称性得 : P( X x2 ) 0.005
查表得: x2 t0.005 (10) 3.1693
t分布的性质
(1)其密度函数f(x)为偶函数; (2)当n较大时,其分布很接近正态分布.
(3)t1 (n) t (n) 在n 45时,t (n) u
n2
), 则
1 X
~
F (n2, n1);
(3)对0
1, 有F1-
(n1, n2 )
F
1 (n2 , n1)
F分布的分位点:
P{F F (n1, n2 )}
则称F
(n1
,
n2
)为F分布的上 y
分位点.
随机变量的分布的可加性 设相互独立的随机变量X ,Y均
服从某种分布，若它们的和X Y也 服从同一种分布(参数有所不同),我们 就称该分布具有可加性.
1.设X ,Y独立,且X ~ B(m, p),Y ~ B(n, p),
则X Y ~ B(m n, p)
2.设X ,Y独立,且X ~ P(1),Y ~ P(2 )，
则X Y ~ P(1 2（) 前已证明）
3.设X ,Y独立,且X
~
N
(
1,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
则X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
4.设X ,Y独立,且X ~ x2 (m),Y ~ x2 (n),
则X Y ~ x2 (m n)
一、几个常用分布
1. 2分布
设Xi ~ N (0,1) (i 1, 2 n),且相互独立, 称
定义2 从总体中抽出的一部分个体叫样本（子 样）.样本中所含个体的数目叫做样本容量.样本所 取的值叫做样本值.
由于抽样具有随机性，所以样本是一组随机变量 (或随机向量).
一个容量为n的样本记为
X1, X2,, Xn
样本值记为
（x1，x2， xn）
抽样方法满足的条件:
(1) 随机性
(2) 独立性
常用统计量 样本均值
样本方差
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本标准差
S
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 样本离差平方和
Ak
1 n
n i 1
X
k i
Bk
1 n
n
(Xi
i 1
X )k
n
(Xi X )2
i 1
第二节 抽样分布定理
定义3 设样本(X1,X2,Xn)相互独立, 且每个分量x与i 总体X分布相同,则称 (X1, X2 , Xn )为独立同分布样本(简单 随机样本).
二、样本分布函数
定义4 设(X1, X 2 ,
X
n
)是来自总体X的样本,
将各X
的值
i
按从小到大的次序重新排列, 记为x1*, x2*, xn*,则函数
n
n
E( 2 ) E(
X
2 i
)
E
(
X
2 i
)
n
i 1
i 1
E(Xi4) x4
1
x2
e 2 dx
2 x4
2
0
1
x2
e 2 dx
2
令 x2 t 2
4
3
t 2etdt
4 (5)
4
3.1
3
0
2 22
D(
X
2 i
)
E
(
X
4 i
)
(
EX
2 i
)
2
2
n
n
D( 2 ) D(