初中几何三角形五心及定理性质讲解学习
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质a外心定理的证明：例如图，设ab、bc的中垂线处设点o，则存有oa=ob=oc，故o也在a的中垂线上，因为o到三顶点的距离相等，故点o是δabc外接圆的圆心．因而称为外心．o设sabc的外接圆为g(r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，bcp=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；（3）钝角三角形的外心在三角形外.2：∠bgc=2∠a，（或∠bgc=2(180°-∠a).3：点g就是平面abc上一点，那么点g就是sabc外心的充要条件就是：点g是?abc的外心?ga?gb?gc(或ga2=gb2=gc2)(点g到三顶点距离相等)(ga+gb)ab=(gb+gc)bc=(gc+ga)ca=0(g为三边垂直平分线的交点)4：点g是平面abc上一点，点p是平面abc上任意一点，那么点g是sabc外心的充要条件是：pg=((tanb+tanc)pa+(tan c+tana)pb+(tana+tanb)pc)/2(tana+tanb+tanc).或pg=(cosa/2sinbsinc)pa+(cosb/2sincsina)pb+(cosc/2sinasinb)pc.5：r=abc/4ssabc.正弦定理：2r=a/sina=b/sinb=c/sinc。
6.外心坐标：取值a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)谋外接圆心座标o（x，y）①.首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：(x1?x)2?(y1?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2(x3?x)2?(y3?y)2?(x2?x)2?(y2?y)2②.化简得到：222(x2?x1)x?2(y2?y1)y?x2?y2?x12?y1222222(x2?x3)x?2(y2?y3)y?x2?y2?x3?y3令a122?2(x2?x1)；b1?2(y2?y1);c1?x2?y2?x12?y122222a2?2(x2?x3)；b2?2(y2?y3);c2?x2?y2?x3?y3即③.最后根据克拉默法则：x?a1x?b1y?c1;a2x?b2y?c2;c1b2?c2b1ac?a2c1,y?12a1b2?a2b1a1b2?a2b1因此，x，y为最终结果；7.若o是△abc的外心，则s△boc：s△a oc：s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：sin∠2b：sin∠2c故sin∠2aoa+sin∠2bob+sin∠2coc=0证明：设o点在?abc内部，由向量基本定理，存有moa?nob?roc?0m,n,r?r?，则s?boc:s?coa:saob?m:n:r设：moa?od,nob?oe,roc?of，则点o为△def的重心，又s?boc?111s?eof，s?aoc?s?dof，s?aob?s?doe，∴nrmrmn??s?boc:s?coa:saob?m:n:r若o就是△abc的外心，则s△boc：s△aoc：s△aob=sin∠boc：sin∠aoc：sin∠aob=sin∠2a：sin∠2b：sin∠2c故sin∠2aoa+sin∠2bob+sin∠2coc=0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠a、∠c的平分线相交于i、过i作id⊥bc，ie⊥ac，if⊥ab则有ie=if=id．因此i也在∠c的平分线上，即三角形三a内角平分线交于一点．上述定理的证法完全适用于旁心定理，请同学们自己完成．m设△abc的内切圆为o(半径r)，角a、b、c的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2。
三角形的五心一次看个够
三角形的五心一次看个够三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在这里分别给予介绍．一、三角形外心的性质外心定理的证明：如图，设AB 、BC 的中垂线交于点O ，则有OA =OB =OC ，故O 也在A 的中垂线上，因为O 到三顶点的距离相等，故点O 是ΔABC 外接圆的圆心．因而称为外心．设⊿ABC 的外接圆为☉G(R)，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； （3）钝角三角形的外心在三角形外. 2：∠BGC=2∠A ，（或∠BGC=2(180°-∠A).3：点G 是平面ABC 上一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是： 点G 是ABC ∆的外心⇔GA GB GC == (或GA 2=GB 2=GC 2)(点G 到三顶点距离相等)⇔(GA +GB )·AB =(GB +GC )·BC =(GC +GA )·CA =0(G 为三边垂直平分线的交点)4：点G 是平面ABC 上一点，点P 是平面ABC 上任意一点，那么点G 是⊿ABC 外心的充要条件是：PG =((tanB+tanC) PA +(tanC+tanA) PB +(tanA+tanB) PC )/2(tanA+tanB+tanC).或PG =(cosA/2sinBsinC)PA +(cosB/2sinCsinA)PB +(cosC/2sinAsinB)PC . 5：R=abc/4S ⊿ABC.正弦定理：2R=a/sinA=b/sinB=c/sinC 。
6.外心坐标：给定112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 求外接圆心坐标O （x ，y ）①. 首先，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，我们根据圆心到顶点的距离相等，可以列出以下方程：22221122()()()()x x y y x x y y ---=--- 22223322()()()()x x y y x x y y ---=--- ②.化简得到：2222212122112()2()x x x y y y x y x y -+-=+--2222232322332()2()x x x y y y x y x y -+-=+--令1212()A x x =-；1212()B y y =-;222212211C x y x y =+-- 2232()A x x =-；2232()B y y =-;222222233C x y x y =+--A B C O7.若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB=sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C 故sin ∠2A ·OA +sin ∠2B ·OB +sin ∠2C ·OC =0 证明：设O 点在ABC ∆内部，由向量基本定理，有()+∈=++R r n m OC r OB n OA m ,,0，则r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆设：r n m ===,,，则点O 为△DEF 的重心， 又EOF BOC S nr S ∆∆=1，DOF AOC S mr S ∆∆=1，DOE AOB S mnS ∆∆=1，∴r n m S S S AOB COA BOC ::::=∆∆若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sin ∠BOC ：sin ∠AOC ：sin ∠AOB =sin∠2A ：sin ∠2B ：sin ∠2C故si n ∠2A ·OA +si n ∠2B ·OB +si n ∠2C ·OC =0二、三角形的内心内心定理的证明：如图，设∠A 、∠C 的平分线相交于I 、过I 作ID ⊥BC ，IE ⊥AC ，IF ⊥AB 则有IE=IF =ID ．因此I 也在∠C 的平分线上，即三角形三0aOA bOB cOC ++=。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
之巴公井开创作一、二、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
平面几何竞赛之三角形的“五心”
平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心。
内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明： 性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是:ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上。
证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心,BC=a ，AC=b,AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导:(2)r=cb a S ABC++∆2;M（3）abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6:设I 为⊿ABC 内心，BC=a,AC=b ，AB=c,∠A 的平分线交BC 于K,交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b 。
〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I,∠B=600，∠A 〈∠C ，∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1）IO=AE ，（2)2R<IO+IA+IC<（1+3)R 。
(1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK 。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。
本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。
一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。
这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。
首先，我们来推导五心定理。
假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。
根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。
2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。
3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。
4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。
5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。
综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。
接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。
二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。
外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。
2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。
内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。
3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。
垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。
4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理).doc
三角形五心定理(三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称Z为三角形的五心)三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理, 旁心定理的总称。
、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点, 重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离Z比为2 ： 1o2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1 +X2+X3)/3, (Y1 +Y2+Y3)/3o二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：仁三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若0是ZXABC的外心，则ZB0C=2ZA ( ZA为锐角或宜角)或Z BOC=360°-2ZA (ZA 为钝角)。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1, d2, d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘od=d2d3, c2=d1d3, c3=d1d2； c=c1+c2+c3o 重心坐标:((c2+c3)/2c, (c1+c3)/2c, (c1+c2)/2c )o5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高(所在直线)交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)(优选.)
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一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
中考数学之三角形五心定律
三角形五心定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称. 重心定理：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE又∵∠ODC=∠OEC=90度∴O、D、C、E四点共圆∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！内心定理：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．6、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。
三角形的五“心”及其性质
三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。
1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。
重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。
2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。
外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。
3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。
内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。
4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。
5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。
旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。
这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。
- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。
- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。
- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。
- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。
三角形五心及其性质(一)
三角形五心及其性质（一）引言概述：三角形是几何学中研究最为广泛的基本图形之一，而三角形的五心则是三角形内外有关角点的特殊点。
在本文中，我们将重点介绍三角形的五心及其性质。
通过深入研究五心的定义、位置以及与三角形关键元素的关系，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。
正文：Ⅰ. 内心及其性质1. 定义：内心是指三角形内部到三边距离之和最短的点，通常用I表示。
2. 位置：内心位于角平分线的交点，即三角形三条角的平分线的交点。
3. 性质：a. 内心到三角形各顶点的距离相等。
b. 内心到三角形三边的距离之和等于内心到三角形周长的距离。
Ⅱ. 重心及其性质1. 定义：重心是指三角形三个顶点和重心的连线交于一点的点，通常用G表示。
2. 位置：重心位于三角形三条中线的交点，即三角形边中点的连线交点。
3. 性质：a. 重心到三角形各顶点的距离相等。
b. 重心离每条边的距离比例为2:1。
c. 重心将三角形的每条中线按照比例2:1的分点。
Ⅲ. 外心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点围成的圆的圆心，通常用O表示。
2. 位置：外心位于三角形外接圆的圆心。
3. 性质：a. 外心到三个顶点的距离相等。
b. 外心到三边的距离相等。
Ⅳ. 垂心及其性质1. 定义：垂心是指三角形三条高线的交点，通常用H表示。
2. 位置：垂心位于三角形各顶点到对边垂线的交点。
3. 性质：a. 垂心到三个顶点的距离相等。
b. 垂心到三边的距离之和最短。
Ⅴ. 内心及其性质1. 定义：外心是指三角形三个顶点相应的三个三角形外切圆的圆心，通常用Ia, Ib, Ic表示。
2. 位置：内切圆位于角均分线与三角形内边的交点。
3. 性质：a. 内切圆与三条角平分线有公共点。
b. 三角形的内切圆切三边于三个不同点，凸多边形内一定有且不超过三个内切圆。
总结：通过对三角形五心的概念、位置和性质的介绍，我们可以进一步了解三角形的几何特性和运算规律。
内心、重心、外心、垂心和垂心是三角形内外有关角点的特殊点，它们在三角形的定位、对称性质以及角平分线等方面起到了重要的作用。
三角形五心讲课教学内容
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相等
等
锐角△在 锐角△在____，
_内__部__，钝角 △在__外__部__ 直角△在
内钝部角△在 ____外_，部直角
△在___斜__边_。中点
直__角__顶__点
必在△的 _内__部___
重心：
证明三条中线交于同一点重心分中 线的比为2：1
证法1图
证法2图
外心： 证明三条垂直平分线交于同一点
三角形的主要线段——中线、高、内角平分 线及各边的垂直平分线各交于一点
“四心”不要混淆，中线是“重心”（“中” 与“重”谐音），高线是垂心（高与垂直有 关），外接圆圆心是外心，因它到三角形三顶 点距离相等，故必是三边垂直平分线的交点。 内切圆圆心是内心，因它到三角形三边距离相 等，所以它必在三内角的平分线上。
三角形四心的复习
重心
垂心
外心
内心
定义
△三条中___线_的
交点(即内切圆圆心).
△三条_高__线__ 的交点
△三条中__垂__的线
交点(即外接圆圆心).
△的三交条点_角分__平线_
图形
性质 位置
重心分中线 比为_2_:_1___
必在△的 _内__部___
△外心到 △内心到
_顶__点__距离 _三__边__距离相
例2 证明三角形的任一顶点到 垂心的距离，等于外心到对边 的距离的二倍．
练一练：
已知三角形三边长分别为5、12、13心的距离是 ，
垂心到最大边的距离是 ，
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
三 角 形 的“五 心”所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。
当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心（1个）定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的外心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。
二、三角形的内心（1个）定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2. CE CD BD BF AF AE ===,,3. 三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的旁心（3个） 定 义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
性 质：1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
即，到三边距离相等。
2. 三角形有三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。
四、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。
直角三角形的垂心在直角顶点上。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
中考数学点睛三角形五心及其性质延伸
中考数学点睛三角形五心及其性质延伸1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。
角平分线性质:到角两边距离相等.
内心性质：到三角形三边距离相等
4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。
旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。
4、三角形的垂心
三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．。
初中数学三角形必须掌握的五心知识详解
三角形的五心1.内心三角形三条内角平分线的交点。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆的半径。
这个三角形叫做圆的外切三角形。
每个三角形有且只有一个内切圆。
①在ABC ∆中，若c b a ,,为三边，S 为三角形面积，则内切圆半径为：cb a S r ++=2。
②在ABC ∆中，内切圆分别与CA BC AB ,,相切于R Q P ，，，则2ac b AR AP -+==，2b c a BQ BP -+==，2c a b CQ CR -+==，22tan )(A a c b r ⋅-+=③在任意ABC ∆中，S 为三角形面积，C 为三角形周长，则CSr 2=④拓展——欧拉定理在ABC ∆中，r R 和分别为外接圆和内切圆的半径，外心和内心的距离为d ，则有：RrR d 222-=2.外心三角形三边垂直平分线的交点。
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
①锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外，等边三角形的外心与内心为同一点。
②三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等。
③在ABC ∆中，C B A ,,为三角形三个顶点，P 为外心，那么有向量关系：|P |=|P |=|P |3.重心三角形三条中线的交点。
①重心到顶点与到对边中点的比为12：。
即：12===GF CG GE BG GD AG ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
③等边三角形的重心到3个顶点的距离平方的和最小。
④在平面直角坐标系中，三角形三个顶点坐标分别为),(11Y X ，),(22Y X ，),(33Y X 重心的坐标为),(Y X ，那么重心的坐标是顶点坐标的算数平均数。
即：33(),(321321Y Y Y X X X Y X ++++=，同理，在空间直角坐标系中，X 坐标：)3(321X X X ++，Y 坐标：3(321Y Y Y ++，Z 坐标：3(321Z Z Z ++，⑤重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
完整版初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理页6 共页1 第三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
1为锐角或直角）或A是△ABC的外心，则∠BOC=2∠（∠A2、若O ∠为钝角）。
A（∠A∠BOC=360°-2当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
、外心到三顶点的距离相等5垂心定理2图图1三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
页6 共页2 第垂心的性质：6个四点圆。
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。
（此直︰2三点共线，且OG︰GH=1、重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。
、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32 、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
4推论：）。
（图1ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 、1. 若 D 、 E F 分别是△（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
中考点睛三角形五心知识点全讲析
中考点睛三角形五心知识点全讲析重心三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）2.性质1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心1.定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
针对于外接圆。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等内心1.定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
1.性质1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．6、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.7、内心到三角形三边距离相等。
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初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或
∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等
垂心定理
图1 图2
三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：
1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图1）
2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
（图1）
3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图2）
定理证明
已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB
证明：
连接DE
∵∠ADB=∠AEB=90度
∴A、B、D、E四点共圆
∴∠ADE=∠ABE
又∵∠ODC=∠OEC=90度
∴O、D、C、E四点共圆
∴∠ACF=∠ADE=∠ABE
又∵∠ABE+∠BAC=90度
∴∠ACF+∠BAC=90度
∴CF⊥AB
因此，垂心定理成立
内心定理
三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
内心的性质：
1、三角形的三条内角平分线交于一点。
该点即为三角形的内心。
2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和与斜边的差的二分之一。
3、P为ΔABC所在空间中任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC 边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
6、（内角平分线分三边长度关系）
△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB 于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.
7、内心到三角形三边距离相等。
旁心定理
三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。
旁心的性质：
1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。
旁心一定在三角形外。
2、任何三角形都存在三个旁切圆、三个旁心。
3、旁心到三角形三边的距离相等。
如图，点M就是△ABC的一个旁心。
三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。
一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
巧记诗歌
三角形五心歌（重外垂内旁）
三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心
三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心
三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心
三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.
内心
三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；
点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．。