20070914高一数学(1.2.2-1函数的表示法)
高一数学必修一1.2.2 函数的表示法 第2课时 教学课件PPT
1.已知f (x) 2x 1,求f (3) 2.已知f (x 1) 2x 1,求f (2) 思考第二个问中，可以通过条件 得到f (x)的解析式么？
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
1.2.2函数的表示法
第二课时 抽象函数的解析式求法
目标引领
1.掌握解析式的几种求法 2.理解在解决函数问题中的整体代换的思
想。
独立自学
想一想： 已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
引导探究
1.换元法求函数解析式
例 1.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
2.用配凑法求解析式
想一想： 已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
引导探究
1.换元法求函数解析式
例 1.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
2.用配凑法求解析式
例2.已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
例 3.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
1.已知 f(x－1)＝(x－1)2，则 f(x)的解析式为 ________． 2．已知 f1x＝1－x x2，求 f(x)．
例2.已知f (2x 1) x2 x 1，求f (x)
例 3.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
1.已知 f(x－1)＝(x－1)2，则 f(x)的解析式为 ________． 2．已知 f1x＝1－x x2，求 f(x)．
3.待定系数法求函数解析式
例4.若f{f[f(x)]}=27xห้องสมุดไป่ตู้26,求一次函数f(x) 的解析式。
1.2.2---函数的表示法----新课讲义
1.2.2 函数的表示法要点一、函数的表示法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1、解析法的概念：如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2(2)y x x =-≥等等都是用解析式表示函数关系的。
特别提醒：1、解析法的优点：①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；③便于利用解析式研究函数的性质。
中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。
2、解析法的缺点：①并不是所有的函数都能用解析法表示；②不能直观地观察到函数的变化规律。
2、列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。
我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的.特别提醒：1、列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。
这种表格常常应用到实际生产和生活中。
2、列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。
3、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。
特别提醒：1、图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。
2、图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。
例1：下列各图中，能作为()y f x =的图象的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）要点二、分段函数图像有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。
人教A版高中数学必修1第一章1.2.2函数的表示法精品课件
(2)集合A＝｛P|P是平面直角坐标系中的点｝，集合B
＝(x， y)|x R ， y R ，对应关系f：平面直角坐标
系中的点与它的坐标对应；
是
(3)集合A＝ ｛x|x是三角形｝，集合B＝｛x|x是圆｝，
对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；是
(4)集合A＝｛x|x是新华中学的班级｝，集合B＝｛x|x
个笔记本需要y元。试用函数的三种表示法表示函数.
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝ 用解析法可将函数y=f(x)表示为
y5x， x 1 ， 2， 3， 4， 5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 1
钱数y
5
234 5 10 15 20 25
用图象法可将函数表示为下图
函数y 图象既可．以是连续的
例4、下表是某校高一（1）班三名同学在高 一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分 表。P20表1-2。请你对这三位同学在高一学 年度的数学学习情况做一个分析。
解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成 绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况。 如果将“成绩”与“测试时间”之间的关系用函 数图象表示出来，如下表（图1.2-3），那么就 能比较直观地看到成绩变化的情况。这对我们的 分析很有帮助。
0
1
4
2
3
12
4
5
20
映射f:A→B，可理解为以下4点：
1、A中每个元素在B中必有唯一的象；
2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象； 3、允许B中元素没有原象； 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一 对一，多对一，但不能一对多.
例7 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射? (1)集合A=｛P|P是数轴上的点｝，集合B=R，对应关
函数表示方法
函数表示方法函数是数学中非常重要的概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素对应到另一个集合中的唯一元素上。
函数的表示方法有很多种，下面我们将介绍几种常见的函数表示方法。
1. 公式表示法。
最常见的函数表示方法就是公式表示法。
在这种表示方法中，我们用一个数学表达式来表示函数。
例如，我们可以用f(x) = x^2来表示一个将自变量x映射到其平方的函数。
公式表示法简洁明了，能够清晰地表达函数的计算规则，因此在数学和物理问题中被广泛使用。
2. 图形表示法。
另一种常见的函数表示方法是图形表示法。
通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的性质。
例如，对于f(x) = x^2这个函数，我们可以绘制出抛物线的图像，从而直观地了解函数的增减性、极值点、凹凸性等信息。
图形表示法能够帮助我们直观地理解函数，因此在教学和科研中被广泛应用。
3. 表格表示法。
除了公式和图形表示法，我们还可以用表格表示法来表示函数。
通过列出自变量和函数值的对应关系，我们可以清晰地展现函数的取值情况。
表格表示法在实际问题中非常实用，特别是在计算机程序设计和数据分析中经常使用。
4. 文字描述法。
除了以上几种常见的表示方法外，有时候我们还可以用文字来描述函数。
通过文字的方式，我们可以对函数的性质、定义域、值域等进行详细的描述。
文字描述法能够帮助我们对函数进行深入的分析和理解。
5. 符号表示法。
在一些高级的数学理论中，为了简化表示和分析，人们还会使用符号表示法来表示函数。
例如，利用极限、导数、积分等符号来表示函数的性质和变化规律。
符号表示法通常用于高等数学、物理学等领域的专业研究中。
综上所述，函数的表示方法有很多种，每种表示方法都有其独特的优势和适用范围。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的表示方法来研究和应用函数，以便更好地理解和利用函数的性质和规律。
希望本文介绍的函数表示方法能够对您有所帮助。
高中数学人教A版必修一课件：1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法
(3,-3),其值域为{0,-1,2,-3}.
(2)y= 2 ,x∈[2,+∞);
x
解:(2)列表
x y 2 1 3
2 3
4
1 2,+≦)时,图象是反比例函数 y=
2 的一部分,观察图象可知其值域为(0,1]. x
(3)y=x2+2x,x∈[-2,2].
解:(3)列表 x -2 -1 0 1 2
自我检测
1.(解析法)已知函数f(x+1)=3x+2,则f(x)的解析式是( (A)f(x)=3x-1 (C)f(x)=3x+2 (B)f(x)=3x+1 (D)f(x)=3x+4
3 1 ,则 f( )等于( x a
A )
2.(解析法)已知函数 f(x)= (A)
1 a
D
)
(B)
3 a
(C)a
(D)3a
表示两个变量之间的对应关系. 来表示两个变量之间的对应关系.
列出表格
函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散点等等.
【拓展延伸】 图象的作法 (1)描点法.作图步骤是:列表、描点、连线. (2)图象变换法. (ⅰ)平移变换. ①形如y=f(x+a),把函数y=f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移 |a|个单位,就得到y=f(x+a)的图象. ②形如y=f(x)+a,把函数y=f(x)的图象沿y轴向上(a>0)或向下(a<0)平移 |a|个单位,就得到y=f(x)+a的图象. (ⅱ)对称翻转变换. ①形如y=f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
x
(2)当x∈R时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1.故函数值域为[-1,+≦).
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解：设反比例函数
f(x）=
kx(k≠0),则f(3)=
k 3
=
-6.
解得k = -18.
故f(x)= - 18. x
2. 若f ( 1 ) x ,求f (x). x 1 x2
解 : 设t 1 ,则x 1 (t 0),
x
t
1
f (t)
1
t 1 t
2
t t2 1
f
(x)
x
x2
(x 1
0，x
探究点2列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法. 如：平方表，平方根表，汽车、火车站的里程价目表、 银行里的“利率表”等。
优点:易知自变量与函数的对应性.
探究点3图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法.
y 如：一次函数y＝kx＋b(k＜0、b＞0)的
图象是一条直线； (x) 2 f (1) x(x 0) ，求 f (x).
x
解：由
3
f
(x)
2
f
(
1 x
)
x
3
f
f((1xx))与f (21x
)f，(或x)f
(x )与1 f x
(x)的表达式.
消去法
解得 f (x) 3x 2 (x 0) 5 5x
适合:同时含有
1.已知反比例函数f(x),满足f(3)＝－6，求f(x)的解析式.
1.画出下列函数图象: (1) f (x) 2x, x R,且 x 2； (2) f (x) x 2,(x N,且 x 3);
解：（1） y
4
•
2
（2）
2 1 O
12
x
2
• 4
高中数学课件1.2.2函数的表示法(1)
国家是( )
A.中国 B.韩国 C.俄罗斯 D.巴西
D
2.下列关于日本地理环境特征的叙述，不正确的是( )
A.国土南北狭长
B.地形以平原为主
C.多优良港湾
D.海岸线曲折
B
同步训练
3.日本首都东京所在的岛屿是( )
C
A.北海道岛
B.九州岛
C.本州岛
D.四国岛
读图7-1-1，完成4～5题。
4.日本的地形特点是( )
( x {1, 2,3, 4,5})个笔记本需要y元,试用函数
的三种表示法表示函数 y f (x)
。
例2．（书P20）下表是某校高一（1）班三名 同学在高一年度六次数学测试的成绩及班级 平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王伟 张城 赵磊班级 平均分 Nhomakorabea98 90 68 88.2
（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加 1元（不足5公里按5公里计算）． 如果某条线路的总里程为20公里，请根据题 意，写出票价与里程之间的函数解析式，并 画出函数的图象．
练习：
x 2(x 1)
1．在函数
f
(x)
x
2
(1
x
2)
中，若 f (x) 3
则x的值为
2x(x 2)
课前预习
一、多火山、地震的岛国
1.日本是太平洋________部的岛国，由________、________、________和
________四个大岛及其附近西的北一些小岛组成。
北海道
2.日本本州国土南北狭长，四海国岸线曲折，多优九良州 _______；________、________广布，沿海平原狭小。日本火山多，分布广。
高一数学1.2.2.1函数的表示法优秀课件
比较上面两个函数的图象，思考函数y=f(x)和y=|f(x)|
图象的关系？
y
y
y x2
y | x2|
3
3
2
2
1
1
-1 o 1 2 3
x -1 o 1 2 3
x
-1
-1
(2)yx21,y|x21|.
y x2 1
y
5
4
3 2 1
-3 -2 -1 o
-1
-2
123x
y
5 4
3
2 1
-3 -2 -1 o
练习一.以下四个图像中，不是函数图像的是〔2〕
思考: 每一个函数都能用这三种方法表示吗？
(1) 出生率与时间的函数关系.
这个函数能不能用解析法 ?
出生率 ()
4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
1950 1955 1960 1970 1975 1980 1985 时间(年)
用列表法可将函数y=f (x)表示为:
笔记本数 x 1 2 3 4 5 钱数 y 5 10 15 20 25
用图象法可将函数y=f (x)表示为:
思考: 假设例3中的函数y=f〔x〕的定义 域改为 [1，5]，那么其图象将会 发生怎样的变化？
思考: 函数图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、
离散的点等等；那么，如何判断在坐标平面中的图象是 否为函数图象呢？
那么x∈(0,0], 所以依题意可得:
2 ,0 x 5
y
3
4
, 5 x 10 , 10 x 15
5 , 15 x 20
思考 此: 题可否用0列表x法表5示5函数x，如1果01可0以x，应1怎5 1样5列x表2？0
高一数学必修1教案：2-1函数的表示方法 含解析 精品
2.1.2 函数的表示方法整体设计教材分析在实际情境中，会根据不同的要求选择恰当的方法表示函数，理解同一个函数可以用不同的方法表示.第2.1.2节仍然以第2.1.1节开头的三个问题为背景，引入函数的表示方法，体现知识情境呈现的一致性.列表法、解析法和图象法是三种常用的函数表示方法.在教学中除了书中的例子外，还应引导学生多举一些社会生活或其他学科中的例子，以加深对函数表示法的理解.列表法简洁明了，函数的“输入值”与“输出值”一目了然.解析法表示函数时，函数关系清楚，容易从自变量求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数性质.图象法的优点是能直观地反映函数值的变化随自变量值变化的趋势.函数的三种表示方法具有内在的联系，在一定条件下，是可以相互转化的，在讲解例题的时候应给予示范和讲解.教材也通过例题3介绍了解简单的分段函数的特点及应用.分段函数是指函数的表达式是分段表示的，它是一个函数.分段是对于定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应法则不一样.教学过程中，可让学生收集一些实例，诸如邮资、出租车费、电话费等资料.根据实例，使学生感受到函数就在身边，体会到数学知识的广泛应用性，培养学生的抽象概括能力和解决问题的能力.三维目标1.明确函数的三种表示方法.2.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数及应用.4.让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法.重点难点教学重点：1.函数的三种表示方法.2.分段函数的概念.教学难点：1.根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？2.分段函数的表示及其图象.3.求函数的解析式(特别是应用题).课时安排1课时教学过程复习1.函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2.在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3.用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？导入新课设计思路一(复习导入)让我们再来看第2.1.1节开头的三个函数问题.在第一个问题中，只要知道了某个年份，就能从此表中查得相应的人口数.这种用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法.在第二个问题中，物体落下时间x与下落距离y的函数关系为y＝4.9x2(x≥０).这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫做函数的解析式.在第三个问题中，我们用图象表示了时刻与气温的关系.这种用图象来表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法.列表法、解析法、图象法是表示函数关系的三种常用方法.设计思路二(情境导入)播放一个关于股票的视频(视频是关于上证指数的各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线)，由此提出生活中类似这样的函数关系还很多.师：在播放视频的同时，证明现实生活当中会有各种各样的函数关系.问题：那么我们如何表示现实生活中多姿多彩的函数关系呢？推进新课新知探究函数的定义是什么？如何判断两个函数是同一个函数呢?如何来表示一个函数呢？请根据条件使用适当的方法来表示函数y=2x2+2x.(1)求f(1),f(2),f(-1).(2)不通过求f(1),f(2),f(-1)比较它们的大小.分析：通过解析式来求函数的值和数形结合的初步接触.解：(1)由函数的解析式可以解得：f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0，故可用解析式来表示函数. 由题意列表得：由上表可知：f(1)=4,f(2)=12,f(-1)=0.故可用列表来表示函数.(2)画出函数y=2x2+2x的图象如右图所示.由函数y=2x2+2x的图象可知，f(-1)＜f(1)＜f(2).表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.1.解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.2.列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. 3.图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质. 点评：对于(1)可选用解析法和列表法.对于(2)通过函数的图象来作比较比较简捷.通过两个问题的解答，归纳出表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.并让学生体会到各种方法的优越性. 应用示例思路1例1 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元.若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x(x ∈{1,2,3,4})的函数，并指出该函数的值域. 分析：本题一定要注意函数的定义域. 解：(1)解析法：y ＝2x ， (x ∈{1,2,3,4}).函数的值域是｛2，4，6，8｝. 点评：函数三种表示方法的应用.例2 画函数f(x)=|x|的图象，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值. 分析：要画函数f(x)=|x|的图象，先去绝对值. 解：因为f(x)=|x|=⎩⎨⎧≥<-,0,,0,x x x x 所以函数f(x)的图象为过原点且平分第一、第二象限的一条折线，如图所示.其中f(-3)=3,f(3)=3,f(-1)=1,f(1)=1.点评：遇到含有绝对值符号的问题时，根据绝对值符号内的代数式去绝对值是常用的方法.例3 某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价7元收费，超过3 km 以外的路程按2.4元/km ，收费,试写出收费额关于路程的函数解析式.解：设路程为x km 时,收费额为y 元,则由题意得：当x≤3时,y=7；当x ＞3时,按2.4元/km ，所收费用为2.4×(x-3),那么有y=7+2.4×(x-3). 于是,收费额关于路程的函数解析式为y=⎩⎨⎧>-⨯+≤<,3),3(4.27,30,7x x x即y=⎩⎨⎧>-≤<.3,2.04.2,30,7x x x点评：①从例2和例3看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意分段函数是一个函数，而不是几个函数.含绝对值的函数实质上就是分段函数.②注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷(Dirichlet)函数D(x)=⎩⎨⎧,,0,,1是无理数是有理数x x 我们就作不出它的图象.例4 求函数解析式：(1)已知一次函数f(x)满足f(0)=5，图象过点(-2,1)，求f(x)；(2)已知二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，图象过原点，求g(x)；(3)已知二次函数h(x)与x 轴的两交点为(-2,0)，(3,0)，且h(0)=-3,求h(x)； (4)已知二次函数F(x)，其图象的顶点是(-1,2)，且经过原点，求F(x). 分析：通过本题的训练，使学生加深对待定系数法的理解和运用. 解：(1)由题意设f(x)=ax+b ，∵f(0)=5且图象过点(-2,1)，∴⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=.5,2125b a b a b ∴f(x)=2x+5.(2)由题意设g(x)=ax 2+bx+c ，∵g(1)=1,g(-1)=5，且图象过原点，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++,0,5,1c c b a c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==,0,2,3c b a∴g(x)=3x 2-2x.(3)由题意设h(x)=a(x+2)(x-3),又∵h(0)=-3,∴-6a=-3,得a=21, ∴h(x)=21x 221-x-3. (4)由题意设F(x)=a(x+1)2+2，又∵图象经过原点，∴F(0)=0,∴a+2=0,得a=-2, ∴F(x)=-2x 2-4x.点评：①已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法； ②基本步骤：设出函数的一般式(或顶点式等)，代入已知条件，通过解方程(组)确定未知系数.思路2例1 某种笔记本每个5元，买x(x ∈{1,2,3,4})个笔记本的钱数记为y(元)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图象. 分析：本题一定要注意函数的定义域.解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5x ，x ∈{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)、B(2，10)、C(3，15)、D(4，20)组成，如下图所示：点评：使学生初步感受函数的图象可以是离散的点.例2 国内投寄信函(外埠)，每封信函不超过20 g 付邮资80分，超过20 g 而不超过40 g 付邮资160分，依次类推，每封x g(0＜x≤100)的信函应付邮资为(单位：分)，试写出以x 为自变量的函数y 的解析式，并画出这个函数的图象. 分析：这是一道生活中函数的实际熟悉的例子，在不同的定义域中函数的表达方式是不同的，因而在书写解析式的时候一定要仔细认真.解：这个函数的定义域集合是{x|0＜x≤100}，函数的解析式为:y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈∈].100,80(,400],80,60(,320],60,40(,240],40,20(,160],20,0(,80x x x x x这个函数的图象是5条线段(不包括左端点)，都平行于x 轴，如图所示.例3 画出函数y=|x|，(-1≤x≤1)的图象.分析：通过对分段函数图象的作法来感受函数图象的多样性.对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图象的影响.对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外注意.解：这个函数的图象是两条线段，分别是第一象限和第二象限的角平分线的一部分，如下图所示：例4 作出分段函数y=|x-1|+|x+2|的图象. 解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即y=|x-1|+|x+2|=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤<--≤+-.1,12,12,3,2),12(x x x x x作出图象如下:点评：注意函数图象的精细化.1.函数的图象通常是一些连续的曲线或直线，但有时它也可以是一段或几段光滑曲线，也可以由一些孤立点或几段线段组成，还可以由折线或射线构成，或者是点、线段、射线、折线、直线和曲线组合而成，甚至可以是一些无规则的曲线.2.有些函数在它的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数. 知能训练课本第31页练习1、2、3、4. 解答：1.y=1 852x,x ∈[0,+∞). 2.如图：3.S=x(15-x),x ∈(0,15)，图象如下：4.(1)、(4).点评：1.一次函数的简单应用.2.分段函数图象的作法.3.二次函数模型的正确建立并注意区间的限制.4.函数图象囊括了函数的一切性质，因而在图象上必须满足函数的性质.课堂小结1.函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.2.会画一些简单函数的图象.3.学习了用函数的知识解决实际问题，其关键是通过认真分析题意将实际问题抽象，转化成数学问题，再去求解数学问题，从而回答实际问题.这就是数学建模思想在实际问题中的具体应用.作业课本第32页习题2.1(2) 3、5.设计感想学生是教学的对象，又是教学活动的主体，因此学生主体性的发挥影响着学生对数学知识的理解和掌握，影响着学生的数学意识和数学能力的提高.对于导入的设计思路二，我是这样设计的：开始上课先复习函数的概念，紧接着插入一个关于股市股票指数的视频，视频中各种各样的图象——毫无规则的曲线、折线，由此提出生活中类似这样的函数关系还很多，那么我们如何表示呢？这样一开始就引人入胜，会激发学生浓厚的学习兴趣，使学生一下子变得非常专注.在学生观看了视频后，先引导学生学习熟悉的第一种表示方法——解析法.如果要表示1990—2000年国民生产总值用解析法就很不方便，由此引出第二种表示法——列表法，然后通过分析前述两种方法的优劣，提出生活中有的函数用解析法、列表法很不方便，由此引出图象法.新课程十分注重学生主体参与师生互动，注重知识的运用，注重学生思维能力和创新能力的培养，所以在讲完表示法之后的例题教学中，先由学生自我尝试解答，而后用实物投影展示学生尝试的成果.同时教师通过多媒体课件点评解法，让学生感受函数的三种表示法.习题详解课本第32页习题2.1(2)1.设下落距离为y m,下落时间为x s,且y=ax2(a≠0),由题意得：19.6=4 a,所以a=4.9.所以y=4.9x2 .当x=3时,y=44.1，故物体下落了44.1 m.2.设销售价上涨x元,则销售量为100-10x,销售利润为y=(x+10-8)(100-10x),即y=10(x+2)(10-x)，(x∈N且0≤x≤10).(1)销售价为13元时,x=3,y=350，即售价为13元时每天的销售利润为350元；(2)y=360时,x=4，即如果销售利润为360元,那么销售价上涨了4元. 3.由题意可知f(x)=⎩⎨⎧+∞∈-∈-),,11(,44],11,0[,622x x xf(3.5)=22-6×3.5=22-21=1,即高度为3.5 km 的气温是1 ℃； f(12)=-44,即高度为12 km 的气温是-44 ℃. 4.由题意可知y=480+320(x+x4),x ∈(0,+∞). 5.如图所示： y=-x 2+x+1， x ∈[-1,1].6.此题是开放性题目,答案不唯一.例如f(x)=x 0,g(x)=⎩⎨⎧==)4,3(,3),2,1(,1x x 等.7.f[f(-2)]=f(4)=4.8.图象是y=x 3(x ∈R )图象上9个离散的点.如图:9.D.y 必须随x 的增大而减小,因为跑步时的速度要比走路时快,所以该人离单位的距离y 的变化是“先快后慢”.10.不唯一.例如,y=x 2,y=3x-2,y=7x6-. 11.(1)4 000+50×1 000=54 000,即一天生产100双皮鞋的成本是54 000元； (2)由48 000=4 000+50n 得n=880,即这一天生产了880双皮鞋；(3)由P=40n-4 000≥0,得n≥100,即若每双皮鞋的售价为90元,且生产出的皮鞋全部售出,则这一天的利润P 关于这一天生产数量n 的函数关系是P=40n-4 000(n ∈N *),每天至少生产100双皮鞋才能不亏本. 12.略.13.无数个.如y=x 2,x ∈[1,2],y=x 2,x ∈(-2,23].。
1.2.2-1函数的几种表示方法
1x－1 (x≥0)， 2
练习 设 f(x)＝ 1 (x<0)， x
若 f(a)>a，则实数 a 的取值范围是________．
例5
某地出租车的出租费为 4 千米以内(含 4 千米)，按起步费收 10 元，超过 4 千米按每千米加
收 1 元，超过 20 千米(不含 20 千米)每千米再加收 0.2 元，若将出租车费设为 y，所走千米
源:]
数学用表中的平方表、平方根表、三角函数表，银行里的利息表，列车时刻表等等都是 用列表法来表示函数关系的.公共汽车上的票价表
优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值. ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.
例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我
优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变
量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.
例如，学生的身高
单位：厘米
学号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
身高 125 135 140 156 138 172 167 158 169[来
国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系
的.
优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋
势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.
D
三、例题讲 解
例 1 某种笔记本每个 5 元，买 x {1,2,3,4}个笔记本的钱数记为 y
C
（元），试写出以 x 为自变量的函数 y 的解析式，并画出这个函数的图像
高中数学人教A版必修一1.2.2函数的表示法(1) 课件(31张)
第 1 课时
函数的表示法
1.掌握函数的三种表示法: 解析法、列表法、图象法, 以及各种表示法的优缺点. 2.在实际问题中, 能够选择恰当的表示法来表示函数. 3.能利用函数图象求函数的值域, 并确定函数值的变化趋势.
函数பைடு நூலகம்表示法
表示法 解析法 定义 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系, 这种表示 方法叫做解析法, 这个数学表达式叫做函数的解析式 以自变量 x 的取值为横坐标, 对应的函数值 y 为纵坐标, 图象法 在平面直角坐标系中描出各个点 , 这些点构成了函数 y=f( x) 的图象 , 这种用图象表示两个变量之间对应关系 的方法叫做图象法 列一个两行多列的表格 , 第一行是自变量的取值 , 第二 列表法 行是对应的函数值, 这种列出表格来表示两个变量之间 对应关系的方法叫做列表法
三种表示法的优缺点如下表: 表示法 解析法 优点 简明、全面地概括了变量之间 的关系 ,且利用解析式可求任 一自变量对应的函数值 图象法 能形象直观地表示变量的变 化情况 不需计算可以直接看出与自 变量对应的函数值 缺点 不够形象直观 , 而且并 不是所有函数都有解 析式 只能近似地求出自变 量所对应的函数值 只能表示有限个数的 自变量所对应的函数 值
列表法
【做一做 1-1】 2011 年 6 月通车的京沪高速铁路总长约 1 318 千米, 设计时速 为 300~350 千米/时.一列火车以 300 千米/时的速度在京沪高速铁路上行驶了 x 小时, 行驶的路程为 y 千米, 则 y 与 x 的函数关系式为 答案: y=300x 0 x 659 .
2.判断一个图形是否可以作为函数图象 剖析: 任作垂直于 x 轴的直线, 如果图形与此直线至多有一个交点, 则此图形 可以作为函数图象; 若图形与直线存在两个或两个以上的交点, 则此图形不可以 作为函数的图象. 如下图, 由上述判断方法可得, (1) 可以作为函数的图象, ( 2) 不可以作为函数 的图象, 因为存在垂直于 x 轴的直线与图形有两个交点.
高中数学 1.2.2函数的表示法(一)
课后作业
1.阅读教材； 阅读教材； 阅读教材 2.习案 作业 ，P.160至P.161； 习案:作业 习案 作业7， 至 ； 3.预习下节内容． 预习下节内容． 预习下节内容 思考题： 思考题：你能作出函数 y = x −2x −3
2
的函数图象吗？ 的函数图象吗？
2 2
y = ax +bx +c(a ≠ 0)
2
优点: 函数关系清楚, 优点 函数关系清楚 便于研究 函数性质. 函数性质
2. 列表法： 列表法： 列出表格来表示两个变量的关系. 列出表格来表示两个变量的关系
列表法： 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关 系。 优点： 优点：不必通过计算就能直接看出与自变量的值 相对应的函数值。 相对应的函数值。
2. 列表法： 列表法： 列出表格来表示两个变量的关系. 列出表格来表示两个变量的关系 如：平方表，平方根表，汽车、 平方表，平方根表，汽车、 火车站的里程价目表、银行里的 火车站的里程价目表、 “利率表”等等． 利率表”等等．
Байду номын сангаас
2. 列表法： 列表法： 列出表格来表示两个变量的关系. 列出表格来表示两个变量的关系 如：平方表，平方根表，汽车、 平方表，平方根表，汽车、 火车站的里程价目表、银行里的 火车站的里程价目表、 “利率表”等等． 利率表”等等． 优点: 易知自变量与函数的对应性. 优点 易知自变量与函数的对应性
分段函数的定义
函数在它的定义域中， 函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应关系不同，这 不同取值范围，对应关系不同， 种函数通常称为分段函数. 数通常称为分段函数
分段函数的表达式虽然不止一个， 分段函数的表达式虽然不止一个， 但它不是几个函数，而是一个函数. 但它不是几个函数，而是一个函数
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（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间 的对应关系； （2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应 关系； （3）列表法：用表格表示两个变量之间的对应 关系. 3.在日常生活中，我们会遇到许多函数问题，如 何选择适当的方式来表示问题中的函数关系呢？
知识探究（一）
某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2， 3，4，5})个笔记本需要y元．试用适当的方 式表示函数y=f(x)． 思考1:该函数用解析法怎样表示？ y 5 x, x {1, 2,3, 4,5} 思考2:该函数用列表法怎样表示？
笔记本数 x 钱数 y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
思考3:该函数用图象法怎样表示？
y
25 20 15 10 5 O
1
2
3
4
5
x
思考4:上述三种表示法各有什么特点？
知识探究（二）
下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六 次数学测试的成绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
思考4:该函数用图象法怎样表示？
y
5 4 3 2 1
5
10
15
20
x
思考5:上面的函数称为分段函数,一般地， 分段函数的解析式有什么特点？试举例说明.
理论迁移
例1 设周长为20cm的矩形的一边长为xcm， 面积为Scm2,那么x与S的对应关系是否为函 数？若是,试用适当的方法表示出来.
S x(10 x), x (0,10)
例2 画出函数y=|x|的图象.
y
o
x
练习作业：
P23练习：1，2，3； P24习题1.2A组：9.
高一年级
第一章 1.2.2
数学
函数的表示法
课题: 函数的表示法 授课者: 朱海棠
湖南广益卫星远程学校
高一 • 2007年下学期
问题提出
1.从集合与对应的观点分析，函数的定义 是什么？
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集A中的任意一个数x，在 集B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么 就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作y=f(x),x∈A. 2.函数有哪几种常用的表示法？
设里程为x公里，票价为y元，则
2, 0 x 5, 3, 5 x 10, y 4,10 x 15, 5,15 x 20.
思考3:该函数用列表法怎样表示？
里程x （公里）
票价y （元）
（0，5]
2
（5，10] （10，15] （15，20]
3 4 5
某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线 路上公交车“招手即停”，其票价如下： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元 （不足5公里按照5公里计算）.
思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函 数？若是，函数的自变量是什么？定义域是 什么？ 思考2:该函数用解析法怎样表示？
王 伟 张 城 赵 磊
班平分
98 87 91 92 88 95 90 76 88 75 86 80 68 65 73 72 75 82 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
思考1:上表反映了几个函数关系？这些函数 的自变量是什么？定义域是什么？ 4个；测试序号；{1，2，3，4，5，6}.
70 平均分
赵磊
张 城
60
x 1 2 3 4 5 6 王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情 况比较稳定而且成绩优秀；张城同学的数学成绩不稳定， 总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大；赵磊 同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩呈上升趋 势，表明他的数学成绩在稳步提升.
O
知识探究（三）
思考2:上述4个函数能用解析法表示吗？能 用图象法表示吗？
y
100 90 80 70 60 平均分
王伟
赵磊 1 2 3 4 5
张 城
O
6
x
思考3:若分析、比较每位同学的成绩变化情 况，用哪种表示法为宜？
思考4:试根据图象对这三位同学在高一 学年度的数学学习情况做一个分析.
y 王伟
100
90 80