32导数的基本公式及四则运算法则

3.2 导数基本公式与四则运算法则
3.2.1 常值函数的导数 3.2.2 幂函数的导数 3.2.3 正弦函数的导数 3.2.4 对数函数的导数 3.2.5 函数的和、积、商的导数 3.2.6 反函数的导数 3.2.7 复合函数的导数 3.2.8 隐函数的导数 3.2.9 取对数求导法 3.2.10 基本初等函数的导数公式志求导法则
特别地，当其中有一个函数为常数 c时， 则有
(cu )cu．
上面的公式对于有限多个可导函数成立， 例如：
( u) v u v w u w v w u w ． v
例2 设 y (1 2 x )5 ( x 2 3 x 1 )， 求 y ． 解 y ( 1 2 x )(5 x 2 3 x 1 )
定理2.2的结论可以推广到多层次复合的
情况． 例如设yf(u) ，u(v) v，(x) ，
则复合函 yf{[(x)]数}的导数为
dydydudv dx du dv dx
(2.2.9)
例8 求下列函数的导数：
(1)
y

tan 1
2x
；
(2) ysi2n (23x)；
(3) ylo3cgoxs21．
解 (1)设 y 2u ，utav，nv 1 由定理
2.2得
x
yxyu uv vx 1 2uln2co12vs(x12)2xt2acxnol2n1sx2；
(2) y 2 s2 i 3 x n ) c2 ( o 3 x ) ( s 3 )( 3 s2 i(2 n 3 x )；
推论
(u)uvuv .
v
v2
(2.2.5)

c v



cv v2

1 v



v v2
例4 已知 f(x)x2 x2, 求 f (1)． x3
解 f(x ) (x 2 x 2 )(x 3 ) (x 2 x 2 )x ( 3 ) (x 3 )2
3.2.6 反函数的导数
反三角函数的导数公式．
(arcxs)in
1 1x2
；(arcxc)o s
1 1x2
；
(arctxa)n 1 ； 1x2
(arccox)t 1 ． 1x2
3.2.7 复合函数的导数
ysi3 n x(1 )是一个复合函数，它可以 看作是由 ysinu及 u3x1复合而成的． 我们用定义求出它的导数．
(2x1)x(3)(x2x2)1 x2 6x 5，
(x3)2
(x 3)2
f(1)126151． (13)2 8
例5 设 y5x3 2x7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y5x22x27x2
，
于是 y 5 5x2 3 2 1x 1 2 7( 1 )x 2 3
(1) ysin3x ； (3) y sin x ；
5 (5) y 1 ；
1 2x
(2) ycosx2 ； (4) y(25x)4 ； (6) y 43x2 ；
(7) ylncoxs.
解 (1)设 usixn， y u3 由定理2.2得 y x y u u x 3 u 2 cx o 3 ss 2 x ic n x o ； s (2)设 ux2， ycou由s定理2.2得 y x y u u x su i 2 x n 2 x sx 2 i；n (3)设 u x ， ysinu由定理2.2得 5 yxyu uxco us 1 51 5co 5 x；s (4)设 u25x， y u4 则 y x y u u x 4 u 3 5 2 ( 2 0 5 x ) 3 ；
5 2 x 3 ( 3 ) x 4 2 x l2 n 4 ( sx ) in 1x092xln 24sixn．
x4
2.乘积函数的导数
设函数 u(x)和 v(x)在点 x处可导，则 yu(x)v(x)在点 x处也可导，且
(u)v u v u v．
设 y x10，y 3 x
，y
1 x
，y 1 4 x3
解 由幂函数的求导公式得
(x10 )1x09；
(3x)(x1 3)1 3x3 2331 x2；
(1)(x 1)(1)x21；
x
x2
(1)(x 4 3)( 3 )x 7 43 ．
4x3
1 sixln n x xcx o ln x s xsixn 1 x
s x l i x n x n c x lo x n s x s ．in
3.函数商的导数
设函数 u(x) 和 v(x)在点 x处可导，且， v(x)0，则 y u ( x ) 在点 x处也可导，且
v(x)
1xloga(1xx)xx，
所以 lx i0m y xl x i0[m 1 xloa(1 g xx) xx]
1xloag lxi m 0(1xx)xx
1xloga e
1 xlna
，
即
(loga x)

1 xlna
．
特别地，当ae时，因为 lne1，所以有
(3) y 10 x 5 ln x
( 4 ) y (1 2 x 2 ) sin x sin 2
(5) y 点处的导数：
(1)设f(x)(1x3)(4x12),求f(1)和f(12) (2)设y1 x,求y(4)
1 x
y2sin2xcosx(2x)
x
x

cos(x

x) 2
sin x
2 x
，
2
所以
x lxi m 0 yxlxi m 0[coxs( 2x)sinx2]
co x1 sco x，s 2
即
(sx i)n cox．s
类似地可以得到
(cxo ) ssix．n
1.代数和函数的导数
设函数 u(x) 和 v(x)在点 x处可导，则 yu(x)v(x)在点 x处也可导，且
(u v)u v． 例1 设 y5x232x4cox，s 求 y ．
x3 解 y 5 (x 2 ) 3 (x 3 ) ( 2 x ) 4 (c x ) os
(3) y' 1 ( six n 2 1 ) cox2s 1 l3 n
2x 2 x2 1 x tanx21．
ln 3x21
例9 求函数 y(x1)34x的导数
解
y ( x 1 ) 3 4 x ( x 1 )3 ( 4 x )
34x(x1) 4 234x
34x2x216x ； 34x 34x
例10 求函数 y ln 1 x2 的导数． 1 x2
解 由对数性质，有
y1[l1 nx (2)ln1 (x2)]，
2
则
y1{[1 lx n 2)](ln 1 [x2 ()]}
2
1(2x2x)2x． 21x2 1x2 1x4
数
dy du

f (u)
，函数
yf(u)在点
u处有导
数
dy du

f (u)
，则复合函数
yf[(x)]在该
点 x也有导数，且
dyf(u)(x)
dx
(2.2.6)
或
yxyu ux
(2.2.7)
或
dy dy du . dx du dx
(2.2.8)
例7 求下列函数的导数：
4
4 4x7
练习一 求下列函数的导数：
(1 ) y x 7 (2)y 1
x (3 ) y 5 x 3 (4 ) y x5 4 x3 (5 ) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 ysinx，则 于 是y si x n x )( sx in 2si n2xcoxs( 2x)，

2x 3x
，求 y1 ， y 2 ．
解
在
y 中，因为 1
a10，由公式得
y1 (1x)0 1x0 ln 1；0
而
y2
2x 3x
(2)x ，a 3

2 3
，由公式得
[2 ( )x] (2 )xln 2 (2 )x(l2 n l3 n )． 3 3 33
3.2.5 函数的和、积、商的导数
22
2
25x23
1
x2
7x23
2
2
1 (2x532x7)． 2 x3
例6 求 ytaxn的导数． 解 因为 y sin x ，所以
cos x y(sxi)n cox ssixn (cx o)s
(cx o)2s co 2x ssi2x n 1 se 2xc ，
3.2.4 对数函数的导数
设 y la o x( x g 0 , a 0 , a 1 ) ，则 y lo a (x g x ) lo axg loax g x xloa(1 g xx)，
于是 y xloa( g 1x xx)x xxloa(g 1 xx)
co 2xs co 2xs 即 (tax)n 1 se2xc．
co2xs
用同样方法可以得到 (cxo) t 1 cs2xc． si2n x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 1 0 x x 10
(2) y x2
1 x
5cos x
3 log 2
x

ln 4
3.2.1 常值函数导数
设 yc( c为常数)，
ycc0，
于是
y x
0x
0，
所以
climy0 ． x0x