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数学数学导数及其应用多选题试题及答案

数学数学导数及其应用多选题试题及答案一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ．【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．已知：()f x是奇函数，当0x>时，()'()1f x f x->，(1)3f=，则（）A．(4)(3)f ef>B．2(4)(2)f e f->-C．3(4)41f e>-D．2(4)41f e-<--【答案】ACD【分析】由已知构造得'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.【详解】因为当0x >时，()'()1fx f x ->，所以()'()10f x f x -->，即()[]'()+10xf x f e x ->，所以'()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，令()()+1xf xg x e=，则当0x >时，()'>0g x ，函数()g x 单调递增，所以()()4>3g g ，即43(4)+1(3)+1>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；()()4>2g g ，即42(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-，所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；()()4>1g g ，即4(4)+1(1)+1>f f e e，又(1)3f =，化简得3(4)41f e >-，故C 正确；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所以2(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.3．在湖边，我们常看到成排的石柱子之间两两连以铁链，这就是悬链线（Catenary ），其形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.选择适当的坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数()cosh 2x x aax e ef x a a a -+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，其中a 为非零常数，在此坐标平面上，过原点的直线与悬链线相切于点()()00,T x f x ，则0x a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值可能为（）（注：[]x 表示不大于x 的最大整数）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AC 【分析】求出导数，表示出切线，令0x t a=，可得()()110t tt e t e --++=，构造函数()()()11x x h x x e x e -=-++，可得()h x 是偶函数，利用导数求出单调性，结合零点存在性定理可得021x a -<<-或012xa<<，即可求出. 【详解】()2x xaae ef x a -+=⋅，()2x x aae ef x --'∴=，∴切线斜率002x x aae ek --=，()0002x x aae ef x a -+=⋅，则切线方程为()0000022x x x x aaaaee e ey a x x --+--⋅=-，直线过原点，()0000022x x x x aaa ae e e ea x --+-∴-⋅=⋅-令0x t a=，则可得()()110t tt e t e --++=，令()()()11xxh x x e x e -=-++，则t 是()h x 的零点，()()()()11x x h x x e x e h x --=++-=，()h x ∴是偶函数，()()x x h x x e e -'=-+，当0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，()1120h e -=>，()22230h e e -=-+<，()h x ∴在()1,2存在零点t ，由于偶函数的对称性()h x 在()2,1--也存在零点，且根据单调性可得()h x 仅有这两个零点，021x a ∴-<<-或012xa<<，02x a ⎡⎤∴=-⎢⎥⎣⎦或1. 故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数求切线，利用导数研究函数的零点，解题的关键是将题目转化为令0x t a=，()()110t t t e t e --++=，求()()()11x xh x x e x e -=-++的零点问题.4．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：（i ）直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；（ii ）曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C . 下列命题正确的是（）A ．直线:0l y =在点()0,0P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l x =-在点()1,0P -处“切过”曲线()2:1C y x =+C ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点()0,0P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【分析】分别求出每个选项中命题中曲线C 对应函数的导数，求出曲线C 在点P 处的切线方程，再由曲线C 在点P 处两侧的函数值对应直线上的点的值的大小关系是否满足（ii ），由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，由3y x =，可得23y x '=，则00x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为0y =，当0x >时，0y >；当0x <时，0y <，满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线0y =两侧， A 选项正确；对于B 选项，由()21y x =+，可得()21y x '=+，则10x y =-'=，而直线:1l x =-的斜率不存在，所以，直线l 在点()1,0P -处不与曲线C 相切，B 选项错误；对于C 选项，由sin y x =，可得cos y x '=，则01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，设()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以，函数()f x 为R 上的增函数，当0x <时，()()00f x f <=，即sin x x <；当0x >时，()()00f x f >=，即sin x x >.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，C 选项正确；对于D 选项，由sin tan cos xy x x ==，可得21cos y x'=，01x y ='=，所以，曲线C 在点()0,0P 处的切线方程为y x =，当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，设()tan g x x x =-，则()2221sin 10cos cos xg x x x=-=-≤'，所以，函数()g x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.当02x π-<<时，()()00g x g >=，即tan x x >；当02x π<<时，()()00g x g <=，即tan x x <.满足曲线C 在点()0,0P 附近位于直线y x =两侧，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数新定义，解题的关键就是理解新定义，并把新定义进行转化，一是求切线方程，二是判断在切点两侧函数值与切线对应的函数值的大小关系，从而得出结论.5．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>【答案】ABC 【分析】求导2()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题意；当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得1x =2x =当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：x,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭3a-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭3a- ,3a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+-+()f x极大值极小值故当3ax -=-，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，当3a x -=，函数()f x 取得极小值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图或则需0303a f a f ⎧⎛--<⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a ab -<<，B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪>⎪⎩，即20332033a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a ab ->>，D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意；故选：ABC 【点睛】思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.6．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ．【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根．设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==，所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确．故选：ACD ．【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．7．已知函数()()()221x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】CD 【分析】求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()12112xx f x x e a x x e a '=-+-=-+，①若0a =，那么()()0202xf x x e x =⇔-=⇔=，函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意； ②若0a >，那么20x e a +>恒成立，当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数；当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数；此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点；当1x <时，x e e <，210x -<-<，∴()()()()()222121x f x x e a x x e a x =-+->-+-()()211a x e x e =-+--，令()()2110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <，则当1x t <，或2x t >时，()()()2110f x a x e x e >-+-->，故函数()f x 在1x <存在一个零点；即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意；③若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()(1)20xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，由()()()()()2ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦(){}2ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2ea =-，则()ln 21a -=，当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故函数()f x 在R 上单调递增，函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；⑤若2ea <-，则()ln 2ln 1a e ->=，当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()120xf x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()()()120xf x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，故当1x =时，函数取极大值，由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a 的取值范围为()0,∞+，故选：CD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.8．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x f θ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（）A ．()x fθ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1f g θθ+≥在02πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t fg θθ=+的最大值为2.【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解．【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=，对于A ，函数()cos f θθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，故B 错误；对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t f g θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+，令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos 2θ=时，函数取得极大值1222t =⨯= 又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t f g θθ=+取得最大值2，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域；（2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.。

专升本导数练习题及答案

专升本导数练习题及答案### 专升本导数练习题及答案#### 练习题一：基础导数计算题目：计算以下函数的导数：1. \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)2. \( g(x) = \sin(x) + e^x \)3. \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)解答：1. 对于 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，我们使用幂函数的导数规则： \[ f'(x) = 6x + 2 \]2. 对于 \( g(x) = \sin(x) + e^x \)，我们分别求导：\[ g'(x) = \cos(x) + e^x \]3. 对于 \( h(x) = (x^3 - 1)^4 \)，我们使用链式法则和幂函数的导数规则：\[ h'(x) = 4(x^3 - 1)^3 \cdot (3x^2) = 12x^2(x^3 - 1)^3 \]#### 练习题二：复合函数的导数题目：计算以下复合函数的导数：1. \( F(x) = (\ln(x))^2 \)2. \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)解答：1. 对于 \( F(x) = (\ln(x))^2 \)，我们使用链式法则和对数函数的导数：\[ F'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x} \]2. 对于 \( G(x) = \sqrt{x} \cdot \sin(x) \)，我们使用乘积法则： \[ G'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin(x) + \sqrt{x}\cdot \cos(x) \]\[ G'(x) = \frac{\sin(x)}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x}\cos(x) \]#### 练习题三：隐函数的导数题目：计算以下隐函数的导数：1. \( x^2 + y^2 = 9 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)2. \( y^3 + xy = 2 \) 求 \( \frac{dy}{dx} \)解答：1. 对于 \( x^2 + y^2 = 9 \)，我们对等式两边求导：\[ 2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \]2. 对于 \( y^3 + xy = 2 \)，我们对等式两边求导：\[ 3y^2\frac{dy}{dx} + (x + y)\frac{dy}{dx} = 0 \]\[ \frac{dy}{dx}(3y^2 + x + y) = -x \]\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{3y^2 + x + y} \]#### 练习题四：高阶导数题目：计算以下函数的二阶导数：1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)2. \( g(x) = \ln(x) - e^x \)解答：1. 对于 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，我们首先求一阶导数： \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]然后求二阶导数：\[ f''(x) = 6x - 12 \]2. 对于 \( g(x) = \ln(x) - e^x \)，我们首先求一阶导数：\[ g'(x) = \frac{1}{x} - e^x \]然后求二阶导数：\[ g''(x) = -\frac{1}{x^2} - e^x \]这些练习题涵盖了基础导数计算、复合函数导数、隐函数导数以及高阶导数，是专升本数学考试中常见的题型。

高职专升本第二章导数及其应用习题及答案

应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。

A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。

2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。

(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。

3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。

4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。

A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。

5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。

A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。

6．||ln x y =，则y’=（ B ）。

A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。

7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。

A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。

(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。

A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。

10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分(一)f X 0 X f X 0Ix 0X3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ）5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ）C . a6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C .-1 D .不存在7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ）A . 8B . 12C . -6D . 68.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ）A . e f xB f X r e ff X££fX丄2x C . e f x f x D . ef x9.若 f x axe , x 0在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x,(A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到X ox 时，相应函数的改变量f x 0 x B .f x 0 x C . f x 0X f X 0 f X 。

x2 .设f x 在x o 处可，则limf X 0 B .X oC . f X 0D . 2 f X 0A .必要不充分条件B . 充分不必要条件C .充分必要条件既不充分也不必要条件4.设函数y f u 是可导的，且ux2，则 dy ( C )x 2 B . xf x 2C .2 22xf x D . x f xD .有定义10•若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ）A •一定都没有导数B •—定都有导数C .恰有一个有导数D •至少一个有导数11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fxg x 在 x o 处(D )13 . y arctg 1，贝U yxA .一定都没有导数B . 一定都有导数C .至少一个有导数D .至多一个有导数12.已知F xf g x ，在 X X 。

(word完整版)导数及其应用最全教案(含答案),推荐文档

导数及其应用一、知识点梳理1.导数：当x ∆趋近于零时，xx f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c xx f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000'2.导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-3.导数的四则运算法则：1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± 2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4.几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（(3)x x cos )(sin ='(4)x x sin )(cos -=' (5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)xxe e =')( (8)a a a xxln )(=' 5.函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

导数及其应用练习及答案详解

导数及其应用一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)1.下列求导运算正确的是()A．′＝x B．(x e x)′＝e x＋1 C．(x2cos x)′＝－2x sin x D．′＝1－2.已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a，b∈R且ab≠0)的图象如图所示，若|x1|>|x2|，则有()A．a>0，b>0 B．a<0，b<0 C．a<0，b>0 D．a>0，b<03.已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是() A．B．C．D．4.函数f(x)＝x－sin x在区间[0，π]上的最大、最小值分别为()A．π，0 B．－，0 C．π，－1 D．0，－15.ʃ(e x＋e－x)d x的值为()A．e＋B．2e C．D．e－6.已知f(x)＝x＋在(1，e)上为单调函数，则实数b的取值范围是()A．(－∞，1]∪[e2，＋∞)B．(－∞，0]∪[e2，＋∞)C．(－∞，e2] D．[1，e2] 7.若函数f(x)＝x2－a ln x在(1，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]8.设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)()A．在区间，(1，e)内均有零点B．在区间，(1，e)内均无零点C．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点D．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，若关于x的不等式f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则实数m的取值范围是()A．(－∞，e2－2) B．(－∞，e2－2] C．(－∞，1) D．(－∞，1]10.曲线y＝x2－2ln x的单调增区间是()A ． (0,1]B ． [1，＋∞)C ． (－∞，－1]和(0,1]D ． [－1,0)和[1，＋∞) 11.由曲线y ＝与直线y ＝2x －1及x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A ．B ．C ．D ．12.一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v (t )＝27－0.9t ，则列车从刹车到停车走过的路程为( )A ． 405B ． 540C ． 810D ． 94513.已知函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋36x －24在x ＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A ． (2,3) B ． (3，＋∞) C ． (2，＋∞) D ． (－∞，3)14.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )A ．－4B ． 3C ．－2D ． 115.函数f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2的值为( ) A ． π＋6 B ． π－2 C ． 2π D ． 8二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)16.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高分别为__________时，其体积最大．17.若函数f (x )＝x 3＋x 2＋m 在区间[－2,1]上的最大值为，则m ＝________.18.如图，已知点A ，点P (x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y ＝x 2上，若阴影部分的面积与△OAP 的面积相等，则x 0＝________.19.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．20.已知函数f (x )＝－x 3＋2ax 2＋3x (a >0)的导数f ′(x )的最大值为5，则在函数f (x )图象上的点(1，f (1))处的切线方程是________．21.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数；②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性；③函数f (x )在x ＝－处取得极大值；④函数f (x )在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．二、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分)22.已知定义在R上的函数f(x)＝ax3－2ax2＋b(a>0)在区间[－2,1]上的最大值是5，最小值是－11.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若t∈[－1,1]时，f′(x)＋tx≤0恒成立，求实数x的取值范围．23.已知函数f(x)＝x－ln x－2.(1)求函数f(x)的最小值；(2)如果不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值．24.已知函数g(x)＝，f(x)＝g(x)－ax.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1，＋∞)上是减函数，求实数a的最小值．25.已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)．(1)当a＝4时，求曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．26.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加，年销售量y关于x的函数为y＝3 240，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？(年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量)26.设函数f(x)＝2−ax2＋ax－2ln x(a∈R)．(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；(2)当a>4时，2求函数f(x)的单调区间；(3)若对任意a∈(4,6)及任意x1，x2∈[1,2]，ma＋2ln 2>|f(x1)－f(x2)|恒成立，求实数m的取值范围．导数及其应用答案解析1.【答案】D【解析】A项，′＝－；B项，(x·e x)′＝e x＋x·e x；C项，(x2cos x)′＝2x cos x －x2·sin x；D正确，故选D.2.【答案】B【解析】由f(x)的图象易知f(x)有两个极值点x1，x2，且x＝x1时有极小值，∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋1的图象如图所示，∴a<0.又|x1|>|x2|，∴－x1>x2，∴x1＋x2<0，即x1＋x2＝－<0，∴b<0.3.【答案】A 【解析】由于f(x)＝x2＋cos x，∴f′(x)＝x－sin x，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B和D，又当x＝时，f′＝－sin＝－1<0，排除C，故选A.4.【答案】C【解析】函数f(x)＝x－sin x，∴f′(x)＝1－cos x，令f′(x)＝0，解得cos x＝，又x∈[0，π]，∴x＝，∴x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．又f＝－sin＝－1，f(0)＝0，f(π)＝π，∴函数f(x)在区间[0，π]上的最大、最小值分别为π，－1.5.【答案】D 【解析】ʃ(e x＋e－x)d x＝(e x－e－x)|＝e－.6.【答案】A【解析】若b≤0，则函数在(0，＋∞)上为增函数，满足条件，若b>0，则函数的导数f′(x)＝1－＝，由f′(x)>0得x>或x<－，此时函数单调递增，由f′(x)<0得－<x<，此时函数单调递减，若函数f(x)在(1，e)上为增函数，则≤1，即0<b≤1，若函数f(x)在(1，e)上为减函数，则≥e，即b≥e2，综上b≤1或b≥e2，故选A.【解析】由题意知，f′(x)＝x－＝(x>0)，∵f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，∴a≤x2在区间(1，＋∞)上恒成立，∵x>1时，x2>1，∴a≤1，故选D.8.【答案】C【解析】由题意得f′(x)＝(x>0)，令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得0<x<3；令f′(x)＝0，得x＝3，故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x＝3处有极小值1－ln 3<0；又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0.所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点．9.【答案】B【解析】由f(x)－m≥0得f(x)≥m，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，此时，函数f(x)单调递增，所以f(1)≤f(x)≤f(e)．即1≤f(x)≤e2－2，要使f(x)－m≥0在[1，e]上有实数解，则有m≤e2－2.10.【答案】B【解析】求解函数的导数可得y′＝2x－，令2x－≥0，结合x>0，解得x≥1.所以单调增区间为[1，＋∞)．11.【答案】D【解析】联立曲线y＝与直线y＝2x－1，构成方程组解得联立直线y＝2x－1，y＝0构成方程组，解得∴曲线y＝与直线y＝2x－1及x轴所围成的封闭图形的面积为S＝ʃd x－＝＝＋－＝.12.【答案】A【解析】停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴所求路程s＝ʃv(t)d t＝ʃ(27－0.9t)d t＝(27t－0.45t2)＝405.【解析】因为f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋36，且在x ＝2处有极值，所以f ′(2)＝0，即24＋4a ＋36＝0，解得a ＝－15，所以f ′(x )＝6x 2－30x ＋36＝6(x －2)(x －3)，由f ′(x )>0，得x <2或x >3.14.【答案】D【解析】由图象可得函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线是l ，与x 轴交于点(4,0)，与y 轴交于点(0,4)，则可知l ：x ＋y ＝4，∴f (2)＝2，f ′(2)＝－1，∴f (2)＋f ′(2)＝1，故选D. 15.【答案】A【解析】∵f (x )＝{2−x,x ≤0,√4−x 2,0<x ≤2,则∫f(x)dx 2−2＝∫(2−x)dx 0−2＋∫√4−x 2dx 20＝(2x －12x 2)|0−2＋∫√4−x 220dx ＝6＋∫√4−x 2dx 20，设y ＝2(y ≥0,0<x ≤2)，则x 2＋y 2＝4(y ≥0,0<x ≤2)对应的曲线为半径为2的圆位于第一象限内的部分，对应的面积S ＝14π×22＝π，根据积分的几何意义可得∫√4−x 2dx 20＝π，故∫f(x)dx 2−2＝6＋∫√4−x 2dx 20＝π＋6. 16.【答案】2 cm,1 cm ，cm【解析】设长、宽、高分别2x ，x ，h ，则4(2x ＋x ＋h )＝18，h ＝－3x ，∴V ＝2x ·x ·h ＝2x 2＝－6x 3＋9x 2，求导得，V ′＝－18x 2＋18x ，由V ′＝0得x ＝1或x ＝0(舍去)．∴x ＝1是函数V 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故长、宽、高分别为2 cm ，1cm ，cm 时，体积最大．17.【答案】2【解析】f ′(x )＝3x 2＋3x ＝3x (x ＋1)．由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1.又f (0)＝m ，f (－1)＝m ＋，f (1)＝m ＋，f (－2)＝－8＋6＋m ＝m －2，∴当x ∈[－2,1]时，最大值为f (1)＝m ＋，∴m ＋＝，∴m ＝2.18.【答案】【解析】由题意知×x0×＝ʃx2d x，即x0＝x，解得x0＝或x0＝－或x0＝0.∵x0>0，∴x0＝.19.【答案】【解析】设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，则正六棱柱的底面边长为1－2x，高为x，所以正六棱柱的体积V＝6×(1－2x)2·x＝(4x3－4x2＋x)，则V′＝(12x2－8x＋1)．令V′＝0，得x＝(舍去)或x＝.当x∈时，V′>0；当x∈时，V′<0.故当x＝时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为.20.【答案】15x－3y－2＝0【解析】∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3＝－2(x－a)2＋3＋2a2，∴f′(x)max＝3＋2a2＝5，∵a>0，∴a＝1.∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3，f′(1)＝－2＋4＋3＝5.又f(1)＝－＋2＋3＝，∴所求切线方程为y－＝5(x－1)．即15x－3y－2＝0.21.【答案】①④【解析】从图象上可以发现，当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)＞0，于是f′(x)＞0，故f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；f(x)在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f(x)在x＝1处取得极小值，故④正确．22.【答案】解(1)∵f(x)＝ax3－2ax2＋b，∴f′(x)＝3ax2－4ax＝ax(3x－4)．令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝∉[－2,1]，∵a>0，∴可得下表：因此f(0)必为最大值，∴f(0)＝5，因此b＝5，∵f(－2)＝－16a＋5，f(1)＝－a＋5，∴f(1)>f(－2)，即f(－2)＝－16a＋5＝－11，∴a＝1，∴f(x)＝x3－2x2＋5.(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－4x，∴f′(x)＋tx≤0等价于3x2－4x＋tx≤0，令g(t)＝xt＋3x2－4x，则问题就是g(t)≤0在t∈[－1,1]上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需即解得0≤x≤1，∴所求实数x的取值范围是[0,1]．23.【答案】解(1)求函数的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈[1，＋∞)时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增．因此，函数f(x)的最小值为f(1)＝－1.(2)不等式x ln x＋(1－k)x＋k>0(k∈Z)在区间(1，＋∞)上恒成立等价k<(x>1)．令g(x)＝(x>1)，则g′(x)＝＝，由于x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增且f(1)＝－1<0，所以函数f(x)在(1，＋∞)上有且只有一个零点x0，因为f(3)＝1－ln 3<0，f(4)＝2－ln 4>0，所以x0∈(3,4)，因此，当x∈(1，x0)时，f(x)<0，g′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f(x)>0，g′(x)>0，从而函数g(x)在(1，x0)，(x0，＋∞)上分别是减函数、增函数．因此g(x)min＝g(x0)＝＝＝x0，所以，由k<(x>1)得k<x0，又因为k∈Z，且x0∈(3,4)，所以k max＝3.24.【答案】解(1)由已知得函数g(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，g′(x)＝＝.当x>e时，g′(x)>0，所以函数g(x)的单调递增区间是(e，＋∞)；当0<x<e且x≠1时，g′(x)<0，所以函数g(x)的单调递减区间是(0,1)，(1，e)．(2)因为f(x)在(1，＋∞)上为减函数，且f(x)＝－ax，所以f′(x)＝－a≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x∈(1，＋∞)时，f′(x)max≤0.又f′(x)＝－a＝－2＋－a＝－2＋－a.故当＝，则x＝e2时，f′(x)max＝－a，所以－a≤0，于是a≥，故a的最小值为.25.【答案】解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝4时，f(x)＝(x＋1)ln x－4(x－1)，f′(x)＝ln x＋－3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.(2)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0等价于ln x－>0，设g(x)＝ln x－，则g′(x)＝－＝，且g(1)＝0.①当a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)单调递增，因此g(x)>0；②当a>2时，令g′(x)＝0得，x1＝a－1－，x2＝a－1＋.由x2>1和x1x2＝1得x1<1，故当x∈(1，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(1，x2)单调递减，因此g(x)<0，综上，a的取值范围是(－∞，2]．26.【答案】解由题意得，本年度每辆车的投入成本为10(1＋x)，每辆车的出厂价为13(1＋0.7x)，年利润为f(x)＝[13(1＋0.7x)－10(1＋x)]·y＝(3－0.9x)×3 240×＝3 240(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3 240(2.7x2－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)，由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数．第 11 页共 11 页所以当x ＝时，f (x )取极大值，f ＝20 000.因为f (x )在(0,1)内只有一个极大值，所以它是最大值．所以当x ＝时，本年度的年利润最大，最大利润为20 000万元． 27.【答案】(1)函数的定义域为(0，＋∞)，当a ＝0时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x+1)(x−1)x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0.∴f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值．(2)f ′(x )＝(2－a )x ＋a －2x＝(2−a )x 2+ax−2x ＝(2−a)(x−2a−2)(x−1)x ，∵a >4，∴2a−2<1，令f ′(x )<0，得0<x <2a−2或x >1，函数单调递减，令f ′(x )>0，得2a−2<x <1，函数单调递增，故当a >4时，f (x )在 (0，2a−2)和(1，＋∞)上单调递减，在(2a−2，1)上单调递增．(3)由(2)知，当a ∈(4,6)时，f (x )在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )有最大值，当x ＝2时，f (x )有最小值， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (2)＝a 2－3＋2ln 2，∴ma ＋2ln 2>a 2－3＋2ln 2，∵a >0，∴m >12－3a ，∵4<a <6，∴－14<12－3a <0，∴m ≥0，故实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

专升本高等数学【导数与微分】知识点及习题库

第二章导数与微分【考试要求】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料1．理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数．2．会求曲线上一点处的切线方程与法线方程．3．熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法．4．掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数．5．理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数．6．理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分．【考试内容】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、导数（一）导数的相关概念1．函数在一点处的导数的定义设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为0()f x '，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆，也可记作x x y ='，x x dy dx=或()x x df x dx=．说明：导数的定义式可取不同的形式，常见的有0000()()()limh f x h f x f x h→+-'=和000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-；式中的h 即自变量的增量x ∆．2．导函数上述定义是函数在一点处可导．如果函数()y f x =在开区间I 内的每点处都可导，就称函数()f x 在区间I 内可导．这时，对于任一x I ∈，都对应着()f x 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数()y f x =的导函数，记作y '，()f x '，dy dx 或()df x dx．显然，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '就是导函数()f x '在点0x x =处的函数值，即00()()x x f x f x =''=．3．单侧导数（即左右导数）根据函数()f x 在点0x 处的导数的定义，导数0000()()()lim h f x h f x f x h→+-'=是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左右极限都存在并且相等，因此0()f x '存在（即()f x 在点0x 处可导）的充分必要条件是左右极限000()()lim h f x h f x h-→+-及000()()lim h f x h f x h+→+-都存在且相等．这两个极限分别称为函数()f x 在点0x 处的左导数和右导数，记作0()f x -'和0()f x +'，即0000()()()lim h f x h f x f x h--→+-'=，0000()()()lim h f x h f x f x h ++→+-'=．现在可以说，函数()f x 在点0x 处可导的充分必要条件是左导数0()f x -'和右导数0()f x +'都存在并且相等．说明：如果函数()f x 在开区间(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，就说()f x 在闭区间[,]a b 上可导．4．导数的几何意义函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '在几何上表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线的斜率，即0()tan f x α'=，其中α是切线的倾角．如果()y f x =在点0x 处的导数为无穷大，这时曲线()y f x =的割线以垂直于x 轴的直线0x x =为极限位置，即曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处具有垂直于x 轴的切线0x x =．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线()y f x =在点00(,)M x y 处的切线方程和法线方程分别为：切线方程：000()()y y f x x x '-=-；法线方程：0001()()y y x x f x -=--'．5．函数可导性与连续性的关系如果函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必连续，但反之不一定成立，即函数()y f x =在点0x 处连续，它在该点不一定可导．（二）基本求导法则与导数公式1．常数和基本初等函数的导数公式（1）()0C '=；（2）1()xx μμμ-'=；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x'=-；（5）2(tan)sec x x'=；（6）(cot)csc x x'=-；（7）(sec )sec tan x x x '=；（8）(csc )csc cot x x x'=-；（9）()ln xx aa a'=；（10）()xxee '=；（11）1(log )ln a x x a'=；（12）1(ln )x x'=；（13）(arcsin )x '=；（14）(arccos )x '=；（15）21(arctan )1x x '=+；（16）21(arccot )1x x '=-+．2．函数的和、差、积、商的求导法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()uv u v '''±=±；（2）()Cu Cu ''=（C 是常数）；（3）()uv u v uv '''=+；（4）2(u u v uv v v ''-'=（0v ≠）．3．复合函数的求导法则设()y f u =，而()u g x =且()f u 及()g x 都可导，则复合函数[()]y f g x =的导数为dy dy dudx du dx=⋅或()()()y x f u g x '''=⋅．（三）高阶导数1．定义一般的，函数()y f x =的导数()y f x ''=仍然是x 的函数．我们把()y f x ''=的导数叫做函数()y f x =的二阶导数，记作y ''或22d y dx ，即()y y ''''=或22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭．相应地，把()y f x =的导数()f x '叫做函数()y f x =的一阶导数．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，，一般的，(1)n -阶导数的导数叫做n 阶导数，分别记作y '''，(4)y ，，()n y 或33d y dx ，44d y dx ，，n nd ydx ．函数()y f x =具有n 阶导数，也常说成函数()f x 为n 阶可导．如果函数()f x 在点x 处具有n 阶导数，那么()f x 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．（四）隐函数的导数函数的对应法则由方程(,)0F x y =所确定，即如果方程(,)0F x y =确定了一个函数关系()y f x =，则称()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的隐函数形式．隐函数的求导方法主要有以下两种：1．方程两边对x 求导，求导时要把y 看作中间变量．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dy dx．解：方程两边分别对x 求导，()(0)yx xexy e ''+-=，得0ydy dy e y x dx dx ++=，从而ydy ydx x e =-+．2．一元隐函数存在定理x y F dydx F '=-'．例如：求由方程0yexy e +-=所确定的隐函数的导数dydx．解：设(,)y F x y e xy e =+-，则()()yx yy y e xy e F dy y x dx F e x e xy e y∂+-'∂=-=-=-∂'++-∂．（五）由参数方程所确定的函数的导数一般地，若参数方程()()x t y t ϕφ=⎧⎨=⎩确定y 是x 的函数，则称此函数关系所表达的函数为由该参数方程所确定的函数，其导数为()()dy t dx t φϕ'='，上式也可写成dy dy dt dxdx dt=．其二阶导函数公式为223()()()()()d y t t t t dx t φϕφϕϕ''''''-='．（六）幂指函数的导数一般地，对于形如()()v x u x （()0u x >，()1u x ≠）的函数，通常称为幂指函数．对于幂指函数的导数，通常有以下两种方法：1．复合函数求导法将幂指函数()()v x u x 利用指数函数和对数函数的性质化为()ln ()v x u x e的形式，然后利用复合函数求导法进行求导，最后再把结果中的()ln ()v x u x e 恢复为()()v x u x 的形式．例如：求幂指函数xy x =的导数dydx．解：因ln x x xx e =，故()ln ln (ln )(1ln )x xx x x dy d e e x x x x dx dx'==⋅=+．2．对数求导法对原函数两边取自然对数，然后看成隐函数来求y 对x 的导数．例如：求幂指函数x y x =的导数dy dx．解：对幂指函数x y x =两边取对数，得ln ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x的函数，得11ln dyx y dx⋅=+，故(1ln )(1ln )x dy y x x x dx =+=+．二、函数的微分1．定义：可导函数()y f x =在点0x 处的微分为00()x x dyf x dx='=；可导函数()y f x =在任意一点x 处的微分为()dy f x dx '=．2．可导与可微的关系函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()y f x =在点x 处可导，即可微必可导，可导必可微．3．基本初等函数的微分公式（1）()0d C dx=；（2）1()d xx dxμμμ-=；（3）(sin )cos d x xdx =；（4）(cos )sin d x xdx =-；（5）2(tan )sec d x xdx=；（6）(cot )csc d x xdx=-；（7）(sec )sec tan d x x xdx=；（8）(csc )csc cot d x x xdx=-；（9）()ln xx d aa adx =；（10）()xx d ee dx=；（11）1(log )ln ad x dx x a =；（12）1(ln )d x dx x=；（13）(arcsin )d x =；（14）(arccos )d x =-；（15）21(arctan )1d x dx x=+；（16）21(arccot )1d x dx x=-+．4．函数和、差、积、商的微分法则设函数()u u x =，()v v x =都可导，则（1）()d uv du dv±=±；（2）()d Cu Cdu =（C 是常数）；（3）()d uv vdu udv=+；（4）2()u vdu udv d v v -=（0v≠）．5．复合函数的微分法则设()y f u =及()u g x =都可导，则复合函数[()]y f g x =的微分为()()x dy y dx f u g x dx '''==．由于()g x dx du '=，所以复合函数[()]y f g x =的微分公式也可写成()dyf u du'=或udy y du '=．由此可见，无论u 是自变量还是中间变量，微分形式()dyf u du '=保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．该性质表明，当变换自变量时，微分形式()dy f u du '=并不改变．【典型例题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料【例2-1】以下各题中均假定0()f x '存在，指出A 表示什么．1．000()()limx f x x f x A x∆→-∆-=∆．解：根据导数的定义式，因0x∆→时，0x -∆→，故0000000()()()()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→-∆--∆-'=-=-∆-∆，即0()A f x '=-．2．设0()limx f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在．解：因(0)0f =，且(0)f '存在，故00()()(0)lim lim (0)0x x f x f x f f x x →→-'==-，即(0)A f '=．3．000()()limh f x h f x h A h→+--=．解：根据导数的定义式，因0h →时，0h -→，故00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h h →→+--+-+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，即02()A f x '=．【例2-2】分段函数在分界点处的导数问题．1．讨论函数322,1()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩在1x =处的可导性．解：根据导数的定义式，3211122()(1)233(1)lim lim 1)2113x x x x f x f f x x x x ----→→→--'===++=--，2112()(1)3(1)lim lim11x x x f x f f x x +++→→--'===+∞--，故()f x 在1x =处的左导数(1)2f -'=，右导数不存在，所以()f x 在1x =处不可导．2．讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x=处的可导性．解：因20001sin()(0)1(0)limlim lim sin 0x x x x f x f x f x x x x→→→--'====-，故函数()f x 在0x =处可导．3．已知函数2,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，求常数a 和b 的值．解：由连续性，因(1)1f =，211(1)lim ()lim 1x x f f x x ---→→===，11(1)lim ()lim()x x f f x ax b a b +++→→==+=+，从而1a b += ①再由可导性，2111()(1)1(1)lim lim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--，11()(1)1(1)lim lim 11x x f x f ax b f x x +++→→-+-'==--，而由①可得1b a =-，代入(1)f +'，得11()(1)(1)lim lim 11x x f x f ax a f a x x +++→→--'===--，再由(1)(1)f f -+''=可得2a =，代入①式得1b =-．【例2-3】已知sin ,0(),0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，求()f x '．解：当0x <时，()(sin )cos f x x x ''==，当0x ≥时，()()1f x x ''==，当0x =时的导数需要用导数的定义来求．0()(0)sin (0)lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-，0()(0)0(0)lim lim 10x x f x f x f x x+++→→--'===-，(0)(0)1f f -+''==，故(0)1f '=，从而cos ,0()1,0x x f x x <⎧'=⎨≥⎩．【例2-4】求下列函数的导数．1．(sin cos )x y e x x =+．解：()(sin cos )(sin cos )x x y e x x e x x '''=+++(sin cos )(cos sin )x x e x x e x x =++-2cos x e x =．2．2sin1y x =+．解：222222sin cos 111x x x y x x x ''⎛⎫⎛⎫'==⋅ ⎪ +++⎝⎭⎝⎭2222222(1)(2)cos 1(1)x x x x x +-=⋅++22222(1)2cos (1)1x x x x -=++．3．ln cos()x y e =．解：1ln cos()cos()cos()xxx y e e e '''⎡⎤⎡⎤==⋅⎣⎦⎣⎦1sin()()cos()x xx e e e '⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦1sin()cos()x x x e e e ⎡⎤=⋅-⋅⎣⎦tan()x x e e =-．4．ln(yx =+．解：ln((y x x '⎡⎤''=+=+⎣⎦21⎡⎤'=+⎢⎣1⎡⎤=+⎢⎣==．【例2-5】求下列幂指函数的导数．1．sin x y x =（0x >）．解：sin sin ln sin ln ()()(sin ln )x x x x x y x e e x x ''''===⋅sin ln 1(cos ln sin )x xex x x x=⋅+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数sin x y x =两边取对数，得ln sin ln y x x =，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得11cos ln sin y x x x y x'⋅=+⋅，故1(cos ln sin )y y x x x x '=+⋅sin sin (cos ln )xx x x x x =+．2．1xx yx ⎛⎫= ⎪+⎝⎭（0x >）．解：ln ln 11ln 11x x x x x xx x x y e e x x x ++'''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫'===⋅⎢⎥ ⎪ ⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦ln 11ln 11xx xx x x ex xx x +⎡⎤'+⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()ln1211ln 11x x xx x x x ex x x x +⎡⎤++-=⋅+⋅⋅⎢⎥++⎢⎥⎣⎦1ln 111xx x x x x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．说明：本题也可采用对数求导法，即：对幂指函数1xx y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭两边取对数，得ln ln 1xy x x=+，该式两边对x 求导，其中y 是x 的函数，得111ln ln 1111x x x x y x y x x x x x'+⎛⎫'⋅=+⋅⋅=+ ⎪++++⎝⎭，故11ln ln 11111xx x x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+=+ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【例2-6】用对数求导法求下列函数的导数．1．xy yx =（0x >）．解：等式两边取对数，得lnln x y y x =，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得ln ln x y y y y x y x ''+⋅=+，整理得(ln )ln x yx y y y x'-=-，则22ln ln ln ln yy y xy yx y xx xy x x y --'==--．2．y=．解：等式两边取对数，得21ln lnln 2y ==，即2212ln ln(1)ln(2)5y x x =+-+，也即2210ln 5ln(1)ln(2)y x x =+-+，两边对x 求导，注意y 是x 的函数，得221010212x x y y x x '=-++，故222210*********y x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭．【例2-7】求下列抽象函数的导数．1．已知函数()yf x =可导，求函数1sin ()xy f e=的导数dy dx．解：111sin sin sin ()()()x x x dy d f e f e e dx dx ⎡⎤'==⋅⎢⎥⎣⎦11sin sin 1()()sin x x f e e x '=⋅⋅1111sin sin sin sin 22cos cos ()()sin sin xxx x x x f eef e x x-=⋅⋅=-．2．设函数()f x 和()g x 可导，且22()()0f x g x +≠，试求函数y =的导数dy dx．解：22()()f x g x dy d dx dx '⎡⎤+==''''==．【例2-8】求由下列方程所确定的隐函数()y y x =的导数．1．220xxy y -+=．解：方程两边分别对x 求导，得220dy dyx y x y dx dx--⋅+⋅=，整理得(2)2dy x y x y dx -=-，故22dy x ydx x y-=-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设22(,)F x y x xy y =-+，则2222x y F dy x y x y dx F x y x y '--=-=-='-+-．2．1y yxe =+．解：方程两边分别对x 求导，得0y y dy dye xe dx dx=++⋅，整理的(1)y y dy xe e dx -=，故1yydy edx xe =-．说明：此题也可用隐函数存在定理来求解，即：设(,)1y F x y xe y =+-，则11y yx y yy F dy e e dx F xe xe '=-=-='--．【例2-9】求由下列参数方程所确定的函数()y y x =的导数．1．2t tx e y e -⎧=⎨=⎩．解：()()21222t t ttt dye dy e dt dx dx e e e dt--'-====-'．2．111x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩．解：()()2211111111t t t dy t dy t dt dx dx dt t t '+-⎛⎫ ⎪++⎝⎭====--'⎛⎫ ⎪++⎝⎭．【例2-10】求下列函数的微分．1．22()tan (12)f x x =+．解：因22222()tan (12)2tan(12)sec (12)4f x x x x x ''⎡⎤=+=+⋅+⋅⎣⎦，故222()8tan(12)sec (12)dy f x dx x x x dx '==++．2．()f x =．解：因()()f x ''==⋅=-故()dy f x dx '==-．3．2()arctan f x x =解：因(22()arctan 2arctan f x x x x ''==，故2()2arctan dy f x dx x dx ⎡'==⎢⎣．4．22()sin ln(1)f x x x =+．解：因222222()sin ln(1)2sin cos ln(1)sin 1xf x x x x x x x x ''⎡⎤=+=++⎣⎦+，故2222sin ()sin 2ln(1)1x x dy f x dx x x dx x ⎡⎤'==++⎢⎥+⎣⎦．【例2-11】求曲线x y xe -=在点(0,1)处的切线方程和法线方程．解：()x x x y xe e xe ---''==-，01x y ='=，故曲线在点(0,1)处的切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=；法线方程为11(0)y x -=-⋅-即10x y +-=．【例2-12】求曲线224xxy y ++=在点(2,2)-处的切线方程和法线方程．解：这是由隐函数所确定的曲线，按隐函数求导数，有220x y xy y y ''+++⋅=，即22x y y x y+'=-+；由导数的几何意义，曲线在点(2,2)-处的斜率为2222212x x y y x y y x y===-=-+'=-=+，故曲线在点(2,2)-处的切线方程为21(2)y x +=⋅-，即40x y --=；法线方程为21(2)y x +=-⋅-，即0x y +=．【例2-13】求椭圆2cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在点4t π=处的切线方程和法线方程．解：将4t π=代入椭圆方程，得曲线上对应的点为，又4cos 2cot 2sin t t y t y t x t''===-'-，切线斜率为442cot 2t t y tππ=='=-=-，故所求切线方程为2(y x -=--，即20x y +-=；所求法线方程为1(2y x -=--，即20x y +-=．【历年真题】关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料一、选择题1．（2010年，1分）已知(1)1f '=，则0(12)(1)limx f x f x∆→-∆-∆等于（）（A ）1（B ）1-（C ）2（D ）2-解：根据导数的定义，00(12)(1)[1(2)](1)lim2lim2x x f x f f x f x x∆→∆→-∆-+-∆-=-∆-∆2(1)2f '=-=-，选（D ）．2．（2010年，1分）曲线2y x =在点(1,1)处的法线方程为（）（A ）y x =（B ）322x y =-+（C ）322x y=+（D ）322x y =--解：根据导数的几何意义，切线的斜率1122x x ky x =='===，故法线方程为11(1)2y x -=--，即322x y =-+，选（B ）．3．（2010年，1分）设函数()f x 在点0x 处不连续，则（）（A ）0()f x '存在（B ）0()f x '不存在（C ）lim()x f x →∞必存在（D ）()f x 在点0x 处可微解：根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项（B ）正确．4．（2009年，1分）若000()()lim h f x h f x h A h→+--=，则A =（）（A ）0()f x '（B ）02()fx '（C ）0（D ）01()2f x '解：000()()limh f x h f x h A h→+--=00000()()[()()]limh f x h f x f x h f x h→+----=000000()()()()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →→+---=+-000()()2()f x f x f x '''=+=，选项（B ）正确．5．（2008年，3分）函数()f x x =，在点0x =处()f x （）（A ）可导（B ）间断（C ）连续不可导（D ）连续可导解：由()f x x =的图象可知，()f x 在点0x =处连续但不可导，选项（C ）正确．说明：()f x x =的连续性和可导性，也可根据连续和导数的定义推得．6．（2008年，3分）设()f x 在0x 处可导，且0()0f x '≠，则0()f x '不等于（）（A ）000()()limx x f x f x x x →--（B ）000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆（C ）000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆（D ）000()()lim()x f x x f x x ∆→-∆--∆解：根据导数的定义，选项（C ）符合题意．7．（2007年，3分）下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（）（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()limx x f x f x x x →--（C ）000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆解：选项（A ）000001(()1lim [()()]lim()1n n f x f x n n f x f x f x nn+→∞→∞+-'+-==，选项（C ）0000()()lim2()x f x x f x x f x x∆→+∆--∆'=∆，选项（D ）0000(3)()lim 2()x f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，故选（B ）．8．（2007年，3分）若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（）（A ）(2)x f dx '（B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x xf d '（D ）(2)2x x f dx'解：因(2)(2)2(2)2ln 2x x x x x dy df f d f dx''===，故选项（B ）正确．9．（2006年，2分）设()u x ，()v x 为可导函数，则(ud v =（）（A ）du dv（B ）2vdu udv u -（C ）2udv vdu u +（D ）2udv vdu u -解：222()(u u u v uv u vdx uv dx vdu udvd dx dx v v v v v ''''---'====，选（B ）．10．（2005年，3分）设()(1)(2)(99)f x x x x x =--- ，则(0)f '=（）（A ）99!-（B ）0（C ）99!（D ）99解：当0x=时，()f x '中除(1)(2)(99)x x x --- 项外，其他全为零，故(0)(01)(02)(099)99!f '=---=- ，选项（A ）正确．11．（2005年，3分）设ln y x =，则()n y =（）（A ）(1)!nnn x --（B ）2(1)(1)!nn n x ---（C ）1(1)(1)!n nn x ----（D ）11(1)!n n n x --+-解：由ln y x =可得，1y x '=，21y x''=-，433222!x y x x x-'''=-==，2(4)64233!x yx x⋅=-=-，，对比可知，选项（C ）正确．12．（2005年，3分）2sin ()d xd x =（）（A ）cos x（B ）sinx-（C ）cos 2x （D ）cos 2x x解：2sin cos cos ()22d x xdx xd x xdx x==，选项（D ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）若曲线()yf x =在点00(,())x f x 处的切线平行于直线23y x =-，则0()f x '=．解：切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故0()2f x '=．2．（2010年，2分）设cos(sin )y x =，则dy =．解：cos(sin )sin(sin )cos dyd x x xdx ==-．3．（2008年，4分）曲线21y x =+在点(1,2)的切线的斜率等于．解：由导数的几何意义可知，切线斜率(1,2)(1,2)22k y x'===．4．（2008年，4分）由参数方程cos sin x t y t=⎧⎨=⎩确定的dy dx=．解：(sin )cos cot (cos )sin t t y dy t t t dx t tx ''====-'-'．5．（2006年，2分）曲线2sin y x x =+在点(,1)22ππ+处的切线方程是．解：切线的斜率(,1)(,1)2222(12sin cos )1k y x x ππππ++'==+=，故切线方程为(11()22y x ππ-+=⋅-，即1y x =+．6．（2006年，2分）函数2()(1)f x x x x=-不可导点的个数是．解：2222(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，显然，当0x ≠时，()f x 可导；当0x=时，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x+++→→-+'===-，2200()(0)(1)(0)lim lim 00x x f x f x x f x x-+-→→--+'===-，故(0)0f '=．故函数()f x 的不可导点的个数为0．7．（2006年，2分）设1(1xy x=+，则dy =．解：因11ln(1)ln(1)21111[(1)][][ln(1)()]11x x x x x y e e x x x x x++'''=+==++⋅⋅-+111(1)[ln(1)]1x x x x =++-+，故111(1)[ln(1)]1x dy dx x x x =++-+．三、计算题1．（2010年，5分）设函数()y y x =由方程2xy x y =+所确定，求x dydx=．解：方程2xyx y =+两边对x 求导，考虑到y 是x 的函数，得2ln 2()1xy dy dy y xdx dx ⋅+=+，整理得2ln 22ln 21xy xydy dy y x dx dx+⋅=+，故2ln 2112ln 2xy xydy y dx x -=-．当0x =时，代入原方程可得1y =，所以0012ln 21ln 21ln 2112ln 21xy x x xy y dy y dx x ===--===--．说明：当得到2ln 2()1xydy dyy xdx dx⋅+=+后，也可直接将0x =，1y =代入，得ln 21dy dx =+，故0ln 21x dydx==-．2．（2010年，5分）求函数sin x y x =（0x >）的导数．解：sin sin ln sin ln sin ln 1()()()(cos ln sin )x x x x x x xy x e e e x x x x ''''====+⋅sin sin (cos ln )x xx x x x=+．3．（2009年，5分）设22sin1xy x =+，求dy dx．解：因22sin1x y x =+，故22(sin )1dy x dx x'=+2222222222(1)22222cos cos 1(1)(1)1x x x x x x x x x x +-⋅-=⋅=++++．4．（2006年，4分）设()f x可导，且()f x '=，求df dx ．解：df f dx ''=⋅2x x==-．5．（2005年，5分）已知sin ,0(),0x tdtx f x xa x ⎧⎪≠=⎨⎪=⎩⎰．（1）()f x 在0x =处连续，求a ；（2）求()f x '．解：（1）因sin lim ()limlimsin 0xx x x tdt f x x x→→→===⎰，故由()f x 在0x =处连续可得，0lim()(0)x f x f →=，即0a =．（2）当0x ≠时，002sin sin sin ()x x tdt x x tdt f x x x '⎛⎫- ⎪'== ⎪⎝⎭⎰⎰；当0x =时，2000sin sin ()(0)(0)lim limlimxxx x x tdt tdt f x f xf x xx →→→-'===-⎰⎰0sin 1lim22x x x →==．故2sin sin,0 ()1,02xx x tdtxxf xx⎧-⎪≠⎪'=⎨⎪=⎪⎩⎰．关注公众号：学习吧同学获取更多升本资料。

《导数及其应用理》章节测试题及答案

选修2—2单元测试题一、选择题（共12小题，每小题5分,共60分)1.函数y =x 2co sx 的导数为…………………………………………【】 A 。

y ′=2x co sx －x 2s i nx B . y ′=2x co sx +x 2s i nx C 。

y ′=x 2co sx －2xs i nx D 。

y ′=x co sx －x 2s i nx2。

下列结论中正确的是……………………………………………【】 A. 导数为零的点一定是极值点B 。

如果在0x 附近的左侧0)('>x f 右侧0)('<x f 那么)(0x f 是极大值C 。

如果在0x 附近的左侧0)('>x f 右侧0)('<x f 那么)(0x f 是极小值D 。

如果在0x 附近的左侧0)('<x f 右侧0)('>x f 那么)(0x f 是极大值 3。

曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是……………【】 A 。

4 B 。

52C.3 D 。

24。

函数3()34f x x x =-，[0,1]x ∈的最大值是……………………【】 A 。

1 B 。

12C.0D.-1 5. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为……………………【】 A 。

0。

28J B. 0。

12J C. 0.26J D 。

0。

18J6。

给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰,则f （x ）〉0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f （x ）的原函数为F (x )，且F （x ）是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为…【】A. 1B. 2C. 3 D 。

0 7。

专升本求导练习题及答案

专升本求导练习题及答案### 专升本求导练习题及答案#### 练习题一：基本求导公式题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数。

解答：根据求导的基本公式，\( (x^n)' = nx^{n-1} \)，我们可以逐项求导：- 对于 \( 3x^2 \)，导数为 \( 2 \times 3x = 6x \)。

- 对于 \( 2x \)，导数为 \( 1 \times 2 = 2 \)。

- 对于常数项 \( -5 \)，导数为 \( 0 \)。

因此，\( f'(x) = 6x + 2 \)。

#### 练习题二：复合函数求导题目：求函数 \( g(x) = (2x^3 - 1)^4 \) 的导数。

解答：使用链式法则求导，设 \( u(x) = 2x^3 - 1 \)，则 \( g(x) = u^4 \)。

- 首先求 \( u(x) \) 的导数：\( u'(x) = 6x^2 \)。

- 然后应用链式法则：\( g'(x) = 4u^3 \cdot u'(x) \)。

- 代入 \( u(x) \) 和 \( u'(x) \) 的值：\( g'(x) = 4(2x^3 -1)^3 \cdot 6x^2 \)。

#### 练习题三：隐函数求导题目：已知 \( xy^3 + y\sin(x) = 1 \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。

解答：首先对等式两边同时对 \( x \) 求导：- 对 \( xy^3 \) 求导，使用乘积法则：\( y^3 + 3xy^2 \cdot\frac{dy}{dx} \)。

- 对 \( y\sin(x) \) 求导，同样使用乘积法则：\( \sin(x) +y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} \)。

将求导结果代入原方程，得到：\[ y^3 + 3xy^2 \cdot \frac{dy}{dx} + \sin(x) + y\cos(x) \cdot \frac{dy}{dx} = 0 \]将含有 \( \frac{dy}{dx} \) 的项移到方程一边，解出\( \frac{dy}{dx} \)：\[ \frac{dy}{dx} (3xy^2 + y\cos(x)) = -y^3 - \sin(x) \]\[ \frac{dy}{dx} = \frac{-y^3 - \sin(x)}{3xy^2 + y\cos(x)} \]#### 练习题四：参数方程求导题目：已知参数方程 \( x = t^2 \)，\( y = \sin(t) \)，求 \( y \) 关于 \( x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \)。

导数及其应用测试题(有详细答案).docx

..《导数及其应用》一、选择题1. f(x0 )0 是函数f x在点 x0处取极值的:A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件2、设曲线y x2 1 在点(x , f ( x))处的切线的斜率为g( x) ，则函数y g (x)cos x 的部分图象可以为y y y yO x O x O x O xA. B. C. D.3．在曲线y＝2π的点是 ()x 上切线的倾斜角为41111A． (0,0)B． (2,4) C. 4，16 D. 2，44.若曲线y ＝2＋＋在点 (0，b)处的切线方程是－＋1＝0，则 () x ax b x yA．＝1，b ＝1B．＝－ 1，＝ 1C．＝ 1，b＝－ 1D．a＝－ 1，＝－ 1a ab a b32时取得极值，则 a 等于()5．函数f(x)＝x＋ax＋ 3x－9 ，已知f(x)在x＝－ 3A． 2B． 3C． 4D． 56. 已知三次函数( )＝1 322－ 2－ 7)＋2 在∈ (－∞，＋∞)是增函数，则的取值围3x－(4 －1)x＋ (15m m x x mf x m是 ()A．m<2 或m>4B．－ 4< m< － 2C． 2< m<4D．以上皆不正确7. 直线y x 是曲线y a ln x 的一条切线，则实数 a 的值为A．1B．e C．ln 2D．18. 若函数 f (x)x312x在区间 (k1, k1) 上不是单调函数，则实数k 的取值围（）A．k3或 1k 1或k 3B． 3 k1或1 k 3C．2k2D．不存在这样的实数k9. 10 ．函数f x的定义域为 a,b，导函数f x在 a, b 的图像如图所示，则函数 f x在 a,b有极小值点A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10.已知二次函数 f ( x)ax 2bx c 的导数为 f '(x) ， f '(0)0 ，对于任意实数x 都有f(1)3B．5C．2D．的最小值为 A．2 f '(0)f ( x)0 ，则32..二、填空题11.函数y sin x的导数为 _________________ x12、已知函数 f ( x) x3ax 2bx a2在x=1处有极值为10，则f(2)等于 ____________. 13．函数 y x 2cos x 在区间 [0,] 上的最大值是214．已知函数 f ( x) x3ax 在R上有两个极值点，则实数 a 的取值围是已知函数 f ( x) 是定义在R上的奇函数， f (1)xf ( x) f ( x)0（x，则不等式15.0 ，x 20）x 2f (x) 0的解集是三、解答题16.设函数 f(x)＝sin x－cos x＋ x＋1,0< x<2π，求函数 f(x)的单调区间与极值．17.已知函数 f ( x) x3 3x .（Ⅰ）求 f ( 2) 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间.18. 设函数 f ( x) x 36x 5, x R .（ 1）求f (x)的单调区间和极值；..（ 2）若关于x 的方程 f ( x) a 有3个不同实根，数 a 的取值围.（ 3）已知当x (1, )时, f (x) k( x 1) 恒成立，数k的取值围.19. 已知 x 1是函数 f (x) mx33( m 1)x 2nx 1 的一个极值点，其中m, n R, m0（ 1）求m与n的关系式；（2）求 f ( x)的单调区间；（ 3）当 x [ 1,1]，函数 y f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m的取值围。

江苏专转本高等数学导数计算及应用例题加习题

h0hh0第二章导数计算及应用本章主要知识点导数定义复合函数求导,高阶导数,微分隐函数,参数方程求导导数应用一、导数定义函数y f x在x x处导数定义为f(x)lim左导数f(x)lim0右导数f(x)lim0f(xf(xf(xh)f(x)hh)f(x)hh)f(x)h导数f(x)存在f(x),f(x)有限且f(x)0000分段点求导必须应用定义。

两个重要变形：f(x)1.f（x)0limx x0f(x)f(x)x x2.若f(x)存在，limh0f(xmh)f(xhnh)(m n)f(x)例2.1.若f(1)2，求limh0f(12h)f(xh5h)f(12h)f(x5h)解：lim＝(25)f(1)14 h0h例2.2.若f(0)2,f(0)0,求limx0f(2x)1sin(3x)11 - sin(3x ) - 1 - sin3 xh →0+ h →0+'(0) = lim f (0 + h ) - f (0) = lim 2h - h = 2h hh →0- h →0-f ' (0) = lim = lim = lim = lim = ln 2 h h h h h →0+ h →0+ h →0+ h →0+ ' (0) = lim f (0 + h ) - f(0) = lim 2 - 1 = - ln 2 h h h →0- h →0-⎩h s in + sinh 2hh →0ln(1+ x )f ' (1) = 2 ，分析函数 f ( x ) = ⎪⎨0, x = 0 ⎪⎩解： lim x →0 f (2 x ) f (2 x ) - f (0) f (2 x ) - f (0) 4 8＝ lim = -2lim =- f '(0) = -1 3x 3 3 x →0 x →0 2⎧ x 2+ x , x ≥ 0例 2.3． f ( x ) = ⎨求 f '(0)⎩2x - x 3 , x < 0解：f '(0) = lim + f (0 + h ) - f (0) h 2 + h - 0 = lim = 1 h hf- 3f ' (0) ≠ f ' (0) 所以 f '(0) 不存在 .+-例 2.4． f ( x ) = 2|x | ，求 f ' (0)⎧ 2x , x ≥ 0解： f ( x ) = ⎨⎩2- x , x < 0f (0 + h ) - f (0) 2h - 1 e h ln 2 - 1 h ln 2+f - h所以 f '(0) 不存在。

专升本高等数学第二章导数与微分习题练习题

第二章导数与微分1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆02．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f '3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( )A ．1B ．0C ．-1D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( )A ．8B ．12C ．-6D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f eB ．()()x f e x f ''C ．()()()[]x f x f e x f '''D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'2 9．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．1arctany x =，则='y ( )A ．211x +-B ．211x+ C ．221x x +- D ． 221x x + 11．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( ) A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 12．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在13．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim 。

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应用数学习题集第二章导数及其应用一. 选择题1．若 f ( x) 在x0处可导，则以下结论错误的是（D）。

A f ( x) 在x0处有极限；B f ( x) 在x0处连续；C f ( x) 在x0处可微；D f '( x )lim f (x) 必成立。

x x2．若 f ( x) 在x0处可导，则（B）是错误的。

(02-03 电大试题 )A 函数f ( x)在点 x 0处有定义；B lim f ( x) A ，但A f (x0 ) ；x x0C 函数f ( x)在 x 0处连续；D函数 f ( x) 在x0处可微。

3． f (x) 在x0处不连续，则 f (x) 在x0处（A）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。

4．函数 f ( x) =|2x|在x=0处的导数（D）。

A等于 0 ；B等于 2 ； C 等于 -2 ；D不存在。

5．函数 f ( x) =|sinx|在点 x=0处的导数（D）。

A等于 -1 ；B等于 0 ； C 等于 1；D不存在。

6 ．y ln | x |，则 y ’= （ B）。

A1；B 1 ；C 1 ；D 1 。

| x |x x| x |7．曲线 y=sinx在点 (0,0)处的切线方程是（C）。

A y=2xB y 1 xC y=xD y=-x28． f (x)x cos x，则 f " ( x) =（D）。

(02-03电大试题 )A cosx+xsinxB cosx-xsinxC2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在 [1 ， e] 上满足 Lagrange定理条件的函数是（B）。

A y=ln(lnx)；B y=lnx；C y=1；D y=ln(2-x)。

ln x10 ．若f ( x)在 [a,b] 上连续，在 (a,b)内可导，Lagrange定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。

A f ' ( ) f (b) f (a)；B f '()；b af (b) f (a) 。

C f (b) f ( a) f ' ( )(b a) ；D f '()11 ．f ' ( x0)0 ，则x0是函数 f ( x) 的（ D ）。

(02-03电大试题 )A. 极大值点；B. 最大值点；C. 极小值点；D. 驻点。

12 ． x 0是连续函数 f ( x) 在(a,b)内的极小值点，则（C）。

A 必有f '( x0)0；B f ' (x0 )必不存在；C f ' (x0)0 或 f ' (x0 ) 不存在；D x ∈(a,b)时，必有 f ( x) f ( x0 ) 。

13 ． y=arctane x，则 dy=（ C ）。

Ae x；B1；Ce x dx；Ddx。

1 e2 x 1 e2 x 1 e2x 1 e2 x14 ．设f (x)x cos x2，则 f ' (x) =（C）。

A 1-sinx 2 ；B 1+sinx 2 ；C 1-sinx2·2x ；D (1-sinx2 ) ·2x 。

15 ．设f (t )t，则 f '( t ) =（B）。

t 21A 1；B t 21；C3t 21；D t 2 1 。

2t(t 21) 2(t 21) 2t 2116 ．lim axx a( a0) 的值是（D）。

x a x aA 0 ；B 1 ；C ∞；D a a( ln a 1)。

17 ．若 x 1与 x2分别是函数 f ( x) 在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（ D ）必成立。

A f (x1) f (x2 ) ；B f '( x1 ) f '( x2 ) 0 ；C对 x ∈ (a,b)，f x f(x1) ，f ( x) f (x2 )； Df '( x1 )、f '( x2 )可能为0 ，也可能不存在。

( )18若 lim f ( x) f ( x0 ) 1 ，则 f ( x0 ) 一定是 f ( x) 的（D）。

(x x0 )2x x0A 最大值；B 极小值；C 最小值；D 极大值。

二. 填空题：1 ．已知f ( x) =lnx ，则lim0ln( x x)ln x =1。

x x x2．若函数 y ln 3 ，则y’= 0。

3．曲线 y=x3 +4在点 (0,4)处的切线平行于x 轴。

4．抛物线 y=x 2在点 (1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45 °。

5．已知 f ( x) =x·sinx，则 f " ( ) = 2。

6．方程 e xy xy 所确定的隐函数的导数dy =y 。

dx x7．若函数 f ( x) 在x=0处可微，则 lim f (x) = f (0)。

x08． d ln(sin x) =cot xdx。

9． d ln(cos x) =tanxdx 。

10． d(sin e x )e x cose x dx 。

11．半径为 x 的金属圆片，面积为 S(x) 。

加热后半径伸长了△ x，应用微分方法求出△S ≈ S’(x) △ x。

12． lim ln x0。

e xx13．函数 y=arctan(x2 +1) 的递增区间是(0 ,) 。

14．函数 y=ln(2x4+8) 的递减区间是(, 0)。

15．函数 y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。

16．极值存在的必要条件：如果 f ( x) 在点x0处取得极值且在点x0处可导，则f ( x)0。

17．若函数 f ( x) 在[a,b]上连续，在(a,b)内 f'( x)0 ，则函数的最小值为 f (b) 。

18．设函数 y f ( x) 二阶可导，若 f '( x0 )0、 f " ( x0 ) 0 ，则 f (x0 ) 是 f (x) 的极大值。

19．已知生产某种产品的成本函数为 C (q)802q ，则产量 q50 时，该产品的平均成本为3.6。

20．微分近似计算函数值公式 f ( x x) f ( x) f '( x) x 。

三、解答题：1 ．求函数y11的导数。

x1x1解：因为 y1x 12，所以11x 1xy '2(1)2。

(1x) 2(1 x)22 ．求函数yln x的导数。

sin x(ln x)' sin x ln x(sin x)'1sin x ln xcos xxln x cos x解：y'x sin xsin 2x sin 2 x。

x sin 2 x3 ．求函数y x e x cos x 的导数。

解： y'e x cos x xe x cos x xe x sin x e x (cos x x cos x x sin x) 。

4．求方程解：曲线y x 2在点 (3, 9) 处的切线方程。

y x2在点 (3, 9) 处的切线的斜率为y x2在点 (3, 9) 处的导数因为 y' |x32x |x 3 6 ，所以切线的方程为y96( x3)即6x y905 ．求函数y sin 2x cos 2x 的导数。

解： y' 2 sin x(sin x)' cos2x sin 2x( sin 2x) 22sin x cos x cos2 x 2 sin 2xsin 2x2 sin x(cos x cos2 x sin x sin x2x) 2sin x cos3x。

6 ．求函数y ln tan x的导数。

12x111解： y'sec2x 。

x22x sin xtan 2 sin cos2227 ．求函数y1的导数。

cos n xn sin x 解：y'(cos n x)'ncos n 1 x(cos x)'。

cos n 1 x 8 ．利用对数求导法求函数y (cos x) sin x的导数。

解：两边取自然对数，得ln y sin x ln cos x两边对 x 求导，得y' cos x ln cos xsin xy sin xcos xy'y(cos x ln cos x sin x tan x) (cos x)sin x (cos x ln cos x sin x tan x) 。

9 ．利用对数求导法求函数y(sin x) ln x 的导数。

解：两边取自然对数，得ln y ln xln sin x两边对 x 求导，得y' 1ln sin x ln x cos x y xsin xy'y1ln sin x ln x cot x(sin x)ln x1ln sin x ln x cot xxx10 ．求方程 x yy x 所确定的隐函数的导数 dy 。

dx 解：两边取自然对数，得y ln xx ln y两边对 x 求导，得y' ln xy1ln y x y'xy 整理，得dy y(x ln y y)dxx( y ln x 。

x)11 ．求方程 arctanylnx 2 y 2 所确定的隐函数的导数 dy 。

xdx 解：两边对 x 求导，得1y' x y12x 2 yy'1y 2 x 2x 2 y 2 2 x 2 y 2x整理，得dy x ydx x。

y12 ．求方程 xe yye x 所确定的隐函数的导数 dy 。

解：两边对 x 求导，得dxe yxe y y' y' e x ye x整理，得13 ．己知函数dy e y ye x dxe xxe yy xe x ，求 y (n) 。

解：因为 y'e xxe x e x (x 1) ，y' ' e x (x 1) e x e x (x 2) ，y' ' ' e x (x 2) e xe x (x 3) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所以，y (n)e x (x)n14 ．已知 y (n 2)x ，求 y (n ) 。

ln xln xx 1解： y( n 1)x ln x 1，ln 2 xln 2x1 ln2 x (ln x 1)2 ln x 1 2 ln xy( n)xxln 4 x。

x ln 3 x15 ．求函数 yarcsin x 的微分。

解： d yd(arcsinx)1 d( x )dx1 2 。

xx(1 x)16 ．求函数 ye cot x 的微分。

解： d y d(e cot x ) e cot x d(cot x) e cot x csc 2 xdx 。

17 ．半径为 10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。