高中数学选修2-1优质课件2：3.1.3 空间向量的数量积运算
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(高中数学选修2-1)空间向量的数量积运算课件课件
复习回顾：
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
1.共线向量定理： 空间中任意两个向量a , b(b 0)共线（ a b ）
的充要条件是存在实数 ，使得a = b 2.共线向量定理的推论： (1)若直线l过点A且与向量 a 平行，则 点P在直线l上 OP OA ta
(2)三点P、A、B共线的充要条件有：
①.存在实数t , 使得 AP t AB, 即AP / / AB ②.存在实数t , 使得OP OA t AB
a
a
பைடு நூலகம்
b
o
b
B
0 a , b
关键是 起点相 同！
当 a, b 0时, a与b同向. 2 当 a, b 时, a与b反向. OA, OB> OB, OA OA, OB OA, OB
1
定义：如果 a ，b ，则称向量 a 与 b 互相 2 垂直，记作 a b .
2 2 2 2
法一:发现
法二:由 ∴
a b a 2a b b a b a 2a b b
2 2
代入求得 得
a b =-2.
ab 1
法三:数形结合法,发现形的特殊性.
3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BD⊥AB,线段AC ⊥ ,如果AB＝a,BD＝b, AC＝c,求C、D间的距离. 解：∵
4. 空间向量数量积运算律
⑴
a b b a
（交换律）
（数乘结合律） ⑵ (a) b (a b ) a (b ) ⑶
a (b c ) a b a c （分配律）
(a b) c a (b c)
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.3空间向量的数量积运算 (共99张PPT)
世间最容易的事是坚持，最难的事也是坚持。要记住，坚持到底就是胜利。 没有热忱，世间便无进步。 只有不想做的，没有做不到的。 目标再远大，终离不开信念去支撑。 最好的投资就是投资自己，因为这是你唯一能确定只赚不赔的投资。 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。 如果你受苦了，感谢生活，那是它给你的一份感觉；如果你受苦了，感谢上帝，说明你还活着。人们的灾祸往往成为他们的学问。 缺乏明确的目标，一生将庸庸碌碌。 树立必信的信念，不要轻易说“我不行”。志在成功，你才能成功。 松软的沙滩上最容易留下脚樱钽也最容易被潮水抹去。 当你对于昨天不再耿耿于怀的时候，就是你开始过得幸福的时候。 没有哪一个聪明人会否定痛苦与忧愁的锻炼价值。 一个今天胜过两个明天。 你既认准这条路，又何必在意要走多久。
一定不要把别人都当傻子，事实上，所有你能遇到的人都比你聪明。如果你能抱着这样的心态为人处世，那么你的人脉会越来越宽，财富越 来越多，人生也就越来越好！ 愚痴的人，一直想要别人了解他。有智慧的人，却努力的了解自己。 用最少的浪费面对现在。
以解决自己的问题为目标，这是一个实实在在的道理，正视自己的问题，设法解决它，这是成功的捷径。谁能塌下心来把目光凝集在一个个 小漏洞、小障碍上，谁就先迈出了一大步。 那些尝试去做某事却失败的的人只能引为烧身，只有真正敢的人才能所向披靡。
高中数学选修2-1精品课件：3.1.3 空间向量的数量积运算
【训练2】 如图所示，正四面体
ABCD的每条棱长都等于a，点M，
N 分 别 是 AB ， CD 的 中 点 ， 求 证 ：
MN⊥AB，MN⊥CD. 证明 M→N·A→B＝M→B＋B→C＋C→N·A→B ＝M→B＋B→C＋12C→D·A→B ＝M→B＋B→C＋12A→D－12A→C·A→B ＝12a2＋a2cos 120°＋12a2cos 60°－12a2cos 60°＝0， 所以M→N⊥A→B，即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
a，b 的夹角
记法
_〈_π_]__.当〈a，b〉＝π2时，a__⊥__b
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，向量A→B与B→C的夹角为∠B.( ) (2)当非零向量 a 与 b 共线时，〈a，b〉＝0.( ) (3)向量A→B与A→C的夹角和向量B→A与C→A的夹角相同.( ) 提示 (1)向量A→B与B→C的夹角是 π－B. (2)当非零向量 a 与 b 共线时，其方向相同或相反，故 〈a，b〉＝0 或 π. (3) 向 量 A→B 与 A→C 的 夹 角 和 向 量 B→A 与 C→A 的 夹 角 互 为 对 顶 角，故相等. 答案 (1)× (2)× (3)√
(3)E→F·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14， 所以E→F·D→C＝－14； (4)B→F·C→E＝12(B→D＋B→A)·12(C→B＋C→A) ＝14[B→D·(－B→C)＋B→A·(－B→C)＋B→D·C→A＋B→A·C→A] ＝14[－B→D·B→C－B→A·B→C＋(C→D－C→B)·C→A＋A→B·A→C] ＝14－12－12＋12－12＋12＝－18.
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
M A AD DN
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
2019年高中人教A版数学选修2-1课件 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件(16张)
a 对ab,于ba,向cc,量能若a得a,b到b=,bacc,,c由则吗b？= 如c.
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
果不能，请举出反例 .
不直能 时，，例有如a b 向量a ca ,而与未向必量有b,bc都c垂.
思考2.
对于三个均不为0的数a,b, c,
若ab c, 则 a
角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。
计算： （1） EFBA (2)EFBD
A
(3)EFDC (4)EFAC
E
F
B
D
C
小结：空间两个非零向量 a 、b 的数量积 a b :
a b a b cos a,b a
也有下列三个重要性质：
2
2
b
① a | a |2 即 | a | a (求线段的长度);
是说，向量的数量积满足结
合律吗？
不成立，左边是一个与向量c 共 线的向量，右边是一个与向量 a 共 线的向量，而向量c 与 a 连是否共线 都是一个未知数.
1.已知 a 2 2 , b 2 , a b 2 , 2
则 a 与b 的夹角大,则 a 0, b 0 ( )
对于向量
a,
b,
c .(或b c )
b
若
a
b
k
a
能否
写成
a
k b
(或b
k a
)
?
也就是说
向量有除法吗？
不能，向量没有除法.
思考3.
对于三个均不为0的数 a, b, c,
若(ab)c
a(bc).
对于向量
a,
b,
c,
(a b)c a(b c)成立吗？也就
人教版3空间向量的数量积运算-高中数学选修2-1() (共13张PPT)教育课件
电
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
–■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆 运
不
怯
作
这
，
耐
烦
像
男
个
如
果
， 东 下
我
实
像
西
(
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
女
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
•
•
• 有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
高中数学人教A版选修2-1课件： 3.1.3 空间向量的数量积运算 课件
b
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
B
类比平面向量,你能说 出 a b 的几何意义吗?
如 图 A1B1 是 b 在 a 方 向上的射影向量.
(3)空间两个向量的数量积性质 显然,对于非零向量 a 、b , e 是单位向
量有下列性质:
① a e a cos a, e ；
②a b ab 0;
2
③ a a a 也就是说 a
OBOCOBOA 所以OAOCOBOC 0
(OAOB)OC 0
BAOC 0
所以 OC AB
巩固练习：利用向量知识证明三垂线定理
已知P： O ,PA 分别是平 的面 垂线，O斜是 A线 PA，
在内的射a影 ,， 且aOA
求证 a： PA
证明：在 a上取非零向量 a
2
2）两个向量的数量积 已 知 空 间 两 个 非 零 向 量 a 、b , 则
a b cosa, b 叫做 a 、b 的数量积,记作 a b .
即 a b a b cosa, b .
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
A
a
A1
B1
2
a
.
注： 性质② 是证明两向量垂直的依据； 性质③是求向量的长度（模）的依据；
(4)空间向量的数量积满足的运算律
⑴(a) b (a b)
这些运算律
⑵ a b b a (交换律)
成立,说明数量积 不仅有用,而且运
⑶ a (b c) a b a c (分配律) 算 起 来 还 极 为 方
lm gn n
证明：在内作不与m、n重合的任一条 直线g,在l、m、n、g上取非零向
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
3.如图：已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都 等于1，点E、F 分别是AB、AD的中点。 计算： （ 1 ） EF BA (2) EF BD (3) EF DC (4) EF AC
A E B C
F
D
三
、典型例题
例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且 l⊥m，l⊥n，求证：l⊥ 分析：由定义可知，只需证l与平面内 任意直线g垂直。
O
A
a
例3 如图，已知线段 AB 在平面 内，线段 AC
DBD 30 ，如 ，线段 BD AB ，线段 DD ，
果 AB a , AC BD b ，求 C 、 D 之间的距离。
解：由 AC ，可知 AC AB .
C D b b a D'
B
e
A1 B1
l
A
注意： AB 是轴l上的正射影A1B1是一个可正可负的实数， 它的符号代表向量 AB 与l的方向的相对关系，大小代表 在l上射影的长度。
4)空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ，有：
1) a e a cos a, e 2) a b a b 0 3) a a a
（a b) c a (b c)
二、 课堂练习
2 1.已知 a 2 2 , b , a b 2 2 则a , b所夹的角为________ .
2.判断真假： 1 ） 若a b 0, 则a 0, b 0 2) (a b) c a (b c) 3) p 2 q 2 ( p q) 2 4) p q p q p 2 q 2 ( ) ( ) ( ) ( )
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
人教A版高中数学选修2-1课件高二：3-1-3空间向量的数量积运算
名师辨误作答
[例 5] 在四面体 OABC 中，各棱长都相等，E、F 分别为 AB，OC 的中点，求异面直线 OE 与 BF 所夹角的余弦值．
[错解] 取O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则
a·b＝b·c＝c·a＝2.
又∵O→E＝12(a＋b)，B→F＝12c－b，|O→E|＝
空白演示
成才之路·数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
3．1 空间向量及其运算
第三章
第 3 课时 空间向量的数量积运算
课前自主预习 课堂典例讲练 方法规律总结
课堂巩固训练 课后强化作业
课程目标解读
掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律．
⑤对于实数 a、b、c，若 ab＝ac，a≠0，则 b＝c；对于向 量 a、b、c，若 a·b＝a·c，a≠0，却推不出 b＝c，只能得出 a ⊥(b－c)．
⑤a·b＝0⇒/ a＝0 或 b＝0，a＝0 时，一定有 a·b＝0.
⑥三个不为零的三个实数 a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立， 但对于三个向量 a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为 a·b 是一个实 数，(a·b)c 是与 c 共线的向量，而 a(b·c)是与 a 共线的向量，a 与 c 却不一定共线．
已知|a|＝2 2，|b|＝ 22，a·b＝ 2，则 a 与 b 的夹角为 ________．
[答案] 45°
[解析]
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝ 2
2 2×
＝ 2 2
22，
∵0°≤〈a，b〉≤180°，
高中数学优质课件精选人教A版选修2-1课件3.1.3空间向量的数量积运算
要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向
量的条件与向量的目标的联系?
证明 :在α内作任一直线g,分别在l,m,n,g上
取非零向量l,m,n,g.
因为m与n相交,故向量m,n不平行,由向量共
面的充要条件知,存在惟一的有序实数对
(x,y),使g = xm + yn,
l
将上式两边与向量l作数量积，得
|OA||BC|
＝24－8×165
2＝3－52
2 ,
所以 OA 与 BC 夹角的余弦值为3－52
2 .
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积 解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直. 2.求两点之间的距离或线段长度. 3.证明线面垂直. 4.求两直线所成角的余弦值等.
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
2 2
C 新疆 源头学子小屋 /wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
3.1.3 空间向量的数量积运算
F
s
W= |F| |s| cos
根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量 积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用, 它能解决有关长度和角度的问题.
1．了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点） 3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
1 2
D 新疆 源头学子小屋 /wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
高中数学人教A版选修2-13.1.3空间向量的数量积运算课件
另外,空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直线垂直经常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零.
证明：
为
逆命题成立吗?
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
空间向量数量积的定义
空间向量数量积的性质
空间向量数用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
m
n
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?
A
B
B
A
3)空间两个向量的数量积性质
注： 性质①是证明两向量垂直的根据； 性质②是求向量的长度（模）的根据； 性质③是求向量的夹角（余弦值）公式.
4)空间向量的数量积满足以下运算律
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
练一练：
√
答案：
空间向量的数量积运算
根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
1)两个向量的夹角的定义:
类似地，可以定义空间向量的
数量积
两个向量的夹角是惟一确定的！
2）两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
证明：
为
逆命题成立吗?
分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.
分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.
空间向量数量积的定义
空间向量数量积的性质
空间向量数用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,如果 ⊥m, ⊥n,求证: ⊥ .
m
n
取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?
A
B
B
A
3)空间两个向量的数量积性质
注： 性质①是证明两向量垂直的根据； 性质②是求向量的长度（模）的根据； 性质③是求向量的夹角（余弦值）公式.
4)空间向量的数量积满足以下运算律
注： 向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立。
练一练：
√
答案：
空间向量的数量积运算
根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度问题.
1)两个向量的夹角的定义:
类似地，可以定义空间向量的
数量积
两个向量的夹角是惟一确定的！
2）两个向量的数量积
注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量; ②规定:零向量与任意向量的数量积等于零.
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