201x版高考数学总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数文

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2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件文

(3)五种幂函数的性质
函数
特征
y＝x
y＝x2
性质
定义域
R
R
y＝x3 R
值域
R
[0，＋∞) R
奇偶性奇函数偶函数奇函数
y＝x
1 2
y＝x－1
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
(－∞，
[0，＋∞) 0)∪(0，＋
∞)
非奇非偶函数
奇函数
单调性
x∈ [0，＋
x∈ (－
增
∞) 时，增 x∈ (－ ∞，0]
[自主练透型]
1．(2018·太原模拟)当
0<x<1
时，f(x)＝x2，g(x)＝x
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
，h(x)＝x－2，
则 f(x)，g(x)，h(x)的大小关系是__h_(_x_)>__g_(x_)_>_f_(x_)___．
解析：分别作出 f(x)，g(x)，h(x)的图象，如图所示．可知当 0＜x＜1 时，h(x)＞g(x)＞f(x)．
答案：A
4
3．(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知
a＝2
3
，b＝4
2 5
，c＝25
1 3
，则(
)
A．b<a<c B．a<b<c
C．b<c<a D．c<a<b
4
解析：因为
a＝2
3
＝16
1 3
，b＝4
2 5
＝16
1 5
，c＝25
1 3
，且幂函数
y＝x
1 3
在 R 上单调递增，指数函数 y＝16x 在 R 上单调递增，所以 b<a<c.

高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件

解析：(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2，所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)。这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a，由于 f(x)有最小值－1，
所以必有－a>a0＝，－1，解得 a＝1。因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x。
25
(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式。解析：(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点 P′(－x，－y)必在 f(x)图象上，所以－y＝(－x)2＋2(－x)，即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x，故 g(x)＝－x2＋2x。
解析：因为函数 f(x)＝4x2－mx＋5 的单调递增区间为m8 ，＋∞，所以m8 ≤2，即 m≤16。
答案：(－∞，16]
16
5．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 __________。
m＜0，解析：当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，Δ＝－m2＋4m＜0，解得－4＜m ＜0。综上可知，实数 m 的取值范围是(－4,0]。答案：(－4,0]
26
►名师点拨二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用两根式。
27
通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根平方和等于 17。求 f(x)的解析式。解析：依条件，设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)，即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15。令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5。 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－21＋1a5＝2－3a0＝17， ∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13。

高考数学大一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数名师课件文北师大版

_奇__函__数____
__非__奇__非__偶_ __函__数_____
__奇__函__数___
函数
单调性
y＝x
y＝x2
y＝x3
在__(_－__∞__，__0_) _
_在__R_上__单___ 上__单__调__递__减__，_ _在__R__上__单__ 调__递__增___ 在__(_0_，__＋__∞__)上_ _调__递__增____
2

D.

52－1，2
【解析】因为函数 y＝x21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
所以不等式等价于 2mm2＋＋m1≥－01，≥0， 2m＋1>m2＋m－1。
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－解 m2＋m－1≥0，得 m≤
25－1或 m≥
52－1。
解 2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
1
(2)幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x2，y＝x－1 的图像与性质
函数
y＝x
定义域
R
值域
R
奇偶性 _奇__函__数____
y＝x2 R
_{_y_|y_≥__0_}_
_偶__函__数Biblioteka __y＝x3y＝x－1
R
__{x_|_x_≥__0_}_ _{_x_|x_≠__0_}__
R
__{_y|_y_≥__0_} __{_y_|y_≠__0_}_
解析正确。由幂函数的图像可知。
(6)关于
x
的不等式
ax2＋bx＋c>0
a>0，恒成立的充要条件是b2－4ac<0。
( × )解析错误。当 a＝0，b＝0，c>0 时也恒成立。ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒

高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数文市赛课公开课一等奖省优质课获奖

单调性在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递增
在x∈ －2ba，＋∞ 上单调递减
对称性 • 函数图象关于x＝对称
－2ba
6/61
2.幂函数 (1)定义：普通地，形如 y＝xα 函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数图象比较几何画板展示
7/61
(3)幂函数性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②幂函数图象过定点(1，1)； ③当α>0时，幂函数图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ④当α<0时，幂函数图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
3－a x＝ 2a ，
由
a<0， f(x)在[－1，＋∞)上递减知32－aa≤－1，
解得－3≤a＜0.
综上，a取值范围为[－3，0].
22/61
引申探究若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝___－__3.
答案解析
由题意知a<0，又32－aa＝－1，∴a＝－3.
17/61
(2)已知二次函数f(x)图象经过点(4，3)，它在x轴上截得线段长为2，而且
对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)解析式.
解答
∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)对称轴为x＝2. 又∵f(x)图象被x轴截得线段长为2. ∴f(x)＝0两根为1和3. 设f(x)解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又f(x)图象过点(4，3)， ∴3a＝3，a＝1， ∴所求f(x)解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
23/61
命题点2 二次函数最值例3 已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)最小值.

届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数课时作业

第四节二次函数与幂函数课时作业A 组——根底对点练1．幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，那么k ＋α＝( ) A.12B ．1 C.32 D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：C2．幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，那么以下选项正确的选项是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1) 解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，那么有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，应选B. 答案：B3．假设幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，那么m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m－2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.答案：B4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象是( ) 解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D.答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．假设f (m )＜0，那么f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，图象开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0.答案：A6．函数f (x )＝x2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，那么以下成立的是( ) A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：A7．函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，那么实数m 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如下图，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.应选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，应选D.答案：D9．假设函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第四节二次函数与幂函数课件文

解析：含参数的二次函数问题，将区间上恒成立转化为只需区间端点处成立，作出二次函数图象，根据条件结合图象列出关于 m 的不等式组求解．
解析：要满足 f(x)＝x2＋mx－1＜0，对于任意 x∈[m，m＋1]，
都有 f(x)＜0，只需ff（（mm）＋＜1）0，＜0，
即m（2m＋＋m12－）12＋＜m0，（m＋1）－1＜0，解得－ 22＜m＜0.
综上 52－1≤m＜2.
答案：(1)C (2)D
解：(1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－ 4，2)上为减函数，在(2，6]上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－a≥6，解得 a≥4 或 a≤－6.
(3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋－22xx＋＋33＝＝（（xx＋－11））22＋＋22，，xx≤ ＞00，，其图象如图所示，
又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
答案：－
22，0
幂函数的图象与性质
(1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是 ()
1
1
(2)若(2m＋1)2＞(m2＋m－1)2，则实数 m 的取值范围是( )
A.－∞，
5－1 2
B.
52－1，＋∞
C．(－1，2)
D.
52－1，2

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 24 幂函

2．[2015·兰州模拟]已知幂函数 f(x)的图象经过点81， 42，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的
单调性增
过定点
y＝x2
R [0，＋∞)
偶 x∈[0，＋∞)
时，增 x∈(－∞，0]
时，减 (0,0)，(1,1)
y＝x3 R R 奇
增
1 y＝x 2
[0，＋∞) [0，＋∞)
非奇非偶
y＝x－1
{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0}
奇
增
x∈(0，＋∞)时，减
x∈(－∞，0)时，减
(1,1)
【跟踪训练】 1．[2014·浙江高考]在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
解析因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 不符合；在 B 中，由 f(x)的图象知 a>1，由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，矛盾，故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
小题快做 1.思考辨析
1 (1)函数 y＝－x2 与 y＝2x 2 都是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点．( × ) (3)当 α>0 时，幂函数 y＝xα 是定义域上的增函数．( × )
2．[教材改编]设 α∈－1，1，21，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
系解决简单问题.

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件理

考点分布
考纲要求
考点频率
命题趋势
1.二次函数 2.幂函数
1.理解并掌握二次函数的定义、图象和性质； 5 年 10 考
会求二次函数在闭区间上的最值；能用二次函
数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联
系去解决有关问题．
2.会用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
3.了解幂函数的概念．
5年4考
4.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
的图象，了解它们的变化情况
对二次函数主要考查二次函数的单调区间、最值问题以及有关参数的范围问题，对幂函数的考查是以幂函数的图象为载体，研究幂函数的性质．
第四页，共41页。
2
基础自主梳理
第五页，共41页。
「基础知识填一填」 1．五种常见幂函数的图象与性质
第六页，共41页。
第七页，共41页。
(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
第二十二页，共41页。
求二次函数(hánshù)解析式
[典例导引]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．
第二十四页，共41页。
∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－212＋8＝－4x2＋4x＋7.
第二十五页，共41页。
解法三(利用零点式)：由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1，故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a－2a4－a 1－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.

高考数学总复习第二篇函数与导数第4讲二次函数与幂函数课件理

主要考查二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用，以及幂函数的图象及性质，重点考查数形结合与等价转化两种数学思想．以二次函数的图象为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值以及与此有关的参数范围的问题．
【真题探究】► (2012·杭州外国语学校测试)设函数f(x)＝ax2 －2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．
解析由 A，C，D 的图象知 f(0)＝c<0.又 abc>0，∴ab<0， ∴对称轴 x＝－2ba>0，知，A，C 错误，D 符合要求．由 B 知 f(0)＝c>0，∴ab>0，∴对称轴 x＝－2ba<0，∴B 错误．答案 D
4．(2012·福建)已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．解析不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－ 8a<0，∴0<a<8，即a的取值范围是(0,8)．答案 (0,8)
解 (1)由 f(0)＝2 可知 c＝2.又 A＝{1,2}，故 1,2 是方程 ax2＋(b－1)x＋2＝0 的两实根．
所以1＋2＝1－a b， 2＝2a.
解得 a＝1，b＝－2.
所以 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－2,2]．
当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝1，即 m＝1. 当 x＝－2 时，f(x)max＝f(－2)＝10，即 M＝10.
考点自测
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函
数，则f(1)的范围是( )．
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25

高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用2.4指数与指数函数课件文

突破考点 02
指数函数的图象及其应用
（题点多变型——一题多变）
指数函数的图象与性质 a>1
图象
0<a<1
R (0，＋∞) (0,1) ax>1 0<ax<1 0<ax<1 ax>1 增函数减函数
【调研 2】若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0，且 a≠1) 的图象只有两个公共点，则实数 a 的取值范围是________．
2．有理指数幂
(1)分数指数幂的意义：
①正分数指数幂：a
m n
＝____________(a>0，m，n∈N*，
且 n>1)；
②负分数指数幂：a－
m n
＝__________＝________(a>0，m，
n∈N*，且 n>1)；
③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂________．
(2)有理数指数幂的运算性质： ①aras＝________(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q)；上述有理数指数幂的运算性质，对于无理数指数幂也适用．
【解析】 ①当 a>1 时，如图知 y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象只有一个公共点．
②当 0<a<1 时，由图知
当 0<2a<1，即 0<a<12时，y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象只有两个公共点．
【答案】
1 0<a<2
【题点发散一】若将本例题干改为“函数 y＝|2x－1|在区间(－∞，k]上单调递减”，则 k 的取值范围是________．

高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数课件文

12/7/2021
第三十九页，共六十四页。
角度 2 二次函数的最值问题
典例已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2
＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝
12， 22，则 k＋α＝(
)
A.12
B．1
3 C.2 解析
D．2 由幂函数的定义知 k＝1.又 f12＝ 22，所以12α＝
22，解得 12/7/2021 α＝12，从而 k＋α＝32.故选 C.
第十四页，共六十四页。
(2)函数 f(x)＝x2－ax－a 在[0,2]上的最大值为 1，则实数
a 等于( )
∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由 1－a＝2，得 a＝－1； ②当 0<a≤1 时，函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在区间[0， a]上是增函数，在[a,1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
12/7/2021
第三十三页，共六十四页。
由 a2－a＋1＝2，解得 a＝1＋2 5或 a＝1－2 5， ∵0<a≤1，∴两个值都不满足； ③当 a>1 时，函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在区间[0,1] 上是增函数， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2.故选 D.
12/7/2021
根据幂函数的性质逐项验证．
第十八页，共六十四页。
1
解析由函数 f(x)＝x 2 ，知：在 A 中，f(x)≥0 恒成立，故 A 错误；在 B 中，∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0，故 B 正确；在 C 中，∀x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有fxx11－－fx2x2 >0，故 C 错误；在 D 中，当 x1＝0 时，不存在 x2∈[0，＋∞)使得 f(x1)>f(x2)，故 D 不成立．故选 B.

2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件

解析：由题意可知，f(x)＝2ax2＋2x－3＜0 在[－1，1]上恒成立.
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
当 x≠0 时，a＜321x－312－61，
易得1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当 x＝1 时，右边取得最小值12，所以 a＜12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，21. 答案：－∞，21
答案：B
考向 2 二次函数的单调性通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性” (作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是( )
方法二(分离参数)：当 x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5 恒成立，即当 x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立. ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0，又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可. 综上所述，m 的取值范围是－∞，67.
公共点
在(－∞，0]上单在 R 上在[0，在(－∞，0)
调递减；在[0，单调递＋∞)上和(0，＋∞)
＋∞)上单调递增增
单调递增上单调递减
(1，1)
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ

第二章函数、导数及其应用第四节二次函数与幂函数

2．结合函数 y＝x，y＝分)(二次函数的最值) 2016· 全国卷Ⅰ· T3(5 1 1 2 3 2 x， y＝x ， y＝x， y＝x 分)(幂函数的性质) 的图象，了解它们的变 2015· 天津高考· T8(5 化情况分)(二次函数的图象) 3．理解并掌握二次函 2015· 福建高考· T9(5 数的定义、图象及性质分)(二次方程的根)
α＝(
) 1 A．2 B．1 3 C．2 D．2
1 2 解析因为 f(x)＝k· xα 是幂函数，所以 k＝1。又 f(x)的图象过点，， 2 2
1 α 2 1 1 3 所以 2 ，所以 α ＝，所以 k ＋ α ＝ 1 ＋＝ 2 2 2＝2。故选 C。答案 C

＝x2－3x＋1－m，要使 g(x)＝x2－3x＋1－m>0 在[－1,1]上恒成立，只需使函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可。因为 g(x)＝x2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减，所以 g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－1>0，得 m<－1。因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)。答案 (－∞，－1)
3．(必修 1P38B 组 T1 改编)函数 y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则 y 的最小值为________。
3 3 3 2 解析函数 y＝2x －6x＋3＝2 x－2 －2的图象的对称轴为 x＝2>1，所以
2

函数 y＝2x2－6x＋3 在[－1,1]上为单调递减函数，所以 ymin＝2－6＋3＝－1。答案－1
a＝－4，解得b＝4， c＝7。
所以所求二次函数为 f(x)＝－4x2＋4x＋7。

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件理北师大版

►考法 3 二次函数中的恒成立问题
【例 4】 (1)已知函数 f(x)＝ax2－2x＋2，若对一切 x∈12，2，f(x)＞0 都成立，则实数 a 的取值范围为( )
A.12，＋∞ C．[－4，＋∞)
B.12，＋∞ D．(－4，＋∞)
(2)已知函数 f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意 x∈[m，m＋1]，都有 f(x)＜0
幂函数的图像及性质
1．幂函数 y＝f(x)的图像经过点(3， 3)，则 f(x)是( ) A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
D
[设幂函数 f(x)＝xα，则 f(3)＝3α＝
二次函数的图像与性质
►考法 1 二次函数的单调性
【例 2】函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 在区间[－1，＋∞)上是递减的，
则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3,0)
B．(－∞，－3]
C．[－2,0]
D．[－3,0]
D [当 a＝0 时，f(x)＝－3x＋1 在[－1，＋∞)上递减，满足题意．当 a≠0 时，f(x)的对称轴为 x＝3－ 2aa，由 f(x)在[－1，＋∞)上递减知 a＜0， 3－ 2aa≤－1，解得－3≤a＜0. 综上，a 的取值范围为[－3,0]．]
1
1
3．若(a＋1)2＜(3－2a)2，则实数 a 的取值范围是________．
－1，23
1
[易知函数 y＝x2的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，
a＋1≥0，所以3－2a≥0，
a＋1＜3－2a，
解之得－1≤a＜23.]

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用 24 二次函数与幂函数课件理

2019 考纲考题考情
2021/12/11
第四页，共四十七页。
微知识·小题练
教材回扣基础自测
2021/12/11
第五页，共四十七页。
1．幂函数 (1)定义：一般地，函数___y_＝__xα___叫做幂函数，其中底数__x__是自变量，
α 是常数。
2021/12/11
第六页，共四十七页。
(2)幂函数的图象比较：
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。
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第二十一页，共四十七页。
【变式训练】已知函数 f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3 是幂函数，且 x
∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．2
C．－1 或 2
解因为 a>0，所以 f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为直线 x＝1a。
①当1a<2，即 a>12时，1a∈(0,2)，所以 f(x)在0，a1上单调递减，在1a，2上单调递增，所以 f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a。
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(2)图象与性质：
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第九页，共四十七页。
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第十页，共四十七页。
与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0； (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0； (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用训练8二次函数与幂函数文

课下层级训练(八) 二次函数与幂函数[A 级基础强化训练]1．(2019·新疆乌鲁木齐月考)函数y ＝x 13的图象是( )B [显然f (－x )＝－f (x )，说明函数是奇函数，同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ；当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合．]2．已知幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m ＋1为偶函数，则m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．3A [∵函数f (x )为幂函数，∴m 2－3m ＋3＝1，即m 2－3m ＋2＝0，解得m ＝1或m ＝2.当m ＝1时，幂函数f (x )＝x 2为偶函数，满足条件．当m ＝2时，幂函数f (x )＝x 3为奇函数，不满足条件．]3．(2019·贵州凯里月考)函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]4．(2019·陕西渭南月考)如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，则m 取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1解得m＝1或2，符合题意．]5．(2019·陕西延安月考)已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]6．(2019·浙江绍兴月考)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x 都有f (x ＋1)＝f (－x )，那么( )A ．f (－2)<f (0)<f (2)B ．f (0)<f (－2)<f (2)C ．f (2)<f (0)<f (－2)D ．f (0)<f (2)<f (－2)D [由f (1＋x )＝f (－x )知f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又抛物线f (x )开口向上，∴f (0)<f (2)<f (－2)．]7．(2019·北京丰台月考)已知幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18，则函数的解析式f (x )＝__________.x －3 [设幂函数为f (x )＝x α，因为图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2，18，∴f (2)＝18＝2－3，从而α＝－3函数的解析式f (x )＝x －3.]8．当0<x <1时，函数f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是__________.h (x )>g (x )>f (x ) [如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知，h (x )>g (x )>f (x )．]9．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5. 故实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．10．(2019·四川成都诊断)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2，2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解 f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a24－a ＋3，令f (x )在[－2,2]上的最小值为g (a )．(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，∴a ≤73.又a >4，∴a 不存在．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0， ∴－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，∴－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，∴a ≥－7.又a <－4，∴－7≤a <－4.综上可知，a 的取值范围为[－7,2]．[B 级能力提升训练]11．(2019·山西晋中月考)f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≤0B ．a ＜－4C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0D [(1)当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；(2)当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得到二次函数与x 轴没有交点即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；(3)当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于零，故解集为R 不可能．综上，a 的取值范围为(－4,0]．]12．(2019·安徽合肥教学质量检测)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a ，g (x )＝2x －x 2，若f (g (x ))≥0对x ∈[0,1]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－e ，＋∞)B ．[－ln 2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C [如图所示，在同一坐标系中画出y ＝x 2＋1，y ＝2x ，y ＝x 2＋32的图象，由图象可知，在[0,1]上，x 2＋1≤2x <x 2＋32恒成立，即1≤2x －x 2<32，当且仅当x ＝0或x＝1时等号成立，∴1≤g (x )<32，∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2，即实数a 的取值范围是[－2，＋∞)．]13．(2019·贵州遵义月考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是__________.(0,1] [由f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a ，＋∞)，∴a ≤1. ∵y ＝1x ＋1在(－1，＋∞)上为减函数， ∴由g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数可得a >0，故0<a ≤1.]14．(2019·江西宜春月考)设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值的范围是__________.[0,4] [令f (x )＝－6解得x ＝－1或x ＝3，令f (x )＝2得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m ＝－1，n ＝1时，m ＋n 取得最小值0，当m ＝1，n ＝3时，m ＋n 取得最大值4.]15．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，f －＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1)．。