高等数学第4章第1节连续性概念
《高等数学》函数的连续性与连续函数的计算
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
再如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点 .
x 0 为其振荡间断点 .
y
o
x
2
y y sin 1 x
0x
x 1为可去间断点 .
o1 x
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x , x 1
(4)
y
f (x)
1 2
,
x 1
y
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
例5 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
o
x
★ 狄利克雷函数
y
D(
y
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
同济大学《高等数学》(第四版)1-10节 连续函数的运算
，试研
究 复 合 函 数 f [ g ( x )] 与 g [ f ( x )] 的 连 续 性 .
思考题解答
1, 2 f ( x ) 0, g( x) 1 x 1, 2 f [ g ( x )] sgn( 1 x ) 1
x 0 x 0 x 0
二、计算下列各极限： sin x sin a 1 、 lim ； x a x a 2 x 3 x1 ) 3 、 lim ( ； x 2 x 1
2 、 lim ( 1 3 tan
x 0
2
Baidu Nhomakorabea
x)
cot x
；
a x , x 0 三 、 设 f ( x ) 1 , x 0 已知 f (x) 在 2 ln( b x x ), x 0 x 0 处连续，试确 定 a 和 b 的值.
2
x 0
x ( 1 x 1)
2
lim
x 1 x 1
2
x 0
0 2
0.
四、小结
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别;
求极限的又一种方法.
思考题
设 f ( x ) sgn x ， g ( x ) 1 x
自考高等数学一精讲第四章节
第四章微分中值定理和导数的应用
微分中值定理
费马引理：设函数y=f(x) 在点的一个邻域上有定义，并在可导，假如
（或）
则
一、罗尔(Rolle) 定理
罗尔（Rolle）定理
假如函数f(x) 在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，
即f(a)=f(b) ，那么在（a,b）内起码有一点，使得函数f(x) 在该点的导数等于零，即
。
几何解说:
在曲线弧AB上起码有一点C，在该点处的切线是水平的。
例1.判断函数，在[-1，3]上能否知足罗尔定理条件，若知足，求出它的驻点。【答疑编号11040101】
解
知足在
[-1，3]上连续，
在（-1，3）上可导，
且
f(-
1)=f(3)=
，
∵
，取
例2.设f(x)=(x+1)(x-
2)(x-3)(x-5)
，判断有几个实根，并指出这些根所在的区间。
【答疑编号11040102】
二、拉格朗日(Lagrange) 中值定理
1.拉格朗日(Lagrange) 中值定理假如函
数
f
(x)
在闭区
间
[
a,b]
上连续，在开区
间（
a，b）内
可导，
那么在（a,
b ）内起码有一点，使等式
成立。
注意：与罗尔定理对比条件中去掉了f(a)=f(b) 2.
结论亦可写成。
几何解说:
在曲线弧AB上起码有一点 C，在该点处的切线平行于弦AB。
拉格朗日中值定理又称微分中值定理
例3（教材162页习题，3题（2）题）、判断f(x)=sinx在上能否知足拉格朗日中
值定理。
【答疑编号11040103】
推论1假如函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数。
大一高等数学第四章第一节原函数与不定积分的概念
2 x 5( ) 3 C； 二、1、 x arctan x C ； 2、2 x ln 2 ln 3 x sin x 4. (cot x tan x ) C ； C； 3、 2 2 4( x 7 ) C； 5、 6、tan x arc cot x C . 4 7 x
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
（2）若 F ( x ) 和 G ( x ) 都是 f ( x ) 的原函数，
则 F ( x ) G( x ) C 证
F ( x ) G ( x )
F ( x ) G ( x ) f ( x) f ( x) 0
（C 为任意常数）
F ( x ) G ( x ) C （C 为任意常数）
在 ( , ) 内是否存在原函数？为什么？
思考题解答
不存在.
x C, x 0 假设有原函数 F ( x ) F ( x ) C , x0 x C , x 0
但 F ( x ) 在x 0 处不可微，
高等数学同济七版第四章电子教案
第四章 不定积分
第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 定义：如果在区间I 上，可导函数
()F x 的导函数为()f x ，即对于任一x I
∈都有
()()F x f x '=或d ()()d ,F x f x x =则称函数()F x 为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的
一个原函数.
例如：因()
22x x '=，故2
x 是2x 的一个原函数.
定理（原函数存在定理）：如果函数
()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数
()F x ，使对任一x I ∈都有()().F x f x '=即连续函数必有原函数.
注：①如果()f x 有一个原函数的话，那么()f x 就有无限多个原函数. ②()f x 的任意两个原函数只差一个常数.
定义：在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()d f x x ）在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰， 其中⎰
称为积分号，
()f x 称为被积函数，()d f x x 称
为被积表达式，
x 称为积分变量. 即()d ().f x x F x C =+⎰
注：()d f x x ⎰是()f x 的原函数，故有
d ()d ()d f x x f x x
⎡
⎤=⎣⎦⎰或d ()d ()d ;f x x f x x ⎡⎤=⎣⎦⎰
又因为()F x 是()F x '的原函数，所以有()d ()F x x F x C '=+⎰或d ()().F x F x C =+⎰
所以记号⎰
与d 是互逆的 例：求
《高等数学》教学课件 第4章
dx
dx
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
cos2 x
sin2 x
sec2 xdx csc2 xdx
tan x cot x C.
例5 求
sin2
x 2
dx
。
解 因为 sin2 x 1 cos x ，所以 22
sin 2
x 2
dx
1
cos 2
xdx
1 2
x
图4-1
第二节 不定积分的根本公式和法那 么
一、不定积分的基本公式
导数的基本公式 (x 1) ( 1)x，由此得到不定积分的基本公式
x dx 1 x 1 C ( 1)
1
同理，可以得到其他积分的根本公式如下：
（1） 0dx C
（2）
x dx 1 x 1 C ( 1) 1
（3）
（4-2）
例1 求 sin xdx 。
解 因为 ( cos x) sin x ，所以
sin xdx cos x C
例2
求
1dx x
。
解
因为 (ln x ) 1 ，所以 x
1 x
dx
ln
x
C
例3 【曲线方程】求经过点（1，3），并且切线斜率为2x 的 曲线方程。
解
设所求曲线方程为 y f (x) ，由题设曲线上任一点
高数前四章习题标注
各位学员：
考研复习的数学的参考用书：高数上、下册：同济六版，暑期高数十二章的复习内容。大家每天的数学学习安排按照下面计划，2.5-3小时的复习时长来复习，此计划是80天的复习计划。请大家认真落实，如果在每章节学习过后，还有其他复习考研的时间，可以去做下进程汇编，检测自己学生中存在的问题，如果没有太多时间的复习，可以安排完成好课后题即可。
2
4
5
6
高等数学第四章
弦线的方程为
作辅助函数
即可.
的几何意义为：曲线的纵坐标与曲线弧两端
点连线对应的纵坐标之差.
推论 1 若函数 f (x) 在区间 I 上导数恒为零，则
f (x) 在区间 I 上是一个常数．
推论 2 如果函数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上恒有
f ( x) g ( x)，则在区间 I 上 f (x) g(x) C ，
其中 C 为常数．
三、柯西中值定理
定理 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续，
(2)在开区间(a,b)内都可导，
(3)在开区间(a,b)内，g(x) 0,
则至少存在一点 (a,b)，使 f (b) f (a) f ( ) .
g(b) g(a) g( )
在柯西中值定理中，若取g(x)=x，则得到拉格 朗日中值定理.因此柯西中值定理可以看成是拉格朗 日中值定理的推广.
例3 求 lim x x . x0
e 解 原式 lim e xln x x0
lim x ln x
x0
( 00 )
ln x lim x0 1
e x
1
e lim x0
x 1
x2
e0 1.
洛必达法则
型
00 ,1 , 0 型
0型 0 型
《高等数学》 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及练习题
高等数学 第四章 不定积分的概念和性质1—2节 课堂笔记及
练习题
主 题：第四章 不定积分的概念和性质1—2节 学习时间：2015年11月30日—12月6日
内 容：
这周我们将学习第四章不定积分的概念和性质（1—2节）。积分运算与微分运算互为逆运算，它们同是高等数学的重点，需要充分重视。其学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、理解原函数与不定积分的概念
2、非常熟练地掌握求不定积分的基本方法：基本积分公式、不定积分的性质、换元法。
基本概念：原函数和不定积分的概念
知识点：基本积分公式、不定积分的性质、换元法
知识结构图
一元函数积分学
原函数不定积分
定义运算法则计算方法
直接积分法换元法
第一类换元法
全体
个体
第二类换元法
第一节、不定积分的概念和性质
一、原函数与不定积分的概念（要求理解各概念） 定义1：设)(x f 为某区间I 上
的函数，如果存在函数)(x F ，使在该区间上
有)()(x f x F ='或,)()(dx x f x dF =则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
原函数存在定理：如果)(x f 在区间I 上连续，则在区间I 上)(x f 的原函数一定存在。
说明：如果)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个原函数，显然c c x F ()(+为任意常数）也是)(x f 的原函数，这说明)(x f 如果存在原函数，应有无穷多个，)(x f 的
全体原函数是一个函数族。c x F +)(为)(x f 全体原函数的一般表达式。
定义2：设)(x F 是)(x f 在区间I 的一个原函数，则)(x f 的全体原函数
高等数学 第四章 第1节 中值定理(中央财经大学)
极值的定义
若
内有定义在设 , )(U )( 0x x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≤, )( )( 0的极大值为则称x f x f , )(U
ˆ )()(00x x x f x f ∈≥, )( )( 0的极小值为则称x f x f .
0为函数的极大点x .
0为函数的极小点x
定理
)(是特殊情况C x f ≡证
二. 罗尔中值定理
设
;
]) ,([)( )1(b a C x f ∈;
) ,( )( )2(内可导在b a x f ,
)()( )3(b f a f =则至少存在一点.
0)( , ) ,(=′∈ξξf b a 使得定理
实际上, 切线与弦线AB 平行.实际上, 切线与弦线AB 平行.
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
)(min , )(max ]
,[] ,[x f m x f M b a x b a x ∈∈==令m
M = )1(若]
,[ )( b a x M x f m ∈∀≤≤∵]
,[ )( b a x m x f ∈=∴.
0)( , ) ,( =′∈∀ξξf b a 均有故证
)
( )2(m M M m ≠<即若
]) ,([)( b a C x f ∈∵上取到它的最大值、必在 ] ,[ )( b a x f ∴最小值至少各一次.
, )()( b f a f =又 . )( m M b x a x x f 和处分别取到和不能同时在故==使得
即至少存在一点 ,) ,( b a ∈ξ.
高等数学：第1节：多元函数的概念
U(P0 , ) {P | 0 | PP0 | }
•P
• P0
{ ( x, y) | 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 }.
（2）区域
内点：设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点
如果存在点 P 的某一邻域 U(P) E ，
则称Ｐ为Ｅ的内点． Ｅ的内点属于Ｅ．
都有
| f ( x, y) A |
则称 A 为函数z f ( x, y)当 x x0，y y0时的极限， 记为 lim f ( x, y) A
x x0 y y0
（或 f ( x, y) A ( 0)这里 | PP0 | ）.
说明：
（1）定义中 P P0 的方式比 x x0 的方式复杂的多
0
4) (2
0 4) 4
四、多元函数的连续性
一元函数连续性回顾： 设 y f ( x), x0 D
若 lim x x0
f ( x) f ( x0 ),
则称
f ( x)在 x0处连续.
二元函数的连续性
设 z f ( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D,且为聚点.
若 lim x x0
例5：求极限 lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
解：令: x2 y2 , 当( x, y) (0,0)时, 0,
《高等数学B》 第四章 中值定理及导数的应用 第1节 中值定理
证毕。 证毕。 注意: 注意: 拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上 的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.
设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 在 (a , b )内可导 ,
x0 , x0 + ∆ x ∈ ( a , b ) , 则有
拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 法国数学家. 他在方程论 解析函数论 及数论方面都作出了重要的贡献, 及数论方面都作出了重要的贡献 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 余年来 接地溯源于他的工作, 接地溯源于他的工作 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一 .
( − 1 ≤ x ≤ 1) .
∴ f ( x ) ≡ C , x ∈ ( −1 , 1)
又Q f (0) = , 即 C = . ∴ f ( x ) ≡ , x ∈ ( −1 , 1) 2 2 2
π
π
π
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又由于 f ( − 1 ) = f (1 ) =
∴ arcsin x + arccos x =
π
(1)
f ′(ξ ) = 0 .
例如, 例如 f ( x ) = x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3)( x + 1) .
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第四章 函数的连续性
● 引言
在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数．从今天开始，我们就来看看这类函数的特点．主要讲以下几个问题：
１．什么是“函数的连续性”？
２．“间断”或“不连续”有哪些情形？
３．连续函数有哪些性质？
４．初等函数的连续性有何特点？
§１ 连续性概念
● 引言
“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的．例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的．
由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线．而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了．
当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性．
例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）． 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究．
从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化．而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反．：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →．换句话说，当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即1
1lim ()()x x f x f x →=． 根据这一分析，引入下面的定义：
一 函数在一点的连续性
1. 函数f 在点0x 连续的定义
定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若0
0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续． 注 00
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换． ２．例子
例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续．
例２．2
lim(21)5(2)x x f →+==．
例３．讨论函数1sin ,0()0
,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性． ３．函数f 在点0x 连续的等价定义
１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量．设00()y f x =，0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量．
注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零．（区别于“增加”）．
２） 等价定义１：函数f 在点0x 连续⇔0
lim 0x y ∆→∆=． ３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<． 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式．如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数．
４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系
１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）．而f 在
点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）．
２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续”时，由于x=0x 时，0|()()|f x f x ε-<恒成立．所以换为：0||x x δ-<.
３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限”，而且0
0lim ()()x x f x f x →=；而在讨论0
lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在． 总的来讲，函数在点0x 连续的要求是：①()f x 在点0x 有定义；②0
lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=. 任何一条不满足，f 在点0x 就不连续．同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函
数在这点的局部性质．
５．f 在点0x 左（右）连续定义
① 定义２：设函数f 在点0()U x +（0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（0
0lim ()()x x f x f x -→=），则称f 在点0x 右（左）连续．
② f 在点0x 连续的等价刻划
定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续．
如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00
lim ()lim 0(0)x x xD x x f --→→===（左连续）． 例５．讨论函数2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩
在点0x =的连续性． 二 区间上的连续函数
１．定义
若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续，则称f 为Ｉ上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在
[,]a b 上分段连续．
２．例子
（１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；（２）函数y =在(1,1)-内每一点都连续．在1x =处为左连续，在1x =-处为右连续，因而它在[1,1]-上连续．
命题：初等函数在其定义区间上为连续函数．
函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗？ sgn x 在Ｒ上是分段连续吗？
三 间断点及其分类
１．不连续点（间断点）定义
定义３ 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称
点0x 为函数f 的间断点或不连续点．
注 这个定义不好；还不如说：设f 在00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()
f x 的不连续点（或间断点）．由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义；②0lim ()x x f x →不存在；③0
0lim ()()x x f x f x →≠．据此，对函数的间断点作如下分类： ２．间断点分类
１） 可去间断点 若0
lim ()x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断点．
例如：0x =是函数sin ()|sgn |,()x f x x g x x
==的可去间断点． “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”．设0x 是()f x 的可去间断点，且