高等数学第4章第1节连续性概念

第四章 函数的连续性

● 引言

在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数．从今天开始，我们就来看看这类函数的特点．主要讲以下几个问题：

１．什么是“函数的连续性”？

２．“间断”或“不连续”有哪些情形？

３．连续函数有哪些性质？

４．初等函数的连续性有何特点？

§１ 连续性概念

● 引言

“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的．例如下图１中的函数()y f x =，我们说它是连续的，而图２中的函数在0x 处是间断的．

由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线．而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了．

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性．

例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman 函数）． 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究．

从图２看出，在0x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从1x 左侧的近傍变到1x 右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化．而在其它点处（如1x 处），情况则完全相反．：当自变量从1x 向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x 靠近1x 时，函数值就靠近1()f x ，而当1x x →时，1()()f x f x →．换句话说，当1x x →时，()f x 以1()f x 为极限，即1

1lim ()()x x f x f x →=． 根据这一分析，引入下面的定义：

一 函数在一点的连续性

1. 函数f 在点0x 连续的定义

定义１（f 在点0x 连续）设函数f 在某0()U x 内有定义，若0

0lim ()()x x f x f x →=，则称f 在点0x 连续． 注 00

0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==，即“f 在点0x 连续”意味着“极限运算与对应法则f 可交换． ２．例子

例１．0,sin ,cos x R x x ∀∈在0x 处连续．

例２．2

lim(21)5(2)x x f →+==．

例３．讨论函数1sin ,0()0

,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点x=0处连续性． ３．函数f 在点0x 连续的等价定义

１） 记号：0x x x ∆=-——自变量x 在点的增量或改变量．设00()y f x =，0000()()()()y f x f x f x x f x y y ∆=-=+∆-=-——函数y 在点0x 的增量．

注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可正、可负、也可为零．（区别于“增加”）．

２） 等价定义１：函数f 在点0x 连续⇔0

lim 0x y ∆→∆=． ３） 等价定义２：函数f 在点0x 连续⇔0,0εδ∀>∃>，当0||x x δ-<时，0|()()|f x f x ε-<． 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式．如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数()()f x xD x =在点0x =连续，其中()D x 为Dirichlet 函数．

４．函数f 在点0x 有极限与函数f 在点0x 连续之间的关系

１） 从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f 在00()U x 内不定义（f 在点0x 可以没有定义）．而f 在

点0x 连续则要求f 在某0()U x 内有定义（包括0x ）．

２） 在极限中，要求00||x x δ<-<，而当“f 在点0x 连续”时，由于x=0x 时，0|()()|f x f x ε-<恒成立．所以换为：0||x x δ-<.

３） 从对极限的要求看：“f 在点0x 连续”不仅要求“f 在点0x 有极限”，而且0

0lim ()()x x f x f x →=；而在讨论0

lim ()x x f x →时，不要求它等于0()f x ，甚至于0()f x 可以不存在． 总的来讲，函数在点0x 连续的要求是：①()f x 在点0x 有定义；②0

lim ()x x f x →存在；③00lim ()()x x f x f x →=. 任何一条不满足，f 在点0x 就不连续．同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函

数在这点的局部性质．

５．f 在点0x 左（右）连续定义

① 定义２：设函数f 在点0()U x +（0()U x -内有定义），若00lim ()()x x f x f x +→=（0

0lim ()()x x f x f x -→=），则称f 在点0x 右（左）连续．

② f 在点0x 连续的等价刻划

定理4.1 函数f 在点0x 连续⇔f 在点0x 既是右连续，又是左连续．

如上例４：00lim ()lim 0(0)x x xD x x f ++→→===（右连续），00

lim ()lim 0(0)x x xD x x f --→→===（左连续）． 例５．讨论函数2,0()2,0x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩

在点0x =的连续性． 二 区间上的连续函数

１．定义

若函数f 在区间Ｉ上每一点都连续，则称f 为Ｉ上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．若函数f 在区间[,]a b 上仅有有限个第一类间断点，则称f 在

[,]a b 上分段连续．

２．例子

（１）函数,,sin ,cos y C y x y x y x ====是Ｒ上的连续函数；（２）函数y =在(1,1)-内每一点都连续．在1x =处为左连续，在1x =-处为右连续，因而它在[1,1]-上连续．

命题：初等函数在其定义区间上为连续函数．

函数[]y x =，sgn y x =在[1,1]-上是分段连续的[]y x =在Ｒ上是分段连续吗？ sgn x 在Ｒ上是分段连续吗？

三 间断点及其分类

１．不连续点（间断点）定义

定义３ 设函数f 在某00()U x 内有定义，若f 在点0x 无定义，或f 在点0x 有定义而不２，不则称

点0x 为函数f 的间断点或不连续点．

注 这个定义不好；还不如说：设f 在00()U x 内不定义，如果()f x 在0x 不连续，则称0x 是()

f x 的不连续点（或间断点）．由上述分析可见，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一：①()f x 在点0x 无定义；②0lim ()x x f x →不存在；③0

0lim ()()x x f x f x →≠．据此，对函数的间断点作如下分类： ２．间断点分类

１） 可去间断点 若0

lim ()x x f x A →=，而f 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠，则称0x 为f 的可去间断点．

例如：0x =是函数sin ()|sgn |,()x f x x g x x

==的可去间断点． “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”．设0x 是()f x 的可去间断点，且