2019-2020年高中数学《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》导学案 新人教A版选修2-3
1.3.2__“杨辉三角”与二项式系数的性质_公开课
从函数角度看，C 可看 成是以r为自变量的函数 f (r ) , 其定义域是：0,1,2,, n 当 n 6 时，其图象是右 图中的7个孤立点．
r n
①对称性 与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 m n m Cn Cn 得到．
n 图象的对称轴： r 2
3 n n n n
1 1
n
C C C C (1) C
0 n 1 n 2 n
赋值法
0 (C C ) (C C ) n 2 0 2 1 3 n 1 Cn Cn Cn Cn 2 2
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特 点？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
n 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1
(a+b)n展开式的二项式系数
1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15
1 4 10 20
1 5 15
1 6
k n k 1 n 的大小.
n k 1 n 1 1 k k 2 n 1 可知，当 k 时， 2
二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后 半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 C
n 2 取得最大值； n
C
n 1 2 相等，且同时取得最大值。 n
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8
练习2
1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为
C
5 11
5 10
；
6 11 .
在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
“杨辉三角与二项式系数的性质”说课一、教材分析：二项式系数性质是《二项式定理》的重要内容之一，教学应通过揭示二项式定理是代数中乘法公式的推广，了解二项式定理的推广过程，理解从特殊到一般的思维方法，培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力。
结合二项式定理介绍“杨辉三角”，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感。
二项式定理是组合知识与多项式知识的结合，教学时应特别注意让学生掌握二项展开式的通项公式。
二项展开式的性质有比较广泛的应用，尤其要注意赋值法在证明组和数等式时的应用。
发现从杨辉三角去探索二项式系数性质有助于学生掌握这部分知识，提高其数学能力。
二项展开式的性质运用涉及项、项数、系数、二项式系数等容易混淆的一些概念，还由于a,b 的变化使得计算比较复杂，教学时要抓住通项公式，并结合具体问题加以分析、比较，避免产生误解。
二、教学过程： 复习回顾：［引入］计算(a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表:师：通过计算填表，你发现了什么？大家思考一下如何迅速准确地写出二项式系数？生：写出二项展开式的系数运用计算器，或者组和数公式。
每一行的系数具有对称性。
师：除此以外还有什么规律呢?上表写成如下形式:能借助上面的表示形式发现一些新的规律吗? ［稍让学生思考］师：(首先从横向观察，启发学生发现规律1，纠正表达错误) 规律1：首末两项系数为1，与首末两项等距离的系数相等。
(再从上、下两行系数观察，画出斜线寻找规律2)规律2：除首末两项系数外，每一个数都等于它肩上两个数和。
师：再提问()7b a +=7652433425677213535217b ab b a b a b a b a b a a +++++++［由此类比、归纳提问学生，并一同写出()7a b +二项式系数(1，7，21，35，35，21，7，1)］ 师：[归纳小结]启用观察、类比、归纳的方法我们得到二项式系数的两个规律，可见应用观察、分析、类比、归纳的方法是我们获得新知识的重要途径。
1.3.2杨辉三角与二项式系数性质
:1 练习（ + x + x + x ） 的展开式中奇次项
2 3 4
系数和是 ______
2
提示: 设f (x) = (1+ x + x + x )
2 12
3 4
= a0 + a1x + a2 x + ...+ a12x 4 f (1) = a0 + a1 + a2 +⋯+ a12 = 4
思考： 思考：
n n
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 二项展开式中的二项式系数指的是那些？ 有多少个？ 有多少个？
下面我们来研究二项式系数有些什么性质？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我 们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 杨辉三角观察 为特殊值时， 们先通过杨辉三角观察 为特殊值时，二项式系数 有什么特点？ 有什么特点？
1答案 答案 2答案 答案
赋值法
已知(1 − 2 x) = a0 + a1 x + a2 x + ⋯ + a6 x + a7 x
7 2 6
7
求：)a0 (1
(2)a1 + a2 + a3 + ...+ a7
7
7
（1）令 x = 0
解: 设f (x) = (1− 2x)
即f (0) = (1 − 2 × 0) = 1, 展开式右边即为a0
5
1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
( a + b) 6
杨辉三角
点击图片可以演示“杨辉三角”课件
20-21版：1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质（步步高）
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解“杨辉三角”与二项式系数之间的关系.2.掌握二项式系数的性质及其应用.3.掌握“赋值法”并会灵活运用．知识点一杨辉三角的特点1．在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n＋1＝C r－1n＋C r n.知识点二二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n＝C n －mn增减性与最大值增减性：当k<n＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当k>n＋12时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数2Cnn 最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn-，12Cnn+相等，且同时取得最大值各二项式系数的和①C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－11．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．(×)2．二项展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.(×)3．二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．(×)4．二项展开式项的系数是先增后减的．(×)一、与杨辉三角有关的问题例1(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144 B．146C．164 D．461答案(1)B(2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22,第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思感悟解决与杨辉三角有关问题的一般思路(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．(2)然后将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．(3)注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．跟踪训练1如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比,所以C 13n ∶C 14n ＝2∶3,即14n －13＝23，解得n ＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 二、二项式系数的性质例2 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求n ；(2)求展开式中二项式系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n ＝992. ∴(2n )2－2n －992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n ＝32， ∴n ＝5.(2)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝223270.x 反思感悟 二项式系数最大的项的求法求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n 中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．跟踪训练2 (1)已知⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则n ＝________. 答案 10解析 只有第6项的二项系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.(2)已知⎝⎛⎭⎫4x ＋1x n 展开式中的第4项是常数，则展开式中系数最大的项是( ) A ．第7项 B ．第8项C ．第9项D ．第8项和第9项答案 D解析 通项公式T k ＋1＝C k n (4x )n －k⎝⎛⎭⎫1x k ＝C kn 54,n kx -∴T 4＝C 3n 154n x为常数，∴n ＝15，又每项的系数与二项式系数相等，且n ＝15， ∴第8项和第9项的系数最大． 三、二项式系数和的应用例3 已知(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，求下列各式的值： (1)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.解 (1)令x ＝0得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝－1.① ∴a 1＋a 2＋…＋a 5＝－2.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35，②由(1－2x )5的通项公式T k ＋1＝C k 5(－2)k ·x k知a 1，a 3，a 5为负值，a 0，a 2，a 4为正值， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. (3)由①－②得a 1＋a 3＋a 5＝－1－352＝－122.反思感悟 (1)赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．(2)一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．跟踪训练3 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (3)令x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59， 又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.1．(2x －3)10的展开式中，奇数项的二项式系数和为( ) A ．210B ．29C.510－12D.－1－5102答案 B2．(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，系数最大的项是( ) A ．第n2＋1项B ．第n 项C ．第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项答案 C3．(2x －1)6展开式中各项系数和为m ，二项式系数和为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．129 B ．65 C ．63 D ．33 答案 B解析 依题意，令x ＝1得m ＝1，又n ＝C 06＋C 16＋…＋C 66＝26＝64，∴m ＋n ＝65.4．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．答案 2n －1解析 每行两端的数依次为1,3,5,7,9，…，故第n 行两端的数为2n －1. 5．(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8＝______. 答案 180解析 由题意可知，a 8是x 8的系数， 所以a 8＝C 810·22＝180.1．知识清单： (1)杨辉三角的应用． (2)二项式系数的性质． (3)二项式系数和的应用．2．方法归纳：归纳法、赋值法．3．常见误区：易将二项式系数和项的系数混淆；利用赋值法求二项式系数的和导致错误．。
2019-2020学年人教A版数学选修2-3课时规范训练：1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
第一章 1.3 1.3.2【基础练习】1．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210【答案】C2．(2018年宁波模拟)若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3【答案】D3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，即a ＝C m 2m .同理b ＝C m 2m ＋1，∴13C m 2m＝7C m 2m ＋1，即13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，∴7(2m ＋1)m ＋1＝13，解得m ＝6.4．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】A【解析】令x ＝－1，得[(－1)2＋1]×[2×(－1)＋1]9＝a 0＋a 1(2－1)＋a 2(2－1)2＋…＋a 11(2－1)11，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)8的展开式中，含x 2项的系数是________.(结果用数值表示)【答案】84 【解析】展开式中，含x 2项的系数是C 22+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 33+C 32+C 42+C 52+C 62+C 72+C 82=C 93=84.6．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n 行的首尾两个数均为________．【答案】2n －17．(1－x )5(3＋2x )9＝a 0(x ＋1)14＋a 1(x ＋1)13＋…＋a 13(x ＋1)＋a 14，求： (1)a 0＋a 1＋…＋a 14的值； (2)a 1＋a 3＋…＋a 13的值．【解析】(1)令x ＝0，得a 0＋a 1＋…＋a 14＝39.(2)设A ＝a 0＋a 2＋…＋a 14，B ＝a 1＋a 3＋…＋a 13，则有A ＋B ＝39.令x ＝－2，有A －B ＝－35，联立方程组，解得a 1＋a 3＋…＋a 13＝39＋352.8．在(3x －2y )20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项．【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项， T 11＝C 1020·310·(－2)10·x 10y 10＝C 1020·610·x 10y 10. (2)设系数绝对值最大的项是第r ＋1项，于是⎩⎪⎨⎪⎧C r 20·320－r ·2r ≥C r ＋120·319－r ·2r ＋1，C r 20·320－r ·2r ≥C r －120·321－r ·2r －1.化简，得⎩⎪⎨⎪⎧3(r ＋1)≥2(20－r )，2(21－r )≥3r .解得725≤r ≤825.所以r ＝8，即T 9＝C 820·312·28·x 12y 8是系数绝对值最大的项． (3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大． T 9＝C 820·312·28·x 12y 8. 【能力提升】A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，解得a=1,则(1+a x )(2x-1x )5=(2x-1x )5+1x(2x-1x )5.其中，(2x-1x )5的展开式的通项为T r+1=C 5r (2x)5-r(-1x )r =(-1)r 25-r C 5r x 5-2r ，其中不含常数项，令r=2得T 3=80x ，所以该展开式中常数项为80.故选D.10．若(x ＋1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2的值等于( )A ．0B ．－32C ．32D ．－1【答案】A【解析】令x ＝1得到25＝a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0， 令x ＝－1得到0＝－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0，所以(a 5＋a 3＋a 1)2－(a 4＋a 2＋a 0)2＝(a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0)(a 5－a 4＋a 3－a 2＋a 1－a 0)＝0. 11．(2015年上海)在⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510的展开式中，x 2项的系数为________．(结果用数值表示)【答案】45【解析】⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 2 01510＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 2 01510，其二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(1＋x )10－r x －2 015r .当r >0时不合题意，故r ＝0，问题转化为求(1＋x )10的展开式中x 2的系数，其二项展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 10x k ，令k ＝2，则x 2项的系数为C 210＝45.12.(2019年江苏)设(1+x )n =a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ，n ≥4，n ∈N *.已知a 32=2a 2a 4． (1)求n 的值；(2)设(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *，求a 2-3b 2的值． 【解析】(1)由(1+x )n =C n 0+C n 1x +C n 2x 2+…+C n n x n ,n ≥4，可得a 2=C n 2=12n (n -1),a 3=C n 3=16n (n -1)(n -2),a 4=C n 4=124n (n -1)(n -2)(n -3).由a 32=2a 2a 4，可得[16n (n -1)(n -2)]2=12n (n -1)·124n (n -1)(n -2)(n -3)，化简得2(n -2)=3(n -3)，解得n =5.(2)方法一:(1+3)5=C 50+C 513+C 52(3)2+C 53(3)3+C 54(3)4+C 55(3)5 =1+53+30+303+45+9 3 =76+443,又(1+3)n =a +b 3，其中a ,b ∈N *， 所以a =76,b =44. 所以a 2-3b 2=762-3×442=-32. 方法二:(1+3)5=a 0+a 13+a 2(3)2+a 3(3)3+a 4(3)4+a 5(3)5=a +b 3，则(1-3)5=a 0+a 1(-3)+a 2(-3)2+a 3(-3)3+a 4(-3)4+a 5(-3)5=a -b 3， 可得(a +b 3)(a -b 3)=(1+3)5(1-3)5, 即a 2-3b 2=(1-3)5=-32.。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
【学习目标】
1．结合“杨辉三角”体会二项式系数的性质． 2．会求二项展开式中二项式系数最大的项． 3. 会对n
b a )(+中的b a ,赋值解决和的问题.
【复习】
1. 二项式定理：
2. 二项展开式的通项： 公式中的r n
C 叫做 【探究活动与知识点梳理】
（三）、二项式系数的性质：
①性质1： ，即
直线 将函数r n
C r f =)( ,},,2,1,0{n r ∈的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. ②性质2：
当 时，二项式系数是逐渐增大的；
当 时，二项式系数是逐渐减小的；
当n 是偶数时，第 项的二项式系数最大；
当n 是奇数时，第 项的二项式系数最大.
③性质3： ， 即
④ ，
即
【例题及练习】
例1. 画出函数r
C r f 6)(= ,}6,543,2,1,0{，，r ∈的图象.
例2. 试证明：在n
b a )(+的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
练习：
1. 当n 为偶数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
当n 为奇数时，n
b a )(+的二项式系数的最大值是
2. =+++1111311111C C C
3. =+++++++++++++1
1
221101210n n n n n n
n
n n n C C C C C C C C
4. =++++n n n n n C C C C 420。
2019-2020人教A版高中数学选修2-3课件1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质(二)优质课件
例2、在的展开式中， 1）系数的绝对值最大的项是第几项？ 2）求二项式系数最大的项； 3）求系数最大的项； 4）求系数最小的项。
练习：
例4、今天是星期五，那么天后的这一天是 星期几？
余数是1， 所以是星期六
变式引申：填空 1）除以7的余数是； 2）除以8的余数是。
例5、求精确到0.001的近似值。
课堂练习：
1.等于（） A.B.C.D.
2．在的展开式中x的系数为（） A．160B．240C．360D．800
3.求 的展开式中项的系数.
4．已知
那么的展开式中含项的系数是.
5.求值：
高中数学课件
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1.3.2“杨辉三角”与 二项式系数的性质
(二)
一般地，展开式的二项式系数
有如下性质：
（1）
（对称性）
（2）
（3）当n为偶数时，最大
当n为奇数时，=且最
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x的有理项； （3）展开式中系数最大的项。
1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
(2分)
(4分)
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中
(6 分)
(2)展开式的通项公式为 假设
2 ＋ r r Tr＋1＝C53 ·x3(5 2r)．
3
[规范解答] (1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1 ＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题 意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n＝5. 间两项，它们分别是
性质
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较
C 与C
k n
k 1 n 的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后 又逐渐减小. n! n k 1 n! n k 1 k 1 k Cn Cn k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k
[思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的 每一项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项 展开式的二项式系数，再利用组合数求解．
【变式1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉 三角中，第________行中从左到右第14与 第15个数的比为2∶3.
【 例 2】 已知(1－2x)2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015， 求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a2015； (2)a1＋a3＋a5＋a2015； (3)a0＋a2＋a4＋a2014； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2015|.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
在(a＋2b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
性质3：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n
复习回顾: 二项式定理及展开式:
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn (n N*)
二项式系数 通项
Cnr (r 0,1, , n)
Tr1 Cnr anrbr
二项式系数的性质
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
书里就已经出现了，在这本书里，记载着类
似下面的表：
一
一一
C
r
n1
C
r1
n
C
r n
一 二一 一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
杨辉三角 表中除“1”以外的每一个数都等于
它肩上的两个数之和。
性质1：对称性
Cnm
C nm n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
性质2：增减性与最大值 先增后减
11
➢n
当n是偶数时,中间的一项
C
2
n
取得最大值 ；
121
➢当n是奇数时，中间的两
1 33 1 1 4641
C C 项
n1
2和
n1 2
相等，
n
n
1 5 10 10 5 1
且同时取得最大值。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质
(a + b)1 (a + b)2
11 121
P353
(a + b)3
13 31
(a + b)4
14 6 41
(a + b)5
1 5 10 10 5 1
(a + b)6
1 6 15 20 15 6 1
规律
1：(1)
Cn0
=
C
n n
=
1
当n不大时，可借
(2)
C
m n
=
C n-m n
助“杨辉三角”直接得
n +1 项）的
2
n
二此当 二项两n项为式项式奇系二系数数项数时最式相：大系等中数且，间是最此两：大项项二C（项nn第2-1式n系2C1数+nn12是+1项：）C的n2
思考题:已知二项式 ( a + b )15
(1)求二项展开式中的中间项；
(2)比较T3, T7 , T12 , T13项中二项式系数的大小,
由 ( 1 + 2 ) 2 得 a 0 + a 2 + a 4 + a 6 = 1093
【练习】已知( 1 + 2 x)n .若展开式前三项的二项式系数和等于 2
79，求展开式中系数最大的项．
(((解222)))：∵∵∵∵CCC00nn0nC＋＋＋0n＋CCC1n1n1nC＋＋＋1n＋CCC2n2n2nC＝＝＝2n＝777999，7，，9∴，∴∴n∴nn222＋＋n＋2n＋nn－－－n1－115556166＝5＝＝60＝00. ..0. ∴∴∴nnn＝＝＝＝11112222或或或或 nnnn＝＝＝＝－－－－11113333((((舍舍舍舍去去去去)))． )．．．设设设设TTTTkk＋kk＋＋＋1111项项项项的的的的系系系系数数数数最最最最大大大大，，，，
1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
值．当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数_C__n2__取得最大值；
n－1
n+1
当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 C
2 n
，C
2 nLeabharlann 相等，且同时取到最大值.
栏目 导引
第一章 计数原理
(3)各二项式系数的和 ①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n. ②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.
栏目 导引
第一章 计数原理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个
二项式系数相等，即 C0n＝Cnn，C1n＝Cnn－1，…，Cnr ＝Cnn－r.
(2)增减性与最大值：当 k<n＋2 1时，二项式系数是逐渐_增__大___的，
由对称性知它的后半部分是逐渐_减__小___的，且在中间取到最大
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第一章 计数原理
(2)由题意知 C0n＋C1n＋C2n＝79，解得 n＝12 或 n＝－13(舍去). 设展开式中第(r＋1)项的系数最大， 由于12＋2x12＝1212·(1＋4x)12， 则CCr1r122· ·44rr≥ ≥CCr1r1－＋22 11· ·44rr－ ＋11， ， 所以 9.4≤r≤10.4. 又 r∈{0，1，2，…，12}，所以 r＝10， 所以系数最大的项为 T11， 且 T11＝1212·C1102·(4x)10＝16 896x10.
灵活运用性质解决相关问题
第一章 计数原理
问题导学 预习教材 P32～P35 的内容，并思考下列问题： 1.杨辉三角有哪些特点？ 2.二项式系数的性质有哪些？
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第一章 计数原理
数学：1.3.2《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件(新人教A版选修2-3)
8
1 1 1 1 1 1 1 7
28 6 3
1 2
3 6
1 1 4 1
4
5 10
15 21 35 56
10 5 1 20 15 6 1 35 70
图2
21 7
56 28 8
1 1
除了这几个数的排列规 , 你还能再找出其他一些 律 数的 排列规律吗? 与同学交流一下 !
作业：P37(A组7—8和B组)
n 0 n n 1 n 1 n 2 n2 2 n
C C C , 1 3 5 偶数项二项式系数的和 Cn Cn Cn , 为
0 n 2 n 4 n
n n n
0 2 C b 中, 令a 1, b 1, 则得 1 1 Cn C1 Cn n 0 2 3 n n 3 即 0 Cn Cn C1 Cn , n Cn 1 Cn , n n n n
对于a b 展开式的二项
n
f r
20 15 10
式系数 C , C , C , , C , 我们还可以从函数角度 来
0 n 1 n 2 n n n r n
分析它们.C 可看成是以r 为自变量的函数f r , 其定 o 1 2 3 4 5 6 图1.3 2 义域是 0,1 2, , n .对于确 , 定的n, 我们还可以画出它的图 .例如n 6, 象 其图象是7个孤立点图1.3 2). (
1.3 二项式定理
1.3.2 " 杨辉三角 与二项式系数的性质 "
探究 用计算器计算 a b 展开式的二项 式系数并填入下表 .
n
n
1 2 3 4 5 6
课件11：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
中间两项，它们分别是
22ຫໍສະໝຸດ 22T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，T4＝C53(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
2
(2)展开式的通项公式为 Tr＋1＝Cr53r·x 3 (5＋2r)．
假设 Tr＋1 项系数最大，则有CCr5r53·3r≥r≥CCr5＋r5－1·13·3r＋r－1，1，
∴55－－55rr！！！！rr！！×≥34≥－6r－！5！rr！＋5！1r－！1×！3，.
∴35r≥－1 6r≥－1 rr＋，3 1.
∴72≤r≤92.∵r∈N，∴r＝4.
26
26
∴展开式中系数最大的项为 T5＝C45·34x 3 ＝405x 3 .
名师点评 (1)求二项式系数最大的项，要依据二项式系数的性质对 (a＋b)n 中的 n 进行讨论，n 为奇数时中间两项的二项式 系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
名师点评 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数 与数之间，行与行之间的数的规律．
(2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．
跟踪训练 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________ 行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
课堂探究 题型一 与杨辉三角有关的问题 思考：杨辉三角的第 n 行数字规律与二项展开式有何联系？ 提示：杨辉三角的第 n 行数字规律是二项式(a＋b)n 展开式的 二项式系数，即(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cnr an－rbr＋… ＋Cnnbn.
典例 1 如图在“杨辉三角”中，斜线 AB 的上方，从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列： 1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前 n 项和为 Sn，求 S19 的值．
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(共28张)
第9页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
①若n为偶数
中间一项（第
n 2
1
项）的二项式系数取得
最大值；即C
n 2
最大
。
n
n 当r≤ 2 时， Cnr单调递增；
当r≥
n 2
时，
C
r n
单调递减；
第10页，共28页。
(2)增减(zēnɡ jiǎn)性与最大值：
类 型 ( l èi x ín g ) 一 ： 二 项 式 系 数 性 质 的 应 用
例2 、(
x
1 )n x
的展开式中第8项是常数，
则展开式中系数最大的项是（ ）
A、第8项
B、第9项
C、第8项或第9项 D、第11项或第12项
第16页，共28页。
练习 ： (liànxí)
已知 (3 x2 3x2)n 展开式中各项系数和比它的二项式 系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.
1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?
第6页，共28页。
(a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
+ ++ + ++ ++++
+++++
①每行两端都是1
②从第二行起，每行除1以外的每一个(yī ɡè)数都等于它 肩上的两个数的和
C30C31C32C33
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2019-2020年高中数学《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》导学
案新人教A版选修2-3
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。
二、预习内容
1、二项式定理：________________________________________________；
二项式系数：______________________________________________；
2、( 1+x) n=________________________________________________；
练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。
想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
课内探究学案
一、学习目标
①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；
②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；
二、学习重难点：
学习重点：二项式系数的性质及其应用；
学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。
三、学习过程
（一）、杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？
问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
对于( a+b) n展开式的二项式系数，，，…，，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= ，定义域为{0，1，2，…，n}
问题3：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。
（二）二项式系数的重要性质
1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。
即= 分析：
2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。
提示：（1）讨论与的大小关系。
（2）讨论与1的大小关系。
3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n
分析：赋值法的应用。
四、典型例题（性质4）
试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
分析：奇数项的二项式系数的和为+++…，
偶数项的二项式系数的和为+++…，
由于(a+b)n =a n +a n-1b+…+a n-k b k +…+b n 中的a,b 可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。
五、当堂检测
1、已知=a ，=b ，那么=__________；
2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；
3、++…+=________；
4、=+++++++++++++11
211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C __________； 5、证明：+++…+ =2n-1 (n 是偶数) ；
课后练习与提高
1、在（a+b ）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（ ）
（A ）第15项 (B) 第16项 (C) 第17项 (D) 第18项
2、（1—x ）13的展开式中系数最小的项是（ ）
（A ）第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项
3若与同时取得最大值，则m=_____________
4、已知（1—2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x
7 则a 1+a 2+…+a 7=__________ a 1+a 3+ a 5+a 7=__________ a 0+a 2+ a 4+a 6=__________
5、已知()n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．。