高等代数习题

高等代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。

（ ）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。

（ ）3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。

（ ）4、(){}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。

（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。

（ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。

（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。

（ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。

（ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

（ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==ni i i x 1αβ，那么∑==ni ix12β。

（ ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。

答案选错或未作选择者，该题无分。

每小题1分，共10分）1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()()()()nn n x g x f x g x f ,,=；②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。

2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。

3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。

4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ） ①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n 。

5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ）①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠mi i i k 10α；②任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==mi i i k 10α；③当021====m k k k 时，有∑==mi i i k 10α；④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==mi i i k 10α。

6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。

7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换，那么下列错误的说法是（ ） ①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ； ③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换。

8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。

9、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） ①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0。

10、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ）①()0,1,0;21,0,21;21,0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；③()0,0,0;31,31,31;31,31,31⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。

每空2分，共20分）1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为 。

2、利用行列式的性质可知四阶行列式gf e dcb a 000000000的值为 。

3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。

4、在线性空间V 中，定义()0αασ=（其中0α是V 中一个固定向量）， 那么当=0α 时，σ是V 的一个线性变换。

5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。

6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。

7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ，而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ，那么着两个坐标的关系是 。

8、设W 是线性空间V 的非空子集，若W 对V 的加法和数乘 ，则称W 为V 的子空间。

9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ，那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。

10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。

四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。

指出错误1分，更正错误2分。

每小题3分，共15分）1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。

2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。

3、设A 是一个n m ⨯矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。

4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量。

5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。

五、计算题（每小题10分，共40分） 1、计算n 阶行列式0,1111111111111111111121321≠++++=n nn a a a a a a a D2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示下列线性方程组的全部解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+++-=+----=--++--=-+-+21931644321452342354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3、解矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--87107210031012423321X4、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000,0100,0010,00014321αααα是()F M 2的一个基，而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231,2121,1121,25324321ββββ是另一组基，求由{}4321,,,αααα到{}4321,,,ββββ的过渡矩阵，并求向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2945ξ在{}4321,,,ββββ下的坐标。

六、证明题设321,,ααα是三维欧氏空间V 的一个标准正交基，试证：()()()321332123211223122312231αααβαααβαααβ--=+-=-+=也是V 的一个标准正交基。

高等代数试卷参考解答一、判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10× × √ √ × √ √ × √ √二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ① ④ ③ ① ④ ④ ② ③ ① 三、填空题1、()()()2112++-x x x ； 2、acef ； 3、4； 4、0； 5、正交； 6、()()221++n n ； 7、X P Y 1-=； 8、封闭；9、⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡b a d c 33； 10、相同的维数。

四、改错题1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。

)(x p 是)(x f 的因式且是)('x f 的1-k 重因式2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。

当AX=B 有解时，AX=B 也有无穷多解3、设A 是一个n m ⨯矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。

A 的第4列乘5加到第3列4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取,,21F k k ∈5、设σ是欧氏空间V 的线性变换，那么σ是正交变换的充分必要条件是σ能保持任二个非零向量的夹角。

必要条件。