高等代数习题
数学高等代数习题详解
数学高等代数习题详解
一、代数式简化与展开
代数式的简化是指将一个复杂的代数式化简为更简单的形式，而代数式的展开则是将一个多项式拆分成多个单项式相加的形式。
在进行代数式的简化和展开时，可以运用代数运算中的基本性质：
1. 加法性质：a + b = b + a，a + (b + c) = (a + b) + c
2. 乘法性质：a * b = b * a，a * (b * c) = (a * b) * c
3. 分配性质：a * (b + c) = a * b + a * c
示例1：将代数式 2x(3x - 4y) - 5y(x - y) 进行展开和简化。
解：首先，按照分配性质将代数式展开：
2x(3x - 4y) - 5y(x - y) = 2x * 3x - 2x * 4y - 5y * x + 5y * y
= 6x^2 - 8xy - 5xy + 5y^2
= 6x^2 - 13xy + 5y^2
接下来，将代数式简化：
没有进一步可以简化的形式。
二、代数方程与不等式
代数方程是一个包含了未知数和已知数之间相等关系的等式，而不等式则描述了未知数和已知数之间的大小关系。
在解代数方程和不等式时，可根据不同情况运用以下方法：
1. 移项：通过加减法将含有未知数的项移到一个侧边，将常数项移
到另一个侧边。
2. 因式分解：将复杂的代数式分解成几个简单的代数式的乘积形式。
3. 分离变量：若方程中存在多个未知数，则将未知数分离到各自一侧，然后分别解方程。
4. 同解法：通过变形将两个方程或不等式转化为相同形式，然后在
高等代数习题
高等代数习题
第一章基本概念
§集合
1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集
2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么 {a} A是否正确
3、设
写出和 .
4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集．
5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个
6、下列论断那些是对的，那些是错的错的举出反例，并且进行改正．
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
7．证明下列等式：
(i)
(ii)
(iii)
§映射
1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射．
2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射．
3、是不是全体实数集到自身的映射
4．设f定义如下：
f是不是R到R的映射是不是单射是不是满射
5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射
6、设a ,b是任意两个实数且a
7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，f g与
g f一般不相等。
8、设A是全体正实数所成的集合。令
(i)g是不是A到A的双射
(ii)g是不是f的逆映射
(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么
9、设是映射，又令，证明
(i)如果是单射，那么也是单射；
(ii)如果是满射，那么也是满射；
(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且
10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:
集合 A 规则1
2
3
全体整数
全体整数
全体有理数
b
a
b
a+
→
|)
,
(
4 全体实数
§数学归纳法
1、证明:
2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数.
3、证明二项式定理:
是个元素中取个的组合数.
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库
一、 选择题
1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式
B ．零次多项式
C ．本原多项式
D ．不可约多项式
2．设()1g x x =+是6242
()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；
B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；
C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；
D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式
4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分
B . 充分必要
C .必要
D ．既不充分也不必要
5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =
B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±
C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x f
D .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f
6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题
乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
高等代数习题答案
高等代数习题答案
高等代数习题答案
高等代数是大学数学中一门重要的课程，它涉及到线性代数、矩阵论、群论、
环论等多个分支。对于学习者来说，解答高等代数习题是提高自己理论和实践
能力的重要途径。本文将为大家提供一些高等代数习题的答案，帮助大家更好
地掌握这门课程。
1. 线性代数
1.1 解答题
1.1.1 设A为n阶方阵，若A的特征值都是实数，则A是否一定是实对称矩阵？答案：不一定。特征值是实数并不意味着矩阵一定是实对称矩阵。例如，对于
下面的矩阵：
A = [1 2; -2 1]
它的特征值为1和-1，都是实数，但它并不是实对称矩阵。
1.1.2 设A为n阶方阵，若A的特征值都是正实数，则A是否一定是正定矩阵？答案：不一定。特征值都是正实数并不意味着矩阵一定是正定矩阵。例如，对
于下面的矩阵：
A = [1 0; 0 -1]
它的特征值为1和-1，都是正实数，但它并不是正定矩阵。
1.2 计算题
1.2.1 计算矩阵A = [1 2; 3 4]的特征值和特征向量。
答案：首先，计算A的特征多项式：
|A - λI| = |1-λ 2; 3 4-λ| = (1-λ)(4-λ) - 6 = λ^2 - 5λ - 2
解这个方程得到特征值λ1 ≈ 5.79和λ2 ≈ -0.79。
然后，代入特征值计算特征向量：
对于λ1 ≈ 5.79，解方程组(A-λ1I)x = 0，得到特征向量x1 ≈ [0.82; -0.57]
对于λ2 ≈ -0.79，解方程组(A-λ2I)x = 0，得到特征向量x2 ≈ [0.57; -0.82]
2. 矩阵论
高等代数复习题II
4. 设V = {(x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Fn |
间L ((2, −3, 1), (1, 4, 2), (5, −2, 4))的维数是
5. R3 的 子 空 间L (x − 1, 1 − x2 , x2 − x) ⊆ F [x]的 维 数 是 组(2, 0, 1), (0, 1, −2), (1, −1, 1)的关系是 .
6. 设A为n阶非零矩阵, 且|A| = 0. 则在A中必有 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( A). 一列(行)全为零; C). 两列(行)对应成比例;
B). 任意一列(行)是其余列(行)的线性组合; D). 有一列(行)是其余列(行)的线性组合; )
,而x2 与x的夹角θ=
; 与x线性相
22. 设α = (2, 1, 2), β = (−1, 4, −1) ∈ R3 , 则 α与β 的夹角= 相关的单位向量为
; 而与α线性 .
; 与向量α, β 都正交的单位向量是
高等代数复习题II 第 2 页 共 10 页
23. 设T 是3阶正交矩阵, |T | = 1, 且a + bi是T 的一个非实复特征根, α1 , α2 , α3 是T 的 列向量. 则 trT = , α1 + α2 , α2 + 2α3 = .
高代复习题及答案
求（１） 在基 1 , 2 , 3 下的矩阵； （２）求核 ker 和值域 Im .
34.设 V 是实数域上所有 n 阶对称阵所构成的线性空间，对任意 A , B V ，定义 ( A , B ) trAB ，
其中 tr A B 表示 A B 的迹.（１）证明： V 构成一欧氏空间； （２）求使 trA 0 的子空间 S 的 维数； （３）求 S 的正交补 S 的维数.
2 3
3 。 6
（１）证明： ( x , y ) 是 R 2 的内积，因而 R 2 按此内积构成一个欧氏空间， （２）求 R 2 的一组标准正交基， （３）求矩阵 P ，使得 A P P .
32.设 R 4 的两个子空间为： V 1
x
1
, x 2 , x 3 , x 4 x1 x 2 x 3 x 4 0 ,
, n 是 V 的一组基.
1,
2,
,
n 也是一组基.
21.已知二次型 f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x 3 ，1）写出二次型 f 的矩阵 A； 2）求出 A 的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将 f 化为标准形.
k1 , k 2 , k n 使得 k 1 1 k 2 2
( , ) ( , )
高等代数习题及答案
高等代数习题及答案
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高等代数习题及答案
篇一：高等代数试题及答案
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
共2页第2页
五(10分)证明：设A为n级矩阵,g(x)是矩阵A的最小多项式,则多项式f(x)以A为根的充要条件是g(x)|f(x).
六(10分)设V是数域P上的n维线性空间,A,B是V上的线性变换，且ABBA.证明:B的值域与核都是A的不变子空间.
a
七(10分)设2n阶矩阵A
b
ab
ba
b
,ab,求A的最小多项式.a
八(10分)设f是数域P上线性空间V上的线性变换,多项式
px,qx互素,且满足pfqf
0(零变换)
,S
kerqf
求证：VWS,Wkerpf
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试学院(A卷)答案
一.判断题1.×2.×3.×4.√5.√二.解：
1A=1
1111
1111
1111
3
，｜EA|(4)，所以特征值为0，4（3重）.
将特征值代入，求解线性方程组(EA)x0，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量：1＝(
12,12,112,2)'，2＝(-0,0)'，
3＝(-
0)'，4＝(-
6
6
6
2
'.
1
2611
1所以正交阵T
2
64
1而T'AT0
20
612
2
三.证：(1)A,BM.验证AB,kAM即可.01 1
(2)令D
【最新试题库含答案】高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社_0
高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
：
篇一：高等代数 (王萼芳石生明著) 课后答案高等教育出版社高等代数习题答案（一至四章）
第一章多项式习题解答 172621、（1）由带余除法，得q(x)?
3x?
9
,r(x)??
9?9
（2）q(x)?x2?x?1，r(x)??5x?7
2、（1）?p?1?m2?0??m(2?p?m2
)?0
? ，（2）由?得?m?0?q?1?q?m?0??q?1?p?m2
?0
??p?q?1或??p?m2。?23、（1）q(x)?2x4?6x3?13x2
?39x?109,r(x)??327
（2）q（x）=x2
?2ix?(5?2i)，r(x)??9?8i
4、（1）有综合除法：f(x)?1?5(x?1)?10(x?1)2?10(x?1)3?5(x?1)4?(x?1)5
（2）f(x)?11?24(x?2)?22(x?2)2
?8(x?2)3
?(x?2)4
（3）f(x)?24(7?5i)?5(x?i)?(?1?i)(x?i)2
?2i(x?i)3
?(x?i)4
5、（1）x+1（2）1（3
）x2??1 6、（1）u（x）=-x-1 ，v（x）=x+2 （2）u(x)??113
x?
3
，v(x)?
22
23
x?
3
x?1
（3）u（x）=-x-1, v(x)?x3
?x2
?3x?2
7、?u?0?或?u??2?t?2
??
t?3
8、思路：根具定义证明
证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设?(x)是f（x）与g（x）的任意公因式，下证由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使 d（x）=s（x）f（x）+t（x）g （x）。从而?(x)f(x)，?(x)g(x)，可得?(x)d(x)。即证。
高等代数练习题
高等代数练习题
一、选择题
1、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）
A 、一次因式的乘积
B 、一次与二次因式的乘积
C 、只能是二次因式的乘积
D 、以上结论均不对 2、多项式21282
3
4
++-x x x 在有理数域上（ ）
A 、可约
B 、不可约
C 、不一定可约
D 、不能确定 3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）
A 、系数行列式不为0
B 、系数行列式为0
C 、系数矩阵可逆
D 、系数矩阵不可逆 4、若存在u （x ），v （x ）使u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ）=1，则（ ） A 、f （x ）｜g （x ） B 、g （x ）｜f （x ） C 、f （x ）g （x ）=1 D 、以上均错 5、下列说法正确的是（ ）
A 、设A 、
B 是两个n 级矩阵，则秩（A+B ）≤秩A+秩B
B 、设21V V 、是两向量空间，则dim （21V V +）=dimV 1+dimV 2
C 、以上均对
D 、以上均错 6、模m 的完全剩余系有（ ）
A 、唯一一个
B 、无穷多个
C 、有有限个
D 、不一定有 7、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ）
A 、)(mod p a a p ≡
B 、)(mod 0p a p ≡
C 、)(mod 01p a p ≡-
D 、以上均错 8、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（ ）
A 、f(0)
B 、f(x-a)
C 、f(a)
D 、以上均错
9、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足41,41≤≤≤≤y x ，且x,y 是整数的三角形个数有（ ） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 10、零多项式的次数是（ ）
高等代数习题答案
高等代数习题答案
《高等代数习题答案》
高等代数是数学中的一个重要分支，它研究的是抽象代数结构中的各种性质和规律。在学习高等代数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对知识点的理解和掌握。下面我们将通过一些高等代数习题的答案来探讨一些代数学中的基本概念和定理。
1. 求解方程组
题目：求解线性方程组
$$
\begin{cases}
2x + 3y = 8 \\
4x - y = 3
\end{cases}
$$
答案：通过消元法可以得到方程组的解为$x=2$，$y=1$。
2. 矩阵运算
题目：计算矩阵乘法
$$
A = \begin{bmatrix}
1 &
2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 &
6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
求$AB$的结果。
答案：$AB = \begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}$。
3. 多项式求导
题目：求多项式$f(x) = 3x^3 + 2x^2 - 5x + 1$的导数。
答案：$f'(x) = 9x^2 + 4x - 5$。
通过以上习题的答案，我们可以看到在高等代数中，求解方程组、矩阵运算和多项式求导等都是非常基础和重要的内容。掌握了这些基本技能，才能够更好地理解和应用代数学中的定理和概念。希望大家在学习高等代数的过程中能够多多练习习题，加深对知识点的理解，提高解题能力。
高等代数练习题
⾼等代数练习题
1．最⼩的数环是，最⼩的数域是。
2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??=
3.求⽤2
2x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。
4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。
5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最⼤公因式，则满⾜
⽽(f(x),g(x))是指__________________.
7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，
则=))(),((x g x f ____________。
8、设[]
(),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。
9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。
10、()f x 没有重因式的充要条件为。
11、()42243f x x x x =+--有⽆重因式。 12、()43
23f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。 13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是⼀个整系数多项式，当满⾜
_______________________________________________________________________________
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案
数学系
第一章 多项式
1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(2
2
3
+-=---=x x x g x x x x f ； 2）
2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得9
2926)(,9731)(--=-=
x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2
+-=-+=x x r x x x q 。 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3
2
|1， 2）q px x mx x ++++2
4
2
|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2
=-+++m q x m p ，
所以当⎩⎨⎧=-=++0
012m q m p 时有q px x mx x ++-+3
2|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--0
10
)2(2
2m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨
⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=2
12
m p q 时，皆有q px x mx x ++++2
42|1。 3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：
1）5
3
()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）3
2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）
432()261339109()327
q x x x x x r x =-+-+=-；
高等代数复习题
高等代数复习题
一、选择题
1. 设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC= 。 (A) ACB ； (B) BCA ； (C) CBA ； （D ）CAB
2．设A ,B 均为n 阶可逆矩阵，则必有（ ）
A ． A +
B 可逆 B ．AB 可逆
C ．A-B 可逆
D ．AB+ BA 可逆 3. 设A , B 为n 阶可逆阵，则必有
(A) A+B 可逆； (B) A 经初等变换可变为B ； (C) A |=|B |； (D) 存在可逆阵P ，使得B AP P =-1 4．设,,A B C 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）
（A ）若20A =，则A =0； （B ）若,0AB AC A =≠，则B=C ； （C ）()k
k k AB A B =； （D ）若20A A E --=，则A 可逆。
5．设A,B,C,D 都是n 阶矩阵，如果A 与B 相似，C 与D 相似，则 (A) AC 与BD 相似； (B) AC 与DB 相似 ； (C) A m 与B m 相似 ； (D) A +C 与B+D 相似
6．设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值s 21λλλ,,,Λ，而秩s ,,,i ,r n )A E (i i Λ21=-=-λ,如果A 与对角阵相似，则
（A ） n r s
i i =∑=1
；（B ）n r s
i i ≠∑=1
；（C ）n r s
i i ≤∑=1
；（D ）n r s
i i ≥∑=1
；
7．设A 是m n ⨯矩阵，C 与n 阶单位阵等价，B=AC ，1,rankA r rankB r ==，则 (A) 1r r =； (B) 1r r <； (C) 1r r >； (D) 1r r 与的关系不能确定
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 10
00 ,B = 00
01 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.
|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100
,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000
,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.
1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9
D 10A 11
D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21
C 22C 23
D 24C 25C 26A 27A 28A 1
−135,93
m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 00
016120
1200
1a n
1a 20···
00...·········
······
000 (1)
9
104
11(−1)mn ab
122
13I n
2
单元练习：线性方程组部分
一、填空题 每空 1分，共 10分
1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是
____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,
a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -
- - m l 线性无关。 4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。 5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。 6．已知四元非齐次线性方程组 Ax = b ，r (A ) = 3， 3 2 1 , , h h h 是它的三个解向量，其中
高等代数习题及答案()
高等代数试卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ）
2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）
3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ）
4、(){
}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ）
10、若{
}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n
i i i x 1
αβ，那么∑==
n
i i
x
1
2
β。 （ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ）
①()()()()()()n n n
x g x f x g x f
,,=；
②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；
高等代数习题
第四章 矩阵 作业1 （矩阵的运算）
一．判断说明题（如果正确，证明它，如果不正确，举出反例）。
1．设C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = （ ） 2．设A 是n m ⨯矩阵，C B ,是s n ⨯矩阵，如果AC AB =，则有C B =。 （ ） 3．设B A ,是n 阶方阵，则有.2)(222B AB A B A ++=+ （ ） 二．计算下列矩阵。
1．设,150421321
,121211012⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 求 BA AB B A AB -,,''。
2．（1）。()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a a a a a a a a z y
x 3332
31
232221131211
（2）。n
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-θθ
θθc o s s i n
s i n c o s
（3）。 n
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛λλλ001001
三．证明：如果,,CA AC BA AB ==证明：A BC BC A A C B C B A )()(,)()(=+=+。
四．如果),(2
1
E B A +=证明：A A =2当且仅当.2E B =
五．如果,'A A =则称矩阵A 为对称矩阵，如果B A ,为对称矩阵，证明：AB 也为
对称矩阵当且仅当B A ,可交换。
六．如果矩阵满足A A ='，则A 是反对称矩阵，证明：任一n n ⨯矩阵都可以表示为一对称矩阵和反对称矩阵的和。
七．设A 是n n ⨯矩阵，证明：存在一个n n ⨯的非零矩阵使得0=AB 的充分必要条件是0=A （或者是矩阵A 的列向量组是线性无关的）。
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高等代数试卷
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）
1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ）
2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ）
3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ）
4、(){
}321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i ===∈=是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换σ的属于特征根0λ的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若{}n ααα,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且∑==n
i i i x 1αβ，那么
∑==
n
i i
x
1
2
β。 （ ）
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写
在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分）
1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ①()()()
()()()n
n n x g x f x g x f ,,=；
②()()()n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 =≠=⇔=； ③()()()()()()()x g x g x f x g x f ,,+=；
④若()()()()()()()()1,1,=-+⇒=x g x f x g x f x g x f 。
2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ）
①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0=D ，则D 中必有一行全是零； ④若0=D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ）
①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
③A 中可能存在不为零的1+r 阶子式； ④A 中肯定有不为零的r 阶子式。 4、设()n x x x f ,,,21 为n 元实二次型，则()n x x x f ,,,21 负定的充要条件为（ ） ①负惯性指数=f 的秩； ②正惯性指数=0； ③符号差=n -； ④f 的秩=n 。 5、设{}m ααα,,,21 是线性空间V 的一个向量组，它是线性无关的充要条件为（ ）
①任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑=≠m
i i i k 10α；
②任一组数m k k k ,,,21 ，有∑==m
i i i k 1
0α；
③当021====m k k k 时，有∑==m
i i i k 1
0α；
④任一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有∑==m
i i i k 1
0α。
6、若21,W W 都是n 维线性空间V 的子空间，那么（ ）
①维()1W +维()21W W =维()2W +维()21W W +； ②维()21W W +=维()1W +维()2W ； ③维()1W +维()21W W +=维()2W +维()21W W ； ④维()1W -维()21W W =维()21W W +-维()2W 。
7、设σ是n 维线性空间V 的线性变换，那么下列错误的说法是（ ） ①σ是单射⇔σ的亏=0； ②σ是满射⇔σ的秩=n ； ③σ是可逆的⇔核()σ={}0； ④σ是双射⇔σ是单位变换。 8、同一个线性变换在不同基下的矩阵是（ ）
①合同的； ②相似的； ③相等的； ④正交的。 9、设V 是n 维欧氏空间 ，那么V 中的元素具有如下性质（ ） ①若()()γβγαβα=⇒=,,； ②若βαβα=⇒=； ③若()11,=⇒=ααα； ④若()βα,>βα=⇒0。 10、欧氏空间3R 中的标准正交基是（ ）
①()0,1,0;21,0,21;21,0,2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛； ②()1,0,0;21,21;0,21,21⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛；
③()0,0,0;31,31,3
1;31,31,31⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛； ④()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空
无分。每空2分，共20分）
1、多项式2)(24-+=x x x f 在实数域R 上的标准分解为 。
2、利用行列式的性质可知四阶行列式
g
f e d
c
b a 000000000的值为 。 3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为3，那么该方程组的增广矩阵的秩等于 。
4、在线性空间V 中，定义()0αασ=（其中0α是V 中一个固定向量）， 那么当=0α 时，σ是V 的一个线性变换。
5、实对称矩阵的属于不同特征根的特征向量是彼此 的。。
6、n 阶实对称矩阵的集合按合同分类，可分为 类。
7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为P ，而向量α关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为X 和Y ，那么着两个坐标的关系是 。 8、设W 是线性空间V 的非空子集，若W 对V 的加法和数乘 ，则称W 为V 的子空间。
9、若线性变换σ关于基{}21,αα的矩阵为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡d c b a ，那么σ关于基{}12,3αα的矩阵为 。
10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
四、改错题（请在下列命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线上面。指出错误1分，更正错误2分。每小题3分，共15分）
1、如果)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式，那么)(x p 就是)(x f 的k 重因式。
2、若线性方程组B AX =相应的齐次线性方程组0=AX 有无穷多解，那么B AX =也有无穷多解。
3、设A 是一个n m ⨯矩阵，若用m 阶初等矩阵()()4,53E 右乘A ，则相当对A 施行了一次“A 的第三列乘5加到第四列”的初等变换。
4、若21,αα都是数域F 上的方阵A 的属于特征根0λ的特征向量，那么任取
221121,,ααk k F k k +∈也是A 的属于0λ的特征向量。