高中数学考点32 直线、平面垂直的判定及其性质(含高考试题)新人教A版

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新教材高中数学课后素养落实三十二第八章直线与平面垂直的定义及判定定理含解析新人教A版必修第二册

新教材高中数学新人教A版必修第二册：课后素养落实(三十二) 直线与平面垂直的定义及判定定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是() A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定B[一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直于三角形所在平面，从而垂直第三边．] 2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂αB．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂βD．m⊥n，且n∥βB[A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B．]3．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与直线AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DBB[由几何体ABCD-A1B1C1D1为正方体，可知AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D，A1B1∩A1D＝A1，故AD1⊥平面A1DCB1．]4．已知直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则b与α所成的角等于()A．40°B．50°C．90°D．150°B[根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°．]5．(多选题)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是()A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADCABC[∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC．又AB⊥BC，∴BC⊥平面P AB，故A判断正确；由BC⊥平面P AB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵P A＝AB，D为PB的中点，∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C判断正确；∵PC⊂平面PBC，∴AD⊥PC，故B判断正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直，即PB不垂直于平面ADC，故D判断不正确．]二、填空题6．设三棱锥P-ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，若∠ABC＝90°，H是AC的中点，则P A，PB，PC的关系是________．P A＝PB＝PC[因为H为AC中点，∠ABC＝90°，所以AH＝BH＝CH，又PH⊥平面ABC，由勾股定理知P A＝PB＝PC．]7．已知圆锥的底面半径为 1 cm，侧面积为2π cm2，则母线与底面所成角的大小为________．π3[由圆锥侧面积公式S＝πrl＝π·1·l＝2π，解得l＝2，设母线与底面所成角为θ，则cos θ＝rl＝12，所以θ＝π3．]8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则平面AB1C，平面ACC1A1，平面OCN，平面A1C1D中，与直线OM垂直的是________．平面AB1C，平面A1C1D[因为AC⊥平面BDD1，所以AC⊥OM，同理可证B1C⊥OM，AC ∩B 1C ＝C ，所以OM ⊥平面AB 1C ；同理，OM ⊥平面A 1C 1D ．]三、解答题9．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AA 1，AB 1∩A 1B ＝M ．求证：A 1B ⊥平面MAC ．[证明] 因为在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝AA 1，A 1B ∩AB 1＝M ，所以A 1B ⊥AM ，AC ⊥AA 1．因为AB ∩AA 1＝A ，所以AC ⊥平面ABB 1A 1，所以AC ⊥A 1B ，因为AM ∩AC ＝A ，所以A 1B ⊥平面MAC ．10．如图，ABCD 是圆柱的一个轴截面，点E 是上底面圆周上的一点，已知AB ＝BC ＝5，AE ＝3．(1)求证：DE ⊥平面ABE ；(2)求直线BE 与平面ADE 所成角的正切值．[解] (1)证明：ABCD 是圆柱的一个轴截面，AB ⊥平面ADE ，因为ED ⊂平面ADE ，所以AB ⊥ED ，又E 在底面圆上，AD 为直径，所以AE ⊥DE ，又AE ∩AB ＝A ，所以DE ⊥平面ABE ．(2)因为AB ⊥平面ADE ，所以∠AEB 为直线BE 与平面ADE 所成角，在Rt △ABE 中，AB ＝5，AE ＝3，所以ta n ∠AEB ＝AB AE ＝53．1．如图，点A ∈α，点B ∈α，点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC ，则动点C 在平面α内所组成的集合是( )A ．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．两条平行直线D．半圆，但要去掉两个点B[连接BC，AB(图略)，由于PC⊥AC，PB⊥AC，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，说明动点C在以AB为直径的圆上，但不与点A，B重合．]2．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A．内心B．重心C．外心D．垂心C[如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC．∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴P A＝PB＝PC．∵PO⊥底面ABC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB＝OC，故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．]3．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠ACB＝120°，AC＝2，点D是AB的中点．将△ACD沿CD折起，使得AC⊥BC，则此时直线BC与平面ACD所成角的正弦值为()A．63B．33C．23D．13A[如图，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE．∵AD⊥CD，BD⊥CD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ADB．∵BE⊂平面ADB，∴CD⊥BE，又BE⊥AD，AD∩CD＝D，∴BE⊥平面ACD，∴∠BCE为直线BC与平面ACD所成的角．由题意，可知AD＝BD＝3，AB＝AC2＋BC2＝22．设△ADB中，AB边上的高为h，则h＝(3)2－(2)2＝1．由AD ·BE ＝AB ·h ，得BE ＝263，∴si n ∠BCE ＝BE BC ＝63，故选A ．]4．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AB 上运动，点F 在对角线BD 1上运动，设直线EF 与平面ABCD 所成的角为θ，直线EF 与平面BDD 1所成的角为β，则( )A ．θ≥βB ．θ≤βC ．存在直线EF ，使得θ＝50°D ．存在直线EF ，使得β＝50°D [过F 作DD 1的平行线，交BD 于点G ，连接EG ，则∠FEG ＝θ，如图1所示．图1 图2则ta n θ＝FGEG ，显然当GE ⊥AB 时，ta n θ最大，此时θ＝∠D 1AD ＝45°，故C 错误．过E作BD 的垂线，垂足为M ，连接MF ，取BD 的中点O ，过O 作OT ⊥D 1B ，则∠EFM ＝β，如图2所示，则ta n β＝EMMF ，显然当FM ⊥D 1B 时，ta n β最大，此时β＝∠ATO ，易得ta n ∠ATO＝AOOT＝3，所以βma x ＝60°，故D 正确．当点E 在点B 时，θ＞0，β＝0；当点F 在点B 时，θ＝0，β＞0，故A ，B 不正确．故选D ．]如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点．若AB ＝BC ＝BB 1，∠ABC ＝π2，求CC 1与平面BC 1D 所成角的余弦值．[解] 如图，过点C作CH⊥C1D于点H．∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC．∵BD⊂平面ABC，∴CC1⊥BD．∵AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．又CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1．∵CH⊂平面ACC1，∴BD⊥CH．又CH⊥C1D，C1D∩BD＝D，∴CH⊥平面BC1D，∴∠CC1D为CC1与平面BC1D所成的角．设AB＝2a，则CD＝2a，C1D＝6a，∴si n∠CC1D＝CDC1D＝2a6a＝33．。

高中直线、平面垂直的判定与性质知识点+例题+练习

教学过程在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.规律方法证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.【训练1】(2013·江西卷改编)教学效果分析教学过程如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.证明：BE⊥平面BB1C1C.考点二平面与平面垂直的判定与性质【例2】(2014·深圳一模)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝AA1，且AC＝2BC，点D是AB的中点．证明：平面ABC1⊥平面B1CD.规律方法证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也教学效果分析教学过程可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化思想方法是解决这类问题的关键．【训练2】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.考点三平行、垂直关系的综合问题教学效果分析教学过程【例3】(2013·山东卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE∥平面P AD；(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.规律方法线面关系与面面关系的证明离不开判定定理和性质定理，而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的，如图形固有的位置关系、中点形成的三角形的中位线等，都为论证提供了丰富的素材．【训练3】(2013·辽宁卷)如图，AB是圆O的直径，P A垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．(1)求证：BC⊥平面P AC；(2)设Q为P A的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.教学效果分析1．转化思想：垂直关系的转化2．在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．故熟练掌握“线线垂直”、“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键．创新突破6——求解立体几何中的探索性问题【典例】(2012·北京卷)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[反思感悟] (1)解决探索性问题一般先假设其存在，把这个假设作已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算，在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在，如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．(2)在处理空间折叠问题中，要注意平面图形与空间图形在折叠前后的相互位置关系与长度关系等，关键是点、线、面位置关系的转化与平面几何知识的应用，注意平面几何与立体几何中相关知识点的异同，盲目套用容易导致错误．【自主体验】(2014·韶关模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AD＝CD＝12AB＝2，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2.(1)求证：DA⊥BC；(2)在CD上找一点F，使AD∥平面EFB.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的________条件．2．(2014·绍兴调研)设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列正确命题的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α；②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α；③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α；④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β.3.如图，AB是圆O的直径，P A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任一点，则图形中有________对线面垂直．4．若M是线段AB的中点，A，B到平面α的距离分别是4 cm，6 cm，则M到平面α的距离为________．5．(2014·郑州模拟)已知平面α，β，γ和直线l，m，且l⊥m，α⊥γ，α∩γ＝m，β∩γ＝l，给出下列四个结论：①β⊥γ；②l⊥α；③m⊥β；④α⊥β.其中正确的是________．6.如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)7．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．二、解答题9．(2013·北京卷)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：(1)P A⊥底面ABCD；(2)BE∥平面P AD；(3)平面BEF⊥平面PCD.10．(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1.如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．2.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为________．①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.3．(2013·南通二模)如图，已知六棱锥P ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上)．二、解答题4．(2014·北京西城一模)。

高中数学新课标人教A版必修2：直线、平面垂直的判定与性质课件

1.与平行、垂直有关命题的判断． 2.直线与平面垂直的判定与性质． 3.平面与平面垂直的判定与性质
1.逻辑推理． 2.直观想象
目录
01 知识逐点夯实重点准逐点清结论要牢记
02 考点 Biblioteka 类突破理解透规律明变化究其本
03 课时检测
课前自修课堂讲练
01
①若 α∥β，则 m⊥l；②若 α⊥β，则 m∥l；③若 m⊥l，则 α⊥
β；④若 m∥l，则 α⊥β. 其中是真命题的是
()
A．①④
B．③④
C．①②
D．①③
解析：对于①，若 α∥β，m⊥α，l⊂β，则 m⊥l，故①是真命题，排除 B；对于④，若 m∥l，m⊥α，则 l⊥α，又因为 l⊂β，所以 α⊥β.故④是真命题，故选 A．
2．三种垂直关系的转化
判定定理
判定定理
线线垂直性质定理线面垂直性质定理面面垂直．
[提速度]
1．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，
下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是
()
A．α⊥β 且 m⊂α
B．m⊥n 且 n∥β
C．m∥n 且 n⊥β
D．m⊥n 且 α∥β
保证该直线与平面垂直的是
()
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必
须是相交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能保证
直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们
互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满
足定理条件．
答案：AC

高中数学讲义(人教A版必修二)：第32讲直线与平面垂直(教师版)

第32讲直线与平面垂直课程标准课标解读1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.3.掌握直线与平面垂直的性质定理，并会用定理证明相关问题． 1.本节主要内容是在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间直线与平而垂直的定义:通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理与性质定理:能运用直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理证明一些空间位置关系的简单命题教学重点是通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理、性质定理的过程，其核心是理解判定定理、性质定理的条件由内容所反映的数学思想是转化与化归思想，体现在不同语言之间的转化，把线面垂首问题转化为线线垂直问题2.直线与平面重直的研究是直线与直线垂直研究的继续，世为平面与平面重直的研究做了滩各线公全屏面垂直是在学生掌握了线在面内、线面平行之后紧接着研究的线面相交位置关系中的行中，我们研究了定义、判定定理以及性质定理，为本节课提供了研究内容和研究方“下一篇面垂直的判定定理、性质定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过5A 程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，是本节课的重要任务知识精讲知识点01直线与平面垂直的定义定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直记法l ⊥α有关概念直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，它们唯一的公共点P 叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直【即学即练1】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是()A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DB 1C ．平面A 1B 1C 1D 1D ．平面A 1DB 答案B 解析∵AD 1⊥A 1D ，AD 1⊥A 1B 1，A 1D ∩A 1B 1＝A 1，A 1D ，A 1B 1⊂平面A 1DB 1，∴AD 1⊥平面A 1DB 1.知识点02直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝P ⇒l ⊥α图形语言【即学即练2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AB ⊥平面PAD ，AD ＝AP ，E 是PD 的中点，M ，N 分别在AB ，PC 上，且MN ⊥AB ，MN ⊥PC .证明：AE ∥MN .证明∵AB ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴AE ⊥AB ，又AB ∥CD ，∴AE ⊥CD .∵AD ＝AP ，E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥平面PCD .∵MN ⊥AB ，AB ∥CD ，∴MN ⊥CD .又∵MN ⊥PC ，PC ∩CD ＝C ，PC ，CD ⊂平面PCD ，∴MN ⊥平面PCD ，∴AE ∥MN .反思感悟证明线线平行的常用方法(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．知识点03直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA斜足斜线和平面的交点，如图中点A 射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90°【即学即练3】如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中．(1)求A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角；(2)求A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．解(1)∵AB ⊥平面AA 1D 1D ，∴∠AA 1B 就是A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角，在Rt △AA 1B 中，∠BAA 1＝90°，AB ＝AA 1，∴∠AA 1B ＝45°，∴A 1B 与平面AA 1D 1D 所成的角是45°.(2)连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .∵A 1O ⊥B 1D 1，BB 1⊥A 1O ，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，∴A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，∴∠A 1BO 就是A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为1，则A 1B ＝2，A 1O ＝22.又∵∠A 1OB ＝90°，∴sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝12，又0°≤∠A 1BO ≤90°，∴∠A 1BO ＝30°，∴A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角是30°.反思感悟(1)求直线与平面所成角的关键是寻找过直线上一点与平面垂直的垂线、垂足与斜足的连线即为直线在平面内的射影，直线与直线在平面内射影所成的角即为线面角．(2)通过作辅助线找垂线，确定线面角，提升直观想象、逻辑推理的素养．知识点04直线与平面垂直的性质定理反思感悟一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．【即学即练4】如图所示，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE ＝DA ＝2.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求AE 与平面BDE 所成角的大小．(1)证明∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥DE ，∵BD ，DE ⊂平面BED ，BD ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面BDE .(2)解设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，如图所示．∵AC ⊥平面BDE ，∴EO 是直线AE 在平面BDE 上的射影，∴∠AEO 即为AE 与平面BDE 所成的角．在Rt △EAD 中，EA ＝AD 2＋DE 2＝22，AO ＝2，∴在Rt △EOA 中，sin ∠AEO ＝AO EA ＝12，∴∠AEO ＝30°，即AE 与平面BDE 所成的角为30°.能力拓展考法01直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解【典例1】(多选)下列命题中，不正确的是()A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α答案ABD解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以B不正确，C正确；若l在α内，l也可以和α内的无数条直线垂直，故D 错误．反思感悟对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事．【变式训练】如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号)答案①③④解析根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．考法02直线与平面垂直的判定【典例2】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD.证明∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O，令正方体的棱长为2，连接OM，A1M(图略)，则A1O＝6，OM＝3，A1M＝3，∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，∴A1O⊥平面MBD.反思感悟证明线面垂直的方法(1)由线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直．(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.【变式训练】如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.考法03直线与平面垂直的性质【典例3】在四面体P－ABC中，若PA＝PB＝PC，则点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的() A．外心B．内心C．垂心D．重心答案A解析如图，设点P在平面ABC内的射影为点O，连接OP，则PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC，∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，又PA＝PB＝PC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，则OA＝OB＝OC，∴O为△ABC的外心．【变式训练】如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝2∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为()A ．45°B ．60°C ．30°D ．75°答案A 解析取BC 的中点D ，连接AD ，B 1D ，∵AD ⊥BC 且AD ⊥BB 1，BC ∩BB 1＝B ，BC ，BB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AD ⊥平面BCC 1B 1，∴∠AB 1D 即为AB 1与平面BB 1C 1C 所成的角．设AB ＝2，则AA 1＝1，AD ＝62，AB 1＝3，∴sin ∠AB 1D ＝AD AB 1＝22，∴∠AB 1D ＝45°.即AB 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°.分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．已知ABC 所在的平面为，l ，m 是两条不同的直线，l AB ，l AC ，m BC ，m AC ，则直线l ，m 的位置关系是（）A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定【答案】C 【解析】由l m ，^^，根据线面垂直的性质定理，可得结果【详解】因为l AB ，l AC ，,AB AC又AB AC A ，所以l ，同理可证m ，所以l //m .故选：C【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，属基础题.2．设l ，m 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下面命题中正确的是（）A ．若l m ，//m ，则lB ．若//l ，，lC ．若l m ，m ，则lD ．若l ，m ，m ，则l 【答案】D【分析】依据线面垂直判定定理去判断各个选项即可解决.【详解】选项A ：若l m ，//m ，则l 或//l 或、 l 相交.判断错误；选项B ：若//l ，，则l 或//l 或、 l 相交.判断错误；选项C ：若l m ，m ，则l 或//l 或、 l 相交.判断错误；选项D ：若l ，m ，则//l m ，又m ，则l .判断正确.故选：D3．下列命题为真命题的是（）A ．若直线l 与平面α上的两条直线垂直，则直线l 与平面α垂直B ．若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行C ．若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直D ．若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，则直线l 与平面α平行【答案】B【分析】根据线面垂直的性质定理与判定定理、空间直线平面间的位置关系判断．【详解】A.若直线l 与平面α上的两条直线垂直，当平面内两条直线平行时，直线l 与平面α不一定垂直，A 错；B.若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，B 正确；C.若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直，这两个平面可以相交，也可以平行，C 错；D.若直线l 上的不同两点到平面α的距离相等，直线l 与平面α可能相交也可能平行，D 错．故选：B ．4．已知m 、n 是两条不同的直线，是一个平面，则（）A ．若//m n ，n ，则//mB ．若m n ，n ，则mC ．若m n ，//n ，则mD ．若m ，//n ，则m n【答案】D【分析】根据空间中线与面的位置关系判断即可.【详解】解：对于A ：若//m n ，n ，则//m 或m ，故A 错误；对于B ：若m n ，n ，则m 或//m 或m 或m 与相交（不垂直），故B 错误；对于C ：若m n ，//n ，则m 或//m 或m 或m 与相交（不垂直），故C 错误；对于D ：若m ，//n ，由线面垂直的性质可得m n ，故D 正确；故选：D5．如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E ､F 是线段A 1C 1上的两个动点，且EF 长为定值，下列结论中不正确的是（）A ．BD CEB ．BD 面CEFC ．三角形BEF 和三角形CEF 的面积相等D ．三棱锥B-CEF 的体积为定值6．已知四面体ABCD 中，60BAD ，90BCD ，2AB AD ，H 是BD 的中点，CH BD ，120AHC ，则四面体的外接球的表面积为（）A ．275 B ．3215πC ．94 D ．529【详解】如图，四面体ABCD的外接球为球O，连接OH，3、定义法：到各顶点距离相等的点为外接球的球心，借助有特殊底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据其到其他顶点的距离也是半径，列出方程求解即可.二、多选题7．设m ，n 为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题正确的是（）A ．若//m 且//n ，则//m n ；B ．若m 且n ，则//m n ；C ．若//m 且//m ，则// ；D ．若m 且m ，则// .【答案】BD【分析】根据线面的位置关系和面面的位置关系可以得出答案.【详解】解：A ：若//m 且//n ，则m ，n 可能相交、平行或异面，故A 错误；B ：若m 且n ，根据垂直于同一平面的两直线互相平行，故B 正确；C ：若//m 且//m ，根据面面的位置关系定义可得与可能平行也可能相交，故C 错误；D ：若m 且m ，根据面面平行的判定可知垂直于同一直线的两平面互相平行，故D 正确.故选：BD8．如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足MN OP 的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC 的正误，平移直线MN 构造所考虑的线线角后可判断AD 的正误.对于B ，如图（2）所示，取NT 的中点为由正方体SBCM NADT 可得SN 平面故SN OQ ，而SN MN N ∩，故OQ 又MN 平面SNTM ，OQ MN ，而所以MN 平面OPQ ，而PO 平面对于C ，如图（3），连接BD ，则BD 故OP MN ，故C 正确.对于D ，如图（4），取AD 的中点Q 则//AC MN ，因为DP PC ，故//PQ AC ，故//PQ MN 所以QPO 或其补角为异面直线PO 因为正方体的棱长为2，故12PQ AC 22415PO PK OK ，QO 故,PO MN 不垂直，故D 错误.故选：BC.三、填空题9．在正四面体ABCD 中，直线BC 与AD 所成角的大小为________．【答案】2【分析】根据空间位置关系直接证明判断即可【详解】如图所示，中点E，连接AE，DE，ABCD为正四面体，，DBC△均为正三角形，，BC，DE BC平面ADE，10．若2AB ，线段AB所在直线和平面α成30°角，且αA ，则点B到平面α的距离=___________【答案】1【分析】作出线段AB所在直线和平面α成30°角的图形求解.【详解】如图所示：，BO因为线段AB所在直线和平面α成30°角，所以30，BAO所以点B到平面的距离为sin1，O AB B OB A故答案为：111．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．【答案】无数【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.【详解】令给定的两条异面直线分别为直线,a b ，平移直线b 到直线b ，使b 与直线a 相交，如图，则直线b 与a 确定平面，点A 是平面内任意一点，过点A 有唯一直线l ，因此，,l a l b ，即有l b ，由于点A 的任意性，所以有无数条直线与异面直线,a b 都垂直.故答案为：无数12．如图（1）平行六面体容器1111ABCD A B C D 盛有高度为h 的水，12A B A D A A ，1160A AB A AD BAD .固定容器底面一边BC 于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过11,,,A B C D 四点，则h 的值为___________.【详解】1A E AD 于点E ，作1A F AB 于点F 160AD A AB o ，则111sin A E A F AA 11cos 60212AA ，60EAF BAD o ，所以AEF △为等边三角形，则的中点G ，连接AG ，1AG ，则AG EF ，1122EF ，1A G G ，所以EF 面1AA G ，22213122AF GF ， 22221111322A E EG ，由余弦定理可得：221111cos 2AA AG A G A AG AA AG 221131cos 13A AG A AG AG 于点H ，因为EF 面1AAG ，1A H四、解答题13．如图，在三棱锥 P ABC 中，D E ，分别为AB PB ，的中点，EB EA ，且PA AC ，PC BC ．求证：BC 平面PAC ．【答案】证明见解析.【分析】由题可得PA AB ，利用线面垂直的判定定理可得PA 平面ABC ，进而可得PA BC ，然后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在AEB △中，D 是AB 的中点，EB EA ，∴ED AB ,∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴ED PA ∥，∴PA AB ，又PA AC ，AB AC A ，AB 平面ABC ，AC 平面ABC ，∴PA 平面ABC ，∵BC 平面ABC ，∴PA BC ，又PC BC ，PA PC P ∩，PA 平面PAC ，PC 平面PAC ，∴BC 平面PAC ．14．如图所示，在111ABC A B C -中，侧棱1A A 底面ABC ，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D 是AC 的中点.（Ⅰ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅱ）求直线1AB 与平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角1A BD A 的大小.15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD＝2，AD＝3．(1)求证：PA⊥平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．（2）连接AN ，由（1）可知，DN ⊥则∠DAN 为直线AD 与平面PAC 所成的角，因为PCD 为等边三角形，CD ＝2且所以DN ＝3，又DN ⊥AN ，在Rt DAN △中，sin ∠DAN ＝ DN AD 故直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值为16．如图，在三棱锥ABCD 中，AB AD ，BC BD ，平面ABD 平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且//EF 平面ABC ．求证：（1）EF AD ；（2）AD AC ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得EF AD .（2）通过证明AD 平面ABC 证得AD AC .【详解】（1）由于//EF 平面ABC ，EF 平面ABD ，平面ABD 平面ABC AB ，所以//EF AB .由于AB AD ，所以EF AD .（2）平面ABD 平面BCD ，且这两个平面的交线为BD ，BC BD ，所以BC 平面ABD ，所以BC AD ，由于AB AD ，BC AB B I ，所以AD 平面ABC ，所以AD AC .题组B 能力提升练一、单选题1．在正方体1111ABCD A B C D 中，直线l 平面11AC （l 与直线1BB 不重合），则（）A ．1B B lB ．1B B l ∥C ．1B B 与l 异面但不垂直D ．1B B 与l 相交但不垂直【答案】B【分析】由正方体可知1B B 平面1111D C B A ，根据线面垂直的性质判定．【详解】∵1B B 平面1111D C B A ，直线l 平面11AC ∴1B B l∥故选：B ．2．上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为（）A ．0B ．2C ．4D ．12【答案】B 【分析】利用线面垂直的性质即可.【详解】3点时和9点时时针垂直于相邻的平面，故此时两个时针互相垂直.∴每天0点至12点（包含0点，不含12点），相邻两钟面上的时针相互垂直的次数为2，故选：B3．已知点A 、B 在平面的两侧，且点A 、B 到的距离分别为3和5，则AB 的中点到的距离为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【点睛】立体几何中点面距离求解的常用方法有：一是量法.4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点，则下列结论不正确的是（）A ．1PQ A BB ．AC //平面1A BQ C ．1PQ CCD ．PQ //平面ABC5．已知平面内的60APB ，射线PC 与,PA PB 所成的角均为135°，则PC 与平面所成的角的余弦值是（）A ．63 B ．3C 3D ．3【答案】B取AB 中点D ，连接PD ，则CPD 即为PC 与平面在APC △中，2222cos135AC PA PC PA PC =+-鬃在PCD 中，222742CD AC AD =-=+，3PD ∵，2226cos 23PC PD CD CPD PC PD +-\Ð==-×， PC 与平面所成的角的余弦值是63.故选：B.【点睛】本题考查线面角的求法，找出所成角，构造三角形是解题的关键6．如图，在ABC 中，点Р在ABC 所在平面外，点O 是P 在平面ABC 上的射影，且点O 在ABC 的内部．若PA ，PB ，PC 两两垂直，那么点О是ABC 的（）A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】C 【分析】通过线线垂直证线面垂直以及线面垂直证线线垂直，依次可证PA 平面PBC ，PA BC ，PO BC ，BC 平面PAO ，BC AO ；同理可证BO AC ，CO AB ，即得点O 是ABC 的垂心【详解】连接OA 、OB 、OC ，∵PA PB ，PA PC ，PB PC 、平面PBC ，PB PC P ，∴PA 平面PBC ，∵BC 平面PBC ，∴PA BC ．由题意，PO 平面ABC ，BC 平面ABC ，∴PO BC ，又,PA PO 平面PAO ，PA PO P ，∴BC 平面PAO ，AO Q 平面PAO ，∴BC AO ，同理可证BO AC ，CO AB ，∴点O 是ABC 的垂心．故选：C二、多选题7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是DD 1的中点，则下列选项中正确的是（）A ．AC ⊥B 1EB ．B 1C ∥平面A 1BDC ．三棱锥C 1﹣B 1CE 的体积为13D ．异面直线B 1C 与BD 所成的角为45°【答案】AB【分析】对于A ，由已知可得AC ⊥平面BB 1D 1D ，从而可得AC ⊥B 1E ；对于B ，利用线面平行的判定定理可判断；对于C ，由1111C B CE B C CE V V 进行求解即可；对于D ，由于BD ∥B 1D 1，所以∠CB 1D 1是异面直线B 1C 与BD 所成的角，从而可得结果【详解】解：如图，∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面又B 1E ⊂平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥B 1∵B 1C ∥A 1D ，A 1D ⊂平面A 1BD ，B 三棱锥C 1﹣B 1CE 的体积为11C B CE V ∵BD ∥B 1D 1，∴∠CB 1D 1是异面直线∴异面直线B 1C 与BD 所成的角为故选：AB.【点睛】此题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线所成的角以及体积的计算等知识，考查推理能力，属于中档题8．如图所示，在三棱锥V ABC -中，AB BC ，且90VAB VAC ABC ，P 为线段VC 的中点.则（）A ．PB 与AC 垂直B ．PB 与VA 平行C ．点P 到点A ，B ，C ，V 的距离相等D ．VB 与平面ABC ，PB 与平面ABC 所成的角可能相等【答案】AC【解析】由题设可证VA 底面ABC ，作AC 中点H ，由中位线定理可证//PH VA ，易证PB AC ，再由H 为三、填空题9．在三棱锥 P ABC 中，点Р在底面ABC 内的射影为Q ，若PA PB PC ，则点Q 定是ABC 的______心．【答案】外【分析】由PA PB PC 可得QA QB QC ，故Q 是ABC 的外心.【详解】解：如图，∵点P 在底面ABC 内的射影为Q ,∴PQ 平面ABC又∵QA 平面ABC 、QB 平面ABC 、QC 平面ABC ，∴PQ QA 、PQ QB 、PQ QC .在Rt PQA 和Rt PQB 中，PA PB PQ PQ,∴PQA PQB ，∴QA QB 同理可得：QA QC ,故QA QB QC故Q 是ABC 的外心.故答案为：外.10．菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为O ，P 是菱形所在平面外一点，PO 平面ABCD ，则异面直线AC 与PD 所成角大小为______．【答案】90 ##2【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定进行推理即可作答.【详解】菱形ABCD 中，AC BD ，因PO 平面ABCD ，AC 平面ABCD ，则有PO AC ，PO BD O ∩，,PO BD 平面POD ，因此，AC 平面POD ，又PD 平面POD ，从而有AC PD ，所以异面直线AC 与PD 所成角为90 .故答案为：9011．在三棱锥 P ABC 中，AB AC ，点A 在平面PBC 中的射影是PBC 的垂心，若PAB ，PAC △，ABCP ABC的外接球表面积的最小值为______．的面积之和为4，则三棱锥所以三棱锥 P ABC 的外接球表面积的最小值为8故答案为：812．在三棱锥 P ABC 中，平面PAB 平面ABC ，PA PB ，4AB BC AC ，则该三棱锥外接球的表面积是___________.【答案】643 ##643【详解】如图所示：设点D 为AB 的中点，221234233CD ，24333OB CD ，∴四、解答题13．如图，PA 平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，2PA AB ，4 AD ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动.(1)求三棱锥E PAD 的体积；(2)证明： AF PE .BC AF ，由 AF PB ，AF BC ，PB BC B ，AF 平面PBC ，PE Q 平面PBC ，AF PE .14．如图，在五面体ABCDEF 中，已知DE 平面ABCD ，//AD BC ，60BAD ，2AB ，1DE EF ．（1）求证：//BC EF ；（2）求三棱锥B DEF 的体积．在平面ABCD 内过点B 作BH15．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A BCB 是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：1AC CC ；（2）若异面直线1AB 与1CC 所成的角为3，求三棱锥1B ACC 的体积．因为1A BCB 是正三棱锥，所以三角形所以AO 平面1BCB ，所以题组C培优拔尖练1.(多选)如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案ABC解析对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，∴AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确；对于选项B，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确．2.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案∠A 1C 1B 1＝90°解析如图所示，连接B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC ⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC ⊥BC 即可．因为A 1C 1∥AC ，B 1C 1∥BC ，故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等)3.如图所示，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE ＝DA ＝2.(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求AE 与平面BDE 所成角的大小．(1)证明∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥DE ，∵BD ，DE ⊂平面BED ，BD ∩DE ＝D ，∴AC ⊥平面BDE .(2)解设AC ∩BD ＝O ，连接EO ，如图所示．∵AC ⊥平面BDE ，∴EO 是直线AE 在平面BDE 上的射影，∴∠AEO 即为AE 与平面BDE 所成的角．在Rt △EAD 中，EA ＝AD 2＋DE 2＝22，AO ＝2，∴在Rt △EOA 中，sin ∠AEO ＝AO EA ＝12，∴∠AEO ＝30°，即AE 与平面BDE 所成的角为30°.4.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若PD 与平面ABCD 所成的角为α，当α为多少度时，MN ⊥平面PCD ?(1)证明取PD 的中点E ，连接NE ，AE ，如图．又∵N 是PC 的中点，∴NE ∥DC 且NE ＝12DC ，又∵DC ∥AB 且DC ＝AB ，AM ＝12AB ，∴AM ∥CD 且AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，且NE ＝AM ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE .∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ，∴MN ∥平面PAD .(2)解当α＝45°时，MN ⊥平面PCD ，证明如下．∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PDA 即为PD 与平面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝45°，∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD .又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，PA ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD .∵AE ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AE ，∴CD ⊥MN .又CD ∩PD ＝D ，CD ，PD ⊂平面PCD ，∴MN ⊥平面PCD .。

高中数学必修二2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质知识点1 直线与平面垂直的定义如果一条直线与平面内内任意一条直线都垂直，那么直线与平面垂直。

知识点2 线线垂直判定依据如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内任意一条直线。

知识点3 直线与平面垂直判定定理如果一条直线与平面内两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

知识点4 平面与平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角是直角的两个平面互相垂直。

面面垂直的判定：一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

知识点5 平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另外一个平面垂直。

知识点6 空间中的角异面直线所成角：经过空间一点引两平行线，所成锐角或者直角为异面直线所成角。

取值范围：(0°，90°]。

直线和平面所成角：取值范围[0°,90°]，在线上一点作垂线，垂足与斜足相连为直线在平面上的投影，斜线及其投影所成角就是直线与平面所成角。

知识点7 二面角及二面角的平面角半平面：一条直线把平面分成两个部分，每一部分叫做半平面。

二面角：由一条直线发出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。

二面角的大小用它的平面角来衡量。

二面角的平面角：棱上取点，作棱的垂射线OA,OB，∠AOB叫做二面角的平面角，取值范围是[0，π]平面角具有的性质：1、二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面。

2、从平面角的任意一边上取一点向另外一个半平面作垂线，垂足必在另一条射线上。

3、是直线与平面所成的最小角。

知识点8 空间中的距离点到平面的距离：作垂线，垂线段的距离就是点到平面的距离。

直线到平面的距离：一条直线直线与一个平面平行，直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面间的距离。

平行平面间的距离：同时垂直于两个平面的垂线段的长度。

异面直线之间的距离：作同时垂直于两条直线的公垂线（唯一），两直线间的线段长度为异面直线间的距离。

考点33 高中数学-直线、平面垂直的判定及其性质-考点总结和习题

考点34直线、平面垂直的判定及其性质【命题趋势】线面位置关系的证明是高考的重点，常出现在解答题的第一问中，是容易得分的试题，我们必须掌握.（1）以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理：·如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.·如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.理解以下性质定理，并能够证明：·如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.（2）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.【重要考向】一、线面垂直的判定与性质二、面面垂直的判定与性质线面垂直的判定与性质1．定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l ⊥α.图形表示如下：【注意】定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.简记为：线线垂直⇒线面垂直图形语言符号语言l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，a b P = ⇒l ⊥α作用判断直线与平面垂直【注意】在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线.3．直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行.简记为：线面垂直⇒线线平行图形语言符号语言a b αα⊥⎫⎬⊥⎭⇒a b ∥①证明两直线平行；作用②构造平行线.【巧学妙记】1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F 是CC1上一点．当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.【证明】因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B.因为BC∩B1B＝B，BC，B1B⊂平面B1BCC1，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1F.方法一在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝CF＝2，所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90°，所以B1F⊥FD.因为AD∩FD＝D，AD，FD⊂平面ADF，所以B1F⊥平面ADF.2.如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.【证明】(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.3.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱CC 1的中点.（1）求证：BM ⊥平面11A B M ；【答案】：（1）证明见详解；【分析】（1）由题中长度关系，可以证明22211BB BM B M =+,即1BM B M ⊥，由11A B ⊥平面11BCC B ，可以证明11A B BM ⊥，即得证；【详解】（1）由题意，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 的中点.故22221111122,22,4BM BC CM B M B C C M BB =+==+==即：222111BB BM B M BM B M=+∴⊥又长方体1111ABCD A B C D -，故11A B ⊥平面11BCC B BM ⊂平面11BCC B ，11A B BM∴⊥又1111A B B M B = BM ∴⊥平面11A B M面面垂直的判定与性质平面与平面垂直1．定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α⊥.图形表示如下：与平面β垂直，记作αβ2．平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.文字语言简记为：线面垂直⇒面面垂直图形语言⊂⇒α⊥β符号语言l⊥α，lβ作用判断两平面垂直3．平面与平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.文字语言简记为：面面垂直⇒线面垂直图形语言符号语言=l a a a l αβαββα⎫⎪⎪⇒⎬⊂⎪⎪⊥⎭ ⊥⊥作用证明直线与平面垂直【巧学妙记】4.如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°.以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA .(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q －ABP 的体积．(1)证明由已知可得，∠BAC ＝90°，即BA ⊥AC .又BA ⊥AD ，AD ∩AC ＝A ，AD ，AC ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD .又AB ⊂平面ABC ，所以平面ACD ⊥平面ABC .(2)解由已知可得，DC ＝CM ＝AB ＝3，DA ＝32.又BP ＝DQ ＝23DA ，所以BP ＝22.如图，过点Q 作QE ⊥AC ，垂足为E ，则QE ∥DC 且QE ＝13DC .由已知及(1)可得，DC ⊥平面ABC ，所以QE ⊥平面ABC ，QE ＝1.因此，三棱锥Q －ABP 的体积为V Q －ABP ＝13×S △ABP ×QE ＝13×12×3×22sin 45°×1＝1.5.如图，三棱锥P －ABC 中，底面ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥PC ，PB ＝2.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若PA ＝PC ，求三棱锥P －ABC 的体积．证明(1)如图，取AC 的中点O ，连接BO ，PO ，因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以BO ⊥AC ，BO ＝ 3.因为PA ⊥PC ，所以PO ＝12AC ＝1.因为PB ＝2，所以OP 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB .因为AC ∩OP ＝O ，AC ，OP ⊂平面PAC ，所以BO ⊥平面PAC .又OB ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC .(2)解因为PA ＝PC ，PA ⊥PC ，AC ＝2，所以PA ＝PC ＝ 2.由(1)知BO ⊥平面PAC ，所以V P －ABC ＝V B －APC ＝13S △P AC ·BO ＝13×12×2×2×3＝33.一、解答题1．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，4PA PB AB ===，BC =PC =，点E 为AB 的中点，AC 与BD 交于点O .（1）求证：PE ⊥平面ABCD ；（2）求三棱锥D PAE -的体积.2．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，222PD AB AD CD ====，E 为线段PA 上一点，且32PE PA =.（1）证明：平面EBC ⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面EBC 的距离.3．如图所示，四面体PABC 中，AP ⊥平面PBC ，AC ＝BC ＝2，AB ＝，PC ＝1，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，过EF 作四面体的截面EFGH 交PC 于点G ，交PB 于点H .（1）证明：GH /平面ABC ；（2）若G 为PC 上靠近P 的一个三等分点，求四边形GHBC 的面积.4．如图，在直四棱柱1111 ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点.（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1BD AC ⊥.5．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，112AA A C AB BC ====，AC =O 为AC 的中点.（1）证明：平面1A OB ⊥平面ABC ；（2）求点A 到平面1A BC 的距离.6．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝4，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上的点，且BF ＝14BC .（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）求点F 到平面PCD 的距离.7．在五面体EF ABCD -中，正方形CDEF 所在平面与平面ABCD 垂直，四边形ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，12AD DC BC AB ===.（1）求证：平面BCF ⊥平面ACE ；（2）若三棱锥A BCE -的体积为433，求线段AB 的长.1．（2021·全国高考真题（文））已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥.（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.2．（2021·全国高考真题（文））如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积．3．（2020·江苏高考真题）在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．4．（2020·全国高考真题（文））如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积.5．（2019·全国高考真题（文））如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．6．（2015·陕西高考真题（文））如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -.（Ⅰ）证明：CD ⊥平面1A OC ；（Ⅱ）当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -的体积为362，求a 的值.一、单选题1．（2021·安徽华星学校高三其他模拟（文））已知四面体ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，ABD △是边长为2的等边三角形，BD CD =，BD CD ⊥，则四面体ABCD 的体积为（）A ．233B ．45C ．433D ．23二、解答题2．（2020·河北高三其他模拟（文））如图，在四面体ABCD 中，E 为线段BD 上的点，且22BE ED ==，26BC CD ==AB CE ^.（1）求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若AE BE ⊥，AE BE =，求点D 到平面ABC 的距离.3．（2021·河南高三其他模拟（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，13PA PD ==，E 为AB 的中点，O 为AD 的中点，PE AC ⊥.（1）证明：AC PO ⊥.（2）求点O 到平面PBD 的距离.4．（2019·吉林高三其他模拟（文））如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝BD ＝1，2AB =，将平面ABD 沿BD 翻折得到四面体A '﹣BCD ，点E 为棱A 'B 的中点，过点D 作DF ⊥A 'C 于点F ，当四面体A '﹣BCD 的体积最大时．（1）证明：EF ⊥A 'C ；（2）求点B 到平面DEF 的距离．5．（2021·河南商丘市·高三月考（文））在如图所示的多面体中，△ABC 是等边三角形，AD ⊥平面ABC ，AD CP //，E 是BC 的中点．（1）证明：平面BCP ⊥平面ADE ；（2）若22AB PC AD ===，求点C 到平面PBD 的距离．6．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））如图，三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，160A AB ∠=︒．（1）求证：1AB A C ⊥；（2）若面1A AB ⊥面ABC ，求四边形11BCC B 的面积．7．（2021·重庆一中高三其他模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点E 是线段AB 的中点，把三角形AED 沿DE 折起，设折起后点A 的位置为P ，F 是PD 的中点.（1）求证：无论P 在什么位置，都有//AF 平面PEC ；（2）当点P 在平面ABCD 上的射影落在线段DE 上时，若三棱锥P ECD -的四个顶点都在一个球上，求这个球的体积.8．（2021·全国高一课时练习）如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱C 1D 1的中点，F 为棱BC 的中点．（1）求证：直线AE ⊥直线A 1D ;（2）在线段AA 1上求一点G ，使得直线AE ⊥平面DFG ．参考答案跟踪训练1．（1）证明见解析；（2）463.【分析】（1）由E 为AB 的中点得PE AB ⊥，勾股定理得PE EC ⊥，可得答案；（2）连接ED ，转化为--=D PAE P ADE V V ，由PE ⊥平面ABCD 得PE 为三棱锥P ADE -的高，计算出ADE S ，再由体积公式可得答案.【详解】（1）4=== PA PB AB ，点E 为AB 的中点，PE AB ∴⊥，又336,，，== PE EC PC PE EC ∴⊥，又,，=⊂ AB EC E AB EC 平面ABCD ，PE ∴⊥平面ABCD .（2）连接ED ，D PAE P ADE V V --= ，由（1）可知，PE ⊥平面ABCD ，13-∴=⋅ P ADE ADE V PE S ，11222=⋅=⨯⨯ ADE S AE AD ，133P ADE V -∴=⨯=.2．（1）证明见解析；（2）7.【分析】（1）通过证明BC ⊥平面PAC 来证得平面EBC ⊥平面PAC .（2）利用等体积法求得A 到平面EBC 的距离.【详解】（1）∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，∵AD DC ⊥，222AB AD CD ===，∴45ACD CAB ABC ∠=∠=∠=︒，AC CB ⊥，又,AC PA ⊂平面PAC ，AC PA A ⋂=，∴BC ⊥平面PAC ，∵BC ⊂平面BCE ，∴平面EBC ⊥平面PAC .（2）依题意PA ⊥平面ABCD ，PA ==,111332133239E ABC ABC V S AE -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅= ，BC AC ===，3CE ==，由（1）知BC CE ⊥，所以14226EBC S BC CE =⨯⨯= ，设A 到平面EBC 的距离为h ，则1423143697A EBC V h h -=⋅⋅=⇒=.3．（1）见解析；（2）5718【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明EF ∥平面PBC ,进而利用线面平行的性质定理证明EF ∥GH ,然后再由判定定理证得GH ∥平面ABC ;（2）根据已知条件，；利用线面垂直判定定理证得BC ⊥平面PAC ,进而判定，EF ⊥平面PAC ,得到EF ⊥FG ，GH ⊥FG ,然后通过计算求得直角梯形GHBC 的面积.【详解】（1）∵E ，F 分别为AB ，AC 的中点,∴EF ∥BC ,又∵EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,∴EF ∥平面PBC ,∵EF ⊂平面EFGH ,平面EFGH ∩平面PBC =GH ,∴EF ∥GH ,又∵GH ⊄平面ABC ,EF ⊂平面ABC ,∴GH ∥平面ABC ;（2）∵AP ⊥平面PBC ，∴AP ⊥BC ,AP ⊥PC ，又∵AC ＝BC ＝2，AB ＝，∴222AC BC AB +=,∴AC ⊥BC ,又∵AP ∩AC =A ,∴BC ⊥平面PAC ,∵EF ∥BC ,∴EF ⊥平面PAC ,∴EF ⊥FG ，GH ⊥FG ,∵BC =2,EF 是△ABC 的中位线，∴EF =1,GH ∥EF ∥BC ,∴GH ∥BC ,G 为为PC 上靠近P 的一个三等分点，∴GH =1233BC =,∵AC =2,F 为AC 中点，∴CF =1,∵PC =1,∴CG =23,∵AP ⊥PC ,PC =1,AC =2,∴∠ACP =60°，∴FG ,3===∴四边形GHBC 的面积为()1127571223318EF GH FG ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查线面平行，垂直的判定与性质，属中档题，关键是熟练使用线面平行和垂直的判定与性质进行平行，垂直的转化与证明.4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；【分析】（1）设AC 与BD 交于点O ，接OE ，可得1//OE D BB ，即可证明1//BD 平面ACE ；（2）由底面ABCD 是菱形，得AC BD ⊥，又1DD ⊥底面ABCD ，可得1DD AC ⊥，证明AC ⊥平面11BDB D ，利用线面垂直的性质可证1AC BD ⊥．【详解】证明：（1）设AC 与BD 交于点O ，接OE ，底面ABCD 是菱形，O ∴为DB 中点，又因为E 是1DD 的中点，1//OE D BB ∴，OE ⊂ 面AEC ，1BD ⊂平面AEC1//BD ∴平面ACE ．（2）底面ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，1DD ⊥Q 底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，1DD AC ∴⊥，且1DB DD D = ，1,DB DD ⊂平面11BDB D ．AC ∴⊥平面11BDB D ．1BD ⊂ 平面11BDB D ，1AC BD ∴⊥．5．（1）证明见解析；（2）2217.【分析】（1）先证明1A O AC ⊥，结合平面11AA C C ⊥平面ABC ，证得1A O ⊥平面ABC ，再根据面面垂直的判定定理证明即可；（2）利用等体积法，由11A ABC A A BC V V --=，即解得结果.【详解】（1）证明：因为11A A A C =，且O 为AC 的中点，所以1A O AC ⊥.因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，所以1A O ⊥平面ABC .因为1A O ⊂平面1A OB ，所以平面1A OB ⊥平面ABC ；（2）解：设点A 到平面1A BC 的距离为h .由（1）知，1A O ⊥平面ABC .因为112AA A C AB BC ====，AC =，所以AO =所以11A O =，1BO ==.因为11BO AO ==，所以1A B =，所以12ABC S AC BO =⋅=△，等腰三角形1A BC 中，以1A B142=，11111472222A BC S A B ===△，因为11A ABC A A BC V V --=，111131333A ABC ABC V S A O -=⋅==△.所以1332h =⨯，所以7h =.6．（1）证明见解析；（2）322.【分析】（1）根据题意可得AE ⊥平面PBC ，进而可证明平面AEF ⊥平面PBC ；（2）利用等体积法求点到面的距离.【详解】（1）证明：因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PA BC ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，所以AB BC ⊥，又因为AB ⊂平面PBC ，PA ⊂平面PBC ，且PA BA A = ，所以BC ⊥底面PAB ，又因为AE ⊂平面PBA ，所以BC AE ⊥，因为PA ＝AB ，E 为PB 的中点，所以PB AE ⊥，又因为PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC ；（2）解：因为AD BC ∥，=AD BC ，所以B PCD A PCD V V --=，又=A PCD P ACD V V --，所以1132444323B PCD P ACD V V --==⨯⨯⨯⨯=，因为142PCD S =⨯= ，设点B 到平面PCD 的距离为h ，所以3B PCD PCDV h S -== 由BF ＝14BC ，知点F 到平面PCD的距离为342=.7．（1）证明见解析；（2）4AB =.【分析】（1）首先证得AC ⊥面BCF ，然后根据面面垂直的判定即可得出结论；（2）根据已知条件列出方程，解之即可.【详解】（1）证明：取AB 中点O ，连CO .12AD DC BC AB === ，//AB CD ，∴四边形AOCD 为菱形，CO OA OB ∴==，OCB ∴ 为正三角形，AC BC ∴⊥，正方形CDEF 所在平面与平面ABCD 垂直，又∵平面CDEF 平面ABCD 垂直CD =，CD CF⊥∴FC ⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，FC AC ∴⊥.BC FC C ⋂=，AC ∴⊥面BCF ，AC ⊂ 面ACE ，∴面ACE ⊥面BCF ，得证.（2）解：设BC x =，则2AB x =，由勾股定理得AC =，由（1）可知ED ⊥面ABCD ，故13A BCE E ABC ABC V V S ED --==⋅△，21322ABC S x x =⋅=即363x =，解得2x =.4AB ∴=.真题再现1．(1)13；(2)证明见解析.【分析】(1)首先求得AC 的长度，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；(2)将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.【详解】(1)如图所示，连结AF ，由题意可得：BF ===，由于AB ⊥BB 1，BC ⊥AB ，1BB BC B = ，故AB ⊥平面11BCC B ，而BF ⊂平面11BCC B ，故AB BF ⊥，从而有3AF ===，从而AC ===，则222,AB BC AC AB BC +=∴⊥，ABC 为等腰直角三角形，111221222BCE ABC S s ⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△△，11111333F EBC BCE V S CF -=⨯⨯=⨯⨯=△.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体1111ABCM A B C M -，如图所示，取棱,AM BC 的中点,H G ，连结11,,A H HG GB ，正方形11BCC B 中，,G F 为中点，则1BF B G ⊥，又111111,BF A B A B B G B ⊥= ，故BF ⊥平面11A B GH ，而DE ⊂平面11A B GH ，从而BF ⊥DE .【点睛】求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.2．（1）证明见解析；（2）3．【分析】（1）由PD ⊥底面ABCD 可得PD AM ⊥，又PB AM ⊥，由线面垂直的判定定理可得AM ⊥平面PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面PAM ⊥平面PBD ；（2）由（1）可知，AM BD ⊥，由平面知识可知，~DAB ABM ，由相似比可求出AD ，再根据四棱锥P ABCD -的体积公式即可求出．【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥，又PB AM ⊥，PB PD P = ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD ．（2）由（1）可知，AM ⊥平面PBD ，所以AM BD ⊥，从而~DAB ABM ，设BM x =，2AD x =，则BM AB AB AD =，即221x =，解得22x =，所以AD =．因为PD ⊥底面ABCD ，故四棱锥P ABCD -的体积为(11133V =⨯⨯=．【点睛】本题第一问解题关键是找到平面PAM 或平面PBD 的垂线，结合题目条件PB AM ⊥，所以垂线可以从,PB AM 中产生，稍加分析即可判断出AM ⊥平面PBD ，从而证出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出~DAB ABM ，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积．3．（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【分析】（1）通过证明1//EF AB ，来证得//EF 平面11AB C .（2）通过证明AB ⊥平面1AB C ，来证得平面1AB C ⊥平面1ABB .【详解】（1）由于,E F 分别是1,AC B C 的中点，所以1//EF AB .由于EF ⊂/平面11AB C ,1AB ⊂平面11AB C ，所以//EF 平面11AB C .（2）由于1B C ⊥平面ABC ，AB Ì平面ABC ，所以1B C AB ⊥.由于1,AB AC AC B C C ⊥⋂=，所以AB ⊥平面1AB C ,由于AB Ì平面1ABB ，所以平面1AB C ⊥平面1ABB .【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题.4．（1）证明见解析；（2）68.【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC △≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠= ，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D Q 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC △≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥ 平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==，2222OD l r =-=，解得1,3r l ==，2sin 603AC r == ，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==，在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=，∴三棱锥P ABC -的体积为11333248P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯⨯⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.5．（1）见解析；（2）41717.【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD BC 可证得//ME ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）根据题意求得三棱锥1C CDE -的体积，再求出1C DE ∆的面积，利用11C CDE C C DE V V --=求得点C 到平面1C DE 的距离，得到结果.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）在菱形ABCD 中，E 为BC 中点，所以DE BC ⊥，根据题意有3DE =117C E =，因为棱柱为直棱柱，所以有DE ⊥平面11BCC B ，所以1DE EC ⊥，所以113172DEC S ∆=设点C 到平面1C DE 的距离为d ，根据题意有11C CDE C C DE V V --=，则有11113171343232d ⨯=⨯⨯，解得171717d ==，所以点C 到平面1C DE 的距离为41717.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.6．（Ⅰ）证明见解析，详见解析；（Ⅱ）6a =.【详解】试题分析：（1）依据直线与平面垂直的判定定理推证；（2）借助题设条件运用等积法建立方程求解.试题解析:（1）在图1中，易得//,BE AOC OE CD CD AO CD OC⊥∴⊥⊥ 所以，在图2中，1,CD OC CD A O CD ⊥⊥∴⊥平面1A OC（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ,1CD A O⊥所以1A O ⊥平面BCDE211126332BCDE A O S a a a ∴⋅=⋅==考点：空间线面垂直的位置关系和棱锥的体积公式等有关知识的运用．模拟检测1．A【分析】证明出CD ⊥平面ABD ，然后利用锥体的体积公式可求得四面体ABCD 的体积.【详解】因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，CD BD ⊥，CD ⊂平面BCD ，CD \^平面ABD ，2CD BD ==，224ABD S =⨯=△，所以，11232333C ABD ABD V S CD -=⋅==△.故选：A.【点睛】方法点睛：求空间几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．2．（1）证明见解析；（2）32.【分析】（1）由勾股定理的逆定理知BC CD ⊥，再由余弦定理求得CE =从而证明CE BD ⊥，然后结合线面､面面垂直的判定定理，即可得证；（2）由平面ABD ⊥平面BCD ，推出AE ⊥平面BCD ，从而知点A 到平面BCD 的距离为AE ，再由等体积法，D ABC A BCD V V --=，得解.【详解】（1）证明：在BCD △中，=BC CD =，3BD =，∴222BD BC CD =+，即BC CD ⊥，∴cos 3BC CBD BD ∠==，由余弦定理知，2222cos 642223CE BC BE BC BE CBD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，∴CE =∴222BC BE CE =+，∴CE BD ⊥，∵AB CE ⊥，AB BD B = ，AB ､BD ⊂平面ABD ，∴CE ⊥平面ABD ，又CE ⊂平面BCD ，∴平面ABD ⊥平面BCD .（2）解：∵AE BE ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，∴AE ⊥平面BCD ，∴点A 到平面BCD 的距离为AE ，且2AE BE ==，AB ==，∴AC BC ====，∴ABC 为等腰三角形，∴1122ABC S AB =⨯ ，设点D 到平面ABC 的距离为h ，∵D ABC A BCD V V --=，∴111332ABC h S AE BC CD ⋅=⋅⋅⋅△，∴122h ⋅=⋅∴32h =，故点D 到平面ABC 的距离为32.3．（1）证明见解析；（2）32.【分析】（1）利用菱形结合中位线证得AC OE ⊥，然后利用线面垂直判定定理证得AC ⊥平面POE ，然后利用线面垂直的性质定理证得结论.（2）利用等体积法求得点面距离.【详解】（1）证明：如图，连接OE .因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.又OE 为ABD △的中位线，所以OE BD ，从而AC OE ⊥.因为PE AC ⊥，PE OE E = ，所以AC ⊥平面POE ，所以 AC PO ⊥.（2）解：因为PO 是等腰三角形PAD 的中线，所以PO AD ⊥，由（1）知AC PO ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，3PO ==.由题可知点O 到平面PBD 的距离等于点A 到平面PBD 距离的一半.设点A 到平面PBD 的距离为h ，在ABD △中，4BD =，PD =，PB ==，可求cosPDB ∠=sin PDB ∠=所以142PBD S =⨯=△易求14422△=⨯⨯⨯=ABD S .由A PBD P ABD V V --=，得11333⨯=⨯，解得3h =.故点O 到平面PBD 的距离为32.4．（1）证明见解析；（2）33．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理加以证明；（2）利用等体积法求距离．【详解】证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝BD ＝1，AB ，∴AD 2+BD 2＝AB 2，∴△ABD 为等腰直角三角形，且AD ⊥BD ，∴BC ⊥BD ，设点A ′到面BCD 的距离为h ，则1111 3326A BCD BCD V S h BC BD h h '-=⋅=⨯⋅⋅⋅=△，∴当四面体A '﹣BCD 的体积最大时，h 最大，此时h ＝A ′D ，即A ′D ⊥面BCD ，∵BC ⊂面BCD ，∴A ′D ⊥BC ，∵BD ⊥BC ，BD ∩A ′D ＝D ，BD ，A ′D ⊂面A ′BD ，∴BC ⊥面A ′BD ，∵DE ⊂面A ′BD ，∴BC ⊥DE ，∵A ′D ＝BD ，E 为A ′D 中点，∴DE ⊥A ′B ，∵A ′B ∩BC ＝B ，A ′B ，BC ⊂面A ′BC ，∴DE ⊥面A ′BC ，∵A ′C ⊂面A ′BC ，∴DE ⊥A ′C ，∵DF ⊥A ′C ，DF ∩DE ＝D ，DF ，DE ⊂面DEF ，∴A ′C ⊥面DEF ，∵EF ⊂面DEF ，∴EF ⊥A ′C ．解：（2）过点F 作FH ⊥A ′B 交A ′B 于点H ．由（1）知DE ⊥面A ′BC ，∵EF ⊂面A ′BC ，∴DE ⊥EF ，∵A ′D ＝BD ＝1，∴AB ，∵E 是A ′B 的中点，∴DE ＝BE ＝22，在Rt △A ′BC 中，EF ＝26BC A E A C '⋅=='，A ′F 33=，∴FH ＝1133A F BC A C '⋅=⨯='，设点B 到面DEF 的距离为d ′，则V B ﹣DEF ＝V D ﹣BEF ，∴11'33DEF BEF S d S DE ∆∆⋅=⋅，d ′＝132132BEF DEF BE FH DE S DE S DE EF ∆∆⋅⋅⋅==⋅．5．（1）证明见解析；（2．【分析】（1）根据线面垂直的性质可得.AD BC ⊥再由面面垂直的判定可得证；（2）取BP 的中点F ，连接,,CF EF DF ．根据平面几何知识可得//EF AD 且EF AD =，根据线面垂直的性质可得ADFE 是矩形．从而得DF FE ⊥，由面面垂直的性质可得证CF ⊥平面PBD ，从而求得点C 到平面PBD 的距离．【详解】解：（1）因为E 是BC 的中点，且AB AC =，所以.AE BC ^因为AD ⊥平面ABC ，所以.AD BC ⊥又因为AE AD A = ，所以BC ⊥平面.ADE 又BC ⊂平面BCP ，所以平面BCP ⊥平面.ADE （2）如图，取BP 的中点F ，连接,,CF EF DF ．所以EF 是BCP 的中位线，所以//EF PC ，且12EF PC =，因为1//,2AD PC AD PC =，所以//EF AD 且EF AD =，又因为AD ⊥平面ABC ，所以ADFE 是矩形．所以DF FE ⊥，由（1）知，平面BCP ⊥平面ADE ，交线为EF ，所以DF ⊥平面BCP ，所以DF CF ⊥．又在等腰三角形BCP 中可得,CF BP BP DF F ⊥⋂=，所以CF ⊥平面PBD ，所以点C 到平面PBD 的距离即CF =．6．（1）证明见解析；（2【分析】（1）取AB 中点D 连接11,,A D CD A B ，即可得到AB ⊥面1A DC ，从而得证；（2）连接11,B C B D ，由面面垂直的性质定理，可得CD ⊥面1A AB ，即可得到1CD B D ⊥，利用余弦定理求出1B D ，再利用勾股定理求出1B C ，然后利用余弦定理求出1cos CBB ∠，从而得到1sin CBB ∠，最后根据1111sin 2CBB S B B BC CBB =⨯⨯∠ 、1112C BCC B BB S S = 计算可得；【详解】（1）证明：取AB 中点D 连接11,,A D CD A B ，三棱柱111ABC A B C -各棱长均为2，160A AB ∠=︒，∴1A AB 和ABC 都是等边三角形，∴11,,AB A D AB CD A D CD D ⊥⊥⋂=，1,A D CD ⊂面1A DCAB ∴⊥面1A DC ，1AC ⊂ 面1A DC ，∴1AB A C⊥（2）连接11,B C B D ，因为面1A AB ⊥面ABC ，CD AB ⊥，面1A AB 面ABC AB =，所以CD ⊥面1A AB ，面1B D ⊂面1A AB ，所以1CD B D ⊥，在1BDB △中，由余弦定理得22211112cos B D BB BD BB BD B BD =+-⋅∠，即222112122172B D ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以17B D =，所以22211B C B D CD =+，即222173B C =+，所以110B C =在1BCB △中由余弦定理得22211112cos B C BB BC BB BC CBB =+-⋅∠，即22211022222cos CBB =+-⨯⨯∠，解得11cos 4CBB ∠=-，所以21115sin 1cos 4CBB CBB ∠=-∠=，所以111111515sin 222242CBB S B B BC CBB =⨯⨯∠=⨯⨯⨯= 所以111152B BCC B CB S S ==7．（1）证明见解析；（2）4 3 .【分析】（1）取PC的中点G,连接FG,EG,可证FG与AE平行且相等，进而得到AF∥EG,然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）设P的射影为H,由已知条件证得平面PDE⊥平面CDE，进而利用线面、面面垂直的判定与性质，证明△CPD和△CED都是直角三角形，进而得到外接球的球心就是公共斜边CD 的中点，进而求解计算即可.【详解】（1）如图所示，取PC的中点G,连接FG,EG,∵F为PD的中点，∴FG平行且等于DC的一半，又∵E为矩形ABCD的AB边的中点，∴AE平行且等于DC的一半，∴FG与AE平行且相等，∴四边形AEGF为平行四边形，∴AF∥EG,又∵AF⊄平面PEC,EG⊂平面PEC,∴无论P在什么位置，都有//AF平面PEC；（2）由于在折起过程中，△PDE 中，PD =PE =1,PD ⊥PE 始终成立，∴△PDE 为等腰直角三角形，当点P 在平面ABCD 上的射影落在线段DE 上时，设P 的射影为H ,则H 在DE 上，∴PH ⊂平面PDE ,又∵PH ⊥平面CDE ,∴平面PDE ⊥平面CDE ，由于∠CEE =180°-∠AED -∠BEC =180°-45°-45°=90°，∴CE ⊥DE ,∴CE ⊥平面PDE ,∴CE ⊥PE ,CE ⊥PD ,由PD ⊥CE ,PD ⊥PE ,PE ∩CE =E ,可得PD ⊥平面PCE ,∴PD ⊥PC ,取CD 的中点为O ,由直角三角形的中线性质可得OD =OE =OC =OP ,∴O 就是三棱锥P ECD -的外接球的球心，∴外接球的半径为1，外接球的体积34433V R ππ==.【点睛】本题考查线面平行的证明，几何体的外接球的体积问题，求证线面平行，关键是在平面内找到与直线平行的直线，常常利用平行四边形的判定定理和性质定理，求外接球的问题时，关键是找到外接球的球心所在位置，本题题中利用线面、面面垂直的判定与性质，证明了△CPD 和△CED都是直角三角形，这是关键.8．（1）证明见解析；（2）G点即为A1点.【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明DA1⊥平面ABC1D1，然后证得；（2）取CD的中点H，可证DF⊥平面AHE，得到DF⊥AE，进而AE⊥平面DFA1，从而判定G 点即为A1点.【详解】（1）连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，又AB∩AD1=A，所以DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，所以DA1⊥AE．（2）如图所示，G点即为A1点，证明如下：由（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，可证DF⊥平面AHE，所以DF⊥AE，又DF∩A1D=D，所以AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG．。

2024版高考复习A版数学考点考法PPT讲解：直线、平面垂直的判定和性质

考点二平面与平面垂直的判定和性质 1.二面角 1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.记此角为θ, 当θ=90°时,二面角叫做直二面角. 3)二面角的取值范围:[0,π].
由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC=60°,可求得BH=1,EH= 3 .以H为坐
标原点, HC 的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-
xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),
G(2,0, 3 ),则CG=(1,0, 3 ), AC =(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),
面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=1 AC=2,CM
2
= 2 BC= 4 2 ,∠ACB=45°.所以OM= 2 5,CH= OC MC sin ACB= 4 5.所以
3
3
3
OM
5
点C到平面POM的距离为 4 5 .
5
考法二判定或证明平面与平面垂直的方法 1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l⊂β⇒α⊥β(主要方法); 2.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,并计算其大小为90°); 3.利用平行的传递性:α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ.
例2 (2021全国乙文,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面 ABCD,M为BC的中点,且PB⊥AM. (1)证明:平面PAM⊥平面PBD; (2)若PD=DC=1,求四棱锥P-ABCD的体积.
解析 (1)证明:由于PD⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,则PD⊥AM,又PB

高考数学(人教a版,理科)题库：直线、平面垂直的判定及其性质(含答案)

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.答案 B3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是()．A．P A＝PB＝PCB．P A⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面P AB、平面PBC、平面P AC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B4. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有()．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A二、填空题7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的个数是________．解析如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.答案3个10. 如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)若AB 1⊥BC 1，且∠B 1BC ＝60°，求证：A 1C ∥平面AB 1D .解析 (1)∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴B 1D ⊥AC .又∵BC ⊥AC ，B 1D ∩BC ＝D ，∴AC ⊥平面BB 1C 1C .(2) ⎭⎬⎫AB 1⊥BC 1AC ⊥BC 1AB 1与AC 相交≠⇒⎭⎬⎫BC 1⊥平面AB 1C B 1C ⊂平面AB 1C ⇒BC 1⊥B 1C ， ∴四边形BB 1C 1C 为菱形，∵∠B 1BC ＝60°，B 1D ⊥BC 于D ，∴D 为BC 的中点．连接A 1B ，与AB 1交于点E ，在三角形A 1BC 中，DE ∥A 1C ，∴A 1C ∥平面AB 1D .12．如图所示，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DB＝BC ，DB ⊥AC ，点M 是棱BB 1上一点．(1)求证：B 1D 1∥平面A 1BD ；(2)求证：MD ⊥AC ；(3)试确定点M 的位置，使得平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .(1)证明由直四棱柱，得BB 1∥DD 1，又∵BB 1＝DD 1，∴BB 1D 1D 是平行四边形，∴B 1D 1∥BD .而BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，∴B 1D 1∥平面A 1BD .(2)证明 ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴BB 1⊥AC .又∵BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1＝B ，∴AC ⊥平面BB 1D .而MD ⊂平面BB 1D ，∴MD ⊥AC .(3)解当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ，如图所示．∵N 是DC 的中点，BD ＝BC ，∴BN ⊥DC .又∵DC 是平面ABCD 与平面DCC 1D 1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1，∴BN ⊥平面DCC 1D 1.又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，即BMON 是平行四边形．∴BN ∥OM .∴OM ⊥平面CC 1D 1D .∵OM ⊂平面DMC 1，∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M 是BD 的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N 是BC 的中点，证明：AN ∥平面CME ；(2)证明：平面BDE ⊥平面BCD .(3)求三棱锥D －BCE 的体积．(1)证明连接MN ，则MN ∥CD ，AE ∥CD ，又MN ＝AE ＝12CD ，∴四边形ANME 为平行四边形，∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ，∴AN ∥平面CME .(2)证明 ∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，∴AN ⊥平面BCD .由(1)，知AN ∥EM ，∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD .(3)解 V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·|EM |＝13×22×42×2＝83.14．如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1綉BB 1，AB ＝AC ＝AA 1＝22BC ，B 1C 1綉12BC .(1)求证：A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)若D 是BC 的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)若BC ＝2，求几何体ABC －A 1B 1C 1的体积．(1)证明 ∵AB ＝AC ＝22BC ，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形． ∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD 綉C 1B 1，∴四边形C 1CDB 1为平行四边形， ∴B 1D ∥C 1C ，B 1D ⊄平面A 1C 1C 且C 1C ⊂平面A 1C 1C ， ∴B 1D ∥平面A 1C 1C .(3)解连接AD ，DC 1，V ＝V 三棱柱A 1B 1C 1－ABD ＋V 四棱锥C －AA 1C 1D ＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.。

直线、平面垂直的判定及其性质(人教A版)(含答案)

直线、平面垂直的判定及其性质（人教A版）一、单选题(共12道，每道8分)1.在空间，下列命题正确的是( )①如果直线a，b都与直线平行，那么a∥b②如果直线a与平面β内的直线b平行，那么a∥β③如果直线a与平面β内的直线b，c都垂直，那么a⊥β④如果平面β内的直线a垂直于平面α，那么α⊥βA.①③B.①④C.②④D.②③答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系2.已知α，β，γ是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是( ) A.B.C.D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：面面垂直的判定3.给出下列关于互不相同的直线m，，n，平面α，β及点A的四个命题：①若m⊂α，∩α=A，点A∉m，则与m不共面；②若m，是异面直线，∥α，m∥α，且n⊥，n⊥m，则n⊥α；③若∥α，m∥β，α∥β，则∥m；④若⊂α，m⊂α，∩m=A，∥β，m∥β，则α∥β．其中为假命题的是( )A.①B.②C.③D.④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系4.如图，在正方体中，点P是CD上的动点，则直线与直线所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定5.如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为1的正三角形，O为△ABC的中心，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A. B. C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间中直线与平面之间的位置关系6.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使，则三棱锥D-ABC的体积为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的体积7.将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱锥D-ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②AC⊥BD；③三棱锥D-ABC的体积是．其中正确命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间位置关系与距离8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=，PA=2，则△PCD的面积为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质9.（上接试题8）异面直线BC与AE所成的角的大小为( )A.90°B.60°C.45°D.30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角10.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，侧棱PA垂直于底面，且PA=3，则直线PC与平面ABCD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：直线与平面所成的角11.（上接试题10）异面直线PB与CD所成角的正切值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：异面直线及其所成的角12.（上接试题10，11）四棱锥P-ABCD的表面积为( )A.80B.68C.60D.48答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积第11页共11页。

人教A版高中数学必修二2.3直线平面垂直的判定及其性质含

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2．3.1 直线与平面垂直的判定预习课本P64～66，思考并完成以下问题[新知初探]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足．(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.[点睛](1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.[点睛] 判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．3．直线与平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.(4)线面角θ的范围：0°≤θ≤90°.[点睛] 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．[小试身手](1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行( )(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b( )(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α( )答案：(1)×(2)√(3)×2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( ) A．平行B．垂直C．在平面α内D．无法确定解析：选D 当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．3.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有________________________________________________________________________；(2)与AP垂直的直线有________________________________________________________________________．解析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.∴PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°，即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC对直线与平面垂直的判定定理的理解[典例] 下列说法正确的有________(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，故②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．[答案] ②(1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．[活学活用]1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC解析：选C ∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.2．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.答案：①③④线面垂直的判定[典例] 如图，在三棱锥SABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[证明] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论．[活学活用]如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ . 直线与平面所成角[典例] 三棱锥所成角的余弦值．[解] 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO .则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC ，∴AO ＝BO ＝CO ，∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23×32a ＝33a ， ∴cos ∠SAO ＝AOSA ＝33， ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33.求斜线与平面所成的角的步骤(1)作角：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角的大小为________；(2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角的大小为________；(3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为________．解析：(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB ，∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.答案：(1)45° (2)30° (3)90°层级一学业水平达标1．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m ⊥β的是( )A ．α∥β，且m ⊂αB ．m ∥n ，且n ⊥βC ．m ⊥n ，且n ⊂βD ．m ⊥n ，且n ∥β解析：选B A 中，由α∥β，且m ⊂α，知m ∥β；B 中，由n ⊥β，知n 垂直于平面β内的任意直线，再由m ∥n ，知m 也垂直于β内的任意直线，所以m ⊥β，符合题意；C 、D 中，m ⊂β或m ∥β或m 与β相交，不符合题意，故选B.2．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上皆有可能解析：选D 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1A ，B 1B 与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线平行；A 1B 1，B 1C 1与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线相交；A 1B 1，BC 与底面ABCD 所成的角相等，此时两直线异面．故选D.①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直； ④若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直．A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④解析：选D ①②不正确．4.如图，α∩β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且BA ⊥α，BC ⊥β，那么直线l 与直线AC 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．不确定解析：选C ∵BA ⊥α，α∩β＝l ，l ⊂α，∴BA ⊥l .同理BC ⊥l .又BA ∩BC ＝B ，∴l ⊥平面ABC .∵AC ⊂平面ABC ，∴l ⊥AC .5.如图所示，若斜线段AB 是它在平面α上的射影BO 的2倍，则AB与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°解析：选A ∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.6．已知直线l ，a ，b ，平面α，若要得到结论l ⊥α，则需要在条件a ⊂α，b ⊂α，l ⊥a ，l ⊥b 中另外添加的一个条件是________．答案：a ，b 相交7.如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°8．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．解析：如图，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA.又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.∴平行四边形ABCD为菱形．答案：菱形9.如图，在四面体ABCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.证明：取CD的中点为G，连接EG，FG.又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC.∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCD A 1B 1C 1D 1为正方体，易得B 1C ⊥BC 1，B 1C ⊥D 1C 1，BC 1∩D 1C 1＝C 1，BC 1⊂平面ABC 1D 1，D 1C 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1.∵E ，F 分别为A 1B 1，CD 的中点，∴EF ∥B 1C ，∴EF ⊥平面AC 1，即∠EAO 为直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角．在Rt △EOA 中，EO ＝12EF ＝12B 1C ＝22， AE ＝A 1E 2＋AA 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＝52， ∴sin ∠EAO ＝EO AE ＝105. ∴直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值为105. 层级二应试能力达标1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，与AD 1垂直的平面是 ( )A ．平面DD 1C 1CB ．平面A 1DB 1C ．平面A 1B 1C 1D 1D ．平面A 1DB答案：B①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．其中正确的是( )A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④ 解析：选 B 过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确．故选B.A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m解析：选 B 根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B 正确．4.如图，四棱锥S ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SBB ．AB ∥平面SCDC ．SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：选D 选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．5.如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．解析：连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝5，则tan∠FEB＝55.答案：5 56.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足________时，空间四边形中的两条对角线互相垂直．(填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况)解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC⊥BD，则AC⊥DE，AC⊥BE.折叠后，AC与DE，AC与BE依然垂直，所以AC⊥平面BDE，所以AC⊥BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC⊥BD.答案：AC⊥BD(或四边形ABCD为菱形、正方形等)7．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB 1⊂平面AA 1B 1B ， ∴A 1C 1⊥AB 1.又∵BA 1∩A 1C 1＝A 1，∴AB 1⊥平面A 1BC 1. (2)连接A 1D .设AB ＝AC ＝AA 1＝1， ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∴∠A 1DA 是AD 与平面A 1B 1C 1所成的角．在等腰直角三角形A 1B 1C 1中，D 为斜边的中点， ∴A 1D ＝12×B 1C 1＝22.在Rt △A 1DA 中，AD ＝A 1D 2＋A 1A 2＝62. ∴sin ∠A 1DA ＝A 1A AD ＝63，即AD 与平面A 1B 1C 1所成角的正弦值为63.8.如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，D 是A 1B 1的中点． (1)求证C 1D ⊥平面AA 1B 1B ；(2)当点F 在BB 1上的什么位置时，会使得AB 1⊥平面C 1DF ？并证明你的结论．证明：(1)∵ABC A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴A 1C 1＝B 1C 1＝1，且∠A 1C 1B 1＝90°. 又D 是A 1B 1的中点， ∴C 1D ⊥A 1B 1.∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥C 1D ，又A 1B 1∩C 1D ＝D ， ∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B .(2)作DE ⊥AB 1交AB 1于E ，延长DE 交BB 1于F ，连接C 1F ，则AB 1⊥平面C 1DF ，点F 为所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.2．3.2 平面与平面垂直的判定预习课本P67～69，思考并完成以下问题1．二面角的定义、表示分别是怎样的？2．二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？3．面面垂直是怎样定义的？4．面面垂直的判定定理的内容是什么？[新知初探]1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：αABβ，在α，β内，分别取点P，Q时，可记作PABQ；当棱记为l时，可记作αlβ或PlQ.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角αlβ的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．[点睛] 二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.2．平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．②画法：记作：α⊥β.(2)两平面垂直的判定定理：①文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．②图形语言：如图．③符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.[点睛] 定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手](1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直( )(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°()答案：(1)√(2)√2．在二面角αlβ的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角αlβ的平面角，则必须具有的条件是( )A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D3．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是( )A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.面面垂直的判定[典例] 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .证明：平面AEC ⊥平面AFC .[证明] 如图，连接BD ，设BD ∩AC 于点G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，所以EG ⊥平面AFC .因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .(1)证明平面与平面垂直的方法：①利用定义：证明二面角的平面角为直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．(2)根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．[活学活用]1.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D ∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面AC，平面PAB⊥平面AC，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB ⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．2.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.二面角的求法[典例] (1)如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中：①二面角D′ABD的大小为________．②二面角A′ABD的大小为________．(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角ABCO的大小．[解析] (1)①在正方体ABCDA′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′ABD的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′ABD的大小为45°.②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′ABD的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′ABD的大小为90°.[答案] ①45°②90°(2)解：如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为点D ，连接AD ，设CO ＝a . ∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC . 又AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD . 而AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADO 是二面角A BC O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC . ∵∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，CO ＝a ， ∴AO ＝a ，AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ， ∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a＝32. ∴∠ADO ＝60°，即二面角A BC O 的大小是60°.(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法．[活学活用]如图，把等腰直角三角形ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD ＝AC .(1)求证：平面ABD ⊥平面ABC . (2)求二面角C BD A 的余弦值．解：(1)证明：取AB 的中点O ，连接OD ， ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴DO ⊥AB ，且DO ＝22AD . 连接OC ，同理得CO ⊥AB ，且CO ＝22AC ， ∵AD ＝AC ，∴DO ＝CO ＝22AC .∵CD ＝AC ，∴DO 2＋CO 2＝CD 2， ∴△CDO 为等腰直角三角形，DO ⊥CO ，又AB ∩CO ＝O ，∴DO ⊥平面ABC .又∵DO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面ABC . (2)取BD 的中点E ，连接CE ，OE . ∵△BCD 为等边三角形，∴CE ⊥BD . 又∵△BOD 为等腰直角三角形，∴OE ⊥BD . ∴∠OEC 为二面角C BD A 的平面角．由(1)可证得OC ⊥平面ABD ，∴OC ⊥OE . ∴△COE 为直角三角形．设BC ＝1，则CE ＝32，OE ＝12， ∴cos ∠OEC ＝OE CE＝33，即二面角C BD A 的余弦值为33.折叠问题[典例] 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，E 为BC 的中点，把△ABE 和△CDE 分别沿AE ，DE 折起，使点B 与点C 重合于点P .(1)求证：平面PDE ⊥平面PAD ； (2)求二面角P AD E 的大小． [解] (1)证明：由AB ⊥BE ，得AP ⊥PE ，同理，DP ⊥PE .又∵AP ∩DP ＝P ，∴PE ⊥平面PAD . 又PE ⊂平面PDE ， ∴平面PDE ⊥平面PAD .(2)如图所示，取AD 的中点F ，连接PF ，EF ，则PF ⊥AD ，EF ⊥AD ， ∴∠PFE 就是二面角P AD E 的平面角．又PE ⊥平面PAD ，∴PE ⊥PF . ∵EF ＝AB ＝2，PF ＝22－1＝1，∴cos ∠PFE ＝PF EF ＝22. ∴二面角P AD E 的大小为45°.折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．[活学活用]如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又∵MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN ，∴CD ⊥A ′N .∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又∵A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又∵A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .层级一学业水平达标1．从空间一点P 向二面角αl β的两个面α，β分别作垂线PE ，PF ，E ，F 为垂足，若∠EPF ＝60°，则二面角αl β的平面角的大小是( )A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．不确定解析：选C 若点P 在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P 在二面角外，则二面角的平面角为60°.2．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：β∩γ＝l ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．3．已知直线a，b与平面α，β，γ，下列能使α⊥β成立的条件是( )A．α⊥γ，β⊥γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，a∥αD．a∥α，a⊥β解析：选D 由a∥α，知α内必有直线l与a平行．而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D 由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值为( )A.32B.22C. 2D. 3解析：选C 如图所示，连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝22.∴tan ∠A 1OA＝122＝ 2.6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫作x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．答案：平行7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，则平面EBD与平面AA1C1C的位置关系是________．(填“垂直”“不垂直”其中的一个)解：如图，在正方体中，CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD.又AC⊥BD，CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面AA1C1C.又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面AA1C1C.答案：垂直8．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角PBCA的大小为________．解析：如图，取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角PBCA的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°9．如图，在圆锥PO中，AB是⊙O的直径，C是A B上的点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面PAC.证明：如图，连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.又PO⊥底面ABC，AC⊂底面ABC，所以AC⊥PO.因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC 于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角EBDC的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD.又SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角EBDC的平面角．设SA＝AB＝1.在△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角EBDC为60°.层级二应试能力达标1．(浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β.( )A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A ∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为( )A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定解析：选 D 反例：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是CD，C1D1的中点，二面角DAA1E与二面角B1ABD的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选D.3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是( )A．①③B．②③C．②④D．③④解析：选B 对于①，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点D的在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB＝2∶3∶4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点D的射影不可能在FC上，故④不可能成立．故选B.4.如图，在四面体PABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不一定成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABC解析：选D 因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF⊂平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必须有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选D.5．正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成角为60°，则该四棱锥的高为__________．解析：如图，过点S作SO⊥平面ABCD，连接OC，则∠SCO＝60°，∴SO＝sin 60°·SC＝32×23＝3.答案：36.如图，二面角αlβ的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB 与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，由图得sin θ＝AO AB＝AC AB ·AOAC＝sin 30°·sin 60°＝34.答案：347．已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a ，得到三棱锥A BCD ，如图．(1)当a ＝2时，求证：AO ⊥平面BCD .(2)当二面角A BD C 的大小为120°时，求二面角A BC D 的正切值．解：(1)证明：在△AOC 中，AC ＝a ＝2，AO ＝CO＝ 2. ∴AC 2＝AO 2＋CO 2，∴AO ⊥CO .∵AO ⊥BD ，BD ∩CO ＝O ，∴AO ⊥平面BCD .(2)折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，∴∠AOC 是二面角A BD C 的平面角，即∠AOC ＝120°.在△AOC 中，AO ＝CO ＝2， ∴AC ＝ 6.如图，过点A 作CO 的垂线交线段CO 的延长线于点H . ∵BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO ＝O ， ∴BD ⊥平面AOC .∵AH ⊂平面AOC ，∴BD ⊥AH .又∵CO ⊥AH ，CO ∩BD ＝O ，∴AH ⊥平面BCD . ∴AH ⊥BC .过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK . ∵AK ∩AH ＝A ，∴BC ⊥平面AHK . ∵HK ⊂平面AHK ，∴BC ⊥HK . ∴∠AKH 为二面角A BC D 的平面角．在△AHO 中，AH ＝62，OH ＝22， ∴CH ＝CO ＋OH ＝2＋22＝322. 在Rt △CKH 中，HK ＝22CH ＝32. 在Rt △AHK 中，tan ∠AKH ＝AH HK ＝6232＝63.∴二面角A BC D 的正切值为63.8．如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成45°角，点E 是PD 的中点．(1)求证：BE ⊥PD .(2)求二面角P CD A 的余弦值．解：(1)证明：连接AE .∵PA ⊥底面ABCD ，∴∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角， ∴∠PDA ＝45°.∴PA ＝DA . 又∵点E 是PD 的中点，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥AB . ∵∠BAD ＝90°，∴BA ⊥DA . 又∵PA ∩AD ＝A ，∴BA ⊥平面PDA . 又∵PD ⊂平面PDA ，∴BA ⊥PD . 又∵BA ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE . ∵BE ⊂平面ABE ，∴BE ⊥PD . (2)连接AC .在直角梯形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝2，∴AC ＝CD ＝ 2.∵AC 2＋CD 2＝AD 2，∴AC ⊥CD . 又∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂底面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵AC ∩PA ＝A ，∴CD ⊥平面PAC . 又∵PC ⊂平面PAC ，∴PC ⊥CD ， ∴∠PCA 为二面角P CD A 的平面角．在Rt △PCA 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋22＝ 6.∴cos ∠PCA ＝AC PC＝26＝33. ∴所求的二面角的余弦值为33. 2．3.3&2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质预习课本P70～72，思考并完成以下问题[新知初探]1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． (2)图形语言：(3)符号语言：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b .(4)作用：①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线．[点睛] (1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法． (2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．2．平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． (2)图形语言：(3)符号语言：。

高考数学考点32 直线、平面垂直的判定及其性质

温馨提示：考点32 直线、平面垂直的判定及其性质一、简答题1.(2017·北京高考文科·T18)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PA⊥BD.(2)求证:平面BDE⊥平面PAC.(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.【命题意图】本题主要考查空间几何体的位置关系与夹角运算,意在培养学生的空间想象能力及运算能力.【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,由(1)知PA⊥平面ABC,因为PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因为PA∥平面BDE,又DE=平面BDE ∩平面PAC, 因为PA ⊂平面PAC,所以PA ∥DE, 因为D 是AC 中点,所以E 为PC 的中点,所以DE=1,所以S △BDC =12S △ABC =12×12×2×2=1, V E-BCD =13×1×DE=13×1×1=13.2.(2017·天津高考文科·T17)如图,在四棱锥P-ABCD 中,AD ⊥平面PDC,AD ∥BC,PD ⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值. (2)求证:PD ⊥平面PBC.(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【命题意图】本题考查异面直线所成角、线面垂直、线面角等基础知识.考查空间想象能力,运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)因为AD ∥BC,所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角, 因为AD ⊥平面PDC,所以AD ⊥PD,在Rt △PDA 中,AP==所以,cos ∠DAP=ADAP=所以,异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为(2)因为AD ⊥平面PDC,所以AD ⊥PD,又因为AD ∥BC,PD ⊥BC, 又PD ⊥PB,BC ∩PB=B,所以PD ⊥平面PBC.(3)过点D 作AB 的平行线交BC 于点F,连接PF,则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD ⊥平面PBC,故PF 为DF 在平面PBC 上的射影,所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD ∥BC,DF ∥AB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又AD ⊥DC,故BC ⊥DC,在Rt△DCF 中,可得DF=在Rt △DPF 中,sin ∠DFP=PD DF=所以,直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为. 3.(2017·山东高考文科·T18)由四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD,(1)证明:A 1O ∥平面B 1CD 1.(2)设M 是OD 的中点,证明:平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【命题意图】本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质,意在考查考生的空间想象能力,转化与化归能力.【证明】(1)取B 1D 1的中点O 1,连接CO 1,A 1O 1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.4.(2017·全国甲卷文·T18)(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD.(2)若△PCD的面积为,求四棱锥P-ABCD的体积.【命题意图】面面垂直的性质,线面平行的判定定理以及几何体的体积,意在考查学生的逻辑推理能力和运算能力.【解析】(1)在平面ABCD 内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC ∥AD,又BC ⊄平面PAD,AD ⊂平面PAD,故BC ∥平面PAD.(2)取AD 的中点M,连接PM,CM,由AB=BC=12AD 及BC ∥AD,∠ABC=90°,得四边形ABCM 为正方形,则CM ⊥AD,因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PM ⊥AD,PM ⊥平面ABCD,因为CM ⊂平面ABCD,所以PM ⊥CM,设BC=x,则取CD 的中点N,连接PN,则PN ⊥CD,所以PN=2x,因为△PCD 的面积为2,所以错误！未找到引用源。

高中数学必修二2.3 直线、平面垂直的判定及其性质课堂练习及答案

2.3直线、平面垂直的判定及其性质●知识梳理直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

PaL2注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β3直线与平面、平面与平面垂直的性质●知能训练一．选择题1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（）A．α⊥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β2．在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是（）A．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为B．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为C．AD⊥平面PBC且三棱椎D-ABC的体积为D．BD⊥平面PAC且三棱椎D-ABC的体积为3．如图，在正四棱锥S-ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC．则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（）A．B．C．D．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD：BC：AB=2：3：4，E、F分别是AB、CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折．给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC．在翻折过程中，可能成立的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．③④5．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6，则该球的表面积为（）A．16πB．24πC．32πD．48π6．设O是空间一点，a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥αB．当a∩b=O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥βC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α时，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c7．已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线（）A．只有一条，不一定在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，一定在平面α内D．有无数条，一定在平面α内8．如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角9．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF=G．现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P-AEF中必有（）A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面11．如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足．分别为B，D，若增加一个条件，就能推出BD⊥EF．现有①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF．那么上述几个条件中能成为增加条件的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（）A．5 B．8 C．10 D．613．经过一条直线与一个平面垂直的平面个数是（）A．1 B．2 C．无数D．以上答案都不正确A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：315．已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条16．三棱锥P-ABC的高为PH，若P到△ABC的三边的距离相等，若H在△ABC内，则H 为△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．垂心或内心17．如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在（）A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部18．如图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题19．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）20．已知平面α，β和直线，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．（i）当满足条件时，有m∥β；（ii）当满足条件时，有m⊥β．（填所选条件的序号）21．已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD∈平面α，CD⊥AC，则面面垂直的有．22．设△ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA1⊥平面α于点A1，BB1⊥平面α于点B1，CC1⊥平面α于点C1，G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，则GG1= ．23．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中所有真命题的序号是．24．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为．25．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值等于．26．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，则它的5个面中，互相垂直的面有对．第24题第25题第26题三．解答题27．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、P、Q、M、N分别是棱AB、AD、DD1、BB1、A1B1、AD1的中点，求证：（Ⅰ）直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）直线AC1⊥平面PQMN．28．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形（Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．29．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E-ABC的体积．30．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．求证：BC⊥平面ACD；【参考答案】1-5 BCABD 6-10 CCDDA 11-15 BBDAB 16-18 AAB19. DM⊥PC（或BM⊥PC等）20.③⑤；②⑤21.平面ABC⊥平面ACD 22.5 23.①②24.线段CB1 25. 1 26.527.证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AD1，∵AD1∥BC1，且F、P分别是AD、DD1的中点，∴FP∥AD1，∴BC1∥FP，又FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）如图，连接AC、BD，则AC⊥BD，∵CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CC1⊥BD；又AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，又AC1⊂平面ACC1，∴BD⊥AC1；又∵M、N分别是A1B1、A1D1的中点，∴MN∥BD，∴MN⊥AC1；同理可证PN⊥AC1，又PN∩MN=N，∴直线AC1⊥平面PQMN．28. （Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB∩AC=A，∴AA1⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AA1∩AC=A，∴直线BC⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）解：取AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点，则O 为AC1的中点．连接MD，OE，则MD∥AC，MD=AC，OE∥AC，OE=AC，∴MD∥OE，MD=OE，连接OM，则四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO，∵DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，∴DE∥平面A1MC，∴线段AB上存在一点M（线段AB的中点），使直线DE∥平面A1MC．29.（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴V E-A B C=S△ABC•AA1=×××1×2=30.解：（Ⅰ）在图1中，可得AC＝BC＝2取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD=O，∴BC⊥平面ACD（6分）另解：在图1中，可得AC＝BC＝2从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD。

高考数学专题直线、平面垂直的判定及其性质

高考数学专题直线、平面垂直的判定及其性质最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.知识梳理1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l 与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理两直线垂直于同一个平面，(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()解析(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l⊂α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的所有直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×(2)×(3)×(4)×2.下列命题中错误的是()A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的. 答案 D3.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n解析因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l，故选C.答案 C4.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A.α⊥β且m⊂αB.α⊥β且m∥αC.m∥n且n⊥βD.m⊥n且α∥β解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确.答案 C5.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析若AB⊥CD，BC⊥CD，则可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB ＝1，BC＝AD＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD. 答案 B6.在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心.(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心.解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.图1图2(2)如图2，∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心. 答案(1)外(2)垂考点一线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点.证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P－ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴P A⊥CD，又∵AC⊥CD，且P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC.而AE⊂平面P AC，∴CD⊥AE.(2)由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝P A.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB.又∵AB⊥AD，且P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，而PD⊂平面P AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.规律方法(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a ，l ⊥a ，l ⊂β⇒l ⊥α).(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想. 【训练1】如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB . 求证：P A ⊥CD .证明因为AB 为圆O 的直径，所以AC ⊥CB . 在Rt △ABC 中，由3AC ＝BC 得，∠ABC ＝30°. 设AD ＝1，由3AD ＝DB 得，DB ＝3，BC ＝2 3. 由余弦定理得CD 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 30°＝3，所以CD 2＋DB 2＝BC 2，即CD ⊥AB . 因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥CD ，由PD ∩AB ＝D 得，CD ⊥平面P AB ，又P A ⊂平面P AB ，所以P A ⊥CD . 考点二面面垂直的判定与性质【例2】 (2015·山东卷)如图，三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点. (1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH . 证明 (1)连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH .在三棱台DEF －ABC 中， AB ＝2DE ，G 为AC 中点，可得DF ∥GC ，且DF ＝GC ，则四边形DFCG 为平行四边形. 从而M 为CD 的中点，又H 为BC 的中点，所以HM∥BD，又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，故BD∥平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.规律方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理.(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【训练2】如图，在三棱锥P－ABC中，平面P AB⊥平面ABC，P A⊥PB，M，N分别为AB，P A的中点.(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC＝BC，求证：P A⊥平面MNC.证明(1)因为M，N分别为AB，P A的中点，所以MN∥PB.又因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为P A⊥PB，MN∥PB，所以P A⊥MN.因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.因为平面P AB⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AB.所以CM⊥平面P AB.因为P A⊂平面P AB，所以CM⊥P A.又MN∩CM＝M，所以P A⊥平面MNC.考点三平行与垂直的综合问题(多维探究)命题角度一多面体中平行与垂直关系的证明【例3－1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又因为B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.规律方法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. 命题角度二平行垂直中探索性问题【例3－2】如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点.(1)证明：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.(1)证明连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点，∴OF为△ACE的中位线，∴OF∥AE，又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF.(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE中点H，连接DP，PH，CH，∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊂平面ABCD，CD ⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE的中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM⊂平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.规律方法(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点. 【训练3】在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ＝3，AB ＝2BC ＝2，AC ⊥FB .(1)求证：AC ⊥平面FBC . (2)求四面体FBCD 的体积.(3)线段AC 上是否存在点M ，使EA ∥平面FDM ？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由. (1)证明在△ABC 中，因为AC ＝3，AB ＝2，BC ＝1，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为AC ⊥FB ，BC ∩FB ＝B ，所以AC ⊥平面FBC .(2)解因为AC ⊥平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以AC ⊥FC . 因为CD ⊥FC ，AC ∩CD ＝C ，所以FC ⊥平面ABCD . 在等腰梯形ABCD 中可得CB ＝DC ＝1，所以FC ＝1. 所以△BCD 的面积为S ＝34.所以四面体FBCD 的体积为V F －BCD ＝13S ·FC ＝312.(3)解线段AC 上存在点M ，且点M 为AC 中点时，有EA ∥平面FDM .证明如下：连接CE ，与DF 交于点N ，取AC 的中点M ，连接MN . 因为四边形CDEF 是正方形，所以点N 为CE 的中点.所以EA ∥MN .因为MN ⊂平面FDM ，EA ⊄平面FDM ，所以EA ∥平面FDM .所以线段AC 上存在点M ，且M 为AC 的中点，使得EA ∥平面FDM 成立.[思想方法]1.证明线面垂直的方法：(1)线面垂直的定义：a 与α内任何直线都垂直⇒a ⊥α； (2)判定定理1：⎭⎬⎫m ，n ⊂α，m ∩n ＝A l ⊥m ，l ⊥n ⇒l ⊥α； (3)判定定理2：a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β； 2.证明面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ⊂α，a ⊥β⇒α⊥β. 3.转化思想：垂直关系的转化[易错防范]1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件.2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视.3.面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β( ) A.若l ⊥β，则α⊥βB.若α⊥β，则l ⊥mC.若l∥β，则α∥βD.若α∥β，则l∥m解析由面面垂直的判定定理，可知A选项正确；B选项中，l与m可能平行；C选项中，α与β可能相交；D选项中，l与m可能异面.答案 A2.(2017·深圳四校联考)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是假命题的为()A.过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB.过点P垂直于直线l的直线在平面α内C.过点P垂直于平面β的直线在平面α内D.过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面β解析由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，因此也平行于平面β，因此A正确.过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确.根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确.答案 B3.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面P AEC.平面PDF⊥平面P AED.平面PDE⊥平面ABC解析因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确.在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，∴BC⊥平面P AE，DF∥BC，则DF⊥平面P AE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面P AE.因此选项B，C均正确.答案 D4.设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l⊥β，则α⊥βC.若α⊥β，l⊥α，则l∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析A中，α∥β或α与β相交，不正确.B中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，B正确.C中，l∥β或l⊂β，C不正确.D中，l与β的位置关系不确定.答案 B5.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④解析由题意知，BD⊥平面ADC，且AC⊂平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错.答案 B二、填空题6.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________.解析∵P A⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC，则△P AB，△P AC为直角三角形.由BC⊥AC，且AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC，从而BC⊥PC，因此△ABC，△PBC也是直角三角形.答案 47.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可).解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.又PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)8.α，β是两个平面，m，n是两条直线.(1)如果m⊥α，n∥α，那么m，n的位置关系是________；(2)如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角的大小关系是________.解析(1)由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n.(2)因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等.因为α∥β，所以n 与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等.答案(1)垂直(2)相等三、解答题9.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D－BCG的体积.(1)证明由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BCG.又EF ∥AD ，所以EF ⊥平面BCG .(2)解在平面ABC 内，作AO ⊥BC ，交CB 的延长线于O ，如图由平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BDC ＝BC ，AO ⊂平面ABC ，知AO ⊥平面BDC .又G 为AD 中点，因此G 到平面BDC 的距离h 是AO 长度的一半.在△AOB 中，AO ＝AB ·sin 60°＝3，所以V D －BCG ＝V G －BCD ＝13S △DBC ·h ＝13×12BD ·BC ·sin 120°·32＝12.10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ；(2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由.(1)证明因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥DC .又因为AC ⊥DC ，且PC ∩AC ＝C ，所以DC ⊥平面P AC .(2)证明因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ，所以AB ⊥AC .因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB .又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面P AC .又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AC .(3)解棱PB 上存在点F ，使得P A ∥平面CEF .理由如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ，又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥P A .又因为P A ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ，所以P A ∥平面CEF .能力提升题组(建议用时：25分钟)11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.则下列说法正确的是( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n ⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误.答案 C12.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心解析由题意可知P A，PE，PF两两垂直，所以P A⊥平面PEF，从而P A⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩P A＝P，所以EF⊥平面P AO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心.答案 A13.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面P AE；④∠PDA＝45°.其中正确的有________(把所有正确的序号都填上).解析由P A⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得P A⊥AE，又由正六边形的性质得AE⊥AB，P A∩AB＝A，得AE⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，∴AE⊥PB，①正确；又平面P AD⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面PBC不成立，②错；由正六边形的性质得BC∥AD，又AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC ∥平面P AD ，∴直线BC ∥平面P AE 也不成立，③错；在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2AB ，∴∠PDA ＝45°，∴④正确.答案 ①④14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由.(2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下：因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .又AB ⊂平面P AB .CM ⊄平面P AB .所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD .又BD ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， M 为AD 的中点，连接BM ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB .又BD⊂平面PBD，所以平面P AB⊥平面PBD.15.(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)解由(1)知BF⊥平面ACFD，所以BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中，BF＝3，DF＝32，得cos ∠BDF＝217.所以，直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为21 7.。