空间向量及其加减运算PPT教学课件
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9.5空间向量及其运算第一课时空间向量及其加减与数乘运算-PPT课件
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想一想： 1．空间向量的概念及表示方法 如同平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量． 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向 量或相等的向量． 2．空间向量的加法、减法与数乘运算的定义 (1)与平面向量一样，我们定义空间向量的加法、减法与数乘向量，运算如下： OB― →＝ OA― →＋ AB― → ＝a＋b； CA― →＝ OA―→－ OC― → ＝ a－ b； OP― →＝ λa(λ∈ R)．
法二：用三角形法则求：作 MN― →＝ a， NP― →＝b，则有如图(2)所示 MP― →＝ a＋ b. 2．向量的减法运算结果仍是向量，它可以看作是加法运算即 a－ b＝a＋ (－b)，例如上 面图(2)中 MP― →－ MN― →＝ NP― →，图 (1)中 AB―→－ AD―→＝ DB― →.
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做一做： 1．两个向量 (非零向量)的模相等是两个向量相等的 ( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
)
解析：两个向量相等，则其模也相等，反之，则不一定正确．应选 B.
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典例精析
空间向量及其加减运算 课件
[解析] ∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴A→C＝A→B＋A→D，A→ B′＝A→B＋AA→′，AD→′＝A→D＋A→ A′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝(A→B＋A→D)＋(A→B＋AA→′)＋(A→D＋ AA→′) ＝2(A→B＋A→D＋AA→′)． 又∵A→ A′＝C→ C′，A→D＝B→C， ∴A→B＋A→D＋A→ A′
命题方向 空间向量的数乘运算 [例 3] 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，O 为底面 A1B1C1D1 的中心，设A→A1＝c，A→B＝a，A→D＝b，用 a、b、c 表示下列向量： B→C1、A→C1、B→D1、C→O.
[分析] 用 a、b、c 表示待求向量，应充分利用长方体的 特殊性和向量的“自由”移动性求解．
[点评] (1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方 向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的 必要不充分条件．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运 算法则及运算律是解决好这类问题的关键．
命题方向 空间向量的加减运算
[例 2] 如图，已知长方体 ABCD—A′B′C′D′，化 简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
[答案] B
[分析] 给出的命题都是对向量的有关概念及加减法的理 解，解答本题应紧扣向量及其加减运算的有关概念进行．
[解析] |a|＝|b|，说明 a 与 b 模相等，但方向不确定，由 a 的相反向量 b＝－a，故|a|＝|b|，从而 B 正确．只定义加法具有 结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有A→B＋A→D＝ A→C正确．
＝A→B＋B→C＋C→C′ ＝A→C＋C→C′＝AC→′， ∴A→C＋AB→′＋AD→′＝2AC→′.
[点评] 利用向量解决立体几何中的问题的一般思路：
空间向量及其加减运算 课件
(4)特殊向量
长度为0
0
模为1 相同
相等
相等
相反
－a
2.空间向量的加减法与运算律
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运 算(如图)：
空间向 量的加
减法
O→B＝O→A＋A→B＝___a_＋__b___；
C→A＝O→A－O→C＝___a_－__b___.
加法运 (1)交换律：a＋b＝___b_＋__a___； 算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_)___.
【答案】 A
【名师点评】 在进行减法运算时,可将减去 一个向量转化为加上这个向量的相反向量； 而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量 在哪个平面内，然后与平面向量求和一样， 运用向量运算的平行四边形法则、三角形法 则及多边形法则来求即可．
空间向量及其有关概念
例1 下列几个命题： (1)所有的单位向量都相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)零向量没有方向；
(4)对于任何向量a、b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.Βιβλιοθήκη 其中正确命题的序号为( )
A．(1)，(2)
B．(4)
C．(3)，(4)
D．(1)，(4)
【解析】 对于(1)：单位向量是指长度等于1 个单位长度的向量，而其方向不一定相同， 它不符合相等向量的定义,故(1)错；对于(2)： 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量, 故(2)错；对于(3)：零向量有方向，只是没有 确定的方向，故(3)错；对于(4)：(4)中为向量 模的不等式，正确，故选B. 【答案】 B
空间向量及其加减运算
1.空间向量 (1) 定 义 ： 在 空 间 ， 把 具 有 _大__小___ 和方__向____ 的量叫做空间向量． (2) 长 度 ： 向 量 的 _大__小___ 叫 做 向 量 的 长 度 或 __模____．
空间向量及其加减运算23页PPT
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
空间向量及其加减运算 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
空间向量及其加减运算 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。
空间向量及其加减运算 课件
中运算的结果为向量1 的共有(
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
)
① + + 1 ;②1 + 1 1 + 1 1 ;③ − 1 +
1 1 ;④1 + + 1 1 .
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
解析：根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1 ;②1 + 1 1 +
相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1 的模一定相等的向
量一共有 4 个.其中正确命题的序号为
.
解析：①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同;
1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;③ − 1 + 1 1 = 1 + 1 1 =
1 ;④1 + + 1 1 = 1 + 1 1 = 1 ;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案：D
对空间向量的有关概念理解不清致误
【典例】 下列说法中,错误的个数为(
解析： = + + =- − +
=-a-b+c=c-a-b.
答案：B
空间向量及相关概念的理解
【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相
等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1
中,1 与1 是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中, 与是
)
(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,
课件9:3.1.1 空间向量及其加减运算
【解析】1.方法一(统一成加法运算)：
原式＝AB CD AC BD AB BD DC CA AD DA 0.
方法二 利用OA OB BA :
原式＝AB CD AC BD
AB AC CD BD CB CD BD
DB BD 0.
方法三(利用 AB OB OA )： 设O是空间内的任意一点，则
【拓展提升】 1．化简空间向量式的常用思路 (1)统一成加法后利用空间多边形法则化简. (2)利用向量的减法法则，即利用 OA OB BA 化简. (3)利用 AB OB OA，把各个向量转化成与空间的某一点有 关的向量化简.
2．在几何体中用已知向量表示其他向量时的解答技巧 灵活运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路(即沿 几何体的边选择途径)，多个向量运算时，先观察分析 “首尾相接”的向量使之结合，使用减法时，把握“共 起点，方向指向被减向量”.
AA 1 AB 1 AD, 22
x y 1. 2
3AF AB BC CF
AB AD 1 (BA BB) 2
AB AD 1 (AB AA) 2
AD 1 AB 1 AA, 22
x y 1. 2
【拓展提升】利用向量解决几何问题的一般思路
【易错误区】对空间向量的概念理解不到位而致错 【典例】下列说法中，正确的个数为( ) ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②若向量 AB，CD 满足AB CD ，且 AB与CD 同向，则 AB＞CD ； ③若两个非零向量 AB与CD满足 AB CD 0，则 AB与CD为相反 向量．
(3)首尾相接的向量之和等于由起始向量的始点指向末尾 向量的终点，因此，求空间若干向量之和时，可通过平 移将它们转化为首尾相接的向量，如图：
空间向量及其加减运算 课件
特殊向量
● 理解特殊向量应注意的几个问题 ● (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0， 单位向量e的模|e|＝1. ● (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的． ● (3)注意零向量的书写，必须是0这种形式． ● (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
并标出化简结果的向量．
(1)A→B＋B→C；(2)A→B＋A→D＋A→A1；
(3)A→B＋A→D＋12C→C1；(4)13(A→B＋A→D＋A→A1)． 思路点拨： 利用空间向量加减法运算的平行四边形法
则和三角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
(1)A→B＋B→C＝A→C.
2分
(2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
空间向量用有__向__线___段__表示
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
● (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个 平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、 减法运算类似于平面向量的加、减法运算．
3.1.1空间向量及其加减运算第一课时.ppt
有 p x yb
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量,
a
，b
，如
b 有什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
解(3)
uuur
AC
uuur
uAuuBr1
uuAurD1
uuur
uuur
D1
C1
(
AD uuur
AB) uuur
(
AuAu1ur
AB)
(
AA1
AD)A1
B1
2(AD AB AA1)
uuuur
2AC1
D
C
x 2.
A
B
4.例题2
在 若正uAuEur方 体uAuAuuAur' C x1中uAuBur,点 yEuAu是Dur 面，A求C实’ 的数中x,y心. ,
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量,
a
，b
，如
b 有什么位
置关系？
rC
ur p
P
br
A aB
xa, yb分别与a，b共线，
xa, yb都在a，b确定的平面内
并且此平行四边形在 a，b确定的平面内，
p xa yb在a，b确定的平面内,即p与a，b共面
解(3)
uuur
AC
uuur
uAuuBr1
uuAurD1
uuur
uuur
D1
C1
(
AD uuur
AB) uuur
(
AuAu1ur
AB)
(
AA1
AD)A1
B1
2(AD AB AA1)
uuuur
2AC1
D
C
x 2.
A
B
4.例题2
在 若正uAuEur方 体uAuAuuAur' C x1中uAuBur,点 yEuAu是Dur 面，A求C实’ 的数中x,y心. ,
A
(1) AB 1 (BC BD) 2
(2) AG 1 ( AB AC )
D
2
G
B
M
C
练习参考答案
A
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
D
＝AB BM
MG
1 ( AB 2
AC )
＝BM MG 1 ( AB AC )
G
2
BM MG MB
B
M
C MG
———共线向量与共面向量
空间向量 及其加减运算
复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量．
空间向量及其加减运算_课件_(人教版)
2OF OA OC
O
将三式相加，得
2OD OE OF 2OA OB OC D
A
F E B
C
OA OB OC OD OE OF .
K=0？
b
a
ka
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A ,C A , B , A , D , A , A , AB AD AA
BD , BA BC BB , , AB AD AA DB , DA DC DD ,
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
A1
An1
An
A2
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0
A1
A2
A3 An
An1
AC AA'
AC CC ' AC '
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： 1 (3) ( AB AD AA' )． 3
O
将三式相加，得
2OD OE OF 2OA OB OC D
A
F E B
C
OA OB OC OD OE OF .
K=0？
b
a
ka
⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律：a + b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)； ⑶数乘分配律： λ(a + b) =λa +λb ；
⑷数乘结合律： λ(μa ) = (λμ) a
推广
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
A ,C A , B , A , D , A , A , AB AD AA
BD , BA BC BB , , AB AD AA DB , DA DC DD ,
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An A1 An
A1
An1
An
A2
A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形，则它们的和为零向量．即：
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An 1 An An A1 0
A1
A2
A3 An
An1
AC AA'
AC CC ' AC '
A
D B
C
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量
例1已知平行六面体ABCD A' B' C ' D'，化简下 列向量表达式，并标出化简结果的向量： 1 (3) ( AB AD AA' )． 3
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b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用
同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有
关结论仍适用于它们。
2020/10/16
6
空间向量的加减法
b
O
C
a+ b
B
A
a
2020/10/16
OBOAAB CAOAOC
7
空间向量及其加减运算
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
2020/10/16
12
例 1 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，请用
AB,AD ,AA 1表示下列向量。
(1 ) A 1C
D1
C1
(2)B D 1
A1
B1
(3)D B1
解 ： ( 1 ) A 1 C A B A D - A A 1 D
成立吗？
8
a
D
D1 A1
C1 B1
CD
C
A
BA
B
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a
到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.
底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.
2020/10/16
9
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，请分别标出下列向量
D1
(1)ABADAA1 A1
(2)ABAA1AD
(a b ) c a (b c )
15
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第三章 空间向量与立体几何
2020/10/16
1
平面向量复习
⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示； 字母表示法：用字母a、b等或者用有向线段
的起点与终点字母 A B 表示．
相等的向量：长度相等且方向相同的向量．
BDΒιβλιοθήκη A 2020/10/16C
2
⒉平面向量的加减运算 ⑴向量的加法：
C
( 2 ) B D 1 A D A B A A 1 A
B
( 3 ) D B 1 A A 1 A B A D
2020/10/16
13
练习 1 在空间四边形ABCD中, 化简
A
(1) BA(BCBD)
(2) AG(ABBC)
D
B C
2020/10/16
(1)BCBDBG BABGGA
G
(2)AGABBG BGBCCG
2020/10/16
4
空间向量及其加减运算
平面向量
空间向量
概 念
具有大小和方向的量
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律
(a b ) c a (b c )
2020/10/16
5
思考：空间任意两个向量是否可能异面？ B
平面向量
空间向量
概 念
具有大小和方向的量
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律
(a b ) c a (b c )
2020/10/16
加法交换律 abba
加法结合律
C1 B1
D A
C B
2020/10/16
10
加法结合律
( a b ) c a ( b c )
O
a
A
b B
2020/10/16
O
a
C
b+c
C
c
A
b
c
B
11
空间向量的加法运算律 加法交换律： abba 加法结合律： (a b ) c a (b c )
推广
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
b a
平行四边形法则 ⑵向量的减法
三角形法则
2020/10/16
a 三角形法则
b a
3
⒊平面向量的加法运算律 加法交换律： abba 加法结合律： (a b ) c a (b c )
推广
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n 1 A n A 1 A n
A 1 A 2 A 2 A 3 A 3 A 4 A n A 1 0
14
空间向量及其加减运算
平面向量
概 念
具有大小和方向的量
加 法
减
加法:三角形法则或 平行四边形法则
法 减法:三角形法则
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
运 加法交换律 abba 算 加法结合律 律
(a b ) c a (b c )
2020/10/16
加法交换律 abba 加法结合律