等比数列求和课件
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高一数学等比数列前项求和PPT教学课件
(3) 重要性质: an= am• q n-m
m+n=p+q an •am = ap•aq
{ (4) 求和公式 Sn=
a1-anq
1-q
(q=1)
Sm=a1 +a2 +a3 +…+am a S2m-Sm= m+1 +am+2 +am+3 +…+a2m S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+a2m+3+…+a2m
能?!
只要你把你手上 的纸对折38次我就 能沿着它登上月球。
哇…
(1)
等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
(2) 通项公式: an=a1• q n-1
(3) 重要性质: an= am• q n-m
m+n=p+q an •am = ap•aq
下面前38项和， 已知哪些条件？
列式： M=1+2+4+8+…+237（页）
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
(2) 通项公式: an=a1•qn-1
(3) 重要性质: an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
这两个重要性质的 变化.应用可大哩! 你掌握了吗?
你能登上 月球吗?
高度： 75•M （µm）
a a q 已知：等比数列 { n}， 1， ，n
求：Sn
等比数列前n项求和公式
高一数学等比数列求和2(PPT)4-3
知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘 米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。 四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ； 四卤化物相反的是，全部 四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。 有机锗化合 物 温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷 （(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结 构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都 较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。 制取方法编辑 锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经 高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗 经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑 工业用途 锗 锗 锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航 空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘 米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。 四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ； 四卤化物相反的是，全部 四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。 有机锗化合 物 温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷 （(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结 构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都 较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。 制取方法编辑 锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经 高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗 经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑 工业用途 锗 锗 锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航 空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
数列求和的几种方法课件ppt
２、设法消去中间项:
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
（2）乘公比,错位相减(对“A·G”型);
（3）裂通项,交替相消
1、转化成等差、等比数列求和
（公式法、分组求和法、错位相减法、 裂（并）项法求和）
练习： 指出下列求和的方法：
合并项求和
特殊的数列，在求数列的和时，可将一些项放在一起先求和，然后再求Sn.
[例] 在各项均为正数的等比数列中，若
的值.
求和： (1)Sn=1+(3+4)+(5+6+7)+…+(2n-1+2n+ …+3n-2); (2)Sn=12-22+32-42+…+(-1)n-1·n2.
(1)一般应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为适用特点的形式，从而求和．
数列求和的方法
(2)解决非等差、等比和，两种思路： ①转化的思想，即化为等差或等比数列． ②裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等求和．
数列求和的常用方法:
(1) 拆项（对A±G型 如果拆项不明显，写出通项，如例2 ）
na1+ d
n(n+1)(2n+1)
n2(n+1)2
倒序相加
令
例题1. 求和
(1)
[解Байду номын сангаас原式=
n(n+3)/2
(x≠1)
(x=1)
分析:原式=(1+2+3+…+n)+
我们把这种类型的数列称为“A+G”型。而求此类数列的和，一般是把数列的每一项分成两项，再分别利用等差和等比数列的求和公式求解。此方法称为分组求和法。
等比数列求和ppt
sn 1 2 3 n sn n n 1 n 2 1
2sn (n 1) (n 1) (n 1)
n(n 1)
n(n 1) sn 2
倒序相加法
从等比数列的定义出发：
ak q(k 2) ak 1
得到s30 1 2 4 229 230 1 错位相减法
等 比 数 列 求 和
在等比数列an 中，sn a1 a2 an1 an
说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转 化为等比数列求和的问题.
因式分解下列式子:
(1).1 x (1 x)(1 x) 1 x x(1 x) 2 2 2 3 (2).1 x (1 x)(1 x x ) 1 x x x(1 x x )
ak q ak 1 ak q ak 1 0
即在等比数列中的第k项与第k-1项q倍的差等于0
等比数列的求和公式
等比数列前n项和：Sn=a1+a2+a3+ · n · ·+a 即：Sn=a1+a1q+a1q2+··+a1qn-2+a1qn-1 ·· ·· qSn= a1q+a1q2+a1q3+··+ a1qn-1+a1qn ·· ··
错 位 相 减 法
错位相减得： （1-q）Sn=a1-a1qn
a1 (1 q n ) a1 an q 当q 1时，sn 1 q 1 q
当q 1时，sn na1
等比数列求和公式推导方法欣赏：运用等比定理
an a2 a3 q (q 1) a1 a2 an1 a2 a3 an q a1 a2 an1
高一数学等比数列求和2(PPT)3-1
则有am an ap aq
木卫二（Europa）：希腊神话中腓尼基（Phoenicia）公主欧罗巴（Europa），阿革诺耳（Agenor）的女儿。大神宙斯（Zeus）化作一头白色的公牛将 其劫至克里特岛（Crete），并与她生下了三个儿子：弥诺斯（Minos）、拉达曼堤斯（Rhadamanthys）和萨耳佩冬（Sarpedon）。欧罗巴是希腊神话 中的一位美丽的腓尼基公主，其他三颗伽利略卫星也被马里乌斯以希腊神话人物分别命名为伊奥（Io，木卫一）、盖尼米德（Ganymede，木卫三）和卡利 斯托（Callisto，木卫四），这四个人物皆以俊美著称。但是在世纪中叶以前，相当长的一段时期内，这一套命名并未被天文学家所认可。早期的文献中多 以位置编号将“欧罗巴”称作“木卫二”。89年发现了木卫五，比之前已知的所有木星卫星都更靠内。979年旅行者号探测器又发现了三颗内侧卫星，至此， “欧罗巴”的位置排到了第六。尽管如此，编号名仍然； / ；承袭下来，并偶有使用中文因对音等问题，亦通行以“木 卫二”指称“Europa”。行星特征编辑组成木卫二与木卫一的组成与类地行星相似：主要由硅酸盐岩石组四颗伽利略卫星四颗伽利略卫星成。但是与木卫一 不同，木卫二有一个薄薄的冰外壳。从伽利略号发回的数据表明木卫二有内部分层结构，并可能有一个小型金属内核。但是木卫二的表面不像一个内层太阳 系的东西，它极度的光滑：只能看到极少的数百米高的地形。凸出的记号看来只是反照率特性或是一些不大的起伏。外观木卫二的表面照片与地球海洋上的 冰的照片相似。这可木卫二十字纹木卫二十字纹能是因为木卫二表面的冰以下有一层液态的水，或许有千米深，由引潮力带来的热量保持液态。若假设成立， 这将是除地球之外，太阳系中唯一一个有大量的液态水存在的地方。木卫二最醒目的外观是遍布全球的一串串十字条纹。较大的一个向外扩散到淡色物质地 带，长近千米。最近的有关它们的起源理论是：它们由一连串火山喷出物或喷泉产生。来自伽利略号两次接近木卫二发回的看来验证了早期的理论：木卫二 上的环形山很少，只发现三个直径大于千米的环形山。这表明它有一个年轻又活跃的表面。然而，旅行者号做了一小部分的表面高清晰度地图，木卫二的表 面精确年龄是一个悬而未决问题。[]但一些活动很显然正在发生，有些区域看来很像春天到来时两极海洋处冰块融化的情景。木卫二表面和内部的确切性质 还不很清楚，但有一个表面“海洋”的确切证据。木卫二是太阳系中另一颗与众不同的卫星。木卫二是太阳系中最。
木卫二（Europa）：希腊神话中腓尼基（Phoenicia）公主欧罗巴（Europa），阿革诺耳（Agenor）的女儿。大神宙斯（Zeus）化作一头白色的公牛将 其劫至克里特岛（Crete），并与她生下了三个儿子：弥诺斯（Minos）、拉达曼堤斯（Rhadamanthys）和萨耳佩冬（Sarpedon）。欧罗巴是希腊神话 中的一位美丽的腓尼基公主，其他三颗伽利略卫星也被马里乌斯以希腊神话人物分别命名为伊奥（Io，木卫一）、盖尼米德（Ganymede，木卫三）和卡利 斯托（Callisto，木卫四），这四个人物皆以俊美著称。但是在世纪中叶以前，相当长的一段时期内，这一套命名并未被天文学家所认可。早期的文献中多 以位置编号将“欧罗巴”称作“木卫二”。89年发现了木卫五，比之前已知的所有木星卫星都更靠内。979年旅行者号探测器又发现了三颗内侧卫星，至此， “欧罗巴”的位置排到了第六。尽管如此，编号名仍然； / ；承袭下来，并偶有使用中文因对音等问题，亦通行以“木 卫二”指称“Europa”。行星特征编辑组成木卫二与木卫一的组成与类地行星相似：主要由硅酸盐岩石组四颗伽利略卫星四颗伽利略卫星成。但是与木卫一 不同，木卫二有一个薄薄的冰外壳。从伽利略号发回的数据表明木卫二有内部分层结构，并可能有一个小型金属内核。但是木卫二的表面不像一个内层太阳 系的东西，它极度的光滑：只能看到极少的数百米高的地形。凸出的记号看来只是反照率特性或是一些不大的起伏。外观木卫二的表面照片与地球海洋上的 冰的照片相似。这可木卫二十字纹木卫二十字纹能是因为木卫二表面的冰以下有一层液态的水，或许有千米深，由引潮力带来的热量保持液态。若假设成立， 这将是除地球之外，太阳系中唯一一个有大量的液态水存在的地方。木卫二最醒目的外观是遍布全球的一串串十字条纹。较大的一个向外扩散到淡色物质地 带，长近千米。最近的有关它们的起源理论是：它们由一连串火山喷出物或喷泉产生。来自伽利略号两次接近木卫二发回的看来验证了早期的理论：木卫二 上的环形山很少，只发现三个直径大于千米的环形山。这表明它有一个年轻又活跃的表面。然而，旅行者号做了一小部分的表面高清晰度地图，木卫二的表 面精确年龄是一个悬而未决问题。[]但一些活动很显然正在发生，有些区域看来很像春天到来时两极海洋处冰块融化的情景。木卫二表面和内部的确切性质 还不很清楚，但有一个表面“海洋”的确切证据。木卫二是太阳系中另一颗与众不同的卫星。木卫二是太阳系中最。
等比数列求和PPT教学课件2
学生填写：
父母喜欢你，老师欣赏你，你的感受是（
）；
反之（
）。
你是班干部，威信很高，你的感受是（
）；
反之（
）。
你的学习成绩很优秀，你的感受是（
）；
反之（
）。
你自认为长得不好看，同学也因为你的丑嘲笑你，你的
感受是（
）；同学鼓励你，你的感受是（ ）。
结论
青少年是否具有自尊自信，能否正确对待自尊自信， 要受到多种因素的影响。这些因素包括：父母、老师对 自己的态度和评语；在学校集体中的位置；学习成绩的 优劣；个人对自己的认识和评价能力等等。
因为上述因素的影响，常常使青少年不能正确对待自 尊自信。所以，正确认识自尊自信，掌握正确的尺度， 对青少年树立自尊自信是十分重要的。
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。
看图片并讨论： 问：图片中的女孩只因别人的一句话而盲目减
肥，摧残自己的身体，最终住进了医院。她的这种 做法是自尊自信的表现吗？你在生活中有没有类似 的行为呢？
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。
请看图片并分析自卑的危害：
轮椅上的科学巨匠
正确认识自尊自信，掌握正确的尺度
1、要自尊自信，不要虚荣忌妒。 2、要自尊自信，不要自卑。 3、要自尊自信，不要自傲自负。
“虚心使人进步，骄傲使人落后”。 虚心是自尊自信的表现。
等比数列前n项和
第2课时
一.复习旧知识:
1.等比数列前n项和公式
a1 (1qn ) a1 anq
1q
1q
S n
na1
( q 1) ( q 1)
2.等差数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中的有关性质
等比数列求和公式PPT教学课件(1)
拉余着强我一饮同三喝酒大。我白勉而强喝别了。三大杯就告别。
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
问问他其们姓的姓氏名，，原是是金金陵陵人在人此，地作客客此。 。
及下船，舟子喃喃曰：“莫说相公痴，更有痴似相 公我走者上。自己”船的时候，替我驾船的人喃喃自语地说：“不要说先生痴，还有像你一样
痴的人 。”
思考：
叙事是本文的线索，请同学们在文中找出记叙文 的要素——看雪的时间、目的地、人物、事件？
解：由已知，每年的产量组成了一个首 项为5，公比为1.1
5(11.1n ) 30,整理得1.1n 1.6 11.1
的等比数列。故有
两边取对数：
n lg1.1 lg1.6,即n
lg 1.6 lg 1.1
0.20 0.04
（ 5 年）.
典型练习题
1.已知数列lgx+lgx2+ lgx3+…+ lgx10=11
一、知识回顾：
1等比数列的an定 1 义 q ： an
2通项公式a：n a1qn1
3等比中项：
a,G,b成等比 G2 ab G ab
二、等比数列求和公式 :
1+2+22+23+24+…+263=？
S64=1+2+4+8+…+262+263
①① 2得到：
2S64=2+4+8+16…+263+264 ②对①、②进行比较.
（强饮三大白）自己本不善饮，但对此景，当此 时逢此人，却不可不饮，而且连饮三大杯，由此 我们可以想象“酒逢知己千杯少”的名惊喜、愉 悦（湖中焉得更有此人）这一惊叹虽发之于二客， 实为作者的心声，但见作者笔之巧。也可感受到 作者的惆怅。知己难觅，难求。为此古人曾发 “人生得一知己足矣”的感慨，而我不经意之间， 却遇到了，但紧接着却又是无奈的分别并且难有 后约之期。想及如此，怎能不令人惆怅、怅惘！
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