云南省2016届高三上学期第一次月考数学(文)试题

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云南省玉溪高二上学期第一次月考数学试题(解析版)

一、单选题1．设，则集合的元素个数是（）{}{}22(,)|,(,)|230A x y y x B x y x x y ===-+-=A B ⋂A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】求集合的元素个数，就是求直线与圆的交点的个数，只要判断A B ⋂y x =22(1)4x y -+=直线与圆的位置关系即可.【详解】由可得， 22230x x y -+-=22(1)4x y -+=即B 为圆心为，半径为的圆上的点构成的集合， (1,0)2而A 为直线上的点构成的集合， 0x y -=因为圆心为到直线的距离， (1,0)0x y -=2d ==<所以直线与圆相交，y x =22(1)4x y -+=所以直线与圆的交点的个数为2， y x =22(1)4x y -+=所以集合的元素个数为2， A B ⋂故选：C2．抛物线的焦点坐标是 28y x =-A ． B ．C ．D ．()2,0()2,0-()4,0()4,0-【答案】B【解析】先求出的值，再求抛物线的焦点坐标得解.p 【详解】由题得. 28,422pp p =∴=∴=，所以抛物线的焦点坐标为. ()2,0-故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．双曲线上的两个焦点分别为与，焦距为10；M 是该曲线上一点，且221(0)16y x a a -=>1F 2F ，则（）19MF =2MF =A ．3 B ．15C ．3或15D ．15或18【答案】C【分析】运用双曲线的定义，结合双曲线的焦距定义、双曲线的性质进行求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为10，所以，2105c c =⇒=又因为，所以， 216b =2225169a c b =-=-=因此双曲线的半实轴长为，3所以双曲线上的点到焦点的距离最小值为， 532-=由双曲线的定义可知：，或， 2221236923632MF M M F F MF -=⨯=⇒⨯=⇒==>-2152MF =>故选：C4．新型冠状病毒（简称新冠）传播的主要途径包括呼吸道飞沫传播、接触传播、气溶胶传播等．其中呼吸道飞沫传播是指新冠感染的患者和正常人在间隔左右的距离说话，或者是患者打1m 喷嚏、咳嗽时喷出的飞沫，可以造成对方经过呼吸道吸入而感染．如果某地某天新冠患者的确诊数量为，且每个患者的传染力为2（即一人可以造成两人感染），则5天后的患者人数将会是原来1a 的（）倍A ．10B ．16C ．32D ．63【答案】D【分析】由等比数列求和公式即得.【详解】根据题意，设每天新冠患者的确诊人数组成数列，{}n a 则是公比为2的等比数列，所以5天后的新冠患者人数为，{}n a 6161(12)6312a S a ⨯-==-所以5天后的患者人数将会是原来的63倍. 故选：D.5．已知方程的根分别为，则下列式子正确的是（） 30,e 0,ln 0x x x x x x +=+=+=123,,x x x A ． B ．C ．D ．123x x x >>231x x x >>312x x x >>213x x x >>【答案】C【分析】将题目转化为直线与函数交点横坐标问题即可.y x =-3,e ,ln x y x y y x ===【详解】依题意得的图象与的图象的交点的横坐标依次为,作图3,e ,ln x y x y y x ===y x =-123,,x x x 可知:.2130x x x <=<故选：C.6．已知，那么（） ()1cos π3α+=3πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 13-13【答案】C【分析】先根据诱导公式求得的值，再根据诱导公式将化简即可求解．cos α3πsin 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】由，则，()1cos πcos 3αα+=-=1cos 3α=-所以．3π1sin cos 23αα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：C ．7．玉溪市图书馆地下停车场的收费标准如下：停放30分钟以内（含30分钟）免费，停放不足1小时按1小时计收．停放第1小时收费3元，以后3小时以内（含3小时）每小时收费2元，超过3小时且不超5小时每小时收费1元，超过5小时每小时收费0.5元．王老师昨天去图书馆开会停车6.5小时，他应交费金额为（） A ．3.5 B ．9C ．11.5D ．12【答案】C【分析】设为不小于的最小整数，例如，，，再结合题意即可得到停{}x x {}55={}4.75={}4.35=车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式，将代入求解即可． x y 6.5x =【详解】设为不小于的最小整数，例如，，，{}x x {}55={}4.75={}4.35=则依题意得停车时长（小时）与停车费（元）的函数关系式为，x y {}{}{}0,00.53,0.51321,14914,46110.56,6x x x x y x x x x ≤≤⎧⎪<≤⎪⎪+⨯-<≤=⎨⎪+⨯-<≤⎪+⨯->⎪⎩所以时，． 6.5x ={}110.5 6.5611.5y =+⨯-=故选：C ．8．已知函数如满足：，，且时，()()y f x x =∈R (3)()f x f x +=-()()0f x f x -+=[3,0)x ∈-，则（）8()log (4)f x x =+(2024)f =A ． B ．C ．0D ．3-13-13【答案】B【分析】先判断出函数是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可． ()f x 【详解】由，则， (3)()f x f x +=-(6)(3)()f x f x f x +=-+=所以函数是周期为6的周期函数， ()f x 又，即， ()()0f x f x -+=()()f x f x =--所以．81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-故选：B ．二、多选题9．一名射击运动员射击一次击中目标的概率为，若他连续射击两次，则下列正确的是（）13A ．事件“两次均击中”与“恰击中一次”为互斥事件B ．事件“两次均未击中”与“至少击中一次”互为对立事件C ．事件“第一次击中”与“两次均击中”相互独立D ．该运动员击中目标的概率为59【答案】ABD【分析】根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的概念判断ABC 选项；先求出该运动员未击中目标的概率，进而可得该运动员击中目标的概率，即可判断D 选项.【详解】事件“两次均击中”与“恰击中一次”不能同时发生，属于互斥事件，故A 正确；事件“两次均未击中”的对立事件是“至少击中一次”，故B 正确；事件“两次均击中”包含了事件“第一次击中”，故C 错误；该运动员未击中目标的概率为，11411339⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则该运动员击中目标的概率为，故D 正确.45199-=故选：ABD.10．对于函数）2π()sin 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A ．周期为B ．在区间上单调递增πππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．当时函数取到最大值D ．若，则 ππ(Z)4x k k =+∈122ππ(),563f a a ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2a =【答案】AC【分析】先利用余弦的倍角公式和辅助角公式，对函数化简得，利用函数()f x 1()sin22f x x =的图像与性质，逐一对选项ABC 对进行分析，即可得出选项ABC 的正误；选项D ，利用sin y x =条件得到，再利用正弦的倍角公式，借助齐次式即可求出结果. 4sin25α=【详解】因为， 2π11()sin 2sin2sin2322f x x x x x x x ⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭所以最小正周期为，所以选项A 正确；2ππT ω==对于选项B ，时，，由的性质知选项B 不正确；ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭2ππ2,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin y x =对于选项C ，当时，，，所以选项Cππ(Z)4x k k =+∈π22π(Z)2x k k =+∈1π1()sin 2π222f x k ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭正确；对于选项D ，由，得到，即，所以，即2()5f a =12sin225α=12sin2sin cos 25ααα==2tan 21tan 5αα=+，解得或， 22tan 5tan 20αα-+=1tan 2α=tan 2α=又，所以，故选项D 错误.ππ,63a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1tan 2α=故选：AC.11．已知，，则下列说法正确的是（） 22:10100A x y x y +--=A 22:62400B x y x y +-+-=A A ．两圆位置关系是相交B ．两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C ．上到直线的点有四个A A 3100x y +-=D ．若为上任意一点，则(,)P x y B A 22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【分析】先将，的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即A A B A 可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线的距离，再比较与的大小即可判断C ；依题意得3100x y +-=d 2d A R 22max(5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ． ()5,5A B A 【详解】对于A ，由，即，其圆心为，半径22:10100A x y x y +--=A ()()225550x y -+-=()5,5A为，A R =，即，其圆心为，半径为，22:62400B x y x y +-+-=A ()()223150x y -++=()3,1B -B R =则两圆的圆心距为，即两圆相交，故A 正确；AB ==A B A B R R AB R R -<<+对于B ，联立两圆的方程，化简得，故B 错误； 22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩3100x y +-=对于C ，由到直线的距离为，且，所以()5,5A 3100x y +-=d 2d =上到直线的点有四个，故C 正确；A A 3100x y +-=对于D ，依题意得的几何意义为到上点的距离的平方的最大值，22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦()5,5A B A所以结合选项A 得，故D 正确．()(2222max(5)(5)90B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦故选：ACD ．12．如图，在正方体中，点E 为的中点，点F 为线段上的动点（不含端1111ABCD A B C D -1A B BC点），则下列命题正确的是（）A ．存在点F ，使得平面B ．存在点F ，使得平面EF P 11A C D EF ⊥1BDC C ．对任意点F ， D ．对任意点F ，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面1F ADE A ADE V V --=得到的图形始终是梯形【答案】BCD【分析】分别取，的中点，，构造面面即可判断A ；先证明面BD 1BC M N EMCN A 11AC D 1AC ⊥，再根据当，即为中点时，有平面即可判断B ；先证明面1BDC 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 1A B ⊥，从而推出点和点到面的距离相等，进而即可判断C ；如图，过点D ，E ，F 的平ADE F 1A ADE 面截正方体表面得到四边形，再根据平行四边形的判定即可判断D ． PFDQ 【详解】对于A ，分别取，的中点，，BD 1BC M N 由且，面，而面，则面， 1EM A D A EM ⊄11A C D 1⊂A D 11A C D EM ∥11A C D 又且，面，而面，则面， 11MC A C A MC ⊄11A C D 11AC ⊂11A C D MC ∥11A C D 因为，且面，所以面面， EM MC M ⋂=,EM MC ⊂EMCN EMCN A 11AC D 又总与面相交于点，所以不存在这样的点使得面， EF EMCN E F EF P EMCN 即不存在这样的点使得平面，故A 错误；F EF P 11A C D对于B ，在正方体中，1111ABCD A B C D -由在面上的射影为，则， 1AC ABCD AC 1AC BD ⊥又在面上的射影为，则， 1AC 11BCC B 1B C 11AC BC ⊥又，且面，所以面， 1BD BC B ⋂=1,BD BC ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 当，即为中点时，平面， 1EF A C A F BC EF ⊥1BDC 所以存在这样的点F ，使得平面，故B 正确；EF ⊥1BDC对于C ，如图所示，在正方体中，有面，面， 1111ABCD A B C D -11A D A ADE BC A ADE 又，，且，面，则面， 1A B AE ⊥1A B AD ⊥AE AD A ⋂=,AE AD ⊂ADE 1A B ⊥ADE 所以点和点到面的距离相等，所以，故C 正确；F 1A ADE 1F ADE A ADE V V --=对于D ，如图，过点D ，E ，F 的平面截正方体表面得到四边形，且，与不PFDQ PF QD A DF PQ 平行，所以四边形始终是梯形，所以D 正确．PFDQ故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是作出正方体，结合正方体的结构特征，以及正方体的性质，进而即可判断．三、填空题13．如图，在平行六面体中，，且，ABCD A B C D -''''60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒4CB CD ==，则的长为____________．5CC '=CA '【分析】，结合向量数量积运算，求模即可．11CA CD CB CC =++【详解】设，，，则，，CD a =u u u r rCB b =u u r r CC c =' 4a b == 5c = 由，60BCD BCC DCC ∠=∠='∠='︒则，， 45cos 6010a c b c ⋅=⋅=⨯⨯︒= 44cos 608a b ⋅=⨯⨯︒=又， CA CD CB CC a b c =++=++'' 则CA a b c =++==='= ．所以线段 CA '14．已知是关于x 的方程的一根，则_________． i -20(,)x px q p q +-=∈R p q -=【答案】1【分析】利用方程根的意义建立等式，再借助复数等于0即可求出，，进而即可求解． p q 【详解】由是关于x 的方程的一根， i -20(,)x px q p q +-=∈R 则，()()()2i i 1i 0p q q p -+⋅--=---=所以，得，则100q p --=⎧⎨-=⎩10q p =-⎧⎨=⎩1p q -=故答案为：1．15．已知为椭圆上一动点，点R 满足且，则的最(4,0),(,)Q P x y 2212516x y +=||2QR = 0PR QR⋅= ||PR大值是______________．【分析】结合向量的性质，得到，越大，||越大，由数形结2222||||4PR PQ QR PQ =-=- || PQ PR合可知，当P 点为椭圆的左顶点时，可取得最大值．【详解】由知，在以为圆心，为半径的圆上，如图，||2QR =R Q 2∵，∴，0PR QR ⋅= PR QR ⊥ ，2222||||4PR PQ QR PQ ∴=-=- 结合图形知，当P 点为椭圆的左顶点时，取最大值，||PQ 因为椭圆的左顶点坐标为，圆心，2212516x y +=(5,0)-(4,0)Q 所以的最大值为，||PQ 4(5)9--=∴． ||PR=．16．如图，，是双曲线上的两点，是双曲线的右焦点.是以A B ()222210,0x y a b a b -=>>F AFB △F为顶点的等腰直角三角形，延长交双曲线于点.若，两点关于原点对称，则双曲线的离心BF C A C 率为______.【分析】结合双曲线的定义、对称性列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.,a c 【详解】设左焦点为，连接，1F 11,CF AF 依题意：是以为顶点的等腰直角三角形，，两点关于原点对称，AFB △F A C 结合双曲线的对称性可知：四边形是矩形，所以，1AFCF 12AC F F c ==设，则，BF m =11,2AF CF m AF CF m a ====-，,22a m BC m a +=-由，2221122211AF AF FF CF BC BF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩即， ()()()()22222222222m a m c m m a a m ⎧-+=⎪⎨+-=+⎪⎩整理得，. 3m a =222222109104,,4c c a a a ca a +====四、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为2．(1)求抛物线的标准方程；(2)直线l 经过抛物线的焦点，与抛物线相交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程．8AB =【答案】(1)24y x =(2)或10x y --=10x y +-=【分析】（1）由题设抛物线的标准方程为，根据题意求得，代入即可求得抛物线方22y px =p 程；（2）根据题意可得直线的斜率存在且不为0，设，，直线的方程为l 11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-，再联立直线与抛物线方程，化简为关于的一元二次方程；再根据抛物线的焦点弦公式求解即x 可．【详解】（1）由题设抛物线的标准方程为，22y px =又焦点到准线的距离为2，得，2p =所以抛物线的方程为．24y x =（2）结合（1）得抛物线的焦点坐标为，(1,0)当时，，此时，所以直线的斜率存在且不为0，1x =2y =±AB 4=l 设，，直线的方程为，11(,)A x y 22(,)B x y l (1)y k x =-联立，消得， 2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩y 2222(24)0k x k x k -++=因为， ()2242Δ=2+44=16+16>0k k k -所以， 122222244k x k x k++==+所以，解得， 1224228AB x x p k=++=++=1k =±所以直线的方程为或．l 10x y --=10x y +-=18．已知函数在区间上的最大值为6． 2()22cos f x x x m =++π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1)求常数m 的值；(2)将函数的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右()y f x =12平移个单位，得到的图象，求函数的对称中心． π12()y g x =()y g x =【答案】(1)3m =(2) ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求()f x 得常数m 的值；（2）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据正弦函数的对称中心结π()2sin(4)46g x x =-+合整体思想即可求解．【详解】（1）因为， π()2cos 212sin(216f x x x m x m =+++=+++因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，所以．()216max f x m =++=3m =（2）由题知， π()2sin(446g x x =-+因为的对称中心为，2sin 4y x =+(π,4)(Ζ)k k ∈令，得， π4π6x k -=ππ244k x =+所以函数的对称中心为． ()y g x =ππ,4(Ζ)244k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭19．如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与AB D ．现测得，，米．在点C 测得塔顶A 的仰角为．105BCD α∠==︒30BDC β∠==︒600CD =60︒(1)求B 与D 两点间的距离； (2)求塔高．AB【答案】(1)1)+(2)【分析】（1）在中，利用正弦定理求解即可；BCD △（2）在中，利用正弦定理求出，再在中，即可求得．BCD △BC Rt ABC A AB 【详解】（1）在中，，，记，所以，BCD △105α=︒30β=︒CBD γ∠=45γ=︒由正弦定理得， sin sin sin CD BD BC γαβ==又因为sin sin(6045)α=+=所以米．sin 1)sin CD BD αγ⋅==（2）由（1）知sin sinCD BC βγ⋅==所以tan 60AB BC =⋅== 20．2021年4月23日“世界读书日”来临时，某校为了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到下表．组号分组频数频率1 [)0,5 5 0.052 [)5,10 a 0.353[)10,1530 b 4 [)15,2020 0.205[]20,2510 0.10合计100 1(1)求a ，b 的值，并在下图中作出这些数据的频率直方图（用阴影涂黑）；(2)根据频率直方图估计该组数据的众数及中位数（中位数精确到0.01）；(3)现从第4、5组中用比例分配的分层抽样方法抽取6人参加校中华诗词比赛，经过比赛后，第4组得分的平均数，方差，第5组得分的平均数，方差，则这6人得分的平均7x =22s =7y =21t =数和方差分别为多少（方差精确到0.01）？a 2σ【答案】(1)；；作图见解析35a =0.30b =(2)众数的估计值为7.5；中位数的估计值为11.67(3)平均数为7，方差为1.67【分析】（1）根据频率之和为1，以及频数之和为样本容量，即可求解.（2）根据频率分步直方图，可求众数以及中位数.（3）根据平均数和方差的公式即可求解.【详解】（1）∵，∴．5302010100a ++++=35a =∵，∴．0.050.350.200.101b ++++=0.30b =频率直方图如下：（2）该组数据众数的估计值为7.5．易知中位数应在内，设中位数为x ，[)10,15则，解得，故中位数的估计值为11.67．()0.050.35100.060.5x ++-⨯=11.67≈x（3）∵第4组和第5组的频数之比为2∶1，∴从第4组抽取4人，第5组抽取2人．∴这6人得分的平均数， 424727766x y a ⨯+⨯⨯+⨯===方差， ()()()()2222242420210 1.6766s x a t y a σ⎡⎤⎡⎤+-++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==≈即这6人得分的平均数为7，方差为1.67．21．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互,ABCD ABEF 相垂直．活动弹子M ，N分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记AC BF CM BN ．(0CM BN a a ==<< (1)求证：平面；//MN BCE (2)当的长度最小时，求二面角的余弦值．MN A MN B --【答案】(1)证明见解析(2) 13-【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行即可；（2）利用向量法求出的长度取最小值时的坐标，证明是二面角的平面MN ,M N AGB ∠A MN B --角，利用向量法求余弦即可,【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)A C F E，，． CM BN a ==M ∴N ⎫⎪⎭显然平面的一个法向量为，BCE (1,0,0)BA = 而，1)MN =- 因为，平面0⋅= MN BA MN ⊄BCE 所以MN//平面BCE.· ·（2）||MN =当；此时，为中点时，最短， a ||MN M N MN 则，取的中点，连接，， 1111(,0,),(,,0)2222M N MN G AG BG 则，，， 1(2G 141)4，，，，AM AN = BM BN =AG MN ∴⊥BG MN ⊥是二面角的平面角．AGB ∴∠A MN B --，， 111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111(,,244GB =--- ． ·1cos ,3·GA GB GA GB GA GB ∴===- 二面角的余弦值是． ∴A MN B --13-22．已知椭圆C ：的离心率过椭圆C 的上、下顶点． ()222210x y a b a b +=>>e =222x y +=(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为，且直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，点P 关于原点的对称点为E ，点12是椭圆C 上一点，若直线AE 与AQ 的斜率分别为，，证明：．()2,1A -AE k AQ k 0AE AQ k k +=【答案】(1) 22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据圆经过上、下顶点可求，利用离心率和的关系可得答案； b ,,a b c （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出，，求和验证即可.AE k AQ k 【详解】（1）因为圆过椭圆C 的上、下顶点，所以；222x y +=b =又因为离心率， e =c a ==28a =所以椭圆的方程为. 22182x y +=（2）由于直线l 的斜率为，可设直线l 的方程为； 1212y x t =+代入椭圆方程，可得， 2248x y +=222240x tx t ++-=由于直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，所以整理解得, 2244(24)0,t t ∆=-->22t -<<设点，由于点P 与点E 关于原点对称，故, ()()1122,,,P x y Q x y ()11,E x y --； 212122,24x x t x x t +=-=-因为，所以 ()2,1A -211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2)AE AQ y y x y x y k k x x x x ------+++=+=+-++- 112211,,22y x t y x t =+=+ 1221(2)(1)(2)(1)x y x y ---++2112211242()()y y x y x y x x =-++--- 211212121212()()44x x x x tx tx x x x x t x x =--=--+++--+-故，结论得证. 2(24)(2)40,t t t =-----=0AE AQ k k +=。

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案

2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。

云南省大理州2024届高三毕业生第一次复习统一检测数学试题

一、单选题1. 一个多面体的三视图如图所示，其正视图、侧视图都是全等的等腰直角三角形，俯视图为边长为的正方形，则其体积为（）A．B．C．D．2. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且，O 为坐标原点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3. 设全集U =R，集合，则（）A ．{x |-1 <x <4}B ．{x |-4<x <1}C ．{x |-1≤x ≤4}D ．{x |-4≤x ≤1}4.已知函数有两个极值点，（），函数有两个极值点，（），设，则（）A．B．C．D．5. 已知双曲线的左右焦点分别为，，过点且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A 、B 两点，，分别交y 轴于M 、N两点，若△的周长为8，则取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C ．2D ．36. 已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，且平面是边上一动点，直线与平面所成角的正切值的最大值为，则球的表面积为（）A．B．C．D．7. 函数的图象不可能为（）A．B．云南省大理州2024届高三毕业生第一次复习统一检测数学试题云南省大理州2024届高三毕业生第一次复习统一检测数学试题二、多选题三、填空题四、解答题C．D．8. 设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有A．B．C．D．9. 有两组样本数据1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，则这两组样本数据的（）A ．样本平均数相同B ．样本中位数相同C ．样本方差相同D ．样本极差相同10. 已知函数，的零点分别为，，给出以下结论正确的是（）A．B．C．D．11.已知数列满足，，其中表示不超过实数的最大整数，则下列说法正确的是（）A ．存在，使得B ．是等比数列C．的个位数是5D ．的个位数是112. 某企业为普及法制教育，对本单位1500名员工开展了一次法律知识竞赛答题活动.现从中随机抽取100人的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（）A．估计该企业的员工得分在区间内B ．该企业员工竞赛得分不小于90的人数估计为195人C ．估计该企业员工的平均竞赛得分约为74.5D ．该企业员工竞赛得分的第75百分位数约为8313.已知函数，若对任意实数，恒有，则____．14.的展开式中含项的系数是__________．15.已知四面体，则集合中至少有______个元素为正数，至多有_______个元素为负数.16. 的内角所对的边分别为，已知．（1）求角．（2）设为边的中点，的面积为2，求的最小值．17. 已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)证明：不可能是的极值点．18. 已知椭圆的短轴长为2，离心率为，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线AM，AN分别交直线于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k，，求证：为定值．19. 已知等比数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．20. 已知函数的最小正周期为.(1)求的单调递增区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，满足.现有三个条件：①；②；③.请选择其中1个条件，使得既能为锐角三角形也能为钝角三角形，并求的值.21. 对于函数.(1)若，且为奇函数，求a的值；(2)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；(3)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．。

2013年云南省第一次高中毕业复习统一检测数学文 Word版(附答案)

云南省2013届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学（文）试题注意事项：1．本试卷分第1卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线tan3y π=的倾斜角等于A ．B ．3πC D ．02．已知是虚数单位，复数2(1)i i-等于A ．2i -B ．2-C ．22i --D ．22i -+3．某公司有男、女职工1900人，其中男职工1000人．有关部门按男、女比例用分层抽样的方法，从该公司全体职工中抽取x 人进行调查研究，如果抽到女职工27人，那么x 等于 A ．77B ．64C ．57D ．544．要得到函数3sin(2)3y x π=+的图像，只需要将函数3cos 2y x =的图像A ．向右平行移动12π个单位 B ．向左平行移动12π个单位C ．向右平行移动6π个单位D ．向左平行移动6π个单位5．某程序框图如图所示，现输入下列四个函数：1()f x x=，2()f x x x =+，23()log (1)f x x =+，()22x xf x -=-，则输出的函数是 A ．1()f x x=B ．2()f x x x =+C ． 23()log (1)f x x =+D ．()22xxf x -=-6．已知平面向量22(sin ,cos )a x x =，22(sin ,cos )b x x =-，R是实数集，()cos f x a b x x =⋅+．如果0,x R x R ∃∈∀∈0()()f x f x ≤，那么0()f x ＝A ．2B ．1-C ．1-D ．2-7．已知()f x 的定义域为(2,2)-，且222ln ,21,32()245,12,3x x xf x x x x -⎧+-<≤⎪⎪+=⎨⎪--+<<⎪⎩如果2[(1)]3f x x -<，那么x 的取值范围是A ．01x <<B ．0x <或1x >C ．10x -<<或12x <<D ．20x -<<或12x <<8．如果长方体1111ABCD A B C D -的顶点都在半径为9的球O 的球面上，那么长方体1111ABCD A B C D -的表面积的最大值等于A ．668B ．648C ．324D ．1643π9．已知R 是实数集，集合{}2|22,,12A y y x x x R x ==-+∈-≤≤，集合27|,13x B x x R x -⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭，任取x A ∈，则x A B ∈ 的概率等于A ．23B ．13 C ．34 D ．1410．若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于3π，||1a = ，||2b = ，则a b + 与a b - 的夹角的余弦值等于A．B．17C．17-D．11．抛物线212y x=-的准线与双曲线22193x y-=的两条渐近线围成的三角形的面积等于A．B．CD．12．在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2a=，b=，15C= ，则内角A的值为A．30 B．60 C．30 或150 D．60 或120第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

云南省祥云一中2015届高三第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

绝密★启用前2015届祥云一中高三第一次月考文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．(1) 设集合}3,1,0{},4,3,2,1,0{M ==N ，则N M C =（）(A) {0,1,2} (B) {0,2,4} (C) {2,4} (D) {3,4} (2) 复数i z +=11，i z 342-=，设21z z z -=，其中i 为虚数单位，则复数z 对应的点Z 位于复平面的（）(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限(3) 对命题“∃x 0∈R,x 02-2x 0+4≤0”的否定正确的是（） (A) ∃x 0∈R,x 02-2x 0+4>0 (B) ∀x ∈R,x 2-2x+4≤0 (C) ∀x ∈R,x 2-2x+4>0 (D) ∀x ∈R,x 2-2x+4≥0(4) 若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（） (A) 1,1a b == (B) 1,1a b =-= (C) 1,1a b ==- (D)1,1a b =-=-(5) 若)3()2121()2,3(，，，，a R Q P -三点在一条直线上，则a 的值为（）(A) 2 (B) 21(C) -2 (D) -3(6) 设条件0:2>+a a p ，条件0:>a q ，那么q p 是的（） (A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件(7) 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =（） (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12(8) 已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )(A) (－24，7) (B) (－∞，－24)∪(7，＋∞) (C) (－7，24) (D) (－∞，－7)∪(24，＋∞) (9) 参数方程为为参数）t ty t x (231⎩⎨⎧-=+-=的直线的倾斜角（）(A)3π (B) 6π (C) 32π (D) 65π(10) 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是( ) (A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (11) 若函数()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且在[]6,0-上单调递减，则（）(A)0)4()3(>+f f (B)0)2()3(<---f f (C)0)5()2(<-+-f f (D)0)1()4(>--f f(12) P 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>右分支上一点，1F 、2F 分别是左右焦点，且焦距为2c ，则△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为( ) (A) a (B) b (C) c (D) c b a -+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考试都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．(13) 已知函数)(x f y =的定义域为[0，1]，则函数)1(-=x f y 的定义域为＿＿＿＿＿＿＿.(14) 一个正方形的内切圆半径为a ，向该正方形内随机投一点P,点P 恰好落在圆内的概率是＿＿＿.(15) 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x ，则))271((f f = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿.(16) 给出以下四个命题：①在ABC ∆中， “B A <”是“B A sin sin<”的必要不充分条件；②函数|cos sin |)(x x x f -=的最小正周期是π2；③在ABC ∆中，若,22=AB ,32=AC 3π=B ，则ABC ∆为钝角三角形；④在同一坐标系中，函数x y sin =与函数gx y l =的图像有三个交点. 其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)（本小题满分12分）已知函数212cos 2sin 3++=x x y （R ∈x ）．（Ⅰ）求函数y 的最大值及y 取最大值时x 的集合；（Ⅱ）求函数y 的单调递减区间．(18)（本小题满分12分）十一黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表：性别与对景区的服务是否满意单位：名(Ⅰ) 从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？(Ⅱ) 从(Ⅰ)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女游客各一名的概率.(19)（本小题满分12分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD，且PA PD AD ==,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点．(Ⅰ) 求证：EF //平面PAD ； (Ⅱ) 求空间几何体BCDP 的体积．(20)（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与曲线C 交于,A B 两点. （Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）若OA OB ⊥,求k 的值，并求此时|AB |的值. (21)（本小题满分12分）已知函数b x ax x f ++=23)( (其中常数R b a ∈,),)()()(/x f x f x g +=是奇函数.(Ⅰ)求()f x 的表达式；(Ⅱ)讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间[1,2]上的最值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．(22) （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 的直径10AB =，弦DE AB ⊥于点H ，2HB =．（Ⅰ）求DE 的长；（Ⅱ）延长ED 到P ，过P 作圆O 的切线，切点为C ，若PC =PD 的长．(23) （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21)(x x f += .BA(Ⅰ) 设2121x x x x ≠都是实数，且、，求证：|||)()(|1212x x x f x f -<-； (Ⅱ) 设b a 、都是实数，且2122=+b a ，求证：5)()(≤+b f a f ．(24) （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程已知曲线C 的参数方程为θθθ(sin 3cos 33⎩⎨⎧=+=y x 是参数），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 与直线l相交于点A 、B ．(Ⅰ) 将曲线C 的方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ) 求弦AB 的长．祥云一中2015届高三第一次月考文科数学参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项C B C A C BDCDCDA二、填空题（每小题5分，共20分） 13、[1,2] 14、4π 15、8116、④三、解答题（答案仅供参考，根据学生现实答题情况判分）17、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）212cos 2sin 3++=x x y 21)62sin(2++=πx ------------------------------------------------------2分 ∵R x ∈ ∴R 62∈+πx∴函数y 的最大值是25212=+， --------------------------------------------4分当y 取最大值时，2262πππ+=+k x ，即6ππ+=k x∴y 取最大值时x 的取值集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=,6/ππk x x （Z k ∈） -----------6分(Ⅱ)原函数化为y 21)62sin(2++=πx ， ∵x y sin =的单调递减区间是[22,22ππππ+-k k ]，-------------------------8分∴函数y 的单调区间由不等式2326222πππππ+≤+≤+k x k 解出即326ππππ+≤≤+k x k -----------------------------------------------------10分∴函数y 的单调递减区间是[326ππππ+≤≤+k x k ]（Z k ∈）---------12分说明：没有注明“Z k ∈”的每一小问扣1分，没有写为区间的扣2分18、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为女游客共有50名，要从中按分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，则抽取的比例为505，而满意和不满意的女游客分别有30名和20名，所以，样本中满意的女游客为330505=⨯名，样本中不满意的女游客为220505=⨯名 -----------5分 (Ⅱ) 记样本中队景区的服务满意的3名女游客分别为321A A A 、、，队景区服务不满意对的2名女游客分别为21B B 、.从5名女游客中随机取2名，共有10个基本事件，分别为：）、，）、（，）、（，）、（，（21113121B A B A A A A A ），（32A A ），）、（，）、（，）、（，）、（，（2123132212B B B A B A B A B A --------9分其中事件A :选到满意与不满意的女游客各一名，它包含了6个基本事件，分别为：）、，）、（，（2111B A B A ），）、（，）、（，）、（，（23132212B A B A B A B A 所以所求概率53106)(==A P ----------------------------------------------------------12分 19、（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连接AC ，∵底面ABCD 是边长为a 的正方形，并且F 是BD 的中点，∴ F 是AC 的中点， -----------------------------------------------------------2分在PAC ∆中，F 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴ EF// PA, ---------------------------------------------------------------------------4分从而有： ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂∉PA EF PAD PA PAD EF //平面平面EF //平面PAD . --------------------------------6分(Ⅱ)解： ∵ 侧面⊥PAD 底面ABCD ,交线是AD,在PAD ∆中，AD PD PA 22== ∴ PAD ∆是等腰直角三角形，设AD 的中点为G,连接PG ，则PG ⊥AD ，且PG=a 21-----------------------------6分 ∴ PG ⊥底面ABCD ，∴空间几何体BCDP 的体积是：PG S V V BCD BCD P BCDP ⨯⨯==∆-31=3121a . ---------------------------------------12分20、（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0,为焦点，长轴为4的椭圆． -------------------------------------------------------------------２分它的长半轴长为２，半焦距为3，短半轴1,b =故曲线C 的方程为： 2214y x +=．--------------------------------------------------５分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足： 221,41.y x y kx ⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y 并整理得 22(4)2k x kx ++03=- ----------------------------------------５分故12122223,.44k x x x x k k +==-++ ---------------------------------------------------7分若,OA OB ⊥即12120.x x y y +=从而01424332222=++-++-k k k k 化简得2410,k -+=所以1.2k =± ---------------------------------------------------9分当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-．代入 2122124)(1||x x x x k AB -++=，得465AB =． ----------------------------------------------------------------------12分21、（本小题满分12分）解：(Ⅰ) ∵ b x ax x f ++=23)(∴ x ax x f 23)(2/+= -----------------------------------------------------------1分∴ )()()(/x f x f x g +==b x ax ++23+x ax 232+=b x a ax +++)13(3 --------------------------------------------------3分∵ )(x g 是奇函数∴ )(x g 的偶函数部分必须为0，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧==+0310013b a b a -----------5分∴所求的函数表达式为：2331)(x x x f +-=. ------------------------------6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知道)()()(/x f x f x g +===+++-)231223x x x x （－x x 2313+- ∴2)(g 2/+-=x x令02)(2/=+-=x x g ，解得：21-=x ，22=x ------------------------7分则当x 变化时，)(/x g ，)(x g 的变化关系如下表：x)2,(--∞ 2-)2,2(- 2),2(+∞ )/x g （0)(g /<x0 0)(g />x0 0)(g /<x)(x g↘极小值↗ 极大值↘∴ )(g x 在区间)2,(--∞，),2(+∞上是减函数；在)2,2(-上是增函数. 又 ∵ )(g x 的极小值是324)2(g -=-，极小值是324)2(g =. -------------10分由于]2,1[∈x ， ∴ 34)2(g 35)1(g ==，，324)2(g = ∴ ()g x 在区间[1,2]上的最小直是34；最大值是324. -----------------------12分说明：此题解法多，只要对都可以认可，按实际情况给分.22、（本小题满分10分）解：(Ⅰ)连接AD 、BD ，∵ AB 是圆O 的直径， ∴ △ABD 是直角三角形 ---------------3分∵ DE AB ⊥于点H∴ DH 2=AH ．HB = 8×2=16∴DE=2DH=8 --------------------------------5分 (Ⅱ) ∵ PC 是圆O 的切线，连接OP ，OC ，∴ OP ⊥OC∴ △OPD 是直角三角形∴ OP 2= OC 2+CP 2=25+20=45 -----------------7分在直角三角形OPH 中，PH 2= 45-9=36∴ PH=6∴ PD=PH-DH=6-4=2 ----------------------------5分23、（本小题满分10分）证明：(Ⅰ) ∵222121211211|||||)()(|xx x x x x x f x f ++++-=- -----------------------2分又∵||||||2121x x x x +≤+，||||11212221x x x x +>+++∴111||222121<++++xx x x又∵ 2121x x R x x ≠∈，、∴|||)()(|1212x x x f x f -<- -------------------------------------------------------------5分 (Ⅱ) ∵[][])()()11()(1)(122222b f a f b f a f ++≤⨯+⨯即 [][]22)()(222++≤+b a b f a f又∵ 01)(2>+=x x f ，2122=+b a ， ∴ 5)()(≤+b f a f --------------------------------------------------------------------10分 24、（本小题满分10分）解：（Ⅰ)由 ⎩⎨⎧=+=θθsin 3cos 33y x 可得：⎩⎨⎧==-θθsin 3cos 33y x把 ①2 + ②2得到原参数方程的普通方程：9)3(22=+-y x--------------------------------------------------2分直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，由互化公式x y =θtan ，即1=xy所以，直线l 的直角坐标方程是：0=-y x ------------------------------------5分(Ⅱ) 直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 2222（t 为参数），把它代入方程9)3(22=+-y x 中，即023922)322(222=-⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t t t t ------------------------------------8分设点A 、B 对应的参数值分别为1t ，2t ，由参数t 的几何意义可得弦AB 的长为：|AB |=|21t t -|=230184)(21221=-=-+t t t t ----------10分说明：此题解法多，只要对都可以认可，按实际情况给分.。

2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]

2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分）因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。

2020届高三数学第一次月考试题文(含解析)新人教

2019学年第一学期九月测试卷高三数学（文科）一、选择题(每小题5分，共60分)1. 设集合M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{1,4,5,7}，则M∩N等于( )A. {1,2,4,5,7}B. {1,4,5}C. {1,5}D. {1,4}【答案】B【解析】则2. ( )A. B. C. D. -【答案】A【解析】试题分析：选C.考点：诱导公式.【易错点晴】本题主要考查诱导公式，属于容易题型.本题虽属容易题型，但如果不细心的话容易因判断错象限、或因忘了改变函数名而犯错.解决此类题型的口诀是：奇变偶不变，符号看象限,应用改口诀的注意细节有：1、“奇”、“偶”指的是的奇数倍或偶数倍，2、符号看象限，既要看旧角，又要看旧函数名.要熟练掌握这两个细节才不会“走火入魔”.3. 下列函数中,是偶函数且在上为增函数的是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由选项可看出四个函数中D为奇函数，所以排除D，在ABC三个选项中，A函数为增函数，B函数为减函数，C函数既有增区间又有减区间.故选A.4. 若已知函数f(x)＝ , 则的值是( )A. B. 3 C. D.【答案】D【解析】由函数f(x)＝可知：，+1=故选：D5. 函数y＝的定义域是( )A. [1,2]B. [1,2)C.D.【答案】D【解析】即得解得故选D6. 下列说法中，正确的是（）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“存在，使得”的否定是：“任意，都有”C. 若命题“非”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题D. ""是" "的充分不必要条件【答案】C【解析】对于A，命题“若，则”的否命题为“若a≤b，则”；∴A 不正确；对于B，命题“存在x∈R，使得”的否定是：“任意x∈R，都有”；∴B不正确；对于C，若命题“非p”是真命题则P是假命题，命题“p或q”是真命题，那么命题q一定是真命题，∴C正确；对于D，∴推不出. ∴D不正确故选：C．7. 设a=,,则a,b,c的大小关系是( )A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c【答案】D【解析】,所以故选D8. 函数f(x)＝2x－6+lnx的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】,所以函数在上递增，又,所以函数的零点只有1个故选A点睛：本题是零点存在性定理的考查，先确定函数的单调性，在判断特殊点处的函数值有正负变化即得解.9. 函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知A=2,又,此函数的解析式是故选B.10. 若＝，则cos(π-2α)＝( )A. -B.C. -D.【答案】C【解析】==,故选C11. 函数y＝ (0＜a＜1)的图象的大致形状是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】又所以函数在上递减，在上递增，故选D点睛：函数中有绝对值的要去掉绝对值，写成分段函数，根据单调性即可以选出选项.12. 已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (－∞，0)B.C. (0,1)D. (0，＋∞)【答案】B【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，由图可知，当0＜a＜时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．则实数a的取值范围是（0，）．故选B．二、填空题(每小题5分，共20分)13. 已知=2, 则=______【答案】3【解析】,故答案为314. 函数f（x）=的单调递增区间为________.【答案】【解析】根据复合函数的单调性，内外层函数同则增异则减的原则，f（x）=的递增区间为的递减区间，但要注意定义域，所以f（x）=的递增区间为................故答案为点睛：研究复合函数的单调性：先把复合函数分成内外两层，根据内外层函数单调性相同，复合函数增，内外层函数单调性相异，复合函数减，即同则增异则减，做题时还要注意定义域.15. 已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则＝________.【答案】-2【解析】由f(x＋4)＝f(x)得f(x)的周期为4，所以又f(x)在R上是奇函数，所以故答案为-2.点睛：函数奇偶性，周期性结合求函数值的问题，先利用周期性，把变为再利用奇偶性根据已知很容易出结果.16. 若不等式2x ln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，]【解析】2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4，则a≤h(x)min＝4，故实数a的取值范围是(－∞，4]．故答案为：(－∞，4]点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤)17. (10分) 化简求值：(1) ； (2) .【答案】(1) 4 ; (2)【解析】试题分析：(1)主要是对数运算性质的考查（2）主要是三角恒等变换的二倍角公式，两角和与差的余弦公式的考查.试题解析：(1)原式= (2)原式=18. (12分)（1）已知sinα＝- ，且α为第四象限角，求tanα的值；(2)已知cos且都是锐角，求的值【答案】(1)(2)【解析】试题分析：（1）由α为第四象限角，根据同角基本关系的平方关系得的值，商式关系得出.(2) cos，是锐角得出sin，又都是锐角，，得出，根据得出结果.试题解析：(1)为第四象限角,(2) 因为是锐角，所以sin=又都是锐角，，=,则cos=cos19. (12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)若f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．求实数a的取值范围.【答案】(1)35 (2) a≤－6，或a≥4【解析】试题分析：(1) 当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，根据二次函数的单调性得出函数的最值（2）二次函数的对称轴为x＝－a，根据图像得出[－4,6]在轴的左侧或在轴的右侧，即－a≤－4，或－a≥6得解.试题解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增．∴f(x)的最小值是f(2)＝－1.又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4，或－a≥6，即a≤－6，或a≥4.20. (12分)已知.f(x)＝sin x cos x-cos2x＋(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的值域．【答案】(1)(k∈Z) (2)【解析】试题分析：（1）先对函数f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋化简得f(x)＝sin，令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)解得对称中心（2）0≤x≤所以-≤2x-≤，根据正弦函数图像得出值域.试题解析：(1)f(x)＝sin x cos x-cos2x＋＝sin2x- (cos2x＋1)＋＝sin2x-cos2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.令sin＝0，得＝kπ(k∈Z)，所以x＝ (k∈Z)．故f(x)图象对称中心的坐标为 (k∈Z)．(2)因为0≤x≤，所以-≤2x-≤，所以≤sin≤1，即f(x)的值域为.点睛：本题重点考查三角函数式的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，正弦型函数的对称中心，及函数在某一定义域下的值域，是高考的常见题型，在求值域时要运用整体的思想.21. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线方程为l：y＝3x＋1，且当x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】(1) a＝2，b＝－4, c＝5 (2) 最大值为13，最小值为【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，联立得出a，b，c的值(2) 由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4. 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝，研究单调性得出最值.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0，①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0，②由①②，解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4. 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4.令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.点睛：已知切线方程求参数问题，利用切线斜率，切点在切线上也在曲线上这两点即可求出字母值.函数的极值问题要注意对应的导值为0，且在此点的左右函数有单调性变化.22. (12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1-x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (0，1)【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导函数符号是否变化进行讨论：若，则，在单调递增；若，导函数先正后负，函数先增后减；（2）由（1）知函数有最大值条件为，且最大值为，转化为解不等式，先化简，再利用导数研究函数单调性及零点，确定不等式解集试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为若，则，所以在单调递增若，则当时，；当时，。

云南省景洪市第四中学2015届高三第一次月考数学(文)试题

云南省景洪市第四中学2015届高三第一次月考数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷150分，考试时间120分钟。

一、单选题（每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x |x 2－x －2<0}，B={x |－1<x <1}，则（）（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅2. 复数z ＝－3+i 2+i 的共轭复数是（）（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i3. 设向量,a b 满足||||1a b ==,21-=⋅b a ,则2a b +=( ). （A（B（C（D4.若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为( ).（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）35. 设椭圆C ：错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=300，则C 的离心率为 ( )（A ）错误！未找到引用源。

（B ）错误！未找到引用源。

（C ）错误！未找到引用源。

（D ）错误！未找到引用源。

6. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（）（A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π7. 执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S= ( )（A ）1错误！未找到引用源。

（B ）1+错误！未找到引用源。

（C ）1+错误！未找到引用源。

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（D ）1+错误！未找到引用源。

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8. 设a=23log , b=25log , c=32log , 则 ( )（A ）a ＞c ＞b （B ） b ＞c ＞a（C ）c ＞b ＞a （D ）c ＞a ＞b9. 一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可为 ( )（A ）（B ）（C ）（D ）10. 已知ω>0，0<φ<π，直线x =π4和x =5π4是函数f (x )=sin(ωx +φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）（A ）π4 （B ）π3 （C ）π2 （D ）3π411. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为（）（A ） 2 （B ）2 2 （C ）4 （D ）812. 当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是（）（A ）(0，22) （B ）(22，1) （C ）(1，2) （D ）(2，2)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知3(,)2παπ∈,tan2α=,则cosα=________。

高三数学上学期第一次月考试题文扫描试题

HY中学2021届高三数学上学期第一次月考试题文〔扫描版〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一中第一期联考文科数学答案命题、审题组老师杨昆华彭力杨仕华王佳文张波毛孝宗丁茵易孝荣江明李春宣一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCBCDADDCAAB1. 解析：由题意，因为集合{}1>=x x A ，所以=B A {}31<<x x ，选B ． 2. 解析：因为2i 12i i i)i)(1(1i)i(1i 1i 2+=-=-+-=+，选C ． 3. 解析：18=0.4540，选B ． 4. 解析：由得54)cos(-=--αβα，即54cos )cos(-==-ββ，又πβ（∈，）23π，所以0sin <β，且53cos 1sin 2-=--=ββ，选C ．5. 解析：在长、宽、高分别为2，1，1的长方体中截得该三棱锥A DBC -，那么最长棱为2222116AB =++=，选D ．6. 解析：对于B ，函数的周期是π，不是π4；对于C ，函数在3π=x 时不取最值；对于D ，当∈x 65(π-，)6π时，34(32ππ-∈+x ，）32π，函数不是单调递增，选A ． 7. 解析：因为()()11f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，选D ．8. 解析：由垂径定理可知直线CM 的斜率为2-，所以直线CM 的方程是)2(21--=+x y ，即032=-+y x ，选D ．9. 解析：设外接球的半径为R ，因为PA ⊥平面ABC ，所以BC PA ⊥，又BC AB ⊥，所以BC PB ⊥，设PC 的中点为O ，易知：OA OB OC OP ===，故O 为四面体P ABC -的外接球的球心，又2PA AB BC ===，所以22AC =，23PC =，半径3R =，四面体P ABC -的外接球的外表积为()24312ππ=，选C ．10. 解析：由()y f x =,()01f =-排除B ，()f x 是偶函数排除C,()20f =和()40f =排除D ，选A ．11. 解析：由题设得3=ab，2)(12=+=a b e ，所以b e a +2362322323322=≥+=+=aa a a ，选A ． 12. 解析：由余弦定理及22b ac a -=得，22222cos b a c ac B a ac =+-=+，所以有2cos c a B a =+，因此sin 2sin cos sin C A B A =+，故有()sin 2sin cos sin A B A B A +=+，即()sin sin A B A =-，因为三角形ABC 为锐角三角形，所以A B A =-，即2B A =，所以022A π<<，所以04A π<<，又3B A A +=，所以32A ππ<<，所以63A ππ<<，综上,64A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()sin sin 22cos 2,3sin sin B At A A A===∈，选B ．二、填空题13. 解析：由22a b a b -=+解得0a b ⋅=，所以向量a 与b 夹角为90︒． 14. 解析：N=126+146+96+136=288⨯⨯⨯⨯．15. 解析：由图知，直线4z y x =-过()1,0时，4y x -有最小值1-. 16. 解析：由得()()22log 1933f x x x -=+++，所以()()6f x f x +-=，因为2lg 3⎛⎫ ⎪⎝⎭与3lg 2⎛⎫⎪⎝⎭互为相反数，所以23lg lg 632f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3lg 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．三、解答题〔一〕必考题17. 解：〔1〕证明：设1122n n nn a a d ---=那么122n n n a a d --= 所以1122n n n a a d ++-=,11122222n n n n n n a a da a d++--==-所以}{12n na a +-是首项为4,公比为2的等比数列. ………6分〔2〕因为{}2n n a 是等差数列，所以1221122=-=a a d ,所以11(1)22n n a a n d =+-⨯ , 所以1()22nn a n =-所以123113531222...()2()222222n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-+-① 2311333222...()2()22222n n n S n n +=⨯+⨯++-+-②由①-②得23111=2+2+2...2()222n n n S n +-⨯++-- 13=(n-)232n n S ++． ………12分18. 解：〔1〕选派B 同学参加比拟适宜．理由如下：1(7580808385909295)858A x =+++++++=，1(7879818284889395)858B x =+++++++=，22222221[(7885)(7985)(8185)(8285)(8485)(8885)8B S =-+-+-+-+-+-+22(9385)(9585)]35.5-+-=，22222221[(7585)(8085)(8085)(8385)(8585)(9085)8A S =-+-+-+-+-+-+22(9285)(9585)]41-+-=，从A B x x =，22B A S S <可以看出：A ，B 两位同学的平均程度一样而B 的成绩较稳定，所以选派B 参加比拟适宜． ………7分〔2〕任选派两人有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E 一共10种情况；所以A ，B ，C 三人中至多有一人参加英语口语竞赛有7种情况；所以710P =． ………12分19. 解：〔1〕在直角梯形ABCD 中，2BC AD AB ⋅=，即AB ADBC AB=，因为90DAB PBC ∠=∠=, 所以tan AB ACB BC ∠=，tan ADABD AB∠=，所以ABD ACB ∠=∠，又因为90ACB BAC ∠+∠=，所以90ABD BAC ∠+∠=，即AC BD ⊥图2的四棱锥1P ABCD -中，1P A AB ⊥，由题知1P A AD ⊥，那么1P A ⊥平面ABCD ，所以1BD P A ⊥，又1P AAC A =所以BD ⊥平面1P AC . ………6分(2)在图1中，因为AB =,1AD =，2BC AD AB ⋅=，所以3BC =因为PAD ∆∽PBC ∆，所以13PA AD PA PB BC ==⇒=，即1P A = 由〔1〕知1P A ⊥平面ABCD ，那么1C P BD V -1P CBD V -=1P CBD V -=111111133332324CBD S P A BC AB P A ∆⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯=. ………12分20. 解：〔1〕由椭圆定义知，224AF BF AB a ，又222AF BF AB ，得43ABa ，l 的方程为y x c ，其中22c a b .设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将y x c 代入22221x y a b 得，2222222()2()0a b x a cx a c b . 那么212222-a c x x a b ，2221222)a cb x x a b （.因为直线AB 的倾斜角为4π，所以212122()4ABx x x x ，由43AB a 得，222443a ab a b ，即222a b .所以C的离心率2222c a b e a a. ………6分 (2) 设AB 的中点为0,0()N x y ，由〔1〕知，2120222--23x x a c c x a b ，003cy x c .由PA PB 得，PN 的斜率为-1，即001-1y x ，解得，3c ，32a ，3b .所以椭圆C 的方程为221189x y . ………12分21. 解：〔1〕()f x 的定义域为(,)-∞+∞,因为()e x f x a '=+，由(0)0f '=，得1a =-, 所以()e 2x f x x =--，由()e 10x f x '=->得0x >，由()e 10x f x '=-<得0x <，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞. ………6分 (2) 因为0x >,所以()e 1e 1xxm x -<+可化为e 1e 1x x x m +<-，令e 1()e 1x x x F x +=-，那么()2e (e 2)()e 1x x x x F x --'=-，由〔1〕得()e 2x f x x =--在(0,)+∞上单调递增，而(1)e 30f =-<,2(2)e 40f =->,所以()f x 在(1,2)上存在唯一的0x ，使0()0f x =，所以()F x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，所以0()F x 是()F x 00e 20x x --=得00e 2x x =+，所以00000000e 1(2)1()11e 1x x x x x F x x x +++===++-，又因为012x <<，所以02()3F x <<，所以[]max 2m =. ………12分〔二〕选考题：第22、23题中任选一题做答。

湖南省2025届高三上学期第一次月考数学试题含答案

2025届高三月考试卷（一）数学（答案在最后）命题人：高三数学备课组审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （）A.{}32xx -≤≤∣ B.{32}xx -≤<∣C.{12}xx <≤∣ D.{12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.2B.54C.D.2【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上的投影向量为（）A.()6,3- B.()4,2- C.()2,1- D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（）附：若()2,X N μσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以5e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是1,5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1-∞⋃ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0ff x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=，所以()f x 的图象关于点2,1对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】231,3⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()13,,1,0,cos ,sin 22A B C θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()13cos ,sin ,1,022θθλμ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理得1cos ,sin 22λμθλθ+==，解得cosλμθ==-，则323ππcos cos sin ,0,3333λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+=-=+=+∈ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 33332θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以231,3λμ⎡+∈⎢⎣⎦.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB 的中点时，123332k λμ=+==，所以231,3λμ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故答案为：231,3⎡⎢⎣⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB 于点,313,13D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a =（2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在1,+∞上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,2BC AB BC PA PB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD 所成角的余弦值为14．【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．【小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos 14θ=，得sin 14θ=．所以314sin cos ,14m EF m EF m EF θ⋅====，整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD 所成角的余弦值为7014．18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240rx r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111712222PQ PE -≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ 长度取最小值12-.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴.设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b -=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=.同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--.代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+(b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式：()()()1122211ˆˆ,n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+（2）433774nn P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.42.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a=-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故1493(7284n n P --=--，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中[]x 表示取整函数，当347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。

专题03 复数必刷100题(解析版)

专题03 复数必刷100题任务一:善良模式(基础)1-50题一、单选题1．（四川省资阳市2021-2022学年高三第一次诊断考试数学（文）试题）已知复数2i 1i-=-（）A ．3i 22+ B ．13i 22- C ．33i 22- D ．1i 22+ 【答案】A 【分析】根据复数除法运算法则计算即可. 【详解】()()()()2i 1i 2i 3i 3i1i 1i 1i 222-+-+===+--+. 故选：A.2．（广东省清远市博爱学校2022届高三上学期11月月考数学试题）在复平面内，复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的乘除法运算化简，再结合复数的几何意义即可得出结果. 【详解】因为3i (3i)(1i)24i=12i 1i (1i)(1i)2z ++++===+--+，所以复数z 对应的点的坐标为(1，2)，位于第一象限. 故选：A.3．（山西省太原市第五中学2022届高三上学期第四次模块诊断数学（文）试题）已知复数z 满足i 2z z +=，则复数z 的虚部为（）A ．1B ．i -C ．iD ．1-【答案】D【分析】先由i 2z z +=求出复数z ，然后可求出其虚部【详解】由i 2z z +=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以复数z 的虚部为1-，故选：D.4．（四川省成都市第七中学2021-2022学年高三上学期期中考试文科数学试题）复数43i2iz -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】A 【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解. 【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A.5．（云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考卷（四）数学（理）试题）复数i(,)a b a b +∈R 与1i +之积为实数的充要条件是（） A ．0a b == B ．0ab = C ．0a b += D ．0a b -=【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算结合复数分类的概念即可得到答案. 【详解】因为(i)(1i)()i a b a b a b ++=-++是实数，所以0a b +=，故选：C ．6．（四川省南充市2022届高考适应性考试（零诊）理科数学试题）已知2(1i)34i z -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第（）象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】B 【分析】由2(1i)34i z -=+求出复数z ，即可求得答案．【详解】由2(1i)34i z -=+，得()234i34i 3i22i 21i z ++===-+--，则复数z 在复平面内对应的点为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第二象限，故选：B.7．（黑龙江省大庆市东风中学2021-2022学年高三上学期10月质量检测数学（文）试题）设复数1z =（i 是虚数单位），则z z +的值为（） A ．B ．C ．1D ．2【答案】D 【分析】根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解. 【详解】由复数1z =，可得1z =，所以112z z +=++=，所以2z z +=. 故选：D.8．（江苏省南京市中华中学2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学试题）设4-，则z 的共轭复数的虚部为（） A ．32 B ．3i 2C ．32-D ．3i 2-【答案】C 【分析】先对复数4-化简，从而可求出其共轭复数，进而可求出其虚部【详解】因为()()()()2i1i2i13i13i 1i1i1i222z++++====+--+，所以13i22z=-，所以z的虚部为32-，故选：C.9．（西南四省名校2021-2022学年高三上学期第一次大联考数学（理）试题）已知复数2,2,dq=⎧⎨=⎩，则z的虚部为（）A．1-B．i-C．1D．2i-【答案】A【分析】先利用复数的除法法则化简，再利用共轭复数和虚部的概念进行求解. 【详解】因为22(1i)1i 1i2z+===+-，所以1iz=-，则z的虚部为1-．故选：A．10．（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估（新高考I卷）数学试题）若复数1iiiza+=-+为纯虚数，则实数a的值为（）A．1-B．12-C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可.【详解】化简原式可得：()()()22212i1i i1ii ii11a a aaza a a++--+-+=-=-=+++z 为纯虚数时，221021a a a a +=--+，≠0即 1a =-，选项A 正确，选项BCD 错误. 故选A ．11．（广东省深圳市罗湖区2022届高三上学期第一次质量检测数学试题）已知复数1(2)i z a a=+-（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在直线y x =上，若a ∈R ，则z =（） AB ．2C D ．10【答案】A 【分析】先利用实部等于虚部，求出参数，即可求出模. 【详解】解：由题意得：1(2)a a=-，解得1a =，z 故选：A.12．（全国2022届高三第一次学业质量联合检测文科数学（老高考）试题）复数112i1iz +=+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】112433i ii i ⨯+===-，则()()()()112i 1i 2i 2i 13i 13i 1i 1i 1i 2221i z +++++=====+--++，因此，复数z 对应的点位于第一象限. 故选：A.13．（神州智达省级联测2021-2022学年高三上学期第一次考试数学试题）在复平面内，点A 和C 对应的复数分别为42i -和24i -+，若四边形OABC 为平行四边形，O （为坐标原点），则点B 对应的复数为（） A ．1i +B ．1i -C ．22i -D ．22i +【分析】由复数的几何意义，可得OA 与OC 的坐标，再根据向量加法的平行四边形法则即可求解OB 的坐标，从而可得点B 对应的复数. 【详解】解：由题意，4,2,2)4(,()OA OC =--=，又OB OA OC =+，所以()2,2OB =，所以点B 对应的复数为22i +. 故选：D.14．（广东省广州市西关外国语学校2022届高三上学期8月月考数学试题）已知复数()()1i 12i z =--，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数虚部为（） A ．3- B ．3C ．3i -D ．3i【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数13i --，再根据共轭复数的概念，即可得答案；【详解】()()1i 12i 13i z =--=--，∴13i z =-+，∴z 的共轭复数虚部为3，故选：B.15．（广东省深圳市龙岗布吉中学2020-2021学年高一下学期中数学试题）已知i 是虚数单位，则复数202120212i 2i z -=+对应的点所在的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】利用复数的乘方、除法运算化简z ，进而判断其所在的象限.由4i 1=，则20215054122021505412i 2i 2i (2i)34i2i (2i)(2i)52i 2i z ⨯+⨯+-----=====++-++， ∴z 对应的点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭所在的象限是第四象限.故选：D.16．（湖南省岳阳市岳阳县第一中学2021-2022学年高三上学期入学考试数学试题）已知复数122,i(R)1iz z a a ==+∈+，若12,z z 在复平面内对应的向量分别为12,OZ OZ （O 为直角坐标系的坐标原点），且12||2OZ OZ +=，则a =（） A ．1 B ．-3 C ．1或-3 D ．-1或3【答案】C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简1z ，然后求得12OZ OZ +，再由复数模的计算公式求解．【详解】 122(1i)1i 1+i (1i)(1i)z -===-+-， 2i z a =+，则12|||(1,1)(,1)||(1,0)||1|2OZ OZ a a a +=-+=+=+=，解得1a =或3-．故选：C.17．（甘肃省天水市秦州区2020-2021学年高二下学期第一阶段检测数学（文）试题）关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是（）A ．椭圆B ．圆C ．抛物线D ．双曲线【答案】B 【分析】根据复数差的模的几何意义，分析即可得答案. 【详解】由于两个复数差的模表示两个复数在复平面内对应点之间的距离，所以关于复数z 的方程31z -=在复平面上表示的图形是以（3,0）为圆心，1为半径的圆.18．（江苏省无锡市辅仁高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题）欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献，著名的欧拉公式：i cos isin e θθθ=+，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.结合欧拉公式，复数i412i 1i z π-=++在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】利用欧拉公式代入直接进行复数的运算即可求解. 【详解】i412i 12i cos isin 1i 1=i 44z e πππ--⎫=++⎪++⎭12i 12ii 11i 1i =⎫--++=++⎪⎪++⎝⎭()()()()12i 1i 13i 11i 1i 1=i 1i 1i 222----=++=++-+-,所以复数z 在复平面对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第四象限，故选：D.19．（福建省2021届高三高考考前适应性练习卷（二）数学试题）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式()cos isin cos isin nx x nx nx +=+推动了复数领域的研究．根据该公式，可得4ππcos isin 88⎛⎫+=⎪⎝⎭（）． A ．1 B ．iC ．1-D ．i -【答案】B 【分析】根据已知条件将4ππcos sin 8i 8⎛⎫+ ⎪⎝⎭化成i ππcos sin 22+，根据复数的运算即可.根据公式得4i i i ππππcos sin cos sin 8822⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故选:B.20．（福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题）复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（） A ．1 BC ．3D 【答案】C 【分析】由复数模的几何意义可得复数z 对应点Z 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动，数形结合可得z 的最大值. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，21z -=，∴复数z 对应点(,)Z x y 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上运动.由图可知当点Z 位于点(3,0)B 处时，点Z 到原点的距离最大，最大值为3. 故选：C.【点睛】两个复数差的模的几何意义是：两个复数在复平面上对应的点的距离.21．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题（三））系数的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker ，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数Z 满足()202012Z i i =+，则Z 的共轭复数是（） A ．2i + B ．2i -C ．12i -D ．12i +【答案】C利用虚数单位的幂的运算规律化简即得12Z i =+,然后利用共轭复数的概念判定. 【详解】解：()505202041,12,12i i Z i Z i ==∴=+∴=-,故选：C.22．（福建省福州市八县（市、区）一中2022届高三上学期期中联考数学试题）下面是关于复数2i1iz =-（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（） A ．2z =B ．复数z 在复平面内对应点在直线y x =上C ．Z 的共轭复数为1i --D ．z 的虚部为1-【答案】C 【分析】由复数除法化简复数为代数形式，然后求模，写出对应点的坐标．得其共轭复数及虚部，判断各选项．【详解】22i 2i(1i)2(i i )1i 1i (1i)(1i)2z ++====-+--+，所以z =A 错；对应点坐标为(1,1)-不在直线y x =上，B 错；共轭复数为1i --，C 正确；虚部为1，D 错．故选：C ．23．（江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期教学质量调研（一）数学试题）已知复数z 满足1i z z -=-，则在复平面上z 对应点的轨迹为（） A ．直线 B ．线段C ．圆D ．等腰三角形【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，结合1i z z -=-，得到点P 在线段,A B 的垂直平分线上，即可求解. 【详解】设复数i(,)z x y x y =+∈R ，根据复数的几何意义知：1z -表示复平面内点(,)P x y 与点(1,0)A 的距离，i z -表示复平面内点(,)P x y 与点(0,1)B 的距离，因为1i z z -=-，即点(,)P x y 到,A B 两点间的距离相等，所以点(,)P x y 在线段,A B 的垂直平分线上，所以在复平面上z 对应点的轨迹为直线. 故选：A.24．（北京一零一中学2022届高三9月开学练习数学试题）已知复数z 满足z ＋z ＝0，且z ·z ＝4，则z ＝（） A ．±2 B ．2C ．2i ±D ．2i【答案】C 【分析】不妨设i z a b =+，代入0z z +=，4z z ⋅=，运算即得解【详解】由题意，不妨设i z a b =+，则i z a b =-由0z z +=，可得i i 20a b a b a ++-==，故0,i a z b == 且2i (i)42z z b b b b ⋅=⨯-==∴=±2i z ∴=±故选：C.25．（第十章复数10.1复数及其几何意义10.1.2复数的几何意义）向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ ＋2OZ 对应的复数是（）A ．108i -+B ．108i -C ．0D ．108i +【答案】C 【分析】由复数的代数形式写出对应复平面上的点坐标，应用向量坐标的线性运算求1OZ ＋2OZ ，即可知其对应的复数. 【详解】由题意可知：1(5,4)OZ =-，2(5,4)OZ =-， ∴1OZ ＋2OZ ＝(5,4)-＋(5,4)-=(0,0)． ∴1OZ ＋2OZ 对应的复数是0. 故选：C.26．（广东省肇庆市2022届高三上学期一模考前训练（二）数学试题）已知i 为虚数单位，复数112i z =-，22i z =+，则复数12z z 在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由已知条件求出12z z ，然后求出12z z ，从而可求出复数12z z 在复平面上对应的点所在的象限【详解】因为112i z =-，22i z =+，所以212(12i)(2i)2i 4i 2i 43i z z =-+=+--=-，所以1243i z z =+，所以复数12z z 在复平面上对应的点位于第一象限，故选：A.27．（福建省泉州科技中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）若1i Z =+，则20202021()()Z Z ZZ --+的虚部为（） A ．i B ．i -C ．1D ．1-【答案】D 【分析】根据1i Z =+，结合共轭复数，利用复数的除法和乘方运算求解. 【详解】因为1i Z =+，所以()()()()()()()()1i 1i 1i 1i 1i 1i i,i 1i 1i 1i 1i 1i 1i Z Z Z Z--++--+-======---+++-，所以2020202120202021()()i (i)1i Z Z ZZ --+=+-=-，故其虚部为-1，故选：D.28．（河南省部分名校2021-2022学年高三上学期第一次阶段性测试文科数学试题）已知i 为虚数单位，复数z 满足1i 1iz +＝+，则|z |等于（） A ．12BCD【答案】C 【分析】结合复数的减法和除法运算求出复数z ，进而利用复数的模长公式即可求出结果. 【详解】因为11i 13i i i 1i 222z -=-=-=-++，所以z ==故选：C.29．（河南省许昌市2022届高三第一次质量检测（一模）理科数学试题）已知复数z 满足12(1i)iz +=+，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【分析】设i z a b =+，,a b ∈R ，利用复数乘法化简(1i)z +并求出12i+，根据复数相等判断,a b 的符号，即可知复数z 对应的象限. 【详解】令i z a b =+，,a b ∈R ，则(1i)()(1i)(i )i z a b a a b b +=+=-+++，又122i i+=-，则12i +=∴()i a b a b -++0a b a b ⎧-=>⎪⎨+=⎪⎩，∴0a b >>，则复数z 在复平面内所对应的点在第四象限. 故选：D.30．（广西南宁市2022届高三高中毕业班上学期摸底测试数学（理）试题）已知复数13i z =+和21i z =+，则1122z z z z +=（） A ．34i + B ．43i + C ．36i + D ．63i +【答案】B 【分析】利用复数的四则运算法则，求解即可【详解】由题意， 11212221z z z z z z z ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 11i 3+i (3i)1i (3i)1i (3i)1i (1i)(1)2i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+++=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3i)(3i)86i 43i 22+++===+ 故选：B二、多选题31．（河北省石家庄市藁城新冀明中学2022届高三上学期第一次月考数学试题）设()1i 2i z -=+，则下列叙述中正确的是（） A ．z 的虚部为32-B ．13i 22z =- C ．∣z ∣D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第四象限【答案】BC 【分析】先根据复数的除法法则求得z值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何意义判定选项D错误.【详解】由()1i2iz-=+，得2i(2i)(1i)13i13i 1i(1i)(1i)222z++++====+--+，则：z的虚部为32，即选项A错误；13i22z=-，即选项B正确；z==C正确；复数z对应的点13(,)22位于第一象限，即选项D错误.故选：BC.32．（广东省珠海市艺术高级中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题）若复数35i1iz-=-，则（）A．z=B．z的实部与虚部之差为3C．4iz=+D．z在复平面内对应的点位于第四象限【答案】ACD【分析】由已知复数相等，应用复数的除法化简得4iz=-，即可判断各选项的正误.【详解】∵()()()()35i1i35i4i 1i1i1iz-+-===---+，∴z的实部与虚部分别为4，1-，z A正确；z的实部与虚部之差为5，B错误；4iz=+，C正确；z在复平面内对应的点为()41-,，位于第四象限，D正确．故选：ACD．33．（重庆市第八中学2021届高三下学期高考适应性考试（三）数学试题）已知复数20211i 11iz +=+-（i 为虚数单位）、则下列说法正确的是（） A ．z 的实部为1 B ．z 的虚部为1-C ．z =D ．1i z =+【答案】AC 【分析】先对20211i 11i z +=+-化简求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：202145051221i 1i 1i (1i)12i i 111111i 1i 1i 1i (1i)(1i)2z ⨯+++++++=+=+=+=+=+=+----+，所以复数z 的实部为1，虚部为1，所以A 正确，B 错误，z C 正确， 1i z =-，所以D 错误，故选：AC.34．（湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期第一次大练习数学试题）已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（） A ．2340i i i i +++= B ．复数3z i =-的虚部为i -C ．若2(12)z i =+，则复平面内z 对应的点位于第二象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线【答案】AD 【分析】根据复数的概念、运算对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】A 选项，234110i i i i i i +++=--+=，故A 选项正确.B 选项，z 的虚部为1-，故B 选项错误.C 选项，214434,34z i i i z i =++=-+=--，对应坐标为()3,4--在第三象限，故C 选项错误.D 选项，()111z z z -=+=--表示z 到()1,0A 和()1,0B -两点的距离相等，故z 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，故D 选项正确. 故选：AD.35．（2021届新高考同一套题信息原创卷（四））已知,a b ∈R ，()1i 32i a b --=-，()1i a b z -=+，则（） A ．z 的虚部是2i B ．2z =C ．2i z =-D ．z 对应的点在第二象限【答案】BC 【分析】由复数相等，求出,a b 的值，然后求出2i z =，根据复数的相关概念判断选项. 【详解】由复数相等可得3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩解得1,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以()()21i 1i 2i a b z -=+=+=，z 的虚部是2，所以A 选项错误；2i 2z ==，所以B 选项正确； 2i z =-，所以C 选项正确；z 对应的点在虚轴上，所以D 选项不正确.故选：BC.36．（在线数学135高一下）下面关于复数()1z i i =-+（i 是虚数单位）的叙述中正确的是（） A ．z 的虚部为i - B ．z =C ．22z i = D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BC 【分析】先求出复数z ，然后根据复数的相关概念及运算法则对各选项逐一分析即可求解. 【详解】解：因为复数()11z i i i =-+=--，所以z 的虚部为1-，故A 选项错误；z B 选项正确；()2212z i i =--=，故C 选项正确；z 的共轭复数为1i -+，故D 选项错误；故选：BC.37．（云南省曲靖市罗平县第二中学2020-2021学年高一下期期末测试数学试题）已知复数21iz =+，则正确的是（） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 C ．z 的虚部为﹣i D ．z 的共轭复数为1i +【答案】BD 【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以z 的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为1i z =+，故AC 错误，BD 正确. 故选：BD.38．（河北省唐山市英才国际学校2020-2021学年高一下学期期中数学试题）复数1i z =-，则（） A ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1- B ．z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1 C ．2z = D ．z =【答案】AD 【分析】利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为()1,1-，即可得答案；【详解】1i z =-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-，z =故选：AD.39．（2021·湖北·高三月考）设1z ，2z 是复数，则（） A ．1212z z z z -=-B ．若12z z ∈R ，则12z z =C ．若120z z -=，则12z z =D ．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC 【分析】结合共轭复数、复数运算等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】设1i z a b =+，2i z x y =+，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立； ()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B ，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D ，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC.40．（2021·山东临沂·高三月考）已知m ，n R ∈，复数2i z m =+，()235i i z z n +=+，则（） A ．1m =- B ．1n =C ．i m n +=D ．m ni +在复平面内对应的点所在象限是第二象限【答案】ACD 【分析】由题意得()()23225mi mi ni i +++=+，即()2655m mi n i -+=-，由复数相等求出,m n ，然后逐个选项分析判断. 【详解】因为复数2i z m =+，()235i i z z n +=+ 所以()()23225mi mi ni i +++=+()2655m mi n i -+=-所以2655m n m ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，即51n m =⎧⎨=-⎩，所以A 正确，B 错误；m ni +C 正确；m ni +在复平面内对应的点为()1,5-，所在象限是第二象限，故D 正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题41．（山西省新绛中学2022届高三上学期10月月考数学（文）试题）已知1?21z i +=，则z 的最大值为_______.【答案】1 【分析】根据复数的几何含义，求解出z 的实部和虚部满足的关系式，再结合复数模的几何含义即可得出结果. 【详解】设()i ,z x y x y R =+∈， ()12i 12i 1z x y ∴+-=++-=即()()22121x y ++-=，所以点 (),x y 在以()1,2-为圆心，1为半径的圆上z z 表示点(),x y 到原点的距离，所以原点与圆上的一点距离的最大值即表示z 的最大值所以11MAXz =1.42．（北京市第十三中学2022届高三上学期期中考试数学试题）在复平面内，复数z 所对应的点的坐标为(1,1)-，则z z ⋅=_____________.【答案】2 【分析】由已知求得z ，进一步得到z ，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得．【详解】解：由题意，1i z =-，∴1i z =+，2(1i)(1i)1i 2z z ∴⋅=-+=-=．故答案为：2．43．（安徽省合肥市庐阳高级中学2020-2021学年高三上学期10月第一次质检理科数学试题）复数z 满足22i z z =++，则1i z -+的最小值为___________.【分析】设复数i z a b =+，代入题干条件后求出a 与b 的关系，再代入到1i z -+的关系式中，求出最小值. 【详解】设复数i z a b =+，则z ，()22i 22i z a b ++=+++，22i z ++，因为22i z z =++2a b =--，则()()1i=11i z a b -+-++，1i z -+①，把2a b =--代入①式中，得：i 1z +-当2b =-1i z -+44．（广东省湛江市第二十一中学2022届高三上学期9月第2次月考数学试题）已知复数3i 1iz +=+，则z =__________．【分析】根据复数除法运算化简求出z ，即可求出模. 【详解】 ()()()()3i 1i 3i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-+-====-++-，z ∴==.45．（天津市第二中学2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若复数z 满足ii i1z +=（i 为虚数单位），则z =_____．【分析】根据复数的运算直接求出z 的代入形式，进而可得模. 【详解】解：由已知21i1i iz +==--，z ∴==.46．（上海市交通大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题）若复数z 满足3iiz +=（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则z =___________.【分析】利用复数的除法化简复数z ，可得出z ，再利用复数的模长公式可求得结果. 【详解】()223i i 3i 3i i 3i 113i i i i 1iz +++-=====-⋅-，所以，13i z =+，因此，z =47．（上海市向明中学2022届高三上学期9月月考数学试题）已知复数()()()13i 1i 12i z +-=-，则z=___________. 【答案】2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数求模公式计算得答案．【详解】解：()()()()()()13i 1i 42i 12i 42i 10i2i 12i12i 12i 12i 5z +-+++=====---+，则2z z ==. 故答案为：2.48．（双师301高一下）若复数()i z a a =+∈R 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =_______．【答案】±1 【分析】利用数量积为0列方程，解方程求得a . 【详解】z a i =+对应坐标为(),1a ，z a i =-对应坐标为(),1a -，依题意()()2,1,110a a a ⋅-=-=，解得1a =±. 故答案为：±1.49．（2021·上海·格致中学高三期中）定义运算()(),,a b c d ad bc =-，则满足()(),1,232i z z =+的复数z =______.【答案】23i 3+【分析】设i z a b =+，然后根据定义直接化简计算即可. 【详解】设i z a b =+，所以i z a b =- 由()(),,a b c d ad bc =-所以()(),1,223i=32i z z z z a b =-=++所以23,3a b ==所以23i 3z =+故答案为：23i 3+.50．（2021·全国·高三月考（理））已知复数z 满足||||z i z i ++-=z 的最小值是_______．【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，得到||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上，结合椭圆的性质，即可求解. 【详解】由复数的几何意义，可得||||z i z i ++-=z 在椭圆2212y x +=上，而z 表示椭圆上的点到椭圆对称中心()0,0的距离，当且仅当复数z 位于椭圆短轴端点(1,0)±时，z 取得最小值，z 的最小值为1．故答案为：1．任务二:中立模式(中档)1-30题一、单选题1．（云南省昆明市第一中学2022届高三上学期第三次双基检测数学（理）试题）已知i 为虚数单位，则232021i i i i +++⋅⋅⋅+=（）A ．iB ．i -C ．1D ．-1【答案】A 【分析】根据虚数的运算性质，得到4414243i i i i 0n n n n ++++++=，得到2320212021i i i i i +++⋅⋅⋅+=，即可求解. 【详解】根据虚数的性质知4414243i i i i 1i 1i 0n n n n ++++++=+--=，所以2320212021i i i i 5050i i +++⋅⋅⋅+=⨯+=. 故选：A.2．（辽宁省名校联盟2021-2022学年高三上学期10月联合考试数学试题）已知复数202120221111i i i i z -+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，则z 的共轭复数z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】C 【分析】先利用复数的乘方化简复数z ，再求其共轭复数. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，所以20212022=(i)+i =i 1=1i z -----，则1i z =-+，3．（上海市曹杨第二中学2022届高三上学期10月月考数学试题）设b 、c ∈R ，若2i -（i 为虚数单位）是一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则（） A ．4b =，5c = B ．4b =，3c = C ．4b =-，5c = D ．4b =-，3c =【答案】C 【分析】分析可知实系数一元二次方程20x bx c ++=的两个虚根分别为2i -、2i +，利用韦达定理可求得b 、c 的值，即可得解. 【详解】因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个虚根，则该方程的另一个虚根为2i +，由韦达定理可得()()()()2i 2i 2i 2i b c -++=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，所以45b c =-⎧⎨=⎩.故选：C.4．（第3章本章复习课-2020-2021学年高二数学（理）课时同步练（人教A 版选修2-2））若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（） A ．2,3b c == B ．2,1b c ==- C ．2,1b c =-=- D ．2,3b c =-=【答案】D 【分析】把1x =代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解. 【详解】由题意1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=∴2(1(10b c +++=，即()1i 0b c -+++= ∴10b c -++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得23b c =-⎧⎨=⎩.5．（专题1.3集合与幂指对函数相结合问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破）设集合{}22||cos sin |,M y y x x x R ==-∈，|1N x =<⎧⎫⎨⎬⎩⎭，i 为虚数单位，x ∈R ，则M ∩N 为（） A ．（0，1） B ．（0，1]C ．[0，1）D ．[0，1]【答案】C 【分析】M 集合表示cos2y x =的值域，N 集合表示不等式1<的解集，先分别求出来再求其交集即可【详解】22|cos sin |cos 2y x x x =-=，其值域为[]0,1，所以[]0,1M =.因为1<，所以1x <，解得11x -<<，即()1,1N =-.所以M ∩N=[)0,1 故选：C.6．（考点38复数-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用））若2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ，且1xy >，则实数a 的取值范围是（） A ．)+∞B ．(,)-∞-⋃+∞C ．()-⋃+∞ D ．(,2)(2,)-∞-+∞【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算和相等复数的性质，求出,x y ，再根据1xy >，得出2414a ->，从而可求出a 的取值范围. 【详解】解：因为2ii(,,)1ia x y a x y +=+∈+R ，所以2i ()i a x y x y +=-++，所以2x y x y a -=⎧⎨+=⎩，解得：22,22a a x y +-==，因为1xy >，所以2414a ->，解得：a <-a >，则实数a 的取值范围是(,)-∞-⋃+∞. 故选：B.7．（四川省成都市树德中学2021-2022学年高三上学期入学考试文科数学试题）已知复数()2231i z a a a =-+-，R a ∈，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义求出a 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】若复数()2231i z a a a =-+-为纯虚数，则223010a a a ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得：0a =或3a =，所以由0a =可得出()2231i z a a a =-+-为纯虚数，但由()2231i z a a a =-+-为纯虚数，得不出0a =，所以“0a =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件，故选：A.8．（第25讲数系的扩充与复数的引入（练）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））设复数1i1iz -=+，()202020191f x x x x =++++，则()f z =（）A ．iB ．i -C ．1D ．1-【答案】C 【分析】利用复数的除法化简得出i z =-，然后利用复数的乘方法则可求得结果. 【详解】()()()21i 1i 2ii 1i 1i 1i 2z ---====-++-，又因为()4i 1-=，对任意的k 、n Z ∈，()()()()44i i i i n k n k k +-=-⋅-=-，而()()()()234i i i i i 1i 10-+-+-+-=--++=，因此，()()()()()20202019i i i i 1505011f z f =-=-+-++-+=⨯+=.故选：C.9．（河北正中实验中学2021届高三上学期第二次月考数学试题）棣莫弗定理：若两个复数111cos isin z θθ=+，222cos isin z θθ=+，则()()121212cos isin z z θθθθ⋅=+++，已知1i2a +，2021b a =，则a b +的值为（）A ．i - B ．i C ．D 【答案】B 【分析】推导出()111cos isin nz n n n N θθ*=+∈，求出b 的值，即可得出a b +的值.【详解】由已知条件可得2111cos 2isin 2z θθ=+，()()32111111111cos 2isin 2cos3isin 3z z z θθθθθθ==+++=+，，以此类推可知，对任意的n *∈N ，111cos isin n z n n θθ=+，31i cos isin 2266a ππ=+=+，所以，202120212021cos isin cos 337isin 3376666b a ππππππ⎛⎫⎛⎫==+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cosisini 662ππ=-+=，因此，i a b +=. 故选：B.10．（第25讲数系的扩充与复数的引入（讲）-2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版））欧拉公式i co sin s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i3e π表示的复数位于复平面中的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得i312e π=+，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i co sin s i x e x x +=，故i3isin 1cos 332e πππ==+，对应点12⎛ ⎝⎭，在第一象限.故选:A.11．（山东省济宁邹城市2021-2022学年高三上学期期中考试数学试题）定义运算a bad bc c d=-，若复数z 满足i 11i 1z z -=-，则z =（） A ．1i +B ．1i -C ．i -D ．i【答案】D 【分析】直接利用新定义，化简求解即可. 【详解】由a bad bc c d=-，则i 1i 1i 1z z z z -=+=-， ()()()2i 11i 2ii i 1i 1i 12z ---∴====-++--，则i z =.故选：D.12．（上海市徐汇中学2022届高三上学期期中数学试题）已知方程()20x x m m R ++=∈有两个虚根,αβ，若3αβ-=，则m 的值是（） A ．2-或52B ．2-C ．52 D ．52-【答案】C 【分析】由于是,αβ虚根，所以方程判别式小于0，且,αβ是一对共轭复数，因此可以通过设出复数，通过韦达定理代入条件解出参数【详解】由已知方程有两个虚根,αβ，因此方程判别式小于0，即.1140,4m m -<>, 设=i,i a b a b αβ+=-由韦达定理可知1m αβαβ+=-=，所以2221,a a b m =-+=, 即214m b =+3αβ-=, 即2i 3b =, 所以239,24b b ==所以915442m =+= 故答案为：C.13．（专题12.3复数的几何意义（重点练）-2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（苏教版2019必修第二册））若z 是复数，|z +2-2i|＝2，则|z +1-i|+|z |的最大值是（） AB ．C ．2D ．4【答案】D 【分析】设z ＝x +y i （x ，y ∈R ），由题意可知动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆，|z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，然后即可得到P ，A ，O 三点共线时|z +1-i|+|z |取得最大值时,从而可求出答案. 【详解】设z ＝x +y i(x ，y ∈R)，由|z +2-2i|＝2知，动点(),P x y 的轨迹可看作以()2,2C -为圆心，2为半径的圆， |z +1-i|+|z |可看作点P 到()1,1A -和()0,0O 的距离之和，而|CO |＝|CA |易知当P ，A ，O 三点共线时，|z +1-i|+|z |取得最大值时，且最大值为|PA |+|PO |＝(|CA |+2)+(|CO |+2)＝4，故选：D ．14．（专题07复数-备战2022年高考数学一轮复习核心知识全覆盖（新高考地区专用））如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是（） A ．1 B ．12C ．2D【答案】A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用数形结合求解即可．【详解】解：|i ||i |2Z Z ++-=∴点Z 到点(0,1)A -与到点(0,1)B 的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|i 1|Z ++表示为点Z 到点C (1,1)--的距离．数形结合，得最小距离为1 所以|z ＋i ＋1|min ＝1. 故选：A.15．（百师联盟2021届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知i 是虚数单位，复数z 的共轭复数为z ，下列说法正确的是（） A ．如果12z z +∈R ，则1z ，2z 互为共轭复数B ．如果复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=C ．如果2z z =，则1z =D ．1212z z z z = 【答案】D 【分析】对于A ，举反例11i z =+，22i z =-可判断；对于B ，设111i z a b =-，222i z a b =+代入验证可判断；对于C ，举反例0z =可判断；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，代入可验证. 【详解】对于A ，设11i z =+，22i z =-，123z z +=∈R ，但1z ，2z 不互为共轭复数，故A 错误；对于B ，设111i z a b =-（1a ，1b ∈R ），222i z a b =+（2a ，2b ∈R ）．由1212z z z z +=-，得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-，则12120a a b b +=，而()()()()()12112212121221121221i i i 2i z z a b a b a a b b a b a b a a a b a b ⋅=++=-++=++不一定等于0，故B 错误；对于C ，当0z =时，有2z z =，故C 错误；对于D ，设1i z a b =+，2i z c d =+，则1212z z z z ==，D 正确故选：D.16．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2021届高三第四次模拟数学（理）试题）设z 为复数，则下列命题中错误的是（） A ．2z zz = B ．若1z =，则i z +的最大值为2 C ．22z z =D ．若11z -=，则02z ≤≤【答案】C 【分析】根据复数的概念和运算以及几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222222(i)(i)i z z a b a b a b a b z =+-=-=+=⋅，故A 正确；由1z =，得221(11)a b b +=-≤≤，则i z += 当1b =时，i z +的最大值为2，故B 正确；2222(i)2i z a b a b ab =+=-+，222z a b =+，2z 与2z 不一定相等，故C 错误；满足11z -=的z 的轨迹是以()1,0为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则02z ≤≤，故D 正确．故选：C ．17．（陕西省汉中市2021-2022学年高三上学期第一次校际联考文科数学试题）设复数1z ，2z 满足121z z ==，1212z z -=-+，则12z z +=（）A ．1B ．12CD 【答案】D 【分析】利用性质2||z zz =，结合已知求出2112z z z z +，再由2121212()()z z z z z z ++=+即可求12z z +. 【详解】由题设，121212112122122|()()|1z z z z z z z z z z z z z z -=-+-=--=，又121z z ==，。

高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(解析版)

2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生【解题思路】根据集合的定义依次判断各个选项即可.【解答过程】对于A：2023年参加“两会”的代表具有确定性，能构成集合，故A正确；对于B：北京冬奥会上受欢迎的运动项目，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故B 错误；对于C：π的近似值，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故C错误；对于D：我校跑步速度快的学生，没有明确的标准，即对象不具有确定性，不能构成集合，故D错误；故选：A.2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤0【解题思路】全称量词命题的否定为存在量词命题，求解即可.【解答过程】因为命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，所以¬pp：∃xx>2，xx2−1≤0.故选：C.3．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<1【解题思路】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【解答过程】对于A，1<xx<3是xx<2的不充分不必要条件，A不是；对于B，xx<3是xx<2的一个必要不充分条件，B是；对于C，xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，C不是；对于D，0<xx<1是xx<2的一个充分不必要条件，D不是.故选：B.4．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据元素与集合、集合与集合之间的关系分析判断.【解答过程】对于①：因为0是{0}的元素，所以0∈{0}，故①正确；对于②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以∅ {0}，故②正确；对于③：因为集合{0,1}的元素为0，1，集合{(0,1)}的元素为(0,1)，两个集合的元素全不相同，所以{0,1},{(0,1)}之间不存在包含关系，故③错误；对于④：因为集合{(aa,bb)}的元素为(aa,bb)，集合{(bb,aa)}的元素为(bb,aa)，两个集合的元素不一定相同，所以{(aa,bb)},{(bb,aa)}不一定相等，故④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.5．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-4【解题思路】利用整体法，结合不等式的性质即可求解.【解答过程】设zz=xx+2yy=mm(2xx+yy)+nn(xx−yy)，故2mm+nn=1且mm−nn=2，所以mm=1,nn=−1，故zz=xx+2yy=(2xx+yy)−(xx−yy)，由于3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，所以3+(−9)≤2xx+yy−(xx−yy)≤9+(−6)，−6≤xx+2yy≤3，故最小值为−6，此时xx=4,yy=−5，故选：B.6．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}【解题思路】先求出MM，∁UU NN，再求MM∩(∁UU NN)，【解答过程】因为UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU}，所以MM={5,7,9}，因为UU={1,3,5,7,9}，NN={3,7,9}，所以∁UU NN={1,5}，所以MM∩(∁UU NN)={5}．故选：B．7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}【解题思路】根据给定的解集求出aa,bb，再解一元二次不等式即得.【解答过程】由不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，得−2,−1是方程aaxx2+bbxx+2=0的两个根，且aa>0，因此−2+(−1)=−bb aa，且−2×(−1)=2aa，解得aa=1,bb=3，不等式2xx2+bbxx+aa<0化为：2xx2+3xx+1<0，解得−1<xx<−12，所以不等式2xx2+bbxx+aa<0为{xx|−1<xx<−12}.故选：C.8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6【解题思路】根据题意可知2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，根据乘1法结合基本不等式运算求解. 【解答过程】因为aa>bb≥0，则aa+bb>0,aa−bb>0，且2aa+bb=32(aa+bb)+12(aa−bb)，则2aa+bb=�32(aa+bb)+12(aa−bb)��6aa+bb+2aa−bb�=10+3(aa−bb)aa+bb+3(aa+bb)aa−bb≥10+2�3(aa−bb)aa+bb⋅3(aa+bb)aa−bb=16，当且仅当3(aa−bb)aa+bb=3(aa+bb)aa−bb，即aa=8,bb=0时，等号成立，所以2aa+bb的最小值为16.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

云南省昆明一中2018届高三第一次摸底测试数学(文)试题Word版含答案

昆明第一中学2018届高中新课标高三第一次摸底测试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1{0}3x A xx +=≤-，集合{04}B x x =<<，则A B = （） A ．(0,3) B ．(0,3] C ．(,4)-∞ D ．(,4]-∞2.若对于变量x 的取值为3，4，5，6，7时，变量y 对应的值依次分别为4.0，2.5，-0.5，-1，-2；若对于变量u 的取值为1，2，3，4时，变量v 对应的值依次分别为2，3，4，6，则变量x 和y ，变量u 和v 的相关关系是（） A ．变量x 和y 是正相关，变量u 和v 是正相关 B ．变量x 和y 是正相关，变量u 和v 是负相关 C ．变量x 和y 是负相关，变量u 和v 是负相关 D ．变量x 和y 是负相关，变量u 和v 是正相关3.已知复数21a ii--为纯虚数（其中i 是虚数单位），则a 的值为（） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12-4.如图，正方形ABCD 内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．12 C ．8π D ．4π5.已知双曲线C 的中心为原点，点F 是双曲线C 的一个焦点，点F 到渐近线的距离为1，则C 的方程为（）A ．221x y -= B ．2212y x -= C. 22123x y -= D ．22133x y -= 6.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（）A ．等边三角形B ．直角三角形 C. 正方形 D ．正六边形7.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（）A ．2B ．1 C. -2 D ．-18. 执行如图所示的程序框图，若输出n 的值为9，则判断框中可填入（）A ．45?S ≥B ．36?S ≥ C. 45?S > D ．55?S ≥ 9.若函数()f x x =，则函数12()log y f x x =-的零点个数是（）A ．5个B ．4个 C. 3个 D ．2个 10. 已知函数()sin()sin()62f x x x ππωω=+++（0ω>），且()03f π=，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（） A ．函数()f x 的图象关于直线12x π=对称B ．6x π=-是函数()f x 的一个零点C. 函数()f x的图象可由()2g x x =的图象向左平移3π个单位得到D ．函数()f x 在[0,]12π上是增函数11.在ABC ∆中，060B =，AC =AC 边上的高为2，则ABC ∆的内切圆半径r =（）A ．．1)1 D ．1)12.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．2 B ．23 C. 3D ．1第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(6,)a k = ，向量(3,1)b =-，a b - 与b 共线，则k = ．14.函数2()ln f x x x =+在(1,1)处的切线方程为． 15.已知3sin()45πα-=，(,)42ππα∈，则tan α= ．16.四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==面体A BCD -外接球的表面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前5项和515S =，且137,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求282631k a a a a -++++ （*k N ∈）的值.18. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，2AB AC ==，点,M N 分别为111,AC AB 的中点.（1）证明：//MN 平面11BB C C ；（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积..19. 某市为了解本市2万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，发现其成绩全部介于[40,100]之间，将其成绩按如下分成六组，得到频数分布表（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估算该校50名学生成绩的平均值x 和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）以该校50名学生成绩的频率作为概率，试估计该市分数在[80,100]的人数.20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点(0,1)C，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于,A B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.21. 已知函数()x f x e =，2()2a g x x x =--，（其中a R ∈，e 为自然对数的底数，2.71828e =……）.（1）令'()()h x f x =，求()h x 的单调区间；（2）已知()f x 在0x =处取得极小值，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心坐标为(2,)6π.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）设直角坐标系的原点与极点O 重合，x 轴非负关轴与极轴重合，直线l的参数方程为128x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），由直线l 上的点向圆C 引切线，求线线长的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()23f x x x =--+. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若不等式2()6f x a a <-解集非空，求实数a 的取值范围.昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（文科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序一、选择题1. 解析：集合[)1,3A -=，()0,4B =，所以()0,3AB =I ，选A. 2. 解析：由正相关和负相关的定义知道，D 正确，选D.3. 解析：因为2(2)(2)12a i a a ii -++-=-，所以2a =-，选B. 4. 解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224⨯=.图中黑色部分面积为2π.则此点取自黑色部分的概率为248ππ=，选C.5. 解析：设C 的方程为：22221x y a b-=，由已知1b =，c 1a =，所以C 的方程为221x y -=，选A .6. 解析：因为用一个平面去截正方体，若截面为三角形，则截面三角形只能是锐角三角形，选B ．7. 解析：如图，目标函数z 在点(1,0)A 处取得最小值，且1z =，选B .8. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.9. 解析：如图：函数()f x 与函数12()log g x x =，有2个交点，所以选D .10. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()g x x 的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以D 为真，选C .11. 解析：由11sin 222ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯V 得16AB BC ⋅=，又由余弦定理22222cos ()3AC AB BC AB BC B AB BC AB BC =+-⋅⋅=+-⋅，解得AB BC +=而ABC V 的周长为．由1()2ABC S r AB BC CA =++ 得21)ABC S r AB BC CA ∆===++，选B .12. 解析：由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当00y <，0OM K <；当00y >，0OM K >．要求OMK 的最大值，可设00y >，则()2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，可得200013263OM y K y p y p p y p ==≤=++2202y p =时取得等号，选A .二、填空题13. 解析：因为(3,1)a b k -=+，且()//a b b -，所以3(1)3k +=-，所以2k =-.14. 解析：因为1()2f x x x'=+，所以切线的斜率3=k ，所以切线方程为320--=x y . 15. 解析：由,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得0,44ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以c o s c o s c o s c oss4444441ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin α==所以sin tan 7cos ααα==. 16. 解析：由题意可采用割补法，考虑到四面体A BCD -的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，x ，y ，z 为侧棱长且两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且22100x y +=，22136x z +=，22164y z +=．设球半径为R ，则有()22222200R x y z =++=，所以24200R =，得球的表面积为200π．三、解答题17. 解：（Ⅰ）：据题意有()()1211154515226a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得13234a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，所以数列{}n a 的通项公式为()133144n a a n d n =+-=+；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()31333313444n n n a -=-+=⨯，所以 2826a a a +++……31k a -+ (12333334=+++……)3k + ()()31339314138kk -=⨯=--. 另解：设()31333313444n n n n b a -==-+=⨯，则()13n n b n b *+=∈N ，所以数列{}n b 是首项为94，公比为3的等比数列，所以数列{}n b 的前k 项和()()9139431138k k k T -==--.18. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11AC ，1AB的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C ．（Ⅱ）设点D ，E 分别为AB ，1AA 的中点，a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ，42054222+=+=a a CN ，由C M M ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ，又⊥NE 平面C C AA 11，1=NE ，M NAC V -==-AMC N V =⋅∆NE S AMC 31=⨯⨯⨯⨯122213132．所以三棱锥M NAC -的体积为32.19. 解：（Ⅰ）（Ⅱ）450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；由已知可设中位数为60x +，则0.080.20.0320.5x ++=；所以 6.875x =，所求中位数为66.875x =. （Ⅲ）该市分数在[]80,100的人数6420000400050+⨯=，故所求人数为4000人.20. 解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为：22221x y a b+= (0)a b >>，由已知：2221b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=.（Ⅱ）由已知直线l 过左焦点(1,0)F -．当直线l 与x轴垂直时，(1,A -，(B -，此时AB则112OAB S ∆== 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+ 由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-= 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+，而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-，由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，12y y -=，所以222224416(12)129k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±，所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=．21. 解: (Ⅰ) 因为()e 1x f x ax '=--，所以()e x h x a '=-，当0a ≤时，()0h x '>，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞，当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =，(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 的减区间为(,ln )a -∞ ，增区间为(ln ,)a +∞ 综上可得，当0a ≤时，()h x 在),(+∞-∞上单调递增当0a >时，()h x 的增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞. （Ⅱ）由题意得()e 1x f x ax '=--，(0)0f '=，（1）当0a ≤时，()f x '在),(+∞-∞上单调递增，所以当0x <时，()(0)0f x f ''<=，当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.（2）当01a <<时，ln 0a <，由（Ⅰ）知()f x '在(ln ,)a +∞单调递增，所以当(ln ,0)x a ∈时，()(0)0f x f ''<=，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.（3）当1a =时，由（Ⅰ）知()f x '在区间(,ln )a -∞单调递减，()f x '在区间(ln ,)a +∞单调递增，所以()f x '在ln x a =处取得最小值，即()(ln )(0)0f x f a f '''≥==，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 在0x =处无极值，不符合题意.（4）当1a >时，ln 0a >，由（Ⅰ）知()f x '的减区间为(,ln )a -∞，所以当(,0)x ∈-∞时，()(0)0f x f ''>=，当(0,ln )x a ∈时，()(0)0f x f ''<=，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意，综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点A ，当点M 异于O ，A 时，连接OM 、MA ，直角△MOA 中，cos OM OA MOA =⋅∠，即4cos 4cos()66ππρθθ=-=-，当点M 与O ，A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-.（Ⅱ）直线l 80y --=，圆心C 到直线l 的距离为d ，3d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，23. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞.（Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-，从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U .昆明一中全国联考第一期参考答案参考答案（文科数学）命题、审题组教师杨昆华李文清孙思应梁云虹王在方卢碧如凹婷波吕文芬陈泳序一、选择题24. 解析：集合[)1,3A -=，()0,4B =，所以()0,3A B =I ，选A. 25. 解析：由正相关和负相关的定义知道，D 正确，选D.26. 解析：因为2(2)(2)12a i a a ii -++-=-，所以2a =-，选B. 27. 解析：设正方形边长为2，则圆半径为1.此时正方形面积为224⨯=.图中黑色部分面积为2π.则此点取自黑色部分的概率为248ππ=，选C.28. 解析：设C的方程为：22221x y a b-=，由已知1b =，c 1a =，所以C 的方程为221x y -=，选A .29. 解析：因为用一个平面去截正方体，若截面为三角形，则截面三角形只能是锐角三角形，选B ．30. 解析：如图，目标函数z 在点(1,0)A 处取得最小值，且1z =，选B . 31. 解析：模拟执行如图所示的程序框图知，该程序的功能是计算12945S =+++=L ，选A.32. 解析：如图：函数()f x 与函数12()log g x x =，有2个交点，所以选D .33. 解析：()3cos 23f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由()03f π=得()33k k ππωπ+=∈Z ，即31k ω=-，由0ω>知ω的最小值是2，当ω取得最小值时，()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得出：函数()f x 的图象关于直线12x π=对称，A 为真；由20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦可得出：6x π=-是函数()f x 的一个零点，B 为真；将函数()g x x 的图象向左平移6π个单位得到()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以C 为假；由复合函数单调性可得()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以D 为真，选C .34. 解析：由11sin 222ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯V 得16AB BC ⋅=，又由余弦定理22222cos ()3AC AB BC AB BC B AB BC AB BC =+-⋅⋅=+-⋅，解得AB BC +=而ABC V 的周长为．由1()2ABC S r AB BC CA =++得21)ABC S r AB BC CA ∆===++，选B .35. 解析：由题意可得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设200,2y P y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，当00y <，0OM K <；当00y >，0OM K >．要求OMK 的最大值，可设00y >，则()2001112,3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p ⎛⎫=+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭uuu r uu u r uuu r uu u r uu r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r ，可得200013263OM y K y p y p p y p ==≤=++2202y p =时取得等号，选A .二、填空题36. 解析：因为(3,1)a b k -=+，且()//a b b -，所以3(1)3k +=-，所以2k =-.37. 解析：因为1()2f x x x'=+，所以切线的斜率3=k ，所以切线方程为320--=x y . 38. 解析：由,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得0,44ππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以c o s c o s c o s c oss4444441ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，sin α==所以sin tan 7cos ααα==. 39. 解析：由题意可采用割补法，考虑到四面体A BCD -的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，x ，y ，z 为侧棱长且两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且22100x y +=，22136x z +=，22164y z +=．设球半径为R ，则有()22222200R x y z =++=，所以24200R =，得球的表面积为200π．三、解答题40. 解：（Ⅰ）：据题意有()()1211154515226a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得13234a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ， ………4分所以数列{}n a 的通项公式为()133144n a a n d n =+-=+； ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()31333313444n n n a -=-+=⨯，所以 2826a a a +++……31k a -+ (12333334=+++……)3k + ………9分()()31339314138kk-=⨯=--. ………12分另解：设()31333313444n n n n b a -==-+=⨯，则()13n n b n b *+=∈N ，所以数列{}n b 是首项为94，公比为3的等比数列， ………9分所以数列{}n b 的前k 项和()()9139431138k k k T -==--. ………12分41. 解：（Ⅰ）证明：连接1A B ，1BC ，点M ，N 分别为11AC ，1AB的中点，所以MN 为△11A BC 的一条中位线，1//MN BC MN ⊄平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，所以//MN 平面11BB C C ． ………6分（Ⅱ）设点D ，E 分别为AB ，1AA 的中点，a AA =1，则122+=a CM ，48441222+=++=a a MN ，42054222+=+=a a CN ，由C M M ⊥，得222CN MN CM =+，解得2=a ，又⊥NE 平面C C AA 11，1=NE ，M NAC V -==-AMC N V =⋅∆NE S AMC 31=⨯⨯⨯⨯122213132．所以三棱锥M NAC -的体积为32. ………12分42. 解：（Ⅰ）………3分（Ⅱ）450.08550.2650.32750.2850.12950.0868.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； ………6分由已知可设中位数为60x +，则0.080.20.0320.5x ++=；所以6.x =，所求中位数为66.875x =. ………9分（Ⅲ）该市分数在[]80,100的人数6420000400050+⨯=，故所求人数为4000人. ………12分43. 解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为：22221x y a b+= (0)a b >>，由已知：2221b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=. ………4分（Ⅱ）由已知直线l 过左焦点(1,0)F -．当直线l 与x轴垂直时，(1,A -，(B -，此时AB则112OAB S ∆== ………5分当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：(1)y k x =+ 由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-= 所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k -=+， ………8分而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-，由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，12y y -=，所以222224416(12)129k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±，所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=． ………12分44. 解: (Ⅰ) 因为()e 1x f x ax '=--，所以()e x h x a '=-，当0a ≤时，()0h x '>，()h x 的单调递增区间为(),-∞+∞，当0a >时，由()e 0x h x a '=-=，得ln x a =，(,ln )x a ∈-∞时，()0h x '<，(ln ,)x a ∈+∞时，()0h x '>，所以()h x 的减区间为(,ln )a -∞ ，增区间为(ln ,)a +∞ 综上可得，当0a ≤时，()h x 在),(+∞-∞上单调递增当0a >时，()h x 的增区间为(ln ,)a +∞，减区间为(,ln )a -∞. ………5分（Ⅱ）由题意得()e 1x f x ax '=--，(0)0f '=，（1）当0a ≤时，()f x '在),(+∞-∞上单调递增，所以当0x <时，()(0)0f x f ''<=，当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.（2）当01a <<时，ln 0a <，由（Ⅰ）知()f x '在(ln ,)a +∞单调递增，所以当(ln ,0)x a ∈时，()(0)0f x f ''<=，当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在0x =处取得极小值，符合题意.（3）当1a =时，由（Ⅰ）知()f x '在区间(,ln )a -∞单调递减，()f x '在区间(ln ,)a +∞单调递增，所以()f x '在ln x a =处取得最小值，即()(ln )(0)0f x f a f '''≥==，所以函数()f x 在R 上单调递增，所以()f x 在0x =处无极值，不符合题意.（4）当1a >时，ln 0a >，由（Ⅰ）知()f x '的减区间为(,ln )a -∞，所以当(,0)x ∈-∞时，()(0)0f x f ''>=，当(0,ln )x a ∈时，()(0)0f x f ''<=，所以()f x 在0x =处取得极大值，不符合题意，综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞. ………12分第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.45. 解：（Ⅰ）设(,)M ρθ是圆上任意一点，如图，连接OC ，并延长与圆C 交于点A ，当点M 异于O ，A 时，连接OM 、MA ，直角△MOA 中，cos OM OA MOA =⋅∠，即4cos 4cos()66ππρθθ=-=-，当点M 与O ，A 重合时，也满足上式，所求圆C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-. ………5分（Ⅱ）直线l 80y --=，圆心C 到直线l 的距离为d ，3d r ==>，所以直线l 与圆C 相离，………10分46. 解：（Ⅰ）由()233f x x x =--+≤可化为：3233x x x <-⎧⎨-+++≤⎩或32233x x x -≤≤⎧⎨-+--≤⎩或2233x x x >⎧⎨---≤⎩解得：x ∈∅或22x -≤≤或2x >，所以，不等式解集为[)2,-+∞. ………5分（Ⅱ）因为()23(2)(3)5f x x x x x =--+≤--+= 所以5()5f x -≤≤，即()f x 的最小值为5-，要不等式2()6f x a a <-解集非空，需2min ()6f x a a <-，从而2650a a -+>，解得1a <或5a >，所以a 的取值范围为()(),15,-∞+∞U . ………10分。

高一上学期第一次月考数学试卷

高一数学上学期第一次月考试题第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若A、B是全集I的真子集，则下列四个命题：①A∩B=A；，是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.命题“∃x∈R，x2+2x+2<0”的否定是()A. ∃x∈R，x2+2x+2≥0B. ∃x∈R，x2+2x+2>0C. ∀x∈R，x2+2x+2≥0D. ∀x∉R，x2+2x+2>03.已知t>0，则y=t2−4t+1t的最小值为()A. −2B. 12C. 1D. 24.设a∈R，若关于x的不等式x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解，则()A. a≤2B. a≥2C. a≤52D. a≥525.已知非零实数a,b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()A. a+b>0B. a2>b2C. 1a <1bD. a2+b2>2ab6.已知集合，B={x|3<x<22}，且A∩B=A，则实数a的取值范围是()A. (−∞,9]B. (−∞,9)C. [2,9]D. (2,9)7.对于实数x，“|x|<1”是“x<1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8.已知实数a>0，b>0，且9a+b=ab，若不等式a+b≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围为()A. [3,+∞)B. (−∞,3]C. (−∞,6]D. [6,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知a>0，b>0，则下列说法不正确的有()A. 1a−b >1aB. 若a+b≥2，则ab≥1C. 若a+b≥2，则ab≤1D. a3+b3≥a2b+ab210.下列命题为真命题的是()A.B. a2=b2是a=b的必要不充分条件C. 集合{(x,y)|y=x2}与集合{y|y=x2}表示同一集合D. 设全集为R，若A⊆B，则∁R B⊆∁R A11.设集合M={x|x=6k+1,k∈Z}，N={x|x=6k+4,k∈Z}，P={x|x=3k−2,k∈Z}，则下列说法中正确的是()A. M=N⫋PB. (M∪N)⫋PC. M∩N=⌀D. ∁P M=N12.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的是()A. M={−4,−2,0，2，4)为闭集合B. 正整数集是闭集合C. M={n|n=3k,k∈Z)为闭集合D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2也为闭集合第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）13.已知不等式(a−3)x2+2(a−3)x−6<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围_______．14.已知集合A={x|x2−6x+8=0}，B={x|mx−4=0}，且B∩A=B，则实数m所取到的值构成的集合C=，则A∪C=．四、解答题（本大题共8小题，共96.0分）15.在①A∩B=A，②A∩(∁R B)=A，③A∩B=⌀这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合A={x|a−1<x<2a+3}，B={x|x2−2x−8≤0}．(1)当a=2时，求A∪B；(2)若_______________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分．16.已知集合A={x|0<ax+1≤5}，集合B={x|−1<x≤2}．2(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由．17.设全集为实数集R，A={x|−1≤x<4}，B={x|−5<x<2}，C={x|1−2a<x<2a}．(1)若C=⌀，求实数a的取值范围；(2)若C≠⌀，且C⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．18.设y=mx2+(1−m)x+m−2．(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；(2)在(1)的条件下，求m2+2m+5的最小值；m+1(3)解关于x的不等式mx2+(1−m)x+m−2<m−1(m∈R)．19.已知定义在R上的函数f(x)=x2+(x−2)a−3x+2(其中a∈R)．(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(−2,2)，求实数a的值；(2)若不等式f(x)−x+3≥0对任意x>2恒成立，求a的取值范围．20.已知集合A={x|x2+2x−3<0}，集合B={x||x+a|<1}．(1)若a=3，求A∩B和A∪B；(2)设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．21.设集合A={|xx2+2x−3<0}，集合B={|x−a−1<x<−a+1}．(1)若a=3，求A∪B和A∩B；(2)设命题p:x∈A，命题q:x∈∁R B，若q是p成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22.已知m>0，n>0，关于x的不等式x2−mx−20<0的解集为{x|−2<x<n}．(1)求m，n的值；(2)正实数a，b满足na+mb=2，求15a +1b的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于中档题．根据集合的交集、并集、补集的定义结合Venn图判断集合间的关系，从而求出结论．【解答】解：由A⊆B得Venn图，①A∩B=A⇔A⊆B; ②A∪B=A⇔B⊆A; ③A∩(∁I B)=⌀⇔A⊆B; ④A∩B=I，与A、B是全集I的真子集矛盾，不可能存在;⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件⇔A⫋B;故和命题A⊆B等价的有①③共2个，故选：B2.【答案】C【解析】【分析】本题考查存在量词命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即可求出结果．【解答】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x ∈ R ，x 2+2x +2<0”的否定是： ∀x ∈ R ，x 2+2x +2≥0．故选C ．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件．【解答】解：t >0，则 y =t 2−4t+1t=t +1t−4≥2√t ·1t−4=−2，当且仅当t =1t ，即t =1时，等号成立，则y =t 2−4t+1t的最小值为−2．故选A ．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围，属于中档题．根据题意得不等式对应的二次函数f (x )=x 2−ax +1的图象开口向上，分别讨论三种情况即可．【解答】解：由题意得：二次函数f (x )=x 2−ax +1的图象开口向上，当，满足题意，当{Δ>0f(1)≥0或 f(2)≥0，解得a <−2或2<a ≤52，当，满足题意，综上所述：a⩽52．故选C．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等关系，不等式性质，是基础题．通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，利用不等式性质证明命题正确即可．【解答】解：对于A，令a=−1，b=−2，故A错误，对于B，a2−b2=(a+b)(a−b)，符号不确定，故B错误，对于C，令a=1，b=−2，故C错误，对于D，∵a>b，a2+b2−2ab=(a−b)2>0，∴a2+b2>2ab，故D正确．故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了描述法、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力．根据A∩B=A可得出A⊆B，从而可讨论A是否为空集：A=⌀时，a+1>3a−5；A≠⌀时，{a+1≤3a−5 a+1>33a−5<22，解出a的范围即可．【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，且A={x|a+1≤x≤3a−5}，B={x|3<x<22}，∴①A=⌀时，a+1>3a−5，解得a<3，满足题意；②A≠⌀时，{a+1≤3a−5 a+1>33a−5<22，解得3≤a<9，∴综上得，实数a的取值范围是(−∞,9)．故选：B．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断，要注意准确理解概念和方法，属于基础题．双向推理，即从左右互推进行判断即可得解．【解答】解：当|x|<1时，显然有x<1成立，但是由x<1，未必有|x|<1，如x=−2<1，但|x|>1，故“|x|<1”是“x<1”的充分不必要条件；故选：A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，训练了分离变量法求字母的取值问题，是中档题．利用基本不等式求得a+b的最小值，把问题转化为m≥f(x)恒成立的类型，求解f(x)的最大值即可．【解答】解：∵9a+b=ab，∴1a +9b=1，且a，b为正数，∴a+b=(a+b)(1a+9b)=10+ba+9ab⩾10+2√ba⋅9ab=16;当且仅当ba =9ab，即a=4, b=12时，(a+b)min=16;若不等式a+b≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立，则16≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立，即m≥−x2+2x+2对任意实数x恒成立，∵−x2+2x+2=−(x−1)2+3⩽3，∴m≥3，故选：A.9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了不等式性质，灵活运用不等式的性质是解决本题的关键，属于中档题．由题意和不等式的性质，逐个选项验证即可．【解答】解：对于A，若a>0，b>0，且a<b，则a−b<0，则1a−b <1a，故选项A说法不正确；对于B，若a=1.9,b=0.1,则满足a+b≥2，而ab=0.19，不满足ab≥1，故选项B 说法不正确；对于C，若a=3,b=2，满足a+b⩾2，，而ab=6不满足ab≤1，故选项C说法不正确；对于D，已知a>0，b>0，则(a3+b3)−(a2b+ab2)=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)(a2−b2)=(a+b)(a−b)2⩾0，当a=b时，等号成立，故选项D成立．故选ABC．10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了真假命题的判定，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了集合的相等，子集的定义，属于中档题．根据必要条件、充分条件与充要条件的判断、集合的相等及子集的定义逐项判断即可．【解答】解：对于A，当x=0时，x2⩽1，故A是真命题；对于B，当a2=b2时，则a=±b，当a=b时，则a2=b2，则a2=b2是a=b的必要不充分条件，故B是真命题；对于C，集合{(x,y)∣y=x2}与集合{y|y=x2}不表示同一集合，前者为点集，后者为数集，故C是假命题；对于D，根据子集定义，A⊆Ｂ时，集合Ａ中元素，全都在集合Ｂ中，不在集合Ｂ中的元素一定不会在集合Ａ中，当x∈∁R B时，就是x在集合R内，不在集合B中，故x一定不在集合A中，不在集合A中就一定在集合A的补集内，故x∈∁R A，D正确．故选ABD．11.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查了集合的含义、集合的交集、并集、补集运算、集合间的关系，属于中档题．根据集合的意义及集合运算分析解答．【解答】解：集合M表示所有被6除余数为1的整数，集合N表示所有被6除余数为4的整数，所以M不等于N，又因为被6除余数分为0，1，2，3，4，5六类，A选项错误，C选项正确；因为M∪N={x|x=6k+1,k∈Z}∪{x|x=6k+4,k∈Z}={x|x=6k+1或x=6k+4,k∈Z}所以M∪N={x|x=2k·3+1或x=(2k+1)·3+1,k∈Z}={x|x=3m+1,m∈Z}，因为P={x|x=3k−2,k∈Z}={x|x=3(n+1)−2,n∈Z}={x|x=3n+1,n∈Z}，所以M∪N=P，所以，所以B选项错误，D选项正确，故选CD．12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．根据闭集合的定义，对选项进行逐一判断，可得出答案．【解答】解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．B.设a,b是任意的两个正整数，当a<b时，a−b<0不是正整数，所以正整数集不为闭集合．C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，k1,k2∈Z，所以集合M是闭集合．D.设A 1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈A1∪A2，而2+3∉A1∪A2，此时A1∪A2不为闭集合．所以说法中不正确的是ABD故选ABD．13.【答案】(−3,3]【解析】解：由题意，a =3时，不等式等价于−6<0，显然恒成立。

高考数学各地名校试题解析分类汇编(一)6 平面向量文

各地解析分类汇编:平面向量1.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考文】已知平面向量,a b满足3,2,a b a b == 与的夹角为60°，若(),a m b a -⊥则实数m 的值为（）A.1B.32C.2D.3【答案】D【解析】因为(),a m b a -⊥ 所以()0a mb a -= ，即20a m a b -=，所以2c o s 600a m a b -=，解得3m =，选D.2【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】在△ABC 中，若2···AB AB AC BA BC CA CB =++ ，则△ABC 是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】因为2···()AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC CA CB =++=-+AB AB CA CB =+ ,所以0CA CB = ，即CA CB ⊥，所以三角形为直角三角形，选D.3【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】已知向量,1),(0,(,3),2,a b c a b c k===+=若与垂直则A ．—3B ．—2C ．lD ．－l【答案】A【解析】因为2a bc + 与垂直，所以有2=0a b c + （），即2=0a c b c + ，所以30++=，解得3k =-，选A.4【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试文】已知点(5,6)(1,2),3M a M N a -=-=-和向量若，则点N 的坐标为A ．（2，0）B ．（-3，6）C ．（6，2）D ．（—2，0）【答案】A【解析】33(1,2)(3,6)M N a =-=--=- ，设(,)N x y ,则(5,(6))(3,6)M N x y =---=-，所以5366x y -=-⎧⎨+=⎩，即2=0x y =⎧⎨⎩，选A.5【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试文科】已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（）A. -12B. -6C. 6D. 12 【答案】D【解析】因为(2)0a a b -=，即(2,1)(5,2)0k -= ，所以10+20k -=，即12k =，选D. 6【山东省聊城市东阿一中2013届高三上学期期初考试】已知向量25,10),1,2(=+=⋅=→→→→→b a b a a ，则=→b （）A. 5B.10C.5D.25 【答案】C【解析】因为222a (2,1),ab 10,a b (a b )50a 2a b b →→→→→→→→→→→=⋅=+=+==++ ，解得可知=→b 5，选C7【山东省临沂市2013届高三上学期期中考试数学文】如图，已知4,,,3A P AB O A O B O P O P =用表示则等于A ．1433O A O B -B ．1433O A O B +C ．1433O A O B -+D ．1433O A O B --【答案】C【解析】OP OA AP =+ 4414()3333O A AB O A O B O A O A O B =+=+-=-+,选C.8 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x a x b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数【答案】D【解析】因为a b ⊥ ，所以0a b = ，所以2222()()f x ax b ax b =+=+，所以2()()f x a x b =+为偶函数，选D.9 【山东省青岛市2013届高三上学期期中考试数学（文）】已知O 是A B C △所在平面内一点，D 为B C 边中点，且20OA OB OC ++=，则A ．2AO OD =B ．AO O D =C ．3AO OD =D ．2AO OD =【答案】B【解析】因为D 为B C 边中点，所以由20OA OB OC ++= 得22OB OC OA AO +=-=，即22OD AO = ,所以AO O D =，选B.10 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】若向量)6,12(),2,4(),6,3(--==-=w v u ,则下列结论中错误的是 A ．v u ⊥ B ．w v //C ．v u w 3-=D ．对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=【答案】C【解析】因为0=⋅v u ，所以v u ⊥；又因0)12(2)6(4=---⨯，所以w v //；u 与v 为不共线向量，所以对任一向量AB ，存在实数b a ,，使v b u a AB +=. 故选C.11 【天津市新华中学2013届高三上学期第一次月考数学（文）】若向量a 与b 不共线，0≠⋅b a ，且()a a c a b a b=-，则向量a 与c 的夹角为（）A. 0B.6πC.3πD.2π【答案】D【解析】因为()a a c a b a b =- ，所以222[()]0a a c a ab a a a b =-=-=，所以a c ⊥ ，即向量夹角为2π，选D.12 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】已知向量),sin ,(cos θθ=a 向量),1,3(-=b 则|2|b a -的最大值、最小值分别是A ．24 ，0B ．4， 24C ．16，0D ．4，0 【答案】D【解析】)6cos(88)sin cos 3(44444|2|222πθθθ+-=--+=⋅-+=-b a b a b a ，故|2|b a -的最大值为4，最小值为0.故选D.13 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】已知平面内一点P 及ABC ∆，若AB PC PB PA =++，则点P 与ABC ∆的位置关系是A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段BC 上C.点P 在线段AC 上D.点P 在ABC ∆外部【答案】C【解析】由AB PC PB PA =++得PA PC AB PB AP +=-= ，即2PC AP PA AP =-= ，所以点P 在线段AC 上，选C.14 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】若()1,a b a a b ==⊥- 且，则向量,a b的夹角为A.45°B.60°C.120°D.135°【答案】A【解析】因为()a ab ⊥- ，所以()0a ab -= ，即20a a b -=，即2a b a=，所以向量,ab的夹角为21cos ,2a a b a b a b a b<>====，所以,45a b <>=，选A. 15 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知(2,)a m = ，(1,)b m =-，若(2)a b b -⊥ ，则||a＝A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】因为(2a b b-⊥)，所以(20a b b -⋅= )，即250m -+=，即25m =，所以||3a = ，故选B ． 16. 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=A.0B.BEC.ADD.CF【答案】D【解析】因为BA DE =,所以B A C D E F C DD E E++=++=,选 D.17 【山东省师大附中2013届高三12月第三次模拟检测文】平面向量a与b 的夹角为060，)0,2(=a，1=b ，则=+b aA ．9B ．3 D ． 7 【答案】B【解析】2a =,1cos ,2112a b a b a b =<>=⨯⨯= ,所以22224127a b a b a b +=++=++= ，所以a b += ，选B.18. 【山东省德州市乐陵一中2013届高三10月月考数学（文）】已知向量a ),2(x =，b)8,(x =，若a ∥b，则x =A.4-B.4C.4±D.16【答案】C【解析】因为//a b，所以2160x -=，即4x =±，选C.19 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】若向量)2,1(),1,1(),1,1(--=-==c b a ，则=cA. b a 2321--B. b a 2321+-C.b a 2123-D. b a 2123+-【答案】D【解析】设c x a y b =+ ，则(1,2)(1,1)(1,1)(,)x y x y x y --=+-=+-，所以12x y x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3122c a b =-+ ，选D.20 【山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试文】已知点O 为△ABC 内一点，且230,O A O B O C ++=则△A OB 、△AOC、△BOC 的面积之比等于A ．9：4：1B ．1：4：9C ．3：2：1D ．1：2：3【答案】C【解析】延长O B 到'B ，使'2O B O B =,延长O C 到'C ，使'3O C O C =，连结''B C ,取''B C 的中点'A ，则232',O B O C O A O A +==-所以,,'A O A 三点共线且O 为三角形''A B C 的重心，则可以证明''''=AO B AO C B O C S S S ∆∆∆=。

高三数学上学期第一次月考试卷(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省某某市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B=．2．命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是．3．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是．4．函数y=的定义域为．5．函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是．6．函数y=（x≥e）的值域是．7．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围．9．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为．10．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为．11．下列四个命题：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；（4）“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号是（真命题的序号都填上）12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，则不等式f（x）＜﹣e的解集为．13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值X围是．14．已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知集合A={x||x﹣4|≤2，x∈R}，B={x|＞0，x∈R}，全集U=R．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=∅，某某数a的取值X围．16．设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P 或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值X围．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S （单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．20．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．2015-2016学年某某省某某市姜堰市区罗塘高级中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知A={1，3，4}，B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，3，4}，B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是∃x＞0，x3﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题”∀x＞0，x3﹣1＞0”的否定是：∃x＞0，x3﹣1≤0．故答案为：∃x＞0，x3﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．3．命题：“若a＞0，则a2＞0”的否命题是若a≤0，则a2≤0．【考点】四种命题．【专题】阅读型．【分析】写出命题的条件与结论，再根据否命题的定义求解．【解答】解：命题的条件是：a＞0，结论是：a2＞0．∴否命题是：若a≤0，则a2≤0．故答案是若a≤0，则a2≤0．【点评】本题考查否命题的定义．4．函数y=的定义域为[2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．5．函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．【考点】对数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．【解答】解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）【点评】本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R的错解．6．函数y=（x≥e）的值域是（0，1]．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数y=lnx的单调性，判定y=在x≥e时的单调性，从而求出函数y的值域．【解答】解：∵对数函数y=lnx在定义域上是增函数，∴y=在（1，+∞）上是减函数，且x≥e时，l nx≥1，∴0＜≤1；∴函数y的值域是（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域来，是基础题．7．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为 6 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数为单调增函数可得f′（x）≥0，故只需△≤0即可．【解答】解：根据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．【点评】本题考查函数的单调性，利用二次函数根的判别式小于等于0是解决本题的关键，属中档题．8．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围（﹣1，3）．【考点】特称命题．【专题】计算题；转化思想．【分析】不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”，则相应二次方程有实根．求出a的X围，然后求解命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，实数a的X围．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个实根∴△=（a﹣1）2﹣4≥0∴a≤﹣1，a≥3，所以命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1≤0”为假命题，则实数a的X围（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．9．若曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为﹣．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用；直线与圆．【分析】分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．【解答】解：由y=ax3﹣6x2+12x，得y′=3ax2﹣12x+12，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣6x2+12x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，函数在某点处的导数，就是曲线在该点处的切线的斜率，同时考查两直线垂直的条件，属于中档题．10．已知函数f（x）=x|x﹣2|，则不等式的解集为[﹣1，+∞）．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】化简函数f（x），根据函数f（x）的单调性，解不等式即可．【解答】解：当x≤2时，f（x）=x|x﹣2|=﹣x（x﹣2）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞2时，f（x）=x|x﹣2|=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，此时函数单调递增．由f（x）=（x﹣1）2﹣1=1，解得x=1+．由图象可以要使不等式成立，则，即x≥﹣1，∴不等式的解集为[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，使用数形结合是解决本题的基本思想．11．下列四个命题：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；（3）在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的充分不必要条件；（4）“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充要条件．其中真命题的序号是（1），（2）（真命题的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】（1）原命题的否定为“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，由于△=﹣3＜0，即可判断出正误；（2）由于原命题的逆命题为：“若x＞2，则x2+x﹣6≥0”，是真命题，进而判断出原命题的否命题具有相同的真假性；（3）在△ABC中，“sinA＞”⇒“150°＞A＞30°”，即可判断出正误；（4）“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”则f（﹣x）+f（x）=0，化为（k2﹣4）（22x+1）=0，此式对于任意实数x成立，可得k=±2，即可判断出真假．【解答】解：（1）“∃x∈R，x2﹣x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”，由于△=﹣3＜0，因此正确；（2）“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的逆命题为：“若x＞2，则x2+x﹣6≥0”，是真命题，因此原命题的否命题也是真命题，正确；（3）在△A BC中，“sinA＞”⇒“150°＞A＞30°”，因此“A＞30°”是“sinA＞”的既不充分也不必要条件，不正确；（4）“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”则f（﹣x）+f（x）=2﹣x﹣（k2﹣3）•2x+2x ﹣（k2﹣3）•2﹣x=0，化为（k2﹣4）（22x+1）=0，此式对于任意实数x成立，∴k=±2，因此“k=2”是“函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数”的充分不必要条件，不正确．其中真命题的序号是（1），（2）故答案为：（1），（2）．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的奇偶性、三角函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．若函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=xlnx，则不等式f（x）＜﹣e的解集为（﹣∞，﹣e）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由奇函数的性质f（﹣x）=﹣f（x），求出函数f（x）的解析式，对x＞0时的解析式求出f′（x），并判断出函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数f（x）的图象，根据图象和特殊的函数值求出不等式的解集．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=xlnx，∴f（﹣x）=﹣xln（﹣x），∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=xln（﹣x），则，当x＞0时，f′（x）=lnx+=lnx+1，令f′（x）=0得，x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x＞时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，当x=时取到极小值，f（）=ln=﹣＞﹣e，再由函数f（x）是奇函数，画出函数f（x）的图象如图：∵当x＞0时，当x=时取到极小值，f（）=ln=﹣＞﹣e，∴不等式f（x）＜﹣e在（0，+∞）上无解，在（﹣∞，0）上有解，∵f（﹣e）=（﹣e）ln[﹣（﹣e）]=﹣e，∴不等式f（x）＜﹣e解集是：（﹣∞，﹣e），故答案为：（﹣∞，﹣e）．【点评】本题考查函数的奇偶性的综合运用，以及导数与函数的单调性的关系，考查数形结合思想．13．已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值X围是{a|a＜0或a＞1} ．【考点】函数的零点．【专题】计算题；创新题型；函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b 的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的X围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}【点评】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．14．已知函数f（x）=3x+a与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，则的最小值为﹣1 ．【考点】函数零点的判定定理；基本不等式．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】根据函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，可得a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，进而根据==，结合基本不等式可得的最小值．【解答】解：∵函数f（x）=3x+a，与函数g（x）=3x+2a在区间（b，c）上都有零点，且f （x）与g（x）均为增函数∴f（b）=3b+a＜0，即b＜﹣，g（b）=3b+2a＜0，即b＜﹣，f（c）=3c+a＞0，即c＞﹣，g（c）=3c+2a＞0，即c＞﹣，∵当a＞0时，a+2b＜0，a+2c＞0，当a＜0时，a+2b＜0，a+2c＞0，当a=0时，a+2b＜0，a+2c＞0，即a+2b＜0，a+2c＞0恒成立，即﹣a﹣2b＞0，a+2c＞0恒成立，∴=====≥=﹣1，∴的最小值为﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题考查的知识点是函数零点的判定定理，基本不等式，其中对式子==的分解变形是解答的关键．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知集合A={x||x﹣4|≤2，x∈R}，B={x|＞0，x∈R}，全集U=R．（1）求A∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＜a，x∈R}，A∩C=∅，某某数a的取值X围．【考点】交、并、补集的混合运算；交集及其运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】（1）根据集合的基本运算进行求解即可．（2）根据集合的关系建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵A={x|2≤x≤6，x∈R}，B={x|﹣1＜x＜5，x∈R}，∴C U B={x|x≤﹣1或x≥5}，…，∴A∩（C U B）={x|5≤x≤6}．…（2）∵A={x|2≤x≤6，x∈R}，C={x|x＜a，x∈R}，A∩C≠∅，∴a的取值X围是a≤2．…【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．16．设命题P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，命题Q“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”；如果“P 或Q”为真，“P且Q”为假，求a的取值X围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数的性质及应用．【分析】由命题 P成立，求得a＜﹣1，由命题Q成立，求得a≤﹣2，或a≥1．由题意可得p真Q假，或者 p假Q真，故有，或．解这两个不等式组，求得a的取值X围．【解答】解：由命题 P：“任意x∈R，x2﹣2x＞a”，可得x2﹣2x﹣a＞0恒成立，故有△=4+4a ＜0，a＜﹣1．由命题Q：“存在x∈R，x2+2ax+2﹣a=0”，可得△′=4a2﹣4（2﹣a）=4a2+4a﹣8≥0，解得a≤﹣2，或a≥1．再由“P或Q”为真，“P且Q”为假，可得 p真Q假，或者 p假Q真．故有，或．求得﹣2＜a＜﹣1，或a≥1，即 a＞﹣2．故a的取值X围为（﹣2，+∞）．【点评】本题主要考查命题真假的判断，二次不函数的性质，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．17．p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，q：实数x满足（1）若a=1，且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，某某数a的取值X围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【专题】简易逻辑．【分析】（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，某某数x的取值X围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，某某数a的取值X 围．【解答】解：（1）由x2﹣4ax+3a2＜0，得（x﹣3a）（x﹣a）＜0．又a＞0，所以a＜x＜3a．当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值X围是1＜x＜3．由得得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值X围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值X围是2＜x＜3．（2）￢p是￢q的充分不必要条件，即￢p⇒￢q，且￢q推不出￢p．即q是p的充分不必要条件，则，解得1＜a≤2，所以实数a的取值X围是1＜a≤2．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，18．如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km．，地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：km），△BEF的面积为S （单位：km2）．（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？并说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C 点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，可得抛物线的方程为y=x2．由于y'=2x，可得过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．可得E，F点的坐标，，即可得出定义域．（2），利用导数在定义域内研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．设边缘线AC所在抛物线的方程为y=ax2，把（2，4）代入，得4=a×22，解得a=1，∴抛物线的方程为y=x2．∵y'=2x，∴过P（t，t2）的切线EF方程为y=2tx﹣t2．令y=0，得；令x=2，得F（2，4t﹣t2），∴，∴，定义域为（0，2]．（2），由S'（t）＞0，得，∴S（t）在上是增函数，在上是减函数，∴S在（0，2]上有最大值．又∵，∴不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值切线的方程、抛物线方程，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；（2）讨论函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数；（3）（理科）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值X围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当m=e时，，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）﹣零点的个数．（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值X 围．【解答】解：（1）当m=e时，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）单调递增；同理，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）只有极小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的极小值为2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，则h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在区间（0，1）上单调递增，值域为（0，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要区是（1，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，）．∴当m≤0，或m=时，g（x）只有一个零点；当0＜m＜时，g（x）有2个零点；当m＞时，g（x）没有零点．（3）（理）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；对于m=，h′（x）=0仅在x=时成立；∴m的取值X围是[，+∞）．【点评】本题考查函数的极小值的求法，考查函数的零点的个数的讨论，考查实数值的求法，解题时要注意构造法、分类讨论思想和导数性质的合理运用．20．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出导数和切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）求出k=5时f（x）的解析式和导数，求得单调区间和极小值，再由函数的零点存在定理可得（1，10）之间有一个零点，在（10，e4）之间有一个零点，即可得证；（3）方法一、运用参数分离，运用导数，判断单调性，求出右边函数的最小值即可；方法二、通过对k讨论，运用导数求出单调区间，求出f（x）的最小值，即可得到k的最大值为4．【解答】解：（1）当k=0时，f（x）=1+lnx．因为f′（x）=，从而f′（1）=1．又f （1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．（2）证明：当k=5时，f（x）=lnx+﹣4．因为f′（x）=，从而当x∈（0，10），f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（10，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=10时，f（x）有极小值．因f（10）=ln10﹣3＜0，f（1）=6＞0，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点．因为f（e4）=4+﹣4＞0，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点．从而f（x）有两个不同的零点．（3）方法一：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立，即k＜对x∈（2，+∞）恒成立．令h（x）=，则h′（x）=．设v（x）=x﹣2lnx﹣4，则v′（x）=．当x∈（2，+∞）时，v′（x）＞0，所以v（x）在（2，+∞）为增函数．因为v（8）=8﹣2ln8﹣4=4﹣2ln8＜0，v（9）=5﹣2ln9＞0，所以存在x0∈（8，9），v（x0）=0，即x0﹣2lnx0﹣4=0．当x∈（2，x0）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．所以当x=x0时，h（x）的最小值h（x0）=．因为lnx0=，所以h（x0）=∈（4，4.5）．故所求的整数k的最大值为4．方法二：由题意知，1+lnx﹣＞0对x∈（2，+∞）恒成立．f（x）=1+lnx﹣，f′（x）=．①当2k≤2，即k≤1时，f′（x）＞0对x∈（2，+∞）恒成立，所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．而f（2）=1+ln2＞0成立，所以满足要求．②当2k＞2，即k＞1时，当x∈（2，2k）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（2k，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以当x=2k时，f（x）有最小值f（2k）=2+ln2k﹣k．从而f（x）＞0在x∈（2，+∞）恒成立，等价于2+ln2k﹣k＞0．令g（k）=2+ln2k﹣k，则g′（k）=＜0，从而g（k）在（1，+∞）为减函数．因为g（4）=ln8﹣2＞0，g（5）=ln10﹣3＜0，所以使2+ln2k﹣k＞0成立的最大正整数k=4．综合①②，知所求的整数k的最大值为4．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间及极值、最值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想是解题的关键．。

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