弹弓效应

弹弓效应
引力弹弓：加速、减速和改变轨道倾角
引力弹弓是在无推力的情况下，改变星际飞行器的速度和轨道的有效方法。

引力弹弓属于典型的三体问题，从理论上来说，在数学上只能用近似的数值方法求解，而且非常复杂。

在这里，只是用最简单粗暴的方法进行简化，用图解方式来定性说明引力弹弓的原理。

典型的引力弹弓情况如图一所示，天体A是老大，B是跟班，而C则是星际飞行器。

因此从质量上说，A远大于B，而C的质量很小，它对A、B的影响可以完全忽略不计。

这么一来，忽略C的引力之后，这个三体问题就简化成限制性三体问题了。

图1：引力弹弓发生之前的运动状态
在这个图中，因为B的质量远小于A，那么B的引力通常情况下也远小于A。

因此，在B的周围假想了一个引力界限。

在这个界限外，简化为只有A的引力起作用，而在这个界限之内，则是B的引力独占。

这样，经过这个有些过分的简化，三体问题就变成了几个两体问题的合并。

上图中，B是围绕着A运动，而C则是在A的引力作用下运动。

如果C不进入B的引力界限，那么C无论是作圆周运动，或者沿椭圆、抛物线，或者双曲线运动，都和B无关。

比方说，天体A是地球，天体B是月球的话，绕地球的人造卫星的运动和月球的关系就很小，不作精确计算的话可以忽略。

而绕月球运动的卫星，比如现在的嫦娥2号，其运动由月球引力决定，和地球的关系也不需要过多关心。

但是，如果飞行器C在飞行过程中靠近了B，进入了引力界限，那么C的速度和轨道就会发生很大变化，只要C不撞到B上，此时引力弹弓效应就必然会发生。

为了方便，再来一次简化，就是假设C在B的引力界限内的运行时间很短，相对于B和C 环绕A的运动来说可以认为是瞬间完成。

这个简化虽然粗暴，但还不算离谱，比如说月球绕地周期是20多天，而嫦娥2号在月球附近的减速那段其实就几十分钟，相对20多天来确
实是很短的。

为了讨论C在B的引力界限内的运动，先用图2讨论一下引力场中的能量问题。

图2：引力场中的圆锥曲线轨道
在引力场中，环绕中心天体的运行轨迹总归是上图中4条圆锥曲线中的某一条。

因为引力是所谓的保守力，在引力场中，动能+势能的值是个守恒量。

一般在引力场中，都是取无穷远处的势能为0，也就是说，实际上势能总是个负数。

对圆轨道来说，势能= -2 x 动能，总能量<0。

对椭圆来说，也有总能量<0。

而对抛物线来说，总能量=0，而双曲线则有总能量>0。

对于上面的简化中，B的引力界限之外，就马马虎虎可以当作无穷远处来对待了，也就是势能=0。

飞行器C在那里的速度显然大于0，因此动能>0。

那么当然飞行器C在进入B的引力界限内，总能量>0。

也就是说，C在B的引力界限内，相对于B走的必然是双曲线轨道。

除非C一头撞到了B上（比如苏联的月球2号，就是第一个实现了直接撞月），否则，B是捕捉不到C的，C能飞进来就一定会飞走。

对应这次嫦娥2号奔月的过程，嫦娥2号就必须在接近月球的时候，开动卫星上的发动机进行近月点减速，把速度降下来，从而把总能量变成<0，这样才能够进入环月轨道。

而已经没有动力的发射嫦娥2号的长征火箭的第三级，则是从月球附近擦肩而过，又飞走了。

长征火箭的第三级就经历了一次典型的引力弹弓。

下面的图3是典型的引力弹弓减速的情况。

为了简化，C处在天体B的环绕中心天体A 的轨道平面上，图中以天体B为参考系。

图3：引力减速
C在B的前方飞过，C相对于B作双曲线运动，显然是对称的，也就是说进入引力界限时候相对于B的速度和离开引力界限时候相对于B的速度的大小是一致的，只是方向变化了。

这种相对运动用红色箭头标出。

但是，天体B相对于A具有速度VB，那么C相对于中心天体A的速度就应该是VB 和相对于B的速度的合成。

图中，相对于中心天体的速度用蓝色标出。

显然，如图中所示，C相对于A的速度在经过B的引力界限之后减少了。

这就是典型的利用引力牵引实现减速。

C的动能在这个引力牵引中显然是减少了，这些动能传递给了B。

不过因为C的质量相对于B可以认为是0，因此B的动能增加和速度改变可以忽略。

顺便说一下，这张图也表明，环绕地球运行的天体，是不可能被月球俘获变成月球卫星的。

以怎样的速度飞近，就会以怎样的速度远离。

从地球上发射的探测器，要想成为月
球卫星，就非得进行近月减速不可。

这种引力牵引减速的例子，在太阳系中广泛存在，比如木星族彗星就是典型。

从太阳系远处飞来的彗星常常会被木星的引力减速后俘获。

虽然不会变成木星的卫星，但它们会运行在绕太阳的椭圆轨道上，而且远日点都接近于木星轨道。

图4：3个木星族彗星的轨道
图中，Tempel I、Hartley2，还有Holmes（这个就是2007年大爆发的那颗彗星）。

可见它们的轨道远地点都很接近于木星（Jupiter）的轨道。

而哈雷彗星Halley则不是这样，它属于
海王星族彗星。

图5：阿波罗奔月轨道
阿波罗奔月过程中，也是利用了月球引力的减速效应。

当然，为了进入环月轨道，必须在LOI点进行火箭发动机点火制动。

而图6则是利用引力弹弓
进行加速的情况。

图6：引力加速
在进行引力加速的时候，C从天体B后方飞过。

同样的，在以B为参考系的考察中，C仍然走一条对称的双曲线，以红色标示的速度的大小，进入时刻和飞离时刻是一样的，只是方向变化了。

但是相对于中心天体，把B环绕中心天体的速度加入进行速度合成之后，用蓝色标示出天体C相对于中心天体A的速度。

显然，由于角度的变化，C相对于中心天体的速度增加了。

从能量角度来说，这些增加的能量都来自于B，不过因为C质量太小，所以B的能量变化也可以忽略。

图7：旅行者1、2号飞行轨道示意图
旅行者1号、2号的飞行过程中，就利用了引力弹弓进行加速。

图8：旅行者2号速度图
图8显示出，旅行者2号刚发射的时候，其速度还不足以达到太阳系的逃逸速度，只是在经过木星的引力弹弓加速后，才开始超过这个逃逸速度的。

在图6中，当C接近于天体B的时候，速度会比飞离引力范围时候还大，比如图8中，在每个行星附近都有一个速度峰值，然后又会有所减少。

但是总的算起来，旅行者2号在木
星和土星处是大大地增加了速度。

在天王星处有轻微的引力加速，而在海王星处则是有引力减速。

旅行者2在海王星处的飞行不是简单的同一轨道平面内的加速或减速过程，而是有轨道倾角的较大变化，轨道平面和黄道面的夹角从约2度增加到了约78度。

图9则是利用引力弹弓进行变换轨道平面，这个图不是“顶视图”，而是“横截面”。

图9：轨道平面改变
如图中所示，C本来的运动速度和B的轨道平面夹角并不大，但是进入B的引力范围之后，速度方向发生了变化，因此在飞离B的引力范围后，C的运动速度就和B的轨道平面有了很大的夹角，得到了垂直于原来轨道平面的很大的一个速度分量。

从而C会进入一个和B 的轨道平面相差很多的轨道平面。

嫦娥1号和2号因为要对整个月球进行照相，所以都选择了环绕月球的极轨轨道。

这个轨道平面和月球绕地球的公转轨道平面近乎有个直角的差别。

因此，嫦娥1号和2号的加减速和轨道变化要远比简单的图3和图6要复杂得多。

尤利西斯太阳极区探测器就是利用引力弹弓进行了轨道平面改变从而进入太阳的极轨轨道的，其相对于黄道的倾角近乎直角。

图10：尤利西斯轨道变换简图
图11：尤利西斯的最终轨道图
一般总是说地球的逃逸速度是11.2千米/秒，超过这个速度就可以进入环日轨道成为人造行星。

实际上，这是要借着地球公转速度30千米/秒的顺风车的。

附带的效果就是人类到现在的几乎所有行星际探测器都是在黄道面上的。

而像尤利西斯太阳极区探测器这样的，因为速度和地球公转速度成直角，如果直接发射的话，则根本不能借助地球公转速度，发射的总的速度增量要超过40千米/秒，这个对火箭的要求就太高了。

因此，尤利西斯探测器采取了借助木星来改变轨道平面的方法。

从地球发射后，尤利西斯基本上在黄道面上飞行，和木星交会时候，处于木星的极区，借助木星的引力弹弓把轨道平面几乎翻转90度，进入一个倾角接近90度，远日点接近木星轨道的新轨道，从而成为人类第一个能探测太阳极区的探测器。