1011高等数学a(二)试题答案讲义 济南大学
济南大学高等数学下历年考题答案
得f x ( x, x) f x ( x, x) x 2
y( x) -2e 2 x f ( x, x) x 2e 2 x
一阶线性微分方程
P( x) 2
Q( x ) x 2e 2 x
P ( x ) dx
ye
P ( x ) dx
[C Q( x )e
B( x, y )
在 整 个 xoy面 内2 xydx x 2dy是 某 个 函 数 的 全 微 分
取积分路径，如图：
则u( x, y )
2
( x, y)
( 0, 0 )
2
2 xydx x dy
2
2 2
OA
xy dx x ydy xy dx x ydy
2
AB
A( x ,0)
2 xdv 2 ydv 0 （由对称性）
上式 dv
2
0
d
1 rdr 2 dz 0 r 2
1
1
3、计算曲面积分 I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy ，其中 为抛物面 z
1
) ( x n1 )
n 0
(
1 x ) (1 x ) 2 1 x
1
( x 6 y)dxdy，其中 D 是由 y x
D
y 5x 和 x 1 ，
y 5x
所围成的闭区域.
dx ( x 6 y )dy 0
x
1
5x
y x
0
1
2. ( 2 xy3 y 2 cos x )dx (1 2 y sinx 3 x 2 y 2 )dy ，其中
济南大学2009～2010学年第一学期课程考试试卷(A卷)答案
概念 极限 性质 计算方法
概念 连续 基本结论 性质 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
左右极限
第二章主要内容回顾
导数的概念、几何意义 定义求导 导数 求导方法 基本公式、四则运算、复合求导 反函数求导 特殊函数求导 隐函数求导 高阶导数
0
证明至少存在一点 (0,1) ，使得 f ( )(1 ) f ( x)dx
证:
令F ( x) (1 x) f (t )dt
0
x
F ( x) f (t )dt (1 x) f ( x)
0
x
显然，F ( x)在[0,1]上连续，在 0,1)内可导，且 (0) F (1), ( F
原积分
xdf ( x )
2
2
xf ( x)
f ( x)dx
2
4
1
五、解答题（8分）
y f ( x)
的极值。
dy t 2 1 2 0 dx t 1
由参数方程
x t 3 3t 1 3 y t 3t 1
确定，求
f ( x)
3 1 x 3 2 x x
x0 x0
5．设
x ln(1 t an t )dt 0 f ( x) x2 a
2
在原点处连续，则
a
0
lim
x 0
x2 0
ln( tan t )dt 1 x
2
2 x ln( tan | x |) 1 lim x 0 2x
高等数学A(二)(答案及得分详解)
高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。
(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。
(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。
(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。
(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。
(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。
(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
10-11-2《高等数学A(工科数学分析)》第二学期期末考试试卷(精简版)及参考答案
河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。
7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。
二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。
解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
高等数学A(二)试卷及答案
高等数学A （二）考试试卷一、 填空题（每小题5分，共25分）1. 设2u 1sin ,2xu e x y x y π-=∂∂∂则在（，）处的值为_________。
2. 改变二次积分10(,)x I dx f x y dy =⎰⎰的积分次序，则I=_______________。
3. 设平面曲线Γ为下半圆周y =22()x y ds Γ+⎰=___________。
4. 若级数1n n u∞=∑的前n 项部分和是：1122(21)n S n =-+，则n u =______________。
5. 设)2,5,3(-=a ，(2,1,4)b =，(1,1,1)c =，若c b a ⊥+μλ，则λ和μ满足 。
二、 计算题（每小题10分，共70分）1. 求由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分。
(10分)2. 设21()x t f x e dx -=⎰，求10()f x dx ⎰。
（10分） 3. 计算xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面0,,1z z y y ===以及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
（10分）4. 计算dy xy ydx x L22+⎰，其中积分路径L 是xoy 平面上由点(2,0)A -顺次通过点(0,2)B 、(2,2)C 到点(2,4)D 的折线段。
（10分） 5. 把函数xx f 431)(+=展为1-x 的幂级数，并确定其收敛域。
6. 求点)3,2,1(-关于平面014=-++z y x 的对称点。
（10分）7. 要建造一个表面积为108平方米的长方形敞口水池，尺寸如何才能容积最大.。
（10分）三、证明题（5分）若0lim =∞→n n na ，且∑∞=+-+11])1[(n n n na a n 收敛于常数A ，试证明级数∑∞=1n n a 收敛。
答案课程名称：高等数学A(二) 试卷编号：5一、填空题。
（每小题5分，共25分）1.22e π，2.101(,)y dy f x y dx ⎰⎰，3.π，4.1(21)(21)n n -+， 5. 076=+μλ二、 计算题。
高数A(二)A卷参考答案
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
考试班级
05级A类
考试标准用时
120
试卷代号
A
参考答案及评分标准：
一、填空题：（每小题4分，共24分）
1、 2、 3、 4、 5、 6、3
二、选择题：（每小题4分，共16分）
1、D 2、C 3、B 4、C
三、计算重积分：（每小题7分，共14分）
1、 3分
7分
2、 3分
7分
四、计算曲线积分（每小题7分，共14分）
1、 4分
7分
2、 ，
2分
= 4分
7分
五、（本题共有两小题，第1题5分，第2题7分，共12分）
1、 3分
发散5分
2、 2分
命题人
的收敛区域为 3分
5分
7分
六、求解微分方程（每小题7分，共14分）
1、先求对应的齐次方程： ，变量分离可得：
两边积分可得： 是对应的齐次方程的通解3分
再利用常数变易法，设 为原方程的解，代入原方程可得：
为原方程的通解6分
又 即 为原方程满足初始条件的解7分
2、特征方程为 得 所对应的齐次方程的通解为 2分
命题
时间
2006年6月16日
教研室
审核人
审核
时间
年月日
……………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………
学生期末考试试题参考答案及评分标准纸
课程名称
高等数学A（二）
济南大学学年学期考试试卷
济南大学2010~2011学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）（A 卷）课 程 结构力学 （上） 授课教师 刘增夕 李永莉 考试时间 2011年 1 月 14 日 考试班级 学 号 姓 名一、判断题（每题3分，共15分）1、两图中BAC 和BDC 都可看作二元片。
（ × ）题1-1 2、图示结构的弯矩图是正确的。
（ × ） 3、具有曲线形状的结构一定是拱结构。
（ × ）4、计算位移中，位移状态和力状态是相互独立的两个状态。
（ √ ）5、图示结构是3次的超静定结构。
（ √ ）题1-2题1-5二、填空题（每空4分，共40分）1、 对图示体系进行几何组成分析，结论是 无多余约束的几何不变体系 。
题2-12、图示结构中C 点的竖向位移为 0 （假设竖直向上为正）。
……………答……………题……………不……………要…q2…………………………………………装…………………………订…………………………线…………………………………………3、图示桁架结构的1、2杆的轴力分别为N 1＝P 2 ，N 2＝ 0 。
题2-2 题2-3 4、图示结构的位移法未知量有 3 个。
5、图示结构已知C 点的转角为PL/7i （顺时针），则A 截面的弯矩为 2PL/7 。
题2-4 题2-5三、计算题(13分)作出下列结构的弯矩图。
解：（2分） （2分） （2分）四、计算题(25分) 用力法求解并作出下列超静定结构的弯矩图，EI=常数。
AEL M 图 （3分） …………………………………………装…………………………订…………………………线…H C kN 1H 024224H ,0C C A ==⨯-⨯+=∑M kN1H ,0X A ==∑kN 6V 024V ,0Y A A ==-+=∑解： 原结构可等价与下列两结构的叠加 （2分）图2的弯矩图等于零。
（1分） 计算图1，取半结构，基本体系半结构（3分） 基本体系（2分） （4分） （4分）（6分）五、计算题（23分）写出下列超静定结构位移法典型方程中的各系数，并列出位移法方程。
高等数学A(2)复习题(统一版、2017年)(1)
7、求过点 (0,1,3) 且与平面 : x 2 y 2 z 1 0 垂直的直线方程，并求出直线与平面的交点坐标.
x 1 y 1 z 垂直相交的直线的方程． 3 2 1 x3 y 2 z 9、求过点 M 0 (1,0,2) 且与平面 3 x 4 y z 6 0 平行，又与直线 L : 垂直的直线方程. 1 4 1
16、过点 ( 2,1,3) 且垂直于直线
x 1 y z 1 的平面方程为 1 2 1
．
17、设一平面通过 z 轴和点 (3,1, 2) ，则其方程为_____________________. 18、 直线
x 2 y 1 z 与平面 2 x 4 y 3 z 2 的位置关系为 1 2 2
38、函数 z x 2 y 2 在点（1,2）处沿从点 A（1,2）到点 B（2,2＋ 3 ）的方向的方向导数等于
2y 39、函数 z xe 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q( 2,1) 的方向的方向导数等于
40、函数 z ye 2 x 在点（0,1）处沿向量 {
x 2u 2u 1、设 u arctan ，求 2 , . y x xy
u l
M
. .
xe 2 y 在点 P(1, 0) 处沿从点 P(1, 0) 到点 Q(2, 1) 的方向的方向导数为
2、求三元函数 u x 的全微分 du
y z z 3、设函数 z f ( x 2 y , ), 求 , . x x y
x 0 y 0
xy 2 xy 4 sin xy x
=
26、极限 lim
x 0 y 2
.
27、极限 28、 lim x 0
济南大学复变函数试卷A
济南大学2010～2011学年第一学期课程考试试卷(A)卷课 程 复变函数与积分变换 授课教师 吕林燕 考试时间 2010-12-29 考试班级 学 号 姓 名一、填空题（本题共6小题，每空3分，满分21分）1. =+++→)21(lim 421z z iz ______________________.2. 的辐角主值为i 31+________________，三角表示式为_____________________.3. =-)1(Ln __________________.4. 41-的所有根为_______________________________________________________.5. 设F )()]([ωF t f =，则F =)]([0t f e tj ω_________________________________.6. 函数⎪⎪⎨⎧τ<=其它,02||,E )(t t f 的振幅频谱为____________________.二、选择题 （本题共7小题，每题3分，共21分）1.函数在某点可导是在此点解析的__________(A)充分不必要条件 (B)必要非充分条件 (C) 充要条件 (D)既不必要也非充分条件 2.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的求导公式为______(A)x v i x u z f ∂∂+∂∂=')( (B) y u i y v z f ∂∂+∂∂=')( (C) x v i x u z f ∂∂-∂∂=')( (D) yv i x u z f ∂∂+∂∂=')( 3. 若幂级数∑∞=-0)2(n nn z c 在0=z 处收敛，那么该级数在3=z 处的敛散性为_____________ (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D) 不确定 4. 当k 为何值时，函数y kx y y x u 23),(+=为调和函数. __________.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)-35. 0=z 是函数21ze z -的_______ (A)可去奇点 (B)一级极点 (C) 二级极点 (D) 本性奇点 6. 单位阶跃函数)(t u 的Fourier 变换为_________________（A ）)(2ωπδ （B ）ωj 2 （C ）)(1ωπδω+j （D ）)(ωδ 7. 设F )()]([11ωF t f =，F )()]([22ωF t f =则F =)]()([21t f t f ____________.(A))()(21ωωF F * (B) )()(2121ωωπF F * (C) )()(21ωωF F ⋅ (D) )()(2121ωωπF F ⋅三、求下列函数的Laplace 变换或Laplace 逆变换 （本题共2小题，共11分）（1）L ]sin [kt e at=（2）L -1【)1(12+s s 】=四、计算下列积分（本题共4小题，共27分）（1）（6分） ⎰Czdz z cos 其中c 为从原点到点i 的直线段。
大学-高等数学(Ⅱ)试卷题(A)+参考答案
大学-高等数学（Ⅱ）试卷题（A ）一、选择题：(每小题2分，共10分)1. 函数 ),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数 ),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是函数z在点),(00y x 存在全微分的（ ）；A.充分条件；B.必要条件；C.充分必要条件；D.既非充分又非必要条件.2．下列级数发散的是（ ）；A ．;(1)n nn n ∞=+- B.2(1)ln(1);1n n n n ∞=-++∑ C ．222sin();n a π∞=+∑ D.1.1nn n ∞=+ 3.级数1sin (0) n nxx n ∞=≠∑！，则该级数（ ）；A.是发散级数；B.是绝对收敛级数；C.是条件收敛级数；D. 仅在)1,0)(0,1(-内级数收敛，其他x 值时数发散。
4. 双曲抛物面22x y z p p-=.（p >0，q >0）与xOy 平面的交线是（ ）；A.双曲线B.抛物线C.平行直线D.相交于原点的两条直线. 5.322(,)42,f x y x x xy y =-+-函数下列命题正确的是。
A.点(2,2)是f(x,y)的极小值点B. 点(0，0)是f(x,y)的极大值点C. 点(2,2)不是f(x,y)的驻 点D.f(0,0)不是 f(x,y)的极值.二、填空题：(每小题3分，共30分 )1．222ln()1z x y x y =-++-的定义域为 ；2．曲面2221ax by cz ++=在点()000,,x y z 的法线方程是 ;3．设(,)ln()2yf x y x x=+，则 '(1,0)y f = ;4.已知D 是由直线x ＋y =1,x －y =1及x = 0所围，则Dyd σ⎰⎰= ;5． 3(,)ydy f x y dx ⎰⎰交换积分次序得 ;7．1(2),n n n u u ∞→∞=+=∑n 若级数收敛则lim ；8.微分方程y / + P(x)y = Q(x)的积分因子为_____________(写出一个即可)； 9．设y z x dz ==，则；10.设P(x,y)、Q(x,y)在曲线L 围成的单联通区域内具有一阶连续偏导数。
济南大学2021～2021学年第二学期课程考试试卷(A卷)
济南大学2021～2021学年第二学期课程考试试卷(A卷)济南大学2021～2021学年第二学期课程考试试卷（a卷）(a)？（？1）n？1.n1n；（b）？（？1）n？1.嗯？1、（c）？（？1）n？1.N3NN课程高级数学A（II）教师考试时间：2022年6月28日考试班n?2；(d)?(?1)nn?1?n3n.答案3微分方程y？？？2y？？Yxex的特殊溶液形式应设置为[]（a）ax2ex；（b）（ax？b）ex；（c）x2（ax？b）ex；（d）x（ax？b）ex。
学号姓名4.表面x？YZ3切平面与坐标轴在任意点的截距之和为[]……题号一二三四五六总分…(a)3、（b）3；（c）9；（d）1。
……得分…5.向量场?a?y2?i?xy??[装j?xzk的散度为…... 得分（a）2x；（b）?x?j?xk；(c)? ZJyk；（d）x+y。
…一、填空题（每小题3分，共18分）…阅卷人…1.设ez?xyz?0，则? Z6.设l为沿圆周x2?y2?a2按逆时针方向从点a(a,0)到点b(0,a)的弧段，则…? x？……2.微分方程（y？XY2）DX？xdy？0满足初始条件YX？1.1的特解是？l （x？y）dx？（x？y）dy？[]……订3.函数z?x2?y2的全微分为.(a)a2；(b)?a2；(c)0；(d)?12…2a.……4. 让积分曲线l为x2？y2？那么呢？lxds?.得分…三、计算题（每小题8分，共32分）…5.设l为沿圆周x2?y2?1…的逆时针方向，则i??xy2dy?x2ydx.审核人L1设定Z？辛克斯？2zy，拜托？十、Y……6.函数f(x)?sin2x关于x的幂级数展开式为.... 线分数…阅卷人二、选择题（每小题3分，共18分）…………1. 完整的1dy1？Y03x2y2dx可交换整数阶为【】0?（a）?11?x222(b)?11?x222.计算??xyd?，其中d是由直线y?0、x?2及y?x所围成的闭区域0dx?03xydy；0dx?03xydy；.d………(c)? 11? x20dx？03x2y2dy；（d）?1?y1220dx?03xydy.……2. 下列数列中的绝对收敛数列为【】…第1页，共2页…………题]……………不……………要……………超……………过……………此……………线……………………x23.计算??zds，其中?为锥面z??y介于0?z?1的部分2.2.找到Z？x2？Y2和Z平面？由4（体积密度为1）包围的均匀固体绕Z轴转动。
1011高数A(一)试题及解答
三、求极限（每小题8分，共16分）
1.
e x sin x 1 lim x 0 x2
e x cos x e x sin x 1 解： 原式 lim lim . x 0 2x x 0 2 2
2.
lim
x 0
sin x 0
e dt sin x x3
e
sin 2 x
分析
极限存在 可导
连续 可微
key : B
4. 若函数f ( x )在开区间(a , b)内 f ( x ) 0，f ( x ) 0,
则函数f ( x )在此区间内是（ C A.单调减少，曲线凸的 C .单调减少，曲线凹的 ） B .单调增加，曲线凸的 D .单调增加，曲线凹的
分析 利用函数的一阶导数和二阶导数符号判断函数 的单调性和凹凸性.
七、证明题（7分）
证明：当0 x 1时， x )ln (1 x ) x . (1
2 2
解: 设 f ( x ) x －(1 x )ln (1 x )，0 x 1.
2 2
f ( x ) 2 x ln2 (1 x ) 2ln(1 x )， 2 2 2 [ x ln(1 x )] f ( x ) 2 ln(1 x ) 1 x 1 x 1 x
q 8q ( px qx )dx 2 , 4 6p 3(1 q)
2
3
3
所以q 3是唯一的极大值点，从而是最大值点. 故当q 3时所围图形的面积最大. 此时p 4.
x t 2 2t 2. 设函数y y( x )由参数方程 确定, y ln(1 t ) 求曲线y y( x )在x 3处的法线与x轴交点的横坐标.
1011高等数学B(二)试题答案 济南大学
O
平面 x x1 上的截痕为 双曲线
平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为 椭圆
注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:
y
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 单叶双曲面 1 双叶双曲面
P18
图形
2 2 f ( x y ）dy 化为极坐标形式的 4. 0 x 1011B 二次积分_____________. y 3x 2 y 0r cos 解: 积分域如图. D : y x
济南大学1011高等数学B(二)参考解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1. z xe 解:
x y
( x 1)ln(1 y),
d e xe ln(1 y ), x (1,0) x
x 1 z x y , xe 1 y y
z e 2, y (1,0)
2.
求旋转抛物面 z x y 1 在点 (2,1, 4)
2 2
处的法线方程________.
解:
: z f ( x, y) x y 1
2 2
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
1、求过点M1 (1,2,1), M 2 (2,3,1)且和平面x y z 1 0垂直 的平面方程
2、一般式： 解：设所求平面方程为 Ax By Cz D 0
A 2B C D 0 则 2 A 3B C D 0 ( A, B , C ) (1,1,1) 0
2
3
三、求偏导数（每小题10分，共20分）
1 1 2 x ( f11 x f12 ) x ( f 2 1 x f 22 ) x x 5 3 xf 22 x f11 2x f12
10-11高等代数(二)试卷A及答案
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徐州工程学院试卷
七、 （共 1 题，12 分）
⎛1 a a⎞ ⎜ ⎟ 设 A = a a 1 ，其中 a ≠ 0 。 ⎜ ⎟ ⎜1 a a⎟ ⎝ ⎠
（1）求 A 的特征值和特征向量； （2） a 取何值时 A 可以对角化？并求可逆阵 P ，使得 P −1 AP 为对角阵。 八、 （共 1 题， 10 分）
⎛1 ⎜ 1 ( β1 , β 2 , β3 , β 4 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) ⎜ ⎜8 ⎜ ⎝3
= (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A−1 B
0 3 7 2
1 −1⎞ ⎟ 1 4⎟ = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) B 6 −1⎟ ⎟ 2 −1⎠
⎛ −23 −7 −9 8 ⎞ ⎜ ⎟ 6 3 3 −1⎟ ⎜ 由基 α1 , α 2 , α 3 , α 4 到基 β1 , β 2 , β3 , β 4 的过渡矩阵 ⎜ 2 3 2 1⎟ ⎜ ⎟ 2 2 −1⎠ ⎝ 3 ⎛1⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 4⎟ −1 ⎜ 4 ⎟ ⎜ α = (ε1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 ) = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) A ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
∀A ∈ V ,设 A = ( aij ) , a11 + a22 + a33 = 0
则 A = − a22 A1 − a33 A2 + a12 E12 + a13 E13 + a21 E21 + a31 E31 + a32 E32 所以 A1 , A2 , E12 , E13 , E23 , E21 , E31 , E32 是 V 的一组基, V 的维数是 8 四、解: V1 = L (α1 α 2 ) ,V2 = L ( β1
1011高等数学A(二)试题答案 济南大学
当 x 3时, t 2. t 2 时, ant 绝对收敛; n 1 当 x 3时,t 8 2. 所以在 x 3 处
无法判断其收敛性.
如果级数 an x n 在 x x0 ( x1 0) 处收敛，则当| x || x0 |
n 0
时级数绝对收敛.
Dx y
1
1
) x 2 dydz y 2dzdx ( z x)dxdy
Dx y
(1 x)d x d y
d xd y
z 1 1
y
2 0
1 d d 2 dz 0 2
1
1
x
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3. I x 2 dydz y 2 dzdx ( z x)dxdy 其中 是抛物面
A. C.
解:
2 0 2 0
d r dr ; B.
3 0
a
2 0
d a 2rdr ;
0
a
d r dr ;
2 0
a
D.
2 0
d a dr .
3 0
a
y r2 O
0 2 积分区域用极坐标表示 D : 0 a
原式 0 d 0 r dr.
全微分的定义
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 处全增量 可表示成
z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
高等数学A(二)答案详解
一、单项选择题（每小题3分，共30分）请将答案填在下面表格内！切记！题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C A C A D D 得分1、已知向量(1,1,0)MA = ，(1,0,1)MB =，则AMB ∠=（ ）。
(A) 3π (B)6π (C) 4π (D) 2π2、函数()y x f ,在点()00,y x 处可微分是()y x f ,在该点处连续的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要3、函数22y x z -=在点)1,1(沿方向(1,3)的方向导数为（ ）。
（A ）31+ （B ）31- （C ）6 （D ）74、曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程为（ ） （A ）23140x y z +++= （B ）23140x y z ++-= （C ）2370x y z +++=（D ）2370x y z ++-=5、设()y x f ,为连续函数，则二次积分⎰⎰11),(ydx y x f dy 交换积分次序后为（ ）。
(A) dy y x f dx x⎰⎰112),( (B) ⎰⎰11),(dy y x f dx (C) dy y x f dx x ⎰⎰201),( (D) ⎰⎰110),(ydy y x f dx6、Lxds =⎰（ ）其中L 为抛物线2y x =上01x ≤≤的弧段。
(A)()155112- (B) 551- (C)112 (D)()15518- 7、设∑为球面2222R z y x =++，则曲面积分=++⎰⎰∑dS z y x )(222（ ）。
(A)4R π (B)42R π (C)44R π (D)46R π 8、下列级数中，条件收敛的是（ ）。
（A ）()-+-=∞∑124131n n n n （B ）()-⎛⎝ ⎫⎭⎪-=∞∑12311n nn（C ）()--=∞∑11121n n n （D ）()--=∞∑11211n n n n 9、幂级数20n n n e x ∞=∑的收敛半径=R （ ）。