第二章 同余

定理1 设m是一个正整数,a , b是两个整数,则 a ≡ b (mod m ) 的充要条件是存在整数k , 使得a = b + km .
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定理 2 模m同余是等价关系, 即 (1) 对任一整数a , a ≡ a (mod m ); (3)若a ≡ b (mod m ), b ≡ c (mod m ), 则a ≡ c (mod m ) (传递性 ) (自反性 ) (2)若a ≡ b (mod m ), 则b ≡ a (mod m ); (对称性 )
即:欧拉( Euler ) 数ϕ ( x )是定义在正整数上的 函 函数,ϕ ( m )的值等于0,1, 2,L , m − 1中与m互素的数的 个 数.
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二、简化剩余系
定义 2 如果模m的剩余类里面的数与m互素,就 .(又 把这个类叫做一个与模m互素的剩余类.(又称简化 剩余类)
定义3 设m是一个正整数,在模m的所有不同简 化剩余类中,从每个类任取一个数组成的整数的集合, 叫做模m的一个简化剩余系.
证 因(e , ϕ ( n)) = 1, 则存在整数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得
ed ≡ 1 (mod ϕ ( n))
由2.3定理4 2.3定理4 定理
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于是存在正整数k , 使得 ed = 1 + kϕ ( n). 因(a , pq ) = 1, 所以(a , p ) = 1,由Euler 定理
定 理13 设 m 是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 则 ( a , m ) = ( b , m ). 因 而 若 d 能 整 除 m 及 a, b二 者 之 一, 则 d 必 能 整 除 a, b 中的另一个.
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证明同余式的一般方法(基本的方法):
运算后 把同余式译为等式 又将等式译为同余式. →
aϕ ( p ) ≡ 1 (mod p ) ⇒ a kϕ ( p )ϕ ( q ) ≡ 1 (mod p ) 于是 即 同理 于是 ⇒ a kϕ ( n ) ≡ 1 (mod p ) a 1+ kϕ ( n ) ≡ a (mod p ) a ed ≡ a (mod p ) a ed ≡ a (mod q ) a ed ≡ a (mod n) a ed ≡ a (mod[ p, q ])
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定理
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若( m1 , m2 ) = 1, m1 > 0, m2 > 0, 而x1 , x2
分别遍历模m1 , m2的完全剩余系,则m2 x1 + m1 x2 遍 历模m1 m2的完全剩余系.
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2.3 简化剩余系与欧拉函数
一、欧拉(Euler)函数 欧拉 函数
定义1 设m是一个正整数,则m个整数0,1, 2,L , m − 1中与m互素的整数的个数,记作ϕ ( m ).通常称为 欧拉( Euler )函数.
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,若 定理3 设m是一个正整数,(a , m ) = 1,若x 遍历模 m的简化剩余系,则ax也遍历模m的简化剩余系.
,则 定理4 设m是一个正整数,(a , m ) = 1,则存在整 数a ',1 ≤ a ' < m , 使得 aa ' ≡ 1 (mod m )
定理 设( m1 , m2 ) = 1, m1 > 0, m2 > 0, 若x1 , x2 分别遍历m1 , m2的简化剩余系,则m2 x1 + m1 x2 遍历 模m1 m2的简化剩余系.
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定理9 设m是正整数,a ≡ b (mod m ), k > 0, 则 ak ≡ bk (mod mk )
定 理10 设 m是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 如 果 d 是 a, b及 m的 任 一 公 因 数,则 a b m (mod ). ≡ d d d
定 理11 设 m是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 如 果 d | m, d >0, 则 a ≡ b (mod d ).
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例5 设p, q是两个不同的奇素数, n = pq , (a , pq ) = 1, 如果整数e满足1 < e < ϕ ( n),(e , ϕ ( n)) = 1, 那么存在整 数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得 ed ≡ 1 (mod ϕ ( n)) 而且对于整数a e ≡ c (mod n),1 ≤ c < n, 有 c d ≡ a (mod n).
定理3 设m是正整数,(a , m ) = 1, b是任意整数, 若x 遍历模m的一个完全剩余系, 则ax + b也遍历模 m的一个完全剩余系. 的
即 : 若a0 , a1 ,L , am -1是模m的完全剩余系,则 aa0 + b，aa1 + b， ，aam −1 + b L 也是模m的完全剩余系.
定理1 设m是一个正整数, 则 (i) 任一整数必包含在一个C r中,0 ≤ r ≤ m − 1 ; (ii) C a = C b ⇔ a ≡ b (mod m ); (iii) C a I C b = φ ⇔ a ≡ b (mod m ); /
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定理 2 设m是一个正整数, 则m个整数r0 , r1 ,L , rm −1 为模m的一个完全剩余系的充要条件是ri ≡ rj (mod m ), / i ≠ j , i , j = 0,1,L , m − 1.
特别地, n = p为素数时, ( p) = p − 1. 当 ϕ
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2.4 欧拉定理 费马小定理
(a 定理1( Euler 定理 ) 设m是大于1的整数， , m ) = 1, 则 a
ϕ (m)
≡ 1 (mod m ).
分析:因ϕ ( m )等于模m的简化剩余系所含元个数,
又若r1 , r2 ,L , rϕ ( m ) 是模m的简化剩余系, 则ar1 , ar2 ,L , arϕ ( m )
k k −1
+ L + a1 10 + a0 , 0 ≤ ai < 10
则 3 | n ⇔ 3 | a k + a k − 1 + L + a0 , 而 9 | n ⇔ 9 | a k + a k − 1 + L + a0 .
定 理 8 设 m是 一 个 正 整 数 , ad ≡ bd (mod m ), 如 果( d , m ) = 1, 则 a ≡ b (mod m )
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定理5 若 x ≡ y (mod m ), ai ≡ bi (mod m ), i = 0,1, 2,L , k , 则 a0 + a1 x + L + ak x k ≡ b0 + b1 y + L + bk y k (mod m )
定理6 设整数n有十进制表示式: n = ak 10 + ak −1 10
由欧拉函数的定义知,模m的简化剩余系里共含
ϕ( m )个数. )个
定理2 设m是一个正整数, ( ri , m ) = 1, i = 1, 2, 3, L , ϕ ( m ), 且ri ≡ rj (mod m ) ( i ≠ j ), 则r1 , r2 ,L rϕ ( m )是模 / m的一个简化剩余系.
定理1 设r1 , r2 是同一模m剩余类的两个剩余, 则(r1 ,m ) = 1 ⇔ ( r2 , m ) = 1.
13 此定理说明:模m的简化剩余类中的数都与m互素.
为此,只需在模m的最小非负完全剩余系0,1, 2,L , m − 1里找出与m互素的所有整数,则这些整 数的全体就构成模m的一个简化剩余系.
因[p,q]=pq=n
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因此,由 c ≡ a (mod n), 可得
e
c d ≡ (a e )d ≡ a ed ≡ a (mod n)
定理 3(Wilson定理 ) 设p是一个素数, 则 ( p − 1) ! ≡ −1 (mod p )
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定 理 3 整 数 a , b模 m同 余 的 充 要 条 件 是 a , b被 m除 m除 的 余 数 相 同.
定 理 4 设 m 是 一 个 正 整 数 ， a1 , a 2 , b1 , b2 是 整 数 . 若 a1 ≡ b1 (mod m ), a 2 ≡ b2 (mod m ), 则 (i) a1 ± a 2 ≡ b1 ± b2 (mod m ) (ii) a1 a 2 ≡ b1 b2 (mod m )
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四、欧拉函数的性质及计算方法
Байду номын сангаас
定理6 (欧拉函数的性质) 若( m , n) = 1, 则 ϕ(mn) = ϕ ( m )ϕ ( n).
定理5 设正整数n的标准分解式为
α α α n = p1 1 p2 2 L pk k
则
1 1 1 ϕ ( n) = n(1 − )(1 − )L (1 − ) p1 p2 pk
第二章 同余
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本章主要内容
同余
基本性 质
剩余 类
简 化剩余类 完全剩余系 简 化剩余系
欧 拉定理
费马定理
欧拉函数及其计算方法
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2.1 同余的概念及其基本性质
一、基本概念
定义1 给定一个正整数m , 如果对于整数a , b 有m | a − b, 则a，b叫做模m同余,记作 a ≡ b (mod m ), 否则, 叫做模m不同余, 记作 a ≡ b (mod m ). /
其 理论 根据 是 :
a ≡ b (mod m ) ⇔ m | a − b
“ 注: 同余”是大自然的循环现象,研究同余的优点 在于:化无限为有限.
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2.2 剩余类及完全剩余系
定义1 C a = {c | a ≡ c , c ∈ Z }叫做模 m 的a 的 剩余类 .一个剩余 类中的任一数叫做 该类的剩余 或代表元.若r0 , r1 ,L , rm −1是m个整数, 并且其中任 何两个数都不在同一个剩余类里, 则r0 , r1 ,L , rm −1 叫做模 m 的一个完全剩余系.