2019_2020学年高中数学综合测评新人教A版选修2_3
2019-2020年高中数学模块综合质量测评新人教A版选修
2019-2020年高中数学模块综合质量测评新人教A 版选修一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析： 利用复数乘法的运算法则及复数的几何意义求解．∵z ＝i(2－i)＝2i －i 2＝1＋2i ，∴复数z 在复平面内的对应点为(1,2)，在第一象限． 答案： A2．设有一个回归方程y ∧＝6－6.5x ，变量x 每增加一个单位时，变量y ∧平均( ) A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位D ．减少6个单位解析： y ∧＝6－6.5x 的斜率为－6.5，故x 每增加一个单位，y ∧就减少6.5个单位． 答案： C3．下列框图中，可作为流程图的是( )解析： 流程图具有动态特征，只有答案C 符合． 答案： C4．下列推理正确的是( )A ．如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B ．因为a >b ，a >c ，所以a －b >a －cC ．若a ，b 均为正实数，则lg a ＋lg b ≥lg a ·lg bD ．若a 为正实数，ab <0，则a b ＋ba ＝－⎝⎛⎭⎫－a b＋－b a ≤－2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2解析： A 中推理形式错误，故A 错；B 中b ，c 关系不确定，故B 错；C 中lg a ，lg b 正负不确定，故C 错．答案： D5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析： 结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解． A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题； B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题． 答案： D6．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，且n ∈N )，a 1＝a ，a 2＝b ，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列选项中正确的是( )A ．a 100＝－a ，S 100＝2b －aB ．a 100＝－b ，S 100＝2b －aC ．a 100＝－b ，S 100＝b －aD ．a 100＝－a ，S 100＝b －a解析： a 3＝a 2－a 1＝b －a ，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2b ； a 4＝a 3－a 2＝－a ，S 4＝S 3＋a 4＝2b －a ； a 5＝a 4－a 3＝－b ，S 5＝S 4＋a 5＝b －a ； a 6＝a 5－a 4＝a －b ，S 6＝S 5＋a 6＝0； a 7＝a 6－a 5＝a ，S 7＝S 6＋a 7＝a . 通过观察可知a n ，S n 都是6项一重复，所以由归纳推理得a 100＝a 4＝－a ，S 100＝S 4＝2b －a ，故选A. 答案： A7．三点(3,10)，(7,20)，(11,24)的线性回归方程是( )A.y ∧＝5－17xB.y ∧＝－5.75x ＋1C.y ∧＝17－5x D.y ∧＝5.75＋1.75x解析： 由三点(3,10)，(7,20)，(11,24)，可得x ＝3＋7＋113＝7，y ＝10＋20＋243＝18，即样本中心点为(7,18)，∴b ＝3×10＋7×20＋11×24－7×18×332＋72＋112－72×3＝1.75，a ＝18－1.75×7＝5.75，所以y ∧＝1.75x ＋5.75. 答案： D8．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析： ①是结论形式，③是小前提． 答案： D9．阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( ) A ．S <8 B ．S <9 C ．S <10D ．S <11 解析： 根据程序框图，i ＝2，S ＝2×2＋1＝5，不满足条件；i ＝3，S ＝2×3＋2＝8，不满足条件；i ＝4，S ＝2×4＋1＝9，此时输出i ＝4，所以填S <9.答案： B10．下面使用类比推理恰当的是( )A ．“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋b c (c ≠0)”D ．“(ab )n ＝a n ·b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n ＋b n ”解析： 对于A ：“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”是错误的，因为0乘任何数都等于0；对于B ：“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误；对于C ：将乘法类推除法，即由“(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋b c ＝a c ＋bc ”是正确的；对于D ：“(ab )n ＝a n b n ”类推出“(a ＋b )n ＝a n＋b n ”是错误的，如(1＋1)2＝12＋12.答案： C11．从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是(假定体形与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )A.1320 B ．15C.14D ．25解析： 设“儿童体型合格”为事件A ，“身体关节构造合格”为事件B ，则P (A )＝15，P (B )＝14.又A ，B 相互独立，则A ，B 也相互独立，则P (A B )＝P (A )P (B )＝45×34＝35，故至少有一项合格的概率为P ＝1－P (A B )＝25，故选D. 答案： D12．为考察数学成绩与物理成绩的关系，在高二随机抽取了300名学生．得到下面列联表：数学物理 85～100分85分以下合计 85～100分 37 85 122 85分以下 35 143 178 合计72228300现判断数学成绩与物理成绩有关系，则判断的出错率为( ) A ．0.5% B ．1% C ．2% D ．5%附表：P (K 2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828解析： 代入公式得K 2的观测值 k ＝300×37×143－35×85272×228×122×178≈4.514＞3.841查表可得．答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上) 13．完成反证法证题的全过程．已知：设a 1，a 2，…，a 7是1,2，…，7的一个排列． 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：假设p 为奇数，则____________均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝_______________＝_______________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．解析： 由反证法的一般步骤可知．关键推出矛盾．答案： a 1－1，a 2－2，...，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋ (7)14．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________. 解析： 由复数相等的定义求得a ，b 的值，即得复数．由(a ＋i)(1＋i)＝b i 可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋b i ＝1＋2i. 答案： 1＋2i15．下面结构图是________结构图，根据结构图可知，集合的基本运算有________，________，________.答案： 知识 并集 交集 补集16．把正偶数数列{2n }的各项从小到大依次排成如图的三角形数阵，记M (r ，t )表示该数阵中第r 行的第t 个数，则数阵中的数2 012对应于________．解析： 设由每一行的第一个数构成数列{a n }，则4－2＝2×2－2,8－4＝2×3－2,14－8＝2×4－2，…，a n －a n －1＝2n －2. 以上各式相加可得a n ＝n 2－n ＋2.令n 2－n ＋2≤2 012，解不等式可得n 的最大值为45，所以2 012在第45行，第45行的第一个数为a 45＝452－45＋2＝1 982.因为2 012－1 982＝30,30÷2＝15，所以2 012为第16个数． 答案： (45,16)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i2＋i 2，求：(1)z 1z 2；(2)z 1z 2.解析： 因为z 2＝15－5i 2＋i 2＝15－5i3＋4i＝15－5i 3－4i3＋4i3－4i＝25－75i25＝1－3i ，所以 (1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i. (2)z 1z 2＝2－3i1－3i ＝2－3i 1＋3i 1－3i1＋3i＝11＋3i 10＝1110＋310i.18．(本小题满分12分)某自动化仪表公司组织结构如下： (1)董事会下设总经理；(2)总经理分管甲、乙两副总经理、办公室、财务部、开发部；(3)副总甲负责销售部，副总乙负责生产部、品管部、采购部，而品管部又下设三个车间． 试绘出该公司组织的结构图． 解析： 结构图如图所示：19．(本小题满分12分)若a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 为非负实数， 求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 证明： 要证a ＋b ＋c ≤3， 只需证(a ＋b ＋c )2≤3，展开得a ＋b ＋c ＋2(ab ＋bc ＋ca )≤3， 又因为a ＋b ＋c ＝1， 所以即证ab ＋bc ＋ca ≤1. 因为a ，b ，c 为非负实数，所以ab ≤a ＋b 2，bc ≤b ＋c 2，ca ≤c ＋a2.三式相加得ab ＋bc ＋ca ≤2a ＋b ＋c2＝1，所以ab ＋bc ＋ca ≤1成立．所以a ＋b ＋c ≤3.20．(本小题满分12分)调查某桑场采桑员和辅助工桑毛虫皮炎发病情况结果如下表：采桑 不采桑 合计 患者人数 18 12 健康人数 5 78 合计利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关？认为两者有关系会犯错误的概率是多少？解析： 由题意知，a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113.所以k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝113×18×78－5×12230×83×23×90≈39.6＞10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%.21．(本小题满分13分)已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．解析： sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34.证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°) ＝sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ2＋sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ＝sin 2θ＋34cos 2θ＋14sin 2θ－12sin 2θ＝34.22．(本小题满分13分)某市5年中的煤气消耗量与使用煤气户数的历史资料如下：年份 xx xx xx xx xx x 用户(万户) 1 1.1 1.5 1.6 1.8 y (万立方米)6791112(1)检验是否线性相关； (2)求回归方程；(3)若市政府下一步再扩大两千煤气用户，试预测该市煤气消耗量将达到多少？ 解析： (1)作出散点图(如图)，观察呈线性正相关．(2)x ＝1＋1.1＋1.5＋1.6＋1.85＝75，y ＝6＋7＋9＋11＋125＝9，∑i ＝15x 2i ＝12＋1.12＋1.52＋1.62＋1.82＝10.26， ∑i ＝15x i y i ＝1×6＋1.1×7＋1.5×9＋1.6×11＋1.8×12＝66.4，∴b ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝66.4－5×75×910.26－5×4925＝17023，a ＝y －b x ＝9－17023×75＝－3123，∴回归方程为y ＝17023x －3123.(3)当x ＝1.8＋0.2＝2时， 代入得y ＝17023×2－3123＝30923≈13.4.∴煤气量约达13.4万立方米．.。
2019年高中数学人教A版选修2-3模块综合检测(三)
模块综合检测(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( )A ．0.26B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.2．某产品分甲、乙、丙三级，其中甲为正品，乙、丙均属于次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96解析：选D 记事件A ＝{甲级品}，B ＝{乙级品}，C ＝{丙级品}．事件A 、B 、C 彼此互斥，且A 与B ∪C 是对立事件．所以P (A )＝1－P (B ∪C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.3．将A ，B ，C ，D ，E 五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有( )A ．192种B ．144种C ．288种D ．240种解析：选D 本题为相邻排列问题，可先排相邻的文件，再作为一个整体与其他文件做排列，则有A 22A 22A 35＝240种排法，所以选D.4．若随机变量X 的分布列如表：则E (X )＝( ) A.118 B.19 C.209D.109解析：选C 首先2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝18x ＝1，所以x ＝118，因此E (X )＝0×2x＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5×x ＝40x ＝40×118＝209，故选C. 5．若n ＝⎠⎛022x d x ，则⎝⎛⎭⎫x －12x n 的展开式中常数项为( ) A .12 B ．－12C .32D ．－32解析：选C n ＝⎠⎛022x d x ＝x 2|20＝4－0＝4，∴⎝⎛⎭⎫x －12x 4通项公式为T r ＋1＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 4x 4－2r ，∴4－2r ＝0⇒r ＝2，C 24⎝⎛⎭⎫－122＝6×14＝32，所以选C. 6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815 C.1415D ．1解析：选A 离散型随机变量X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，∴E (X )＝nMN ＝2×310＝35. 7．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15，k ＝2,4,6,8,10.则D (X )等于( )A ．6B ．8C ．3D ．4解析：选B E (X )＝15×(2＋4＋6＋8＋10)＝6.D (X )＝15×(42＋22＋02＋22＋42)＝8.8．已知a ，b ∈{0,1,2，…，9}，若满足|a －b |≤1，则称a ，b “心有灵犀”．则a ，b “心有灵犀”的情形共有( )A ．9种B ．16种C ．20种D ．28种解析：选D 当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数，当a 为其他数时，b 都可以取3个数．故共有28种情形．9．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为( )A．432 B．288C．216 D．144解析：选B从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A23＝6种，先排3个奇数：①若1排在左端，方法有A22种，则将“整体”和另一个偶数中选出一个插在1的左边，方法有C12种，另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有C13种，根据分步乘法计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×A22×C12×C13＝72种；②若1排在右端，同理求得满足条件的六位数也有72种；③若1排在中间，方法有A22种，则将“整体”和另一个偶数插入3个奇数形成的4个空中，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×A22×A24＝144种．综上，满足条件的六位数共有72＋72＋144＝288种，故选B.10．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计()A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D．甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较解析：选B∵D(X甲)>D(X乙)，∴乙种水稻比甲种水稻整齐．11.如图，用4)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有()A．72 B．96C．108 D．120解析：选B颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可能是1,3或1,5或2,5或3,5.对每种情况涂色有A44＝24种，所以一共有96种．12．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2，如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选D 根据线性相关知识知，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好，由试验结果知丁要好些．二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是________． 解析：设车站数为n ，则A 2n ＝132，即n (n －1)＝132， 所以n ＝12(n ＝－11舍去)． 答案：1214．若(3x －1)2 015＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R )，记S 2 015＝∑i ＝12 015 a i3i ，则S 2 015的值为________．解析：因为(3x －1)2 015＝－(1－3x )2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015， 所以a i ＝－C i 2 0153i (－1)i ，S 2 015＝∑i ＝12 015 a i 3i ＝∑i ＝12 015[－C i 2 015(－1)i ]＝－(－C 12 015＋C 22 015－C 32 015＋…－C 2 0152 015)，又因为C 12 015＋C 32 015＋C 52 015＋…＝C 02 015＋C 22 015＋C 42 015＋…，且C 02 015＝1，所以S 2 015＝1.答案：115．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )＝________.解析：由正态分布图象的对称性可得：P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36. 答案：0.3616．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2≈3.852＞3.841，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．解析：因为P (K 2≥3.841)≈0.05，故“判断性别与运动有关”出错的可能性为5%. 答案：5%三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)袋中有7个球，其中3个黑球、4个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X 的分布列，并求至少有一个红球的概率．解：X ＝0,1,2,3，X ＝0表示取出的三个球全是黑球，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135.同理P (X ＝1)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝2)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 37＝435.∴X 的分布列为：至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.18．(本小题满分12分)(1)若(1－2x )2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015(x ∈R)，求(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋…＋(a 0＋a 2 015)的值；(2)如果(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|的值． 解：(1)令x ＝0，得a 0＝1，再令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 015＝－1， 那么a 1＋a 2＋…＋a 2 015＝－2，(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋…＋(a 0＋a 2 015)＝2 015－2＝2 013.(2)因为展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r 8x r，r ∈{0,1,2,3，…，8}，所以当r 为偶数时，系数为正；当r为奇数时，系数为负，故有|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8.令展开式中的x＝－1，即可得到(1＋2)8＝a0－a1＋a2－a3＋a4－…＋a8＝38，即|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝38.19.(本小题满分12分)有6个球，其中3个一样的黑球，红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？解：分三类：(1)若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有A44＝24种；(2)若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C23A24＝36种；(3)若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有C13A14＝12种．综上，共有24＋36＋12＝72(种)．20．(本小题满分12分)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，若用事件A、A分别表示甲、乙两厂的产品，用B表示产品为合格品．(1)试写出有关事件的概率；(2)求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率．解：(1)依题意，P(A)＝70%，P(A)＝30%，P(B|A)＝95%，P(B|A)＝80%.进一步可得P(B|A)＝5%，P(B|A)＝20%.(2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A发生)，又是合格的(事件B发生)的概率，也就是求A与B同时发生的概率，有P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.21．(本小题满分12分)有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组组成.(1)求P (ξ＝2)；(2)求随机变量ξ的分布列和它的均值．解：(1)密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1,2列分别总有1,2，即只能取表格第1,2列中的数字作为密码．∴P (ξ＝2)＝2343＝18.(2)由题意可知，ξ的取值为2,3,4三种情形．若ξ＝3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2，则密码中只可能取数字1,2,3或1,2,4.∴P (ξ＝3)＝2(22A 13＋2C 23＋1)43＝1932. 若ξ＝4，则P (ξ＝4)＝A 13A 22＋A 23A 2243＝932(或用1－P (ξ＝2)－P (ξ＝3)求得)． ∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝2×18＋3×1932＋4×932＝10132.22．(本小题满分12分)“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1－4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金(奖金金额累加)．但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)，其中猜对歌曲名称与否的人数如图所示．每扇门对应的梦想基金：(单位：元)(1)写出2×2明你的理由．(下面的临界值表供参考)(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为45，34，23，13，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是12，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为ξ，求ξ的分布列及均值．参考公式其中K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d解：(1)根据所给的二维条形图得到列联表，根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k 2＝120×(10×70－10×30)220×100×40×80＝3，∵3>2.706，∴有1－0.10＝90%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关． (2)ξ的所有可能取值分别为：0,1 000,3 000，6 000，11 000. 则P (ξ＝1 000)＝45×12＝25，P (ξ＝3 000)＝45×12×34×12＝320，P (ξ＝6 000)＝45×12×34×12×23×12＝120，P (ξ＝11 000)＝45×12×34×12×23×12×13＝160，P (ξ＝0)＝1－25－320－120－160＝2360.ξ的分布列为2360＋1 000×25＋3 000×320＋6 000×120＋11 000×160≈1 333.33.ξ的均值E(ξ)＝0×。
2019高中数学 模块综合评价(二)新人教A版选修2-3
模块综合评价(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1.如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统正常工作的概率为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06解析：A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.答案：B2．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ＜3)等于( ) A.15 B.14 C.13D.12解析：由正态分布的图象知，x ＝μ＝3为该图象的对称轴， 则P (ξ＜3)＝12.答案：D3．一个坛子里有编号1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的编号是偶数的概率为( )A.122B.111C.322D.211解析：从坛子中取两个红球，且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类：第一类，两个球的编号均为偶数，有C 23种取法；第二类，两个球的编号为一奇一偶，有C 13C 13种取法，因此所求的概率为C 23＋C 13C 13C 212＝211. 答案：D4．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )A．4 B．5C．6 D．7解析：二项式的展开式的通项是T r＋1＝C r n x r，令r＝2，得x2的系数为C2n，所以C2n＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.答案：C5．已知离散型随机变量X的分布列如下：由此可以得到期望E(X)A．E(X)＝1.4，D(X)＝0.2B．E(X)＝0.44，D(X)＝1.4C．E(X)＝1.4，D(X)＝0.44D．E(X)＝0.44，D(X)＝0.2解析：由x＋4x＋5x＝1得x＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.答案：C6．已知随机变量X的分布列如下表：则X的方差为( )A．3.56 B. 3.56C．3.2 D. 3.2解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56，故选A.答案：A7．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为( ) A．128 B．129 C．47 D．0解析：A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.答案：A8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )A ．0.01×0.992B ．0.012×0.99 C ．C 130.01×0.992D ．1－0.993解析：设A ＝“三盒中至少有一盒是次品”，则— A ＝“三盒中没有次品”，又P (—A )＝0.993，所以P (A )＝1－0.993.答案：D9．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )A.17B.132C.434D.542解析：设A 表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A 1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A 2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A ＝A 1＋A 2，且A 1，A 2互斥，P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 56·C 14C 610＋1C 610＝542.答案：D11．设随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，则下列结论正确的是( )①P (|ξ|＜a )＝P (ξ＜a )＋P (ξ＞－a )(a ＞0)；②P (|ξ|＜a )＝2P (ξ＜a )－1(a ＞0)；③P (|ξ|＜a )＝1－2P (ξ＜a )(a ＞0)；④P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|≥a )(a ＞0)．A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④解析：因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )，所以①不正确；因为P (|ξ|＜a )＝P (－a ＜ξ＜a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＜－a )＝P (ξ＜a )－P (ξ＞a )＝P (ξ＜a )－(1－P (ξ＜a ))＝2P (ξ＜a )－1，所以②正确，③不正确；因为P (|ξ|＜a )＋P (|ξ|≥a )＝1，所以P (|ξ|＜a )＝1－P (|ξ|≥a )(a ＞0)，所以④正确． 答案：D12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于( )A.715 B.815 C.1415D ．1 解析：由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17·C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115，于是P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝715＋715＝1415.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x ＝________.解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x 2＋x ＋4＝1且0≤x ≤1，解得x ＝12.答案：1214．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．解析：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)． 答案：3715．设(2x －1)5＋(x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝________．解析：由(2x －1)5＋(x ＋2)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5可得常数项a 0＝(－1)5＋24＝15，x 2项的系数为a 2＝C 35×22×(－1)3＋C 24×22＝－16，x 4项的系数为a 4＝C 15×24×(－1)1＋C 04×20＝－79，则|a 0|＋|a 2|＋|a 4|＝15＋16＋79＝110.答案：11016．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(— x ，—y )；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误． 答案：3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：(1)取得合格品的概率；(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A ，因为在100个零件中，有85个为合格品，则P (A )＝85100＝0.85.(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P 1＝40100＝25，第一台车床加工的合格品的概率为P 2＝3540＝78，所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P ＝P 1·P 2＝25×78＝720.18．(本小题满分12分)设⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 12－x 13n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝992.(1)判断该展开式中有无x 2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由； (2)求此展开式中有理项的项数．解：令x ＝1得M ＝4n，而N ＝2n，由M －N ＝992， 得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0， 故2n ＝32，n ＝5.(1)T k ＋1＝C k5·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 125－k(－x 13)k ＝(－1)k ·C k 5·55－k ·x 5－k 2·x k 3＝(－1)k ·C k 5·55－k·x 15－k 6由题意，令15－k 6＝2，解得k ＝3，故含x 2项存在．它的系数为(－1)3·C 35·55－3＝－250.(2)展开式中的有理项应满足⎩⎪⎨⎪⎧15－k 6∈Z ，0≤k ≤5，k ∈Z 故k 只能取3，即展开式中只有一项有理项．19．(本小题满分12分)一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率； (2)求η的分布列及期望E (η)．解：(1)因为服从ξ～B (3，0.4)，运用概率公式P ＝C k 3(0.4)k (1－0.4)3－k，所以P ＝C 23(0.4)2×(1－0.4)＝0.288.(2)因为采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．所以可以取值为200元，250元，300元．根据表格知识得出：P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.故η的分布列为：E(η)20．(本题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：解：由期望的定义，得E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．21．(本小题满分12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)由已知数据得K2的观测值k＝16×14×16×14≈1.158＜2.706. 所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X的可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C28C214＝413，P(X＝1)＝C16C18C214＝4891，P(X＝2)＝C26C214＝1591.所以X的分布列为X的数学期望为E(X)＝0×13＋1×91＋2×91＝7.22．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解：(1)由柱形图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列为：(2)由故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.。
2019年高中数学人教A版选修2-3练习：综合学业质量标准检测2 Word版含解析
综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·福州高二检测)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ＝45x ＋a ，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为导学号 51124764( C )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．(2016·四川理，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为导学号 51124765( A )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4[解析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率导学号 51124766( C )A ．(2,4]B ．(0,2]C．[－2,0) D．(－4,4][解析]此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为导学号51124767(A)A．128 B．129C．47D．0[解析]A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A．5．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(k2≥6.635)＝0.010表示的意义是导学号51124768(D)A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%[解析]由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y有关系的概率为99%.6．(2016·四川理，4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为导学号51124769(D)A．24 B．48C．60 D．72[解析]由题意，可知个位可以从1,3,5中任选一个，有A13种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列，有A44种方法，所以奇数的个数为A13A44＝3×4×3×2×1＝72，故选D．7．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为导学号51124770(C)A．360 B．520C．600 D．720[解析] 当甲、乙两人中只有一人参加时，有C 12·C 35·A 44＝480种方法；当甲、乙两人都参加时，有C 22·C 25(A 44－A 22A 23)＝120种方法．由分类加法计数原理知，不同的发言顺序共有480＋120＝600种，故选C ．8．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为导学号 51124771( A )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[解析] X 的取值为0、1、2， P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9. 9．(2016·长沙二模)二项式(x －1x)6的展开式中常数项为导学号 51124772( B ) A ．－15 B ．15 C ．－20D ．20[解析] 二项式(x －1x )6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·x 6－r ·(－1x)r ＝C r 6·(－1)r ·x 6－32r ，令6－32r ＝0，得r ＝4.因此，二项式(x －1x)6的展开式中的常数项是C 46·(－1)4＝15，故选B ． 10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为导学号 51124773( C )A ．50000B ．52000C ．54000D ．56000[解析] A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60.在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x 4＝54000x 4.故选C ．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是导学号 51124774( B )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[解析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于导学号 51124775( B )A ．－10B ．9C ．11D ．－12[解析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是__682__.导学号 51124776[解析] 由题图知X ～N (μ，σ2)， 其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826. ∴人数为0.6826×1000≈682.14．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝__0.49__.导学号 51124777[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49.15．(2016·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝ 45.导学号 51124778[解析] 由已知X 的取值为7,8,9,10.∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110.∴X 的概率分布列为：∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋＝310＋25＋110＝45. 16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝ C m m ＋n .导学号 51124779[解析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C m m ＋n .(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(列出算式即可)导学号 51124780(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)解法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．解法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．18．(本题满分12分)已知(x －12x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.导学号 51124781(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(12x )r·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n ＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8， 令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.导学号 51124782(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.9544. 由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(2015·全国卷Ⅰ文，15)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值导学号 51124783表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝1w i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^u . [解析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32. (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．21．(本题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.导学号 51124784(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2).导学号 51124785(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在第一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解析] (1)解：抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X 的数学期望EX ＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)解：①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检测，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程练习：第二章 随机变量及其分布 单元质量测评
姓名，年级：时间：第二章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．袋中有大小相同的5只钢球,分别标有1，2,3，4，5五个号码，有放回的依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能值的个数是( ）A．25 B．10C．9 D．5答案C解析由题意，由于是有放回的取，故可有如下情况：若两次取球为相同号码，则有1＋1＝2,2＋2＝4，3＋3＝6，4＋4＝8，5＋5＝10,5个不同的和;若两次取球为不同号码，则还有1＋2＝3,1＋4＝5，2＋5＝7,4＋5＝9这四个和，故共有9个．2．设随机变量ξ等可能取值1，2，3,…，n。
如果P（ξ<4)＝0.3,那么（）A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n不能确定答案C解析∵ξ是等可能地取值，∴P(ξ＝k)＝错误!(k＝1,2，…,n),∴P（ξ〈4）＝错误!＝0.3，∴n＝10.3．甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是（）A．0。
16 B．0.24C．0。
96 D．0。
04答案C解析三人都不达标的概率是(1－0.8)×（1－0。
6）×(1－0。
5）＝0。
04，故三人中至少有一人达标的概率为1－0。
04＝0.96.4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1）,若P(ξ〉1）＝p，则P（－1〈ξ<0)＝( ）A。
错误!＋p B．1－pC．1－2p D。
错误!－p答案D解析P(－1〈ξ<0)＝错误!P（－1<ξ〈1)＝错误!［1－2P(ξ>1）］＝错误!－P（ξ>1）＝错误!－p.5．甲、乙、丙三个在同一办公室工作，办公室只有一部电话机,经该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率分别是错误!,错误!，错误!.在一段时间内共打进三个电话，且各个电话之间相互独立，则这三个电话中恰有两个是打给乙的概率是（）A。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3作业与测评：学期综合测评(二) Word版含解析
选修2－3 学期综合测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( )A ．5 B ．3 C ．2 D ．0答案 A解析 常数项为C ·22·C ＝4，x 7系数为C ·C (－1)5＝－1，因此x 7205025系数与常数项之差的绝对值为5.2．随机变量X 的分布列如下：X －101Pabc其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝，则D (X )的值是( )13A. B. C. D.49592395答案 B解析 a ＋b ＋c ＝1.又∵2b ＝a ＋c ，故b ＝，a ＋c ＝.由E (X )＝，132313得＝－a ＋c ，故a ＝，c ＝.D (X )＝2×＋2×＋131612(－1－13)16(0－13)13(1－13)2×＝.12593．收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，并按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应相关指数R 2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是( )A.＝19.8x －463.7 B.＝e 0.27x －3.84y ^y ^C.＝0.367x 2－202D.＝y ^y ^(x －0.78)2－1答案 B解析 用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2的值越大，说明模型的拟合效果越好．4．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 种B ．A A 种34313C ．C A 种D ．C C A 种24314133答案 C解析 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C A 种．2435．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R 2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ＞4)＝；12④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④答案 B解析 ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称抽为x ＝4，所以P (ξ>4)＝；④对12分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大．6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若ξ表示取到次品的件数，则D (ξ)＝( )A. B. C. D.35111514152875答案 D解析 ξ的所有可能取值是0,1,2.则P (ξ＝0)＝＝.C 27C 210715P (ξ＝1)＝＝.C 17C 13C 210715P (ξ＝2)＝＝.C 23C 210115所以，ξ的分布列为ξ012P715715115于是E (ξ)＝0×＋1×＋2×＝，71571511535D (ξ)＝(ξi －E (ξ))2P i ＝.n∑i ＝128757．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，且两人是否击中相互不受影响，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5答案 D解析 设事件A 、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，且A 与B 相互独立，则事件恰有一人击中敌机的概率为P (A ＋B )＝P (A )·[1－P (B )]＋[1－P (A )]·P (B )＝0.5.故选D.B － A －8. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544.答案 C解析 由题意可得P (0<x ≤1)＝P (－1<x ≤1)＝0.3413，设落入阴12。
2019_2020学年高中数学综合能力检测新人教A版选修2_3
综合能力检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．为了准备晚饭，小张找出了5种不同的新鲜蔬菜和4种冷冻蔬菜．如果晚饭时小张只吃1种蔬菜，不同的选择种数是( )A ．5B ．4C ．9D ．20【答案】C2．判断下图中的两个变量，具有相关关系的是( )【答案】B3．从10种不同的作物种子中选出6种分别放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种作物种子都不许放入1号瓶，那么不同的放法种数为( )A ．C 210A 48 B ．C 19A 59 C ．C 18A 59 D ．C 19C 58【答案】C4．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n 的展开式中第4项为常数项，则正整数n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D5．随机变量X 的分布列为X －1 0 1 P121613且Y ＝6X ＋1，则Y A ．0 B ．16 C ．2936 D ．1【答案】A6．(2016年四川)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4【答案】A7．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，两人的命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75【答案】D8．已知随机变量ξ～N (3，σ2)，则P (ξ≤3)等于( ) A ．15 B ．14 C ．13 D ．12【答案】D9．若随机变量X ～B (n,0.6)且E (X )＝3，则P (X ＝1)的值是( ) A ．2×0.44B ．2×0.45C ．3×0.44D ．3×0.64【答案】C10．(2018年桂林模拟)如图，在A ，B 间有四个焊接点1,2,3,4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通．现在发现A ，B 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有( )A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种【答案】B11.(2019年南宁期末)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队，则A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为( )A.710B.910C.89100D.99100【答案】A12.(2019年大庆期末)甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，两人各投一次为一轮，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙每次投篮命中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P(X=k)等于（ ）A.0.6k-1×0.4B.0.24k-1×0.76C.0.4k-1×0.6D.0.76k-1×0.24【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．(2017年邯郸二模)已知随机变量ξ服从正态分布N (m ，σ2)，若P (ξ≤－3)＝P (ξ≥4)，则m ＝______.【答案】1214．(2018年合肥期末)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.【答案】91615.(2019年梅州期末)已知(1-2x)7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7，则a 1+a 2+…+a 7=______.【答案】-216．用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数，数字2不出现在首位和末位，数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是________．(用数字作答)【答案】48三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)为应对国际金融危机的不利影响，国家实施了保持经济平稳较快发展的一揽子计划，国民经济平稳回升．某地区生产总值同比增长与用电量有如下关系，我们结合有关数据做了一些分析，假设用电量x (亿千瓦时)和地区生产总值同比增长率y %有如下统计资料：若由资料知，y 对x (1)试求回归直线方程；(2)估计用电量为10亿千瓦时时，生产总值同比增长率是多少？【解析】(1)∑i ＝15x i y i ＝112.3，x ＝4，y ＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，b ^＝∑i ＝15x i y i －5xy∑i ＝15x 2i －5x 2＝1.23，a ^＝y －b ^x ＝0.08，故回归直线方程为y ^＝1.23x ＋0.08.(2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38，即估计用电量为10亿千瓦时时，生产总值同比增长率是12.38%.18．(12分)随着工业化以及城市车辆的增加，城市的空气污染越来越严重，空气质量指数(API)一直居高不下．为了研究感染呼吸系统疾病是否与工作场所有关，现调查了某市500名居民的工作场所和呼吸系统健康情况，得到2×2列联表如下：项 目 室外工作 室内工作总 计 有呼吸系统疾病 150 无呼吸系统疾病100总 计200(1)补全2×2列联表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关？说明理由．参考数据：P (K 2≥k )0.10 0.050 0.025 k2.7063.8415.024参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.【解析】(1)列联表如下：项 目 室外工作 室内工作 总 计 有呼吸系统疾病 150 200 350 无呼吸系统疾病50 100 150 总 计200300500(2)计算得K 2的观测值为k ＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝500×150×100－200×502350×150×200×300≈3.968>3.841.所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关． 19．(12分)在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．【解析】视“选择每道题的答案”为1次试验，则这是4次独立重复试验且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.由独立重复试验的概率计算公式，得(1)恰有两道题答对的概率为P 4(2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫142×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128. (2)至少答对一道题的概率为1－P 4(0)＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫140×⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝1－81256＝175256.20．(12分)(2018年天津模拟)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(2)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了，请运用相关知识分析其原因．【解析】(1)X 可能的取值为10,20,100，－200.P (X ＝10)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－121＝38，P (X ＝100)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝⎛⎭⎪⎫1－123＝18.∴X 的分布列为X 10 20 100 －200 P38381818(2)由(1)得E (X )＝10×8＋20×8＋100×8－200×8＝－4，这表明获得分数X 的均值为负，∴多次游戏之后分数减少的可能性更大．21．(12分)(2016年新课标Ⅲ)如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2008～2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －t y i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1ny i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈2.8928×0.55≈0.99.∵y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高， ∴可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)，得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.∴y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程，得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. ∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．22.由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求a,b 的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率；②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小？并说明理由．【解析】(1)由甲解开密码锁所需时间的频率分布直方图及中位数为47可得： (0.01+0.014+b+0.034)×5+0.04×2=0.5， 0.04×3+(0.032+a+0.01+0.01)×5=0.5， 解得b=0.026,a=0.024.甲在1分钟内解开密码锁的频率为1-(0.01+0.01)×5=0.9. 乙在1分钟内解开密码锁的频率1-(0.035+0.025)×5=0.7.(2)由题意得甲、乙、丙在1分钟内解开密码锁的概率分别是0.9，0.7，0.5. ①记“该团队能进入下一关”的事件为A,“不能进入下一关”的事件为_A. 由各人是否解开密码锁相互独立，可得P(_A)=(1-0.9)×(1-0.7)×(1-0.5)=0.015. 所以P(A)=1-P(_A)=1-0.015=0.985.②设先后派出人员在1分钟内解开密码锁的概率分别是p 1,p 2,p 3. p 1,p 2,p 3分别为0.9，0.7，0.5中的一个. 由题意得X 的可能取值为1，2，3，P(X=1)=p 1，P(X=2)=(1-p 1)p 2,P(X=3)=(1-p 1)(1-p 2)，所以E(X)=p 1+2(1-p 1)p 2+3(1-p 1)(1-p 2)=3-2p 1-p 2+p 1p 2=(1-p 1)(2-p 2)+1. 显然当p 1,p 2尽可能大时，可使E(X)变小； 当p 1>p 2时的E(X)比p 1<p 2时E(X)更小. 所以当p 1=0.9,p 2=0.7，p 3=0.5时，E(X)最小，即按甲、乙、丙的先后顺序排除人员，可使所需派出的人员数目X 的数学期望达到最小.。
新人教A版选修22019_2020版高中数学模块综合测评(A)(含解析)
模块综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题p为()A.∀x∈R,x≤1B.∃x0∈R,x0<1C.∀x∈R,x≤-1D.∃x0∈R,x0<-1解析全称命题的否定是特称命题.答案B2.设向量a=(2,2,0),b=cos α,-1,1(0°<α<180°),若a⊥b,则角α=()A.30°B.60°C.1 0°D.150°解析a·b=2cosα+2×-1+0×1=0得cosα=1,因为0°<α<180°,所以α=60°,故选B. 答案B3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为()A.18B.-18C.8D.-8解析由y=ax2得x2=1y,∴1=-8,∴a=-18.答案B4.“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sin α+y2cos α=1所表示的曲线是椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆,则满足sinα>0,cosα>0,且sinα≠cosα,即2kπ<α<2kπ+,且α≠2kπ+,k∈Z,所以“α是第一象限角”是“关于x,y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件,故选B.答案B5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是()A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>dB.p:a>1,b>1,q:f(x)=a x-b(a>0且a≠1)的图象不过第二象限C.p:x=1,q:x2=xD.p:a>1,q:f(x)=log a x(a>0且a≠1)在(0,+∞)内为增函数解析由于a>b ,c>d ⇒a+c>b+d ,而a+c>b+d 却不一定推出a>b ,且c>d ,故A 中p 是q 的必要不充分条件;B 中,当a>1,b>1时,函数f (x )=a x -b 不过第二象限,当f (x )=a x-b 不过第二象限时,有a>1,b ≥1,故B 中p 是q 的充分不必要条件;C 中,因为当x=1时有x 2=x ,但当x 2=x 时不一定有x=1,故C 中p 是q 的充分不必要条件;D 中,p 是q 的充要条件.答案A6.已知椭圆=1(a>b>0),M 为椭圆上一动点,F 1为椭圆的左焦点,则线段MF 1的中点P 的轨迹是( ) A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.线段解析∵P 为MF 1中点,O 为F 1F 2的中点,其中F 2为椭圆的右焦点,∴OP=1MF 2.又MF 1+MF 2=2a ,∴PF 1+PO=1 MF 1+1MF 2=a.∴P 的轨迹是以F 1,O 为焦点的椭圆.答案A7.在空间四面体O-ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,P 是MN 的三等分点(靠近N ),若 =a , =b , =c ,则 =( ) A.13a +16b +16cB.16a +13b +13c C.1 a +16b +13cD.16a +1 b +13c 解析由题意可得:1 )=1 [( )+( )]=1(b +c )-a , 1 a +1 (b +c )-a =1(b +c -a ), 3 1 a +13(b +c -a )=16a +13b +13c . 故选B. 答案B8.经过点(3,- )的双曲线=1(a>0,b>0),其一条渐近线方程为y= 33x ,该双曲线的焦距为( )A. B.2C.2D.4解析点(3,- )在双曲线=1上,可得=1.又渐近线方程为y=± x ,一条渐近线方程为y= 33x ,可得 33,解得a= 3,b=1.所以c= =2,焦距为2c=4.故选D . 答案D9.已知向量a =(2,1,0),b =(-1,1,1),且a +b 与k a -b 互相垂直,则k 的值是( ) A.1B.1C.-1D.13解析因为向量a =(2,1,0),b =(-1,1,1),所以a +b =(1,2,1),k a -b =(2k+1,k-1,-1),又a +b 与k a -b 互相垂直,所以(a +b )·(k a -b )=0,即1×(2k+1)+2×(k-1)+1×(-1)=0,解得k=1.故选B. 答案B10.设双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C. 6D. 5解析双曲线的一条渐近线为y=x , 由,1,消y 得x 2-x+1=0.由题意,知Δ= --4=0,∴b 2=4a 2. 又c 2=a 2+b 2,∴c 2=a 2+4a 2=5a 2.∴5.答案D11.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC= 0°,AB=AC=2,AA 1= 6,则AA 1与平面AB 1C 1所成的角为( )A.6 B.C. 3D.解析∵在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC= 0°,AB=AC=2,AA 1= 6,∴建立以A 为坐标原点,直线AC ,AB ,AA 1分别为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系如图.则A1(0,0,6),A(0,0,0),B1(0,2,6),C1(2,0,6),则1=(0,2,6),1=(2,0,6),设平面AB1C1的法向量为m=(x,y,z),1=(0,0,6),则m·1=2y+6z=0,m·1=2x+6z=0,令z=1,则x=-6,y=-6,即m=-6,-6,1,则AA1与平面AB1C1所成的角θ满足sinθ=|cos<1,m>|=66-6-611,则θ=6,故选A.答案A12.已知点P1,3是椭圆3=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足=3,则直线AB的斜率为()A.-1B.-C.1D.解析设A(x1,y1),B(x2,y2).∵ =3,点P1,3,∴1-1,1-3-1,-3=3-1,-3.∴x1+x2=-1,y1+y2=-3.把A,B代入椭圆方程,得311 1 , 3 1 ,两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴1-1-=-3(1)(1).∵x1+x2=-1,y1+y2=-3,∴k AB=1-1-=-3(1)(1)=-1.故选A.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.双曲线1 -=1的焦距是.解析依题意a2=m2+12,b2=4-m2,所以c2=a2+b2=16,c=4,2c=8.答案814.设p:-<0,q:0<x<m,若p是q成立的充分不必要条件,则m的取值范围是.解析不等式-<0可得:0<x<2,因为p是q成立的充分不必要条件,所以集合{x|0<x<2}是集合{x|0<x<m}的真子集,∴m>2.故答案为(2,+∞).答案(2,+∞)15.已知点P是椭圆5=1上的一点,F1,F2是焦点,且∠F1PF2= 0°,则△F1PF2的面积为.解析由椭圆5=1知,|PF1|+|PF2|=2a=6.又∠F1PF2= 0°,所以|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16,而|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|=16,解得|PF1|·|PF2|=10,所以△F1PF2的面积为S=1|PF1|·|PF2|=5.故答案为5.答案516.在棱长为2的正四面体ABCD中,E是BC的中点,则=.解析∵E是BC的中点,∴ 1).∴ =()·=1)·=11=||·||·cos1 0°+1|·||·cos60°+2=-2+1+2=1.故答案为1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+5≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).(1)若m=2,且p∧q为真,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.解(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.当m=2时,q:-1≤x≤3.若p∧q为真,p,q同时为真命题,则15,-13,即1≤x≤3.∴实数x的取值范围为[1,3].(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.∵p是q的充分条件,∴0,1-1,15,解得m≥ .∴实数m的取值范围为[4,+∞).18.(本小题满分12分)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.(1)求证:EG∥AC;(2)求证:平面EFG∥平面AB1C.证明把{1}作为空间的一个基底.(1)因为1111,所以=2.所以EG∥AC.(2)由(1)知EG∥AC,又AC⊂平面AB1C,EG⊄平面AB1C,所以EG∥平面AB1C.因为1111111,所以1=2.所以FG∥AB1.又AB1⊂平面AB1C,FG⊄平面AB1C,所以FG∥平面AB1C.又EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面AB1C.19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lg-16的定义域为R;命题q:不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立.(1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;(2)如果“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.解(1)若命题p是真命题,则:①当a=0时,定义域为{x|x<0},不符合题意;②由0,1-·160,得0,或- ,∴a>2.因此,实数a的取值范围为(2,+∞).(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x<a对一切正实数x均成立.令t=3x,t>1,y=t-t2.当t=1时,y max=0,∴a≥0.若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假.①若p真q假,则,0,此时a无解.②若p假q真,则 ,0,得0≤a≤ .综上,实数a的取值范围为[0,2].20.(本小题满分12分)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:为定值.(3)在(2)的条件下,试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ,使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ,MQ 的交点?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. (1)解a=2,b=c ,a 2=b 2+c 2,∴b 2=2.∴椭圆方程为=1.(2)证明C (-2,0),D (2,0),设M (2,y 0),P (x 1,y 1),则 =(x 1,y 1), =(2,y 0).直线CM :y= 0(x+2),即y= 0x+1y 0,代入椭圆方程x 2+2y 2=4,得 1 08 x 2+1 0 x+1-4=0. ∵x 1=-1( 0 -8)8,∴x 1=-( 0 -8)0 8,∴y 1=80 0 8.∴ - ( 0 -8)0 8,80 0 8 .∴ =-( 0 -8)0 88 080 38=4(定值).(3)解设存在Q (m ,0)满足条件,则MQ ⊥DP.=(m-2,-y 0), - 08,80 08, 则由 =0得- 0 0 8(m-2)-8 00 8=0,从而得m=0.∴存在Q (0,0)满足条件.21.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,PA=AD=2,AB= ,M 是棱PD 上一点,且 =λ ,0≤λ≤1.(1)当λ=13时,求直线AM 与PC 所成角的余弦值; (2)当CM ⊥BD 时,求二面角M-AC-B 的大小.解(1)以A 为原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,则A (0,0,0),B ( ,0,0),C ( ,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),设M (x ,y ,z ),则 =λ =(0,-2λ,2λ)(0≤λ≤1),=(0,2-2λ,2λ),当λ=13时, 0,3,3 =( ,2,-2),∴cos < >= ··5, ∴直线AM 与PC 所成角的余弦值为5.(2) =(- ,2,0), =(- ,-2λ,2λ), 当CM ⊥BD 时, =2-4λ=0,解得λ=1,此时, =(0,1,1), =( ,2,0),设平面MAC 的一个法向量n =(x ,y ,z ), 则· 0, · 0,取z=1,得n =( ,-1,1), 又平面BAC 的一个法向量 =(0,0,2),∴cos <n , >= · · 1,由图象得,二面角M-AC-B 是钝二面角,∴二面角M-AC-B 的大小为1 0°.22.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,焦点在x 轴上的椭圆=1(b>0)的右顶点和上顶点分别为A ,B ,M 为线段AB 的中点,且 =-3b 2.(1)求椭圆的离心率;(2)四边形ABCD 内接于椭圆,AB ∥CD.记直线AD ,BC 的斜率分别为k 1、k 2,求证:k 1·k 2为定值. 解(1)A (2,0),B (0,b ),线段AB 的中点M 1,.=(-2,b ), =1,.∵ =-3b 2,∴-2+=-3b 2,解得a=2,b=1.∴c=-3,∴椭圆的离心率e=3.(2)证明:由(1)得椭圆的标准方程为+y2=1,A(2,0),B(0,1),直线BC的方程为y=k2x+1,联立1,1,得(1+4)x2+8k2x=0,解得x C=-81,y C=1-1,即C-811-1,直线AD的方程为y=k1(x-2).联立1(- ),1,化为(1+41)x2-161x+161-4=0, ∴2x D=161-11,解得x D=81-11,y D=-111,∴D81-11-111,∴k CD=--=-1,化为1-161+2k1-2k2+8k1-8k21=0, ∴k1k2-1(4k1k2-2k2+2k1+1)=0, ∴k1·k2=1为定值.。
【优质试卷】2019-2020高中数学 模块综合评价(一)新人教A版选修2-3
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的) 1．设直线的方程是Ax ＋By ＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A ，B 的值，则所得不同直线的条数是( )A ．20B ．19C ．18D ．16解析：考虑有两种重复情况，易得不同直线的条数N ＝A 25－2＝18. 答案：C2．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200D.y ^＝10x －200解析：由于销售量y 与销售价格x 负相关，故排除B ，D.又当x ＝10时，A 中的y ＝100，而C 中y ＝－300，故C 不符合题意．答案：A3．从A ，B ，C ，D ，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )A ．24B ．48C ．72D ．120解析：A 参加时参赛方案有C 34A 12A 33＝48(种)，A 不参加时参赛方案有A 44＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.答案：C4．两个分类变量X 和Y ，值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数分别是a ＝10，b ＝21，c ＋d ＝35，若X 与Y 有关系的可信程度为90%，则c ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：列2×2列联表可知：当c ＝5时，K 2＝66×（10×30－5×21）215×51×31×35≈3.024>2.706，所以c ＝5时，X 与Y 有关系的可信程度为90%， 而其余的值c ＝4，c ＝6，c ＝7皆不满足． 答案：B5.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358C.354D ．105解析：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k8(x )8－k⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k ，令4－k ＝0，解得k ＝4，所以T 5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358. 答案：B6．ξ，η为随机变量，且η＝a ξ＋b ，若E (ξ)＝1.6，E (η)＝3.4，则a ，b 可能的值为( ) A ．2，0.2 B ．1，4 C ．0.5，1.4D ．1.6，3.4解析：由E (η)＝E (a ξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，只有A 满足． 答案：A7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为( )A ．－16 B.23 C.2936D ．1解析：E (ξ)＝－1×12＋0×16＋1×13＝－16，所以E (μ)＝E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝23.答案：B8．若随机变量ξ～N (－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是( ) A ．(2，4] B ．(0，2] C ．[－2，0)D ．(－4，4]解析：此正态曲线关于直线x ＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．答案：C9．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3ξ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：由题意得E (ξ)＝13×(1＋2＋3)＝2，所以D (ξ)＝23，D (3ξ＋5)＝32×D (ξ)＝6，故选A.答案：A10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：A ．99%的可能性B ．99.75%的可能性C ．99.5%的可能性D ．97.5%的可能性解析：由题意可知a ＝16，b ＝28，c ＝20，d ＝8，a ＋b ＝44，c ＋d ＝28，a ＋c ＝36，b ＋d ＝36，n ＝a ＋b ＋c ＋d ＝72.代入公式K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2＝72×（16×8－28×20）244×28×36×36≈8.42.由于K 2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．答案：C11．某日A ，B 两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A 市或B 市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X 表示这一天受台风袭击的城市个数，则E (X )＝( )A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4解析：设A ，B 两市受台风袭击的概率均为p ，则A 市或B 市都不受台风袭击的概率为(1－p )2＝1－0.36，解得p ＝0.2或p ＝1.8(舍去)．法一 P (X ＝0)＝1－0.36＝0.64.P (X ＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P (X ＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.法二 X ～B (2，0.2)，E (X )＝np ＝2×0.2＝0.4. 答案：D12．连续掷两次骰子，设得到的点数分别为m 、n ，则直线y ＝m nx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交的概率是( )A.518 B.59 C.536 D.572解析：由直线y ＝mnx 与圆(x －3)2＋y 2＝1相交得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3m n 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 2<1，整理得－24<m n <24，考虑到m ，n 为正整数，故应使直线的斜率大于0且小于或等于13，当m ＝1时，n ＝3，4，5，6；当m ＝2时，n ＝6，共有5种情况，而掷两次骰子得到点数的所有情况有36种，故概率为536.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________．解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.314．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝________. 解析：由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，所以D (ξ)＝36×13×23＝8.答案：815．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为________个，方差为________．解析：由题意可知X ～B (100，98.5%)， 所以E (ξ)＝np ＝100×98.5%＝98.5，D (ξ)＝np (1－p )＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.答案：98.5 1.477516．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.376三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n(n ∈N *)的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．解：由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n （－2）4C 2n （－2）2＝10，化简得n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(2)通项公式T r ＋1＝C r8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝C r 8(－2)r x 8－r 2－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1. 故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r8·2r，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ，解得5≤r ≤6. 又T 6的系数为负，所以系数最大的项为T 7＝1 792x －11由n ＝8知第5项二项式系数最大， 此时T 5＝1 120x －6.18．(本大题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排． (1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？ (2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？ (3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？解：(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A 66种排法，五名徒弟在内部全排列有A 55种，据乘法原理排法共有A 66A 55＝86 400(种)．(2)先将五位师傅全排列有A 55种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A 56种排法，据乘法原则，排法共计A 56A 55＝86 400(种)．(3)先将五位师傅排列有A 55种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A 55种排法，据乘法原理排法共有2A 55A 55＝28 800(种)．19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望． 解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为：所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1 x i ＝80，∑10i ＝1 y i ＝20，∑10i ＝1 x i y i ＝184，∑10i ＝1 x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑ni ＝1 x i y i －n x y ∑ni ＝1 x 2i －nx 2， a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑n i ＝1 x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑n i ＝1 y i ＝2010＝2， 又l xx ＝∑ni ＝1 x 2i －nx 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑ni ＝1 x i y i －nxy ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝l xy l xx ＝2480＝0.3，a ^＝y －b ^x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．下面临界值表供参考：⎝⎛⎭⎪⎫参考公式：K 2＝（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝(7个)，所以P ＝710.(2)2×2列联表如下：K 2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞5.024.因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．22．(本小题满分12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望E (X )． 解：(1)记事件A 为“甲第一轮猜对”， 记事件B 为“乙第一轮猜对”， 记事件C 为“甲第二轮猜对”， 记事件D 为“乙第二轮猜对”，记事件E 为“‘星队’至少猜对3个成语”． 由题意，E ＝ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD ＋ABCD ， 由事件的独立性与互斥性，P (E )＝P (ABCD )＋P (ABCD )＋P (ABCD )＋P (ABCD )＋P (ABCD )＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C )·P (D )＝34×23×34×23＋2×⎝ ⎛14×23×34×23＋34×⎭⎪⎫13×34×23＝23， 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.(2)由题意，随机变量X 可能的取值为0，1，2，3，4，6. 由事件的独立性与互斥性，得P (X ＝0)＝14×13×14×13＝1144，P (X ＝1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×13×14×13＋14×23×14×13＝10144＝572，P (X ＝2)＝34×13×34×13＋34×13×14×23＋14×23×34×13＋14×23×14×23＝25144，P (X ＝3)＝34×23×14×13＋14×13×34×23＝12144＝112，P (X ＝4)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×23×34×13＋34×23×14×23＝60144＝512，P (X ＝6)＝34×23×34×23＝36144＝14.可得随机变量X 的分布列为：所以数学期望E (X )＝0×1144＋1×572＋2×25144＋3×112＋4×512＋6×14＝236.。
2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2_3
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(x ＋1)4的展开式中x 2的系数为( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．20解析：选B ．(x ＋1)4的展开式的通项为T k ＋1＝C k 4x 4－k，令4－k ＝2，得k ＝2，则T 3＝C 24x2＝6x 2，所以系数为6.2．设直线的方程是Ax ＋By ＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A ，B 的值，则所得不同直线的条数是( )A ．20B ．19C ．18D ．16解析：选C ．考虑有两种重复情况，易得不同直线的条数N ＝A 25－2＝18. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则（D （X ））2（E （X ））2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对解析：选B ．因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以（D （X ））2（E （X ））2＝[np （1－p ）]2（np ）2＝(1－p )2. 4．设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在30年内发生特大洪水的概率是0.8，在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水，则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是( )A ．0.25B ．0.3C ．0.35D ．0.4解析：选A ．设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是P ，根据条件可得，0.8×1＋(1－0.8)×P ＝0.85，解得P ＝0.25.5．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C ．分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A ，B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A ，B 相互独立，所以1－P (A —)P (B —)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．6．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14种B ．24种C ．28种D ．48种解析：选A ．法一：分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有C 12·C 34种选派方案； 第2类，选派2名女生、2名男生，有C 22·C 24种选派方案． 故共有C 12·C 34＋C 22·C 24＝14种不同的选派方案．法二：6人中选派4人的组合数为C 46，其中都选男生的组合数为C 44，所以至少有1名女生的选派方案有C 46－C 44＝14种．7．若随机变量ξ～N (－2，4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2，4]B ．(0，2]C ．[－2，0)D ．(－4，4]解析：选C ．此正态曲线关于直线ξ＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．8．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，那么自然数n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B ．由题意令x ＝0，得a 0＝n ，又a n ＝1，令x ＝1，则2＋22＋ (2)＝n ＋(29－n )＋1，所以2n ＋1＝32，即n ＝4.9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A ．35B ．25C ．59D ．110解析：选C ．记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸出正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13，故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝59. 10．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：根据上表可得回归方程y ＝9.4x ＋9.1，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A ．72.0万元B ．67.7万元C ．65.5万元D ．63.6万元解析：选C ．当x ＝6时，y ＝9.4×6＋9.1＝65.5. 11．两个线性相关变量x 与y 的统计数据如下表：某回归直线方程是y ^＝b x ＋40，则相应于点(9，11)的残差为( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．－0.2D ．－0.1解析：选C ．由题意得，x —＝10，y —＝8.因为回归直线方程是y ^＝b ^x ＋40，所以8＝10b ^＋40，所以b ^＝－3.2，所以y ^＝－3.2x ＋40，当x ＝9时，y ^＝11.2，所以相应于点(9，11)的残差为11－11.2＝－0.2，故选C ．12．一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数ξ的数学期望为( )A ．74B ．7720C ．34D ．73解析：选A ．由于f 2(x )，f 5(x )，f 6(x )为偶函数，f 1(x )，f 3(x )，f 4(x )为奇函数，所以随机变量ξ可取1，2，3，4.P (ξ＝1)＝C 13C 16＝12，P (ξ＝2)＝C 13C 13C 16C 15＝310，P (ξ＝3)＝C 13C 12C 13C 16C 15C 14＝320，P (ξ＝4)＝C 13C 12C 11C 13C 16C 15C 14C 13＝120.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3作业与测评：学期综合测评(一) Word版含解析
姓名，年级：时间：选修2－3 学期综合测评（一)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．下列说法正确的有（)①回归方程适用于一切样本和总体．②回归方程一般都有时间性．③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围．④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值．A．①② B．②③ C．③④ D．①③答案B解析回归方程只适用于所研究样本的总体，所以①不正确；而“回归方程一般都有时间性”正确，③也正确；而回归方程得到的预报值是预报变量的近似值，故选B。
2．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4答案D解析任意两个同学之间交换纪念品共要交换C错误!＝15次,如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品,现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次,这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学有2人，答案为D。
3．（错误!x－1）5的展开式中第3项的系数是（）A．－20错误! B．20 C．－20 D．20错误!答案D解析T r＋1＝C错误!·（错误!x)5－r·（－1)r，令r＝2，则T3＝C错误!·(错误! x)3·（－1)2＝10×2错误!x3，即第3项系数为20错误!。
4．设随机变量X服从二项分布X～B（n，p），则错误!等于（)A．p2B．（1－p）2C．1－p D．以上都不对答案B解析因为X~B(n，p)，(D(X）)2＝[np(1－p)]2,(E（X))2＝（np）2，所以D X2E X2＝［np1－p］2np2＝（1－p)2.故选B.5．若随机变量ξ～N（－2，4）,则ξ在区间（－4,－2］上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（）A．（2,4] B．(0，2］C．［－2,0）D．(－4,4］答案C解析此正态曲线关于直线x＝－2对称，∴ξ在区间（－4,－2］上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，（11.3，2）,（11。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：模块综合测评
模块综合测评(时间：90分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如下图，4个散点图中，不适合用线性回归模拟拟合其中两个变量的是( )解析：题图A 中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型． 答案：A2．若随机变量X ～B (n,0.6)，且E (X )＝3，则P (X ＝1)的值是( )A ．2×0.44B ．2×0.45C ．3×0.44D ．3×0.64解析：因为X ～B (n,0.6)，所以E (X )＝np ＝0.6n ＝3，所以n ＝5，所以P (X ＝1)＝C 15×0.61×0.44＝3×0.44.答案：C3．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．120解析：∵C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n＝2n ＝64，∴n ＝6. T r ＋1＝C r 6x 6－r x －r ＝C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 常数项T 4＝C 36＝20，故选B 项．答案：B4．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则p 1等于( )ξ －1 2 4P 15 23p 1 A.0 B.215C.115D ．1 解析：由分布列性质得15＋23＋p 1＝1.解得p 1＝215.答案：B5．设事件A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( )A.14B.34C.964D.2764 解析：假设事件A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p ，由题意得，事件A 发生的次数X ～B (3，p )，则有1－(1－p )3＝6364，得p ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×⎝⎛⎭⎫1－342＝964.故选C 项． 答案：C6．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大解析：在正态分布N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合图象可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状：σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．故由图象知σ1最大．答案：D7．设a 为函数y ＝sin x ＋3cos x (x ∈R )的最大值，则二项式⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是( )A ．192B ．182C ．－192D ．－182解析：由已知a ＝2，则T k ＋1＝C k 6(a x )6－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k＝(－1)k C k 6a 6－k ·x 3－k . 令3－k ＝2，则k ＝1，含x 2项的系数为－C 16×25＝－192.答案：C8．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：( ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 C ．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关 D ．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．答案：D9．将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A.6091B.12C.518D.91216解析：P (B )＝1－P (B －)＝1－5×5×56×6×6＝91216，P (AB )＝C 13×5×46×6×6＝60216，∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝6091.答案：A 10．一名篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a ，b ，c ∈(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab 的最大值为( )A.148B.124C.112D.16解析：由已知，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，所以ab ＝16×3a ×2b ≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b 22＝16. 答案：D11．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75 解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X ＝0,1,2,3.列表如下所以E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.答案：B12．用四种不同颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种解析：先涂A ，D ，E 三个点，共有4×3×2＝24种涂法，然后再按B ，C ，F 的顺序涂色，分为两类：一类是B 与E 或D 同色，共有2×(2×1＋1×2)＝8种涂法；另一类是B 与E 与D 均不同色，共有1×(1×1＋1×2)＝3种涂法．所以涂色方法共有24×(8＋3)＝264种．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能全排在一起，则不同的排法种数有________．解析：先从3名女生中选出2名捆绑，再用插空法，不同的排法种数有A 44·A 23·A 25＝2 880. 答案：2 88014．已知随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝4，η＝2ξ＋3，D (η)＝3.2，则P (ξ＝2)＝________.解析：由已知np ＝4,4np (1－p )＝3.2，∴n ＝5，p ＝0.8，∴P (ξ＝2)＝C 25p 2(1－p )3＝32625. 答案：3262515．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表．若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为________．解析：由数据表得x －＝5，y ＝50，所以a ^＝y －6.5x ＝17.5，即回归直线方程为y ^＝17.5＋6.5x .答案：y ^＝17.5＋6.5x16．1号箱中有同样的2个白球和4个红球，2号箱中有同样的5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出1球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1球，则从2号箱中取出红球的概率是________．解析：“从2号箱中取出红球”记为事件A ，“从1号箱中取出红球”记为事件B ，则P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13，P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B －)＝38＋1＝13.故P (A )＝P (AB )＋P (A B －)＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －)＝49×23＋13×13＝1127.答案：1127三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，且(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．解析：首先根据条件求出指数n ，再使用二项式展开的通项公式及二项式系数的性质即可求出结果．⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2，令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45×165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n ，由题意知2n ＝16，得n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，故有C 24a 4＝54，解得a ＝±3.18．(12分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心)，给50个患者服用此药，给另外50个患者服用安慰剂，记录每类样本中出现恶心的数目如下表：解析：由题意，问题可以归纳为独立检验假设H 1：服该药物与服用后恶心独立．为了检验假设，计算统计量K 2的观测值k ＝100×(15×46－4×35)250×50×19×81≈7.86>6.635.故拒绝H 1，即不能认为药物无恶心副作用，也可以说，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该药物有恶心的副作用．19．(12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表：(1)(2)求数学成绩对总成绩的回归方程；(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩(参考数据：4822＋3832＋4212＋3642＋3622＝819 794,482×78＋383×65＋421×71＋364×64＋362×61＝137 760)．解析：(1)散点图如图(2)设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x － y－∑i ＝15x 2i －5x －2＝137 760－5×3395×2 0125819 794－5×⎝⎛⎭⎫2 01252≈0.132，a ^＝y －－b ^x －≈3395－0.132×2 0125＝14.683 2，所以回归方程为y ^＝14.683 2＋0.132x .(3)当x ＝450时，y ^＝14.683 2＋0.132×450＝74.083 2≈74，即数学成绩大约为74分． 20．(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球． (1)全部投入4个不同的盒子里；(2)放进4个不同的盒子里，每盒一个；(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)； (4)全部投入4个不同的盒子里，没有空盒． 各有多少种不同的放法？解析：(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有45种放法．(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A 45种放法． (3)将其中的4个球投入一个盒子里共有C 45C 14种放法．(4)全部投入4个不同的盒子里(没有空盒)共有C 25A 44种不同的放法．21．(12分)一次小测验共有3道选择题和2道填空题，每答对一道题得20分，答错或不答得0分．某同学答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.5，各道题答对与否互不影响．(1)求该同学恰好答对2道选择题和1道填空题的概率； (2)求该同学至多答对4道题的概率；(3)若该同学已经答对了两道填空题，把他这次测验的得分记为X ，求X 的分布列及数学期望．解析：(1)P ＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15×C 12×⎝⎛⎭⎫122＝24125.(2)该同学至多答对4道题的概率为1－⎝⎛⎭⎫453×⎝⎛⎭⎫122＝109125.(3)X 的可能取值为40,60,80,100.P (X ＝40)＝⎝⎛⎭⎫153＝1125，P (X ＝60)＝C 13×45×⎝⎛⎭⎫152＝12125， P (X ＝80)＝C 23×⎝⎛⎭⎫452×15＝48125， P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫453＝64125. 所以X 的分布列为E (X )＝40×1125＋60×12125＋80×48125＋100×64125＝88.22．(12分)某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月数据的概率；(2)若选取的1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？参考公式：b ^＝∑i ＝1n(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝1n(x i －x －)2，a ^＝y －－b ^x －.解析：(1)设抽到相邻两个月的数据为事件A .从6组数据中选取2组数据，共有15种情况，每种情况都是等可能出现的．其中，抽到相邻两个月的数据的情况有5种．所以P (A )＝515＝13.(2)由数据求得x －＝11，y －＝24，由公式求得b ^＝187，a ^＝y －－b ^x －＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22<2； 当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12<2， 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。
2019-2020年高中数学 模块综合检测 新人教A版选修2-3
2019-2020年高中数学 模块综合检测 新人教A 版选修2-3一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(xx·福州市八县高二期末)某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：A ．9.2 C ．9.5 D ．10[答案] C[解析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1. ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 [答案] A[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 4＝(2＋3)4， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.所以，(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(2＋3)4(－2＋3)4＝1.3．一袋中有5个白球、3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( )A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582 B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫58238C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382 D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582[答案] D[解析] “X ＝12”表示第12次取到的球为红球，前11次中有9次取到红球，2次取到白球，∴P (X ＝12)＝C 911(38)9·(58)2·38 ＝C 911(38)10·(58)2，故选D ． 4．随机变量ξ的概率分布规律为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1、2、3、4)，其中a 为常数，则P ⎝⎛⎭⎫94<X <134的值为( ) A ．23B ．34C ．45D ．516[答案] D[解析] 因为P (X ＝n )＝a nn ＋1(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54.因为P ⎝⎛⎭⎫94<X <134＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝54×16＋54×112＝516，故选D ． 5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][答案] C[解析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．6.(xx·四川理，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个[答案] B[解析] 据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有2×A 34个；若万位上排5，则有3×A 34个．所以共有2×A 34＋3×A 34＝5×24＝120个．选B ． 7．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)、(11.3,2)、(11.8,3)、(12.5,4)、(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)、(11.3,4)、(11.8,3)、(12.5,2)、(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A．r2<r1<0 B．0<r2<r1C．r2<0<r1D．r2＝r1[答案]C[解析]画散点图，由散点图可知X与Y是正相关，则相关系数r1>0，U与V是负相关，相关系数r2<0，故选C．8．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则D X2E X2等于()A．p2B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不对[答案]B[解析]因为X～B(n，p)，(D(X))2＝[np(1－p)]2，(E(X))2＝(np)2，所以D X2E X2＝[np1－p]2np2＝(1－p)2.故选B．9．(xx·大庆实验中学高二期中)把15个相同的小球放入编号为1、2、3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数大于它的编号数，则不同的放法种数是()A．56 B．72C．28 D．63[答案]C[解析]先给1号盒子放入1球，2号盒子放入2球，3号盒子放入3球，再将剩余9个小球排成一列，之间形成8个空档，从中任意选取2个空档用插板隔开，依次对应放入1、2、3号盒子中，则不同放法种数为C28＝28种．10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：性别与读营养说明列联表女男合计读营养说明162844不读营养说明20828总计363672A．99%的可能性B．99.75%的可能性C．99.5%的可能性D．97.5%的可能性[答案]C[解析]由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b ＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72，代入公式K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d得K 2＝72×16×8－28×20244×28×36×36≈8.42，由于K 2≈8.42>7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．11．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1 B ．⎝⎛⎭⎫13，1 C ．⎝⎛⎭⎫0，23 D ．⎝⎛⎭⎫0，13 [答案] B[解析] 4个引擎飞机成功飞行的概率为C 34p 3(1－p )＋p 4,2个引擎飞机成功飞行的概率为p 2，要使C 34p 3(1－p )＋p 4>p 2，必有13<p <1. 12. 如图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种[答案] C[解析] 涂A 有6种涂法，B 有5种，C 有4种，因为D 可与A 同色，故D 有4种，∴由分步乘法计数原理知，不同涂法有6×5×4×4＝480种，故选C ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝1.1，则D (X )＝________.X 0 1 x P15p310 [答案] 0.49[解析] p ＝1－⎝⎛⎭⎫15＋310＝12，E (X )＝1.1＝0×15＋1×12＋310x ，解得x ＝2，所以D (X )＝15×(0－1.1)2＋12×(1－1.1)2＋310×(2－1.1)2＝0.49. 14．(xx·山东理，11)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43； ……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.[答案] 4n －1[解析] 第n 个等式左边是n 项组合数的和，组合数C k m 的构成规律是下标为m ＝2n －1，上标k 的取值依次从0到n －1，即C 02n －1＋C 12n －1＋…＋C n －12n －1，等式右边为4n －1. 故由归纳推理的思想得：C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1，所以答案应填4n －1. 15．(xx·辽宁葫芦岛市一模)给出如下四个结论：①若随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)且P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤－2)＝0.16； ②∃a ∈R ＋，使得f (x )＝－x 2－x ＋1e x－a 有三个零点；③设线性回归方程为y ^＝3－2x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均减少2个单位； ④若命题p ：∀x ∈R ，e x >x ＋1，则綈p 为真命题；以上四个结论正确的是________.(把你认为正确的结论都填上) [答案] ①③④[解析] 由正态分布曲线得P (ξ≤－2)＝P (ξ≥4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16，①正确；令g (x )＝－x 2－x ＋1e x ，得g ′(x )＝x 2－x －2e x ，当x ∈(－∞，－1)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(－1,2)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，得g (x )极大值＝g (－1)＝e ，g (x )极小值＝g (2)＝－5e －2，且g (－12±52)＝0，x →＋∞时，g (x )<0，∴g (x )的图象如图所示故②错误；由回归直线方程的定义知③正确；④中当x＝0时，e0>1错误，故p为假命题，綈p为真命题，④正确．16．(xx·山东青岛质检)平面内有10个点，其中5个点在一条直线上，此外再没有三点共线，则共可确定________________条直线；共可确定________个三角形．[答案]36；110[解析]设10个点分别为A1、A2、…、A10，其中A1、A2、…、A5共线，A i(i＝1,2，…，5)与A6、A7、…、A10分别确定5条直线，共25条；A1、A2、…、A5确定1条；A6、A7、…、A10确定C25＝10条，故共可确定36条直线．在A1、A2、…、A5中任取两点，在A6、A7、…、A10中任取一点可构成C25C15＝50个三角形；在A1、A2、…、A5中任取一点，在A6、A7、…、A10中任取两点可构成C15C25＝50个三角形；在A6、A7、…、A10中任取3点构成C35＝10个三角形，故共可确定50＋50＋10＝110个三角形．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)8人围圆桌开会，其中正、副组长各1人，记录员1人．(1)若正、副组长相邻而坐，有多少种坐法？(2)若记录员坐于正、副组长之间，有多少种坐法？[解析](1)正、副组长相邻而坐，可将此2人当作1人看，即7人围一圆桌，有(7－1)！＝6！种坐法，又因为正、副组长2人可换位，有2！种坐法．故所求坐法为(7－1)！×2！＝1440种．(2)记录员坐在正、副组长中间，可将此3人视作1人，即6人围一圆桌，有(6－1)！＝5！种坐法，又因为正、副组长2人可以换位，有2！种坐法，故所求坐法为5！×2！＝240种．18．(本题满分12分)已知(x －12x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中所有整式项．[解析] (1)T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·(12x )r ·(－1)r ， ∴前三项系数的绝对值分别为C 0n，12C 1n ，14C 2n ， 由题意知C 1n ＝C 0n＋14C 2n ， ∴n ＝1＋18n (n －1)，n ∈N *，解得n ＝8或n ＝1(舍去)， ∴T k ＋1＝C k 8·(x )8－k ·(－12x)k＝C k 8·(－12)k ·x 4－k,0≤k ≤8， 令4－k ＝0得k ＝4，∴展开式中的常数项为T 5＝C 48(－12)4＝358. (2)要使T k ＋1为整式项，需4－k 为非负数，且0≤k ≤8，∴k ＝0,1,2,3,4. ∴展开式中的整式项为：x 4，－4x 3,7x 2，－7x ，358.19．(本题满分12分)(xx·湖北理，20)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.(1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有 P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.9974.)(2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？[解析] (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50， P (700<X ≤900)＝0.9544.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900) ＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.9772. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1600x ＋2400y 依题意，x 、y 还需满足x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900. 于是问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .且使目标函数z ＝1600x ＋2400y 达到最小的x ，y .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1600x ＋2400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1600x ＋2400y 在y 轴上截距z2400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．20．(本题满分12分)(xx·沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲 乙 0 9 0 1 5 6 8 7 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 98 4 2 2 1 0 7 1 3 5 9 8 7 7 6 6 5 7 8 98 8 7 75(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计下面临界值表供参考： P (K 2≥k ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d)[解析] (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝7个，所以P ＝710. (2)甲班 乙班 合计 优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 合计202040K 2＝40×6×6－14×14220×20×20×20＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．21．(本题满分12分)(xx·福建理，16)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？[解析] (1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件， 因为P (X ＝0)＝(1－23)×(1－25)＝15，P (X ＝2)＝23×(1－25)＝25，P (X ＝3)＝(1－23)×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1、X 2的分布列如下：X 1 0 2 4 P194949X 2 0 3 6 P9251225425所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22．(本题满分14分)(xx·商丘市二模)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到黑色障碍物3次，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是13、23.(1)分别求出小球落入A 袋和B 袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B 袋中的小球个数，求ξ的分布列和数学期望．[解析] (1)记“小球落入A 袋中”为事件M ，“小球落入B 袋中”为事件N ，则事件M 的对立事件为事件N .而小球落入A 袋中当且仅当小球一直向左落下或一直向右落下， 故P (M )＝⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫233＝127＋827＝13， 从而P (N )＝1－P (M )＝1－13＝23.(2)显然，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4. 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，23. 故P (ξ＝0)＝C 04⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫134＝181， P (ξ＝1)＝C 14⎝⎛⎭⎫231×⎝⎛⎭⎫133＝881，P (ξ＝2)＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＝827， P (ξ＝3)＝C 34⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫131＝3281， P (ξ＝4)＝C 44⎝⎛⎭⎫234×⎝⎛⎭⎫130＝1681. 则ξ的分布列为故ξ的数学期望为E (ξ)＝4×23＝83..。
2019-2020学年高中数学(人教版选修2-3)阶段质量检测(二) Word版含答案
阶段质量检测（二）(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．袋中装有大小相同的5只球，上面分别标有1,2,3,4,5，在有放回的条件下依次取出两球，设两球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能值的个数是( )A ．25B ．10C ．9D ．5解析：选C “有放回”地取和“不放回”地取是不同的，故X 的所有可能取值有2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种．2．将一枚骰子连掷6次，恰好3次出现6点的概率为( )A ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫563B ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫564C ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫163⎝ ⎛⎭⎪⎫560D ．C36⎝ ⎛⎭⎪⎫165解析：选A 每次抛掷出现6点的概率为16，由二项分布的知识，可知选A.3．已知随机变量ξ服从正态分布ξ～N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954D ．0.977解析：选C 由ξ～N (0，σ2)知，P (ξ>2)＝P (ξ<－2)，P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954.4.如图所示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8，0.7，那么此系统的可靠性为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06解析：选B 1－P (A B C )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－0.1×0.2×0.3＝1－0.006＝0.994. 5．已知X ，Y 为随机变量，且Y ＝aX ＋b ，若E (X )＝1.6，E (Y )＝3.4，则a ，b 可能的值分别为( ) A ．2,0.2 B ．1,4 C ．0.5,1.4D ．1.6,3.4解析：选A 由E (Y )＝E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ＝1.6a ＋b ＝3.4，把选项代入验证，可知选项A 满足． 6．设随机变量X 的分布列如下：则E (X )的值为( ) A.910 B.710C.1110D.1310解析：选C 由题意得，a ＝1－15－310＝12，所以E (X )＝0×15＋1×12＋2×310＝1110.7．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为35，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为( )A.36125B.54125C.81125D.27125解析：选C 此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为C23·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·25＋⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝81125.8．设袋中有大小相同的黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球的个数的均值为67，则口袋中黑球的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 设白球的个数为a .取到白球的个数服从参数N ＝7，M ＝a ，n ＝2的超几何分布，所以取到白球的个数的均值为2×a 7＝67，解得a ＝3，故袋中白球有3个，黑球有4个．9．已知随机变量X ～N (0，σ2)．若P (X >4)＝0.02，则P (0≤X ≤4)等于( ) A ．0.47 B ．0.52 C ．0.48D ．0.98解析：选C 因为随机变量X ～N (0，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝0对称．又P (X >4)＝0.02， 所以P (0≤X ≤4)＝0.5－P (X >4)＝0.5－0.02＝0.48.10．若随机变量X 1～B (n,0.2)，X 2～B (6，p )，X 3～B (n ，p )，且E (X 1)＝2，D (X 2)＝32，则D (X 3)的值为( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.5解析：选C 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧0.2n ＝2，－＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝10，p ＝0.5.故D (X 3)＝10×0.5×(1－0.5)＝2.5.11．设随机变量ξ等可能地取1,2,3,4，…，10，又设随机变量η＝2ξ－1，则P (η<6)等于( )A ．0.3B ．0.5C ．0.1D ．0.2解析：选A 因为P (ξ＝k )＝110，k ＝1,2，…，10，又由η＝2ξ－1<6，得ξ<72，即ξ＝1,2,3，所以P (η<6)＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝310＝0.3.12．端午节假期，甲回老家过节的概率为13，乙、丙回老家过节的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人回老家过节的概率为( )A.5960B.35C.12D.160解析：选B 因甲、乙、丙回老家过节的概率分别为13，14，15，所以他们不回老家过节的概率分别为23，34，45，“至少有1人回老家过节”的对立事件是“没有人回老家过节”，所以至少有1人回老家过节的概率为P ＝1－23×34×45＝35.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝kn (k ＝1,2,3,4,5,6)，则P (1.5<ξ<3.5)＝________.解析：由概率和为1可求得n ＝21.则P (1.5<ξ<3.5)＝P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝521. 答案：52114．已知X ～N (－1，σ2)，若P (－3≤X ≤－1)＝0.4，则P (－3≤X ≤1)的值是________．解析：由于X ～N (－1，σ2)，且区间[－3，－1]与[－1,1]关于x ＝－1对称，所以P (－3≤X ≤1)＝2P (－3≤X ≤－1)＝0.8.答案：0.815．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任选3道题作答．已知所选的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立，则张同学恰好答对2道题的概率为________．解析：设张同学答对的甲类题的数目为x ，答对的乙类题的数目为y ，答对的题的总数为X ，则X ＝x ＋y .所以P (X ＝2)＝P (x ＝2，y ＝0)＋P (x ＝1，y ＝1)＝C22×⎝ ⎛⎭⎪⎫352×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＋C12×35×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×45＝57125. 答案：5712516．某家公司有三台机器A 1，A 2，A 3生产同一种产品，生产量分别占总产量的12，13，16，且其产品的不良率分别各占其产量的2.0%,1.2%，1.0%，任取此公司的一件产品为不良品的概率为________，若已知此产品为不良品，则此产品由A 1所生产出的概率为_______．解析：令A ，B ，C 分别表示A 1，A 2，A 3生产的不良品，则任取一件产品为不良品的概率为P (A )＋P (B )＋P (C )＝12×2.0%＋13×1.2%＋16×1.0% ＝473 000. 令D 表示任取一件为不良品，则P (A |D )＝＝12×2.0%473 000＝3047.答案：473 000 3047三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率．解：甲、乙两队实力相当，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.记事件A 为“甲打完3局就能取胜”，记事件B 为“甲打完4局才能取胜”，记事件C 为“甲打完5局才能取胜”，则甲打完3局取胜的概率为P (A )＝C33×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.甲打完4局才能取胜的概率为P (B )＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×12＝316.甲打完5局才能取胜的概率为P (C )＝C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝316.18．(本小题满分12分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7,0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i ，B i (i ＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A －1A －2A 3，且三次试跳相互独立，所以P (A －1A －2A 3)＝P (A －1)P (A －2)P (A 3) ＝0.3×0.3×0.7＝0.063.故甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件M i (i ＝0,1,2)， “乙在两次试跳中成功i 次”为事件N i (i ＝0,1,2)，因为事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M 1N 0＋M 2N 1，且M 1N 0，M 2N 1为互斥事件，所以所求的概率为P (M 1N 0＋M 2N 1) ＝P (M 1N 0)＋P (M 2N 1) ＝P (M 1)P (N 0)＋P (M 2)P (N 1)＝C12×0.7×0.3×0.42＋0.72×C 12×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4.故甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.19．(本小题满分12分)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和均值． 解：(1)由已知，有P (A )＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以事件A 发生的概率为635.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝Ck 5C4－k3C48(k ＝1,2,3,4)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝1×114＋2×7＋3×7＋4×14＝2.20．(本小题满分12分)某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：从第一个顾客开始办理业务时计时．(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；(2)X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：(1)A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P(A)＝P(Y＝1)P(Y＝3)＋P(Y＝3)P(Y＝1)＋P(Y＝2)P(Y＝2)＝0.1×0.3＋0.3×0.1＋0.4×0.4＝0.22.(2)X所有可能的取值为0,1,2.X＝0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P(X＝0)＝P(Y>2)＝0.5；X＝1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P(X＝1)＝P(Y＝1)P(Y>1)＋P(Y＝2)＝0.1×0.9＋0.4＝0.49；X＝2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P(X＝2)＝P(Y＝1)P(Y＝1)＝0.1×0.1＝0.01.所以X的分布列为E(X)＝0×0.5＋1×0.49＋2×0.021．(本小题满分12分)某省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100 000名男生的身高服从正态分布N(170.5,16)．现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5,162.5)，第二组[162.5,167.5)，…，第六组[182.5,187.5]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况．(2)求这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数．(3)在这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名(从高到低)在全省前130名的人数记为ξ，求ξ的均值．参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4.解：(1)由直方图，经过计算得我校高三年级男生平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5，高于全省的平均值170.5.(2)由频率分布直方图知，后两组频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm 以上(含177.5 cm)的人数为10人．(3)∵P(170.5－3×4<ξ≤170.5＋3×4)＝0.997 4，∴P(ξ≥182.5)＝1－0.997 42＝0.001 3，0．001 3×100 000＝130.所以，全省前130名的身高在182.5 cm以上，这50人中182.5 cm以上的有5人. 随机变量ξ可取0,1,2，于是P(ξ＝0)＝C25C210＝1045＝29，P(ξ＝1)＝C15C15C210＝2545＝59，P(ξ＝2)＝C25C210＝1045＝29，∴E(ξ)＝0×29＋1×59＋2×29＝1.22．(本小题满分12分)某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学路上所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．(1)求直方图中x的值；(2)如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1 200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；(3)从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和均值．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由直方图可得：20×x＋0.025×20＋0.006 5×20＋0.003×2×20＝1.所以x＝0.012 5.(2)新生上学所需时间不少于1小时的频率为0.003×2×20＝0.12，因为1 200×0.12＝144，所以1 200名新生中有144名学生可以申请住宿．(3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫344＝81256，P (X ＝1)＝C14⎝ ⎛⎭⎪⎫14⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝2)＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27128， P (X ＝3)＝C34⎝ ⎛⎭⎪⎫143⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝364，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫144＝1256. 所以X 的分布列为E (X )＝0×81256＋1×2764＋2×128＋3×64＋4×256＝1.⎝⎛⎭⎪⎫或E＝4×4＝1所以X 的均值为1.(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1．已知10件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用X 表示，那么X 的取值为( )A ．0,1B ．0,2C ．1,2D ．0,1,2解析：选D 由于次品有2件，从中任取3件，则次品数可以是0,1,2. 2．离散型随机变量X 的分布列如下：则c 等于( ) A ．0.1 B ．0.24 C ．0.01D ．0.76解析：选A c ＝1－(0.2＋0.3＋0.4)＝0.1. 3．随机变量X 的分布列为则E (5X ＋4)等于( ) A ．15B ．11C ．2.2D ．2.3解析：选A ∵E (X )＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5E (X )＋4＝11＋4＝15.4．设随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，则( ) A ．n ＝8，p ＝0.2 B ．n ＝4，p ＝0.4 C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45解析：选A 随机变量ξ服从二项分布B (n ，p )，且E (ξ)＝1.6，D (ξ)＝1.28，所以E (ξ)＝np ＝1.6，D (ξ)＝np (1－p )＝1.28相除得p ＝0.2，n ＝8，故选A.5．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )等于( ) A.950 B.12 C.910D.14解析：选B P (B |A )＝＝31035＝12. 都是12，且是相互6.如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率独立的，则灯泡甲亮的概率为( )A.18B.14C.12D.116解析：选A 由图示及题意可知，灯泡甲亮是开关a ，c 闭合和b 打开同时发生，其概率为12×12×12＝18.7．甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A ．0.9B ．0.2C ．0.7D ．0.5解析：选D 设事件A ，B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为P (A B ＋A B )＝P (A )·[1－P (B )]＋[1－P (A )]·P (B )＝0.5.8．设由“0”“1”组成的三位数组中，若用A 表示“第二位数字为‘0’的事件”，用B 表示“第一位数字为‘0’的事件”，则P (A |B )＝( )A.25B.34C.12D.18解析：选C ∵P (B )＝1×2×22×2×2＝12，P (A ∩B )＝1×1×22×2×2＝14，∴P (A |B )＝＝12.9．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.13解析：选A 左边圆盘指针落在奇数区域的概率为46＝23，右边圆盘指针落在奇数区域的概率为23，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49.10．设随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，若P (ξ＞c )＝a ，则P (ξ＞4－c )等于( ) A ．a B ．1－a C ．2aD ．1－2a解析：选B 由于ξ服从正态分布N (2，σ2)， 所以正态曲线关于直线x ＝2对称，所以P (ξ＞4－c )＝P (ξ＜c )＝1－P (ξ＞c )＝1－a .11．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是 310 的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的解析：选C X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝Ck 7C4－k3C410(k ＝1,2,3,4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，∴选C.12．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球.如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率是( )A.2636B.2836C.2936 D.3136解析：选B S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球．又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13，故所求概率为P ＝C27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝2836.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有________种．解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A34＝24(种)． 答案：2414．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：2515．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析：依题意，部件正常工作就是该部件使用寿命超过1 000小时，元件正常工作的概率为0.5，则部件正常工作的概率为12×12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝38.答案：3816．下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________．①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3的倍数的次数；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ；③有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数(M <N )；④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数． 解析：对于①，设事件A 为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P (A )＝13.而在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生了k 次(k ＝0,1,2，…，n )的概率P (ξ＝k )＝Ck n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －k ，符合二项分布的定义，即有ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，13.对于②，ξ的取值是1,2,3，…，P (ξ＝k )＝0.9×0.1k －1(k ＝1,2,3，…，n )，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布．③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n 次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，M N .故应填①③. 答案：①③三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题连续两次答错的概率为19(已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响)．(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲可以进入决赛的概率．解：(1)设选手甲答对一个问题的正确率为P 1， 则(1－P 1)2＝19，故选手甲回答一个问题的正确率P 1＝23.(2)选手甲答了4道题进入决赛的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681；选手甲答了5道题进入决赛的概率为C34⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫13·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝64243； 选手甲答了6道题进入决赛的概率为C35⎝ ⎛⎭⎪⎫233⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝160729；故选手甲可进入决赛的概率P ＝1681＋64243＋160729＝496729. 18．(本小题满分12分)一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张， 编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．在取出的4张卡片中， 红色卡片编号的最大值设为X, 求随机变量X 的分布列和均值．解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝C33C47＝135，P(X＝2)＝C34C47＝435，P(X＝3)＝C35C47＝27，P(X＝4)＝C36C47＝47.所以随机变量X的分布列是随机变量X的均值E(X)＝1×135＋2×35＋3×7＋4×7＝5.19．(本小题满分12分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解出的概率为0.92.(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的分布列．解：(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A、B，则P(A)＝0.6，P＝1－P(A∩B)＝1－0.4·P(B)＝0.92，解得P(B)＝0.2，∴P(B)＝0.8.(2)P(X＝0)＝P(A)·P(B)＝0.4×0.2＝0.08，P(X＝1)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝0.44，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.8＝0.48，∴X的分布列为20.(本小题满分12分)()，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：(1)(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．解：(1)设A 表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P (A )＝1－(0.30＋0.15)＝0.55.(2)设B 表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P (B )＝0.1＋0.05＝0.15.又P (AB )＝P (B )， 故P (B |A )＝＝＝0.150.55＝311. 因此所求概率为311.(3)记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为EX ＝0.85a ×0.30＋a ×0.15＋1.25a ×0.20＋1.5a ×0.20＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.23a .因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.21．(本小题满分12分)现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列． 解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝Ci 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P (A 2)＝C24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4. 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827， P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是22.(本小题满分12分)人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与数学期望． 解：设A k ，B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1,2,3)．(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)＋P (A 1)P (B 1)P (A 2)P (B 2)P (A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13 ＝13＋19＋127＝1327. (2)ξ的所有可能值为1,2,3.由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1B 1)＝13＋23×12＝23，P (ξ＝2)＝P (A 1B 1A 2)＋P (A 1B 1A 2B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29，P (ξ＝3)＝P (A 1B 1A 2B 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的分布列为数学期望为E (ξ)＝1×23＋2×29＋3×9＝9.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3模块综合检测(一) Word版含解析
模块综合检测(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．{4}B ．{14}C ．{4,6}D ．{14,2}解析：选C 由C x 14＝C 2x －414得x ＝2x －4或x ＋2x －4＝14，解得x ＝4或x ＝6.经检验知x ＝4或x ＝6符合题意．2．设X 是一个离散型随机变量，则下列不能成为X 的概率分布列的一组数据是( ) A ．0，12，0,0，12B ．0.1,0.2,0.3,0.4C ．p,1－p (0≤p ≤1) D.11×2，12×3，…，17×8解析：选D 利用分布列的性质判断，任一离散型随机变量X 的分布列都具有下述两个性质：①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；②p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n ＝1.选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36. 3．已知随机变量X ～N (2，σ2)，若P (X <a )＝0.32，则P (a ≤X <4－a )等于( ) A ．0.32 B ．0.68 C ．0.36 D ．0.64解析：选C 如图，由正态曲线的对称性可得P (a ≤X <4－a )＝1－2P (X <a )＝0.36.4．已知x ，y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80解析：选B 依题意得，x －＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y －＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y ^＝0.95x ＋a 必过样本中心点(x －，y －)， 即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ， 由此解得a ＝1.45.5．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75 解析：选D 目标被击中P 1＝1－0.4×0.5＝0.8， ∴P ＝0.60.8＝0.75.6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法有( ) A ．36种 B ．30种 C ．42种D ．60种解析：选A 直接法：选出3名志愿者中含有1名女生和2名男生或2名女生和1名男生，故共有C 12C 26＋C 2C 16＝2×15＋6＝36种选法；间接法：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，故共有C 38－C 36＝56－20＝36种选法．7.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x2n 的展开式中只有第6项二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A ．180B ．90C ．45D ．360 解析：选A 由已知得，n ＝10，T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫2x2r ＝2r ·C r 10x 5－52r ，令5－52r ＝0，得r ＝2，T 3＝4C 210＝180.8．(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种解析：选B 当最左端排甲时，不同的排法共有A 5种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C 14A 4种．故不同的排法共有A 5＋C 14A 4＝9×24＝216种．9．箱子里有5个黑球和4个白球，每次随机取出一个球．若取出黑球，则放回箱中，重新取球，若取出白球，则停止取球．那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C35C14C45B .⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49 C.35×14D ．C 14⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49解析：选B 记“从箱子里取出一球是黑球”为事件A ，“从箱子里取出一个球是白球”为事件B ，则P (A )＝59，P (B )＝49，在第4次取球后停止，说明前3次取到的都是黑球，第4次取到的是白球，又每次取球是相互独立的，由独立事件同时发生的概率公式，在第4次取球后停止的概率为59×59×59×49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.10．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)； ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079.则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由方差的定义知①正确，由线性回归直线的特点知③正确，②④⑤都错误． 11．对两个变量y 和x 进行线性相关检验，已知n 是观察值组数，r 是相关系数，且已知： ①n ＝10，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2；③n ＝17，r ＝0.999 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 具有线性相关关系的是( ) A ．①和② B ．①和③ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的绝对值越接近1，变量x ，y 的线性相关性越强．②中的r 太小，④中观察值组数太小．12．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3000人，计算发现k ＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )C ．97.5%D ．99.5%解析：选C ∵k ＝6.023＞5.024，∴可断言市民收入增减与旅游欲望有关的把握为97.5%. 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．有5名男生和3名女生，从中选出5人分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，若某女生必须担任语文科代表，则不同的选法共有________种．(用数字作答)解析：由题意知，从剩余7人中选出4人担任4个学科的科代表，共有A 47＝840(种)选法． 答案：84014．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的均值是________．解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P (ξ＝3)＝0.6，P (ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，P (ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，P (ξ＝0)＝0.4×0.4×0.4＝0.064，E (ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.答案：2.37615．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400＜X ＜450)＝0.3，则P (550＜X ＜600)＝________.解析：由下图可以看出P (550＜X ＜600)＝P (400＜X ＜450)＝0.3.答案：0.316．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：2＝________(保留三位小数)，所以判定________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系．解析：根据提供的表格得 K 2＝错误!≈4.844>3.841.所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为主修统计专业与性别有关系． 答案：4.844 能三、解答题(共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫6x ＋16x n展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值．(2)此展开式中是否有常数项？为什么？解：(1)T k ＋1＝C k n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫6x n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫16x k＝C kn ·x n －2k 6， 由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0， 解得n ＝2(舍)或n ＝7.∴n ＝7. (2)由(1)知T k ＋1＝C k 7·x 7－2k 6.当7－2k 6＝0时，k ＝72，由于k ∉N *，所以此展开式中无常数项．18．(本小题满分12分)某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了2场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解：(1)这支篮球队首次胜场前已负2场的概率为P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.(2)这支篮球队在6场比赛中恰好胜3场的概率为P ＝C 36×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.(3)由于X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－13＝43.故在6场比赛中这支篮球队胜场的均值为2，方差为43.19．(本小题满分12分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数X 的分布列为商场经销一件该商品，采用250元；分4期或5期付款，其利润为300元．Y 表示经销一件该商品的利润．(1)求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P (A )； (2)求Y 的分布列及E (Y )．解：(1)由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知，A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”．P (A )＝(1－0.4)3＝0.216， P (A )＝1－P (A )＝1－0.216＝0.784.(2)Y 的可能取值为200元，250元，300元． P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，P (Y ＝300)＝1－P (Y ＝200)－P (Y ＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2，Y 的分布列为E (Y )＝200×0.4＋250×0.4＋30020．(本小题满分12分)(陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎的歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及均值．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则 P (A )＝C12C23＝23，P (B )＝C24C35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则 P (C )＝C24C35＝35.∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C ) ＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴X 的分布列为∴X 的均值E (X )＝0×475＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.21．(本小题满分12分)甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175，且y ≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值． 解：(1)乙厂生产的产品总数为5÷1498＝35.(2)样品中优等品的频率为25，乙厂生产的优等品的数量为35×25＝14.(3)ξ＝0,1,2，P (ξ＝i )＝Ci 2C2－i3C25(i ＝0,1,2)，ξ的分布列为均值E (ξ)＝1×35＋2×110＝45.22．(本小题满分12分)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L 1，L 2两条巷道通往作业区(如下图)，L 1巷道有A 1，A 2，A 3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是12；L 2巷道有B1，B 2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为34，35.(1)求L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；(2)若L 2巷道中堵塞点个数为X ，求X 的分布列及均值E (X )，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．解：(1)设“L 1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A ，则P (A )＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2，P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝110，P (X ＝1)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×35＝920，P (X ＝2)＝34×35＝920，所以随机变量X 的分布列为E (X )＝0×110＋1×920＋2×920＝2720.法一：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0,1,2,3，P (Y ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (Y ＝1)＝C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (Y ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (Y ＝3)＝C 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以，随机变量Y 的分布列为E (Y )＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32，因为E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．法二：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则随机变量Y ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，所以，E (Y )＝3×12＝32，因为E (X )<E (Y )，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．。
数学：《综合测试题》(新人教A版选修2-3)
高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（1）一、选择题1．已知{}{}{}123013412a b R ∈-∈∈，，，，，，，，，则方程222()()x a y b R -++=所表示的不同的圆的个数有（ ）Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9答案：Ａ2．神六航天员由翟志刚、聂海胜等六人组成，每两人为一组，若指定翟志刚、聂海胜两人一定同在一个小组，则这六人的不同分组方法有（ ）Ａ．48种 Ｂ．36种 Ｃ．6种 Ｄ．3种答案：Ｄ3．41nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大44，则展开式中的常数项是（ ）Ａ．第3项 Ｂ．第4项 Ｃ．第7项 Ｄ．第8项答案：Ｂ4．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，数字之积为偶数的概率为（ ） Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118答案：Ｃ5．在10个球中有6个红球和4个白球（各不相同），不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为（ ） Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59答案：Ｄ6．正态总体的概率密度函数为2()8()x x f x -∈=R ，则总体的平均数和标准差分别为（ ）Ａ．0，8 B ．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2答案：Ｄ7．在一次试验中，测得()x y ，的四组值分别是(12)(23)(34)(45)A B C D ，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ）Ａ．1y x=+Ｂ．2y x=+Ｃ．21y x=+Ｄ．1y x=-答案：Ａ8．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20答案：Ｃ9．若随机变量η的分布列如下：0 1 2 30 .1.2.2.3.1.1则当()0.8P xη<=时，实数x的取值范围是（）Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2答案：Ｃ10．春节期间，国人发短信拜年已成为一种时尚，若小李的40名同事中，给其发短信拜年的概率为1，0.8，0.5，0的人数分别为8，15，14，3（人），则通常情况下，小李应收到同事的拜年短信数为（）Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8答案：Ａ11．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为（）Ａ．13Ｂ．25Ｃ．56Ｄ．23答案：Ａ12．已知随机变量1~95Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P kξ=取得最大值的k值为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5答案：Ａ二、填空题13．某仪表显示屏上一排有7个小孔，每个小孔可显示出0或1，若每次显示其中三个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则这显示屏可以显示的不同信号的种数有种．答案：8014．已知平面上有20个不同的点，除去七个点在一条直线上以外，没有三个点共线，过这20个点中的每两个点可以连 条直线．答案：17015．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是41(0.1)-．其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）．答案：①③16．口袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1，若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 （以数值作答）． 答案：1363三、解答题17．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内． （1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ （3）恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？ （4）恰有两个盒不放球，有多少种放法？ 解：（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有：44256=种．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有24C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法：12124432144C C C A =···种． （3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒内放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事.故也有144种放法.（4）先从四个盒子中任意拿走两个有24C 种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为（3，1），（2，2）两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有3142C C ·种放法；第二类：有24C 种放法.因此共有31342414C C C +=·种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有：241484C =·种．18．求25(1)(1)x x +-的展开式中3x 的系数．解：解法一：先变形，再部分展开，确定系数.252232423(1)(1)(1)(1)(12)(133)x x x x x x x x x +-=--=-+-+-．所以3x 是由第一个括号内的1与第二括号内的3x -的相乘和第一个括号内的22x -与第二个括号内的3x -相乘后再相加而得到，故3x 的系数为1(1)(2)(3)5⨯-+-⨯-=．解法二：利用通项公式，因2(1)x +的通项公式为12rr r T C x +=·， 5(1)x -的通项公式为15(1)k k k k T C x +=-·， 其中{}{}012012345r k ∈∈，，，，，，，，，令3k r +=， 则12k r =⎧⎨=⎩，，或21k r =⎧⎨=⎩，，或30k r =⎧⎨=⎩，．故3x 的系数为112352555C C C C -+-=·．19．为了调查胃病是否与生活规律有关，某地540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病 未患胃病 合计 生活不规律 60 260 320 生活有规律 20 200 220 合计80460540根据以上数据比较这两种情况，40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？解：由公式得2540(6020026020)32022080460k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 2540(120005200)24969609.6382590720000259072⨯-==≈．9.6387.879>∵，∴我们有99.5%的把握认为40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病.20．一个医生已知某种病患者的痊愈率为25%，为实验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定（1）虽新药有效，且把痊愈率提高到35%，但通过实验被否认的概率； （2）新药完全无效，但通过实验被认为有效的概率．解：记一个病人服用该药痊愈率为事件A ，且其概率为p ，那么10个病人服用该药相当于10次独立重复实验.(1) 因新药有效且p =0.35，故由n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率公式知，实验被否定（即新药无效）的概率为：0010119223371010101010101010(0)(1)(2)(3)(1)(1)(1)(1)0.514x P P P P C p p C p p C p p C p p +++=-+-+-+-≈．（2）因新药无效，故p =0.25，实验被认为有效的概率为： 10101010101010(4)(5)(10)1((0)(1)(2)(3))0.224P P P P P P P +++=-+++≈．即新药有效，但被否定的概率约为0.514； 新药无效，但被认为有效的概率约为0.224.21．A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得总分分别为ξη，． (1)求ξη，的概率分布列； (2)求E ξ，E η．解：（1）ξη，的可能取值分别为3，2，1，0．2228(3)35575P ξ==⨯⨯=；22312223228(2)35535535575P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； 2331231322(1)3553553555P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1333(0)35525P ξ==⨯⨯=．由题意知3ξη+=， 所以8(0)(3)75P P ηξ====； 28(1)(2)75P P ηξ====； 2(2)(1)5P P ηξ====； 3(3)(0)P P ηξ====．ξ的分布列为3218752875325η的分布列为1238752875325（2）82823223210757552515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 因为3ξη+=，所以23315E E ηξ=-=．22．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽选了个企业作样本，有如下资料：产量（千件）x 生产费用 （千元）y79 162 88 185 100 165 120 190 140185完成下列要求：（1）计算x 与y 的相关系数；（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验； （3）设回归直线方程为y bx a =+，求系数a ，b ．解：利用回归分析检验的步骤，先求相关系数，再确定0.05r ． (1)制表ii y 2i x 2i y i i x y1 40 150 1600 22500 60002 42 140 1764 19600 5880 3481602304256007680产量（千件）x 生产费用 （千元）y40 150 42 140 48 160 55 170 651504 55 170 3025 28900 9350 5 65 150 4225 22500 97506 79 162 6241 26244 127987 88 185774434225 16280 8 100165 10000 27225 16500 9 120190 14400 36100 22800 10140185 1960034225 25900 合计 777 1657 7090327711913293877777.710x ==，1657165.710y == 270903ix =∑，2277119i y =∑，132938iix y=∑220.808(709031077.7)(2771910165.7)r =≈-⨯-⨯．即x 与Y 的相关关系0.808r ≈． （2）因为0.75r >．所以x 与Y 之间具有很强的线性相关关系． （3）1329381077.7165.70.398709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.39877.7134.9a =-⨯=．高中新课标数学选修（2-3）综合测试题（2）一、选择题1．假定有一排蜂房，形状如图所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方（包括右上，右下）爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，若从最初位置爬到4号蜂房中，则不同的爬法有（ ） Ａ．4种 Ｂ．6种 Ｃ．8种 Ｄ．10种答案：Ｃ2．乒乓球运动员10人，其中男女运动员各5人，从这10名运动员中选出4人进行男女混合双打比赛，选法种数为（ ） Ａ．225()AＢ．225()CＣ．22254()C A · Ｄ．22252()C A ·答案：Ｄ3．已知集合{}123456M =，，，，，，{}6789N =，，，，从M 中选3个元素，N 中选2个元素，组成一个含有5个元素的集合T ，则这样的集合T 共有（ ）Ａ．126个 Ｂ．120个 Ｃ．90个 Ｄ．26个答案：Ｃ4．342(1)(1)(1)n x x x +++++++的展开式中2x 的系数是（ ）Ａ．33n C +Ｂ．32n C +Ｃ．321n C +- Ｄ．331n C +-答案：Ｄ5．200620052008+被2006除，所得余数是（ ） Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1答案：Ｂ6．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是（ ） Ａ．0.665 B ．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285答案：Ａ7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于4”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则(|)P B A 的值等于（ ）Ａ．13 Ｂ．118 Ｃ．16 Ｄ．19答案：Ｃ8．在一次智力竞赛的“风险选答”环节中，一共为选手准备了A ，B ，C 三类不同的题目，选手每答对一个A 类、B 类、C 类的题目，将分别得到300分、200分、100分，但如果答错，则要扣去300分、200分、100分，而选手答对一个A 类、B 类、C 类题目的概率分别为0.6，0.7，0.8，则就每一次答题而言，选手选择（ ）题目得分的期望值更大一些（ ） Ａ．A 类 Ｂ．B 类 Ｃ．C 类 Ｄ．都一样答案：Ｂ9．已知ξ的分布列如下：4并且23ηξ=+，则方差D η=（ ） Ａ．17936Ｂ．14336Ｃ．29972Ｄ．22772答案：Ａ10．若2~(16)N ξ-，且(31)P ξ--≤≤0.4=，则(1)P ξ≥等于（ ） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3Ｄ．0.4答案：Ａ11．已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的回归方程必经过（ ） Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5)答案：Ｃ12．对于2()P K k ≥，当 2.706k >时，就约有的把握认为“x 与y 有关系”（ ） Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90%答案：Ｄ二、填空题13．912xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（用数字作答）．答案：67214．某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为（结果用分数表示）．答案：119 19015．两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是．答案：乙16．空间有6个点，其中任何三点不共线，任何四点不共面，以其中的四点为顶点共可作出个四面体，经过其中每两点的直线中，有对异面直线．答案：15，45三、解答题17．某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2，3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，则有多少种不同的出牌方法？解：由于张数不限，2张2，3张A可以一起出，亦可分几次出，故考虑按此分类.出牌的方法可分为以下几类：（1）5张牌全部分开出，有55A种方法；（2）2张2一起出，3张A一起出，有25A种方法；（3）2张2一起出，3张A分开出，有45A种方法；（4）2张2一起出，3张A分两次出，有2335C A种方法；（5）2张2分开出，3张A一起出，有35A种方法；（6）2张2分开出，3张A分两次出，有2435C A种方法；因此共有不同的出牌方法5242332455535535860A A A C A A C A+++++=种．18．已知数列{}n a 的通项n a 是二项式(1)n x +与2(1)n x +的展开式中所有x 的次数相同的各项的系数之和，求数列的通项及前n 项和n S ．解：按(1)n x +及2(1)n x +两个展开式的升幂表示形式，写出的各整数次幂，可知只有当2(1)n x +中出现x 的偶数次幂时，才能与(1)n x +的x 的次数相比较．由0122(1)n n nnn n n x C C x C x C x +=++++，132120242213212222222222(1)()()n nn nn nnnnnnnx C C x C x C x C x C x Cx--+=++++++++可得00122422222()()()()n nn n n n n n n n n a C C C C C C C C =++++++++01202422222()()n nn n n n n n n n C C C C C C C C =+++++++++2122n n -=+， 2122n n n a -=+∵，∴222462112(222)(22222(21)(41)223n nnnn S =++++++++=-+⨯-122112122(21)(2328)33n n n n +++=-+-=+-·，2111(2328)3n n n S ++=-∴·．19．某休闲场馆举行圣诞酬宾活动，每位会员交会员费50元，可享受20元的消费，并参加一次抽奖活动，从一个装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6只均匀小球的抽奖箱中，有放回的抽两次球，抽得的两球标号之和为12，则获一等奖价值a 元的礼品，标号之和为11或10，获二等奖价值100元的礼品，标号之和小于10不得奖．(1)求各会员获奖的概率；(2)设场馆收益为ξ元，求ξ的分布列；假如场馆打算不赔钱，a 最多可设为多少元？解：(1)抽两次得标号之和为12的概率为11116636P =+=； 抽两次得标号之和为11或10的概率为2536P =， 故各会员获奖的概率为1215136366P P P =+=+=． （2）30a-30100-31365363036由1530(30)(70)300363636E a ξ=-⨯+-⨯+⨯≥， 得580a ≤元．所以a 最多可设为580元．20．在研究某种新药对猪白痢的防治效果时到如下数据：存活数死亡数 合计未用新药 101 38 139用新药 129 20 149合计23058288试分析新药对防治猪白痢是否有效？解：由公式计算得2288(1012038129)8.65813914923058k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由于8.658 6.635>，故可以有99%的把握认为新药对防治猪白痢是有效的．21．甲有一个箱子，里面放有x 个红球，y 个白球（x ，y ≥0，且x +y =4）；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球．现在甲从箱子里任取2个球，乙从箱子里任取1个球．若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜．(1)试问甲如何安排箱子里两种颜色球的个数，才能使自己获胜的概率最大？ (2)在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数的期望．解：(1)要想使取出的3个球颜色全不相同，则乙必须取出黄球，甲取出的两个球为一个红球一个白球，乙取出黄球的概率是14，甲取出的两个球为一个红球一个白球的概率是 11246x yC C xy C =·，所以取出的3个球颜色全不相同的概率是14624xy xy P ==·，即甲获胜的概率为24xy P =，由0x y ，≥，且4x y +=，所以12424xy P =≤2126x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭·，当2x y ==时取等号，即甲应在箱子里放2个红球2个白球才能使自己获胜的概率最大.(2)设取出的3个球中红球的个数为ξ，则ξ的取值为0，1，2，3.212221441(0)12C C P C C ξ===·，1112122222212144445(1)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，2111122222212144445(2)12C C C C C P C C C C ξ==+=··，212221441(3)12C C P C C ξ===·，所以取出的3个球中红球个数的期望：15510123 1.512121212E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．22．规定(1)(1)mxA x x x m =--+，其中x ∈R ，m 为正整数，且01x A =，这是排列数m n A (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．（1）求315A -的值；（2）排列数的两个性质：①11m m n n A nA --=，②11m m mn n n A mA A -++= (其中m ，n 是正整数)．是否都能推广到m x A (x ∈R ，m 是正整数)的情形？若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由；（3）确定函数3x A 的单调区间．解：（1）315(15)(16)(17)4080A -=-⨯-⨯-=-；（2）性质①、②均可推广，推广的形式分别是①11m m x x A xA --=，②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，．事实上，在①中，当1m =时，左边1x A x ==，右边01x xA x -==，等式成立；在②中，当1m =时，左边10111x x x A A x A +=+=+==右边，等式成立；当2m ≥时，左边(1)(2)(1)(1)(2)(2)x x x x m mx x x x m =---++---+=(1)(2)(2)[(1)]x x x x m x m m ---+-++1(1)(1)(2)[(1)1]mx x x x x x m A +=+--+-+==右边，因此②11()m m m x x x A mA A x m -*++=∈∈R N ，成立．（3）先求导数，得32()362xA x x '=-+．令23620x x -+>，解得x <x >因此，当x ⎛∈- ⎝⎭∞时，函数为增函数，当x ⎫∈+⎪⎪⎝⎭∞时，函数也为增函数，令23620x x -+≤x ，因此，当x ∈⎣⎦时，函数为减函数，∴函数3x A 的增区间为⎛- ⎝⎭∞，⎫+⎪⎪⎝⎭∞；减区间为⎣⎦．。
2019-2020学年选修2-3人教A版数学练习：综合学业质量标准检测
综合学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程为y ^＝45x ＋a ^，若某儿童记忆能力为12，则他的识图能力为( C )A ．9.2B ．9.8C ．9.5D ．10 [详细分析] ∵x －＝14(4＋6＋8＋10)＝7；y －＝14(3＋5＋6＋8)＝5.5，∴样本的中心点坐标为(7,5.5)， 代入回归方程得：5.5＝45×7＋a ^，∴a ^＝－0.1． ∴y ^＝0.8x －0.1，当x ＝12时，y ^＝0.8×12－0.1＝9.5，故选C ．2．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( A ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4D ．20i x 4[详细分析] (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r(r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A ．3．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( C )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．[－2,0)D ．(－4,4][详细分析] 此正态曲线关于直线x ＝－2对称，∴ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2,0)上取值的概率．4．设A ＝37＋C 27·35＋C 47·33＋C 67·3，B ＝C 17·36＋C 37·34＋C 57·32＋1，则A －B 的值为( A ) A ．128 B ．129 C ．47D ．0[详细分析] A －B ＝37－C 17·36＋C 27·35－C 37·34＋C 47·33－C 57·32＋C 67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A ．5．独立性检验中，假设H 0：变量X 与变量Y 没有关系，则在H 0成立的情况下，P (k 2≥6.635)＝0.010表示的意义是( D )A ．变量X 与变量Y 有关系的概率为1%B ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99.9%C ．变量X 与变量Y 没有关系的概率为99%D ．变量X 与变量Y 有关系的概率为99%[详细分析] 由题意知变量X 与Y 没有关系的概率为0.01，即认为变量X 与Y 有关系的概率为99%．6．正态分布N 1(μ1，σ21)，N 2(μ2，σ22)，N 3(μ3，σ23)(其中σ1，σ2，σ3均大于0)所对应的密度函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( D )A ．μ1最大，σ1最大B ．μ3最大，σ3最大C ．μ1最大，σ3最大D ．μ3最大，σ1最大[详细分析] 在正态分布N (μ，σ2)中，x ＝μ为正态曲线的对称轴，结合题图可知，μ3最大；又参数σ确定了曲线的形状；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，结合题图知σ1最大．7．根据工作需要，现从4名女教师，a 名男教师中选3名教师组成一个团队，其中a ＝⎠⎛0458x dx ，要求团队中男、女教师都有，则不同的组队方案种数为( D ) A ．140 B ．100 C ．80D ．70[详细分析] ∵⎝⎛⎭⎫516x 2′＝58x ，∴a ＝⎠⎛0458x dx ＝516x 2|40＝516×42＝5． 故团队中男、女教师都有的组队方案种类为C 14C 25＋C 24C 15＝40＋30＝70．8．将⎝⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式中的所有项重新排列成一列，有理项不相邻的排法种数是( C ) A ．A 37B ．A 66A 36 C ．A 66A 37D ．A 77A 37[详细分析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x r ＝C r 82r ·x 16－3r 4，r ＝0,1,2，…，8.当16－3r4为整数时，r ＝0,4,8，所以展开式共有9项，其中有理项有3项，先排其余6项有A 66种排法，再将有理项插入形成的7个空当中，有A 37种方法．故共有A 66A 37种排法．9．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的数学期望为( A )A ．0.9B ．0.8C ．1.2D ．1.1[详细分析] X 的取值为0、1、2， P (X ＝0)＝(1－0.4)(1－0.5)＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×(1－0.5)＋(1－0.4)×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2，∴E (X )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9．10．某中学拟从4个重点研究性课题和6个一般研究性课题中各选2个课题作为本年度该校启动的课题项目，若重点课题A 和一般课题B 至少有一个被选中的不同选法种数是k ，那么二项式(1＋kx 2)6的展开式中x 4的系数为( C )A ．50000B ．52000C ．54000D ．56000 [详细分析] A 、B 均未被选中的种数有C 23C 25＝30，∴k ＝C 24C 26－30＝60．在(1＋60x 2)6展开式中，T r ＋1＝C r 6(60x 2)r ，令r ＝2，得T 3＝C 26602x 4＝54000x 4.故选C ．11．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次数恰为3次的概率是( B )A ．18125B ．36125C ．44125D ．81125[详细分析] 每次取到红球的概率为35，所求概率为C 12×35×25×35＝36125.故选B ． 12．已知0<a <1，方程a |x |＝|log a x |的实根个数为n ，且(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 10(x ＋2)10＋a 11(x ＋2)11，则a 1等于( B )A ．－10B ．9C ．11D ．－12[详细分析] 作出y ＝a |x |(0<a <1)与y ＝|log a x |的大致图象如图所示，所以n ＝2.故(x ＋1)n ＋(x ＋1)11＝(x ＋2－1)2＋(x ＋2－1)11，所以a 1＝－2＋C 1011＝－2＋11＝9.故选B ．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ～B (36，p )，且E (ξ)＝12，则D (ξ)＝__8__． [详细分析] 由E (ξ)＝36p ＝12，得p ＝13，故D (ξ)＝36×13×23＝8．14．某校1000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数曲线如图所示，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是__682__．[详细分析] 由题图知X ～N (μ，σ2)， 其中μ＝60，σ＝8，∴P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝P (52<X ≤68)＝0.6826． ∴人数为0.6826×1000≈682．15．(2019·临沂高二检测)如图所示，A 、B 两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X ，则P (X ≥8)＝__45__．[详细分析] 由已知X 的取值为7,8,9,10．∵P (X ＝7)＝C 22C 12C 35＝15，P (X ＝8)＝C 22C 11＋C 22C 12C 35＝310， P (X ＝9)＝C 12C 12C 11C 35＝25， P (X ＝10)＝C 22C 11C 35＝110．∴X 的概率分布列为：∴P (X ≥8)＝P (X ＝8)＋P (X ＝9)＋P (X ＝10) ＝310＋25＋110＝45． 16．一只电子蚂蚁在如图所示的网格线上由原点O (0,0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m ，n )，(m ，n ∈N *)，记可能的爬行方法总数为f (m ，n )，则f (m ，n )＝__C m m ＋n __．[详细分析] 从原点O 出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m ，n )需m 个0和n 个1.这样爬行方法总数f (m ，n )是m 个0和n 个1的不同排列方法数．m个0和n 个1共占m ＋n 个位置，只要从中选取m 个放0即可．∴f (m ，n )＝C mm ＋n ．(例如f (3,4)＝C 37其中0010111表示从原点出发后，沿右右上右上上上的路径爬行．) 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋16x n 的展开式中第2,3,4项的二项式系数成等差数列．(1)求n 的值；(2)此展开式中是否有常数项？为什么？ [详细分析](1)T k ＋1＝C k n ·(6x )n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫16x k ＝C k n ·x n －2k6， 由题意可知C 1n ＋C 3n ＝2C 2n ，即n 2－9n ＋14＝0，解得n ＝2(舍)或n ＝7．∴n ＝7． (2)由(1)知T k ＋1＝C k 7·x 7－2k6． 当7－2k 6＝0时，k ＝72∉N *． ∴展开式中无常数项．18．(本题满分12分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(只列式即可)(1)任何2名女生都不相邻，有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[详细分析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．(2)解法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．解法二：甲在首位的共有A 99种，乙在末位的共有A 99种，甲在首位且乙在末位的有A 88种，因此共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，其中只有一种符合题设要求，所以甲、乙、丙顺序一定的排法有A 1010A 33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A 1010种排法．19．(本题满分12分)(2019·北京理17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．[详细分析] (1)由题意知，样本中仅使用A 的学生有18＋9＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有10＋14＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为40100＝0.4． (2)X 的所有可能值为0,1,2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事件C ，D 相互独立，且P (C )＝9＋330＝0.4，P (D )＝14＋125＝0.6，所以P (X ＝2)＝P (CD )＝P (C )P (D )＝0.24， P (X ＝1)＝P (C D ∪C D ) ＝P (C )P (D )＋P (C )P (D )＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(C D)＝P(C)P(D)＝0.24．所以X的分布列为故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1．(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)＝1C330＝1 4060．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．20．(本题满分12分)(2018·全国卷Ⅰ理，20)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？[详细分析](1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C220p2·(1－p)18．因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17] ＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1． 当p ∈(0,0.1)时，f ′(p )>0； 当p ∈(0.1,1)时，f ′(p )<0． 所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1． (2)由(1)知，p ＝0.1．①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180,0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y ．所以E (X )＝E (40＋25Y )＝40＋25E (Y )＝490．②若对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费用为400元． 由于E (X )>400，故应该对余下的产品作检验．21．(本题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值8i ＝1(x i －x )28i ＝1(w i －w )28i ＝1(x i －x )(y i －y ) 8i ＝1(w i －w )(y i －y ) 表中w i ＝x i ，w ＝188i ＝1w i ．(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝ni ＝1 (u i －u )(v i －v )ni ＝1(u i －u )2，α^＝v －β^u ． [详细分析] (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年 销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x ．(3)(ⅰ)由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝0.2×576.6－49＝66.32． (ⅱ)根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12．所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．22．(本题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在第一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，0.008≈0.09．[详细分析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408． X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416．(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检测，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02．因此μ的估计值为10.02．i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09．。
高中数学综合测评新人教A版选修2-3
选修2－3综合测评(时间：120分钟满分:150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的,那么所有“上升”的正整数的个数为（)A．530 B．502C．503 D．505解析：由题意，得所有“上升”的正整数的个数为C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C 错误!＝29－C错误!－C错误!＝502,故选B。
答案：B2．已知回归方程错误!＝2x－1,则该方程在样本（3,4）处的残差为( ）A．5 B．2C．1 D．－1解析:当x＝3时,错误!＝2×3－1＝5，∴残差y－错误!＝4－5＝－1，故选D。
答案：D3．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球,记6次取球中取出红球的次数为ξ,则E（9ξ－1）＝（）A．4 B．35C．5 D．36解析：由题意得ξ服从二项分布,即ξ～B错误!，∴E(9ξ－1）＝9E（ξ）－1＝35.答案：B4．已知ξ的分布列为设η＝2ξ－5,则E(η)A。
错误! B.错误!C。
错误!D。
错误!解析：依题意,知m＝1－错误!＝错误!，则E（ξ）＝1×错误!＋2×错误!＋3×错误!＋4×错误!＝错误!,所以E（η）＝E（2ξ－5）＝2E（ξ)－5＝2×错误!－5＝错误!,故选C。
答案：C5．已知x，y的取值如下表所示：从散点图分析，y与x错误!的值为（) A．0.95 B．2C．4.5 D．2。
6解析：计算错误!＝2,错误!＝4.5;代入错误!＝0.95x＋错误!得错误!＝2.6.答案:D6．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是( )A．720 B．648C．103D．310解析：可组成9A错误!＝648个没有重复数字的三位数，故选B.答案：B7．已知随机变量X服从正态分布N(5，4）,且P(X＞k）＝P（X＜k－4），则k的值为( ）A．6 B．7C．8 D．9解析:∵错误!＝5，∴k＝7，故选B。
2019_2020年高中数学综合质量检测新人教A版选修2_3
综合质量检测(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．6个学校的师生轮流去某个电影院观看电影《狼图腾》，每个学校包一场，则不同的包场顺序的种数是( )A ．720B ．480C ．540D ．120[解析] 因为是轮流放映，故不同的包场顺序的种数为A 66＝720.故选A. [答案] A2．已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P (1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．15[解析] 由已知X 的分布列为P (X ＝k )＝1n，k ＝1,2,3，…，n ，所以P (1≤X ≤3)＝P (X＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3n ＝15，n ＝15.[答案] D3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (n ，p )，则D X2E X2等于( )A ．p 2B ．(1－p )2C ．1－pD ．以上都不对[解析] 因为X ～B (n ，p )，(D (X ))2＝[np (1－p )]2，(E (X ))2＝(np )2，所以D X2E X2＝[np －p2np2＝(1－p )2.故选B.[答案] B4．如图的示，A ，B ，C 表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性为( )A ．0.504B ．0.994C ．0.496D ．0.06[解析] A 、B 、C 三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P ＝1－(1－0.9)×(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.[答案] B5．将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则概率P (A |B )等于( )A.6091 B.12 C.518 D.91216[解析] P (B )＝1－P (B )＝1－5×5×56×6×6＝91216，P (AB )＝C 13×5×46×6×6＝60216，∴P (A |B )＝P AB P B ＝6091.[答案] A6．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； ②在刻画回归模型的拟合效果时，R 2的值越大，说明拟合的效果越好； ③设随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，则P (ξ＞4)＝12；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则判断“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越小．其中正确的说法是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] ①中各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①不正确；②正确，相关指数R 2越大，拟合效果越好，R 2越小，拟合效果越差；③随机变量ξ服从正态分布N (4,22)，正态曲线对称轴为x ＝4，所以P (ξ＞4)＝12，故③正确；④对分类变量X 与Y ，若它们的随机变量K 2的观测值k 越小，则说明“X 与Y 有关系”的犯错误的概率越大，故④不正确．[答案] B7．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为6，据此模型预测气温为30℃时销售饮料瓶数为( )A ．141B ．191C ．211D ．241[解析] 由题意，x －＝－1＋3＋8＋12＋175＝7.8，y －＝3＋40＋52＋72＋1225＝57.8，因为回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^为6，所以57.8＝6×7.8＋a ^，所以a ^＝11，所以y ^＝6x ＋11，所以x ＝30时，y ^＝6×30＋11＝191，故选B. [答案] B8．若(1－5x )9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，那么|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|的值是( ) A ．1 B ．49C ．59D ．69[解析] 由(1＋5x )9与(1－5x )9展开式系数可知|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝(1＋5×1)9＝69.故选D.[答案] D9．如图，用4种不同颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有( )A.72 B ．96 C ．108 D ．120[解析] 颜色都用上时，必定有两块同色，在图中，同色的可能是1,3或1,5或2,5或3,5.对每种情况涂色有A 44＝24种，所以一共有96种．[答案] B10．甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，日产量相等，每天出废品的情况如下表所列：则有结论( )A ．甲的产品质量比乙的产品质量好一些B ．乙的产品质量比甲的产品质量好一些C ．两人的产品质量一样好D ．无法判断谁的质量好一些 [解析]E (X甲)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，E (X乙)＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，∵E (X 甲)＞E (X 乙)，故甲每天出废品的数量比乙要多， ∴乙的产品质量比甲的产品质量好一些． 故选B. [答案] B11．如图，三行三列的方阵中有9个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314[解析] “至少有两个数位于同行或同列”的对立事件为“三个数既不同行也不同列”，所以所求概率为P ＝1－C 13C 12C 11C 39＝1－3×2×19×8×73×2×1＝1－114＝1314.[答案] D12．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个[解析] 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.[答案] C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A B 等于________．[解析] T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－2x k ＝C k 6(－2)k·x6－3k2，令6－3k 2＝3，即k ＝2，所以T 3＝C 26(－2)2x 3＝60x 3，所以x 3的系数为A ＝60，二项式系数为B ＝C 26＝15，所以A B ＝6015＝4.[答案] 414．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．[解析] 由题意知，当组成的数字有三个1，三个2，三个3，三个4共有4种情况．当有三个1时：2111,3111,4111,1211,1311,1411,1121,1131,1141，共9种．当有三个2,3,4时，2221,3331,4441，此时有3种情况．由分类加法计数原理，得“好数”的个数为9＋3＝12.[答案] 1215．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1； ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．[解析] ①因为各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以第3次击中目标的概率是0.9，正确；②恰好击中目标3次的概率应为C 34×0.93×0.1； ③4次射击都未击中的概率为0.14； 所以至少击中目标1次的概率为1－0.14. [答案] ①③16．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是________．[解析] 解法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝0×16＋1×38＋2×916＝32.解法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32.[答案] 32三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响，现统计数据如下：质量监督员甲在现场时，1000件产品中合格品有990件，次品有10件，甲不在现场时，500件产品中有合格品490件，次品有10件．(1)补充下面列联表，并初步判断甲在不在现场与产品质量是否有关：在现场与产品质量有关”？K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d[解] (1)“甲在不在现场与产品质量有关”．(2)由(1)中2×2列联表中数据，得K 2＝－21480×20×1000×500≈2.53＞2.072，又P (k ≥2.072)的临界值为0.15，所以，能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”．18．(12分)已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．[解] ⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎪⎫165x 25－r⎝⎛⎭⎪⎫1x r令20－5r ＝0，得r ＝4， 故常数项T 5＝C 45×165＝16.又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和等于2n， 由题意知2n＝16，得n ＝4.由二项式系数的性质知，(a 2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T 3， 故有C 24a 4＝54，解得a ＝± 3.19．(12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(1)求T (2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区作一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．[解] (1)由统计结果可得T 的频率分布为：以频率估计概率得从而E (T ))．(2)设T 1，T 2分别表示往返所需时间，T 1，T 2的取值相互独立，且与T 的分布列相同．设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座的时间为50分钟，所以事件A。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3章末综合测评1 Word版含解析
章末综合测评(一) 计数原理(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)C910＋C810等于( )A．45 B．55C．65 D．以上都不对【解析】C910＋C810＝C10＋C210＝55，故选B.【答案】 B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】 D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】 B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A2＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】 D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( )A．18种B．24种C．36种D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A3＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】 C6．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】 C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共( ) A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C13C12A5种；当五种颜色选择四种时，选法有C45C13×3×A4种；当五种颜色选择三种时，选法有C35×2×A3种，所以不同的涂色方法共C13C12A5＋C45C13×3×A4＋C35×2×A3＝1 920.故选C.【答案】 C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( ) 【导学号：97270029】A．1 050种B．700种C．350种D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有C36C25＋C26C35＝350种．【答案】 C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为( )A．29B．49C．39D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】 B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( ) A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】 B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为( )A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】 B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝C36x3＝20x3.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】由题意得C12·C2x＝20，解得x＝5.【答案】 514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.【答案】 1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；……照此规律，当n∈N*时，2n－1＝________.C02n－1＋C12n－1＋C2n－1＋…＋C n－1【解析】观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C02n－1＋C12n－1＋C2n－1＋…＋C n－12n－1＝4n－1.【答案】4n－116．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C1n a ＝3，C2n a2＝4，解得a ＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ Cx n ＝C2x n ，Cx ＋1n ＝113Cx －1n ，试求x ，n 的值. 【导学号：97270030】【解】 ∵C x n ＝C －x n ＝C 2x n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n ，得 错误!＝错误!·错误!，整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C －1n ·48＋C n ＋16n －1＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C －1n ·3＋n )．所以49n ＋16n －1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】 (1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 4种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 4＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．(2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，0≤x≤4，2x ＋y≥7，0≤y≤6，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1.因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 4C 16＝186种．20．(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)a 6.【解】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1.(2)a 6即为含x 6项的系数，T r ＋1＝C r 10(2x )10－r ·(－1)r ＝C r 10(－1)r 210－r ·x 10－r ，所以当r ＝4时，T 5＝C 410(－1)426x 6＝13 440x 6，即a 6＝13 440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A7＝5 040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A6种方法，故共有5×A6＝3 600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A4种方法，再将4名女生进行全排列，有A4种方法，故共有A4×A4＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A4×A35＝1 440种方法．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？【解】由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C35·C13·A3＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有C14C34A4＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。
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选修2－3综合测评(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为( )A ．530B ．502C ．503D ．505解析：由题意，得所有“上升”的正整数的个数为C 29＋C 39＋C 49＋…＋C 99＝29－C 09－C 19＝502，故选B.答案：B2．已知回归方程y ^＝2x －1，则该方程在样本(3,4)处的残差为( ) A ．5 B ．2 C ．1D ．－1解析：当x ＝3时，y ^＝2×3－1＝5，∴残差y －y ^＝4－5＝－1，故选D. 答案：D3．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则E (9ξ－1)＝( )A ．4B ．35C ．5D ．36解析：由题意得ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，23， ∴E (9ξ－1)＝9E (ξ)－1＝35. 答案：B4．已知ξ的分布列为设η＝2ξ－5，则E (ηA.12 B.13 C.23D.32解析：依题意，知m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16＋13＝13，则E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ－5)＝2E (ξ)－5＝2×176－5＝23，故选C.答案：C5．已知x ，y 的取值如下表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为( ) A ．0.95 B ．2 C ．4.5D ．2.6解析：计算x －＝2，y －＝4.5；代入y ^＝0.95x ＋a ^得a ^＝2.6. 答案：D6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( ) A ．720 B ．648 C ．103D ．310解析：可组成9A 29＝648个没有重复数字的三位数，故选B. 答案：B7．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X ＞k )＝P (X ＜k －4)，则k 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7，故选B.答案：B8．(2019·广州毕业班综合测试)从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E (ξ)＝( )A.45 B ．1 C.75D ．2解析：由题意知所选3人中女生人数ξ＝0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 02×C 34C 36＝420＝15，P (ξ＝1)＝C 12×C 24C 36＝1220＝35，P (ξ＝2)＝C 22×C 14C 36＝420＝15，所以数学期望E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，选B.答案：B9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴广交会的四个不同地方服务，不同的分配方案有( )A.C 26C 24A 22·C 12C 11A 22 B.C 26C 24A 22·C 12C 11A 22·A 44 C ．C 26C 24·C 12C 11·A 44D ．C 26C 24C 12C 11解析：先将6位志愿者按要求分成四组，不同的分法有C 26·C 24A 22·C 12C 11A 22种，再将4组分到四个不同的地方，有A 44种不同的分法，按照分步乘法计数原理，不同的分配方案有C 26C 24A 22·C 12C 11A 22·A 44，故选B. 答案：B10．(2019·浙江卷)设0<a <1.随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，A ．D (X )增大 B ．D (X )减小 C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )先减小后增大解析：由题意可得，E (X )＝13(a ＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝6a 2－6a ＋627＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.答案：D11．在二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 15的展开式中，有理项的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r15(3x )15－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝(－1)r 2r C r 15x 30－5r 6，设T r ＋1项为有理项，则30－5r 6＝5－56r 为整数，∴r 为6的倍数，又∵0≤r ≤15，∴r 可取0,6,12三个数，故共有3个有理项．答案：B12．已知具有线性相关关系的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线方程l 1：y ^＝b ^x ＋a ^，过点A 1，A 2的直线方程l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列4个命题中：①m >b ^，a ^>n ； ②直线l 1过点A 3；③∑i ＝15(y i －b ^x i －a ^)2≥∑i ＝15(y i －mx i －n )2；④∑i ＝15|y i －b ^x i －a ^|≥∑i ＝15|y i －mx i －n |.参考公式b ^＝∑i ＝1n x i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2，a ^＝y －b ^x正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：依题意，x ＝15(0＋2＋3＋4＋6)＝3， y ＝15(0＋2＋2＋2＋4)＝2，则b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝0.6，a ^＝y －b ^x ＝0.2，∴线性回归方程l 1：y ^＝0.6x ＋0.2，直线l 2的方程为y ＝x ， ∴b ^＝0.6，a ^＝0.2，m ＝1，n ＝0，∴①正确； ∵3×0.6＋0.2＝2，∴直线l 1过A 3，∴②正确； ∵∑i ＝15(y i －b ^x i －a ^)2＝0.8，∑i ＝15(y i －mx i －n )2＝9，∴③错误；∵∑i ＝15|y i －b ^x i －a ^|＝1.6，∑i ＝15|y i －mx i －n |＝5，∴④错误．综上所述，正确命题的个数为2，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝3，D (2ξ＋1)＝9，则p 的值是________． 解析：∵ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝3＝np ，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝9， ∴D (ξ)＝94＝np (1－p )，∴n ＝12，p ＝14.答案：1414．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________．解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．答案：215．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为35和p ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为920.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 的值为________．解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p .根据题意得35(1－p )＋25p ＝920，解得p ＝34. 答案：3416．已知f (x )＝sin πx3，集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，现从集合A 中任取两个不同的元素，分别记为m ，n ，则f (m )·f (n )＝0的概率是________．解析：从集合A 中任取两个不同的元素，分别记为m ，n ，有A 28种不同的取法．因为只有f (3)＝f (6)＝0，所以要使f (m )f (n )≠0，则应使f (m )≠0且f (n )≠0，这样的取法共有A 26种，因此所求的概率P ＝1－A 26A 28＝1328.答案：1328三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)设⎝⎛⎭⎪⎪⎫32＋133n 的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的第7项．解：T 7＝C 6n (32)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336，T n －7＋2＝T n －5＝C n －6n(32)6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133n －6.由C 6n (32)n －6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336C n －6n (32)6⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫133n －6＝16，化简得6n 3－4＝6－1，所以n3－4＝－1，所以n ＝9.所以T 7＝C 69×(32)9－6×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1336＝C 39×2×19＝563.18．(12分)(2019·广州综合测试)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，P (ξ＝0)＝C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 27C 13C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 17C 23C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 310＝1120，故ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×724＋1×40＋2×40＋3×120＝10.(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X 户，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，35，可知P (X ＝k )＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2510－k(k ＝0,1,2,3，…，10)，⎩⎪⎨⎪⎧C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪⎫21010－k ≥C k ＋110⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫259－k ，Ck 10⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2510－k ≥C k －110⎝ ⎛⎭⎪⎫35k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2511－k，解得285≤k ≤335，k ∈N *，∴当k ＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大， ∴k ＝6.19．(12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X (小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图．(1)依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01)．(若|r |>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X (单位：小时) 30<X <5050≤X ≤70X >70光照控制仪 最多可运行台数3 2 1运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．附：相关系数公式r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2∑i ＝1n(y i －y )2，参数数据0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.因为∑i ＝15(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，∑i ＝15(x i －x)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32＝25，∑i ＝15(y i －y)2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12＝ 2.所以相关系数r＝∑i＝1n(x i－x)(y i－y)∑i＝1n(x i－x)2∑i＝1n(y i－y)2＝625·2＝910≈0.95.因为r>0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．(2)记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当X>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000元；当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000元；当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3 000＝9 000元．所以过去50周总利润的平均值Y＝1 000×10＋5 000×35＋9 000×550＝4 600元，所以商家在过去50周总利润的平均值为4 600元．20．(12分)(2019·山西省八校高三联考)“2018弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于2018年11月26日在深圳举行，会议同期举行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式．从2019年1月起到12月，深圳市文化和健康发展促进会将连续举办52场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲．某学校文学社为响应这次活动，举办了中华古诗词背诵比赛，统计的成绩(单位：分)的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在[80,90)内的有50人．(1)求a的值及参加比赛的总人数；(2)分别从[80,90)，[90,100]分数段中选取1人和2人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的3人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛1局，共比赛3局，胜1局得1分，输1局得0分，没有平局．已知“优胜”队中成绩在[80,90)内的选手获胜的概率为25，在[90,100]内的2名选手获胜的概率分别为23，37，记“优胜”队的得分为随机变量X ，求X 的分布列，并用统计学的知识说明哪个队的实力较强．解：(1)由题意得(0.01＋a ＋0.02＋0.03)×10＝1，得a ＝0.04.∵成绩在[80,90)内的有50人，且成绩在[80,90)内的频率为0.02×10＝0.2. ∴参加比赛的总人数为500.2＝250.(2)X 的所有可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝23×25×37＝435，P (X ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝821， P (X ＝1)＝23×35×47＋13×35×37＋13×25×47＝41105，P (X ＝0)＝13×35×47＝435.∴X 的分布列为E (X )＝0×435＋1×105＋2×21＋3×35＝105. 设“必胜”队的得分为随机变量Y ， ∵X ＋Y ＝3，∴Y ＝3－X ， ∴E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝158105.∴E (Y )>E (X )，∴“必胜”队的实力较强．21．(12分)某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x 元，x ∈[500,1 000)可抽奖1次，x ∈[1 000,1 500)可抽奖2次，x ∈[1 500,2 000)可抽奖3次，以此类推．抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个，且不放回抽取)．第一种抽奖方式：若抽到红球，获奖金10元；若抽到白球，获奖金20元；若抽到黑球，获奖金40元．第二种抽奖方式：抽到红球获奖金0元；抽到白球，获奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元．(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2 000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获奖金为70元的概率．(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1 200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利．解：(1)X ＝2 000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形；抽到3红1黑；抽到1红3白，因此所求事件的概率为P ＝C 34C 12＋C 14C 33C 49＝221. (2)X ＝1 200可抽奖2次，用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20,30,40,50,60,80.P (ξ＝20)＝C 24C 29＝16，P (ξ＝30)＝C 14C 13C 29＝13，P (ξ＝40)＝C 23C 29＝112，P (ξ＝50)＝C 14C 12C 29＝29，P (ξ＝60)＝C 13C 12C 29＝16，P (ξ＝80)＝C 22C 29＝136.随机变量ξ的分布列为期望E (ξ)＝206＋3＋12＋9＋6＋36＝40.用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0,50,100,150,200； P (η＝0)＝C 24C 29＝16，P (η＝50)＝C 14C 13C 29＝13，P (η＝100)＝C 23＋C 14C 12C 29＝1136，P (η＝150)＝C 13C 12C 29＝16， P (η＝200)＝C 22C 29＝136.随机变量η的分布列为期望E (η)＝0＋503＋36＋6＋36＝9.明显第二种抽奖方式更有利．22．(12分)某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的2×2列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为1249.(1)请完成上面的2×2列联表；(2)根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？ (3)若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X ，求X 的分布列及数学期望．附表：附：K 2＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)设认为作业量大的共有x 个人，则C 2x C 250＝x (x －1)2×150×492×1＝1249，化简为x 2－x －50×12＝0， 解得x ＝25或x ＝－24(舍去)；(2)K 2＝50×(18×17－7×8)225×25×24×26≈8.013>6.635.因此有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.由(1)可知，在全校随机抽取1人，“认为作业量大”的概率为12.由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12.所以P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k (k ＝0,1,2，3,4)．所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P11614 3814116E (X )＝0×116＋1×14＋2×8＋3×4＋4×16＝2或E (X )＝np ＝4×12＝2.。