2.4g 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
时变高斯过程状态空间模型
时变高斯过程状态空间模型时变高斯过程状态空间模型是一种用于描述随机过程的数学模型，它在许多领域中被广泛应用，包括信号处理、金融、经济学等。
本文将介绍时变高斯过程状态空间模型的基本概念、特点和应用。
一、基本概念时变高斯过程是一种连续时间、连续状态的随机过程，其状态变量服从高斯分布。
状态空间模型是一种用于描述随机过程的模型，其中包括状态方程和观测方程。
时变高斯过程状态空间模型将状态方程和观测方程结合起来，用于描述系统的动态变化和观测结果之间的关系。
在时变高斯过程状态空间模型中，状态方程描述了系统的演化规律，观测方程描述了观测结果与系统状态之间的关系。
状态方程通常采用线性动态方程来描述，而观测方程可以是线性方程或非线性方程，具体取决于系统的性质和应用需求。
二、特点1. 高斯性：时变高斯过程状态空间模型中的状态变量服从高斯分布，这使得模型具有较好的数学性质和分析能力。
高斯分布的特点使得可以通过状态观测数据来估计系统的状态，并进行预测和推断分析。
2. 线性性：状态方程通常采用线性动态方程来描述，观测方程可以是线性方程或非线性方程。
线性性质使得模型的分析和求解相对简单，可以利用线性系统理论和方程求解方法来进行模型分析和推导。
3. 随机性：时变高斯过程状态空间模型是一种随机过程模型，其中包含随机噪声项，用于描述系统的不确定性和随机性。
随机噪声项可以从观测数据中估计，并用于状态估计和预测分析。
三、应用时变高斯过程状态空间模型在许多领域中被广泛应用，以下列举几个典型的应用领域。
1. 信号处理：时变高斯过程状态空间模型可以用于对信号进行建模和分析，例如语音信号处理、图像处理等。
通过对信号进行状态估计和预测，可以提取信号的特征和信息，实现信号处理和分析的目的。
2. 金融：时变高斯过程状态空间模型可以用于金融市场的预测和分析，例如股票价格的预测、风险管理等。
通过对金融市场的状态进行估计和预测，可以提供决策依据和风险控制策略。
现代控制理论 状态向量的线性变换：约当规范型
《现代控制理论》MOOC课程1.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换特征根的代数重数和几何重数设λi 为系统矩阵A 的特征值,若λi 的重根数为，则称的代数重数为。
σi σi λi 设V 为n 维线性空间，为系统矩阵A 的特征值，则的特征子空间λi λi V λi ={p i ∈V|Ap i =λi p i }的维数αi , 称为λi 特征值的几何重数。
αi =n −rank(λi I −A )的几何重数也就是线性无关特征向量的个数。
λi λi αi三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型1.3状态向量的线性变换解：A =12332300−1例：求系统矩阵相异特征值的代数重数和几何重数。
=(λ+1)2(λ−4)=0λI −A =λ−1−2−3−3λ−2−300λ+1可得：λ1=−1，−1λ2=4故的代数重数分别为λ1、λ2σ1=2、σ2=1的几何重数λ1α1=3−rank （λ1I −A ）=3−rank −2−2−3−3−3−3000=3−2=1的几何重数λ2α2=3−rank （λ2I −A ）=3−rank 3−2−3−32−3004=3−2=11.3状态向量的线性变换三. 状态空间表达式的对角规范型和约当规范型系统的广义特征向量p iλi k对于n×n维矩阵A，若存在一个不为零的n维向量和一个标量，为正整数，使得：൝(A−λi I)k p i=0(A−λi I)k−1p i≠0成立，则称p i为矩阵A的特征值λi所对应的k级广义特征向量。
约当规范型对于给定的n维线性定常系统x=Ax+Bu。
设系统的特征值为：z=Q−1AQz+Q−1Bu=J1⋱J lz+ഥB uλ1(σ1α1代数重，几何重)，λ2(σ2α2代数重，几何重)，⋯，λl(σlαl代数重，几何重) (σ1+ σ2+⋯+σl=n),则存在由各特征值的广义特征向量组成的变换阵Q，通过变换，可将状态方程化为如下的约当规范型：z=Q−1x其中，ഥA=Q−1AQ=J1⋱J l,ഥB=Q−1Bz =J 1⋱J i⋱J lz +ഥBu J i =J i1⋱J ik⋱J iαiJ ik =λi1λi⋱⋱1λir i1+ r i2+⋯+r iαi =σi特征值对应的约当块矩阵由个约当子块矩阵组成。
地大《现代控制理论》在线作业二[60467]
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地大《现代控制理论》在线作业二
一、单选题
1.保证稳定是控制系统正常工作的必要前提,对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部,保证系统渐近稳定称为()。
A.能控性
B.能观性
C.系统镇定
D.稳定性
答案：C
2.对于能控能观的线性定常连续系统，采用静态输出反馈闭环系统的状态()。
A.能控且能观
B.能观
C.能控
D.以上三种都有可能
答案：A
3.对于同一个系统，可有()个状态空间表达式。
A.1个
B.2个
C.3个
D.无穷多个
答案：D
4.由状态空间模型导出的传递函数()。
A.惟一
B.不惟一
C.无法判断
D.皆有可能
答案：A
5.维数和受控系统维数相同的观测器为()。
A.降维观测器
B.全维观测器
C.同维观测器
D.以上均不正确
答案：B
6.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是()的。
A.渐近稳定
B.稳定
C.一致稳定
D.一致渐近稳定
答案：A
7.下列语句中，正确的是()。
A.系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的，其状态变量的个数也是唯一的
B.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数也不是唯一的。
现代控制理论1-8三习题库
13.若矩阵A的n个特征值互异，则可通过线性变换将其化为 角阵，雅可比阵）。
14.状态变量是确定系统状态的（最小，最大）一组变量。
15.以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交（线性，非线性）
空间，称之为_,（传递函数，状态空间）。
1.试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
自动控制领域的科学研究方法，已经由最早的经典控制中以输入输出模型为主，发展为
现今的现代控制中以状态空间模型为主。因而，“现代控制理论”是从事自动化专业必备的
知识。“现代控制理论”的教学目标是使学生牢固树立线性系统中状态空间的概念、进一步 理解系统稳定性这一控制学科最为重要的概念，掌握能控与能观、状态反馈与状态估计等核
重点内容：逆矩阵、线性无关与线性相关定义、非齐次方程求解、哈密顿定理、定号性 理论等。
系统的数学描述可分为哪两种类型
自然界存在两类系统：静态系统和动态系统，有何区别 现代控制理论研究的主要内容是什么
现代控制理论研究对象
现代控制理论所使用的数学工具有哪些 现代控制理论问题的解决方法是什么
第二章（单元）：
心方法。通过本课程学习，使学生做到各章概念融会贯通，解题方法灵活运用，分析解决实 际问题。从宏观角度把握课程的体系结构，建立起现代控制理论的基本框架。主要培养学生
以下三个方面的能力：
1、分析建模能力
根据系统的工作原理或实验数据，建立合理的数学模型。
2、认知和理解能力理解与Leabharlann 握能控性、能观测性与系统设计的关系，
合。这些信息对于确定系统（过去，未来）的行为是充分且必要
的。
10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时，
Jordan标准形
Jordan标准形⼀、引⼊ 前⾯已经指出，⼀切n阶矩阵A可以分成许多相似类。
今要在与A相似的全体矩阵中，找出⼀个较简单的矩阵来作为相似类的标准形。
当然以对⾓矩阵作为标准形最好，可惜不是每⼀个矩阵都能与对⾓矩阵相似。
因此，急需引⼊⼀种较为简单⽽且对于⼀般矩阵都可由相似变换得到。
当矩阵A能相似于某对⾓矩阵时，该对⾓矩阵就是A的⼀个Jordan形。
⽽当矩阵A不能相似于对⾓矩阵时，它必然与⼀个⾮对⾓的Jordan 形相似。
此时的Jordan形J与对⾓矩阵的差别也只是在主对⾓线元素的上邻位有某些元素为1.在这个意义上，Jordan标准型可以说是与A相似的矩阵中最简单的了。
Jordan标准型应⽤⼴泛。
如果能够得到⼀个线性变换或者线性变换矩阵，那么我们可以迅速地得到线性微分⽅程组，特征多项式等。
⼆、定义 设T是复数域C上的线性空间Vn的线性变换，任取Vn上⼀个基，T在该基下的矩阵是A，T(或A)的特征多项式可分解因式为 φ(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2...(λ-λt)mt m1+m2+...+mt=n 则Vn可分解成不变⼦空间的直和 Vn=N1直和N2直和...Nt 其中Nt=（x|（T-λiTi）mi=0，x属于Vn）是线性变换T-λiTi的核⼦空间。
（有点看不清） 举个例⼦： 特征多项式为φ(λ)=（λ+1）2（λ-5） 则Jordan标准型为 -1 1 或 5 -1 -1 1 5 -1三、简单的结论（1）对于给定的矩阵A，在不计各Jordan块排列次序的意义下，A的Jordan标准型是唯⼀的。
（2）⽅阵A的Jordan标准型J是上三⾓矩阵，其主对⾓线上元素恰好是A的全部特征值。
（3）对⾓矩阵本社是Jordan形，它的每个对⾓元都是⼀个⼀阶的Jordan块。
四、定理（1）两个同阶⽅阵相似的充要条件是它们的Jordan形⼀致。
（忽略排序因素）（2）矩阵A能与对⾓矩阵相似的充要条件是它的初等因⼦全为⼀次式。
高等代数第7章线性变换[1]
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一、线性变换的乘法及其性质
设A,BL(V), 定义A与B 的乘积为V 的一个变换, "aV, 有 (AB)(a) = A(B(a))． 1. AB 也是线性变换．
证 因为"a, bV和"k, lP, 有 (AB)(ka+lb) = A(B(ka+lb)) = A(kB(a)+lB(b)) = A(kB(a))+A(lB(b)) = kA(B(a))+lA(B(b)) = k(AB)(a )+l(AB)(b)．
称矩阵
a11 a12 a1n a a a 2n 21 22 A a n1 a n 2 a nn
为线性变换A在基e1, e2, …, en下的矩阵.
采用矩阵形式记号，可写成 [ Ae1, Ae2, …, Aen]
a11 = [e1, e2, …, en ] a 21 a n 1 a12 a 22 an 2 a1n a2 n a nn
设
f (x)=amxm+am-1xm-1+…+a0
是P[x]中一多项式, A是V的线性变换,
定义
f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a0E f(A)是线性变换,称为线性变换A的多项式
若在P[x]中 h(x)=f(x)+g(x)， p(x)=f(x)g(x)， 则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
2.4g 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2) 系统特征值的不变性与系统的不变量
2.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量
由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量 则获得不同的状 由前面的讨论可知 当选择不同的状态变量,则获得不同的状 当选择不同的状态变量 态空间模型描述。 态空间模型描述。 实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 实际上 状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同 它随状态变量选择的不同而不同,并 对系统的一种描述 它随状态变量选择的不同而不同 并 不具有唯一性和不变性。 不具有唯一性和不变性。 那么,到底系统在状态空间中有哪些描述 哪些性质是不 那么 到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不 到底系统在状态空间中有哪些描述 变的,是不随状态变量的选取不同而变化的 是不随状态变量的选取不同而变化的? 变的 是不随状态变量的选取不同而变化的 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影 决定了系统的基本特性。 响,决定了系统的基本特性。 决定了系统的基本特性
状态空间模型的线性变换和约旦规范形( 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8)
此外,在控制系统的分析和设计中 某些特殊的系统数学模型 此外 在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型 在控制系统的分析和设计中 对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和 对讨论问题相对简单得多 如前面建立的对角线规范形的和 约旦规范形。 约旦规范形。 于是自然会提出如下问题: 于是自然会提出如下问题 如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式 的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问 的状态空间模型 以降低系统的分析问题和设计问 题的难度。 题的难度。 解决上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。 解决上述两个问题 就需引入状态空间的线性变换。 就需引入状态空间的线性变换 什么是状态空间的线性变换?
约旦标准型课件
degd ( )
i 1 i
n
（所有初等因子次数之和）.
三、Jordan标准型
A (aij ) nn C nn , 特征矩阵 I-A的初等因子为( 1 ) k1 , ( 2 ) k2 , , ( t ) kt , k1 kt n, 此处i j时可能有i j . 作k i级矩阵 i Ji 0 1 0 1 , i 1, 2, , t i 1 i k k i i
例2：设T L(R 3，R 3 )，在R 3的基e1 , e 2 , e3的矩阵为A， 即 1 0 -2 T（e1 , e 2 , e3）（e1 , e 2 , e3） 0 0 0 ， = -2 0 4 问： T可否对角化； 1 ） 2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P -1AP为对角阵.
推论2 A可对角化当且仅当λI-A 的初等因子为一次的.
Frobenious定理 设 I-A的Simth标准型为 diag{d1 ( ), ,d n ( )}，则m A ( ) d n ( ).
推论：设A Cnn , 则以下命题等价： 1 A为可对角化; ） 2)m A ( )无重根; 3) I-A的不变因子无重根; 4) I-A的初等因子均为一次的.
例9：设A C77 . I-A diag{( 2)2 ,1,( 1)( 2), ( 2),( 1)2 ,1,1},求A 的不变因子，初等因子，最 小多项式及Jordan标准型.
1 1 0 例10：设A 4 3 0 .1)求Jordan标准型J， 求P，使 2) 1 0 2 P-1AP=J.
3) 1), 在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量， 由上节定理10知，这n个向量线性无关，故A可对角化. 注： 称dimE(i )为i的几何重数，由上证明知：A可对角化 A的每个特征值i的代数重数等于i的几何重数. 推论：若n阶方阵A恰有n个互异特征值，则它必可对角化.反之不然. 2 1 例 设A= , 求A100 . 2 3
Matlab中的传递函数
SISO系统(1/7)
(1) SISO系统
线性定常连续系统一般以常系数线性常微分方程来描述。 ➢ 对于一个SISO线性定常连续系统,其常微分方程描述为:
a0 y(n) a1 y(n1)
an y b0u(m) b1u(m1) bmu (a0 0,b0 0, n m)
对应的经拉氏变换得到的传递函数模型为
对已建立好的SISO系统传递函数模型变量sys,其传递函数的 分子和分母多项式可分别由sys.num{1}和sys.den{1}获得。 ➢ 如在Matlab程序m2-1执行后有 sys_1.num{1}=[1 2 1]; sys_1.den{1}=[1 5 6];
MIMO系统(1/7)
(2) MIMO系统
对已建立好的传递函数模型阵变量sys,传递函数模型阵G(s) 的各元素的分子和分母多项式可分别由sys.num{i,j}和 sys.den{i,j}获得。
➢ 如在Matlab程序执行后有
sys.num{2,1}=[0 0 2 3]; sys.den{2,1}=[1 6 11 6];
分别表示
G21 (S )
由状态空间模型求解传递函数模型问题的调用格式 为: 连续系统: con_tf=tf(con_ss) 离散系统: dis_tf=tf(dis_ss)
其中,con_ss和dis_ss分别为已赋值的连续和离散系统状 态空间模型, ➢ con_tf和dis_tf就分别为求得的连续和离散系统 传递函数模型。
s3
2s 6s2
3 11s
6
的分子和分母多项式。
➢ 这里Matlab内部的分子多项式表示[0 0 2 3]是因为要与分 母多项式表示为同阶的多项式,由于分子的阶次低,故高 次项补0。
现代控制理论1-8三习题库
复习题
1.现代控制理论研究的主要内容是什么？ 2.现代控制理论研究对象？ 3.现代控制理论所使用的数学工具有哪些？ 4.现代控制理论问题的解决方法是什么？
练习题 1.控制一个动态系统的几个基本步骤是什么？
第二章（单元）： 控制系统的状态空间表达式
本章节（单元）教学目标： 正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线
3 均为标量。
d
u
3
2
1
+
y
+
x3 1/s x3 +
1/s
x2
x2
+ x1
1/s x1
a3
a2
a1
7. 试求图中所示的电网络中，以电感 L1 、L2 上的支电流 x1 、 x2 作为状态
变量的状态空间表达式。这里 u 是恒流源的电流值，输出 y 是 R3 上的
支路电压。
8. 已知系统的微分方程 y y 4y 5y 3u ，试列写出状态空间表达式。
复习题 练习题
2. 若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3. 求下列矩阵的特征矢量
1 -1 0
A
2
0 2
10 5 2
4. （判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5. （判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6. （判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输
G(s) 3s 4 s(s 1)(s 3)
40. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。
G(s) s 2 2s 3 s3 1
41. 已知系统的传递函数，试列写出状态空间表达式，并画出状态变量图。
习题解答_现控理论_第2章
习题解答2-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。
试列写状态空间模型。
题图2-1解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.()()()1()()()()()i L C L C R C C dU t Li t U t dtd i t i t i t C U t U t dt R=+=+=+(2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t t 0时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t t 0时刻以后的值就完全确定了。
也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有122121111i dx x U dt L L dx x x dt C RC=-+=- 经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程11i22110110x x L U L x x CRC ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表式11i221211011010x x L U L x x C RC x y x R ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2-2 如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中1()v t 为输入电压,2()v t 为输出电压。
试列写状态空间模型。
题图2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.1121d d d d d d d d C L L C CC L u i L R i C u t t u u u R C R i C t t ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭⎩(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x 1(t )=i L , x 2(t )=u C (3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程121121211122112121()()10()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C --⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥++⎣⎦ (4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,()11212111221212d d ()()CL x u R R R y u R i C R x Cx x t R R R R ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-=-=⎢⎥⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎣⎦⎣⎦(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式121121211122112121121212121()()10()()()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C x R R R y x R R R R --⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。
控制理论(状态空间表达式)讲解
。
R
L
u
。
i
M
J
B
解：电感Ｌ和转动惯量Ｊ是储能元件，相应的物理 变量电流 i 和旋转速度 w是相互独立的，可选择为 状态变量．即
x1 i
x2
则
dx1 di dt dt
dx2 d dt dt
由电枢回路的电路方程，有
di L Ri e u dt d 由动力学方程有 J B K a i dt
为如下S的有理分式：
由系统的传递函数求其状态方程的过程称为系统
的实现问题，因为传递函数只是表达了系统输出与输 入的关系，却没有表明系统内部的结构，而状态空间 表达式却可以完整的表明系统内部的结构，有了系统
的状态空间表达式，就可以唯一地模拟实现该系统。
考虑一个单变量线性定常系统，它的运动方程是 一个n阶线性常系数微分方程
第
一
章
控制系统状态空间表达式
§1-0 概述 §1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态向量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数阵 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
§1-0 概 述
§1-1 状态变量及状态空间表达式 §1-2 状态空间表达式的建立 §1-3 状态变量的线性变换 §1-4 从状态空间表达式求系统传递函数 §1-5 离散时间系统状态空间表达式 §1-6 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
若指定角速度为输出，则
x1 y x2 0 1 x2
若指定电动机的转角为输出，则上述两个状态变量 不足以对系统的时域行为加以全面描述，必须增添 一个状态变量 x3
状态方程化为约当标准型
状态方程化为约当标准型在控制系统中，状态空间法是一种常用的分析和设计方法。
状态空间法将系统的动态行为描述为状态方程，可以用于分析系统的稳定性、可控性和可观测性等性质，以及设计状态反馈控制器和观测器等控制器。
然而，当系统的特征值有重根时，状态方程的形式变得复杂，难以进行分析和设计。
本文将介绍如何将状态方程化为约当标准型，使得系统的特征值形式简单，易于分析和设计。
一、状态方程状态方程是描述系统动态行为的数学模型，通常由一组一阶线性微分方程表示：$dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$y(t) = Cx(t) + Du(t)$其中，$x(t) in R^{n}$为系统的状态向量，$u(t) in R^{m}$为系统的输入向量，$y(t) in R^{p}$为系统的输出向量，$A in R^{n times n}$为状态矩阵，$B in R^{n times m}$为输入矩阵，$C in R^{p times n}$为输出矩阵，$D in R^{p times m}$为直接传递矩阵。
二、特征值与特征向量特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要概念。
设$A in R^{n times n}$，如果存在$lambda in C$和非零向量$x in C^{n}$，使得$Ax = lambda x$，则称$lambda$为矩阵$A$的特征值，$x$为对应于特征值$lambda$的特征向量。
特征值和特征向量有以下性质：1. 特征值的个数等于矩阵的秩，包括复数和重根。
2. 特征向量可以归一化，即$|x| = 1$。
3. 特征向量组成矩阵$X = [x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}]$，则$X^{-1}AX = diag(lambda_{1}, lambda_{2}, ..., lambda_{n})$，其中$diag(lambda_{1}, lambda_{2}, ..., lambda_{n})$为以$lambda_{1}, lambda_{2}, ..., lambda_{n}$为对角元的对角矩阵。
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
现代控制理论习题之状态空间模型
（1）
R1
ui
C1 uc1
R2
i1 u
C 2 i2 u o
c2
题 1-1 图 1
(2）
R
ui
iL
L
C uc
uo
题 1-1 图 2
【解】 ： (1) 设状态变量: x1 = u c1 、 x 2 = u c 2 而
i1 = C1 u c1 、 i 2 = C 2 u c 2
• •
根据基尔霍夫定律得：
u i = [C1 u c1 + (
c s+a
1 s
Y1 ( s )
U 2 (s)
d s+b
f s+e
Y2 ( s )
g
题 1-3 图 2
【解】 ： (1) 如题 1-3 图 3 设状态变量
3
U ( s)
K1 T1
6 x
x6
1 T1
K2 T2
4 x
1 T2
x4
K3
2 x
x2
1 T4
1 x 1 T4
x1
Y ( s)
x3
3 x
（4）传递函数为：
G(s) = −3s + 1 −3s + 1 = 4 2 2 3 s + 3s + 2 s + 0 s + 3s + 0 s + 2
4
状态空间表达式为：
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x + ⎢0 ⎥ u =⎢ x ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 0 − 3 0⎦ ⎣1⎦ y = [1 − 3 0 0]x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
矩阵论 Jordan标准形介绍讲解
1. 定义(p35 定义2.1) (eigenvalue and eigenvector)
2. 求解分析：(p35 定理2.1)
A的特征值就是T的特征值 A的特征向量是T的特征向量的坐标
例题1(p37 ，例题2.1)
3、 特征向量的空间性质
1) 特征子空间：V ={ | T = } 2) 特征子空间的性质：(p36 ，定理2.2)
一、 Jordan 矩阵
1. Jordan 块(p40，定义2.3)
1. 2.
形式： 值 确定因素：矩阵的阶数
J( )
3. Jordan 块矩阵的例子：
1
1
1Leabharlann 例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？
2 0
1 1 2 0
1 2
4 0 0
1 4 0
0 0 0 0 4 0
1 0 0
0 1 0
2 Jordan 矩阵
1) 形式： 2) Jordan矩阵举例 3) 特点 元素的结构
J1( 1 )
J1( 2 )
Jm( m )
Jordan矩阵是上三角矩阵
对角矩阵是Jordan 矩阵
例题1 (p44，例题5)
例题2 (p45，例题6)
例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。
3 4 0 0
A 1 1 0 0 0 0 2 1
0
0 1 0
例题4 (p46，例题7)
§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)
第一章_状态空间表达式
y a2y a1y a0 y b3u b2u b1u b0u
Y (s) U (s)
b3s3 b2s2 b1s b0 s3 a2s2 a1s a0
b3
s3
b2s2 b1s b0 a2s2 a1s
（3）非线性定常系统状态空间表达式 （4）非线性时变系统状态空间表达式
xn1(t) ym1(t)
f [x(t),u(t)] g[x(t),u(t)]
xn1(t) f [x(t),u(t),t]
y m1 (t )
g[ x(t ), u (t ), t ]
• 输入向量、输出向量、状态向量
• 状态方程为一阶微分方程组的向量矩阵表ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式
• 输出方程为代数方程组的向量矩阵表示形式
• 研究重点为线性定常系统（A、B、C、D常数矩阵）
2. 控制系统结构图
D
x`
x
y
B
1/s
C
u
A
注意：信号线为向量传递，矩阵乘法不存在交换律， 矩阵下标角码要符合矩阵运算条件。
3. 状态空间表达式的模拟结构图
[举例1]：状态空间表达式如下所示，试绘制模拟结构图。
x
2 0
y 1
1
4
3
x
1u
6x
展开成一阶方程组的形式为
x1(t) 2x1(t) x2 (t) 4u(t) x2 (t) 3x2 (t) u(t) y(t) x1(t) 6x2 (t)
x1 x2
x2 ax2 bx3 cu1 du2
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验报告学院：机电学院学号:XXXXX姓名：XXXXX班级：XXXX实验一 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一、实验目的1.熟悉线性系统的数学模型、模型转换。
2.了解MATLAB 中相应的函数 二、实验内容及步骤 1.给定系统的传递函数为1503913.403618)(23++++=s s s s s G 要求（1）将其用Matlab 表达；（2）生成状态空间模型。
2.在Matlab 中建立如下离散系统的传递函数模型y (k + 2) +5y (k +1) +6y (k ) = u (k + 2) + 2u (k +1) +u (k ) 3.在Matlab 中建立如下传递函数阵的Matlab 模型⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++=726611632256512)(2322s s s s s s s s s s s s G 4.给定系统的模型为)4.0)(25)(15()2(18)(++++=s s s s s G求（1）将其用Matlab 表达；（2）生成状态空间模型。
5.给定系统的状态方程系数矩阵如下：[]0,360180,001,0100011601384.40==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=D C B A用Matlab 将其以状态空间模型表示出来。
6.输入零极点函数模型，零点z=1,-2;极点p=-1,2,-3 增益k=1；求相应的传递函数模型、状态空间模型。
三、实验结果及分析 1. 程序代码如下：num = [18 36];den = [1 40.3 391 150]; tf(num,den) ss(tf(num,den))Transfer function:18 s + 36----------------------------s^3 + 40.3 s^2 + 391 s + 150a =x1 x2 x3x1 -40.3 -24.44 -2.344x2 16 0 0x3 0 4 0b =u1x1 1x2 0x3 0c =x1 x2 x3y1 0 1.125 0.5625d =u1y1 0Continuous-time model.2.2.程序代码如下：num=[1 2 1];den=[1 5 6];tf(num,den,-1)运行结果：Transfer function:z^2 + 2 z + 1-------------z^2 + 5 z + 6Sampling time: unspecified3.程序代码如下：num={[1 2 1],[1 5];[2 3],[6]};den={[1 5 6],[1 2];[1 6 11 6],[2 7]};tf(num,den)Transfer function from input 1 to output...s^2 + 2 s + 1#1: -------------s^2 + 5 s + 62 s + 3#2: ----------------------s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6Transfer function from input 2 to output...s + 5#1: -----s + 26#2: -------2 s + 74. 程序代码如下：sys=zpk(-2,[-15 -25 -0.4],18)ss(sys)运行结果：1）Zero/pole/gain:18 (s+2)---------------------(s+15) (s+25) (s+0.4)2）a =x1 x2 x3x1 -0.4 1.265 0x2 0 -15 1x3 0 0 -25b =u1x1 0x2 0x3 8c =x1 x2 x3y1 2.846 2.25 0d =u1y1 0Continuous-time model.5.程序代码如下：A=[-40.4 -138 -160;1 0 0;0 1 0];B=[1 0 0]';C=[0 18 360];D=0;ss(A,B,C,D)运行结果：a =x1 x2 x3x1 -40.4 -138 -160x2 1 0 0x3 0 1 0b =u1x1 1x2 0x3 0c =x1 x2 x3y1 0 18 360d =u1y1 0Continuous-time model.6. 程序代码如下：sys=zpk([1 -2],[-1 2 -3],1) tf(sys)ss((sys)运行结果：Zero/pole/gain:(s-1) (s+2)-----------------(s+1) (s+3) (s-2)Transfer function:s^2 + s - 2---------------------s^3 + 2 s^2 - 5 s - 6a =x1 x2 x3x1 -1 2.828 1.414x2 0 2 2x3 0 0 -3b =u1x1 0x2 0x3 2c =x1 x2 x3y1 -0.7071 1 0.5d =u1y1 0Continuous-time model.四、实验总结本次实验主要是熟悉利用matlab建立线性系统数学模型以及模型间的相应转换（如状态空间、传递函数模型等）、并了解matlab中相应函数的使用，如tf、ss、zp2ss、ss2tf等。
Matlab中的传递函数
SISO系统(5/7)
➢ 或直接为 sys=tf([b0 b1 … bn], [a0 a1 … an] , Ts)
其中,Ts为采样周期的值。 ✓ 当Ts=-1或者Ts=[]时,则系统的采样周期未定义。
➢ 经过上述命令,变量sys即表示上述离散系统传递函数模型。
SISO系统(6/7)
Matlab问题1 试在Matlab中建立离散系统
MIMO系统(2/7)
在Matlab中,为建立MIMO线性定常系统的传递函数阵,规定传 递函数阵对应的分子多项式输入格式为
{ num= num11 num12 … num1r;
num21 num22 … num2r; ......
} numm1 numm2 … nummr
其中,numij为Gij(s)的分子多项式的数组表示,其表示方法与前面 介绍的SISO系统传递函数的分子多项式表示方法一致;
对已建立好的传递函数模型阵变量sys,传递函数模型阵G(s) 的各元素的分子和分母多项式可分别由sys.num{i,j}和 sys.den{i,j}获得。
➢ 如在Matlab程序执行后有
sys.num{2,1}=[0 0 2 3]; sys.den{2,1}=[1 6 11 6];
分别表示
G21 (S )
状态空间模型到传递函数模型的转换 (3/3)
如在执行Matlab程序m2-3后,执行语句
则有如下结果
sys_tf=tf(sys_2)
Transfer function: 1
------------s^2 + 3 s + 2
x
0 2
1 3
x
0
1
u
y [1 0]x
即为所求的状态空间模型对应的传递函数模型。
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n阶的特征方程的n个根1,2,…,n即为矩阵A的n个 特征值。
在得到特征值i后,由式(2-46)或式(2-47)可求得矩阵对应 于i的特征向量vi。
系统的特征值和特征向量(4/4)
如下定义所示,矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统 (A,B,C,D)。 定义 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统 矩阵A的特征值。 关于系统特征值,几点注记: A. 一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。 B. 对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。 因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项 式,即系统的特征值或为实数,或为成对出现的共轭 复数。
两种表达式式之间存在什么关系?
将变换关系x=P x 代入(A,B,C,D)的状态方程中有 Px Px APx Bu
状态空间的线性变换(2/14)
由于变换矩阵P非奇异,因此有则有 x P 1 APx P 1 Bu y CPx Du
n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相 似变换,都属于空间变换。 其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。 状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间 中的坐标架的不同选择， 同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线 性空间不同坐标架之间的线性变换, 因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的 线性变换。
将上式与状态空间模型 ( A, B, C, D)比较,则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系
A P1 AP
B P1B
C CP
DD
应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即 ~(t ） P 1 x (t ) x
对于这个结论,亦可证明如下: 设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换 x P~ x 后,系统矩阵为
~ A P1 AP
矩阵 A 的特征多项式为
| I A || I P1 AP || P1 ( I A) P || P 1 | | I A | | P || I A |
系统的特征值和特征向量(3/4) —特征值和特征向量定义
将|I-A|展开，可得 |I-A|=n+a1n-1+…+an-1+an=0 其中ai(i=1,2,…,n)称为特征多项式的系数。 因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。 若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代 数方程,共有n个根。 这n个根或为实数,或为成对出现的共轭复数。 求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。
作变换矩阵为下式所示的线性变换
1 1 1 P 1 2 3 1 4 9
状态空间的线性变换(13/14)
解 线性变换P的逆矩阵为
3 5/ 2 1/ 2 P 1 3 4 1 1 3/ 2 1/ 2
因此,有
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(7/8)
本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何将系统状态空间 描述变为其约旦规范形。 本章关键问题: 1. 线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力 2. 如何作系统线性变换
3. 系统的对角规范形和约旦规范形描述
4. 代数重数、几何重数与约旦矩阵 5. 如何求矩阵的广义特征向量 建立空间概念, 可是学好控制 理论的关键喔
这些基底之间的关系为进行了一 次坐标变换,而空间中的点的
x
坐标则相当于作了一次相似变换。
如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系 下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)
xa xa y P y a a
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(5/8)
如何理解? 本章关键喔!
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(4/8)
状态变量是一组实变量,它们所组成 的状态空间为一个实线性空间。
y y' A(xa,ya) (x'a,y'a) x'
由线性代数知识可知,线性空间 中,随着表征空间坐标的基底的 选取的不同,空间中的点关于各 种基底的坐标亦不同。
实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下 对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并 不具有唯一性和不变性。 那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不 变的,是不随状态变量的选取不同而变化的? 线性定常系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。 系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影 响,决定了系统的基本特性。
这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。
一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成 一个坐标系,即相当于空间中的一个基底。 根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标 系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。
状态空间的线性变换(2/2)
下面分别讨论: 状态空间的线性变换 状态空间模型的线性变换
状态空间的线性变换(1/1)
1. 状态空间的线性变换
设描述同一个线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别 为 x [x1 x2 ... xn ]τ x [x1 x2 ... xn ]τ 由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系 ~ P 1 x x P~ x x 其中P为nn维的非奇异变换矩阵。
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(6/8)
引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了 上述两个问题: 1. 不同选取状态变量之间存在一个坐标变换,其相应的状 态空间模型之间也存在一个相应的相似变换。 2. 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则 在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成 某种特殊的状态空间模型。
系统特征值的不变性与系统的不变量(2/2)
下面我们将讨论系统经状态线性变换后,其特征值不变, 亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。 系统矩阵的特征值是一种描述系统本质特征的,并 具有唯一性的不变量,即不随状态变量的选取不同 而变化的不变量,它在系统分析和综合上起着重要 的作用。 重点喔 下面将分别讨论: 系统的特征值和特征向量 系统特征值的不变性 特征向量的计算 广义特征向量和特征向量链 难点喔!
即证明了A的特征多项式等于的A 特征多项式。
可见,系统经线性变换后,其特征值不变。
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8)
2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形
从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维 数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的, 如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的, 也可以为其他形式的。 即, 状态空间模型不具有唯一性。
系统特征值的不变性(1/2)
2. 系统特征值的不变性
系统的特征值表征了系统本质的特征。 而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述 而已,并未改变系统的本质。 刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而 改变,即有如下结论: 线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。
系统特征值的不变性(2/2)
系统的特征值和特征向量(1/4)
1. 系统的特征值和特征向量
状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标 系),系统的本质特征应保持不变。 对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系 统的基本特性。 特征值应是系统不变的本质特征之一。 系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保 持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。 下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。
上述状态变量向量x与 x 间的变换,称为状态的线性变换。
值得指出的是:
变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 x 间的变换 关系是等价的、唯一的和可逆的。
状态空间的线性变换(1/14)
2.状态空间模型的线性变换
设在状态变量x和 x下,系统状态空间模型分别为
x Ax Bu ( A, B, C , D) : y Cx Du x Ax Bu ( A, B, C , D) : y Cx Du
状态空间模型的线性变换和约旦规范形(8/8)
主要内容为: 状态空间的线性变换 系统特征值的不变性与系统的不变量 化状态方程为对角线规范形 化状态方程为约旦规范形
状态空间的线性变换(1/2)
2.4.1 状态空间的线性变换
对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建 立状态空间模型来描述它。 但是,这n个状态变量的选择却不是唯一的。
值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换, 对系统的输入和输出未作变换,因此
系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不 变。
系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2)
2.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量
由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状 态空间模型描述。
0 1 0 ~ A P 1 AP 0 2 0 0 0 3 ~ C CP [1 1 1]
3 ~ B P 1 B 6 3
状态空间的线性变换(14/14)
故系统在新的状态变量下的状态空间模型为
1 0 0 3 x 0 2 0 x 6 u 0 0 3 3 y [ 1 1 1 ]x
系统的特征值和特征向量(2/4) —特征值和特征向量定义
定义2-2 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组 Av=v 成立,则称为矩阵A的特征值,非零向量v为所对应的矩阵A的 特征向量。 将上述特征值的定义式写为 (I-A)v=0 其中I为n×n的单位矩阵。 因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的 充要条件为 |I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程,而|I-A|为A的特征多项式。