第三讲图像分析法

第三讲 图像分析法“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化；而图像分析法正是在这一学科特点的基础上发展而来，使用数形结合与数形分离的思想进行解题，题干中图像意义比较明显，丰富的问题，一般可用图像分析法求解.【调研】符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2e =，[]2.273-=-，新定义一个函数[]()f x x x =-，对于下列命题：①.函数()y f x =的定义域为，值域为[]1,0； ②.函数()y f x =为偶函数；③.函数()y f x =在上是增函数； ④.函数()y f x =是周期函数； ⑤.方程12y =有无数解，其中命题的正确个数为（ ） .答案：Ｂ分析：求解本例的关键是绘制新定义函数[]()f x x x =-的图像. 解读：∵ 符号[]x 表示不超过x 的最大整数，新定义一个函数[]()f x x x =- ∴ 对于函数[]()f x x x =-当[0,1)x ∈时，有[]0x =，∴()f x x = 当[1,2)x ∈时，有[]1x =，∴()1f x x =-当[2,3)x ∈时，有[]2x =，∴()2f x x =- ……… 故函数[]()f x x x =-的图像为：由图可知：函数的值域为[0,1)，且非奇非偶函数，()y f x =在区间(,1)n n +（n k ∈）上是单调增函数，所以命题①、②、③都是错误的命题，只有命题④、⑤是正确命题，即本题的答案为Ｂ. 【技巧点拨】函数图像与函数性质是函数的双翼，二者结合，使函数在数学天空任意驰骋.这包括两个基本方面：（）研究函数图像的性质，再绘制函数图像，在本书的《解答题专题》的第四讲的例１属于这一问题，这要求对数学有比较深刻的认识与理解；（）绘制函数图象，再由函数图像观察函数性质，属于“看图说话”问题，在本例运用到这一技巧. 【调研】已知向量(2,0)OB =,(2,2)OC =，(2,)CA αα=，则向量OA 与OB 的夹角范围为 ( ) .[0,]4π. 5[,]412ππ . 5[,]122ππ .15[,]1212ππ 答案：Ｄ解读：∵(2,2)OC =，(2,0)OB = ∴(2,0)B =，(2,2)C = ∵(2,)CA αα= ∴点A 的轨迹是以(2,2)C 为圆心,2为半径的圆.过原点O 作此圆的切线,切点分别为,M N ，连CM 、CN ，如图所示，则向量OA 与OB 的夹角范围是,MOB OA OB NOB ∠≤<>≤∠∵||22OC = ∴1||||||2CM CN OC == 知6COM CON π∠=∠=，但4COB π∠=∴12MOB π∠=,512NOB π∠=故5,1212OA OB ππ≤<>≤，即本题的答案为. 【方法探究】数形结合大致有以下两条途径：（）以数解形 通过对数量关系的讨论，去研究曲线的几何性质，这种思想在解读几何中最常见； （）以形助数 一些具有几何背景的数学关系或数学结构，如能构造与之相应的图形分析，则能获得更直观的解法，这种解题思想在函数、不等式、向量以及数列中都有体现，特别是方程解的个数，解不等式，求最值等问题中的应用更常见.【调研】（）已知椭圆191622=+y x ，则其内接三角形面积的最大值为（ ） 3 .93 3（）是抛物线2y x =上一点，N 是圆22(3)1x y -+=上的动点，则MN 的最小值是（ ） .1211- .1210- . ＋5 .23- 答案：（）Ｂ （）Ａ分析：本例两个小题都是解读几何的最值问题：对于第（）小题，因椭圆内接三角形没有直接的面积计算公式，无法先列函数式求最值；但对于圆而言，这却是轻而易举的事.那将椭圆的内接三角形向圆转化是求解本例的关键；对于第（）小题，求解的关键是将两动点距离MN 转化为抛物线上动点Ｍ到定点（圆心Ｃ）的距离问题.解读：（）如图椭圆191622=+y x 的长、短轴之比为∶ 将椭圆按113cos 4A B ABα==投影到平面M ，得到半径为3R =的圆1O ，圆内接正△111F E C 的面积最大，此时最大面积为24S '==∴椭圆内接三角形最大面积为43cos 3S α===（）如图设M 是2y x =上一点，MN ＋NC ≥MC，所以MN 的最小值即为点Ｍ到圆心的距离减去半第（）问径Ｒ.设2(,)y y 是抛物线2y x =上一点，则22224222511(3)59()24MC y y y y y =-+=-+=-+∴y =±时，min 2MC =∴min 12MN =- 【技巧点拨】解读几何最值问题是解读几何板块的最基本题型之一，这类问题大致有四条求解途径： （）利用圆锥曲线的定义，特别是圆锥曲线的第二定义求解； （）构造函数表达式后，再求最值，如本例第（）小题建立二次函数求MN 的最值；（）转化为对称问题求解，这类问题比较常规；（）构造特殊结构求解，如本例第（）小题，将椭圆倾斜，保证其投影为圆，将“椭圆内接三角形问题”转化为“圆内接三角形问题”求解，颇有参考意义..（湖南理－）设f x g x ()()、分别是定义在上的奇函数和偶函数，当x <0时，f xg x f x g x '()()()'()+>0且(3)0g -=，则不等式f x g x ()()<0的解集是（ ）.(3,0)(3,)-+∞ .(3,0)(03)-,.(,3)(3)-∞-+∞， .(,3)(03)-∞-，.不等式413a x +≤+的解集是[4,0]-,则a 的取值范围是（ ） .（5,-∞] .[+∞,35) .(5,-∞)),35[+∞⋃ .()0,∞.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( ) .18 C .无数个【参考答案】.答案：Ｄ解读：设F x f x g x ()()()=，则∵当x <0时，()()()()f x g x f x g x ''+[()()]()0f x g x F x ''==> ∴()F x 在(0)-∞，上是增函数∵f x g x ()()、分别是定义在上的奇函数和偶函数 ∴F x ()为奇函数又∵g ()-=30 ∴F f g ()()()-=--=3330又∵f x ()是奇函数 ∴f ()00=，F ()00= 故根据以上特点，不妨构造如图所示的符合题意的函数()F x 的图象，由图直接观察出所求解集是(,3)(03)-∞-，，所以本题的答案为Ｄ..答案：Ａ解读：设1y =2413y x a =+-，在同一坐标系内作1y 及2y 的图象，1y 的图象是半圆22(2)4x y ++=(0y ≥)，2y 的图象是斜率为34的直线系.依题意得，2y 的图象必须在如图的切线上方，而圆心（－，）到直线43x y -+(33)0a -=的距离83325ad -+-=≥必须成立，解得5a ≤-. . 答案： 解读: 由(2)()f x f x +=知()y f x =是以周期2T =的周期函数.又∵(1,1]x ∈-时()||f x x = ∴可作出函数()y f x =、lg ||y x =的图像如下图所示. ∴由图象可得函数()y f x =、函数lg ||y x =的交点的个数左右边有个，共计个.第四讲 特例检验法特例检验法（也称特例法或特殊值法）是用特殊值（特殊图形、特殊位置）代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而作出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.特例检验法是解答选择题的最佳策略之一，适于解答“对某一集合的所有元素，某种关系恒成立”这样类以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，从而达到肯定一支或否定三支（去谬）的目的，完成“小题小做”或“小题巧做”的解题策略. 【调研】定义在区间R 的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图象与()f x 的图象重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）①()()()()f b f a g a g b -->--； ②()()()()f b f a g a g b --<-- ③()()()()f a f b g b g a -->--； ④()()()()f a f b g b g a --<-- .①与④ .②与③ .①与③ .②与④答案：解法一：图像分析法任作奇函数()f x 的图像如图，偶函数()g x 在第象限与函数()f x 重合，所以偶函数()g x 也相应确定. ∴()()()()()()()()f b f a f b f a f a f b g a g b --=+>-=--()()()()()()()()f a f b f a f b f b f a g b g a --=+>-=--∴ 本题的答案为Ｃ.解法二：直接对照法 由函数奇偶性概念知()()()()()0f b f a g a g b f b -->--⇔>；()()()()()0f b f a g a g b f b --<--⇔< ()()()()()0f a f b g b g a f a -->--⇔>；()()()()()0f a f b g b g a f a <----⇔<∵()(,)y f x x =∈-∞+∞是奇函数 ∴(0)0f =∵()y f x =在(0,)+∞上是增函数0a b >> ∴()()0f a f b >>故本题的正确答案为Ｃ. 解法三：特例检验法（取特殊函数）令奇函数()f x x =，偶函数()||g x x =，同时令2a =，1b =，则给出的个不等式分别是①31>；②31<；③31>-；④31<-由②不成立，排除、，又④不成立，排除.【方法探究】本例是一道经典题，至今仍散发活力，综合考查函数奇偶性、单调性；试卷比较长，数学符号多，兼考查阅读、理解能力，对综合应用数学知识，解决数学问题的能力要求较高.在本例所给的三种解法中，显然第三种取特殊函数比较简洁，出错概率相对小些，求解速度相对快些. 【调研】设函数3()f x x =，若02πθ≤≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）Ａ．（，） Ｂ．（－∞，） Ｃ．（－∞，） Ｄ．（－∞，21） 答案：Ｃ解法一：直接对照法∵函数3()f x x =是奇函数，又是上的增函数又∵(cos )(1)0f m f m θ+-> ∴(cos )(1)f m f m θ>-，即有cos 1m m θ>- 令cos μθ=，由02πθ≤≤知01μ≤≤，则(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立问题转化为函数()(1)f mu m μ=+-（01μ≤≤）恒成立问题∴(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即1m < 故本题的答案为Ｃ解法二：特例检验法令0m =时，有(0)(1)10f f +=>成立，从而排除、 又12m =时，（3111(cos )()(cos 1)0228f f θθ+=+>成立，从而排除. 【方法探究】本例综合考查函数单调性、奇偶性、恒成立问题的处理方法，具有一定的综合性，这种“小题综合化”是现代数学新高考的一个重要趋势.求解这类题目常常有两条求解策略：（）常规解法 在扎实的数学基本功和较好的耐心下，每步稳扎稳打，讲究思维严密，环环相扣，但常常有“小题大做”的嫌疑，费劲又费时；（）非常规解法 分析这类小题的特点，采用特值验证、数形结合、构造模型等技巧，快速求解，不追求思维严谨，讲究策略，力争“小题小做”，甚至“小题巧做”.一般地说，求解这类小题，首先思考第二条策略，看看是否可以巧解，不到万不迫已不采用第一条求解策略，正所谓“磨刀不误砍柴功”！！.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） Ａ.１个 Ｂ个 Ｃ个 Ｄ个.已知,,a b c 为等比数列，b ，m ，a 和b ，n ，c 是两个等差数列，则a cm n+＝（ ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ.过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11（ ） .a 2 .a 21 .a 4 .a4 .已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，1-≠λ，λλα++=121x x ，λλβ++=112x x ，若12|()()||()()|f x f x f f αβ-<-，则（ ）.0<λ .0=λ .10<<λ .1≥λ 【参考答案】 .答案：Ｄ 解读：构造特殊模型在正方体中，四棱锥M ABCD -的四个侧面中，直角三角形最多可有个，故本题的答案为Ｄ..答案：Ｃ 解读：构造特殊数列令等比数列,,a b c 为常数列，显然m n a b c ==== ∴2a cm n+= 取等比数列,,a b c 为，，，则3m =，6n = ∴2a cm n+= .答案：Ｃ解读：取特殊位置令⊥时，则1||||2PF FQ a== ∴11224a a a p q +=+=..答案：Ａ解读：取特殊数值令0=λ，1x =α，2x =β，则|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-不成立，从而排除； 令10<<λ或1≥λ时，βα,是以x 轴上以数1x ，2x 为端点的线段的内分点． 作图可知|)()(||)()(|21βαf f x f x f ->-，从而排除、.第五讲 逆向思维法逆向思维是指由果索因，追溯推理，经中间状态回到初始状态，从而最终解决中心问题的思维方法.凡选择题的题干提供信息较少或结论是一些具体的数字时，我们可以考虑用逆向Ａ ＢＣ Ｄ Ｍ思维进行推理，从选择肢入手，逐一验证是否与题干相容而作出选择. 【调研】（）若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是 （ ） Ａ.三棱锥 Ｂ.四棱锥 Ｃ.五棱锥 Ｄ.六棱锥（）某地对空导弹击中目标的概率是％，至少以（ ）枚这样的导弹同时发射一次，才能使击中目标的概率超过％. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 答案：（）Ｄ （）Ｂ分析：对于第（）小问，正向思考难以着手，可以借助反证法，逆向进行探讨；对于第（）小问，设同时发射n 枚导弹，由题意知有枚导弹击中、或枚导弹击中，……，都是符合要求的，分类情况比较多，采取“正难则反”策略，逆向思考.分析：（）假如是六棱锥，则这个六棱锥的底面外接圆半径、底面边长、侧棱长都相等，这是不可能的.故答案为Ｄ.（）∵n 枚导弹都未击中目标的概率为0.1n ∴至少有一枚导弹击中目标的概率为10.1n -∵击中目标的概率超过％ ∴10.199%n-≥，即有答案Ｂ.【技巧点拨】本例两小问分别利用反证法、补集思想进行逆向思考，做题的效率大大提高.在中学数学中，逆向思维主要有以下四种方式：（）利用反证法进行逆向思维； （）利用补集思想进行逆向思维； （）利用可逆原理进行逆向思维； （）利用选择题特征，进行逆向检验.【调研】过点(1,1)A -、(1,1)B -，且圆心在直线20x y +-=上的圆方程是（ ）Ａ.22(1)(1)4x y -++= Ｂ．22(3)(1)4x y ++-= Ｃ.22(1)(1)4x y -+-= Ｄ. 22(1)(1)4x y ++-= 答案：Ｃ解法一：直接对照法（设圆的标准方程）设圆的方程为()()x a y b r -+-=222，则222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩解之得a b r ===12，，故本题的答案为Ｃ． 解法二：直接对照法（设圆的一般方程）设圆的方程为22x y Dx Ey F ++++＝，则20202022D E F D E F D E⎧⎪+-+=⎪-++=⎨⎪⎪---=⎩解之得2D E F ===-，故本题的答案为Ｃ.解法三：直接对照法 (利用圆的定义)∵圆心在直线20x y +-=上 ∴设圆心为(,2)a a -又∵A 、Ｂ在圆上 1a =∴该圆的圆心为(，)，排除Ａ、Ｂ、Ｃ． 解法四：直接对照法（分析圆心位置）所求圆的圆心应在线段ＡＢ的垂直平分线（即一、三象限的角平分线）上，又在直线20x y +-=上，显然交点（即圆心）在第一象限内，故本题的答案为Ｃ. 解法五：逆向思维法由选项Ｂ、Ｄ的圆心坐标不在直线20x y +-=上，故排除Ｂ、Ｄ；又由选项Ａ的圆不过点B ()-11，，从而排除Ａ． 【方法探究】本例所给的五种解法中，解法一与解法二分别利用圆的标准方程和一般方程求解，计算量大，这与一道解答题没有任何区别，属于“小题大做”； 解法三与解法四从圆心着手，充分抓住题目隐性特征，计算量小，属于“小题小做”； 解法五逆向入手，检验选项是否符合要求，充分把握选择题的特征，属于“小题巧做”..设集合{}22A x x x R =-≤∈，{}2|12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于（ ）.R .{},0x x R x ∈≠ .{}0 .∅.某校按淘汰赛制举办了第届校篮球运动会，全校共有个教案班，则本届篮球运动会需安排（ ）场比赛.Ａ Ｂ.248C Ｃ.248A Ｄ.命题p ：不等式关于x 的表达式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集相同命题q ：212121c c b b a a ==，则命题q 是命题p 的（ ）.充分非必要条件 .必要非充分条件 .充要条件 .既非充分又非必要条件 【参考答案】.答案：Ｂ解法一：回归定义{}{}2202A x x x R x =-≤∈=≤≤{}{}2|1240B y y xx y ==--≤≤=-≤≤ ∴ (){0}R R C A B C =.解法二：特值检验0x =时 0A ∈ 0B ∈ 即0()A B ∈，则()0R C A B ∉ 排除、10x =时 10A ∉ 10B ∉ 即10()A B ∉，则 ()10R C A B ∈ 排除.点拨：求解集合问题有两条途径：①直接求解；②特值排除；其中以选择题形态出现的集合问题常常用特值检验，效率更高. .答案：Ｄ 解法一：常规解法第一轮要举行场，留下个班；第二轮要举行场，留下个班；第三轮要举行场，留下个班；第四轮要举行场，留下个班；第五轮要举行场，留下个班，一个班轮空；最后进行冠亚军决赛，共进行＋＋＋＋＋＝.解法二：逆向思考 每场比赛淘汰一个班级，需淘汰个班才能产生冠军，所以共进行场比赛..答案：Ｄ解读：设不等式210x x ++>和210x x -+>，表明必要条件不成立，又设不等式210x x ++>和210x x --->，则充分条件也不成立，所以本题的答案为Ｄ.第六讲 综合运用法解任何一道选择题目，解法都不是单一的.由选择题的特性决定了其解法的多样性，所以求解选择题，选对就行，常常“不择手段”，无论用什么“策略”，“手段”都是无关紧要.在求解选择题过程中，常常同时采用几种方法进行分析、推理，联合作战，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确．．和快速．．. 【调研】已知)0,0(A ，),(b a B 两点，其中0≠ab ，1P 是AB 的中点，2P 是1BP 的中点，3P 是21P P 的中点，…，2n P +是1+n n P P 的中点，则点n P 的极限位置是（ ）.)2,2(ba .)53,53(b a .)32,32(b a .)43,43(b a 答案：Ｃ解法一：直接求解设),(n n n b a P ，则由2+n P 是1+n n P P 的中点得212n n n a a a +=++，212nn n b b b +=++ 由特征方程0122=--x x 得211-=x ，12=x ∴t p a n n +-=)21(，a t p =+-0)21(，2)21(1a t p =+- ∴3a p =，32at =∴]2)21[(3+-=n n a a 故32lim a a n n =∞→，同理32lim bb n n =∞→解法二：寻找规律数列{}n a 的前几项依次是： 0，a ，2221a a a a a =-==，412a a a +=，823aa a -=，…， 于是a a a n n n )21(1-+=-，即a a a nn n )21(1-=--∴])21(84[2)()()(123121a a a a a a a a a a a a nn n n -++-+=-++-+-+=-∴3221142lim aa a a n n =++=∞→ 解法三：数形结合作为选择题，可以先画一条如图的线段，再进行观察：∵)0,0(A ，),(b a B ，1P 是AB 的中点 ∴1P 的坐标为1(,)22a b P ，可排除选项.ＡＢ1P2P3P 4P又∵2P 是1BP 的中点 ∴1P 的坐标为233(,)44a bP ，可排除选项.∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴3P 是12P P 的中点，即355(,)88P a b ；4P 是23P P 的中点，即41111(,)1616P a b ∵2n P +是1+n n P P 的中点 ∴极限点n P 应在3P 与4P 之间，从而排除Ｄ. 【方法探究】本例所给的三种解法中：解法一是作为解答题求解，推理严密，环环相扣，但比较费时； 解法二相对简洁，罗列各点，寻找规律，逻辑性差些，但速度快； 解法三紧扣选择题特点，运用排除法，准确、快速求解. 本例作为选择题，更推荐第三种解法，又快有准！！ 【调研】设0x π<<，则函数xxy sin cos 2-=的最小值是( )C .3 3答案：Ｃ分析：本例属于分式型三角函数最值问题，有多条求解途径：或转化为正弦型函数sin()y A wx B φ=++最值问题求解，或平方后再利用判别式求解，或利用万能代换转化为一般函数的最值问题求解，当然也可以采用数形结合.具体求解过程如下： 解法一：直接对照法（利用三角函数的有界性求最值） ∵xx y sin cos 2-=∴sin cos 2y x x +=，即2)sin(12=ϕ++x y又∵1)sin(≤ϕ+x ∴212≥+y ，即32≥y∵0x π<<∴y ≥min y =解法二：直接对照法（平方后，再利用判别式求解） ∵xx y sin cos 2-=∴22(sin )(2cos )y x x =-将上式整理得222(1)cos 4cos (4)0y x x y +-+-=△＝22164(1)(4)y y -+-＝224(3)y y -0≥∵0x π<<∴y ≥，即min y =解法三：直接对照法（利用万能代换转化为常规函数求最值问题）设tan 2x t =，则22212121t t t y t --+=+13t 2t 2=+≥= 故3 （当且仅当13t 2t 2=，即t =332tan =x ，即3π时，取等号） 解法四：数形结合法如图的单位圆中，MOP x ∠=（其中),0(π∈x ），P (cos ,sin )M x x ，)0,[cos 2sin 0PA PMk xxk ∈--= ∵1OA =，2OP =，且OA AP ⊥ 故3AOP π∠=，56APt π∠=∴33tan -=∠=APt k PA ，即 3PM k ≥-∵xxy sin cos 2-=PM k 1-= ∴min min 1()PM y k =-=【技巧点拨】求解三角函数的最值问题是历届高考的热点题型之一，此类问题大致有以下五条求解途径： （）利用三角函数的值域或有界性求最值；（）利用配方法转化为二次函数的最值问题；（）利用换元法转化为某种常规的函数最值问题（）合理匹配，利用均值不等式求解；（）合理构造模型，利用数形结合求解.【调研】已知函数f x ax bx cx d ()=+++32的图像如下图所示，则（ ）.b ∈-∞()，0 .b ∈()01，.b ∈()12， .b ∈+∞()2，答案：Ａ分析：由图像过特殊点等特征有：（）由过坐标原点有(0)0f =，即d =0；由过点（，）有f ()10=，即a b c ++=0；由过点（，）有f ()20=，即8420a b c ++=；（）函数()y f x =与x 轴的交点的横坐标为，，，所以可设函数为()(1)(2)f x ax x x =--；（）当(0)(12)x ∈-∞，，时，f x ()<0 ∴f ()-<10得-+-<a b c 0；当(01)(2)x ∈+∞，，时，f x ()>0 ∴f ()30>得a >0.巧妙合理地运用以上信息，有以下三种简洁解法：解法一：直接对照法∵a b c ++=0 -+-<a b c 0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ. 解法二：直接对照法由上分析知a b c ++=0，8420a b c ++= ∴b a =-3∵a >0 ∴0b < 故本例的答案为Ａ.解法三：特例验证法取特殊函数f x x x x ()()()=--12得b =-<30 故本例的答案为Ａ.【技巧点拨】求解与函数图像相关联问题，注意分析图形特征，抓图形过特殊点、特殊位置或特殊范围等，往往能优化解题过程，提高解题速度与准确程度..若sin cos θθ+=1，则对任意实数n n n ，sin cos θθ+的取值为（ ）. . 区间（，） . 121n - . 不能确定.不等式|1||2|x x a -++≤的解集非空, 则实数a 的取值范围是（ ）.3a ≥ .3a > .4a ≤ .4a ≥.函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是（ ） .2(0)21x x y x =>- .2(0)21x x y x =<- .21(0)2x x y x -=> .21(0)2x x y x -=< .在AOB ∠的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点(均除O 点外)，连同O 点共1m n ++个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ).121211m n n m C C C C ++⋅+⋅ .1212m n n m C C C C ⋅+⋅.121211m n n m m n C C C C C C ⋅+⋅+⋅ .122112m n m n C C C C ++⋅+⋅ .已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为，若过点且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）.(1,2] .(1,2) .[2,)+∞ .(2,)+∞【参考答案】.答案：解法一 设点(sin cos )P θθ，，注意隐含条件sin cos 221θθ+=∴此点满足22sin cos 1sin cos 1θθθθ+=⎧⎨+=⎩ ∴sin cos sin cos θθθθ==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩0110或∴sin cos 1n n θθ+= 解法二 用赋值法，令sin cos θθ==01， 同样有sin cos n n θθ+=1.答案：Ａ解法一：数形结合 运用零点分段法作出函数图像求解，比较麻烦.解法二：特值检验 令3a =时，0x =满足条件，答案中应包含3a =，排除、，再令5a =时，0x =也满足条件，故排除.解法三：运用结论 |1||2||12|3x x x x -++≥-++= ∴本题的答案为Ａ..答案 解法一 回归定义∵ 1x > ∴11111x x x =+>-- 即2log 01x y x =>-∵ 2log 1x y x =-∴221y y x =-对换x y 、得221x x y =-∴ 函数2log (1)1x y x x =>-的反函数为2(0)21x x y x =>-. 解法二 特值排除∵ 函数2log (1)1x y x x =>-过点(2,1)P ∴函数2log (1)1x y x x =>-反函数过点P (1,2)'，排除、、..答案：Ｃ解法一 直接求解“任取其中三个点为顶点作三角形”可分三类：（）从OA 边上(不包括顶点O )中任取一点与从OB 边上(不包括顶点O )中任取两点，可构造一个三角形，有12m n C C ⋅个；（）从OA 边上(不包括顶点O )中任取两点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，可构造一个三角形，有21m n C C ⋅个；（）从OA 边上(不包括顶点O )任取一点与OB 边上(不包括顶点O )中任取一点，与顶点O 点可构造一个三角形，有11m n C C ⋅个.解法二 间接求解从1m n ++中任取三点共有31m n C ++个，其中三点均在射线OA (包括顶点O 点)，有31m C +个，三点均在射线OB (包括顶点O 点)，有31n C +个.∴可作的三角形有333111m n m n N C C C ++++=--个.可以检验与答案是一致的，但过程比较繁琐，所以本题不宜用此法求解.解法三 逐项排除在选择支A 中有不合要求的三点，如121m n C C +⋅中包括有O 、i B 、j B （i B 、j B 表示直线OB 边上不同于O 点）三点不能构成三角形，应排除；在选择支B 中漏掉△j OB i A ，应排除；在选择支D 中有重复的三角形.如121m n C C +⋅中有△j OB i A ，而212m n C C +⋅中也有△j OB i A ，重复计算，应排除..答案 解法一：特值排除过焦点且倾斜角为060的直线l为y =-令2e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线是y =，此时与直线l 平行 ∴ 直线l 与双曲线的右支交于一个点，从而排除、；令4e =时，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>即为22221616115x x c c-=∴22221616115)x x c c y x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩∴ 2219296630x c x c +⋅-= ∴两根之积212630192c x x ⋅=-< ∴直线l 与双曲线的右支交于一个点.从而排除. 解法二：数形结合∵要满足“直线l 与双曲线的右支交于一个点”有两种可能 （）渐近线b y x a=； （）过焦点的直线l 平行或从该位置绕原点按逆时针旋转时∴b a ≥不难算出 2e ≥。