1.4 全概率公式与贝叶斯公式

10 领域中有着广泛应用。
例题和解答
例3 某地区甲种疾病的发病率为0.0035。现有一种检 验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5%；对 无甲种疾病者用此检验法误诊为甲种疾病患者的概 率为1%。在一次健康普查中，某人经此检验法查为 患有甲种疾病，求此人确实患甲种疾病的概率。
解: 设 A=“患有甲种疾病”， B=“查出有甲种疾病”
18
3
P(B) C21 9! 0.2 10!
全概率公式
定理1.4.1 设{B1, B2, , Bn, } 是一个完备事件组，且
P(Bi ) 0, i 1,2, , n, , 则对于任何一个事件A, 有
P( A) P(Bi )P( A| Bi ).
i 1
证明：因为 A A A( Bi ) ABi , 所以
§1.4 全概率公式与贝叶斯公式
§1.4.1 全概率公式 §1.4.2 贝叶斯公式
1
§1.4.1 全概率公式
全概率公式的基本思想：对于计算较复杂事件 的概率，可先把它分成一些互不相容较简单事件 的和，通过分别计算这些较简单事件的概率，再 利用概率的可加性，得到较复杂事件的概率。
2
引例 10张抽奖券中有两张有奖, 甲乙两人先后从中 随机抽取一张。甲先抽, 问乙中奖的概率是多少? 解：设A=“乙中奖”， B= “甲中奖”，则
3
P( Ai )P(B | Ai )
3
P(B) P( AiB
0.09 0 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1
类似地可以计算 P( A2 | B) 0.537, P( A1| B) 0.157;
14
课堂练习
1. 在数字通讯中，发报机分别以0.7和0.3的概率发 出信号“1”和“0”。由于存在随机干扰，当发出 “1”时，收到“1”和“0”的概率分别为90%和10%； 发出“0”时，收到“0”和“1”的概率分别为80%和 20%。现已知收到信号“1”，问发出的确实是信号 “1”的概率。
A A AB AB, P( A) P( AB) P( AB) ( AB AB )
P(B)P( A| B) P(B)P( A| B)
2 1 8 2 18 0.2 10 9 10 9 90
注意：B与B构成一个完备事件组。
另解：直接利用古典概型，将此试 验看作10张抽奖券在排队，求第二 个位置上是有奖券的概率，则
解：设A=“该商品为次品”
Bi =“第i个厂家产品”, i 1,2, 3;
则B1, B2, B3构成一个完备事件组。所以
3
P( A) P3(B1 A B2 A B3 A) P(Bi A)
P(Bi )P( A| Bi )
i1
学会设 事件
i1
0.5 0.02 0.25 0.02 0.25 0.04 0.025
3
P( A3)Ai PB(C. 1C2C3 ) 0.4 0.5 0.7 0.14;
P(iA12) 1 P( A0) P( A1) P( A3) 1 0.09 0.36 0.14 0.41;
再由贝叶斯公式, 得:
注：可直接
P( A3 | B)
P( A3)P(B | A3)
P(Bk | A)
P(Bk )P( A| Bk )
;
k 1,2,
, n,
P(Bi )P( A| Bi )
i 1
证明: 由条件概率的公式:
对分子用乘法公式
对分母用全概
P ( Bk
|
A)
P(Bk A) P( A)
P(Bk )P( A| Bk ) . 率公式
P(Bi )P( A| Bi )
9
i 1
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知：P(B0)=0.8，P(B1)=0.1，P(B2)=0.1
P(A | B0) 1
P( A | B1)
C4 19
C4 20
4 5
由贝叶斯公式:
P( A |
B2 )
C4 18
C4 20
12 19
P(B1 | A)
P(B1)P( A | B1)
2
P(Bi)P( A | Bi)
0.81
0.1 4 5 0.1 4 5
0.112 19
0.0848
P(B0
|
A)
i0
P(B0 )P( A | B0 )
2
P(Bi )P( A | Bi )
0.81 0.81 0.1 45 0.11219
0.848
i0
17
作业 习题1.4
P24 (2) (7) (12)
答案：21/23
15
课堂练习
2.某超市论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0， 1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一 箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这 一箱。求
(1)这一箱实际上含有一个次品的概率是多少？ (2)这一箱确实没有次品的概率？
16
解：设A＝“从一箱中任取4只检查，结果都是好的”
6
例题和解答
例2 10个乒乓球中7个新球，第一次随机地抽取出2个， 用完后放回去，第二次又随机地抽取出2个。问第二 次取到几个新球的概率最大？
解：设Ai =“第一次取到i个新球”, i 0,1, 2; Bi =“第二次取到i个新球”，i 0,1, 2;
2
P(B2 ) P( Ai )P B2 | Ai
P( A| B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
＝
0.0035 0.95
＝25％
0.0035 0.95 0.9965 0.01
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例题和解答
例4 甲、乙、丙三人同时向一架飞机射击，它们击 中目标的概率分别为0.4，0.5，0.7; 假设飞机只有1 人击中时，坠毁的概率为0.2；若有2人击中，坠毁 的概率为0.6；而飞机被3人击中时，一定坠毁。现 在若发现飞机已被击中坠毁，请计算它是由3人同时 击中的概率。
i 0
C32 C7 2C7 13C16 C27 C25 C02.29
C2 C2 C2 C2 C2 C2
10
10
10
10
10
10
同理可求出
P(B0 ) 0.17; P(B1 ) 0.54
7 因此，第二次取到1个新球的概率最大。
§1.4.2 贝叶斯公式
在例2中，若发现第二次取到的是两个新球，计算 第一次没有取到新球的概率？
出现，适当去构造这一组Bi往往可以简 化计算。
• ★使用全概率公式的关键：找出与事件A相联系的一 • 组完备事件组。 • ★全概公式中的“完备事件组”可以放宽为
B1, B2 , , Bn ,
5
互不相容，且 Bi A.
i 1
例题和解答
例1 市场上某种商品由三个厂家同时供货，其供应 量，第一个厂家为第二个厂家的2倍，第二、第三 两个厂家相等，而且各厂产品的次品率依次为2%、 2%、4%，求市场上供应的该种商品的次品率？
解:
P( A | B ) P( A0B2 ) P( A0)P(B2 | A0) 0.11
02
P(B2 )
P(B2 )
注：本例题中条件概率的计算问题可以概括为 一般的模型，得到贝叶斯公式。
8
贝叶斯公式
定理1.4.2 设{B1, B2, , Bn, } 是一个完备事件组，且 则对于任何一个事件A有
分析：飞机被击中坠毁有3种原因（1人击中坠毁、 2人击中坠毁、3人击中坠毁）; 问题: 用全概率公 式还是贝叶斯公式？
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例题和解答
解: 设 Ai=“3人中有i人击中飞机”, i=0,1,2,3; B=“飞机被击中坠毁”; A0, A1, A2, A3 构成完备事件组,
根据题设条件, 得:
P(B | A0) 0, P(B | A1) 0.2, P(B | A2) 0.6, P(B | A3) 1; 设 C1,C2 ,C3分别表示甲、乙、丙击中飞机, 它们是相互 独立的, 由题设可知: P( A0) P(C1C2C3 ) P(C1 )P(C2 )P(C3 )
i 1
i 1
P( A) P i1 ABi i1 P
ABi
P(Bi )P A | Bi .
i1
4
全概率公式的几点说明
• ★P(A)被分成许多部分之和，因此P(A)可以认为是 • “全部”概率，故称为全概率公式。 • ★在较复杂的情况下直接计算P(A)不容易，但A总是 伴随着某个Bi
1 P(C1 )1 P(C2 )1 P(C3 ) 0.6 0.5 0.3 0.09;
P( A1) P(C1C2C3 ) P(C1C2C3 ) P(C1C2C3 ) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36;
13
例题和解答
贝叶斯公式的注解
★ P(Bk|A)是在有了新的信息（知道 A 发生），人们 对各事件Bk 发生可能性大小的认识， 称之为后验 概率或逆概率；
★ P(Bi)是在没有进一步信息（不知道事件A是否发 生）的情况下，人们对各事件Bi 发生可能性大小 的认识，称之为先验概率。
★该公式于1763年由贝叶斯（Bayes）提出，贝叶斯 公式以及由此发展起来的一整套理论与方法, 称之 为“贝叶斯统计”, 在自然科学及社会经济的许多