新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课时分层训练
高三数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件
解析：(1)由于 f(x)有两个零点 0 和－2， 所以可设 f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)。 这时 f(x)＝ax(x＋2)＝a(x＋1)2－a， 由于 f(x)有最小值－1，
所以必有－a>a0＝，－1， 解得 a＝1。 因此 f(x)的解析式是 f(x)＝x(x＋2)＝x2＋2x。
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(2)若 g(x)与 f(x)图象关于原点对称，求 g(x)解析式。 解析：(2)设点 P(x，y)是函数 g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点 P′(－x， －y)必在 f(x)图象上， 所以－y＝(－x)2＋2(－x)， 即－y＝x2－2x，y＝－x2＋2x， 故 g(x)＝－x2＋2x。
解析：因为函数 f(x)＝4x2－mx＋5 的单调递增区间为m8 ，＋∞，所以m8 ≤2，即 m≤16。
答案：(－∞，16]
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5．设函数 f(x)＝mx2－mx－1，若 f(x)＜0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 __________。
m＜0， 解析：当 m＝0 时，显然成立；当 m≠0 时，Δ＝－m2＋4m＜0， 解得－4＜m ＜0。 综上可知，实数 m 的取值范围是(－4,0]。 答案：(－4,0]
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►名师点拨 二次函数解析式的求法 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： (1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与 x 轴两交点坐标，宜选用两根式。
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通关特训 2 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根平方和等于 17。 求 f(x)的解析式。 解析：依条件， 设 f(x)＝a(x－1)2＋15 (a<0)， 即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15。 令 f(x)＝0，即 ax2－2ax＋a＋15＝0， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋1a5。 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－21＋1a5＝2－3a0＝17， ∴a＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4x＋13。
(浙江专版)高考数学一轮复习(回扣主干知识+提升学科素养)第二章 第四节 二次函数与幂函数教案 文
第四节 二次函数与幂函数【考纲下载】1．了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质1．函数y ＝(x ＋1)3，y ＝x 3＋1，y ＝x 都是幂函数吗？ 提示：y ＝(x ＋1)3与y ＝x 3＋1不是幂函数；y ＝x 是幂函数． 2．幂函数的图象能出现在第四象限吗？提示：不能．因为当x ＞0时，根据幂运算，幂函数y ＝x α＞0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象．3．ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)与ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件分别是什么？ 提示：(1)ax2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.1．已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝x解析：选B 设f (x )＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎪⎫33α，∴α＝－2.即f (x )＝x －2. 2．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4所对应的n 依次为2，12，－12，－2.3．函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(－5，－3)上( ) A ．先减后增 B ．先增后减 C ．单调递减 D ．单调递增解析：选D 因为f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，所以2m ＝0，即m ＝0.所以f (x )＝－x 2＋3.由二次函数的单调性可知，f (x )＝－x 2＋3在(－5，－3)上为增函数．4．已知f (x )＝4x 2－mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 8，＋∞，所以m8≤2，即m ≤16.答案：(－∞，16]5．设函数f (x )＝mx 2－mx －1，若f (x )＜0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝－m 2＋4m ＜0，解得－4＜m ＜0.综上可知，实数m 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]数学思想(二)分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．[典例] (2014·运城模拟)已知x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，则实数a的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(0,4)[解题指导] f (x )＞0恒成立⇔f (x )min ＞0.求函数f (x )＝x 2－ax ＋a2的最小值应抓住问题中的区间两端点与对称轴的位置关系进行分类讨论，结合图象和函数的单调性及恒成立条件建立关于a 的不等式求解．[解析] 二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a2，又 x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2－ax ＋a2＞0恒成立，即f (x )最小值＞0.①当a 2≤－1，即a ≤－2时，f (－1)＝1＋a ＋a 2＞0，解得a ＞－23，与a ≤－2矛盾；②当a 2≥1，即a ≥2时，f (1)＝1－a ＋a2＞0，解得a ＜2，与a ≥2矛盾； ③当－1＜a2＜1，即－2＜a ＜2时，Δ＝(－a )2－4·a2＜0，解得0＜a ＜2.综上得实数a的取值范围是(0,2)．[答案] A[题后悟道] 二次函数求最值问题，一般先用配方法化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ， n )和对称轴方程x ＝m ，结合二次函数的图象求解．常见有三种类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点含参数(即顶点为动点)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外；(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数．讨论的目的是确定对称轴和区间的关系，明确函数的单调性，从而确定函数的最值．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． 解析：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.答案：38或－3。
(浙江专用)高考数学一轮复习 2-4二次函数与幂函数课件 理
(×)
1 2．(2015· 湛江二模)若关于 x 的方程 x ＋mx＋4＝0 有两个不相
2
等的实数根，则实数 m 的取值范围是 ( A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) )
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2) 解析 1 因为关于 x 的方程 x ＋mx＋ ＝0 有两个不相等的实 4
2 2
1 数根，所以 Δ＝m －4×4×1＞0，即 m2＞1，解得 m＜－1 或 m＞1，故选 B. 答案 B
3. 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为 ( 9 A．9 B.2 解析 ＝ 3 2 C．3 D. 2 )
因为 3－aa＋6＝ 18－3a－a2
32 81 －a＋2 ＋ 4 ，由于－6≤a≤3，
上单调递减； 在
b x∈－2a，＋∞
在 在
b x∈－∞，－2a上单调递增； b x∈－2a，＋∞上单调递减
上单调递增 对称性 b 函数的图象关于 x＝－2a对称
• 2.幂函数 • (1)幂函数的定义 α y ＝ x • 一般地，形如 的函数称为幂函数， 其中x是自变量，α为常数． • (2)常见的5种幂函数的图象
• (3)常见的5种幂函数的性质
y＝x 定义 域 值域 奇偶 性 R R [0，＋ ∞) 偶 R y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 {x|x∈R， 且 x≠0}
[0，＋∞)
R
R
[0，＋∞)
{y|y∈R， 且y≠0}
奇
奇
奇
非奇非偶
单调性 增
(－∞，0]减，
(－∞，0)减， 增 增 (0，＋∞)减
高考数学浙江专版(理)一轮复习：第2篇 第4讲 二次函数与幂函数.pdf
第4讲 二次函数与幂函数 分层A级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )． A．f(x)＝－x2－x－1 B．f(x)＝－x2＋x－1 C．f(x)＝x2－x－1 D．f(x)＝x2－x＋1 解析 设二次函数解析式为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，根据题意得 则解得f(x)＝x2－x＋1.故选D. 答案 D 2．(2013·山东实验中学模拟)如图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )． A．y＝x，y＝x2，y＝x，y＝x－1 B．y＝x3，y＝x2，y＝x，y＝x－1 C．y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1 D．y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1 解析 由图象知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R，当x>0时，图象是向下凸的，结合选项知选B. 答案 B 3．(2012·青岛模拟)设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝－1.5，则( )． A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y3>y2 D．y1>y2>y3 解析 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝21.5， y1>y3>y2. 答案 C 4．(2013·哈尔滨模拟)幂函数f(x)＝x3m－5(mN)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )． A．0 B．1 C．2 D．3 解析 由f(－x)＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，排除A，C.但当m＝3时，f(x)＝x4在(0，＋∞)上为增函数，排除D.故选B. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设α，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为________． 答案 {1,3} 6．(2012·北京西城二模)已知函数f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，则实数b＝________，不等式f(x－1)<x的解集为________． 解析 因为f(x)＝x2＋bx＋1是R上的偶函数，所以b＝0，则f(x)＝x2＋1，解不等式(x－1)2＋1<x，即x2－3x＋2<0，得1<x<2. 答案 0 {x|1<x2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1.f(x)＝ax2＋bx＋1.又f(x＋1)－f(x)＝2x，a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，即2ax＋a＋b＝2x，∴ 因此，f(x)＝x2－x＋1. (2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m1)． (1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值； (2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围． 解 (1)f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， f(x)在[1，a]上是减函数．又定义域和值域均为[1，a] 即解得a＝2. (2)f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，a≥2. 又x＝a[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. 对任意的x1，x2[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4， f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，2≤a≤3. 分层B级 创新能力提升 1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(a<b)，并且α，β是方程f(x)＝0的两根(α0，a>4，由于a为正整数，即a的最小值为5. 答案 C 3．(2013·淮南调研)已知a是正实数，函数f(x)＝ax2＋2ax＋1，若f(m)<0，试比较大小：f(m＋2)________1.(用“”连接) 解析 根据已知条件画出f(x)图象如图所示．因为对称轴方程为x＝－1，所以(0,0)关于x＝－1的对称点为(－2,0)． 因f(m)<0， 所以应有－2<m0. 因f(x)在(－1，＋∞)上递增， 所以f(m＋2)>f(0)＝1. 答案 > 4．(2013·衡阳联考)设f(x)＝|2－x2|，若02ab，00.f(0)＝1－2t＝20. 又函数f(x)的图象连续不间断． 因此f(x)＝0在区间(－1,0)及上各有一个实根． 6．函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1](tR)上的最大值为g(t)． (1)求g(t)的解析式； (2)求g(t)的最大值． 解 (1)f(x)＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.对称轴x＝2. 当t＋1＜2，即t＜1时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，g(t)＝f(t＋1)＝－t2＋2t＋2； 当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f(2)＝3； 当t＞2时，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， g(t)＝f(t)＝－t2＋4t－1. 综上所述，g(t)＝ (2)当t＜1时，g(t)＝－t2＋2t＋2＝－(t－1)2＋3＜3； 当1≤t≤2时，g(t)＝3；当t＞2时，g(t)＝－t2＋4t－1＝－(t－2)2＋3＜3.g(t)的最大值为3.。
高考数学(浙江专版)一轮复习：第2章 8 第4讲 二次函数与幂函数分层演练直击高考数学
1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.2．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋ab ，若不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤4}，则a ＋2b 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3D ．2解析：选A.依题意，－1，4为方程x 2＋(a ＋1)x ＋ab ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋4＝－（a ＋1），－1×4＝ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝1，所以a ＋2b 的值为－2，故选A.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( ) A ．f (0)<f (－2)<f (5) B ．f (－2)<f (5)<f (0) C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2018·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( ) A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，所以当x ∈[－2，－1]时，f (x )＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116，所以当x ＝－32时，f (x )取得最小值，且最小值为－116，故选A.5．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( )A ．[－3，3]B ．[－1，3]C ．{－3，3}D ．{－1，－3，3}解析：选C.因为函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，对称轴x ＝1，因为在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，所以当1≤a 时，y min ＝f (a )＝(a －1)2＝4，a ＝－1(舍去)或a ＝3，当a ＋2≤1时，即a ≤－1，y min ＝f (a ＋2)＝(a ＋1)2＝4，a ＝1(舍去)或a ＝－3，当a <1<a ＋2，即－1<a <1时，y min ＝f (1)＝0≠4，故a 的取值集合为{－3，3}．6．(2018·温州高三月考)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A.由题意知，f (0)＝c >0，函数图象的对称轴为x ＝－12，则f (－1)＝f (0)>0，设f (x )＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则－1<x 1<x 2<0，根据图象知，x 1<p <x 2，故p ＋1>0，f (p ＋1)>0. 7．已知幂函数f (x )＝x －，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ，值域为[1，＋∞)，则a 的值为________．解析：由于函数f (x )的值域为[1，＋∞)，所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4，当x ∈R 时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1，即a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 答案：－1或39．(2018·杭州四中第一次月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋1，若存在x 0使|f (x 0)|≤14，|f (x 0＋1)|≤14同时成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24，考察g (x )＝x 2＋h ，当h ＝0时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时，有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14，|g (－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0，即－12≤4－a 24≤0，解得－6≤a ≤－2或2≤a ≤ 6. 答案：[－6，－2]∪[2，6]10．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5.若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )在区间(－∞，2]上是减函数， 所以a ≥2.又x ＝a ∈[1，a ＋1]，且(a ＋1)－a ≤a －1， 所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2.因为对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， 所以f (x )max －f (x )min ≤4，得－1≤a ≤3. 又a ≥2，所以2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2，3]．12．(2018·台州市教学质量调研)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0， 所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ，f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3，所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3，所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1，f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．1．(2018·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( ) A ．②④ B ．①④ C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2018·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若任取∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)，所以当0≤x ≤a 2时，f (x )＝12(a 2－x ＋2a2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x ≥2a 2时，f (x )＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上，函数f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x ≥0时的解析式等价于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则需满足2a 2－(－4a 2)≤1，解得－66≤a ≤66. 3．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________． 解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 4．(2018·宁波市余姚中学高三期中)已知f (x )＝34x 2－3x ＋4，若f (x )的定义域和值域都是[a ，b ]，则a ＋b＝________．解析：因为f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1，所以x ＝2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论：①当b <2时，函数在区间[a ，b ]上递减，又因为值域也是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a，两式相减得34(a ＋b )(a －b )－3(a －b )＝b －a ，又因为a ≠b ，所以a ＋b ＝83，由34a 2－3a ＋4＝83－a ，得3a 2－8a ＋163＝0，所以a ＝43，所以b ＝43，故舍去．②当a <2≤b 时，得f (2)＝1＝a ，又因为f (1)＝74<2，所以f (b )＝b ，得34b 2－3b ＋4＝b ，所以b ＝43(舍)，或b ＝4， 所以a ＋b ＝5.③当a ≥2时，函数在区间[a ，b ]上递增，又因为值域是[a ，b ]，所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝a f （b ）＝b，即a ，b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根，即a ，b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4，但a ≥2，故应舍去．综上得a ＋b ＝5. 答案：55．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．6．(2018·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f (x )＝－x 2＋2bx ＋c ，设函数g (x )＝|f (x )|在区间 [－1，1]上的最大值为M . (1)若b ＝2，试求出M ；(2)若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时，f (x )＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1，1]上是增函数， 则M 是g (－1)和g (1)中较大的一个， 又g (－1)＝|－5＋c |，g (1)＝|3＋c |，则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c |，c ≤1|3＋c |，c >1.(2)g (x )＝|f (x )|＝|－(x －b )2＋b 2＋c |，(ⅰ)当|b |>1时，y ＝g (x )在区间[－1，1]上是单调函数， 则M ＝max{g (－1)，g (1)}，而g (－1)＝|－1－2b ＋c |，g (1)＝|－1＋2b ＋c |，则2M ≥g (－1)＋g (1)≥|f (－1)－f (1)|＝4|b |>4，可知M >2.(ⅱ)当|b |≤1时，函数y ＝g (x )的对称轴x ＝b 位于区间[－1，1]之内， 此时M ＝max{g (－1)，g (1)，g (b )}， 又g (b )＝|b 2＋c |，①当－1≤b ≤0时，有f (1)≤f (－1)≤f (b )，则M ＝max{g (b )，g (1)}≥12(g (b )＋g (1))≥12|f (b )－f (1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b ≤1时，有f (－1)≤f (1)≤f (b )．则M ＝max{g (b )，g (－1)}≥12(g (b )＋g (－1))≥12|f (b )－f (－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知，对任意的b 、c 都有M ≥12.而当b ＝0，c ＝12时，g (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1，1]上的最大值M ＝12，故M ≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。
届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第四节二次函数与幂函数课时作业
第四节 二次函数与幂函数课时作业A 组——根底对点练1．幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，那么k ＋α＝( ) A.12B ．1 C.32 D ．2解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. 答案：C2．幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，那么以下选项正确的选项是( )A ．f (－2)>f (1)B ．f (－2)<f (1)C ．f (2)＝f (1)D ．f (－2)>f (－1) 解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －2，那么有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)<f (－1)，应选B. 答案：B3．假设幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，那么m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1 解析：由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m－2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.答案：B4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象是( ) 解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D.答案：D5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．假设f (m )＜0，那么f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，图象开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0.答案：A6．函数f (x )＝x2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，那么以下成立的是( ) A ．f (m )＜f (0)B ．f (m )＝f (0)C ．f (m )＞f (0)D ．f (m )与f (0)大小不确定解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)．答案：A7．函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，那么实数m 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0,1]C ．(0,2]D ．[1，＋∞)解析：作出函数的图象如下图，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.应选A.答案：A8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，应选D.答案：D9．假设函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，那么实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．2D ．－2 解析：∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，。
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第四节 二次函数与幂函数课件 文
解析：要满足 f(x)＝x2＋mx－1＜0，对于任意 x∈[m，m＋1]，
都有 f(x)＜0，只需ff（ （mm） ＋＜1）0， ＜0，
即m（2m＋＋m12－）12＋＜m0，（m＋1）－1＜0，解得－ 22＜m＜0.
综上 52－1≤m＜2.
答案：(1)C (2)D
解：(1)当 a＝－2 时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，则函数在[－ 4，2)上为减函数，在(2，6]上为增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝－1， f(x)max＝f(－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35. (2)函数 f(x)＝x2＋2ax＋3 的对称轴为 x＝－22a＝－a， ∴要使 f(x)在[－4，6]上为单调函数，只需－a≤－4 或－a≥6， 解得 a≥4 或 a≤－6.
(3)当 a＝－1 时，f(|x|)＝x2－2|x|＋3 ＝xx22＋ －22xx＋ ＋33＝ ＝（ （xx＋ －11） ）22＋ ＋22， ，xx≤ ＞00， ， 其图象如图所示，
又∵x∈[－4，6]，∴f(|x|)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数， 在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．
答案：－
22，0
幂函数的图象与性质
(1)幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是 ()
1
1
(2)若(2m＋1)2＞(m2＋m－1)2，则实数 m 的取值范围是( )
A.－∞，
5－1 2
B.
52－1，＋∞
C．(－1，2)
D.
52－1，2
高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课件
)
(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．( )
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知幂函数 f(x)＝xα 的图象过点(4,2)，若 f(m)＝3，则实数 m
的值为( )
A. 3
图象
定义域
_R _
_R _
R__ _{x_|x_≥_0_}___
_{x_|_x≠_0_}___
值域
_R _
_{y_|y_≥_0_}___
R__ _{y_|y_≥_0_}___
_{y_|_y≠_0_}___
奇偶性 奇__
偶__
奇__ _非_奇__非_偶___
奇__
单调性
增__
(_－_∞__，_0_)减__，__ (_0_，_＋__∞_)增____
5．若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－2,0)，B(4,0)且函数的 最大值为 9，则这个二次函数的表达式是________. 【导学号：51062031】
y＝－x2＋2x＋8 [设 y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为 x＝1， 当 x＝1 时，ymax＝－9a＝9，∴a＝－1， ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]
[规律方法] 用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数 解析式的形式，选法如下
[变式训练 1] 已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段 长为 2，并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，求 f(x)的解析式．
[解] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对 x∈R 恒成立， ∴f(x)的对称轴为 x＝2.2 分 又∵f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2， ∴f(x)＝0 的两根为 1 和 3.8 分 设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1.12 分 ∴所求 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3.15 分
高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 24 幂函
2．[2015·兰州模拟]已知幂函数 f(x)的图象经过点81， 42，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的
单调性 增
过定点
y＝x2
R [0，＋∞)
偶 x∈[0，＋∞)
时，增 x∈(－∞，0]
时，减 (0,0)，(1,1)
y＝x3 R R 奇
增
1 y＝x 2
[0，＋∞) [0，＋∞)
非奇非偶
y＝x－1
{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0}
奇
增
x∈(0，＋∞)时，减
x∈(－∞，0)时，减
(1,1)
【跟踪训练】 1．[2014·浙江高考]在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的图象可能是( )
解析 因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上为增函数，故 A 不符合；在 B 中，由 f(x)的图象知 a>1， 由 g(x)的图象知 0<a<1，矛盾，故 B 不符合；在 C 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 a>1，矛盾， 故 C 不符合；在 D 中，由 f(x)的图象知 0<a<1，由 g(x)的图象知 0<a<1，相符．
小题快做 1.思考辨析
1 (1)函数 y＝－x2 与 y＝2x 2 都是幂函数．( × ) (2)幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点．( × ) (3)当 α>0 时，幂函数 y＝xα 是定义域上的增函数．( × )
2．[教材改编]设 α∈－1，1，21，3，则使函数 y＝xα 的定义域为 R 且为奇函数的所有 α 值为(
系解决简单问题.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第4节 二次函数的再研究与幂函数课件 文
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求二次函数(hánshù)的解析式
【例 1】 (1)已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，则 f(x)＝________.
(2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有 最小值－1，则 f(x)＝________.
函数
特征
y＝x
性质
y＝x2
y＝x3
1
y＝x2
y＝x－1
图像
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答案 栏目导航
定义域 值域
奇偶性
单调性
公共点
R
R
R
{y|y≥0}
奇
偶
(－∞，0)减，
增
(0，＋∞)增
R R
奇
增 (1,1)
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
非奇(fēi qí)非 偶
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∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
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(2)设函数的解析式为 f(x)＝ax(x＋2)，所以 f(x)＝ax2＋2ax， 由4a×40a－4a2＝－1， 得 a＝1，所以 f(x)＝x2＋2x.]
()
(4)当 n＞0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增加的． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
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高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.4二次函数与幂函数课件理
考点分布
考纲要求
考点频率
命题趋势
1.二次函数 2.幂函数
1.理解并掌握二次函数的定义、图象和性质； 5 年 10 考
会求二次函数在闭区间上的最值；能用二次函
数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联
系去解决有关问题．
2.会用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
3.了解幂函数的概念．
5年4考
4.结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
的图象，了解它们的变化情况
对二次函数主要考 查二次函数的单调 区间、最值问题以 及有关参数的范围 问题，对幂函数的 考查是以幂函数的 图象为载体，研究 幂函数的性质．
第四页，共41页。
2
基础自主梳理
第五页，共41页。
「基础知识填一填」 1．五种常见幂函数的图象与性质
第六页，共41页。
第七页，共41页。
(2)利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：结合幂值的特点利用指数幂的运 算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
第二十二页，共41页。
求二次函数(hánshù)解析式
[典 例 导 引]
已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8， 试确定此二次函数的解析式．
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∴y＝f(x)＝ax－122＋8. ∵f(2)＝－1， ∴a2－122＋8＝－1，解得 a＝－4， ∴f(x)＝－4x－212＋8＝－4x2＋4x＋7.
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解法三(利用零点式)： 由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1， 故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即 f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值 ymax＝8，即4a－2a4－a 1－a2＝8. 解得 a＝－4 或 a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.4 二次函数与幂函数课件 文
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角度 2 二次函数的最值问题
典例 已知函数 f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2
＋ 2(a － 2)x － a2 ＋ 8. 设 H1(x) ＝ max{f(x) ， g(x)} ， H2(x) ＝
12， 22，则 k＋α＝(
)
A.12
B．1
3 C.2 解析
D．2 由幂函数的定义知 k＝1.又 f12＝ 22，所以12α＝
22，解得 12/7/2021 α＝12，从而 k＋α＝32.故选 C.
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(2)函数 f(x)＝x2－ax－a 在[0,2]上的最大值为 1，则实数
a 等于( )
∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由 1－a＝2，得 a＝－1； ②当 0<a≤1 时，函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在区间[0， a]上是增函数，在[a,1]上是减函数， ∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1，
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由 a2－a＋1＝2，解得 a＝1＋2 5或 a＝1－2 5， ∵0<a≤1，∴两个值都不满足； ③当 a>1 时，函数 f(x)＝－x2＋2ax＋1－a 在区间[0,1] 上是增函数， ∴f(x)max＝f(1)＝－1＋2a＋1－a＝a，∴a＝2. 综上可知，a＝－1 或 a＝2.故选 D.
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根据幂函数的性质逐项验证．
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1
解析 由函数 f(x)＝x 2 ，知： 在 A 中，f(x)≥0 恒成立，故 A 错误； 在 B 中，∀x∈[0，＋∞)，f(x)≥0，故 B 正确； 在 C 中，∀x1，x2∈[0，＋∞)，x1≠x2，都有fxx11－ －fx2x2 >0，故 C 错误； 在 D 中，当 x1＝0 时，不存在 x2∈[0，＋∞)使得 f(x1)>f(x2)，故 D 不成立．故选 B.
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
当 x≠0 时，a＜321x－312－61，
易得1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当 x＝1 时，右边取得 最小值12，所以 a＜12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，21. 答案：－∞，21
答案：B
考向 2 二次函数的单调性 通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应 用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性” (作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是( )
方法二(分离参数)：当 x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立. ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可. 综上所述，m 的取值范围是－∞，67.
公共点
在(－∞，0]上单 在 R 上 在[0， 在(－∞，0)
调递减；在[0， 单调递 ＋∞)上 和(0，＋∞)
＋∞)上单调递增 增
单调递增 上单调递减
(1，1)
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正 抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时 的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ
高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.4幂函数与二次函数课件理
解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)， ∴可设其解析式为 f(x)＝a(x－1)2＋1(a≠0)． 又由 f(0)＝0，可得 a＝－1， ∴f(x)＝－(x－1)2＋1＝－x2＋2x.
考向 二次函数的图象和性质
命题角度 1 二次函数的单调性
例 3 如果函数 f(x)＝ax2＋2x－3 在区间(－∞，4)上是
命题角度 2 二次函数的最值
例 4 [2016·浙江高考]已知函数 f(x)＝x2＋bx，则“b<0”
是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[ 解析]
因为
f(x)
＝
x2
＋
bx
＝
x＋b2
第2章 函数、导数及其应用 第4讲 幂函数与二次函数
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 幂函数的图象和性质 1．五种幂函数图象的比较
2．幂函数的性质比较
[ 必会结论] 1．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＞ ＜00， . (2)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是aΔ＜ ＜00， .
触类旁通 1．二次函数最值问题的类型及处理思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、 区间固定；③对称轴定、区间变动． (2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合， 三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配 方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．
2．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离 参数． (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用 哪种方法，关键是看参数是否能分离．这两个思路的依据是： a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
数学(理)一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第讲 二次函数与幂函数
第4讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R）的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2)性质①幂函数在（0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和(0，0),且在(0,＋∞）上单调递增；③当α〈0时，幂函数的图象都过点(1，1），且在（0，＋∞）上单调递减．2．二次函数(1）二次函数解析式的三种形式①一般式:f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）．②顶点式:f（x）＝a(x－m）2＋n（a≠0)．③零点式:f（x)＝a（x－x1）(x－x2）（a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f（x）＝ax2＋bx＋c(a〉f（x)＝ax2＋bx＋0)c(a<0）图象定义域(－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域错误!错误!单调性在错误!上单调递减；在错误!上单调递增在错误!上单调递增；在错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．辨明两个易误点（1）对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数,就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．(2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．2．会用两种数学思想（1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等．1.错误!幂函数y＝f(x）经过点(2，错误!），则f(9）为( )A．81 B．错误!C。
错误!D．3D 设f（x）＝xα，由题意得错误!＝2α，所以α＝错误!。
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新浙江专版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4节二次函数与幂函数课时分层训练A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.] 2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B ．13C ．7D ．5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )【导学号：51062033】A ．－1B ．1C ．2D ．－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.]二、填空题6．(2017·金华十校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.【导学号：51062034】1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.]7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．P ＞R ＞Q [P ＝2－32＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围. 【导学号：51062035】[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.15分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.7分(2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；10分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·浙江学军中学期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________.【导学号：51062036】⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．(2017·调测)已知函数f (x )＝e x (其中e 是自然对数的底数)，g (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R .(1)记函数F (x )＝f (x )·g (x )，且a >0，求F (x )的单调递增区间；(2)若对任意x 1，x 2∈[0,2]，x 1≠x 2，均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)因为F (x )＝f (x )·g (x )＝e x(x 2＋ax ＋1)， 所以F ′(x )＝e x[x ＋(a ＋1)](x ＋1).2分令F ′(x )>0，因为a >0，得x >－1或x <－(a ＋1)，5分 所以F (x )的单调增区间为(－∞，－a －1)和(－1，＋∞).6分 (2)因为对任意x 1，x 2∈[0,2]且x 1≠x 2， 均有|f (x 1)－f (x 2)|>|g (x 1)－g (x 2)|成立， 不妨设x 1>x 2，根据f (x )＝e x在[0,2]上单调递增， 所以有f (x 1)－f (x 2)>|g (x 1)－g (x 2)|对x 1>x 2恒成立，8分所以f (x 2)－f (x 1)<g (x 1)－g (x 2)<f (x 1)－f (x 2)对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f x 1＋g x 1f x 2＋g x 2，f x 1－g x 1f x 2－g x 2对x 1，x 2∈[0,2]，x 1>x 2恒成立，所以f (x )＋g (x )和f (x )－g (x )在[0,2]上都是单调递增函数.11分 当f ′(x )＋g ′(x )≥0在[0,2]上恒成立时， 得e x＋(2x ＋a )≥0在[0,2]上恒成立， 得a ≥－(e x＋2x )在[0,2]上恒成立． 因为－(e x ＋2x )在[0,2]上为单调减函数，所以－(e x ＋2x )在[0,2]上取得最大值－1，解得a ≥－1.13分 当f ′(x )－g ′(x )≥0在[0,2]上恒成立时，得e x－(2x ＋a )≥0在[0,2]上恒成立，即a ≤e x－2x 在[0,2]上恒成立， 因为e x －2x 在[0，ln 2]上单调递减，在[ln 2,2]上单调递增， 所以e x －2x 在[0,2]上取得最小值2－2ln 2， 所以a ≤2－2ln 2，14分所以实数a 的取值范围为[－1,2－2ln 2].15分。