2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲
（非数学类）
（2009——2013）
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.
求极限(
lim 1sin n
n →∞
+.
解
因为(
)
sin sin 2n π==……（2分）；
原式lim 1exp lim ln 1n
n n n →∞→∞
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦
=2.证明广义积分0
sin x
dx x ⎰不是绝对收敛的
解 记()1sin n n n
x a dx x
π
π
+=
⎰，只要证明0
n n a ∞
=∑发散即可。……………………（2分）
因为()()()()101
12
sin sin 111n n n a x dx xdx n n n π
π
π
π
ππ
+≥
==+++⎰
⎰。…………（2分） 而()02
1n n π
∞
=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞
=∑发散。……………………………………
（2分）
3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）
故()22
22x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………
（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，
将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）
又()()()()()
2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
2021年 第一届全国高校生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕
1．
计算()ln(1)
d y
x y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满意22
()3()d 2f x x f x x =--⎰
，那么()f x =.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且
1≠'f ，那么=22d d x
y
.
二、〔5分〕求极限x e
nx x x x n
e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(x
f 连续，10()()
g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)
(lim 0，A 为常数，求()g x '并探讨)(x g '在0=x 处的连续性.
四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
〔1〕⎰⎰-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；
〔2〕2sin sin 2
5d d π⎰≥--L
y y x ye y xe .
五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y
y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x
y
_____.
二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1
0d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰-=---L
x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25
d d π⎰≥--L y y x y
e y xe .
五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算()ln(1)
d d 1D
y
x y x x y x y
++=--⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=2
2d d x y
________________. 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.
三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x
x f x =→)
(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y x ye y xe .
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．
计算()ln(1)
d y
x y x y ++=⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x
y
________________. 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x
x f x =→)
(lim 0，A 为常数，求()g x '并
讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
五、（10分）已知x
x
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类
2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷非数学类
一、填空题每小题5分,共20分
1
．计算()ln(1)
d y
x y x y ++=⎰⎰____________,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数,且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--⎰,则()f x =____________.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则
=2
2d d x y
________________. 二、5分求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 三、15分设函数)(x f 连续,10()()g x f xt dt =⎰,且A x
x f x =→)
(lim 0,A 为常数,求()g x '并讨论
)(x g '在0=x 处的连续性.
四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：
1⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
22sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
五、10分已知x
x
e xe y 21+=,x
x
e xe y -+=2,x
历届全国大学生数学竞赛预赛试卷
历届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷
全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）
2009年第⼀届全国⼤学⽣数学竞赛预赛试卷（⾮数学类）⼀、填空题（每⼩题5分，共20分）1
．计算()ln(1)
d y
x y x y ++=??____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三⾓形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满⾜2
20()3()d 2f x x f x x =--?，则()f x =____________.
3．曲⾯2
222
x z y =+-平⾏平⾯022=-+z y x 的切平⾯⽅程是__________.
4．设函数)(x y y =由⽅程29ln )
(y y f e xe
=确定，其中f 具有⼆阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x
y
________________. ⼆、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =?，且A x x f x =→)
(lim 0，A 为常数，
求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、（15分）已知平⾯区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y y
x ye y xe
全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(非数学类)
全国大学生竞赛历年试题名师精讲
（非数学类）
（2009——2013）
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
（非数学类）
一、 解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤）
1.
求极限(
lim 1sin n
n →∞
+.
解
因为(
)
sin sin 2sin
n π==……（2分）；
原式lim 1exp lim ln 1n
n n n →∞→∞
⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦
=2.证明广义积分0
sin x
dx x ⎰不是绝对收敛的
解 记()1sin n n n
x a dx x
π
π
+=
⎰，只要证明0
n n a ∞
=∑发散即可。……………………（2分）
因为()()()()101
12
sin sin 111n n n a x dx xdx n n n π
π
π
π
ππ
+≥
==+++⎰
⎰。…………（2分） 而(
)02
1n n π∞
=+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞
=∑发散。……………………………………
（2分）
3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。
解 方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）
故()22
22x x y y y x
+'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分） 将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，
将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）
又()()()()()
2222222222422x xy y y x x x y yy x y y x ''++--+-''=-
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕
2021年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类〕 一、填空题〔每题5分，共20分〕
1
．计算()ln(1)
d y
x y x y ++=⎰⎰，其中区域D 由直线1=+y x 及两坐标轴所2．设)(x f 是连续函数，且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--⎰，那么()f x =.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，
且1≠'f ，那么=22d d x
y
.
二、〔5分〕求极限x e
nx x x x n
e e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(x
f 连续，10()()
g x f xt dt =⎰，且A x x f x =→)
(lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、〔15分〕平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
〔1〕⎰⎰-=---L
x y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；
〔2〕2sin sin 2
5d d π⎰≥--L
y y x ye y xe .
五、〔10分〕x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又该抛物线及x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
历届全国大学生数学竞赛预赛试题
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．
计算()ln(1)
d y
x y x y ++=⎰⎰____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设)(x f 是连续函数，且满足2
20()3()d 2f x x f x x =--⎰，则()f x =____________.
3．曲面2
222
x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x
y
________________. 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()()g x f xt dt =⎰，且A x
x f x =→)
(lim 0，A 为常数，求()g x '并
讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π⎰
≥--L
y y
x ye y xe
.
五、（10分）已知x
x
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y
y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x
y
_____.
二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.
三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=1
0d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）⎰⎰-=---L
x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25
d d π⎰≥--L y y x y
e y xe .
五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
第6届全国大学生数学竞赛预赛数学类真题
第3页(共6页)
( 15 ) f (x) R , f (x), f (x), f (x) , a, b f (x) af (x) + bf (x) x ∈ R
(i) : lim f (x) = 0. x→−∞
(ii) : c f (x) cf (x). (iii) c.
第4页(共6页)
:
:
:
:
:
( 20 ) m
.
第5页(共6页)
( 20 ) α ∈ (0, 1), {an}
lim inf nα an − 1 = λ ∈ (0, +∞).
n→∞
an+1
lim
n→∞
nk an
=
0,
k > 0.
第6页(共6页)
2. , .
3. , , .
( 15 )
x−4 y−3 z−8
l1 :
1
= −2 =
, 1
x+1 y+1 z+1
l2 :
7 = −6 = 1 .
历届全国大学生数学竞赛真题及答案非数学类
高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令，则，，
（*）
令，则
，，，
2．设是连续函数，且满足, 则____________.
解: 令，则，
,
解得。因此。
3．曲面平行平面的切平面方程是__________.
解: 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，
即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面
的切平面方程是。
4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.
解: 方程的两边对求导，得
因，故，即，因此
二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.
解 :因
故
因此
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
解 : 由和函数连续知，
因，故，
因此，当时，，故
当时，
，
这表明在处连续.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
证 :因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知
（1）
而关于和是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即
五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程
的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程
的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是
因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和
2014年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一 填空题(共有 5 小题, 每小题 6 分,共 30 分) （1） 已知
y1 = e x 和 y2 = xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.
答案: y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 [参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根 r = 1 ，故所求微分方程是 y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 . （2）设有曲面 S : z = x 2 + 2 y 2 和平面 L : 2 x + 2 y + z = 0 , 则与 L 平行的 S 的切平面方程是________. 答案: 2 x + 2 y + z +
| f ¢( x) |£ 2 A +
B . 2
……….. (14 分)
四 (本题满分 14 分) (1)设一球缺高为 h ，所在球半径为 R .证明该球缺的体积为 的面积为 2p Rh .
p (3R - h)h 2 ，球冠 3
2
(2)设 球体 ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 + ( z - 1) 2 £ 12 被 平面 P : x + y + z = 6 所 截 的小球缺 为 W . 记球缺 上的 球 冠为 S ，方向指向球外，求第二型曲面积分
2009-2014全国大学生数学竞赛试题及答案(最完整版)
1 1 f (0) = f (1) = 0, f ( ) = 1 。 证明： (1) 存在 ξ ∈ ( ,1) 使得 f (ξ ) = ξ ； (2) 存在η ∈ (0, ξ ) 2 2
使得 f ′(η ) = f (η ) − η + 1 。 六、 （本题满分 14 分） 设 n > 1 为整数， 方程 F ( x ) =
三、 （ 本 题 满 分 15 分 ） 设 函 数 f ( x) 在 x =0 的 某 邻 域 内 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且
f (0), f ′(0), f ′′(0) 均不为 0，证明：存在唯一一组实数 k1 , k2 , k3 ，使得
数 学 家
⎧ 2 x = ln (1 + e 2t ) ⎪ 已知 ，求 d y 。 ⎨ t dx 2 ⎪ ⎩ y = t − arctan e
n
四、 （ 本 题 满 分 10 分 ） 设 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上 连 续 ， 无 穷 积 分
∫
∞
0
f ( x)dx 收 敛 。 求
1 y xf ( x)dx 。 y →+∞ y ∫0 lim
（ 本 题 满 分 12 分 ） 设 函 数 f ( x ) 在 [0,1] 上 连 续 ， 在 (0,1) 内 可 微 ， 且 五、
， 证明：
∑ (a
历年大学生高等数学竞赛试题及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
1．计算=--++⎰⎰y x y
x x y
y x D d d 1)
1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与
两坐标轴所围成三角形区域.
解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=，
⎰
-=10
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则21t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2
022d )(3)(x x f x x f ,则=)(x f ____________.
解:令⎰=2
0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
⎰
,
解得3
4=A 。因此3
10
3)(2-
=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是
__________.
解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面
22
22-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，
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æp ö y ¢ = csc 2 ç ( y - x ) ÷ + 1 ，把 x = 0 代入上式，得 y ¢ = 3 . è4 ø
（4）设 xn = 答案：1 [参考解答]
n æ1 1 ö k = xn = å å ç ÷ (k + 1)! ø k =1 è k ! k =1 ( k + 1)!
n
å (k + 1)! ，则 lim x
xi xi -1
f ¢(z i )( x - xi )dx 介于 mi ò
xi xi -1
( x - xi )dx 和 M i ò
f n (1 - e ) < f n ( xn ) = ò f n ( x )dx .
0
1
………….. (3 分)
ò
1
c
f n ( x )dx > f n ( c )(1 - c ) ， 现 取 c = 1 -
e ， 则 f (1 - e ) < f ( c) , 即 2
3
æ f (1 - e ) ö f (1 - e ) < 1 , 于是 lim ç ÷ = 0 ，所以 $N , "n > N 时有 n ®¥ f (c ) è f ( c) ø æ f (1 - e ) ö e ç f (c ) ÷ < 2 = 1 - c . è ø
J n = nå ò
i =1
n
xi xi -1
f ¢(z i )( x - xi )dx .
……… (10 分)
记 mi 和 M i 分 别 是 f ¢( x ) 在 [ xi -1 , xi ] 上 的 最 小 值 和 最 大 值 ， 则 mi £ f ¢(z i ) £ M i , 故 积 分
ò
令 ln x = u , 则有
I =ò
0
-2 np
sin u du = ò
B . 2
2 np
0
sin t dt = 4n ò
p /2
0
sin t dt = 4n . ……………… (12 分)
三 (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) 在[0， 1]上有二阶导数， 且有正常数 A, B 使得 | f ( x) |£ A, | f "( x) |£ B . 证明：对任意 x Î [0,1] ，有 | f ¢( x ) |£ 2 A + [参考解答与评分标准] 由泰勒公式，有
(-2 x0 , -4 y0 ,1) = k (2, 2,1) , 从而 k = 1 . 故得 x0 = -1 , y0 = 2x + 2 y + z +
（3）设函数 y = y ( x ) 由方程 x = 答案: y ¢ = 3
-1 3 , 这样就有 z0 = . 所求切面方程是 2 2
3 =0. 2
| f ¢( x) |£ 2 A +
B . 2
……….. (14 分)
四 (本题满分 14 分) (1)设一球缺高为 h ，所在球半径为 R .证明该球缺的体积为 的面积为 2p Rh .
p (3R - h)h 2 ，球冠 3
2
(2)设 球体 ( x - 1) 2 + ( y - 1) 2 + ( z - 1) 2 £ 12 被 平面 P : x + y + z = 6 所 截 的小球缺 为 W . 记球缺 上的 球 冠为 S ，方向指向球外，求第二型曲面积分
I = òò xdydz + ydzdx + zdxdy .
S
[参考解答与评分标准] (1)设球缺所在的球体表面的方程为 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 ，球缺的中心线为 z 轴， 且设球缺所在圆锥顶角为 2a . 记球缺的区域为 W ，则其体积为
òòò dv =
W
R-h
ò
R
dz òò dxdy =
k =1
n
k
n ®¥
n
=___________.
æ1 1ö æ1 1ö æ1 1ö 1 ö 1 æ = ç1 - ÷ + ç - ÷ + ç - ÷ + L + ç ®1. ÷ = 1(n + 1)! è 2! ø è 2! 3! ø è 3! 4! ø è n ! (n + 1)! ø
1
(5 )
f ( x) ö x æ 3 已知 lim ç 1 + x + ÷ =e x ®0 x ø è
1
1
则 lim
x ®0
f ( x) =___________. x2
答案: 2
1 f ( x) f ( x) ö x 1 f ( x) æ 3 [参考解答] 由 lim ç 1 + x + ) = 3+a, ln(1 + x + ) = 3 ,于是有 ln(1 + x + ÷ = e 知 lim x ®0 x ® 0 x x x ø x x è
(2)记球缺 W 的底面圆为 P 1 ，方向指向球缺外，且记 J =
òò xdydz + ydzdx + zdxdy .
P 1
I + J = òòò 3dv = 3v(W) ，
W
其中 v(W) 为 W 的体积. 由于平面 P 的正向单位法向量为
-1 (1,1,1) ,故 3
J=
-1 -6 ， ( x + y + z )dS = s (P 1 ) = -2 3s ( P 1) òò 3 P1 3
…………… (12 分)
其中 s ( P1 ) 是 P 1 的面积。故 I = 3v(W) - J = 3v(W) + 2 3s ( P 1) .
因为球缺底面圆心为 Q = (2, 2, 2) ,而球缺的顶点为 D = (3,3,3) ， 故球缺的高度 h =| QD |= 3 .再由 (1)所证并代入 h = 3 和 R = 2 3 得
其中 a ® 0( x ® 0) ，即有
f ( x ) e3 x +a x - 1 = - 1 ，从而 x2 x
f ( x) e 3 x +a x - 1 3x + a x lim 2 = lim - 1 = lim - 1 = 2. x ®0 x x ®0 x ® 0 x x
二 (本题满分 12 分) 设 n 为正整数, 计算 [参考解答与评分标准]
I = ò -2 np
e
1
d æ 1ö cos ç ln ÷ dx. dx è xø
I = ò -2 np
e
1
1 1 d d 1 æ 1ö cos ç ln ÷ dx = ò -2 np cos ( ln x ) dx = ò -2 np sin ln x dx. ……….….. (6 分) e e dx dx x è xø
1 f ¢¢(x )(0 - x) 2 , x Î (0, x), 2 1 f (1) = f ( x) + f ¢( x )(1 - x) + f ¢¢(h )(1 - x ) 2 ,h Î ( x,1), 2 1 1 上述两式相减，得到 f (0) - f (1) = - f ¢( x ) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 , 于是 2 2 1 1 f ¢( x ) = f (1) - f (0) - f ¢¢(h )(1 - x ) 2 + f ¢¢(x ) x 2 . 2 2 f (0) = f ( x) + f ¢( x)(0 - x) +
Dz
R-h
ò p (R
R
2
- z 2 ) dz =
p (3 R - h ) h 2 . 3
…… (3 分)
由于球面的面积微元是 dS = R sin q dq ，故球冠的面积为
2
2p
ò
0
百度文库
d j ò R 2 sin q dq = 2p R 2 (1 - cos a ) = 2p Rh .
0
a
………… (6 分) 由 Gauss 公式, 有 …………. (9 分)
2014 年全国大学生数学竞赛预赛试题参考答案
一 填空题(共有 5 小题, 每小题 6 分,共 30 分) （1） 已知
y1 = e x 和 y2 = xe x 是齐次二阶常系数线性微分方程的解，则该方程是___________.
答案: y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 [参考解答] 由题设知该方程的特征方程有二重根 r = 1 ，故所求微分方程是 y¢¢( x ) - 2 y ¢( x ) + y ( x ) = 0 . （2）设有曲面 S : z = x 2 + 2 y 2 和平面 L : 2 x + 2 y + z = 0 , 则与 L 平行的 S 的切平面方程是________. 答案: 2 x + 2 y + z +
3 =0 2
[参考解答] 设 P0 ( x0 , y0 , z0 ) 为 S 上一点, 则 S 在 P 0 的切平面方程是
-2 x0 ( x - x0 ) - 4 y0 ( y - y0 ) + ( z - z0 ) = 0 .
由 于 该 切 平 面 与 已 知 平 面 L 平 行 , 则 ( -2 x0 , -4 y0 ,1) 平 行 于 (2, 2,1) , 故 存 在 常 数 k ¹ 0 使 得
I = 3×
p (3R - h)h 2 + 2 3p (2 Rh - h 2 ) = 33 3p . 3
…………… (14 分)
n
五 (本题满分 15 分) 设 f 在 [ a, b] 上非负连续， 严格单增， 且存在 xn Î[a, b] 使得 [ f ( xn )] = 求 lim xn .
n ®¥
……… (5 分)
记 xi =
n n xi xi i , 则 An = å ò f ( xi )dx , 故 J n = n å ò ( f ( x ) - f ( xi )) dx . xi -1 xi -1 n i =1 i =1
……… (8 分)
由拉格朗日中值定理，存在 z i Î ( xi -1 , xi ) 使得
1 [ f (x)]ndx ， b-a ò a
b
证明：先考虑特殊情形： a = 0, b = 1 . 下证 lim xn = 1 .
n ®¥
首先 xn Î [0,1] ，即 xn £ 1 ，只要证明 " e > 0(e < 1)， $N , "n > N 时，1 - e < xn . 由 f 在 [0,1] 严格单增，就是要证明 由 于 "c Î (0,1) , 有
1
ò
1
0
F n ( t ) dt ，且 lim tn = 1 ，即
n ®¥
f n ( a + tn (b - a )) = ò f n ( a + t ( b - a ))dt .
0
记 xn = a + tn (b - a ) ，则有
[ f ( xn ) ] =
n
1 且 lim xn = a + (b - a ) = b . [ f ( x )]n dx ， ò n ®¥ b-a a
由条件 | f ( x ) |£ A , | f ¢¢( x) |£ B ，得到
………. (5 分)
………… (8 分)
| f ¢( x) |£ 2 A +
B (1 - x) 2 + x 2 ) . ( 2
………. (11 分)
因 x 2 + (1 - x) 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 在 [0,1] 的最大值为 1, 故
y-x
ò
1
dy æ pt ö sin 2 ç ÷ dt 所确定，求 dx è 4 ø
=
x =0
.
[ 参 考 解 答 ] 易 知 在 y (0) = 1 . 对 方 程 的 两 边 关 于 x 求 导 ， 得 1 = sin 2 ç
æp ö ( y - x) ÷ ( y¢ - 1), 于 是 è4 ø
b
………. (15 分)
六
(本题满分 15 分)
设 An =
n n n æp ö ，求 lim n ç - An ÷ . + 2 +L + 2 2 2 n®¥ n +1 n + 2 n +n 4 è ø
2
[解] 令 f ( x) =
1 1 n 1 1 p ，故 ， 因 = A lim A = f ( x) dx = . å n n 2 2 2 ò n ®¥ n i =1 1 + i / n 1+ x 4 0
即 f n (1 - e ) < f n ( c )(1 - c ) £
n
n
……….. (8 分)
ò
1
c
f n ( x )dx £ ò f n ( x )dx = f n ( xn ) ,从而 1 - e < xn . 由 e 的任意性得
0
1
lim xn = 1 .
n ®¥
…….. (10 分)
再考虑一般情形. 令 F (t ) = f ( a + t ( b - a )) ，由 f 在 [a , b] 上非负连续，严格单增知 F 在[0,1]上 非负连续，严格单增. 从而 $tn Î [0,1] ，使得 F n (tn ) =