平面向量问题的常规解法

合集下载

平面向量题型归类及解题方法

平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。

平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。

- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。

- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。

- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。

- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。

- 向量可以缩放，即乘以一个标量。

- 向量可以平移，即使原点发生变化。

2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。

2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。

2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。

2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。

如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。

2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。

2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。

向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。

3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。

3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。

•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。

平面向量解题方法完全归纳与总结

平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。

5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。

这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。

6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。

我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。

求解平面向量问题的三种方法

思路探寻求解平面向量问题的三种方法陈燕华平面向量是高考数学试题中的重点考查内容，通常会考查平面向量的定义、定理、运算法则，以及与不等式相结合的综合性问题.由于向量既具有“数”的形式，也有对应的图形，所以解答平面向量问题一般可以从几何和代数两个角度入手.本文重点介绍三种求解平面向量问题的方法，以帮助同学们拓宽解题的思路.一、基底法基底法是指运用平面向量的基本定理来解题的方法.在解题时，需首先选取两个不共线的基底向量 e 1、 e 2，根据平面向量的基本定理，将问题中的其他向量都用基底向量 e 1、e 2表示出来，然后运用平面向量的运算法则来解题.基底法是解答平面向量问题的基本方法.例1.如图1，在△ABC 中，BC =AC =1,AB =3, CE =x CA , CF =x CB ,其中x ,y ∈()0,1，且x +4y =1，若M 、N 分别是线段EF 、AB 中点，则线段MN 长度最小值为_____.解：选取 CA 、CB 为基底向量，∵ CM =12 CE +12 CF =x 2 CA +y 2CB ，CN =12 CA +12CB ,∴ MN = CN - CM =æèöø12CA +12 CB -æèçöø÷x 2 CA +y 2 CB =æèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2CB ，∴|| MN 2=éëêùûúæèöø12-x 2 CA +æèçöø÷12-y 2 CB 2=æèöø12-x 22+æèçöø÷12-y 22-æèöø12-x 2∙æèçöø÷12-y 2，∵x +4y =1，x =1-4y ∈()0,1，∴y ∈æèöø0,14，∵|| MN 214()21y 2-6y +1，y ∈æèöø0,14，y =时，|| MN 2有最小值17，即 MN 最小值为.运用基底法解题的关键是，选取合适的基底向量，运用向量的基本定理和运算法则解题.二、平方法平面向量中有很多关于向量的模的运算问题.在解答此类问题时，我们可以运用平方法来求解.我们知道||a 2=a 2，在解答与平面向量的模有关的问题时，可以首先将向量的模平方，便可将问题转化为常规的平面向量运算问题，然后利用平面向量的运算法则便可使问题获解.例2.已知点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，若 OA =3 OB +xOC ,则正实数x 的取值范围是_____.解：由题意可得，|| OA =|| OB =||OC =1，两边平方可得， OA 2=()3 OB +x OC 2，即1=9+x 2+6x cos ∠BOC ，∵点A 、B 、C 分别是圆O ：x 2+y 2=1上任意不同的三点，∴∠BOC ∈()0，π，则-1＜x 2+86x＜1，解不等式可得2＜x ＜4或-4＜x ＜-2，∵x 为正实数，∴x 的取值范围是2＜x ＜4.这里将OA 平方，便将问题转化为向量运算问题，通过运算、化简，可建立关于x 的不等式，解不等式就可求得x 的取值范围.三、投影法数量积a ·b 的几何意义是：a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.投影法是利用数量积a ·b 的几何意义来解题的方法.在解答两个向量的乘积问题时，我们可以根据数量积a ·b 的几何意义，寻找b 在a 的方向上的投影，通过作垂线或求它们夹角的余弦值，得到最终的答案.例3.如图2，圆O 是△ABC 的外心，|| AC =4,|| AB =2,则 AO ∙( AC -AB )=_____.解：过点O 作OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∵ AO ∙()AC - AB = AO ∙ AC - AO ∙ AB ， AO ∙ AC =|| AO ∙|| AC cos ∠OAD =|| AD ∙|| AC =12|| AC2=8，同理可得， AO ∙ AB =|| AO ∙|| AB cos ∠OAB =||AD ∙|| AB =12|| AB 2=2，∴AO ∙()AC - AB =8-2=6.值得注意的是，a 在b 方向上的投影也可以写成，投影是一个数量，可正可负也可为0，它的符号取决于θ角的范围.基底法、平方法、投影法都是解答平面向量问题的常用方法.相比较而言，基底法的应用范围最广，平方法、投影法的适用范围较窄.很多情况下，需要同时使用两种或两种以上的方法才能使问题获解.因此同学们在解题时要注意灵活变通，这样才能提升解题的效率.（作者单位：江苏省启东市第一中学）图1图252。

平面向量中的技巧

平面向量中的技巧以下是平面向量中常用的一些技巧：1. 平移技巧：两个向量相加得到平移后的向量，即如果有向量u和向量v，那么得到平移后的向量为向量u+v。

这个技巧可以用于求解平移后新的坐标点。

2. 向量投影：向量u在向量v上的投影，可以用以下公式表示：proj_v u = (u ·v / v ^2) * v，其中·表示向量的点积运算，v 表示向量v的长度。

投影可以用于求解一个向量在另一个向量上的分量。

3. 向量分解：一个向量可以分解为两个垂直的分量，即向量u = proj_v u + u'，其中proj_v u为向量u在向量v上的投影，u'为与v垂直的分量。

这个分解技巧可以简化向量的运算。

4. 向量夹角：两个非零向量u和v的夹角可以使用以下公式计算：cosθ= (u ·v) / ( u v )，其中θ为夹角，·表示向量的点积运算，u 和v 分别表示向量u和v 的长度。

这个公式可以用于求解向量之间的夹角。

5. 向量共线判断：如果两个向量u和v的夹角为0或180度，它们是共线的。

这个技巧可以用于判断两个向量是否平行。

6. 向量的线性组合：给定向量集合{v1, v2, ..., vn}和实数集合{a1, a2, ..., an}，它们的线性组合为向量a1v1 + a2v2 + ... + anvn。

这个技巧可以用于求解向量之间的关系。

7. 平行四边形法则：如果有两个向量u和v，那么它们构成的平行四边形的面积可以用以下公式计算：area = u ×v ，其中×表示向量的叉积运算。

这个公式可以用于求解平行四边形的面积。

这些技巧可以用于解决各种平面向量的问题，例如求解坐标点、计算向量之间的关系、判断向量的性质等。

需要根据具体的问题和情况选择合适的技巧应用。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中，平面向量是一个常见的考点，也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结，帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中，可以利用向量的平移性质，将向量平移至同一起点，再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理，即a - b = a + (-b)。

其中，-b表示b的反向量，即方向相反的向量，模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积，记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂)，它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外，数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积，即a·b =|a| · |b| · cosθ，其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)，其中k为实数(4) 若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0，则夹角θ为锐角；若a·b < 0，则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示：1. 向量的方向角：向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α，其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦：向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα，与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时，可以利用这两种方式来确定向量的方向。

解答平面向量问题的三种途径

常见的平面向量问题有求一个平面向量的模、求两个平面向量的数量积、证明三点共线、求向量的坐标等.平面向量问题侧重于考查平面向量的基本定理、共线定理、运算法则、数量积公式、向量的模的公式等.本文主要探讨一下解答平面向量问题的几种途径.一、利用平面几何图形的性质大部分的平面向量问题均是与平面几何图形有关的问题，并且平面向量兼有“数”与“形”的两重身份，因此在解答平面向量问题时，可根据平面向量的几何意义绘制出几何图形，然后结合图形的特征构造三角形、平行四边形、圆等图形，利用其性质进行解题.例1.AB 是单位圆上的弦，点P 是单位圆上的动点，设f (λ)=||BP -λBA 的最小值为m ，若m 的最大值为32，求|| AB .解：如图1所示，在AB 上任取一点C ，使得λ BA = BC ，可得f (λ)=|| BP -λBA =||BP - BC =|| CP ，因为f (λ)=||CP 的最小值为m ，所以m 是点P 到弦AB 的距离，当PC 过圆的圆心时m 最小，此时||AB ==3.由于P 为圆上的动点，所以需根据点到直线的距离的定义来确定f (λ)的最小值，然后利用圆的垂径定理、勾股定理求解.利用平面几何图形的性质，可使问题变得更加直观，求解问题的思路变得更加明朗.二、建立坐标系有些平面向量问题中涉及的几何图形为规则图形，如正三角形、等腰三角形、直角三角形、圆、矩形等，此时可根据这些几何图形的特点、性质建立平面直角坐标系，将相关点和向量用坐标表示出来，通过向量的坐标运算，使问题得解.例2.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则 PA ∙（ PB +PC ）的最小值为（）.A.-2B.-23C.-43D.-1解：建立如图2所示的平面直角坐标系，可得A (0，3)，B (-1,0)，C (1,0).设P (x ,y )，则PA =(-x ，3-y )，PB =(-1-x ,-y )，PC =(1-x ,-y )，所以 PA ⋅( PB + PC )=2x 2+2(y2-32，当x =0，y =时， PA⋅( PB + PC )取最小值，最小值为.运用坐标法解答本题最为简便.由于△ABC 是等边三角形，所以可以底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平方线为y 轴，建立平面直角坐标系，这样便能很快求出各个点的坐标，得出 PA ⋅( PB +PC )的表达式.三、根据平面向量的基本定理平面向量的基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2.根据平面向量的基本定理，可知平面内的任何一个向量都可以用任意两个基底表示出来，因此在求解平面向量问题时，可根据题意选择两个不共线的基底，将问题中的其他向量用基底表示出来，根据平面向量的运算法则求解即可.例3.已知点O 在△ABC 的内部， OA +2 OB +4OC =0，求△ABC 的面积与△AOC 的面积之比.解：设 OP =λ OB ，则 PC = OC - OP =-λ OB + OC ，因为 OA =-2 OB -4 OC ，所以 AC = OC - OA =2 OB +5 OC .由于 AC 和 PC 共线，可得λ=-25，故S △ABC ：S △AOC =BP :OP =7:2.利用基底法解题的关键是选择合适的基底.解答本题，可以 OB 和OC 为基底，采用基底法来快速求得问题的答案.上述三种途径是解答平面向量问题的基本方法，具体选择哪种途径解题，需要根据题目的具体条件与所给的图形进行选择.同学们在解题时要注意灵活变通，有时可同时选择两种途径来解题.（作者单位：江苏省如东高级中学）思路探寻图1图250。

平面向量的运算法则

平面向量的运算法则平面向量的运算法则是指在平面向量的加法、减法和数乘运算中遵循的规则和原则。

这些法则是基于平面向量的定义和性质而得出的，能够帮助我们简化向量计算和解决与向量相关的问题。

本文将详细介绍平面向量的加法、减法和数乘运算法则，以及运用这些法则解决实际问题的方法。

一、平面向量的定义平面向量是指在平面上有大小和方向的量，用箭头来表示。

平面向量通常用大写字母表示，例如A、B等。

平面向量可以表示位移、速度、力等物理量，也可以表示复杂的数学概念，如几何矢量、向量函数等。

二、平面向量的加法法则1. 三角形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A的末端画出向量B，则以A为起点、B的末端为终点的直线段就表示了平面向量A+B。

2. 平行四边形法则：设有两个平面向量A和B，以A为起点，在A 的末端画出平行于B的直线段，则以A为起点、B的终点为终点的直线段就表示了平面向量A+B。

加法运算满足交换律和结合律，即对于任意平面向量A、B和C，有：A+B=B+A （交换律）(A+B)+C=A+(B+C) （结合律）三、平面向量的减法法则平面向量的减法可以看作是加法的逆运算。

设有两个平面向量A和B，要计算A-B，可以先求出B的相反向量-B，然后将A与-B相加，即可得到A-B。

四、平面向量的数乘法则设有一个平面向量A和一个实数k，要计算kA，可以将向量A的长度乘以k，并保持与A同向或反向（根据k的正负确定）。

得到的新向量kA的长度是原向量A的长度的k倍，方向与A相同或相反。

数乘运算满足分配律和结合律，即对于任意平面向量A和B，以及任意实数k和m，有：k(A+B)=kA+kB （分配律）(km)A=k(mA) （结合律）五、平面向量运算法则的应用平面向量运算法则在解决与向量相关的问题时具有广泛的应用。

应用这些法则可以帮助我们简化向量运算过程，提高计算的准确性和效率。

1. 合成与分解：利用平面向量的加法法则，可以将一个向量表示为若干个已知向量的和，这称为合成。

平面向量问题的两个求解思路

平面向量问题的两个求解思路平面向量问题是高中数学中的重要内容，涉及到向量的加减、数量积、向量积等多个概念和运算。

在解决平面向量问题时，有两个常用的求解思路，分别是几何法和代数法。

一、几何法几何法是指通过图形直观地理解向量的性质和运算规律，从而解决平面向量问题的方法。

几何法的优点是能够帮助学生形成直观的几何感，加深对向量概念的理解，同时也能够提高学生的空间想象能力。

几何法的主要思路是通过图形构造和几何推理，确定向量的方向、大小和运算结果。

1. 向量的加减向量的加减可以通过平移法和三角形法进行求解。

平移法是指将一个向量平移至另一个向量的起点，然后连接两个向量的终点，所得的向量即为它们的和。

三角形法是指将两个向量的起点和终点连接成一个三角形，所得的第三条边即为它们的和，而两个向量的差则是以其中一个向量为底边，以另一个向量的负向量为高的平行四边形的对角线。

2. 向量的数量积向量的数量积可以通过向量投影和余弦定理进行求解。

向量投影是指将一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模长，所得的结果即为它们的数量积。

余弦定理是指将两个向量的夹角余弦值乘以它们的模长之积，所得的结果即为它们的数量积。

3. 向量的向量积向量的向量积可以通过平行四边形法和行列式法进行求解。

平行四边形法是指将两个向量的起点相连，然后以它们为邻边构造一个平行四边形，所得的向量即为它们的向量积。

行列式法是指将两个向量的坐标表示成行列式的形式，然后按照行列式的定义进行计算，所得的结果即为它们的向量积。

二、代数法代数法是指通过向量的坐标表示和代数运算，从而解决平面向量问题的方法。

代数法的优点是能够提高学生的代数运算能力，同时也能够简化向量运算的复杂度。

代数法的主要思路是将向量的坐标表示成列向量或行向量的形式，然后按照向量的代数运算规律进行计算。

1. 向量的加减向量的加减可以通过向量的坐标表示和矩阵运算进行求解。

向量的坐标表示可以将向量表示成列向量或行向量的形式，然后按照矩阵加减法的规律进行计算。

高中数学中常见的平面向量问题求解

高中数学中常见的平面向量问题求解平面向量是高中数学中一种重要的概念，广泛运用于解决各种几何和代数问题。

在本文中，将介绍几个常见的平面向量问题，并给出详细的解题过程和方法。

一、向量的表示和运算在解决平面向量问题之前，首先需要了解向量的表示和运算方法。

平面向量通常用有序对表示，如向量AB可以表示为→AB=(x2-x1, y2-y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别表示向量的初始点和终点。

平面向量之间可以进行加法、减法、数量乘法和向量的数量积运算。

二、向量共线和垂直1. 向量共线若两个向量→AB和→CD平行或反平行，则可以判断它们共线。

要判断两个向量共线，可以比较它们的分量比例，如果两个向量的x和y 分量的比例相等，即(x2-x1)/(y2-y1)=(x4-x3)/(y4-y3)，则可以判断两个向量共线。

2. 向量垂直若两个向量→AB和→CD垂直，则可以判断它们的数量积为0。

要判断两个向量垂直，可以计算它们的数量积，如果数量积为0，即(→AB)·(→CD)=0，则可以判断两个向量垂直。

三、向量的模和方向角1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|→AB|或AB。

计算向量的模可以使用勾股定理，即|→AB|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)。

向量的模满足非负性和三角不等式，即|→AB|≥0，|→AB|+|→BC|≥|→AC|。

2. 向量的方向角向量的方向角表示向量与x轴正方向的夹角，通常用α表示。

计算向量的方向角可以使用反正切函数，即α=arctan((y2-y1)/(x2-x1))。

四、向量叉乘和面积向量叉乘是一种运算，用于求解向量之间的关系和面积。

向量→AB和→CD的叉乘可以表示为(→AB)×(→CD)，其结果是一个向量，垂直于→AB和→CD构成的平面，并且模等于两个向量的模的乘积乘以它们所夹的夹角的正弦值。

五、平面向量的应用平面向量在几何和代数问题中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景。

平面向量基本定理解题思路

平面向量基本定理解题思路
平面向量基本定理的解题思路主要基于该定理的实质，即利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。

具体来说，解题时可以按照以下步骤进行：
1. 选择一组基底：首先，根据题目条件和所求结论，选择一组合适的基底。

这组基底通常是两个不共线的向量，它们可以表示平面内的任意向量。

2. 将条件和结论表示成向量的形式：接下来，利用这组基底，将题目中的条件和结论都表示成向量的形式。

这通常涉及到向量的线性组合、数乘、点积等运算。

3. 通过向量的运算解决问题：最后，利用向量的运算性质，如向量的加法、减法、数乘、点积等，对表示成向量形式的条件和结论进行运算，从而求得问题的解。

在解题过程中，还可以结合图形进行辅助分析，特别是对于涉及动态变化的问题，数形结合法是非常有效的。

此外，如果题目中给出了向量之间的夹角，也可以考虑使用坐标法来处理向量问题，通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为向量坐标运算问题。

总的来说，平面向量基本定理的解题思路是灵活多样的，需要根据具体问题的特点和条件来选择合适的解题方法。

通过不断练习和总结，可以逐渐掌握平面向量问题的解题技巧和方法。

初中数学中的平面向量如何进行运算与解题

初中数学中的平面向量如何进行运算与解题平面向量是初中数学中的一个重要概念，它在解决几何和代数问题时起着至关重要的作用。

本文将介绍平面向量的运算规则和解题方法，帮助读者更好地理解和应用平面向量。

一、平面向量的表示形式平面向量可以通过坐标形式或位置向量形式来表示。

1. 坐标形式：在平面直角坐标系中，平面向量可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)，其中A(x1, y1)和B(x2, y2)分别是平面上的两个点，AB代表向量。

2. 位置向量形式：对于平面上的任意一点P(x, y)，以原点O(0, 0)为起点，可以得到P的位置向量为OP = (x, y)。

二、平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法遵循如下规则：1. 加法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的和为：AB + CD = (x1 + x2, y1 + y2)。

2. 减法：设向量AB = (x1, y1)，向量CD = (x2, y2)，则它们的差为：AB - CD = (x1 - x2, y1 - y2)。

三、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点乘，表示为A·B。

1. 定义：设向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A·B的数量积为：A·B = x1 * x2 + y1 * y2。

2. 性质：（1）A·B = B·A，数量积的交换律。

（2）A·A = |A|^2，数量积的性质，其中|A|表示向量A的模长。

四、平面向量的数量积的应用平面向量的数量积在求解各种几何问题中有着广泛的应用，以下是其中的两个例子：1. 判断垂直与平行关系：若向量A·B = 0，则向量A和向量B垂直；若向量A·B ≠ 0且 |A·B| = |A| * |B|，则向量A和向量B平行。

2. 求角的余弦：若向量A = (x1, y1)，向量B = (x2, y2)，则向量A和向量B的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x1 * x2 + y1 * y2) / (|A| * |B|)。

解决平面向量问题的六个基本策略

解决平面向量问题的六个基本策略高三复习,贵在快捷有效,让所学的知识系统化,网络化,让解题方法形成方法论.“平面向量”这一部分内容作为高考的重要考点,经常出现在在选择填空的压轴题中,同学们在处理这类问题是常常无从下手.我们对多年的高考题进行系统整理、研究,总结出解决平面向量问题的六种基本策略,供大家参考.一、坐标化策略：坐标法应该是处理平面向量问题的主要方法,只要能够建立平面直角坐标系,把点的坐标表示出来,则向量的坐标就可以求出来,从而平面向量的四大常见问题：平行、垂直、夹角、模长都可以套相应的公式解决.如果图形特殊,如涉及正方形、矩形、等边三角形、等腰三角形、等腰梯形、直角梯形等,有时也会给一个定角和一些线段长度的不规则图形,均可尝试坐标化策略解决问题.例1.已知直角梯形ABCD 中,//,90,2,1AB CD ADC AD BC ∠===,P 是腰DC上的动点,则3PA PB +的最小值是分析：以D 为坐标原点,DA 所在的直线为x 轴,DC 所在的直线为y 轴,建立如图所示的直角坐标系,由题意可得A2,0P0,yC0,c,则3PA PB +=5≥,于是当y=34c 时取得最小值5. 二、数量化策略：教科书上证明正、余弦定理时重点如何将向量等式AC BA BC +=数量化,而向量数量化的基本方法是平方法2a =或向量等式两边同时乘以一个向量,进行数量积运算.三、算两次策略：平面向量基本定理的重要前提是向量不共线,而结论有两点：一是存在一对实数21λλ和,使得a=1λe 1+2λe 2；二是这对实数是唯一的.这唯一性是说：a=1λe 1+2λe 2=1k e 1+2k e 2 ,则必有1λ=1k ,2λ=2k ,其实质相当于从两点重合推出其坐标相等,或从两个复数相等推出其实部和虚部分别相等,这种由一个等式获取两个等式的法则,又称为算两次的思想,是方程思想的另一种表述,在高中数学中应用广泛,如几何中的等面积法、等体积法等.例2.设向量a 与b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=解析：因为向量λa +b 与a +2b 平行,所以λa +b =μa +2b ,则λa +b =μa +2μb,又因为向量a 与b 不平行,由平面向量基本定理可得λ=μ且1=2μ,因此λ=21四、基底化策略：平面向量基本定理平面向量分解定理是解决向量问题的重要工具,它的作用在于把平面中纷繁复杂的向量都用两个不共线的基向量来表示.其关键是选好一组基底两个向量的模长与夹角应该已知,其他向量都用这一组基底进行线性表示.例 3.在ABC ∆中,已知3π=∠BAC ,AB=2,AC=3,BD DC 2=,ED AE 3=,则|BE |=分析：本题中,若建系,点与点之间的坐标关系很难找到,不是一个明智的选择.换个角度,因为线段AB,AC 的长度和夹角都已知,所以选取向量AC AB 和作为基底,将BE 用这一组基底进行线性表示. 解：AE BA BE +==-AB +43AD , 而BD AB AD +==AB +31BC ,AB AC BC -=,从而BE =21-AB +41AC ,因此,2BE =21-AB +412)AC =412AB +1612AC 41-AB AC ⋅=413 五、巧用回路转化策略：所谓回路,就是向量从一点出发,通过一个封闭的图形又回到起点的那个通路.就是这个直观而又简单的回路,常常关系到问题解决的成败,但你在解题过程中想到了要利用回路,那么问题的解决就会变得简洁.适当选择回路,是向量解题的基本手法,关键之处就在于领会向量几何,其运算不仅仅是数的运算,还包括图形的运算,数学大师张景中称其为 “绕来绕去的向量法”.如果遇到题目中只告诉一条线段的长,则用回路法将其他向量都用该向量表示.例4.在ABC ∆中,M 是BC 边上的中点,|AM |=1,P 是线段AM 上的一个点,且PM AP 2=,则)(PC PB AP +⋅的值是 AA 、94B 、34C 、34-D 、94- 分析:因为PC PB +=PM 2,PM AP 2=,所以)(PC PB AP +⋅=42PM =94 例5.在ABC ∆中,D 是BC 边上的一点,且DC BD 3=,P 是线段AD 上的一个动点,若|AD |=2,则)3(PC PB PA +⋅的最小值是BA 、-8B 、-4C 、-2D 、 0 分析：PC PB 3+=)(3DC PD DB PD +++=DC DB PD 34++=4PD设DA PA λ=,则DA DA DA DP )1(λλ-=-= )3(PC PB PA +⋅=4⋅PA PD =λλ16162-10≤≤λ所以)3(PC PB PA +⋅的最小值为-4六、几何化策略：除了代数的坐标法之外,利用几何意义数形结合也是处理平面向量问题的重要方法,因此要灵活构建平面图形,凸显向量几何本色.1.构建“三角形.例6.若|a |=1,|b |=2,c=a+b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为= 解析：当题目中出现一些特殊角度或特殊的线段关系,比如线段相等或二倍关系等,应该首先考虑构造图形来解决.作直角ABC ∆,2190===∠AB CA C ，， ,设a =CA ,b =AB ,则=CB a +b, 30=∠B ,延长CA 到D,使得AD=CA,可得向量向量a 与b 的夹角为 120=∠BAD2.构建“圆”.如果题目中出现单位向量,共起点的单位向量的终点在同一个圆,因此可以构造一个圆,进行特殊化处理.平面向量是近代数学中重要的基本数学概念之一,它集形数于一身,是数形结合的有效载体,是沟通代数、几何与三角函数工具.如何有效突破平面向量问题,关键是要抓住向量概念的核心,即向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,因此解决向量问题有向量代数与向量几何两个基本解决思路,其中向量几何注重从形的角度分析解决问题,可衍伸为基底化策略、巧用回路转化策略、几何化策略；向量代数注重从坐标运算与布列方程的角度分析解决问题,可衍伸为坐标化策略、数量化策略、算两次策略.因此平面向量问题既可以从“数”的角度来解决,也可以从“形”的角度来思考,一题多法,多题一解.。

平面向量的应用与解题技巧

平面向量的应用与解题技巧在数学中，平面向量是一个重要的概念，它在多个领域中得到广泛的应用，并且有许多解题技巧可供我们学习和运用。

本文将介绍平面向量的基本概念及其应用，并探讨一些解题技巧，希望能为读者提供帮助。

1. 平面向量的基本概念平面向量可以用有向线段来表示，它具有大小和方向两个特征。

我们通常用字母加上一个箭头来表示平面向量，比如AB→表示由点A指向点B的向量。

平面向量的大小通常用它的模表示，记作|AB→|，可以通过勾股定理求得。

2. 平面向量的加法与减法平面向量的加法与减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量。

（1）加法：将两个向量的对应分量分别相加即可。

例如，对于向量A→(a，b)和向量B→(c，d)，它们的和为C→(a+c，b+d)。

这意味着我们可以将向量的加法转化为对应分量的数加法，简化计算过程。

（2）减法：将第二个向量的对应分量取相反数，然后进行向量的加法运算。

例如，向量A→(a，b)减去向量B→(c，d)得到的结果为A→-B→(a-c，b-d)。

3. 平面向量的数量积和向量积平面向量的数量积和向量积是向量的重要运算，它们在几何和物理问题中广泛应用。

（1）数量积：数量积又称为点积，表示为A→·B→，计算公式为A→·B→=|A→||B→|cosθ，其中θ为A→与B→之间的夹角。

数量积的结果是一个实数，它可以判断两个向量之间的夹角大小和它们的相互关系。

（2）向量积：向量积又称为叉积，表示为A→×B→，计算公式为A→×B→= |A→||B→|sinθn→，其中θ为A→与B→之间的夹角，n→为垂直于A→和B→所确定的向量。

向量积的结果是一个向量，它的方向垂直于A→和B→所在的平面，并遵循右手法则。

4. 平面向量的应用平面向量广泛应用于解决几何问题、物理问题和工程问题。

（1）几何问题：平面向量可以用来表示几何图形的性质，比如线段的垂直、平行、共线等关系。

平面向量的解题技巧

平面向量的解题技巧
平面向量的解题技巧主要包括以下几个方面：
1. 理解平面向量的性质：平面向量有大小和方向，可以进行加减法、数乘等运算。

理解平面向量的性质是解题的基础。

2. 建立坐标系：建立一个适当的坐标系，可以方便地表示平面向量的位置和方向。

通常可以选择直角坐标系或极坐标系。

3. 平面向量的表示方法：平面向量可以用坐标表示，也可以用向量表示。

在解题时，灵活选择适当的表示方法，使问题变得简化。

4. 平面向量的运算法则：平面向量可以进行向量的加法、减法和数乘运算。

根据运算法则，可以进行组合运算，简化计算过程。

5. 理解平面向量的几何意义：平面向量可以表示平移、旋转和缩放等几何变换。

在解题时，可以把平面向量与几何问题相联系，更好地理解和解决问题。

6. 利用向量的性质解题：平面向量具有一些特殊的性质，如平行、垂直、共线等。

在解题时，可以利用这些性质将问题转化为已知的条件，从而更好地解决问题。

总之，平面向量的解题技巧在于灵活运用向量的定义、表示、
运算法则和几何性质，以及适当选择合适的坐标系和表示方法，从而解决平面向量相关的问题。

求解平面向量问题的三种基本方法

思路探寻平面向量问题是高考数学试题中的必考内容，也是同学们必须熟知并掌握的知识点.平面向量问题有很多种类型，其求解方法也有很多，掌握更多的解题方法有助于同学们拓宽解题的思路，更高效地解答此类问题.本文结合三道例题探讨一下求解平面向量问题的三种方法.一、直接法直接法是解答平面向量问题的基本方法.在运用直接法解题时，首先要仔细分析题意，找出所涉及的相关公式、定义、定理、运算法则等，然后灵活运用这些公式、定义、定理、运算法则等合理进行推理、运算，求得结果.例1.已知平面上三点A 、B 、C 满足|| AB =3,||BC =4,|| CA =5,则 AB ∙ BC + BC ∙ CA + CA ∙AB =________.解：由|| AB =3,|| BC =4,|| CA =5及勾股定理可知，AB 、BC 、CA 分别是直角三角形的三边，由向量积公式可得：AB ∙ BC =|| AB ∙|| BC cos AB ,BC =3×4×0=0； BC ∙ CA =|| BC ∙|| CA cos BC ,CA =4×5×æèöø-45=-16；CA ∙ AB =|| CA ∙|| AB cos CA ,AB =3×5×æèöø-35=-9，所以 AB ∙ BC + BC ∙ CA + CA ∙AB =-16-9+0=-25.本题较为简单，属于一类基础性的问题，运用直接法便可解题.首先运用勾股定理和三角函数求得△ABC 的三个夹角的余弦值，然后利用向量的数量积公式求得结果.二、几何法几何法主要是根据平面向量的几何意义，将问题转化为平面几何问题进行求解的方法.在解题时，首先根据题意和平面向量的几何意义绘制出几何图形，然后利用三角形、平行四边形、圆的几何性质来解题.例2.AB 是单位圆上的弦，点P 是单位圆上的动点，设f ()λ=|| BP -λBA 的最小值为M ，若M 的最大值为32，则|| AB 的值等于_____.解：如图1所示，在AB 上任取一点为点C 使λ BA =BC 成立，∴f ()λ=||BP -λ BA =||BP - BC =||CP ，∵f ()λ=||CP 的最小值为M ，∴M 是点P 到弦AB 的垂直距离，∵M 的最大值为32，∴||AB =3.运用几何法解答平面向量问题，往往能使问题变得直观、简洁，合理转化问题能有效提升解题的效率.三、坐标法坐标法是指根据问题所给的条件建立直角坐标系，给每个点、向量赋予相应的坐标，然后通过坐标运算解题的方法.运用坐标法解答平面向量问题的关键是结合已知条件建立合适的直角坐标系.例3.在等腰△ABC 中，AB =AC =1,∠A =120°，点E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且 AE =m AB ,AF =nAC ,其中m 、n ∈()0,1且满足m +4n =1，若EF 、BC 的中点分别为M 、N ，则|| MN 的最小值是______.解：如图2所示，以CB 以及CB 的垂线为x 、y 轴建立直角坐标系，由题意可知，A æèöø0，12、B æèçöø÷0、Cèöø÷0，∵ AE =mAB ，∴ NE - NA =m AB ，∴NE =æèçöø÷,-12m +12，同理可得NF =èöø÷,-12n +12，又∵M 、N是EF 、BC 的中点，∴ NM =æèçöø÷)m -n ,-14()m +n +12，∴||NM ，∴当n =17时，||MN 的最小值为.由于△ABC 为等腰三角形，所以可以以CB 以及CB 的垂线为轴建立直角坐标系，给各点、各个向量赋予坐标，运用向量坐标运算法则便可解题.相比较而言，直接法较为简单，也是使用最多的一种方法；几何法、坐标法虽然较为复杂，但同学们只要能深入挖掘平面向量的几何意义、建立合适的直角坐标系，问题便能迎刃而解.（作者单位：江苏省苏州市吴江中学）图1图250Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

快速解决平面向量题目的技巧

快速解决平面向量题目的技巧解决平面向量题目的技巧在学习平面向量时，很多学生常常觉得题目难以解决，因为涉及到复杂的计算和概念。

然而，只要我们掌握一些解题技巧，就能够快速解决这类问题。

本文将介绍一些快速解决平面向量题目的技巧，帮助读者更好地掌握这一知识点。

一、向量的加减运算在解决平面向量题目时，向量的加减运算是非常基础也是重要的一步。

我们可以使用三角形法则或平行四边形法则来进行运算。

1. 三角形法则三角形法则适用于解决两个向量相加的问题。

即将两个向量的起点和终点相连接，构成一个三角形，那么连接起点和三角形的终点的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax + Bx，Cy = Ay + By。

2. 平行四边形法则平行四边形法则适用于解决两个向量相减的问题。

即将两个向量的起点相连，形成一个平行四边形，那么连接起点和平行四边形的对角线的向量就是所要求的向量。

例如，已知向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx， By)，我们可以得到向量C的坐标为(Cx, Cy)。

其中，Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。

二、向量的数量积和向量积除了向量的加减运算外，向量的数量积和向量积也是平面向量题目中常见的计算方法。

这两个概念在解决平面向量问题时非常重要。

1. 向量的数量积向量的数量积又称点积，表示为A·B。

计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角。

在解决平面向量问题时，我们可以通过计算两个向量的数量积来判断它们的关系，例如判断是否正交、平行或夹角大小等。

2. 向量的向量积向量的向量积又称叉积，表示为A×B。

计算公式为A×B=|A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量的夹角，n表示单位法向量。

平面向量的基本运算法则

平面向量的基本运算法则在数学中，平面向量是指一个既有大小（长度）又有方向的量。

平面向量具有独特的运算法则，包括加法、减法、数量乘法和点乘法。

下面将详细介绍平面向量的基本运算法则。

一、平面向量的表示平面向量可以用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小（长度），箭头所指的方向表示向量的方向。

常用的表示方法为使用字母加箭头或使用粗体字母表示向量，如向量a可以表示为"a->"或"a"。

二、平面向量的加法1. 平面向量的加法满足交换律，即a + b = b + a。

2. 平面向量的加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。

3. 平面向量的加法可以利用三角形法则进行计算。

将两个向量首尾相接，连接起来形成一个三角形，以第一个向量的起点和第二个向量的终点作为相加后向量的起点，以第一个向量的终点和第二个向量的起点作为相加后向量的终点。

相加后向量的大小等于三角形的长，方向与三角形最短边的方向相同。

三、平面向量的减法平面向量的减法可以理解为加法的逆运算。

用b减去a，即b - a，可以转化为b + (-a)。

其中，-a称为向量a的负向量，它的大小与a相等，方向相反。

四、平面向量的数量乘法1. 数量乘法即将向量与一个实数相乘，结果为一个新的向量。

数量乘法满足结合律，即k(la) = (kl)a，其中k和l为实数。

2. 如果k为正数，数量乘法会改变向量的大小，但不改变其方向；如果k为负数，数量乘法会改变向量的大小，并将其方向取反；如果k 为0，则结果向量为零向量。

3. 数量乘法的计算方法是将实数与向量的模长相乘，再将结果的方向与原向量保持一致。

五、平面向量的点乘法1. 平面向量的点乘法又称为数量积或内积，表示为a · b。

2. 点乘法的结果是一个标量（实数），而不是一个向量。

3. 点乘法的结果等于两个向量模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积，即a · b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。

高考数学平面向量题的七种解法

高考数学平面向量题的七种解法玉林高中刘飞一、基底法例1．(2013·江苏) 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12[解析] 如图所示，DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－23AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，且AB →与AC →不共线，所以λ1＝12－23，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.例2．(2013·天津) 在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD＝60°，E 为CD 的中点，若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．【答案】12[解析] 由题意得BE →＝AE →－AB →＝AD →＋12AB →－AB →＝AD →－12AB →，AC →＝AD →＋AB →，所以AC →·BE →＝(AD →＋AB →)⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2－12AB →2＋12AD →·AB →＝1－12AB →2＋12|AB →|×1×12＝1，解得|AB →|＝12或0(舍去)．例 3.（2007•天津）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则ADBC =· ．法一：选定基向量，，由图及题意得，=∴=（）（）=+==ABDC法二：由题意可得∴，∵，∴=．故答案为：﹣．二、坐标法例4．（2013•重庆）在平面上，，=1，．若||＜，则||的取值范围是（）A．（0，]B．（，]C．（，]D．（，]解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形A，B1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），由=1，得，则∵||＜，∴∴∴∵（x﹣a）2+y2=1，∴x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，∴y2≤1同理x2≤1∴x2+y2≤2②由①②知，∵||=，∴＜||≤故选D．例5．（2013•浙江）设△ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）A．∠ABC=90°B．∠BAC=90°C．A B=AC D．A C=BC解：以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P （x，0）则BP0=1，A（﹣2，0），B（2，0），P0（1，0）∴=（1，0），=（2﹣x，0），=（a﹣x，b），=（a﹣1，b）∵恒有∴（2﹣x）（a﹣x）≥a﹣1恒成立整理可得x2﹣（a+2）x+a+1≥0恒成立∴△=（a+2）2﹣4（a+1）≤0即△=a2≤0∴a=0，即C在AB的垂直平分线上∴AC=BC故△ABC为等腰三角形故选D本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力三、模方法例6．△ABC内接于以O为圆心的圆，且．则∠C=135°，cosA=．解：∵∴∴=∵A，B，C在圆上设OA=OB=OC=1∴根据得出A ，B ，C 三点在圆心的同一侧∴根据圆周角定理知∠C=180°﹣90°=135°同理求出=，cos ∠BOC=∵∠A 是∠BOC 的一半 ∴故答案为：135°；例7．（2013•浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x 、y ∈R ．若、的夹角为30°，则的最大值等于 2 ．解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x +y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．四、数量积法例8．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y + 的最大值是________. [解析]设AOC α∠=,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧•=•+•⎪⎨•=•+•⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x yαα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩ ∴02[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤例9．在△ABC 中，AB=2AC=2，∠BAC=120°，，若（O是△ABC的外心），则x1+x2的值为．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2，0），C（﹣，）．∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为﹣3，∴中垂线n的方程为 y﹣=（x+）．把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），由条件=，得（1，）=x1（2，0）+x2（﹣，）=（2x1﹣x2， x2），∴2x1﹣x2=1， x2=，∴x1 =，x2 =，∴x1+x2=，故答案为：．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．五、几何法例10．在△ABC中，若对任意k∈R，有|﹣k|≥||，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解：如图：设=k，则﹣k =，不等式即||≥||，∴||是点A与直线BC上的点连线得到的线段中，长度最小的一条，故有AC⊥BC，故则△ABC为直角三角形，故选A．本题考查向量和、差的模的几何意义，体现了等价转化的数学思想，把题中条件转化为AC ⊥BC ．例11．（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．解：令，，，如图所示：则，又，所以点C 在以点D 为圆心、半径为1的圆上，易知点C 与O 、D 共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A ．例12．2005年全国（I ）卷第15题“ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++，则实数m =________”先解决该题：作直经BD ，连DA ，DC ,有OB OD =-，DA AB ⊥，DC BC ⊥，AH BC ⊥，CH AB ⊥，故//CH DA ，//AH DC故AHCD 是平行四边形，进而AH DC =，又DC OC OD OC OB =-=+ ∴=+=+OH OA AH OA DC故OH OA OB OC =++，所以1m =评注：外心的向量表示可以完善为：若O 为ABC ∆的外心，H 为垂心，则OH OA OB OC =++。