2021-2022年高二上学期期末模拟试题二数学试题含答案

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2021-2022年高二上学期期末模拟数学试题

2021年高二上学期期末模拟数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填在答题纸的相应位置上）1.命题“若方程无实根，则”为真命题（用“真”、“假”填空）2．命题“”的否定是．3．已知：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直．则是的必要不充分条件．（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）4．双曲线的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是 .5. 已知椭圆的一个焦点为,则实数的值为___1_____.6．已知命题，，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有组成的集合＝ {−1, 0, 1, 2}7.已知数列的前项和为某三角形三边之比为，则该三角形最大角为．8. 如图，函数的图像在点处的切线是，则。

9．当无限趋近于0时，无限趋近于常数，则常数的值为。

10．若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，且，则此双曲线的离心率为 . 11．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 .12.已知各项均为正数的等比数列的最小值为____4______．13．已知实数满足则的最小值是 1 ．14.在中，三边成等差数列，则角的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，满分为90分，请把解答过程写在答题卡的相应位置上）15．（本题满分14分）已知命题：实数满足，命题：实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，且非是非的充分不必要条件，求的取值范围。

15．解：由可得：即命题……………………………………………………分由表示焦点在轴上椭圆可得：，即命题…………………………………………………………8分由非为非充分不必要条件可得：非非，即……………12分从而有： ……………………………………………14分16. （本题满分14分）已知数列的前项和为，，且（为正整数）（Ⅰ）求出数列的通项公式；（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.解：（Ⅰ）， ① 当时，. ②由 ① - ②，得. .又，，解得 .数列是首项为1，公比为的等比数列.（为正整数） ……………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.数列单调递增，当时，数列中的最小项为，必有，即实数的最大值为1 ……………… （14分）17．（本题满分14分）设的内角所对的边分别为且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的周长的取值范围.解：（1）由得 …………又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+ …………，，，又 …………（2）由正弦定理得：, )())1sin sin 1sin sinl a b c B C B A B =++=+=++……… …………故的周长的取值范围为.…………（2）另解：周长由（1）及余弦定理……………………又即的周长的取值范围为.…………14分18.（本题满分16分）设椭圆的左，右两个焦点分别为，短轴的上端点为，短轴上的两个三等分点为，且为正方形。

2021-2022年高二上学期期末综合测试数学试题含答案

2021年高二上学期期末综合测试数学试题含答案一、选择题（12×5分＝60分）1、下列命题为真命题的是（）A. 平行于同一平面的两条直线平行；B.与某一平面成等角的两条直线平行；C. 垂直于同一平面的两条直线平行；D.垂直于同一直线的两条直线平行。

2、下列命题中错误的是：（）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D.如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.3、已知、为实数,则是的 ( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4、已知命题[]2:"1,2,0"p x x a ∀∈-≥,命题2:",220"q x R x ax a ∃∈++-=,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D.5，如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝A 1B 14，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是( )A ．1517B ．12C ．817D ．326、设和为双曲线()的两个焦点, 若,是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.37、设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）A 4x+3y-13=0B 4x-3y-19=0C 3x-4y-16=0D 3x+4y-8=09、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.; B.; C.; D..10、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm 2,高为4cm ，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（） A. 2cm; B.; C.4cm; D.8cm 。

2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题含答案

A.24B.12C.81D.64
2.已知，则（）
A. B.
C. D.
3.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的系数是（）
A. 1792B. C. 448D.
5.已知事件A，B相互独立，，则（）
A. 0.24B. 0.8C. 0.3D. 0.16
6.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）
（1）甲、乙两班级的出场序号中至少有一个为奇数的概率；
（2）甲、乙两班级之间演出班级（不含甲乙）个数X的分布列与期望．
19.己知函数．
（1）若在上不单调，求a的范围；
（2）试讨论函数的零点个数．
20.己知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．
【答案】B
6.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（）
A. B. C. D.
【答案】A
7.考试停课复习期间，小王同学计划将一天中的7节课全部用来复习4门不同的考试科目，每门科目复习1或2节课，则不同的复习安排方法有（）种．
A. 360B. 630C. 2520D. 15120
【答案】C
2021-2022学年第一学期期末考试
高二年级数学试卷
班级：_________________姓名：_________________座号：________________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.用1，2，3，4这4个数字可写出（）个没有重复数字的三位数．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

2021-2022年高二上学期期末数学试卷(理科) 含解析(II)

2021-2022年高二上学期期末数学试卷（理科）含解析(II)一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．2．定积分（（2x+sinx）dx等于（）A．0 B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为（）A．∃x0∈R，使得lnx+x3+2x2+4=0B．∃x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4≠0C．∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0D．∀x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4=04．用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点5．已知直线x+ay=a+2（a∈R）与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）A．B．C．2 D．6．（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是（）A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞37．给出以下五个结论：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，且a+（b﹣1）i＜0（a，b ∈R），复数z满足|z|=3，则|z+a﹣bi|的最大值为（）A．B．C．D．9．在平行四边形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），点E，F满足，，且，则点A的轨迹方程是（）A．B． =1（x≥2）C．D． =1（x≥3）10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A．直线B．一段圆弧C．椭圆D．圆11．点P（1，t）（t＞0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72°和108°，则直线AB的斜率为（）A．﹣或B．tan18°C．D．tan36°12．观察下列不等式：，，，，…．照此规律，第五个不等式为（）A．B．C．D．二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7=______．14．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是______．15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于______．16．设F是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左焦点，过F的直线与椭圆C交于A，B 两点，分别过A，B作椭圆C的切线并相交于点P，线段OP（O为坐标原点）交椭圆C于点Q，满足，且，则椭圆C的离心率为______．三．解答题（本题共6个小题，共70分．要求每道题都必须写出必要的过程）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．18．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．19．数列{an }满足，且a1=2．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列{bn }的前n项和Tn．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3．（1）求异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角β的正切值．21．已知A（0，﹣1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．22．已知函数f（x）=xlnx﹣3x+8．（1）求函数y=f（x）在[e，e3]（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0＜a＜b，求证：．参考答案与试题解析一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数（i是虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．【解答】解：复数==．复数（i是虚数单位）的虚部是：．故选：B．2．定积分（（2x+sinx）dx等于（）A．0 B．C．D．【考点】定积分．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（2x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=0，故选：A．3．已知命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为（）A．∃x0∈R，使得lnx+x3+2x2+4=0B．∃x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4≠0C．∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0D．∀x0∈R，使得e x0+x3+2x2+4=0【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x∈R，e x+x3+2x2+4≠0，则¬p为：∃x∈R，使得e x+x3+2x2+4=0．故选：C．4．用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点【考点】反证法的应用．【分析】“至少有两个”的反面为“最多有一个”，据此直接写出结论即可．【解答】解：∵至少有两个”的反面为“最多有一个”，∴应假设：曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点．故选：B．5．已知直线x+ay=a+2（a∈R）与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N两点，则线段MN的长的最小值为（）A．B．C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程，求得圆心和半径，求得弦心距d的最大值，可得|MN|的最小值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，表示以C（1，）为圆心、半径等于3的圆，要使弦长最小，只有弦心距最大．∵直线x+ay=a+2（a∈R）恒过定点（2，1），∴弦心距d的最大值为1，∴|MN|的最小值为2=4，故选：A．6．（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是（）A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．即可判断出结论．【解答】解：由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．∴（x+8）（3﹣x）＜0的一个充分不必要条件是x＞8．故选：B．7．给出以下五个结论：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F和到定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线．其中正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】利用直线、圆的方程，椭圆，双曲线、抛物线的定义，即可得出结论．【解答】解：①经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点的直线的方程为（x1≠x2，y1≠y2），不正确；②以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，正确；③平面上到两个定点F1，F2的距离的和为常数2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹是椭圆，不正确；④平面上到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数2a（2a＜|F1F2|）的点的轨迹是双曲线，不正确；⑤当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以不正确．故选：D．8．i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，且a+（b﹣1）i＜0（a，b ∈R），复数z满足|z|=3，则|z+a﹣bi|的最大值为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由题意求出a，b的值，然后数形结合求得答案．【解答】解：∵（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i为纯虚数，∴a=﹣2，又a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R），∴b=1，则﹣a+bi=2+i，|z+a﹣bi|=|z﹣（2+i）|，又|z|=3，如图：∴|z+a﹣bi|的最大值为3+．故选：C．9．在平行四边形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），点E，F满足，，且，则点A的轨迹方程是（）A．B． =1（x≥2）C．D． =1（x≥3）【考点】轨迹方程．【分析】设A（（x，y），则E（， y），F（， y），利用，建立方程，化简即可点A的轨迹方程．【解答】解：设A（（x，y），则E（， y），F（， y），∵，∴﹣=4，化简得=1（x≥3），故选：D．10．棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在平面ABCD上，满足PC1=3PA，则点P的轨迹为（）A．直线B．一段圆弧C．椭圆D．圆【考点】轨迹方程．【分析】在底面上建立平面直角坐标系，设出P的坐标，写出点的坐标，根据正方体的性质，利用PC1=3PA，两点之间的距离公式，整理出关于x，y的方程，结果是一个圆．【解答】解：建立如图所示设P（x，y，0），A（0，0，0），C1（1，1，1）∵PC1=3PA，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+1=9x2+9y2，化简得（x﹣）2+（y﹣）2=故P点轨迹是圆．故选：D．11．点P（1，t）（t＞0）是椭圆上一点，A，B是该椭圆上异于点P的两个点，且直线PA，PB的倾斜角分别为72°和108°，则直线AB的斜率为（）A．﹣或B．ta n18°C．D．tan36°【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】将P（1，t）代入椭圆方程，求得t值，设PB的直线方程为y﹣=k（x ﹣1），与椭圆C联立方程组，求出B点坐标；再设PA的直线方程为y﹣=﹣k（x ﹣1），与椭圆C联立方程组，求出A点坐标，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：将P（1，t）（t＞0）代入椭圆方程，解得：t=，则P（1，），设PB的直线方程为y﹣=k（x﹣1），将直线方程代入椭圆方程，（3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0，设A（xA ，yA），则xA+1=，xA =，y A =k（xA﹣1）+=kxA﹣k+，又直线PB与PA的倾斜角互补，在上式中以﹣k代k，设B（xB ，yB），可得xB=，y B =﹣k（xA﹣1）+=kxB+k+，∴直线AB的斜率为kAB==，==，∴直线AB的斜率为．故选：C．12．观察下列不等式：，，，，…．照此规律，第五个不等式为（）A．B．C．D．【考点】归纳推理．【分析】根据已知式子寻找右端分母与左侧最后一个分母的关系，分子与分母的关系，得出规律．【解答】解： =，=，==，==，由上述式子可发现如下规律：（1）各式右端分母为左端最后一个分母底数与其相邻整数的乘积的2倍．（2）相邻两项分子的差为以5为公差的等差数列，照此规律可以得到： =．故选A．二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{an }的前n项和为Sn，若S8=3，则a2+a3+a6+a7= ．【考点】等差数列的前n项和．【分析】等差数列{an }的前n项和为Sn，S8=3，可得a1+a8，再利用a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）即可得出．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和为Sn，S8=3，∴=3，解得a1+a8=则a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）=2×=．故答案为：．14．已知函数f（x）=e x﹣ax在（3，+∞）单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，e3] ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】函数f（x）=e x﹣ax在区间（1，+∞）上单调递增⇔函数f′（x）=e x ﹣a≥0在区间（1，+∞）上恒成立，⇔a≤[e x]min在区间（1，+∞）上成立．【解答】解：f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）=e x﹣ax在区间（3，+∞）上单调递增，∴函数f′（x）=e x﹣a≥0在区间（3，+∞）上恒成立，∴a≤[e x]min在区间（3，+∞）上成立．而e x＞e3，∴a≤e3．故答案为：（﹣∞，e3]．15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，点E，F分别的棱BB1，CC1上，且满足AB=BE=3，FC1=2，则平面AEF与平面ABC所成的锐二面角的正切值等于．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，求出平面AEF与平面ABC的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：建立以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AA1=8，AB=BE=3，FC1=2，∴A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F（3，3，6），则平面ABC的一个法向量=（0，0，1），设平面AEF的法向量为为=（x，y，z），则=（3，0，3），=（3，3，6），由得，即，令x=1，则z=﹣1，y=1，则=（1，1，﹣1），cos＜，＞===﹣，∴面AEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值cosθ=，则sinθ==，则tanθ===，故答案为：．16．设F 是椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左焦点，过F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 作椭圆C 的切线并相交于点P ，线段OP （O 为坐标原点）交椭圆C 于点Q ，满足，且，则椭圆C 的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由，可取Q ，由于，可得P ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得过点A ，B 的切线方程分别为： =1， +=1．联立解得P ．设直线AB 的方程为：y=k （x+c ），可得x P =﹣=﹣，于是=﹣，即可得出．【解答】解：∵，∴可取Q ， ∵满足，∴=， ∴P ．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得过点A ，B 的切线方程分别为： =1， +=1．联立解得P．设直线AB的方程为：y=k（x+c），=﹣=﹣，∴xP∴=﹣，解得e==．故答案为：．三．解答题（本题共6个小题，共70分．要求每道题都必须写出必要的过程）17．已知函数f（x）=e x（x2﹣3）．（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数y=f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求导，f′（0）=﹣3，直线斜率为﹣3，且过点（0，﹣3），利用点斜式方程，求得切线方程；（2）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．【解答】解：（1）函数f（x）=e x（x2﹣3），则f′（x）=e x（x2+2x﹣3）=e x（x+3）（x﹣1），故f′（0）=﹣3，又f（0）=﹣3，故曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y+3=﹣3x，即3x+y+3=0；（2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=﹣3，如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1；此时函数单调递增；令f′（x）＜0，解得﹣3＜x＜1，此时函数单调递递减．x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1（1，+∞）f′（x）+ 0﹣0+f（x）递增极大值递减极小值递增当x=﹣3时取极大值，极大值为：f（﹣3）=6e﹣3，当x=1取极小值为f（1）=﹣2e．18．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣．（1）求角C的大小；（2）求△ABC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理即可得出；（2）利用和差公式与三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）在△ABC中，由题可知角A为钝角，故角C为锐角．∵sinA==，故，即，得C=45°；（2）由（1）得，故△ABC的面积为．19．数列{an }满足，且a1=2．（1）写出a2，a3，a4的值；（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明；（3）设，求数列{bn }的前n项和Tn．【考点】数学归纳法；数列递推式．【分析】（1）由a1=2，，分别令n=1，2，3，即可得出；（2）由（1）猜想：an=3﹣，利用数学归纳法证明即可，（3）先求出bn=﹣，裂项求和即可．【解答】解：（1）{an }满足，且a1=2，∴a2===，a3==，a3==，（2）可以猜想an=3﹣，证明如下：①当n=1时，猜想当然显然成立；②假设当n=k（k∈N+）时猜想成立，即ak =3﹣，则ak+1====3﹣，故当然n=k+1时猜想成立，由①②可知，猜想成立；（3）由（2）知bn==﹣，故Tn=（﹣）=1﹣=．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是边长为4的正三角形，M为PD的中点，底面ABCD是矩形，CD=3．（1）求异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）求直线AC与平面PCM所成的角β的正切值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）可取AD中点O，BC中点N，并连接OP，ON，根据条件可以说明ON，OD，OP三直线两两垂直，从而分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可求出图形上各点的坐标，从而可求出向量的坐标，这样根据cosα=即可求出异面直线PB与CM所成的角α的余弦值；（2）根据条件可以说明AM⊥平面PCM，从而得出为平面PCM的一条法向量，可求出向量的坐标，这样根据求出sinβ，从而求出cosβ，从而得出tanβ的值．【解答】解：如图，取AD中点O，BC中点N，连接OP，ON，由题知OP⊥AD，ON⊥AD；∵平面PAD⊥平面ABCD；∴OP⊥平面ABCD，∴ON，OD，OP两两垂直；因此可以O为原点，以ON，OD，OP三直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则：A（0，﹣2，0），B（3，﹣2，0），C（3，2，0），，D（0，2，0），；∴（1）；∴=；即异面直线PB与CM所成的角α的余弦值为；（2）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD；∴CD⊥平面PAD，AM⊂平面PAD；∴AM⊥CD，△PAD为正三角形，M为PD的中点；∴AM⊥PD，PD∩CD=D；∴AM⊥平面PCD，即AM⊥平面PCM；∴为平面PCM的一条法向量；又；∴=，∴；∴；即直线AC与平面PCM所成的角β的正切值为．21．已知A（0，﹣1）是焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点，F是椭圆C的右焦点，直线AF与椭圆C的另一个交点为B，满足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）为圆心的⊙D与椭圆C交于M，N两点，满足|AM|=|AN|．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求圆心D到直线MN的距离d的值．【考点】椭圆的标准方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），由此利用椭圆性质能求出椭圆C 的标准方程．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x，y）为MN的中点，利用点差法求出，．由此能求出圆心D到直线MN的距离．【解答】解：（1）由题意设椭圆C：，且F（c，0），则由|AF|=5|FB|，知B（），代入椭圆C的方程并化简得2a2=3c2=3（a2﹣1），即a2=3，故椭圆C的标准方程： =1．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x，y）为MN的中点，则=1， =1．两式相减得，故2x0+6y0•k MN=0．∵|AM|=|AN|，故点A在线段MN的中垂线上．又点D在线段MN的中垂线上，∴A，E，D三点共线，且AD⊥MN．kAD=﹣2，∴，从而．∵，解得，．∴圆心D到直线MN的距离d=|DE|=．22．已知函数f（x）=xlnx﹣3x+8．（1）求函数y=f（x）在[e，e3]（e是自然对数的底数）的值域；（2）设0＜a＜b，求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）法一：求出f（x）的导数，计算f（e），f（e2），f（e3）的值，从而求出函数的值域；法二：求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的值域即可；（2）令g（b）=2f（a）+f（b）﹣3f（），通过讨论函数的单调性，证明即可．【解答】解：（1）法一：由题易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）=0可得x=e2．因为f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在[e，e3]的值域为[8﹣e2，8]；法二：由题易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）＞0可得x＞e2，由f′（x）＜0可得0＜x＜e2，故函数y=f（x）在（0，e2）递减，在（e2，+∞）递增，从而y=f（x）在[e，e2）递减，在[e2，e3]递增，因为f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8，故函数y=f（x）在[e，e3]的值域为[8﹣e2，8]；（2）令，则，故g（b）在（a，+∞）递增，得g（b）＞g（a）=0，令h（b）=g（b）﹣（b﹣a）ln3，则h'（b）=g'（b）﹣ln3=，故函数h（b）在（a，+∞）递减，得h（b）＜h（a）=0，故g（b）＜（b﹣a）ln3，综上可知0＜g（b）＜（b﹣a）ln3，即．xx9月19日27035 699B 榛32478 7EDE 绞25611 640B 搋23910 5D66 嵦25249 62A1 抡37305 91B9 醹31500 7B0C 笌-23463 5BA7 宧21231 52EF 勯g6U27928 6D18 洘。

2021-2022年高二上学期期末考试理数试题含答案(II)

2021-2022年高二上学期期末考试理数试题含答案(II)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列中，已知，公差，则（）A．10 B．12 C．14 D．162.“”是“”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.双曲线渐近线的斜率为（）A． B． C． D．4.函数有（）A．最小值4 B．最大值4 C.最小值 D．最大值5.命题，，命题，，则下列命题正确的是（）A．为真 B．为真 C.为假 D．为真6.（重点中学做）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）A．升 B．升 C.升 D．升（普通中学做）《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）A.尺布B.尺布C.尺布D.尺布7.（重点中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最大值为（）A．1 B．2 C.3 D．4（普通中学做）已知变量满足约束条件1010310x yxx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数的最小值为（）A.5B.3C.1D.08.在正四棱锥中，，二面角的大小为，则异面直线与所成角的正弦值为（）A． B． C. D．9.过抛物线的焦点且斜率为1的直线与相交于两点，若，则抛物线的方程为（）A． B． C. D．10.如图所示，为内一点，且满足，，，，则（）A ．7B ． C. D ．11.已知函数()()()32f x m x m x m =++++，，若，或恒成立，则实数的取值范围为（）A ．B ． C. D ．12.（重点中学做）已知椭圆与双曲线()222222222:10 0x y C a b a b -=>>，有相同的焦点，，点是两曲线的一个公共点，且，分别是两曲线，的离心率，则的最小值是（） A ．4 B ．6 C.8 D ．16（普通中学做）已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，以的右焦点为圆心，以为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数的定义域为．14.若是两个正数，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于．15.如图所示，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且，为的中点，为的中点，则的长为．16.（重点中学做）如图所示，已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为．（普通中学做）在中，已知三边的长分别是（），则外接圆的面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求角的值；（2）若，且的面积为，求边的长.18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19. （本小题满分12分）某工厂要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这些产品要在、、、四种不同的设备上加工，按工艺规定，在一天内，产品Ⅰ每件在、、、设备上需要加工时间分别是2、2、3、0小时，产品Ⅱ每件在、、、设备上需要加工时间分别是4、1、0、3小时，、、、设备最长使用时间分别是16、8、9、9小时.设计划每天生产产品Ⅰ的数量为（件），产品Ⅱ的数量为（件）.（1）用列出满足设备限制使用要求的关系式，并画出相应的平面区域；（2）已知产品Ⅰ每件利润2（万元），产品Ⅱ每件利润3（万元），在满足设备限制使用要求的情况下，问该工厂在每天内产品Ⅰ，产品Ⅱ各生产多少件会使利润最大，并求出最大值.20. （本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，，，，分别为的中点.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21. （本小题满分12分）（重点中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于、两点，过点作轴，垂足为点，直线交椭圆与另一点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）试问是否为定值？若为定值，求出其值；若不为定值，说明理由.（普通中学做）如图所示，已知椭圆过点，直线与椭圆交于两点，当时，椭圆的右焦点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）设点关于轴的对称点为，试问：直线是否恒过轴上的一个定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）已知命题：方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆；命题：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，求实数的取值范围.23. （本小题满分10分）已知命题：；命题：方程表示焦点在轴上的双曲线.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真，““为假，求实数的取值范围.九江市xx上学期期末考试高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:BACDB 6-10:6普C，6重D，7普C，7重D；BBC 11、12：A；12普A，12重C二、填空题13. 14.10 15. 16.（重点中学做）；（普通中学做）三、解答题17.解：（1）由及正弦定理得：=+.………………1分A B C C Bsin sin cos sin∴()+=.…………2分B C B C C Bsin sin cos sin∴sin cos cos sin sin cos sin+=.……3分B C B C B C C B∴………………4分又∵为三角形内角，可得，∴.…………5分∵，∴.……6分（2）∵面积为，∴，即，.…………9分由余弦定理得，()22222cos 3361818b a c ac B a c ac =+-=+-=-=， ∴.…………12分18.解：（1）当时，，∴.…………2分当时，由及，得，即，.………………4分∴数列为首项为1，公比为的等比数列.…………5分 ∴.………………6分（2）由（1）得，.……8分123112322222n n nT =++++…，两式相减得2111111122121222222212n n n n n n n n n T --+=++++-=-=--….…………11分∴.…………12分19.解：（1）所满足的关系式为241628039039 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，，即28280303 x y x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，.………………3分画出不等式组28280303x yx yxyx y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪∈⎪⎩，所表示的平面区域，即可行域，（图中实心点）（注：可行域画成阴影区域及未标注扣1分）…………6分（2）设最大利润为（万元），则目标函数.……8分将变形，这是斜率为，随变化的一组平行直线，是直线在轴上的截距，当取得最大值时，的值最大，又因为所满足的约束条件，联立方程组，得点坐标为.又∵，当直线经过可行域上的点时，截距最大.……10分此时，.所以，每天安排生产2件产品Ⅰ，3件产品Ⅱ，会使利润最大为13（万元） (12)分20.解：（1）取中点，连接，，∵分别为中点，底面为正方形，∴，……1分∵，，，∴，∴.∵，，∴，∴，又，，平面，∴平面.…………3分又平面，∴，∵，分别为，中点，∴，∴，又，，平面，∴平面，……5分又平面，∴.………………6分（2）由（1）知可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，， ∴.………………8分设平面的法向量，，，则，即，∴.……10分设直线与平面所成角为，则sin cos 5n EFn EF n EF θ⋅=<>===⋅⋅，……12分21.（重点中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……1分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，=分又，解得，，故椭圆的方程为.…………4分（2），证明如下：设，则，，，直线的斜率.……8分可得直线的方程：，设点，联立()22226ky x xx y⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，消去得()222220022120k x k x x k x+-+-=，则，解得，∴，点.…………10分∵322200022123222PBk xkx kxkkk x x k x kxk--+===-+-+，∴，∴.……12分（普通中学做）解：（1）∵椭圆过点，∴.……2分∵椭圆的右焦点到直线的距离为，∴，∴.……4分又，解得，故椭圆的方程为.……6分（2）设，，则有，将代入椭圆方程，得.……8分∴，.……10分直线的方程为，令，得()()2122112211221212128211234113834kx kx x kxx y x y kx x kykx x x x x xk⎛⎫- ⎪+++++⎝⎭===+=+= +++-+，故恒过轴上的一个定点.……12分22.解：（1）∵方程所表示的曲线为焦点在轴上的椭圆，∴.………………3分解得.…………5分（2）∵“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件，∴是不等式()()()22220t a t a t t a-++=--<的解集的真子集.……7分令，∴.……9分解得，故实数的取值范围为.………………10分23.解：（1）当命题为真时，由已知得.………………3分解得，∴当命题为真时，实数的取值范围是.……5分（2）当命题为真时，由解得.……6分由题意得命题、中有一真命题、有一假命题.……7分当命题为真、命题为假时，则，解得.……8分当命题为假、命题为真时，则，.…………9分∴实数的取值范围是.……10分32554 7F2A 缪 W22816 5920 夠b28536 6F78 潸t35318 89F6 觶527812 6CA4 沤< 220222 4EFE 仾。

2021~2022学年高二上学期期末检测数学试卷

第1页共4页第2页共4页2021~2022学年高二上学期期末检测·数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置粘贴好条形码。

2.答题要求：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题使用黑色签字笔在答题卡上对应的答题区域内作答。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线310x y -+=的斜率为（）A.3B.3-C.3D.3-2.已知向量(2,3,1)a =，(1,2,0)b =，则a b +等于（）A.3B.3C.35D.93.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若BA a =，BC b =，1BB c =，则下列向量与BM 相等的是（）A.1122a b c --+ B.1122a b c +- C.1122-++a b cD.1122a b c ++ 4.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A.6.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺5.在正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A.25B.25-C.21 D.21-6.已知椭圆x 2k+8+y 29=1的离心率为12，则k 的值为( )A.4B.134C.4或-54D.4或1347.已知动点P 在直线1:3410l x y -+=上运动，动点Q 在直线2:640l x my ++=上运动，且12l l //，则PQ 的最小值为（）A.35B.310C.15D.1108.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，202020210a a +>，202020210a a ⋅<，则满足0n S >成立的最大正整数n 是（）A.4039B.4040C.4041D.4042二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.关于双曲线221:132x y C -=与双曲线222:123y x C -=下列说法正确的是（） A.它们的实轴长相等 B.它们的渐近线相同 C.它们的离心率相等D.它们的焦距相等10.已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（）A.12||2C C =B.直线AB 的方程是14x =C.12AC AC ⊥D.15||2AB =11.若数列{}n a 满足11a =，21a =，()123,n n n a a a n n N --+=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（）A.713a =B.135********a a a a a ++++=C.754S =D.24202026021a a a a a ++++=第3页共4页第4页共4页12.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111A B C D 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（）A.点E 的轨迹是一个圆B.点F 的轨迹是一个圆C.EF 的最小值为21-D.AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为21530+第II 卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若直线10x y -+=与直线310mx y +-=互相垂直，则实数m 的值为__________．14.已知双曲线2222x ya b-＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为________． 15.在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，P A =2，则AB 与PC 的夹角的余弦值为______.16.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点()3,0的直线l 与圆22:4380C x y x +-+=交于A ，B 两点，则四边形OACB 面积的最大值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为23． ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上．注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18.已知等比数列{}n a 中，24a =，5256a =．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19.在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB的长度．20.已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+．（1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．21.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，22AD PA PB ===，PA PB ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）证明:平面PAD ⊥平面PBC ;（2）若M 为PC 中点，求平面AMD 与平面BMD 的夹角的余弦值．22.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，离心率为3，且过点22,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎭．（1）求椭圆E 的标准方程;（2）过点()4,0P 作与x 轴不重合的直线l 与椭圆E 相交于M ，N 两点(N 在P ，M 之间)．证明:直线MB 与直线NA 的交点的横坐标是定值．。

2021-2022年高二上学期期末考试数学文含答案(II)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、下列函数中，在上为增函数的是（） A B C D2、曲线在点处的切线与y 轴交点的纵坐标是（） A B C D3、函数51232)(23+--=x x x x f 在上的最大值和最小值分别是（） A B C D4、抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A B C D5、设双曲线)0,0(12222>>=-n m n y m x 的焦距为，一条渐近线方程为，则此双曲线方程为（）A. B. C. D. 6、若函数在内有极小值，则（） A B C D7、用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 48、椭圆的离心率为（）A B C D 9、下面程序运行的结果是 ( )A 210 ，11B 200，9C 210，9D 200，1110、如右图是函数的导函数的图像，下列说法错误的是（）A. 是函数的极小值点B .1是函数的极值点C .在处切线的斜率大于零D .在区间上单调递增广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归直线方程中为，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为12、已知函数若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A B C D二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13、若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是________14、从抛物线上一点引其准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，且，则的面积为_________15、如右图所示，在圆心角为的扇形中，以圆心O作为起点作射线，则使的概率为________16、已知,,对一切恒成立，则实数的取值范围是__________三、解答题(17小题10分,18-22小题12分)17、设12321ln )(+++=x x x a x f ，其中，曲线在点处的切线垂直于轴。

（1）求的值（2）求函数的极值18、椭圆的一个顶点为，离心率。

2021-2022学年辽宁省营口市高二上学期期末考试数学试卷带讲解

【详解】
如图所示，由已知可得，为等腰三角形，且，翻折后可得、，平面平面，
对于选项A，平面平面，平面平面，且，所以平面，而平面，故，该选项正确；
对于选项B，、且，故平面，所以与平面BCD的法向量平行，该选项正确；
对于选项C，由选项A可知，，假设成立，则平面，此时，该结论与矛盾，故该选项错误；
故选：A.
6.在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，
故选：BCD
【点睛】对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知双曲线，则圆的圆心C到双曲线渐近线的距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】求出圆心和双曲线的渐近线方程，即得解.
【详解】直线的斜率不大于0，则直线l斜率可能等于零，此时直线倾斜角为0°，不为钝角，故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件；
直线的倾斜角为钝角时，直线的斜率为负，满足直线的斜率不大于0，即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件，“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件；
故故答案为：
16.已知抛物线C：的焦点为F，过M（4，0）的直线交C于A、B两点，设，的面积分别为、，则的最小值为______．

2021-2022学年湖北省高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2021-2022学年湖北省高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.与空间向量共线的一个向量的坐标是( )A. B.C.D.2.抛物线的焦点坐标是( )A.B.C. D. 3.在单调递减的等比数列中，若，，则( )A. 9B. 3C.D.4.若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则( )A. 5B.C.D.5.雅言传承文明，经典浸润人生．某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某人决定从这四类比赛中任选两类参赛，则“诵读中国”被选中的概率为( )A. B. C.D.6.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )A.B.C. 4D. 27.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载：“尧造围棋，丹朱善之”，至今已有四千多年历史．围棋不仅能抒发意境、陶冶情操、修身养性、生慧增智，而且还与天象易理、兵法策略、治国安邦等相关联，蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际围棋比赛中，规定甲与乙对阵，丙与丁对阵，两场比赛的胜者争夺冠军，根据以往战绩，他们之间相互获胜的概率如下：甲乙丙丁甲获胜概率/乙获胜概率/丙获胜概率/丁获胜概率/则甲最终获得冠军的概率是( )A. B. C. D.8.在xOy平面上有一系列点，，⋯，，⋯，对每个正整数n，点位于函数的图象上，以点为圆心的与x轴都相切，且与彼此外切．若，且的前n项之和为，则( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为( )A. B. C. D.10.关于双曲线，下列结论正确的是( )A. 离心率为B. 实轴长为6C. 渐近线方程为D. 焦点F到一条渐近线的距离为311.先后抛掷两颗质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是( )A. 时的概率为B. 时的概率为C. 时的概率为D. 是6的倍数的概率是12.如图，P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，共焦点，，，，的离心率分别为，，则下列结论正确的是( )A. ，B. 若，则C. 若，则的最小值为2D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.直线倾斜角为 .14.等差数列的前n项之和为，若，则 .15.由曲线围成的图形的面积为 .16.已知平行四边形ABCD内接于椭圆，且AB，AD的斜率之积为，则椭圆的离心率为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2021-2022学年山东省潍坊市潍坊高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年山东省潍坊市潍坊第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．下列关系中正确的个数是（）①③ ④12Q ∈R *0N ∈π∈Z A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据集合的概念、数集的表示判断．【详解】不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确．120π故选：A ．【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．2．12i12i +=-A ．B ．C ．D ．43i 55--43i 55-+34i 55--34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.详解：选D.212(12)341255i i i i ++-+==∴-点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．已知，则的取值范围是（）11,15x y x y -≤+≤≤-≤32x y -A ．B ．C ．D ．[]2,13[]3,13[]2,10[]5,10【答案】A 【分析】设，求出的值，根据的范()()()()32x y m x y n x y m n x m n y-=+--=-++,m n ,x y x y +-围，即可求出答案.【详解】设，()()()()32x y m x y n x y m n x m n y-=+--=-++所以，解得：，32m n m n -=⎧⎨+=-⎩()()1152,32,5222m x y x y x y n ⎧=⎪⎪-=++-⎨⎪=-⎪⎩因为，所以，11,15x y x y -≤+≤≤-≤()()[]15322,1322x y x y x y -=++-∈故选：A.4．若，则（）5cos 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ．C ．D 23-23【答案】A【分析】令，则，由诱导公式可得结果.512πθα=-cos θ=sin sin 122ππαθ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】令，则，且512πθα=-512παθ=+cos θ=sin sin cos 122ππαθθ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.5．函数在点处的切线与坐标轴围成的图形面积是（）()21f x x =1,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．12B ．9C ．D ．3492【答案】D 【分析】先利用的导函数求出切线的斜率，即可求出解析式，即可求出截距，最后求出面积.()f x 【详解】由题，，，所以切线为，整理得()32f x x '=-1162f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭11624y x ⎛⎫-⋅-= ⎝-⎪⎭，易得切线的截距为和12，围成的图形为直角三角形，故所求面积为，1612y x -+=3413912242⨯⨯=故选：D 6．已知数列是等比数列，若，且数列的前n 项乘积，n 的最大值{}n a 912111,01a a a ⋅><<{}n a 1n T >为（）A ．10B ．11C ．20D ．21【答案】C【分析】由等比数列的性质可推出：，，可得结论.201T >211T <【详解】数列是等比数列，，{}n a 912111,01a a a ⋅><<，()()10119109111102022021T a a a a a a a a ⋅⋅=⋅=⋅=>，211911212122011a a a a T a a ⋅⋅⋅==< 所以使的n 的最大值为20.1n T >故选：C7．米勒问题，是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大？）米勒问题的数学模型如下：如图，设是锐角,M N 的一边上的两定点，点是边边上的一动点，则当且仅当的外接圆与边ABC ∠BA P BC PMN ∆相切时，最大．若，点在轴上，则当最大时，点的坐标BC MPN ∠()()0,1,2,3M N P x MPN ∠P为A ．B．1,0)(1-C ．D．(1-±1,0)【答案】A【分析】设点的坐标为，求出线段的中垂线与线段的中垂线交点的横坐标，即可得P (,0)x MN MP 到的外接圆圆心的横坐标，由的外接圆与边相切于点，可知的外接圆圆PMN ∆PMN ∆BC P PMN ∆心的横坐标与点的横坐标相等，即可得到点的坐标．P P 【详解】由于点是边边上的一动点，且点在轴上，故设点的坐标为；P BC P x P (,0)a 由于，则直线的方程为：，点为直线与轴的交点，故点的坐()()0,1,2,3M N MN 1y x =+B MN x B 标为；由于为锐角，点是边边上的一动点，故；(1,0)-ABC ∠P BC 1a >-所以线段的中垂线方程为：；线段的中垂线方程为：；MN 1l 3y x =-+MP 2l 21122y ax a =-+故的外接圆的圆心为直线与直线的交点，联立，解得： PMN ∆1l 2l 231122y x y ax a =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩252(1)a x a +=+；即的外接圆圆心的横坐标为PMN ∆252(1)a a ++的外接圆与边相切于点，边在轴上，则的外接圆圆心的横坐标与点PMN ∆BC P BC x PMN ∆的横坐标相等，即，解得：或（舍）P 252(1)a aa +=+1a -1所以点的坐标为；P 1,0)-故答案选A【点睛】本题考查直线方程、三角形外接圆圆心的求解，属于中档题8．如图，点分别是正四面体棱上的点，设，直线与直线所M N 、ABCD AB CD 、BM x =MN BC 成的角为，则（）θA ．当时，随着的增大而增大2ND CN =θxB ．当时，随着的增大而减小2ND CN =θxC ．当时，随着的增大而减小2CN ND =θx D ．当时，随着的增大而增大2CN ND =θx 【答案】D【分析】分和两种情况，分别过作的平行线，可得直线与所作的2ND CN =2CN ND =N BC MN 平行线成的角即为角可得答案.θ【详解】当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为2ND CN =//NF BC BD F MN BC 直线与直线所成的角，即，MN NF MNF θ∠=设正四面体的棱长为3，则，1,2CN BF FN ===可求得MF MN =所以在中，有，FNM cos [0,3])x θ==∈令，则，2187()37x f x x x -=-+()2227365)37(x x x x f x -+'-+=时，有正有负，函数有增有减，[0,3]x ∈()2227365)37(x x x x f x -+'-+=所以故A 与B 错误；当时，如下图作交于点，所以直线与直线所成的角即为直线2CN ND =//NE BC BD E MN BC 与直线所成的角，即.MN NE MNE θ∠=同样设正四面体的棱长为3，则，2,2CN BF FN ===可求得ME =AN BN ==在中，有ABN cos ABN ∠==所以，即2227237MN x x x x =+-⨯=-+MN =所以在中，有，MNE cos [0,3])x θ==∈令，则，295()37x f x x x -=-+()22251880(37)x x x x f x '-+--=<所以在定义域内单调递减，即增大，减小，即减小，从而增大，故D 正确，C 错()f x x ()f x cos θθ误.故选：D.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．用分层抽样法从1000名学生（男、女分别占60%、40%）中抽取100人，则每位男生被抽中的概率为；110B ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，平均数也变为原来的3倍；C ．将一组数据中的每个数据都乘以3后，方差也变为原来的3倍；D ．一组数据，，……，的平均数是5，方差为1，现将其中一个值为5的数据剔除后，余1x 2x 100x 下99个数据的方差是．10099【答案】ABD【分析】根据分层抽样的计算规则分析A 选项，根据平均数和方差的计算公式分析BCD 选项.【详解】选项A ：因为1000名学生中男、女分别占60%和40%，根据分层抽样的计算规则，抽取的100人中男生占人，所以每位男生被抽中的概率.A 正确；10060%60⨯=601100060%10P ==⨯选项B ：平均数，将这组数据中每个数据都乘以3后1231(...)n x x x x x n =++++.B 正确；12312311(333...3)3(...)3n n x x x x x x x x x n n ++++=⨯++++=选项C ：方差，每个数据都乘以3后平均数变为原222221231[()()()...()]n s x x x x x x x x n =-+-+-++-来的3倍，方差.C 错误；222221231[(33)(33)(33)...(33)]9n x x x x x x x x s n -+-+-++-=选项D ：，因为的平均数是5，所以，新平均数123100,,,...,x x x x 123100...500x x x x ++++=，又因为的方差是1，所以1(5005)599x '=-=123100,,,...,x x x x ，提出一个值为5的数据后，余下99个2222212399[()()()...()(55)]100x x x x x x x x -+-+-++-+-=数的方差.D 正确.211001009999s =⨯=故选：ABD.10．若椭圆的左、右焦点分别为，，则下列b 的取值能使以为直径()222:108x y C b b +=>1F 2F 12F F 的圆与椭圆C 有公共点的是（）A ．B ．C ．D ．b =b =2b =b =【答案】ABC【分析】根据给定的条件，确定以为直径的圆半径，再结合椭圆的性质列出不等式求出b 的范12F F 围作答.【详解】令椭圆的半焦距为c ，则以为直径的圆的方程为，()222:108x y C b b +=>12F F 222x y c +=因圆与椭圆C 有公共点，则有，即，解得，显然选项222x y c +=22c b ≥228b b -≥02b <≤A ，B ，C 满足，D 不满足.故选：ABC11．已知某声音信号的波形可表示为，则下列叙述正确的是（）()2sin sin 2f x x x=+A ．在内有个零点B ．当时，单调递增()f x []0,2π30,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x C ．是的一个对称中心D ．的最大值为()2,0π()f x ()f x 3【答案】AC 【分析】当时，解方程，可判断A 选项；利用函数的单调性与导数的关系可判[]0,2x π∈()0f x =断B 选项；利用函数的对称性可判断C 选项；利用正弦型函数的有界性可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当时，，[]0,2x π∈()()2sin 2sin cos 2sin 1cos 0f x x x x x x =+=+=可得或，可得，故A 对；sin 0x =cos 1x =-{}0,,2x ππ∈对于B 选项，当时，，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭0cos 1x <<，()()()()22cos 2cos 222cos cos 122cos 1cos 1f x x x x x x x '=+=+-=-+当时，，此时函数单调递增，0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x ¢>()f x 当时，，此时函数单调递减，故B 错；,32x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<()f x 对于C 选项，，()()()()42sin 4sin 242sin sin 2f x x x x x f x πππ-=-+-=--=-⎡⎤⎣⎦ 故是的一个对称中心，C 对；()2,0π()f x 对于D 选项，因为，，可得，sin 1x ≤sin 21x ≤()2sin sin 23f x x x =+≤若函数在处取得最大值，()f x 0x x =3则，即，()0022,Z222x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩()0022,Z 4x m m n x n ππππ⎧=+⎪⎪∈⎨⎪=+⎪⎩这样的不存在，所以，的最大值不为，D 错.0x ()f x 3故选：AC.12．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷n 次，以表示没有出现连续3次正面向上的概率，则下列结n P 论正确的是（）A ．B ．378P =41516P =C ．当时，D ．2n ≥1n nP P +<()1231114248n n n n P P P P n ---=++≥【答案】ACD【分析】对于A ，利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出；对于B ，利用列举法能求3P 出；对于D ，分第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正4P n n n 1-面是相同的，和第次出现正面，第次出现反面，那么前次不出现连续三次正面和前次n n 1-n 2n -不出现连续三次正面是相同的，及第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，那么n n 1-2n -前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，由此能求出；对于n 3n -(4)n P n C ，由时，单调递减，，得到当时，．4n {}n P 1234P P P P =>>2n 1n n PP +<【详解】当时，，A 正确；3n =3317128P ⎛⎫=-=⎪⎝⎭当时，又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有：4n =正正正正或正正正反或反正正正，，B 错误；431311616P ∴=-=要求，即抛掷n 次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论；n P 如果第次出现反面，n 那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n n 1-这个时候不出现连续三次正面的概率是；∴112n P -⨯如果第次出现正面，第次出现反面，n n 1-那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n 2n -这个时候不出现连续三次正面的概率是；∴214n P-⨯如果第次出现正面，第次出现正面，第次出现反面，n n 1-2n -那么前次不出现连续三次正面和前次不出现连续三次正面是相同的，n 3n -这时候不出现三次连续正面的概率是，∴318n P -⨯综上，，D 正确；123111(4)248n n n n P P P P n ---=⨯+⨯+⨯ 由上式可得，则112111248n n n n P P P P +--=++1121231111111122482248n n n n n n n n P P P P P P P P +-----⎛⎫⎛⎫-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知，所以，，故当时，．311216n n P P -=-0n P >131016n n n P P P +--=-<()4n ≥4n ≥1n n P P +<又，，，满足当时，，C 正确．121P P ==378P =41316P =2n ≥1n n P P +<故选：ACD ．三、填空题13．椭圆的焦距为2，则__________．2214x y m +=m =【答案】3或5【分析】本题首先可根据焦距为得出，然后将椭圆分为焦点在轴上以及焦点在轴上两种21c =x y 情况，分别进行计算即可得出结果．【详解】解：因为椭圆的焦距为，所以，2214x y m +=21c =若焦点在轴上，则有，解得；x 24m c =+5m =若焦点在轴上，则有，解得；y 24m c =+3m =综上所述，或．3m =5故答案为：3或5．14．如图，长方体的体积是120，E 为的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是1111ABCD A B C D -1CC _____.【答案】10.【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.【详解】因为长方体的体积为120，1111ABCD A B C D -所以，1120AB BC CC ⋅⋅=因为为的中点，E 1CC 所以，112CE CC =由长方体的性质知底面，1CC ⊥ABCD 所以是三棱锥的底面上的高，CE E BCD -BCD 所以三棱锥的体积.E BCD -1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=111111201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.15．已知在直角梯形中，，，若点在线段上，则ABCD 22AB AD CD ===90ADC ∠=︒M AC 的取值范围为__________．MB MD+【答案】【分析】由题意建立平面直角坐标系，写出各点坐标，设，求出()01AM AC λλ=≤≤，即可求其模长，利用二次函数的图像与性质求范围即可．()2224MB MD λλ+=--，【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，()00A ，()20B ，()12C ，()02D ，设，则，()01AM AC λλ=≤≤()2M λλ，故，，()22MB λλ=--，()22MD λλ=-- ，则，()2224MB MD λλ+=--，，MB MD +==当时，取得最大值为0λ=MB MD+ 当时，取得最小值为35λ=MB MD +的取值范围为MB MD∴+故答案为：.四、双空题16．在中，，，，的面积等于______，ABC AB AC >BC =60A =︒ABCsin B =边上中线的长为______．BC AM 【答案】 12【分析】根据面积公式得到，再根据余弦定理得到，解得，8AB AC ⋅=6AB AC +=4AB =，根据勾股定理逆定理得到，计算得到答案.2AC =90C =︒【详解】，11sin 22ABC S AB AC A AB AC =⋅=⋅=△8AB AC ⋅=根据余弦定理：，()22222cos 312BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅=+-⋅=故，，解得，，6AB AC +=AB AC >4AB =2AC =故，故，，.222AB AC BC =+90C =︒30B =︒1sin 2B =故AM ===故答案为：12【点睛】本题考查了面积公式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.五、解答题17．已知集合，，为实数集.2{|760}A x x x =-+<22{|440}B x x x t t =-+-<R （1）当时，求及；5t =A B ⋃()R A B （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.x A ∈x B ∈t 【答案】（1），；（2）或.{|16}A B x x =-<< {|56}R A C B x x ⋂=< 2t - 6t【解析】（1）利用一元二次不等式的解法化简集合A ，由解得集合，，然后利用并集，5t =B R C B 交集和补集的运算求解.（2）根据“”是“”的充分不必要条件，转化为求解.x A ∈x B ∈A B 【详解】（1）由得：，即，2760x x -+<16x <<16{|}A x x =<<当时，，则或，5t =15{|}B x x =<<-{|1R C B x x =- 5}x 所以，.{|16}A B x x =-<< {|56}R A C B x x ⋂=< （2）由“”是“”的充分不必要条件，则，x A ∈x B ∈A B ，22{|440}{|()·[(4)]0}B x x x t t x x t x t =-+-<=---<显然，4t t ≠-2t ∴≠①当时，即时，，4t t ->2t <{|4}B x t x t =<<-要满足，则，A B146t t ⎧⎨-⎩ 解得；2t - ②当时，即时，，4t t -<2t >{|4}B x t x t =-<<要满足，则，A B416t t -⎧⎨⎩ 解得；6t 综上：实数的取值范围为：或.t 2t - 6t 【点睛】本题主要考查了二次不等式的解法､集合的交､并､补的运算及集合间的包含关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知中，角所对的边分别为，满足．ABC ,,A B C a b c ，，()2cos cos a c B b C -=(1)求的大小；B (2)如图，，在直线的右侧取点，使得．当角为何值时，四边形AB AC =AC D 24AD CD ==D面积最大．ABCD 【答案】(1)3π(2)8【分析】（1）由正弦定理将中的边化为角，再结合正弦的两角和公式化简可(2)cos cos a c B b C -=求得，从而得解；1cos 2B =（2）由（1）可推得为等边三角形，在中，由余弦定理可求得，再根ABC ACD 22016cos AC D =-据和，可推出四边形的面积，1sin 2ACD S AD CD D =⋅ 1sin 2ABC S AB BC B=⋅△ABCD 8sin()3S D π=-最后由角和正弦函数的性质即可得解．(0,)D π∈【详解】（1）由正弦定理知，，sin sin sin a b cA B C ==，(2)cos cos a c B b C -= ，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=即，2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B B C B C B C A =+=+=，，(0,),sin 0A A π∈≠ 1cos 2B ∴=，．(0,)B π∈ 3B π∴=（2）由（1）知，，3B π=，为等边三角形，AB AC = ABC ∴ 在中，由余弦定理知，ACD ，2222cos 164242cos 2016cos AC AD CD AD CD D D D =+-⋅=+-⨯⨯=-而，11sin 42sin 4sin 22ACD S AD CD D D D =⋅=⨯⨯=△，211sin sin 223ABC S AB BC B AC D π=⋅==-⋅四边形的面积，∴ABCD 4sin 8sin()3ACD ABCS S SD D D π=+=+=-△△，，，(0,)D π∈ (33D ππ∴-∈-2)3π当即时，取得最大值，为，∴32D -=ππ56D π=S 8故四边形面积的最大值为．ABCD 819．某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按，[)2,4，，分组，得到如图所示的频率分布直方图.[)4,6[)6,8[]8,10(1)分别求甲、乙生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若产品的质量指数在内，则该产品为优等品.现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽[]8,10取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率.【答案】(1)6.4，5.6(2)815【分析】（1）根据频率分布直方图直接计算即可；（2）求出6件产品中随机抽取2件的情况，再得出其中符合条件的情况，即可得出概率.【详解】（1）甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为；30.05250.15270.2290.12 6.4甲x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=乙生产线所生产产品的质量指数的平均数为.30.15250.1270.2290.052 5.6乙x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）（2）由题意可知，甲生产线的样品中优等品有件，乙生产线的样品中优等品1000.1220⨯⨯=有件.从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为a ，b ，c ，d ；从1000.05210⨯⨯=20642010⨯=+乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为E ，F .10622010⨯=+从这6件产品中随机抽取2件的情况有（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，E ），（a ，F ），（b ，c ），（b ，d ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，d ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），（E ，F ），共15种；其中符合条件的情况有（a ，E ），（a ，F ），（b ，E ），（b ，F ），（c ，E ），（c ，F ），（d ，E ），（d ，F ），共8种.故所求概率.815P =20．如图，在四棱锥中，底面ABCD 为直角梯形，，且P ABCD -90ABC BAD ∠=∠=︒2AD =，平面ABCD .1PA AB BC ===PA⊥（1）求PA 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E ，满足？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.90AEC ∠=︒【答案】（12）不存在，详见解析.【解析】（1）以AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求出PA 与平面PCD 所成角的正弦值；A xyz -（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.【详解】（1），平面ABCD ，可以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 所在的直90BAD ∠=︒ PA ⊥∴线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，A xyz -()0,0,1P ()1,0,0B ，，从而，，.()1,1,0C ()0,2,0D ()0,0,1PA =- ()1,1,1PC =- ()0,2,1PD =-设平面PCD 的法向量为，则，(),,n a b c = 00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，取，得，，20a b c b c +-=⎧∴⎨-=⎩1a =1b =2c =平面PCD 的一个法向量，∴()1,1,2n =设直线PA 与平面PCD 的夹角为，θ则.sin cos ,PA θ=<（2），则，()01PE PD λλ=≤≤()0,2,1E λλ-，，()1,21,1CE λλ∴=---()0,2,1AE λλ=-若，则，此方程无解，90AEC ∠=︒()()222110AE CE λλλ⋅=-+-= 故在棱PD 上不存在一点E ，满足.90AEC ∠=︒【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.21．已知圆M ：的圆心为M ，圆N ：的圆心为N ，一动圆与22289(9x y ++=221(9x y -+=圆N 内切，与圆M 外切，动圆的圆心E 的轨迹为曲线.C (1)求曲线C 的方程；(2)已知点，直线l 不过P 点并与曲线C 交于A ，B 两点，且，直线l 是否过定点？(6,3)P 0PA PB ⋅=若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)()221393x y x -=≥(2)存在，点(12,6).-【分析】（1）结合条件和双曲线定义可得答案.（2）联立直线方程与曲线方程，结合韦达定理与，可得，0PA PB ⋅= 2218318720m mt t t +-+-=后通过分解因式可得之间关系，从而可得l 所过定点.m t ，【详解】（1）如图，设圆E 的圆心为，半径为r ，由题可得圆M 半径为，圆N 半径为(,)E x y 17313则，，所以，17||3EM r =+1||3EN r =-||||6||EM EN MN -=<由双曲线定义可知，E 的轨迹是以M ，N 为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，又.()()00，,M N -所以动圆的圆心E 的轨迹方程为，.22193x y -=(3)x （2）设直线l 的方程为，将直线方程与曲线E 方程联立，有：x my t =+，消去x 得，()221393x y x x my t⎧-=≥⎪⎨⎪=+⎩，222(3)290m y mty t -++-=由题直线与曲线有两个交点，则.230m -≠设，，其中，，由韦达定理有：.11(,)A x y 22(,)B x y 13x 23x 21212222933，mt t y y y y m m --+==--又，0PA PB ⋅= ()()11226363,，,PA x y PB x y =--=-- 则1212(6)(6)(3)(3)0.x x y y --+--=又，，则11x my t =+22x my t =+1212(6)(6)(3)(3)PA PB my t my t y y ⋅=+-+-+-- ()()()()22121216369m y y mt m y y t =++--++-+，22222(1)(9)2(63)(1245)(3)03m t mt mt m t t m m +----+-+-==-即，2218318720m mt t t +-+-=又，故或2221831872183(6)(12)(36)(612)m mt t t m mt t t m t m t +-+-=+---=+--+0=612t m =+，36t m =-+若，则直线l 的方程为，36t m =-+(3)6x m y =-+此时l 过点，与题意矛盾，(6,3)P 所以，36t m ≠-+故，612t m =+所以直线l 的方程为，(6)12x m y =++m ≠则直线l 恒过点(12,6).-【点睛】关键点点睛：本题涉及求动点轨迹及双曲线中的定点问题，（1）类问题常结合椭圆与双曲线定义思考；对于（2）问，难点为能将分解因式.221831872m mt t t +-+-22．已知函数在区间内存在极值点．()()()sin ln 1f x a x x a =-+∈R (1,0)-(1)求a 的取值范围；(2)判断关于x 的方程在内实数解的个数，并说明理由．()0f x =()1,π-【答案】(1)()1,+∞(2)实数解有三个，理由见解析【分析】（1）求出函数导数，讨论和，讨论导数的正负即可求解；1a ≤1a >（2）两次求导，根据零点存在性定理进行判断可以得出.【详解】（1）．()()1cos 101f x a x x x '=--<<+①当时，因为，所以．1a ≤0cos 1x <<()11011xf x x x '<-=<++所以在（－1，0）上单调递减，所以在（－1，0）上无极值点．()f x ()f x 故不符合题意．1a ≤②当a >1时，因为在（－1，0）上单调递增，在（－1，0）上单调递增，cos y a x =11y x =-+所以在（－1，0）上单调递增．()f x '又，，，()111,0a -∈-111cos 10f a a a a ⎛⎫⎛⎫'-=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()010f a '=->所以存在唯一的，使得．111,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10f x '=当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以()11,x x ∈-()0f x '<()f x ()1,0x x ∈()0f x ¢>()f x 在（－1，0）内存在极小值点，满足题意．()f x 1x 综上，a 的取值范围是．()1,+∞（2）当时，单调递减．02x π<<()()2sin 11x f x a x ''=-++又，，所以存在唯一的，使得．()010f ''=>()24022f a ππ⎛⎫''=--< ⎪⎝⎭+00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00f x ''=当时，，单调递增；当时，，单调递减，00x x <<()0f x ''>()f x '02x x π<<()0f x ''<()f x '又，，所以存在唯一的，使得．()()0010f x f a ''>=->2022f ππ⎛⎫'=-< ⎪+⎝⎭0,2x πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f α'=当时，；当时，．()0,x α∈()0f x ¢>,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x '<又当时，恒成立，2x ππ≤<()0f x '<结合（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．()f x ()11,x -()1,x α(),απ又因为，，，，，所以在()()e 1sin e 10a a f a a ---=-+>()00f =()0f π<()10<f x ()0f α>()f x 内共有三个零点，方程在内的实数解有三个．()1,π-()0f x =()1,π-【点睛】关键点睛：本题考查含参函数的极值点和零点问题，解题的关键是利用存在性定理结合单调性判断导数的正负.。

2021-2022学年吉林省吉化第一高级中学校高二上学期期末考试数学试题 (解析版)

吉化一中2021-2022学年度第一学期期末考试高二数学试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 若曲线22220x y x my ++++=表示圆，则m 的取值范围是（） A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. ()(),22,∞∞--⋃+D. (][),22,-∞-+∞【答案】C 【解析】【分析】按照圆的一般方程满足的条件2240D E F +->求解即可. 【详解】22280,2m m +-><-或2m >. 故选：C.2. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c =，用基底{},,a b c 表示向量1BD ，则1BD =（）A. a b c ++B. a b c -++C. a b c -+D. a b c +-【答案】B 【解析】【分析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，所以11BD BA AD DD =++1AB AD AA =-++a b c =-++，故选：B3. 圆1C ：221x y +=与圆2C ：()()223436x y -++=的位置关系是（） A. 内切 B. 外切C. 相交D. 相离【答案】A 【解析】【分析】先计算两圆心之间的距离，判断距离和半径和、半径差之间的关系即可.【详解】圆1C 圆心(0,0)，半径11r =，圆2C 圆心(3,4)-，半径26=r ，两圆心之间的距离215d r r ===-，故两圆内切.故选：A.4. 双曲线2244y x -=的焦点坐标为（）A. )(),B.)(),C. ((,0,D. ((,0,【答案】C 【解析】【分析】把双曲线方程化为标准形式，直接写出焦点坐标.【详解】2214y x -=，焦点在y轴上，c ==((,0,.故选：C.5. 平行直线1l ：3430x y +-=与2l ：810mx y +-=之间的距离等于（） A.710B.12C.25D.15【答案】B 【解析】【分析】先由两条直线平行解出m ，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】816343m m -=≠⇒=-，则2l ：6810x y +-=，即13402x y +-=12=.故选：B.6. 《莱茵德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最大的一份是（）个． A. 12 B. 24C. 36D. 48【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，根据题意，由()()211513141931a q a q a q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩求解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为10a >，公比1q >，由题意得：123123453493a a a a a a a a ⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，即()()211513141931a q a q a q q⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得132a q =⎧⎨=⎩，所以45148a a q ==，故选：D7. 已知数列{}n a 满足()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，则19a a ⋅=（） A. 32 B.489C. 1320D.291320【答案】A 【解析】【分析】先令1n =，求出1a ，再当2n ≥时，由()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，可得()()12112n a a a n n n -⋅⋅⋅=++，然后两式相比，求出n a ，从而可求出9a ，进而可求得答案【详解】当1n =时，123424a =⨯⨯=，当2n ≥时，由()()()12123n a a a n n n ⋅⋅⋅=+++，可得()()12112n a a a n n n -⋅⋅⋅=++，两式相除可得(1)(2)(3)3(1)(2)n n n n n a n n n n++++==++，所以993124993a +===，所以19424323a a ⋅=⨯=，故选：A8. 已知椭圆C 的中心为O ，一个焦点为F ，A 在C 上，若AOF 是正三角形，则C 的离心率为（）A.2B.2C.12D.1【答案】D 【解析】【分析】根据AOF 是正三角形可得A 的坐标，代入方程后可求离心率.【详解】不失一般性，可设椭圆的方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，c 为半焦距，F 为右焦点，因为AOF 且(),0F c ，故2c A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故22223144c c a b +=，()22231441e e e+=-，整理得到42840e e -+=，故1e =，故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 直线l 过点()1,2P 且斜率为k ，若与连接两点()1,3A --，()3,2B -的线段有公共点，则k 的取值可以为（） A. 2- B. 1C. 2D. 4【答案】AD 【解析】【分析】要使直线l 与线段AB 有公共点，则需PA k k ≥或PB k k ≤，根据两点的斜率公式计算可得选项. 【详解】解：要使直线l 与线段AB 有公共点，则需PA k k ≥或PB k k ≤，而325112PA k --==--，22231PB k --==--，所以52k ≥或2k ≤-，所以k 的取值可以为2-或4，故选：AD10. 下列双曲线中以2y x =±为渐近线的是（）A. 2241y x -= B. 221416x y -=C. 2214x y -=D. 2214y x -=【答案】ABD 【解析】【分析】依次求4个选项中的渐近线方程即可.【详解】A 选项：渐近线方程2y x =±，正确；B 选项：渐近线方程2y x =±，正确； C 选项：渐近线方程12y x =±，错误；D 选项：渐近线方程2y x =±，正确；故选：ABD.11. 已知空间三点()1,2,1A -，()1,1,0B -，()0,4,3D ，四边形ABCD 为平行四边形，则下列结论正确的有（）A. 点C 的坐标为()1,1,1B. cos 3BAD ∠=-C. 点D 到直线AB 的距离为D. 平行四边形ABCD【答案】BD 【解析】【分析】A 选项通过AB DC =直接计算；B 选项直接求出,,AB AD BD ，余弦定理计算即可； C 选项利用空间点到直线的距离公式计算；D 选项按照面积公式计算.【详解】A 选项：设点C 的坐标为(),,x y z ，(0,1,1)(,4,3)AB DC x y z =--==--，解得0,3,2x y z ===，错误；B 选项：AB ==3,AD BD ===222cos 23AB AD BD BAD AB AD +-∠==-⋅⋅，正确；C 选项： (0,1,1)AB =--，()1,2,2AD =，AB 方向上的单位向量20,22u ⎛=--⎝⎭，则点D 到直线AB ()221AD u AD-⋅=，错误；D选项：AB =D 到直线AB 的距离为1，平行四边形ABCD ，正确.故选：BD.12. 已知数列{}n a 各项均是正数，4a ，6a 是方程240x x a -+=（04a <<）的两根，下结论正确的是（）A. 若{}n a 是等差数列，则数列{}n a 前9项和为18B. 若{}n a 是等差数列，则数列{}n a 的公差为C. 若{}n a 是等比数列，{}n a 公比为q ，3a =，则4231030q q -+=D. 若{}n a 是等比数列，则37a a +的最小值为【答案】AC 【解析】【分析】A 选项按照等差数列的前n 项公式计算即可；B 选项直接计算4a ，6a ，再计算公差； C 选项计算出2q 即可解决；D 选项利用基本不等式解决. 【详解】对于A ：{}n a 是等差数列，464a a +=，前9项和为1946991822a a a a⨯=⨯=++，正确；对于B ：{}n a 是等差数列且各项均是正数，46464aa a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得4622a a ==，公差642a a d -== 对于C ：{}n a 是等比数列且各项均是正数，464643a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得461,3a a ==或463,1a a ==，公差2643a q a ==或13，代入，4231030q q -+=均成立，正确；对于D ：{}n a 是等比数列且各项均是正数，4637a aa a a ⋅==⋅，则37a a +≥=37a a =时取等，又04a <<，37a a ≠，错误；故选：AC.三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知抛物线22(0)y px p => 的焦点坐标为(1,0)，则该抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________. 【答案】[1,)+∞ 【解析】【分析】根据题意，求得2p =，得到焦点坐标(1,0)F ，结合抛物线的定义，得到11MF x =+，根据10x ≥，求得1MF ≥，即可求解.【详解】由抛物线22(0)y px p => 的焦点坐标为(1,0)，可得12p=，解得2p =，设抛物线上的任意一点为111(,)(0)M x y x ≥，焦点为(1,0)F ，由抛物线的定义可得11MF x =+，因为10x ≥，所以1MF ≥，所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是[1,)+∞.故答案为：[1,)+∞.14. 已知直线l 的方向向量(),1,2e m =，平面α的法向量()2,,4n n =-，若l α⊥，则2m n +=______．【答案】4- 【解析】【分析】由l α⊥，可得e ∥n ，从而可得n e λ=，代入坐标列方程可求出,m n ，从而可求出2m n + 【详解】因为直线l 的方向向量(),1,2e m =，平面α的法向量()2,,4n n =-， l α⊥，所以e ∥n ，所以存在唯一实数λ，使n e λ=，所以(2,,4)(,1,2)n m λ-=，所以242m n λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得212m n λ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以22(2)4m n +=-+-=-，故答案为：4-15. 已知数列()()1812n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬++⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则102S S -=______．【答案】3 【解析】【分析】先通过裂项相消求出n S ，再代入计算即可.【详解】()()1818181212n n n n =-++++，则1818181818181892334122n S n n n =-+-++-=-+++，故1021818993124S S ⎛⎫-=---= ⎪⎝⎭. 故答案为：3.16. 已知点()3,1M 在圆C ：()()22211x y r -++=（0r >）内，过点M 的直线被圆C 截得的弦长最小值为8，则r =______．【答案】【解析】【分析】根据点与圆的位置关系，可求得r 的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r 的方程，求解即可.【详解】由点()3,1M 在圆C ：()()22211x y r -++=内，且所以()()2223131r -++<，又0r >，解得r >过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为CM又()1,1C -，CM ∴=所以8==r =故答案为：四、解答题（共70分）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2312a a +=，315S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若120k S =，求k 的值．【答案】（1）21n a n =+ （2）10 【解析】【分析】(1) 设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知建立方程组，解之可求得数列{}n a 的通项公式； (2)利用等差数列的前n 项和公式，化简即可求解. 【小问1详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知2312a a +=，315S =，得1123123315a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，则21n a n =+；小问2详解】解：由（1）得21n a n =+，则2(321)22k k kS k k ++==+，由22120k S k k =+=，得10k =或12k =-（舍去），所以k 的值为10.18. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =．点E 在1DD 上，且114DE DD =．（1（求证：BE ⊥平面1AB C ；（2（求二面角1B AC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别写出BE ，1AB ，AC 的坐标，证明1BE AB ⊥，BE AC ⊥，即可得证；（2）由（1）知，1AB C 的法向量为BE ，直接写出平面ABC 法向量，按照公式求解即可. 【小问1详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系因为2AB AD ==，14AA =，114DE DD =所以()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,1E ，()2,2,0C ，()10,0,4A ，()12,0,4B 则()2,2,1BE =-，()12,0,4AB =，()2,2,0AC =，所以有10BE AB ⋅=，0BE AC ⋅=，则1BE AB ⊥，BE AC ⊥，又1AB AC A =所以BE ⊥平面1AB C 小问2详解】由（1）知平面1AB C 的法向量为()2,2,1BE =-，而平面ABC 法向量为()0,0,1n = 所以1cos ,34BE n BE n BE n⋅===⋅，由图知二面角1B AC B --为锐二面角，所以二面角1B AC B --的余弦值为13． 19. 已知点()1,2A -在抛物线22y px =（0p >）上，过点A 且斜率为1直线与抛物线的另一个交点为B ．（1）求p 的值和抛物线的焦点坐标；（2）求弦长AB ．【答案】（1）2p =，焦点坐标()1,0（2）【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入抛物线的方程，可求得p 的值，进而可得抛物线的焦点坐标；（2）写出直线AB 的方程，联立直线与抛物线方程求得交点坐标，利用两点之间的距离公式即可求解. 【小问1详解】因为点(1,2)A -在抛物线22(0)y px p =>上，所以42p =，即2p = 所以抛物线的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；【小问2详解】由已知得直线AB 方程为21y x +=-，即3y x =-由234y x y x=-⎧⎨=⎩得21090x x -+=，解得1x =或9x =所以()96B ,，则||AB == 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且2PA AB ==，点E在棱PD 上，且直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为3．（1）求点E 的位置；（2）求点B 到平面ACE 的距离．【答案】（1）E 为棱PD 中点（2【解析】【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PE PD λ=，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的方程，结合01λ≤≤求出λ的值，即可得出点E 的位置；（2）利用空间向量法可求得点B 到平面ACE 的距离．【小问1详解】解：因为PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()002P ,,，设()()0,2,20,2,2PE PD λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，则()0,2,22AE AP PE λλ=+=-，设平面PBD 的法向量为()111,,m x y z =，()2,2,0BD =-，()2,0,2BP =-，由1111220220m BD x y m BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取11x =，可得()1,1,1m =，由题意可得cos ,22AE m AE m AE m⋅<>===⋅，整理可得24410λλ-+=，因为01λ≤≤，解得12λ=，因此，点E 为棱PD 的中点. 【小问2详解】解：由（1）知E 为棱PD 中点，即()0,1,1E ，则()0,1,1AE =，又()2,2,0AC =，设平面ACE 的法向量为()222,,n x y z =，由22222200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21x =，可得()1,1,1n =-，因为()2,0,0AB =，所以，点B 到平面ACE 的距离为23AB n d n⋅===.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n n S a n =-．（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）记()122n n n n nb a -=⋅-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）证明见解析; （2）1242n n n T -+=-. 【解析】【分析】（1）由已知得2n n S a n =-，当2n ≥时()1121n n S a n --=--，两式作差整理得()1121n n a a -+=+，根据等比数列的定义可得证；（2）由（1）求得21nn a =-，12n n nb -=，再运用错位相减法可求得答案. 【小问1详解】证明：因为2n n S a n =-，……①，所以当1n =时，11a =，当2n ≥时()1121n n S a n --=--……②，则①-②可得121n n a a -=+()2n ≥，所以()1121n n a a -+=+()2n ≥，因为1120a +=≠，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．【小问2详解】解：由（1）知12nn a +=，即21n n a =-，因为()122n n n n n b a -=⋅-所以12n n nb -=，则01221123122222n n n n nT ---=+++⋅⋅⋅++……①， ①12⨯得123111231222222n n n n n T --=+++++⋅⋅⋅……②， ①-②得12111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=-- ，所以1242n n n T -+=-.22. 已知平面内两点()0,4A -，()0,4B ，动点P 满足169AP BP k k ⋅=-．（1（求动点P 的轨迹方程；（2（过定点()0,8Q 的直线l 交动点P 的轨迹于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴对称点为M '，求证直线M N '过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）221916x y +=()0x ≠（2）证明见解析，定点坐标为()0,2 【解析】【分析】（1）直接由斜率关系计算得到；（2）设出直线M N '，联立椭圆方程，韦达定理求出1212,x x x x +，再结合,,M N Q 三点共线，求出参数，得到过定点. 小问1详解】设动点(),P x y ，由已知有44169y y x x +-⋅=-()0x ≠，整理得221916x y +=()0x ≠，所以动点P 的轨迹方程为221916x y +=()0x ≠；【小问2详解】由已知条件可知直线M N '和直线l 斜率一定存在，设直线M N '方程为y kx t =+，()11,M x y '，()22,N x y ，则()11,M x y -，由221916y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()2229161891690k x ktx t +++-⨯=，则()()()222Δ184********kt k t =-+-⨯>，即为22916t k <+，12218916kt x x k -+=+，21229-169916t x x k ⨯⋅=+，因为直线l 过定点()0,8Q ，所以,,M N Q 三点共线，即QM QN k k =，即121288y y x x --=-，即()()2112880x y x y -+-=，即()()2112880x kx t x kx t +-++-=，即()()1212280kx x t x x +-+=得()222916918280916916t ktk t k k -⨯--=++，整理()21680t t t ---=，得2t =，满足0∆>，则直线'M N 方程为2y kx =+，恒过定点()0,2.【点睛】本题关键在于设出带有两个参数的直线M N '的方程，联立椭圆方程后，利用题干中的条件，解出一个参数或得到两个参数之间的关系，即可求出定点.。

2021-2022年高二上学期期末考试数学试题含答案(VIII)

一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）1．直线的倾斜角为，则的值是___________.2．若实数满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0220y x x y x ，则的最大值为 .3．设复数满足，则 .4．已知直线与圆相切，则的值为__ ___.5．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__ ____.6．若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________________.7．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________.8．已知点P 是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O 是原点，则四边形OAPB 的面积的最大值是_________.9．若点O 和点F 分别为双曲线的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________.10．双曲线的焦点为F 1、F 2，，P 在双曲线上，且满足：，则的面积是 .11．若点在直线上的射影是,则的轨迹方程是 .12．已知点在直线上，点在直线上，PQ 的中点为，且,则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）13．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）（A）（B）（C）（D）15．设曲线C的参数方程为为参数，直线的方程为，则曲线C上到直线的距离为的点的个数为（）（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 416. 已知曲线：（），下列叙述中正确的是（）（A）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点（B）直线（）与曲线最多有三个交点（C）曲线关于直线对称（D）若为曲线上任意两点，则有三、解答题（本大题满分52分）17．（本题满分6分）求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.18．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设是方程的一个根．（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.19．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.20．（本题满分12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m 称为其相似比．（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；（2）设过原点的一条射线L 分别与（1）中的两个椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在线段OB 上），求的最大值和最小值；（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的一点，若,,成等比数列，则点P 的轨迹方程为”。

2021-2022年高二上学期期末考试数学试题

2021年高二上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共12题，满分36分。

请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。

每题填写正确得3分，否则一律得0分。

1、过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。

解：一个法向量，所以方程为，即。

▋2、直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。

解：，所以倾角的取值范围是。

▋3、已知直线：与：平行，则k的值是____________。

解：342(3)(5)02(3)2k kk kk--=--=--，所以或。

当时，二直线分别为：，：，平行；当时，二直线分别为：，：，平行。

▋4、直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。

（用反三角函数表示）解：，所以夹角满足，所以夹角为。

▋5、已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。

解：。

▋6、等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。

解：椭圆的焦点坐标为，。

由，所以。

所以，双曲线C的方程为。

▋7、有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。

解：设抛物线方程为，其过点，所以，，当时，，所以桥下的水面宽米。

▋8、直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。

解：：，与联立，解得交点为。

▋9、已知方程2222(2)(2)(22)340ax a y a x a y a+-+++-++=表示圆，则___________。

解：令，解得或。

（1）当时，方程化为，方程表示圆；（2）当时，方程化为，判别式，方程不表示圆。

所以。

▋10、已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。

解：的焦点为，设（），所以，将代入，得，所以直线的斜率。

2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题(解析版)

2021-2022学年湖北省黄冈市高二上学期期末数学试题一、单选题1．若()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（） A ．()3,2,1 B ．()1,3,2 C ．()2,1,3 D ．()1,2,3【答案】D【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量AB ，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【详解】∵ ()()0,1,2,2,5,8A B 在直线l 上， ∴ 直线l 的一个方向向量(2,4,6)AB =，又∵1(1,2,3)(2,4,6)2=，∴(1,2,3)是直线l 的一个方向向量．故选：D ． 2．“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】先根据直线平行的充要条件求出a ，然后可得. 【详解】若14a =，则1:240l x y +-=，2:220l x y +-=，显然平行；若直线12l l ∥，则2(21)a a a -=-且()2a a --≠，即14a =. 故“14a =”是直线()1:2110l a x ay --+=与直线2:210l x ay +-=平行的充要条件. 故选：C3．已知圆222(0)x y r r +=>与直线2y kx =+至少有一个公共点，则r 的取值范围为（） A ．2r > B ．1rC ．2rD ．02r<【答案】C【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线2y kx =+的距离范围，从而求出r 的取值范围.【详解】圆心()0,0到直线2y kx =+的距离2221d k=≤+，当且仅当0k =时等号成立，故只需2r 即可. 故选：C4．已知等差数列{},n n a S 为其前n 项和，且23452534,52a a a a a a +++==，且42a a >，则9S =（） A ．36 B ．117C ．36-D ．13【答案】B【分析】根据等差数列下标的性质，2534a a a a +=+，进而根据条件求出25,a a ，然后结合等差数列的求和公式和下标性质求得答案.【详解】由题意，42a a >，即{}n a 为递增数列，所以52a a >，又()234525253421734a a a a a a a a +++=+⇒⇒+==，又2552a a =，联立方程组解得：25134,a a ==.于是，()99155911227992a a a S a +⨯====. 故选：B.5．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为PC ，PD 上的点，1,3CM PN ND CP ==，设,,AB a AD b AP c ===，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（）A ．121333a b c ++B ．121333a b c --C ．111366a b c --+D ．211366a b c --+【答案】D【分析】通过寻找封闭的三角形，将相关向量一步步用基底表示即可.【详解】11()32MN MC CA AN PC AC AD AP =++=-++11()()()32BC BP AB AD AD AP =--+++ 11(+)()()32AD AP AB AB AD AD AP =--+++ 211366AB AD AP =--+211366a b c =--+.故选：D6．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 A ．2 B ．32C ．3D ．2【答案】A【解析】【详解】试题分析：由已知可得，故选A.【解析】1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，可以降低计算量，提高解题速度.7．已知{}n a 是等比数列，且1232341,2a a a a a a ++=++=，则 567a a a ++=（） A ．16 B ．32 C ．24 D ．64【答案】A【分析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】1232341231,()2a a a a a a a a a q ++=∴++=++=，得2q4567123()16a a a a a a q ∴++=++=故选：A8．已知椭圆22:143x y C +=的上下顶点分别为,A B ，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C 交于D 点，则直线BD 的斜率BD k 为（） ABCD ．32【答案】B【分析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD 的方程，进而求出点D 的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆22:143x y C +=的上顶点A，下顶点(0,B ，左焦点1(1,0)F -，右焦点2(1,0)F ，由椭圆的光学性质知，反射光线AD 必过右焦点2F ，于是得直线AD的方程为：y =由223412y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩8(,5D，则有(5805BD k ==- 所以直线BD 的斜率BD k故选：B 二、多选题9．已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若16113a a a π++=，1598b b b =，则（）A ．1111S π=B ．210461sin2a ab b += C ．3783a a a π++= D ．374b b +≥ 【答案】ACD【分析】根据题意得6a π=，52b =，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，16113a a a π++=，1598b b b =，所以1611633a a a a π+==+，即6a π=，315958b b b b ==，即52b =，对于A 选项，()1111161111112a a S a π+===，故正确；对于B 选项，2210646522,4a a a b b b π+====，所以21046sinsin 12a ab b π+==，故错误；对于C 选项，设等差数列{}n a 的公差为d ，则37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==，故正确；对于D 选项，由52b =得37,0b b >，故237375224b b b b b +≥==，当且仅当372b b ==时等号成立，故正确；故选：ACD10．如图，抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交拋物线于,A B 两点，过 ,A B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的有（）A ．若AB x ⊥轴，则2AB p =B ．若()()1122,,,A x y B x y ，则12y y 为定值2pC ．2||4PQ AF BF =D ．以线段AF 为直径的圆与y 轴相切【答案】ACD【分析】根据给定条件设出直线AB 的方程，再结合抛物线的定义、性质逐项分析、计算并判断作答.【详解】抛物线22(0)y px p =>的焦点为(,0)2pF ，准线为：2p x =-，显然直线AB 不垂直于y 轴，设其方程为：2p x my =+，由222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去x 并整理得：2220y pmy p --=，设()()1122,,,A x y B x y ，当AB x ⊥轴时，0m =，12,y p y p ==-，则12||||2AB y y p =-=，A 正确； 212y y p =-，即12y y 为定值2p -，B 不正确；过点B 作BM AP ⊥交AP 于M ，如图，显然四边形BMPQ 为矩形，由抛物线定义知，||||||||||||||AM AP BQ AF BF =-=-，则2222||||PQ BM AB AM ==-()()224AF BFAF BF AF BF =+--=，C 正确；由抛物线定义知，1||2p AF x =+，线段AF 中点横坐标1012||22px x AF +==，即线段AF 中点到y 轴距离是1||2AF ，所以以线段AF 为直径的圆与y 轴相切，D 正确. 故选：ACD11．已知：()()1,0,1,0A B -，直线,AP BP 相交于P ，直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，则（）A ．当122k k ⋅=-时，P 点的轨迹为除去,AB 两点的椭圆 B ．当122k k ⋅=时，P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线C ．当122k k =时，P 点的轨迹为一条直线 D ．当122k k -=时，P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线【答案】ABD【分析】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 逐个代入选项化简1k 与2k 的关系式，来验证选项即可得到答案. 【详解】设点(,)P x y ，11AP yk k x ==+，21BP y k k x ==-. 当122k k ⋅=-时，=11y yx x ⋅+-2-， 22222222(1)1(1)12y y y x x x x ⇒=-⇒=--⇒+=≠±-. 故P 点的轨迹为除去,A B 两点的椭圆，A 正确；当122k k ⋅=时，222222=222(1)1(1)1112y y y y y x x x x x x ⋅⇒=⇒=-⇒-=≠±+--，故P 点的轨迹为除去,A B 两点的双曲线，B 正确；当122k k =时，12112(1)2(1)311yk x x x x x y k x x -+===⇒-=+⇒=-+-. 20,0k y ≠∴≠，即不含点(3,0)-，∴轨迹是一条直线不含(3,0)-，C 错误；当122k k -=时，则2=21(1)11y y y x x x x -⇒=-+≠±+-. 故P 的轨迹为除去,A B 两点的抛物线，D 正确. 故选：ABD.12．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A (含边界)内有一动点P ，则（）A ．若1111,1B P mB B nB A m n =++=，则 1110B P B D ⋅= B ．若11(01)A P A B λλ=<<，则110C P BD ⋅= C ．若()11111111,22B P PA A E AC A D ==+，则 1123E B P A ⋅=- D ．若()1111112A E AC A D =+，则存在非零向量1B P 使111B P A E ⋅=- 【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，1111,1B P mB B nB A m n =++=，则11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒=，从而可知点P 在线段1BA 上，由于11B D 不垂直侧面11ABB A ，故1110B P B D ⋅=不成立，所以A 错误；对于B ，易证111AC B D ⊥，11BC B D ⊥，从而可知1B D ⊥平面11ABC ，由11(01)A P A B λλ=<<，可知点P 在线段1BA 上，因此11B D C P ⊥，所以110C P B D ⋅=，B 正确；对于C ，11B P A E ⋅=()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅ ()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅ ()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+ 11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅= 12(0040)63=+-+=-，故C 正确；对于D ，设1111B P B B B A λμ=+，所以11B P A E ⋅=()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+ 11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅ 1(004)0221μμ+-+-==-=，得12μ=，从而可知1B P 不会是零向量，故D 正确.故选：BCD 三、填空题13．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围是__________．【答案】11b -<≤或b =【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.【详解】由曲线x 221(0)x y x +=≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =+是倾斜角为4π的直线与曲线x =（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图像可得b =（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知11b -<≤. 故答案为：11b -<≤或2b =-.【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果x 或y 有限制，需要数形结合进行分析.14．数列{}n a 的前n 项和为()*,2n n n S S n n =-∈N ，则{}n a 的通项公式为________.【答案】11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩【分析】讨论1n =和2n ≥两种情况，进而利用1,1,,2n n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得答案.【详解】由题意，1n =时，111a S ==，2n ≥时，()1121n n S n --=--，则()()11122121n n n n n n a S S n n ---=-=--+-=-，于是，11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩ 故答案为：11,1,21, 2.n n n a n -=⎧=⎨-≥⎩15．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线与,P Q 两点，且1PF 18FQ+=，则拋物线的准线方程为________. 【答案】18x =-【分析】根据题意作出图形，设直线PQ 与x 轴的夹角为α，不妨设||||PF QF ≥，设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '，进一步可以得到||||||||||||cos PF PP EH EF FH p PF α'===+=+，进而求出||PF ，同理求出||QF ，最后解得答案.【详解】设直线PQ 与x 轴的夹角为(0)2παα<≤，根据抛物线的对称性，不妨设||||PF QF ≥，如图所示.设抛物线的准线与x 轴的交点为E ，过点P 作准线与x 轴的垂线，垂足分别为,P H '，过点Q 分别作准线和x 轴的垂线，垂足分别为,Q G '. 由抛物线的定义可知，||||||||||||cos ||1cos pPF PP EH EF FH p PF PF αα'===+=+⇒=-，同理：||||||||||||cos ||1cos pQF QQ EG EF GF p QF QF αα'===-=-⇒=+,于是，111cos 1cos 218||||4p PF QF p p p αα-++=+==⇒=，则抛物线的准线方程为：18x =-.故答案为：18x =-.16．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和.【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276. 四、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记[]lg n n b a =-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.60=，[]lg661=. （i ）求1b 、23b 、123b ；（ii ）求数列{}n b 的前1000项的和. 【答案】(1)1n a n=； (2)（i ）10b =，231b =，1232b =；（ii ）1893.【分析】（1）推导出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列{}n a 的通项公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得1b 、23b 、123b 的值；（ii ）分别解不等式0lg 1n ≤<、1lg 2n ≤<、2lg 3n ≤<，结合题中定义可求得数列{}n b 的前1000项的和. (1)解：因为11a =，()*11n n n n a a a a n ++-=∈N ，则221a a -=，可得212a =， 331122a a -=，可得313a =，以此类推可知，对任意的N n *∈，0n a ≠.由()11N n n n n a a a a n *++-=∈，变形为111111n n n n n n a a a a a a ， 1n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是一个以1为公差的等差数列，且首项为111a ，所以，()1111n n n a =+-⋅=，因此，1n a n=.(2)解：（i ）[][]lg lg n n b a n =-=，则[][]1lg100b ===，1023100<<，则1lg10lg 23lg1002=<<=，故[]23lg 231b ==， 1001231000<<，则2lg100lg123lg10003=<<=，故[]123lg1232b ==；（ii ）lg10003=，当0lg 1n ≤<时，即当110n ≤<时，[]lg 0n b n ==，当1lg 2n ≤<时，即当10100n ≤<时，[]lg 1n b n ==，当2lg 3n ≤<时，即当1001000n ≤<时，[]lg 2n b n ==，因此，数列{}n b 的前1000项的和为09190290031893⨯+⨯+⨯+=.18．如图，四边形ABCD 为矩形，1AB =，2AD =，E 为AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平面ABCD .(1)若3GAF π∠=，求AG 与BD 所成角的余弦值；(2)若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. 【答案】(1)1615 【分析】（1）以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得AG 与BD 所成角的余弦值；（2）计算出平面ABG 的法向量，利用空间向量法可求得直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值. (1)解：如图，以A 为原点，AD 、AB 所在的直线为x 、y 轴，以过A 点垂直于面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，223AC AB AD =+=，//AD BC ，则AEF CBF ∽△△，则12AF AE CF BC ==，故133AF AC == 因为GF ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，则GF AF ⊥，若3GAF π∠=，则tan13GF AF π==，故()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0D、21,13G ⎫⎪⎪⎝⎭，则21,133AG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()2,1,0BD =-，113cos ,62333AG BD AG BD AG BD ⋅<>===⋅⨯. 因此，若3GAF π∠=，则AG 与BD 所成角的余弦值为16.(2)解：若3AF FG ==，则2E ⎫⎪⎪⎝⎭、2133G ⎝⎭， 21363EG ⎛=- ⎝⎭，()0,1,0AB =，21333AG ⎛= ⎝⎭，设平面ABG 的法向量为(),,n x y z =，则0213033n AB y n AG x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取3x =(3,0,2n =-，6152cos ,252EG n EG n EG n⋅<>===⋅⨯ 所以直线EG 与平面ABG 1519．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，椭圆上的动点到焦点F 21. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 作一条不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的中垂线交x 轴于P ，当l 变化时，PFMN是否为定值? 若是，定值为多少? 【答案】(1)2212x y +=(2)【分析】(1)由抛物线24y x =方程求出其焦点坐标，结合椭圆的几何性质列出a b c ，，，的方程，解方程求a b c ，，，由此可得椭圆方程，(2)联立直线椭圆椭圆方程，求出弦MN的长和其中垂线方程，再计算PFMN ，由此完成证明.(1)抛物线的交点坐标为（1，0），1c ∴=，又1,a c a +=∴= 又222b a c =-，∴ 21b =，∴椭圆的标准方程为2212x C y +=：. (2)设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为(1)y k x =-，联立22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元得到2222124220k x k x k +-+-=（），显然0∆>， 22121222422,1212k k x x x x k k -+==++，12MN x ∴=-=∴MN ∴==，又MN 的中点坐标为2222(,)1212k kk k-++，直线l 的中垂线的斜率为1k - ∴ 直线l 的中垂线方程为2222121()+121212k k k y x x k k k k k =---=-+++，令220,12k y x k ==+，2222111212k k PF k k +∴=-=++，4PF MN ∴=. 【点睛】求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AC AB AC M ===⊥，N 分别是棱 1,CC BC 的中点，点P 在线段11A B 上.(1)当直线PN 与平面111A B C 所成角最大时，求线段1A P 的长度；(2)是否存在这样的点P ，使平面PMN 与平面1AC C 6，若存在，试确定点P 的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)12 (2)存在， A 1P =14【分析】（1）作出线面角，因为对边为定值，所以邻边最小时线面角最大；（2）建立空间直角坐标系，由向量法求二面角列方程可得. (1)直线PN 与平面A 1B 1C 1所成的角即为直线PN 与平面ABC 所成角，过P 作PH AB H ⊥于,PNH ∠即PN 与面ABC 所成的角，因为PH 为定值，所以当NH 最小时线面角最大，因为当P 为中点时，NH AB ⊥,此时NH 最小，即PN 与平面ABC 所成角最大，此时112A P =.(2)以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴建立空间坐标系，则： A （0,0,0),B (1,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,1) 设111(1,0,0)A P A B λλ===00λ（，，）(,0,1)P λ∴，111001222N M （，，），（，，），11111122222NP NM λ=--=-（，，），（，，），设平面PMN 的法向量为,,)n x y z =（，则00NP n NM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11220x y z x y z λ⎧⎛⎫--+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-++=⎩，解得1(3,21,22)n λλ=+-，平面AC 1C 的法向量为2(1,0,0)n =121222126cos ,98458414n n n n n n λλλλ⋅====+-+-+ 21168104λλλ∴-+==，.所以P 点为A 1B 1的四等分点，且A 1P =14.21．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p => 的焦点为F ，点(),02p T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭是x 轴上一定点，过F 的直线交C 与,A B 两点.(1)若过T 的直线交抛物线于,D E ，证明,D E 纵坐标之积为定值；(2)若直线,AT BT 分别交抛物线C 于另一点,P Q ，连接,P Q 交x 轴于点M .证明：,,OF OT OM 成等比数列.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设直线方程为x my t =+，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F 、T 、Q 三点横坐标关系，然后可证. (1)显然过T 的直线斜率不为0，设方程为x my t =+，联立22y px =，消元得到2220y pmy pt --=， 2D E y y pt ∴=-.(2)由（1）设11223344(,,(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y ），因为AP 与BQ 均过T (t ,0)点，可知13242,2y y pt y y pt =-=-，又AB 过F 点，所以212y y p =-，如图：2212344y y y y p t ∴=，2344y y t ∴=-,设M (n ，0）,由（1）类比可得223422,42,t y y pn t pn n p∴=-∴==.22,,2p t OF OT t OM p ===，且2222p t t p=⨯，∴,,OF OT OM 成等比数列.22．已知等差数列{}n a 各项均不为零，n S 为其前n 项和，点()211,n n a S -+在函数()2(1)f x x =-的图像上.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足13nn n a b -=，求{}n b 的前n 项和n T ； (3)若数列{}n c 满足114(1)n n n n n c a a -+=-，求{}n c 的前n 项和的最大值、最小值.【答案】(1)21n a n =- (2)1133n n n T -+=-(3)最大值为43，最小值为45【分析】（1）将点代入函数解析再结合前n 和即可求解；（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列{}n c 的通项变形为111(1)()2121n n c n n -=-+-+，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可. (1)因为点211,n n a S -+（）在函数2()(1)f x x =-的图像上，所以222111n n n S a a -=+-=（），又数列{}n a 是等差数列，所以121212(21)(21)22n n n a a aS n n --+=⨯-=⨯-，即21(21),n n S n a -=-所以2(21)n n a n a =-，0,21n n a a n ≠∴=-；(2)解法1：11211213(1)21233333n n n n n n n n n n n b --------+-===-+， 1300121131()11210...2333331nn n n n n T ----∴=-+-++-+-=111333n n n ---+-=1133n n -+-，解法2：012211352321 (33333)n n n n n T ----=+++++， ① 123111352321...333333n n n n n T ---=+++++， ② ①-② 得 12311211112112112(...)233333333n n n n n n n T ----=+++++-=--， 1133n n n T -+∴=-； (3) 11114(21)(21)11(1)(1)(1)()(21)(21)2121n n n n n n n n n c a a n n n n ---+-++=-=-=-+-+-+ 记{}n c 的前n 项和为n W ，则n W =112311111111...()()()...(1)()1335572121n n c c c c n n -++++=+-+++++-+-+ 111121n n -=+-+（），当n 为奇数时n W 1121n =++随着n 的增大而减小，可得413n W <≤，当n 为偶数时n W 1121n =-+随着n 的增大而增大，可得415n W ≤<，所以n W 的最大值为43，最小值为45.。

期末模拟题(二)-2021-2022学年高二上学期数学(人教A版(2019)选择性必修第一册)

高二上册数学期末模拟题（二）-人教A 版（2019）新高考一、单选题1．在数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，则4a =（） A ．32B ．53C ．74D ．852．双曲线2214y x -=的渐近线方程是（）A ．12y x =± B ．2y x =±C ．4x y =±D ．14x y =±3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++4．圆22(1)(2)2x y -++=关于直线:10l x y -+=对称的圆的方程为（） A ．22(1)(3)2x y ++-= B ．22(1)(3)2x y -++= C ．22(3)(2)2x y ++-= D ．22(3)(2)2x y -++=5．已知4ln 4a a -=，3ln 3-=b b ，22ln -=cc ，其中4a ≠，3b ≠，2c ≠，则（）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<6．已知数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=，则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和是（） A ．1021B ．1123C ．2021D ．22237．已知12F F ，为双曲线222:1(0)16x y C a a -=>的左､右焦点，点A 在双曲线的右支上，点(72)P ，是平面内一定点.若对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行，则2AP AF +的最小值为（） A．6B．10-C．8D．28．若曲线12,C C 存在到直线l 距离相等的点，则称12,C C 相对直线l “互关”.已知曲线22212:,:(4)2C y x a C x y =+-+=相对直线:0l x y -=“互关”，则实数a 的取值范围是（） A ．(,4]∞- B ．25(,]4∞- C ．25(2,]4D ．25()4∞+，二、多选题9．空间直角坐标系O xyz -中，已知()()1,2,2,0,1,1A B -，下列结论正确的有（） A ．(1,1,3)AB =--B ．若()2,1,1m =，则⊥m ABC ．点A 关于xOy 平面对称的点的坐标为()1,2,2- D．||AB =10．已知曲线C ：()224y m x =-，其中m 为非零常数，则下列结论中正确的是（）A ．当1m =-时，则曲线C 是一个圆B ．当0m >时，则曲线C 是一个双曲线C ．若3m =-时，则曲线是焦点为(0,±的椭圆 D ．若曲线C2m =- 11．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式123n n a -=⨯B ．31nn s =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=-- D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．函数()1,11ln ,1x e m x f x x x x -+⎧+<=⎨+-≥⎩的值域为[)2,+∞，则下列选项中一定正确的是（）A ．1m ≥B ．()()21f f m -<--C ．()()()ln 21f m f m +<+D ．ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、填空题13．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的余弦值为___________.14．在平面直角坐标系中，以点(0,1)为圆心且与直线20mx y m --+=相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为______15．已知椭圆C ：2214x y +=的左､右焦点分别是1F ，2F ，过点1F 的直线交椭圆于A ，B两点，则2ABF 的内切圆面积的最大值为___________.16．定义在R 上的函数()f x 满足()()13f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()24342x f x x +=+.设()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，则6a =___________.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥．（1）求证：数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；18．已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱BC 和CD 的中点．（1）求1A D 与EF 所成角的大小；（2）求1A E 与平面1B FB 所成角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知两定点A (－2，2)，B (0，2)，动点P 满足2PA PB=（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点(0，1)的直线l 与轨迹C 相交于M 、N 两点，且||4MN =，求直线l 的方程． 20．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足32HE HD =（1）求点D 的轨迹2C 的方程;（2）若点P 是直线:250l x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值.21．已知数列{}n a 满足a 1＝1，a n ＋1＝2,3,n na n a n ⎧⎨+⎩为奇数为偶数（1）从下面两个条件中选一个，写出b 1，b 2，并求数列{}n b 的通项公式； ①b n ＝a 2n －1＋3；②b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1．（2）求数列{}n a 的前n 项和为S n ．22．已知函数()()2ln f x x x ax x a R =-+∈.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，且122x x >，证明1228x x e >.参考答案1．B 【分析】分别将2n =，3，4代入递推关系式求出2a ，3a ，4a 的值即可求解. 【详解】数列{}n a 中，11a =，()1112n n a n a -=+≥，令2n =，可得21111121a a =+=+=，令3n =，可得321131122a a =+=+=，令4n =，可得431251133a a =+=+=，故选：B. 2．B 【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程. 【详解】在双曲线2214y x -=中，1a =，2b =，所以，该双曲线的渐近线方程为2b y x x a =±=±. 故选：B. 3．A 【分析】结合空间线段的关系以及空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，连接OG ，则()1111()23AG AO OG AB AD OD OC =+=+++111111()()()2322b c BA BC DD AB AD CC ⎡⎤=+++++++⎢⎥⎣⎦11111()()()26363b c b c a b c a =++-+++++ 215326a b c ++=．故选：A ． 4．C 【分析】圆关于直线的对称圆问题，第一步求圆心关于直线的对称点，半径不变，第二步直接写出圆的方程. 【详解】圆22(1)(2)2x y -++=的圆心(1,2)-，由:10l x y -+=得1l k =设对称点的坐标为(,)m n ，利用两圆心的连线与直线垂直，两圆心的中点在直线上列方程求解， 211{121022l n k m m n +⋅=--+--+=，化简得1050m n m n ++=⎧⎨-+=⎩，解得32m n =-⎧⎨=⎩所以对称圆的方程为22(3)(2)2x y ++-=.故选:C. 5．C 【分析】先令函数()ln f x x x =-，求导判断函数()f x 的单调性，并作出函数()f x 的图像，由函数()f x 的单调性判断()()()f c f b f a >>，再由对称性可得a b c <<.【详解】由4ln4aa -=，则ln 4ln 4a a -=-，同理ln 3ln3b b -=-，ln 2ln 2c c -=-，令()ln f x x x =-，则()111x f x x x-'=-=，当()0,01f x x '<<<；当()0,1>>'f x x ，∴()f x 在()0,1上单调递减，()1,+∞单调递增，所以()()()432f f f >>，即可得()()()f a f b f c >>，又4a ≠，3b ≠，2c ≠由图的对称性可知，a b c <<.故选：C 6．C 【分析】用1n -替换已知式中的n ，然后两式相减求得n a ，然后由裂项相消法求和．【详解】因为123(21)2n a a n a n +++-=，所以2n ≥时，1213(23)2(1)n a a n a n -+++-=-，两式相减得(21)2n n a -=，221n a n =-，又12a =，满足此式，所以221n a n =-， 21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+，所以数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为111111201133519212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：C ． 7．A 【分析】根据双曲线的性质可得直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±，重合或平行，即可求出a ，再利用双曲线的定义转化可求最小值. 【详解】∵双曲线C ：()2221016x y a a -=>，∴双曲线的渐近线方程为4y x a =±，∵对任意实数m ，直线430x y m ++=与双曲线C 的渐近线平行， ∴直线430x y m ++=与双曲线的渐近线方程为4y x a=±平行， ∴3a =，∴5c =，∴1F 为()5,0-，∵()7,2P ，∴1PF =∴211666AP AF AP AF PF +=+-≥-=， ∴2APAF +的最小值为6. 故选：A. 8．B 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心2(40)C ，到直线l 的距离，进而得出圆上点到直线l 的最大距离max d ，当0a ≤时满足题意；当0a >时，利用导数的几何意义求出曲线1C 的切点坐标，根据点到直线的距离公式求出切点到直线l 的距离2d ，结合2max d d ≤计算即可. 【详解】由题意知，圆2C 的圆心坐标为2(40)C ，，半径为r = 圆心2(40)C ，到直线l的距离为1d ==所以圆上的点到直线l 的最大距离为max 1d d r =+=当0a ≤时，21C y x a =+：为开口向上的抛物线，1C 、2C 存在到直线l 距离相等的点，符合题意；当0a >时，由21C y x a =+：，得2y x '=，设点00()P x y ，为曲线1C 上的一点，则曲线上过点P 的切线方程的斜率为02x ，又过点P 且与直线l 平行的切线方程的斜率为1，所以02x =1，012x =，所以切点11()24P a +，，此时切点11()24P a +，到直线l的距离为2d =，由2max d d ≤≤164a -≤，解得232544a -≤≤，所以2504a <≤综上所述，254 a≤故选：B9．AB【分析】利用向量的坐标公式，模的计算公式，对称点的坐标，及数量积公式依次计算即可得出结果. 【详解】()()1,2,2,0,1,1A B-，∴(1,1,3)AB=--,1AB=+A正确,D 错误.若()2,1,1m=，则()()=211113=0m AB⋅⨯-+⨯-+⨯,则⊥m AB,B正确，点A关于xOy平面对称的点的坐标为()1,2,2，故C错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据曲线方程，结合各选项给定的参数值，将方程转为为22221x ya b±=的形式判断曲线的性质即知A、B、C的正误，由椭圆的离心率求参数m判断D.【详解】A：1m=-时，曲线可整理为224x y+=，即曲线C是一个圆，正确；B：0m>时，曲线可整理为22144x ym-=，即曲线C是一个双曲线，正确；C：3m=-时，曲线可整理为221124y x+=，即曲线是焦点为(0,±的椭圆，正确；D：由上分析知：若曲线C的椭圆，则m<⎧⎪=2m<⎧=，可得12m=-或2m=-，错误.故选：ABC.11．ABD【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的公比和首项，进而可以求得n a 和n S ；利用裂项相消法可得111133131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭和n T ，讨论数列{}n T 的单调性，即可得出n T 的范围. 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯.由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 正确；B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n nT b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：ABD. 12．ACD 【分析】判断函数在(),1-∞上的单调性，再根据函数的值域即可求出m 的范围，即可判断A ；根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断B ；利用导数判断函数()f x 在[)1,+∞上的单调性，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，求出函数()h x 在[)1,+∞上的单调性，即可判断1m +与()ln 2m +的大小，从而可判断C ；令()ln xg x x=，求出函数()g x 在(]0,e 上的单调性，再根据函数在(),1-∞上的单调性即可判断D. 【详解】解：当1x ≤时，()1ln f x x x =+-，则()1110x f x x x-'=-=≥，所以函数()f x 在[)1,+∞上递增，()()12f x f ≥=，当1x <时，()1x f x em -+=+在(),1-∞上递减，则()()112f x f m >=+≥，解得m 1≥，故A 正确；则12m --≤-，所以()()21f f m -≤--，故B 错误；则23m +≥，故()ln 21m +>，令()()()1ln 2,1h x x x x =+-+≥，则()111022x h x x x +'=-=>++，所以函数()h x 在[)1,+∞上递增，所以()()12ln30h x h ≥=->，所以()ln 12x x +>+，即()1ln 2m m +>+，所以()()()ln 21f m f m +<+，故C 正确；令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当0x e <≤时，()0g x '≤，所以函数()g x 在(]0,e 上递增，所以()()2g g e <，即ln 2112e<<，所以ln 212e f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 13．25【分析】建立如图所示空间直角坐标系，利用数量积可求夹角的余弦值. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则1(0,0,2),(2,0,0),(2,1,2),(2,2,1)A B E F ，则1(2,1,0),(0,2,1)A E BF ==，故1112,cos ,55||A E BF A E BF A E BF ⋅===.故答案为：2514．22(1)2x y +-= 【分析】把直线方程化为点斜式，根据题意知，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线20mx y m --+=，即()21y m x -=-，恒过定点()1,2，记P 为()1,2 设要求圆的半径为r ，其圆心C 的坐标为(0,1)，其与直线20mx y m --+=相切的所有圆中，当切点为P 点时，半径最大且为CP ，所以，()()22221021r CP ==-+-=2，则所求圆的方程为22(1)2x y +-= 故答案为：22(1)2x y +-=． 15．4π 【分析】设直线AB 的方程为3x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,y y y y +，由2121212ABF S F F y y =-△示面积，并变形后应用基本不等式得最大值，从而可得内切圆半径最大值，即得面积最大值．【详解】解：直线AB 的斜率不能为0，但可不存在.设直线AB的方程为x ty =，()11,A x y ，()22,B x y ，由2214x ty x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410t y +--=，12y y +=12214y y t =-+，则2121212ABF SF F y y =⋅-12=⋅====≤2=（当且仅当t =时等号成立）.设2ABF 的内切圆半径为r ，2248AF BF AB a ++==，则()22122AF BF AB r ++⋅≤， 12r ≤，则2ABF 的内切圆面积的最大值为2124ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：4π． 16．19 【分析】根据基本不等式可知[)0,1x ∈时()min 1f x =，又()()13f x f x +=+，可得()()13f x f x =-+，进而可求出[)1,2x ∈时()1min 4f x a ==，由此可知[)()*1,2x n n n N ∈++∈时，可得13n n a a +=+，由此可证数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，再根据等差数列的的通项公式，即可求出结果. 【详解】当[)0,1x ∈时，()22411414413122=11422422x x x f x x x x x ⎛⎫+++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎛⎫⎝ ⎪+⎝⎭==++⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎭ 因为32121,2x ∈+⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()11121121f x x x ⎛⎫+-≥= ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪+⎝+⎭= 当且仅当11122x x +=+，即12x =时，取等号；所以当[)0,1x ∈时，()min 1f x =；又()()13f x f x +=+ 所以()()13f x f x =-+；当[)1,2x ∈时，则[)10,1x -∈，所以()()min min 134f x f x =-+=；又()f x 在[)()*,1n n n +∈N 上最小值为n a ，所以14a =当[)()*1,2x n n n N∈++∈时，则[)()*1,1x n n n N -∈+∈所以()()min min 13f x f x =-+ 即13n n a a +=+，所以13n n a a +-=所以数列{}n a 是以4为首项，3为公差的等差数列，即()43131n a n n =+-=+ 所以619a =. 故答案为：19.17．（1）证明见解析；（2）1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈.【分析】（1）由题设可得11221n n n n S S ---=，即可证明结论；（2）由（1）可知2nn S n =⋅，再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；（1）由12a =，()*12,2n n n a S n N n -=+∈≥，∴112nn n n S S S ---=+，整理得：11221n n n n S S ---=，而11221S a ==， ∴2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭以1为首项，1为公差的等差数列，得证. （2）由（1）得：2nn S n =⋅，①当1n =时，112a S ==；②当2n ≥时，111(1)(1)222n n n n n n a S S n n n ---=-=--⋅=+⋅⋅，综上，1n =时1(1)2n n a n -=+⋅成立，∴1(1)2n n a n -=+⋅，*n N ∈. 18．（1）60°；（2）23.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出异面直线所成角的余弦值，进而结合异面直线成角的范围即可求出结果；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式即可求出求出线面角的正弦值，进而结合线面角的范围即可求出结果；（1）以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2a ，则1(0,0,2)A a ，(0,2,0)D a ，()2,,0E a a ，(),2,0F a a ，所以1(0,2,2)A D a a =-，(,,0)EF a a =-，设1A D 与EF 所成角的大小为α，则211222211cos cos ,244A D EF A D EF A D EFa a a a ⋅====⋅+⋅+α，因为异面直线成角的范围是(0,90⎤⎦，所以1A D 与EF 所成角的大小为60°．（2）设平面1B FB 的法向量为()0000,,n x y z =，1A E 与平面1B FB 所成角为β，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ．因为(2,0,0)B a ，1(2,0,2)B a a ，所以(,2,0)BF a a =-，1(0,0,2)BB a =，所以0000102020n BF ax ay n BB az ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令02x =，得0(2,1,0)n =为平面1B FB 的一个法向量，又因为1(2,,2)A E a a a =-，所以10102221045sin cos ,4414A E n a a A E n A E n a a a ⋅+====⋅++⋅+β 所以22cos 1sin 3=-ββ． 19．（1）22(2)(2)8x y -+-=；（2）x ＝0或3x ＋4y －4＝0﹒ 【分析】(1)设动点P 的坐标，直接利用已知的等式2PA PB=(2)分直线l 斜率存在和不存在两种情况进行分析，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，则PA PB==，整理得22(2)(2)8x y -+-=，故动点P 的轨迹是圆，方程为22(2)(2)8x y -+-=；（2）由(1)知动点P 的轨迹是圆心为(2,2)C，半径R = 设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||2FM FN ==，圆心C 到直线l 的距离||2d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为0x =，此时||2CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，即10kx y -+=，由题意得2d ==，解得34k =-；故直线l 的方程为3440x y +-=，综上直线l 的方程为0x =或3440x y +-=． 20．（1）224x y +=；（2【分析】（1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，再代入2200143x y +=化简即可求解；（2）由圆的切线的性质可得PM PN =，OM PM ⊥，S OM PM =⋅=圆心O 到直线l 的距离即为OP 的最小值，进而可得面积S 的最小值，再由min min 12S OP MN =⋅即可得MN 的值. （1）设(),D x y ，()00,E x y ，则()0,0H x ，由32HE HD =可得())000,,y x x y =-，所以)000x x y y -==，所以00x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因为点()00,E x y 在椭圆221:143x y C +=上，所以2200143x y +=，所以22143yx ⎫⎪⎝⎭+=，整理可得：224x y +=，所以点D 的轨迹方程为224x y +=. （2）由圆的切线性质知，切线长PM PN =，OM PM ⊥，所以四边形面积2S OM PM PM =⋅===所以当OP 最小时，面积最小，而OP 的最小值即为点O 到直线:250l x y --=的距离d ==此时min 2S ==，又因为min min 11222S OP MN MN =⋅==，可得MN =，所以四边形OMPN面积最小时MN21．（1）所选条件见解析，124,8b b ==；12n n b +=；（2）7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 【分析】（1）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，分别构造数列即可求出结果.（2）分n 为奇数和n 为偶数进行讨论，然后结合等比数列的求和公式以及分组求和即可求出结果. （1）当n 为奇数时，21323n n n a a a ++=+=+，则()2323n n a a ++=+，且134a +=，则12342n n a ++=⋅，即3223n n a +=-，当n 为偶数时，()2122326n n n n a a a a ++==+=+，则()2626n n a a ++=+，且2122a a ==，268a +=，则12682n na ++=⋅，即4226n n a +=-，若选①，则213122132332n n n n b a -++-=+=-+=，则124,8b b ==；若选②，则2132132112221212323222n n n n n n n n b a a ++-+++++-⎛⎫=-=---=-= ⎪⎝⎭，则124,8b b ==，（2）当n 为偶数时，12n n S a a a =+++()()13124n n a a a a a a -=+++++++24233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭232221221236122122n nn n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 4622922122n n n ++=+--当n 为奇数时，12n n S a a a =+++()()13241n n a a a a a a -=+++++++33233422232323262626n n ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1123222122121136122122n n n n +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭=-⋅+-⋅-- 72921222n n +=--7246229212,2292212,2n n n n n n S n n +++⎧--⎪⎪=⎨⎪+--⎪⎩为奇数为偶数. 22．（1）单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【分析】（1）当0a =时，()ln 2f x x '=+，结合导数正负判断函数单调区间即可；（2）因12,x x 是函数零点，得2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，分离得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+，令21(2)x tx t =>，构造()12ln x x ⋅，代换成关于t 的函数表达式()h t ，通过()h t '求出()h t 最值，进而得证. （1）答案第17页，共17页当0a =时，()()ln ,ln 2f x x x x f x x =+∴=+',令()0f x '>得21x e >，令()0f x '<得210x e <<， ()f x ∴的单调增区间是21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调减区间是210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）若()f x 有两个零点12,x x ，则2211112222ln 0,ln 0x x ax x x x ax x -+=-+=，得121122ln ln 11x x a x x x x =+=+. 2120x x >>，令21(2)x tx t =>，则()111111ln ln 11tx x x x tx tx +=+，得1ln ln 11t x t =--，则()211ln ln ln ln ln 11t t x tx t x t ==+=--， ()()12121ln ln ln ln ln ln 11 2.111t t t t t x x x x t t t +∴=+=-+-=---- 令()()1ln 2(2)1t t h t t t +=->-，则212ln ()(1)t t t h t t -+-'=-，令()12ln (2)t t t t t ϕ=-+->，则()22221(1)10t t t t t ϕ-=-++=>'， ()t ϕ∴在()2,+∞上单调递增，()()3t 22ln202ϕϕ∴>=->. ()()20(1)t h t t ϕ∴=>-'，则()h t 在()2,+∞上单调递增， ()()2823ln 22ln h t h e∴>=-=，即()1228ln ln x x e >， 1228x x e ∴>.答案第18页，共1页。

2021-2022年高二上学期期末考试数学试题含答案(II)

2021-2022年高二上学期期末考试数学试题含答案(II)一、选择题（每小题2分，共36分，每小题只有一个正确答案）1、若命题“”为假，且为假，则（）“”为假为假为假为真2．命题“存在”的否定是（）.不存在.存在.对任意的.对任意的3.“”是“方程”表示双曲线的（）.充分不必要条件 .必要不充分条件.既不充分也不必要条件 .充要条件4 .抛物线的焦点坐标是 ( ) . . . .5. 设，若，则（）. . . .6.双曲线的渐近线方程为（）. . . .7.函数，的最大值是（）. B.-1 .0 .18．函数在点处的切线方程是（）. . . .9．已知两点、，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是( ）. . ．．10．椭圆上一点与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为（）.20 .22 .24 .2511.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为（）． . . .12.如图是导函数的图像，在标记的点（）处，函数有极大值. . .二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13. 曲线在点（－1，－3）处的切线方程是________．14．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．15．设等比数列的公比，前项和为，则________．16．已知，则的最小值是________．三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(，4)，求其方程．18．(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为=cos(θ+)，求直线l被曲线C所截的弦长．19．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．20．(本题满分12分)(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥面ABCD，PA=2，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．(1)求EF的长；(2)证明：EF⊥PC．数学答案一、选择题1-12 DBADB DCBBA CA二、填空题（共16分）题13141516号答y=x-215案三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本题满分12分)解：椭圆的焦点为(0，3)，c=3，………………………3分设双曲线方程为，…………………………………6分∵过点(， 4)，则，……………………………9分得a2=4或36，而a2<9，∴a2=4，………………………………11分双曲线方程为．………………………………………12分18．(本题满分12分)解：将方程4 15315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，………3分将方程=cos(θ+)化为普通方程得，x2+y2-x+y=0，……………6分它表示圆心为(，-)，半径为的圆，…………………………9分则圆心到直线的距离d=，…………………………………………10分弦长为222117221005r d-=-=．…………………………………12分20．(文)(本题满分12分)解：由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-)．…………3分(1)若f(x)在(2，3)上单调，则≤0，或0<≤2，解得：a≤3．…………6分∴实数a的取值范围是(-∞，3]．…………8分(2)若f(x)在(4，6)上不单调，则有4<<6，解得：6<a<9．…………11分∴实数a的取值范围是(6，9)．…………12分20． (理)(本题满分12分)解：(1)以A为原点，，，分别为x，y，z轴建立直角坐标系，…………2分由条件知：AF=2，………… 3分∴F(0，2，0)，P(0，0，2)，C(8，6，0)．…4分从而E(4，3，)，∴EF=222-+-+-=6．…………6分(40)(32)(190)(2)证明：=(-4，-1，-)，=(8，6，-2)，…………8分∵=-4×8+(-1)×6+(-)×(-2)=0，…………10分∴EF⊥PC．…………12分633266 81F2 臲•36476 8E7C 蹼35498 8AAA 說25398 6336 挶24951 6177 慷Pc$29247 723F 爿W b27992 6D58 浘。

2021-2022年高二上学期期末模拟试题二 数学试题 含答案