重庆南开中学2011级高一上期末数学试卷
重庆市南开中学高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．310．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为．14．计算：= ．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．2015-2016学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．已知集合A={x|2x≤4}，B={x|log2x＞0}，则A∩B=（）A．[1，2] B．（1，2] C．（0，1）D．（0，1]【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：2x≤4=22，得到x≤2，即A=（﹣∞，2]，由B中不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，即B=（1，+∞），则A∩B=（1，2]，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．“”是“”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；三角函数的求值；简易逻辑．【分析】“”⇒“”，反之不成立，例如α=．即可判断出结论．【解答】解：“”⇒“”，反之不成立，例如α=．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值，考查了推理能力，属于基础题．3．已知一个扇形的周长为10cm，圆心角为2弧度，则这个扇形的面积为（）cm2．A．25 B．5 C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，可得l和r的方程组，解方程组代入扇形的面积公式可得．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，∴，解得l=5，r=，∴扇形的面积S=lr=故选：C．【点评】本题考查扇形的面积公式，涉及角的弧度数的定义，属基础题．4．已知函数，则f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数的零点存在定理判断即可．【解答】解：函数，是单调增函数，并且f（2）=4+＜0，f（3）=，函数，则f（x）的零点所在的区间为（2，3）．故选：C．【点评】本题考查函数的零点定理的应用，注意判断函数的单调性，以及零点定理的应用．5．函数f（x）=lg（﹣x2+x+6）的单调递减区间为（）A．B．C．D．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题；规律型；综合法；函数的性质及应用．【分析】令t=﹣x2+x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t 在定义域内的减区间，再利用二次函数的性质得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+x+6＞0，求得﹣2＜x＜3，可得函数的定义域为{x|﹣2＜x＜3}，f（x）=g（t）=lgt，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间为（，3），故选：D．【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，属于中档题．6．将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变得到图象C1，再将图象C1向右平移个单位得到的图象C2，则图象C2所对应的函数的解析式为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象变换关系进行推导即可．【解答】解：将函数y=sinx的图象上的点的横坐标扩大为原来的2倍，得到y=sin x，然后向右平移个单位得到的图象C2，即y=sin（x﹣）=sin（x﹣），故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，根据三角函数的周期变换和平移变换法则是解决本题的关键．7．若x∈（e﹣1，1），a=lnx，b=，c=e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【考点】有理数指数幂的化简求值；对数值大小的比较．【专题】计算题．【分析】依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得a＜0，b＞1，＜c＜1，从而可得答案．【解答】解：∵x∈（e﹣1，1），a=lnx∴a∈（﹣1，0），即a＜0；又y=为减函数，∴b=＞==1，即b＞1；又c=e lnx=x∈（e﹣1，1），∴b＞c＞a．故选B．【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．8．已知α∈（0，π）且，则cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值．【分析】根据同角的三角形关系求出sin（α+）=，再根据cosα=cos（α+﹣），利用两角差的余弦公式计算即可．【解答】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（，），∵，∴sin（α+）=，∴cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=×+×=，故选：C．【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式，培养了学生的转化能力和计算能力，属于基础题．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=f（x）恒成立，且f（1）=1，则f+f A．0 B．1 C．2 D．3【考点】抽象函数及其应用．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，则f=f（0），f=f（1）=1，f=f（2），∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，当x=﹣2时，f（﹣2+4）=f（﹣2），即f（2）=﹣f（2），则f（2）=0，即f+f+f（1）+f（2）=0+1+0=1，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和周期性的性质结合条件关系进行转化是解决本题的关键．10．化简tan20°+4sin20°的结果为（）A．1 B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值．【分析】首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．【解答】解：tan20°+4sin20°=======，故选：D．【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及运算能力，属于基础题．11．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（﹣1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=，则sin cos+cos2﹣=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】三角函数的求值．【分析】根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵点B的坐标为（﹣1，2），∴|OB|=|OC|=，∵|BC|=，∴△OBC是等边三角形，则∠AOB=α+．则sin（α+）==，cos（α+）==﹣，则sin cos+cos2﹣=sinα+cosα=sin（α+）=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键．12．已知函数，若方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1] C．（﹣∞，1）D．[﹣1，1）【考点】分段函数的应用．【专题】数形结合；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】作出函数f（x），得到x1，x2关于x=﹣1对称，x3x4=1；化简条件，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作函数f（x）的图象如右，∵方程f（x）=a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，∴x1，x2关于x=﹣1对称，即x1+x2=﹣2，0＜x3＜1＜x4，则|log2x3|=|log2x4|，即﹣log2x3=log2x4，则log2x3+log2x4=0即log2x3x4=0则x3x4=1；当|log2x|=1得x=2或，则1＜x4≤2；≤x3＜1；故=﹣2x3+，≤x3＜1；则函数y=﹣2x3+，在≤x3＜1上为减函数，则故x3=取得最大值，为y=1，当x3=1时，函数值为﹣1．即函数取值范围是（﹣1，1]．故选：B【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查函数的单调性的运用，运用数形结合的思想方法是解题的关键．二.填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）13．已知幂函数在（0，+∞）单调递减，则实数m的值为 1 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的定义，得出m2﹣3m+3=1，求出m的值，再验证幂函数是否为（0，+∞）上的减函数即可．【解答】解：幂函数在（0，+∞）单调递减，∴m2﹣3m+3=1，即m2﹣3m+2=0，解得m=1或m=2；当m=1时，m2﹣m﹣1=﹣2＜0，满足题意；当m=2时，m2﹣m﹣1=1＞0，不满足题意，舍去；∴实数m的值为1．故答案为：1．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．14．计算：= 3 ．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；规律型；函数的性质及应用．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：=log66+2=3．故答案为：3．【点评】本题考查对数运算法则的应用，考查计算能力．15．已知θ∈（0，2π）且，则tanθ的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得tan，再由二倍角的正切公式可得．【解答】解：∵θ∈（0，2π），∴∈（0，π），又∵，∴sin==，∴tan==2，∴tanθ==﹣故答案为：﹣【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．16．已知函数，若存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围为[，1+] ．【考点】分段函数的应用．【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意，令log2（1﹣x）+1=0，x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，即可得出结论．【解答】解：由题意，令log2（1﹣x）+1=0，∴x=，令x2﹣2x+1=2，可得x=1±，∵存在实数k使函数f（x）的值域为[0，2]，∴实数a的取值范围是[，1+]．故答案为：[，1+]．【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查学生的计算能力，属于中档题．三.解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明.演算步骤或推理过程）17．已知．（1）求tanα的值；（2）求的值．【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（1）由题意可得tan（α+β）=2，tanβ=﹣，代入tanα=tan[（α+β）﹣β]=，计算可得；（2）由诱导公式和弦化切可得原式=，代值计算可得．【解答】解：（1）∵，∴tan（α+β）=2，tanβ=﹣，∴tanα=tan[（α+β）﹣β]===﹣；（2）化简可得===【点评】本题考查三角函数化简，涉及两角差的正切公式和同角三角函数基本关系，属基础题．18．已知定义在R的函数．（1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）进行转化求解即可．【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=a x+=f（x），则函数为偶函数，当x≥0时，设0≤x1＜x2，即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•，∵a＞1，0≤x1＜x2∴1≤＜，则﹣＜0，•﹣1＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增，同理当x≤0时，函数单调递减；（2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数，则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|），即|x﹣1|＞|2x+1|，平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1，即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0，即不等式的解集为（﹣2，0）．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．19．已知函数的图象关于直线对称，其中ω，λ为常数且ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若y=f（x）的图象过点，求函数f（x）在上的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）+λ，由对称性可得ω，可得最小正周期；（2）由图象过点可得λ=﹣1，由结合三角函数的值域可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=•2sinωxcosωx﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ由函数图象关于直线对称可得2ω•﹣=kπ+，k∈Z，解得ω=k+1，结合ω∈（0，2）可得ω=1，∴f（x）=2sin（2x﹣）+λ，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）∵y=f（x）的图象过点，∴2sin（2•﹣）+λ=0，解得λ=﹣1，∴f（x）=2sin（2x﹣）﹣1，∵，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x﹣）﹣1∈[﹣2，1]，故函数f（x）在上的值域为[﹣2，1]【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和值域，属基础题．20．已知函数f（x）为二次函数，若不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2．（1）求f（x）的解析式；（2）若不等式对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）设出二次函数的表达式，得到关于a，b，c的方程，解出即可求出函数的表达式；（2）求出f（cosθ），问题转化为sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1，通过讨论对称轴的位置，从而求出g（θ）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，∵不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，1）且f（0）=﹣2，∴，解得：，∴f（x）=x2+x﹣2；（2）由（1）得：f（cosθ）=cos2θ+cosθ﹣2，∴由不等式对θ∈R恒成立，得：cos2θ+cosθ﹣2≤sin（θ+）+msinθ对θ∈R恒成立，∴sin2θ+（1+m）sinθ+1≥0对θ∈R恒成立，令g（θ）=sin2θ+（1+m）sinθ+1=+1﹣，∵﹣1≤sinθ≤1，∴①﹣1≤≤1即﹣3≤m≤1时：g min（θ）=1﹣≥0，解得：﹣3≤m≤1，符合题意；②＜﹣1即m＜﹣3时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＞﹣3，无解；③＞1即m＞1时：g min（θ）=+1﹣＞0，解得：m＜1，无解；综上，满足条件的m的范围是[﹣3，1]．【点评】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数的表达式，考察三角函数的最值，其中构造函数g（θ）=sos2θ+（1+m）sinθ+1，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．21．已知函数是奇函数．（1）求实数a的值；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2（mx），是否存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】对数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数性质得f（x）+f（﹣x）==0，由此能求出a．（2）当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=0，得x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）==0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（x）+f（﹣x）===0，∴=1，∴1﹣a2x2=1﹣x2，解得a=±1．（2）不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点，理由如下：当a=﹣1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx），由﹣log2（mx）=0，解得mx=1，x=，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点；当a=1时，g（x）=f（x）﹣log2（mx）=﹣log2（mx）=，由=0，得x=1，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．综上，不存在非零实数m使得函数g（x）恰好有两个零点．【点评】本题考查实数值的求法，考查函数是否有两个零点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意奇函数性质的合理运用．22．已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），若f（x）满足对任意的一个三边长为a，b，c∈D的三角形，都有f（a），f（b），f（c）也可以成为一个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断g（x）=sinx，x∈（0，π）是否为“保三角形函数”，并说明理由；（2）证明：函数h（x）=lnx，x∈[2，+∞）是“保三角形函数”；（3）若f（x）=sinx，x∈（0，λ）是“保三角形函数”，求实数λ的最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的值．【专题】综合题；新定义；函数思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则进行求解判断即可．【解答】解：（1）若a=，b=，c=，则f（a）=f（b）=sin=，f（c）=sin=1，则f（a）+f（b）==1，不满足f（a）+f（b）＞f（c）故f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．（2）对任意一个三角形三边长a，b，c∈[2，+∞），且a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，则h（a）=lna，h（b）=lnb，h（c）=lnc．因为a≥2，b≥2，a+b＞c，所以（a﹣1）（b﹣1）≥1，所以ab≥a+b＞c，所以lnab＞lnc，即lna+lnb＞lnc．同理可证明lnb+lnc＞lna，lnc+lna＞lnb．所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长．故函数h（x）=lnx （x∈[2，+∞））．（3）λ的最大值是．①当λ＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，λ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sinx，x∈（0，λ）不是保三角形函数．②当λ=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π﹣b﹣c＞2π﹣﹣=，即 a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sina、sinb、sinc∈（，1]．由此可得 sina+sinb＞+=1≥sinc，即 sina+sinb＞sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a﹣b|＜c＜，以及y=cosx在（ 0，π）上是减函数，可得 cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sina+sinb=2sin cos＞2sin cos=sinc，同理可得sina+sinc＞sinb，sinb+sinc＞sina，故sina、sinb、sinc 可以作为一个三角形的三边长．故当λ=时，h（x）=sinx，x∈（0，M）是保三角形函数，故λ的最大值为，【点评】本题主要考查新定义的应用，要想判断f（x）为“保三角形函数”，要经过严密的论证说明f（x）满足“保三角形函数”的概念，但要判断f（x）不为“保三角形函数”，仅须要举出一个反例即可，属于创新题．。
重庆市南开中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
x2 f
x1 x1 f
x2 2x2
2x1 ，若函数 g(x)
f (x) 2 ，则下列说法正确的是（ x
）
A． g(x) 在 (0, ) 单调递增
B． g(3) g(4)
C． f (x) 在 (2, ) 单调递减
D．若正数 m 满足
f (2m) m f (4) m 2 0，则 m (2,) 2
重庆市南开中学校 2023-2024 学年高一上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集U {小于 10 的正整数} ， A 1, 2,3, 4 ，B 3, 4,5, 6 ，则 (ðU A) B （ ）
A．{5, 6}
B．1, 2
C．3, 定是（ ）
A． x 1， x2 x 1 0
B． x 1， x2 x 1 0
C． x 1， x2 x 1 0
D． x 1， x2 x 1 0
3．若函数
f
(x)
1 x 1
2 x ，则 f (x) 的定义域为（
20．重庆南开中学作为高中新课程新教材实施国家级示范校，校本选修课是南开中学课
程创新中的重要一环，学校为了支持生物选修课程开展，计划利用学校面积为 900 m2
的矩形空地建造试验田，试验田为三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形 区域之间间隔1(m) ，三块矩形区域的前、后与空地边沿各保留1(m) 宽的通道，左、右两 块矩形区域分别与相邻的左右边沿保留 3(m) 宽的通道，如图．设矩形空地长为 x(m) ，
三、单选题 10．在同一坐标系下，函数 y xa 与 y ax 1 在其定义域内的图像可能是（ ）
重庆市南开中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
重庆南开中学高2024级高一(上)期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x|ln(x+1)>0}，则A∩B=()A. {0,1}B. {1,2}C. {-2,2}D. {-1,0,1}【答案】B【解析】【分析】先求得集合B，再利用交集的运算计算即可.【详解】因为ln(x+1)>0=ln1，所以x+1>1，即x>0，所以B={x|x>0}，又A={-2,-1,0,1,2}故A∩B=1,2.故选：B2. 命题p:∀x∈[0,2π)，cos x≤1，则¬p为()A. ∃x∈[0,2π)，cos x>1B. ∃x∈[0,2π)，cos x≤1C. ∀x∉[0,2π)，cos x>1D. ∀x∈[0,2π)，cos x>1【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断选择即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以¬p为∃x∈[0,2π)，cos x>1，故选：A3. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,-2)，则sinα的值为()A. 55B. -55C.255D. -255【答案】D【解析】【分析】由三角函数的定义求解即可.【详解】解：由三角函数的定义有：sinα=-212+(-2)2=-255.故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.4. 函数f(x)=lg x-3x+1的零点所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)【答案】C【解析】【分析】根据解析式判断函数在定义域上单调性，再根据零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】由题设，f(x)的定义域为(0,+∞)且单调递增，又f(2)=lg2-12=lg210<0，f(3)=lg3>0，∴零点所在区间为(2,3).故选：C.5. 已知a=223，b=log32，c=cos3，则a、b、c的大小关系为()A. a>b>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>a>b 【答案】A【解析】【分析】根据中间值法进行判断.【详解】∵223>20=1∴a>1∵log31<log32<log33=1∴0<b<1∵π2<3<π∴cos3<0,即c<0∴a>b>c故选：A6. 函数f(x)=sin x⋅ln(x2+1-x)的大致图象是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行判断即可.【详解】f(-x)=sin(-x)⋅ln(x2+1+x)=-sin x⋅ln(x2+1-x)-1=sin x⋅ln(x2+1-x)= f(x),所以该函数是偶函数，因此图象关于纵轴对称，选项B、D不符合，又f(0)=sin0⋅ln(02+1-0)=0，所以选项C不符合，故选：A7. 新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段. 某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时t(n)(单位：小时)与n大致服从的关系为t n=t0n，n<N0t0N0,n≥N0(t0,N0为常数).已知第4天检测过程平均耗时为6小时，第9天和第10天检测过程平均耗时均为4小时，那么可得到第8天检测过程平均耗时为()A. 4小时B. 5小时C. 32小时D. 42小时【答案】C【解析】【分析】先求出函数解析式，直接求t8 即可.【详解】由第9天和第10天检测过程平均耗时均为4小时，则N0≤9.由第4天检测过程平均耗时为6小时，则t04=6，解得：t0=12，由第9天和第10天检测过程平均耗时均为4小时，则12N0=4，解得N0=9，所以t n=12n，n<94,n≥9所以当n=8时，t8 =128=32.故选：C8. 若定义在R上的函数f(x)满足∀x∈R,f(x)+f(2-x)=0，函数f(x)在(-∞,1)上单调递减且f(5)=0，则满足xf(x-2)≥0的实数x的取值范围是()A. [-1,3]∪[7,+∞)B. [-7,-1]∪[0,3]C. [-1，0]∪[3,+∞)D. [-1,0]∪[3,7]【答案】D【解析】【分析】由∀x∈R,f(x)+f(2-x)=0可得对称中心为1,0，再结合条件画出f x 大致图象，数形结合即可求解x的取值范围.【详解】因为∀x∈R,f(x)+f(2-x)=0，即f1+x+f1-x=0，f x 对称中心为1,0，又f(x)在( -∞,1)上单调递减且f(5)=0，故f x 大致图象为：由图可知，若xf (x -2)≥0，则满足x ≥0f x -2 ≥0或x ≤0f x -2 ≤0 ，即x ≥0x -2∈1,5 或x ≤0x -2∈-3,0 ，解得x ∈3,7 ∪-1,0 .故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列函数中，以π为周期的是( )A . y =sin x +cos xB . y =tan xC . y =|sin x |D . y =cos |x |【答案】BC 【解析】【分析】根据函数周期的定义，结合诱导公式逐一判断即可.【详解】A ：设y =f (x )=sin x +cos x ，因为f (x +π)=sin (x +π)+cos (x +π)=-sin x -cos x =-f (x )≠f (x )，所以该函数的周期不是π；B ：因为tan (x +π)=tan x ，所以该函数的周期为π；C ：因为|sin (x +π)|=|-sin x |=|sin x |，所以所以该函数的周期为π；D ：因为cos |x +π|≠cos |x |，所以该函数的周期不是π，故选：BC10. 下列四个函数中过相同定点的函数有()A . y =ax +2-aB . y =x a +1C . y =a x -1+1(a >0,a ≠1)D . y =log a (2-x )+1(a >0,a ≠1)【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合幂指对函数的性质确定各函数所过的定点坐标，即可判断过相同定点的函数.【详解】A ：y =a (x -1)+2必过(1,2)；B ：y =x a +1，由1a =1知函数必过(1,2)；C ：y =a x -1+1(a >0,a ≠1)，由a 0=1知函数必过(1,2)；D ：y =log a (2-x )+1(a >0,a ≠1)，由log a 1=0知函数必过(1,1)；∴A 、B 、C 过相同的定点.故选：ABC .11. 已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()A . A =2B . 函数f (x )的图象关于点-π6,0 对称C . 将函数f (x )的图象向右平移π6个单位，所得函数为偶函数D . 若f α4 =23，则cos α-2π3 =-79【答案】AD 【解析】【分析】由函数图象可得A =2、T 4=π4，结合五点法求参数，即可得f (x )的解析式，再应用代入法判断对称点，由图像平移及正弦函数的性质判断函数的奇偶性，利用诱导公式、倍角余弦公式求cos α-2π3的值.【详解】由图象知：A =2，故A 正确，又T 4=2π3-5π12=π4，即T =π，∴2πω=π，可得ω=2，则f (x )=2sin (2x +φ)，又f2π3 =2sin 4π3+φ =-2，故4π3+φ=2k π+3π2，得：φ=2k π+π6，k ∈Z .又0<φ<π，则k =0有φ=π6，综上，f (x )=2sin 2x +π6.∴f -π6 =2sin 2×-π6 +π6 =-1≠0，即-π6,0 不是对称点，B 错误；f x -π6 =2sin 2×x -π6 +π6 =2sin 2x -π6 ，显然不是偶函数，C 错误；f α4 =2sin α2+π6 =23，则sin α2+π6 =13，又cos α2-π3 =cos α2+π6 -π2 =sin α2+π6 =13，且cos α-2π3 =2cos 2α2-π3 -1=-79，D 正确.故选：AD .12. 已知函数f x =e x -1,x ≤λ-x 2+6x -8,x >λ (λ∈R )，g (x )=f (x )-m ，则下列说法正确的是()A . 当λ=0时，函数f (x )有3个零点B . 当λ=2时，若函数g (x )有三个零点x 1,x 2,x 3，则x 1+x 2+x 3∈(6,6+ln2)C . 若函数f (x )恰有2个零点，则λ∈[2,4)D . 若存在实数m 使得函数g (x )有3个零点，则λ∈(-∞,3)【答案】ABD 【解析】【分析】A 根据解析式令f (x )=0求解，注意所得解是否在对应区间内即可判断；B 、C 、D 画出f (x )、y =m 的图象，结合各选项中零点的情况，应用数形结合思想判断参数的范围即可.【详解】A ：λ=0时f (x )=e x -1,x ≤0-x 2+6x -8,x >0，令f (x )=0，由e x -1=0可得x =0，由-x 2+6x -8=0可得x =2或x =4，满足题设，正确；B ：λ=2时f (x )=e x -1,x ≤2-x 2+6x -8,x >2 ，若g (x )有三个零点，即f (x )与y =m 有三个交点，如下图示：∴0<m <1，当m 趋向于0时恒有x 1+x 2+x 3>6，当m 趋向于1时恒有x 1+x 2+x 3<6+ln2，故B 正确；C ：同B 项中分析的图象，在垂直于x 轴的虚线x =λ移动过程中，当λ=(-∞,0)∪[2,4)时f (x )恰有2个零点，错误；D ：同C 项分析，要使g (x )有3个零点，必有λ∈(-∞,3)，正确；故选：ABD .【点睛】关键点点睛：B 、C 、D 选项分析过程中应用数形结合的思想，结合各项描述中零点的情况判断参数的范围即可.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置．13. 求值：sin50°cos20°-cos50°cos70°=___________．【答案】12##0.5【解析】【分析】应用诱导公式、差角正弦公式化简求值即可.【详解】sin50°cos20°-cos50°cos70°=sin50°cos20°-cos50°sin20°=sin (50°-20°)=sin30°=12.故答案为：12.14. 写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )=________．【答案】f (x )=sinπx【解析】【分析】根据奇函数性质可考虑正弦型函数f (x )=A sin ωx ，A ≠0 ，再利用周期计算ω，选择一个作答即可.【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数f (x )=A sin ωx ，A ≠0 ，满足f (-x )=-sin ωx =-f (x )，即奇函数；根据最小正周期T =2πω=2，可得ω=π故函数可以是f (x )=A sinπx A ≠0 中任一个，可取f (x )=sinπx .故答案为：f (x )=sinπx .15. 正实数x 、y 满足xy =4x +y ，则x +y 的最小值为___________．【答案】9【解析】【分析】分析可得1x +4y =1，将代数式x +y 与1x +4y相乘，展开后利用基本不等式可求得x +y 的最小值.【详解】由已知可得4x +y xy =1x +4y=1，且x 、y 为正实数，所以，x +y =x +y 1x +4y =5+4xy +y x≥5+24x y ⋅y x =9，当且仅当y =2x 时，等号成立.因此，x +y 的最小值为9.故答案为：9.16. 意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥--矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为cosh (x )=e x +e -x 2，并称其为双曲余弦函数．若cosh (sin θ+cos θ)≥cosh (m -sin2θ)对∀θ∈0,π2恒成立，则实数m 的取值范围为______．【答案】[1-2,1]【解析】【分析】首先利用奇偶性、单调性定义可得cosh (x )为偶函数、在(0,+∞)上递增，(-∞,0)上递减，可将题设不等关系化为sin2θ-2sin θ+π4≤m ≤sin2θ+2sin θ+π4 在θ∈0,π2 上恒成立，即可求参数范围.【详解】cosh (-x )=e -x +e -(-x )2=e -x +e x2=cosh (x )，故cosh (x )为偶函数，令x 1>x 2>0，则cosh (x 1)-cosh (x 2)=e x 1+e -x 1-e x 2-e -x 22=(e x 1-e x 2)1-1ex 1+x 2，又e x 1-e x 2>0，1-1ex 1+x 2>0，故cosh (x 1)>cosh (x 2)，∴cosh (x )在(0,+∞)上递增，故(-∞,0)上递减，∴cosh (sin θ+cos θ)≥cosh (m -sin2θ)在∀θ∈0,π2上恒成立，则|sin θ+cos θ|=2sin θ+π4 ≥|m -sin2θ|且θ+π4∈π4,3π4 ，故sin2θ-2sin θ+π4≤m ≤sin2θ+2sin θ+π4 在θ∈0,π2上恒成立，令t =sin θ+π4 ∈22,1，而-sin2θ=cos 2θ+π2 =1-2sin 2θ+π4∴y =sin2θ-2sin θ+π4 =2t 2-2t -1=2t -242-54，故t =1时y max =1-2，y =sin2θ+2sin θ+π4 =2t 2+2t -1=2t +242-54，故t =22时y min =1，∴m 的取值范围为[1-2,1].故答案为：[1-2,1].【点睛】关键点点睛：利用cosh (x )的奇偶性、单调性将问题转化为sin2θ-2sin θ+π4≤m ≤sin2θ+2sin θ+π4在θ∈0,π2上恒成立求范围.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知sin α=2cos α．(1)求tan α+π4的值；(2)求2sin 2α+1sin αcos α的值．【答案】(1)-3(2)132【解析】【分析】(1)利用同角三角关系tan α=sin αcos α求出tan α，再利用tan α+β =tan α+tan β1-tan αtan β；(2)化为齐次式计算.【小问1详解】∵sin α=2cos α，∴tan α=2∴tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtanπ4=2+11-1×2=-3；【小问2详解】1+2sin 2αsin αcos α=sin 2α+cos 2α+2sin 2αsin αcos α=3sin 2α+cos 2αsin αcos α=3tan 2α+1tan α=3×22+12=13218. 已知函数f (x )=4x -a ⋅2x +4．(1)当a =5时，解关于x 的不等式f (x )>0；(2)当x ∈[0,1]时，求f (x )的最小值g (a )．【答案】(1)-∞,0 ∪2,+∞ ；(2)g a =5-a ,a <2-a 24+4,2≤a ≤48-2a ,a >4.【解析】【分析】(1)应用换元法转化为一元二次不等式，结合指数函数的性质求解集即可.(2)讨论参数a ，结合二次函数的性质确定不同参数范围内的最值表达式，即可得g (a ).【小问1详解】当a =5时，f (x )=4x -5⋅2x +4，令t =2x >0，h (t )=t 2-5t +4.由t 2-5t +4>0，可得t >4或t <1，即x >2或x <0，故解集为-∞,0 ∪2,+∞ ；【小问2详解】令2x =t ∈1,2 ，φt =t 2-at +4，对称轴：t =a2.①当a2<1，即a <2时，g (a )=φ(1)=5-a ；②当1≤a 2≤2，即2≤a ≤4时，g (a )=φa 2 =-a 24+4；③当a 2>2，即a >4时，g (a )=φ(2)=8-2a ；综上所述，g a =5-a ,a <2-a 24+4,2≤a ≤48-2a ,a >4.19. 已知f (x )=sin x +π3 sin x -π3+3sin x cos x ．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈-π4,π6时，求f (x )的值域．【答案】(1)-π6+k π，π3+k π ,k ∈Z (2)-54,14【解析】【分析】(1)利用两角和差的正弦和二倍角公式，化为正弦型函数，整体代入后求单调区间；(2)由给定区间，求出2x -π6 ∈-23π，π6，再求函数f x 的值域.【小问1详解】f (x )=12sin x +32cos x12sin x -32cos x +32sin2x =14sin 2x -34cos 2x +32sin2x=1-cos2x 8-31+cos2x 8+32sin2x=32sin2x -12cos2x -14=sin 2x -π6 -14由-π2+2k π<2x -π6<π2+2k π，k ∈Z ，解得：-π6+k π<x <π3+k π，k ∈Z∴函数f (x )的单调递增区间为-π6+k π，π3+k π ，k ∈Z ；【小问2详解】当x ∈-π4，π6 时，2x -π6∈-23π，π6 ，sin 2x -π6 ∈-1，12sin 2x -π6 -14 ∈-54，14∴函数f x 的值域为-54，14.20. 中国茶文化博大精深，小南在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感时的水温不同．为了方便控制水温，小南联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度为θ1°C ，环境温度是θ0°C ，则经过时间t (单位：分钟)后物体温度θ(单位：°C )满足公式：θ=θ0+(θ1-θ0)⋅e -kt ，其中k 是一个随着物体与空气接触状况而定的正的常数．小南与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200毫升初始温度为98°C 的水，在10°C 室温中温度下降到90°C 温度所需时间约为2分钟．(1)请根据小南的实验结果求出k 的值(精确到0.01)，并依照牛顿冷却模型写出冷却时间t (单位：分)与冷却后水温θ(单位：°C )的函数关系t =f (θ)．(2)小南了解到“永川秀芽”用80°C 左右的水冲泡口感最佳．在(1)的条件下，200毫升水煮沸后(水温100°C )在10°C 室温下为获得最佳口感大约需要冷却多少分钟再冲泡？(结果保留整数)参考数据：ln3≈1.097，ln7≈1.946，ln10≈2.303，ln11≈2.398【答案】(1)k ≈0.05，t =20ln θ1-θ0θ-θ0；(2)5分钟.【解析】【分析】(1)运用代入法，结合对数的定义、题中所给的数据进行求解即可；(2)运用代入法，结合题中所给的数据进行求解即可.【小问1详解】由题意可知，90=10+98-10 e -2k ，解得：e -2k =1011，即-2k =ln 1011；∴k =-12×(ln10-ln11)≈-12×(2.303-2.398)=0.0495≈0.05.由题意：θ=θ0+(θ1-θ0)⋅e -0.05t ，即e -0.05t =θ-θ0θ1-θ0，解得：t =-20ln θ-θ0θ1-θ0 =20ln θ1-θ0θ-θ0；【小问2详解】当θ0=10，θ1=100，θ=80时，t=20ln100-1080-10=20×(2ln3-ln7)≈4.96.∴大概需要5分钟冷却再冲泡.21. 已知f(x)=log2(2x-1)．(1)解不等式f(x)<1；(2)设g(x)=f(x)+log2xx-m-1，是否存在实数m，使得函数g(x)存在两个零点x1、x2，且满足x21+x22=1916．若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12，32 ；(2)存在，m=17 32.【解析】【分析】(1)利用对数函数的单调性求解集即可.(2)由题设可得x>12x(x-m)>0，根据g(x)的零点情况将问题化为2x2-3x+2m=0在g(x)的定义域内有两个解，应用根与系数关系及已知条件求m，结合g(x)的定义域验证即可判断存在性.【小问1详解】由题设，log2(2x-1)<1=log22，∴0<2x-1<2，故解集为12，32【小问2详解】由题意，g(x)=log2(2x-1)+log2xx-m-1，∴2x-1>0xx-m>0，则x>12x(x-m)>0；∵函数g(x)有两个零点，∴2x-1xx-m=2在g(x)的定义域内有两个解，即2x2-3x+2m=0在g(x)的定义域内有两个解，若存在两解x1,x2满足上述条件，则x1+x2=32，x1x2=m.∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=94-2m=1916，解得：m=1732.对于m=1732时，x1,x2是否在函数g x 的定义域内进行检验：由x>12x x-1732>0，可得g(x)的定义域为1732,+∞.方程2x2-3x+1716=0的两个解x1,x2，有x1=6+28=24+4232>1732，x2=6-28=24-4232>24-4×1.532>1732，满足题意.∴m=1732.【点睛】关键点点睛：第二问，利用对数函数的性质及函数零点的个数，将问题化为一元二次方程在某区间解得个数，结合根与系数关系求参数并注意验证结果.22. 若函数f (x )定义域为D ，且同时满足：①∀x ∈D ，f (x )=f1x ；②f (x )是奇函数或偶函数，则称函数f (x )是“有趣的”．对于函数f n (x )=ln x n +1x n ，其中n ∈N *．(1)判断f 1(x )、f 2(x )是否是“有趣的”，并写出它们的单调区间；(2)设a >0，若存在θ∈0,π2，使得不等式f 3(sin 3θ+cos 3θ)≥f 3[a (sin θ+cos θ)]成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)f 1(x )不是“有趣的”，单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；f 2(x )是“有趣的”，单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)，单调递减区间为(-∞,-1)，(0,1)(2)12≤a ≤1【解析】【分析】(1)根据函数的新定义判断即可，结合复合函数的单调性可得函数的单调区间.(2)由题意f 3(x )=f 31x ，得出f 3(x )的单调区间，分析出sin 3θ+cos 3θ，sin θ+cos θ的范围，从而可得存在θ∈0,π2 ，使得sin 3θ+cos 3θ≤a (sin θ+cos θ)≤1sin 3θ+cos 3θ成立，然后分离参数七届即可.【小问1详解】f 1(x )=ln x +1x 的定义域满足x +1x>0，解得x >0所以f 1(x )的定义域为0,+∞ ，不具有奇偶性，所以f 1(x )不是“有趣的”.t =x +1x在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.所以f 1(x )单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)f 2(x )=ln x 2+1x 2 的定义域为x ∈R |x ≠0 ，f 21x =ln x 2+1x 2 ，满足f 2(x )=f 21x 又f 2(-x )=ln x 2+1x2 =f 2(x )，则f 2(x )为偶函数.所以f 2(x )是“有趣的”t =x 2+1x2(-1,0)，(1,+∞)上单调递增，在(-∞,-1)，(0,1)上单调递减所以f 2(x )单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)，单调递减区间为(-∞,-1)，(0,1)【小问2详解】f 3(x )=ln x 3+1x 3 的定义域满足x 3+1x 3>0，解得解得x >0所以f 3(x )的定义域为0,+∞ ，则f 3(x )=f 31x ，且f 3(x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增.当θ∈0,π2时，sin θ,cos θ∈0,1 (sin θ,cos θ不可同时取得0或1)则0<sin 3θ+cos 3θ=sin θ⋅sin 2θ+cos θ⋅cos 2θ<sin 2θ+cos 2θ=1sin θ+cos θ=2sin θ+π4∈1,2 由a (sin θ+cos θ)>0，则a >0存在θ∈0,π2，使得f 3(sin 3θ+cos 3θ)≥f 3[a (sin θ+cos θ)]成立即存在θ∈0,π2 ，使得sin 3θ+cos 3θ≤a (sin θ+cos θ)≤1sin 3θ+cos 3θ成立即存在θ∈0,π2 ，使得sin 3θ+cos 3θsin θ+cos θ≤a ≤1sin 3θ+cos 3θ sin θ+cos θ成立.即存在θ∈0,π2 ，使得1-sin θcos θ≤a ≤11-sin θcos θ 1+2sin θcos θ 成立.设t =sin θcos θ=12sin2θ∈0,12 则原命题等价于，存在t ∈0,12 ，1-t ≤a ≤11-t 1+2t=1-2t 2+t +1成立.令h (t )=1-t ，g (t )=1-2t 2+t +1，t ∈0,12 .-2t 2+t +1∈1,98 ，∴1(2t +1)(1-t )∈89,1，且1-t ∈12,1 h (t )min =h 12 =12，g (t )max =1，∴12≤a ≤1.。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (5)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=411．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为．14．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}，则A ∩（∁U B）为（）A．{1，3}B．{0，2}C．{0，1，3}D．{2}【解答】解：∵全集U=Z，A={0，1，2，3}，B={x|x2=2x}={0，2}，∴C U B={x|x∈Z，且x≠0，且x≠2}，∴A∩C U B={1，3}．故选A．2．（5分）函数的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1]C．（0，1）D．（0，+∞）【解答】解：函数的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}，故选C．3．（5分）函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．4．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A．B．C． D．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故选：A．5．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选D．6．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A．πB．2πC．πD．π【解答】解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D7．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB的中点M，DD1的中点N，则异面直线B1M与CN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：由题意，在右面补一个正方体，如图：∵AB的中点M，取C1E的中点P，连接CP，可得：CP∥B1M，∴∠NCP是异面直线B1M与CN所成的角的平面角．连接NP，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为a．可得：CN=CP=．NP==．∵△NCP的三条边满足：CN2+CP2=NP2．∴∠NCP=90°．即异面直线B1M与CN所成的角是90°．故选：D．8．（5分）我国古代数学名著《数学九章》中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺（注：1丈等于10尺）（）A．29尺B．24尺C．26尺D．30尺【解答】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5×2=10（尺），因此葛藤长=26（尺）．故选：C．9．（5分）过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（）A．x+2y﹣5=0 B．2x+y﹣4=0 C．x+3y﹣7=0 D．x﹣2y+3=0 【解答】解：根据题意得，当与直线OA垂直时距离最大，因直线OA的斜率为2，所以所求直线斜率为﹣，所以由点斜式方程得：y﹣2=﹣（x﹣1），化简得：x+2y﹣5=0，故选：A．10．（5分）与直线x﹣y﹣4=0和圆x2+y2+2x﹣2y=0都相切的半径最小的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y+1）2=4 C．（x﹣1）2+（y+1）2=2 D．（x﹣1）2+（y+1）=4【解答】解：由题意圆x2+y2+2x﹣2y=0的圆心为（﹣1，1），半径为，∴过圆心（﹣1，1）与直线x﹣y﹣4=0垂直的直线方程为x+y=0，所求的圆的圆心在此直线上，排除A、B，∴圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离为=3，则所求的圆的半径为，故选C．11．（5分）若动点P到点F（1，1）和直线3x+y﹣4=0的距离相等，则点P的轨迹方程为（）A．3x+y﹣6=0 B．x﹣3y+2=0 C．x+3y﹣2=0 D．3x﹣y+2=0 【解答】解：点F（1，1）在直线3x+y﹣4=0上，则点P的轨迹是过点F（1，1）且垂直于已知直线的直线，因为直线3x+y﹣4=0的斜率为﹣3，所以所求直线的斜率为，由点斜式知点P的轨迹方程为y﹣1=（x﹣1）即x﹣3y+2=0故选B12．（5分）若直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则点P（a，b）与圆C的位置关系是（）A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定【解答】解：直线l：ax+by=1与圆C：x2+y2=1有两个不同交点，则＜1，∴a2+b2＞1，点P（a，b）在圆C外部，故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线5x+12y+a=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a 的值为﹣18或8．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），半径R=1，∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离d===1，即|a+5|=13，即a+5=13或a+5=﹣13，得a=8或a=﹣18，故答案为：﹣18或814．（5分）已知奇函数f（x），x∈（0，+∞），f（x）=lgx，则不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．【解答】解：x∈（0，+∞），f（x）=lgx，不等式f（x）＜0化为lgx＜0，∴0＜x＜1．当x＜0时，∵函数f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣lg （﹣x），由f（x）＜0即﹣lg（﹣x）＜0，化为lg（﹣x）＞0，∴﹣x＞1，解得x＜﹣1．综上可得不等式f（x）＜0的解集是：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．15．（5分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P﹣DCE的外接球的体积为．【解答】解：∵∠DAB=60°∴三棱锥P﹣DCE各边长度均为1∴三棱锥P﹣DCE为正三棱锥P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O∴OD=OE=OC=在直角△POD中：OP2=PD2﹣OD2=OP=∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，则O'P=O'D 设O'P=O'D=R则在直角△OO'D中：OO'2+OD2=O'D2（OP﹣O'P）2+OD2=O'D2（﹣R）2+（）2=R2，R=∴体积为πR3=故答案为：16．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是[4，6] ．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有4≤m≤6，故答案为：[4，6]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【解答】解：（1）由对数函数的定义知＞0．即＜0，解得：﹣1＜x＜1；故f（x）的定义域为（﹣1，1）（2）f（x）为奇函数，理由如下：f（x）定义域为（﹣1，1）关于原点对称，又∵f（﹣x）=log a=﹣log a=﹣f（x），∴f（x）为奇函数．18．（12分）△ABC的边AC，AB上的高所在直线方程分别为2x ﹣3y+1=0，x+y=1，顶点A（1，2），求BC边所在的直线方程．【解答】解：因为AC边上的高所在直线方程为2x﹣3y+1=0，所以直线AC的斜率为﹣；所以直线AC的方程为y﹣2=﹣，即3x+2y﹣7=0，同理可求得直线AB的方程为x﹣y+1=0．由，得顶点C（7，﹣7），由，得顶点B（﹣2，﹣1）．所以直线BC的斜率为﹣，所以直线BC的方程为y+1=﹣，即2x+3y+7=0．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．【解答】（1）证明：如图所示，连接B1C交BC1于O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形，所以点O为B1C的中点，又因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥B1A，又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD．（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，所以BD⊥AC，又因为AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BD，根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，又因为BD⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1ACC1；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S=×3×3=，∴==••6=9．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=．（1）求证：AB⊥平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值．【解答】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1，∵EF∥平面ABCD，EF⊂平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EF∥AB，即EF∥MB．∵EF=MB=1∴四边形EMBF是平行四边形．∴EM∥FB，EM=FB．在Rt△BFC中，FB2+FC2=BC2=4，又FB=FC，得FB=．∴EM=．在△AEM中，AE=，AM=1，EM=，∴AM2+EM2=3=AE2，∴AM⊥EM．∴AM⊥FB，即AB⊥FB．∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥BC．∵FB∩BC=B，FB⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AB⊥平面BCF．（2）连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH，则OH∥AB，OH=AB=1．由（1）知EF∥AB，且EF=AB，∴EF∥OH，且EF=OH．∴四边形EOHF是平行四边形．∴E0∥FH，且EO=FH=1．由（1）知AB⊥平面BCF，又FH⊂平面BCF，∴FH⊥AB，∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH⊂平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．∴E0⊥平面ABCD．∵AO⊂平面ABCD，∴EO⊥AO．∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO⊂平面EBD，BD平面EBD，∴AO⊥平面EBD．∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角．在Rt△AOE中，tan∠AEO==．∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为．21．（12分）如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角．（1）证明：AC⊥BO1；（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB从而AO⊥平面OBCO1，OC是AC在面OBCO1内的射影因为tan∠OOA==，tan∠O1OC==，所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，从而OC⊥BO1由三垂线定理得AC⊥BO1．解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），则EF是O1F在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O1F⊥AC所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角由题设知OA=3，OO 1=，O1C=1，所以=2，AC==，从而=，又O1E=OO1•sin30°=，所以sin∠O1FE==，cos∠O1FE==，∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．22．（12分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，∴k AB=a=，由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．。
重庆市南开中学高高三数学上期末测试理旧
重庆南开中学高2011级（上）期末测试卷数学试题（理科）满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
5．考试结束，将试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知集合{2,3},{2,4},A B P A B ===，则集合P 的子集的个数是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 2．抛物线22y x =的焦点坐标是（ ）A ．1(0,)4B ．1(0,)8C ．1(,0)8D ．1(,0)43．下列各选项中，与2sin 2011最接近的数是（ ）A ．12-B ．12C ．2D ．—24．已知各项均正数的等比数列{}n a 的首项13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1895．已知直线1l 的方程为3470,x y +-=直线2l 的方程为6810x y ++=，则直线12l l 与的距离为（ ）A ．85 B ．32C ．4D ．86．定义行列式运算：12142334.a a a a a a a a =-若将函数sin ()cos xf x x=的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 （ ）A ．8πB ．3π C ．56π D ．23π 7．设M 是△ABC 内任一点，23,30,,,AB AC BAC MBC MAC MAB ⋅=∠=∆∆∆的面积分别为1,,,2x y z z =若，则在平面直角坐标系中，以,x y 为坐标的点(,)x y 的轨迹图形是（ ）8．设实数,x y 满足条件4100280,(0,0)0,0x y x y z ax by a b x y --≤⎧⎪-+≥=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则23a b +的最小值为（ ）A ．256B ．83C ．113D ．49．已知函数3122331()lg(0,0,0f x x x x x x x x x =+++>+>+>且，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．以上都有可能 10．如题10图，半径都为1的三个圆两两相交，且AB 弧长=BC 弧长=AC 弧长，CD 弧长等于2π，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3π B ．2πC ．52π D ．332π+二、填空题：本大题共5小题，共25分。
重庆市南开中学高一(上)期末数学模拟试卷 (12)
重庆市南开中学高一（上）期末数学模拟试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．44．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．010．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a ，b ]⊆D ，使f （x ）在[a ，b ]上的值域是[，]，则称f （x ）为“倍缩函数”，若函数f （x ）=log 2（2x +t ）为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（﹣∞，）C ．（0，]D ．（﹣∞，]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm ，面积为4cm 2，则这个扇形的圆心角的弧度数是 ．14．（5分）若tanα=﹣，则sin 2α+2sinαcosα的值为 ．15．（5分）已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f （x +2）=﹣，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x +1），则f （﹣2017）+f （2019）= ．16．（5分）已知函数（），若函数F （x ）=f （x ）﹣3的所有零点依次记为x 1，x 2，x 3，…，x n ，且x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n ，则x 1+2x 2+2x 3+…+2x n ﹣1+x n = ．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x |x 2﹣6x +5＜0}，C={x |3a ﹣2＜x ＜4a ﹣3}，若C ⊆A ，求a 的取值范围．18．（12分）已知cosα=，cos （α﹣β）=，且0＜β＜α＜， （1）求tan2α的值；（2）求β．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P ∪Q=（）A．（﹣1，2）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，3）【解答】解：集合P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|0＜x＜3}，那么P∪Q={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3）．故选：D．2．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．3．（5分）（log29）•（log34）=（）A．B．C．2 D．4【解答】解：（log29）•（log34）===4．故选D．4．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．5．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．[1，10]B．[1，2）∪（2，10]C．（1，10]D．（1，2）∪（2，10]【解答】解：函数f（x）=有意义，可得，即为，则1＜x≤10，且x≠2，故选：D．6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数y=sin2（x﹣）=sin（2x﹣）的图象，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，设a=f（﹣），b=f（﹣1），c=f （2），则a、b、c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a【解答】解：由f（1﹣x）=f（1+x），得函数关于x=1对称，则c=f（2）=f（1+1）=f（1﹣1）=f（0），∵当x∈（﹣∞，1]时，函数f（x）单调递减，且﹣1＜﹣＜0，∴f（﹣1）＞f（﹣）＞f（0），即c＜a＜b，故选：A8．（5分）若O为△ABC所在平面内任一点，且满足（﹣）•（+﹣2）=0，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【解答】解：因为（﹣）•（+﹣2）=0，即•（+）=0；又因为﹣=，所以（﹣）•（+）=0，即||=||，所以△ABC是等腰三角形．故选：A．9．（5分）设向量=（cosx，﹣sinx），=（﹣cos（﹣x），cosx），且=t，t≠0，则sin2x值（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【解答】解：∵=t，t≠0，∴sinx•﹣cosxcosx=0，化为：tanx=±1．则sin2x====±1．故选：C．10．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+ϕ）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+ϕ），将（﹣，2）代入得﹣+ϕ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A11．（5分）已知在△ABC中，D是AB边上的一点，=λ（+），||=2，||=1，若=，=，则用，表示为（）A．+B．+C．+D．﹣【解答】解：∵=λ（+），∴为∠ACB角平分线方向，根据角平分线定理可知：=，∴=．∴===．故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f （x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，） C．（0，]D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设一扇形的弧长为4cm，面积为4cm2，则这个扇形的圆心角的弧度数是2．【解答】解：因为扇形的弧长l为4，面积S为4，所以扇形的半径r为：r=4，r=2，则扇形的圆心角α的弧度数为=2．故答案为：2．14．（5分）若tanα=﹣，则sin2α+2sinαcosα的值为．【解答】解：∵tanα=﹣，∴sin2α+2sinαcosα===．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x ≥0，都有f（x+2）=﹣，且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）=0．【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴f（x+4）=﹣=﹣=f（x），即当x≥0时，函数f（x）是周期为4的周期函数，∵当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），∴f（﹣2017）=f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=log22=1，f（2019）=f（504×4+3）=f（3）=f（2+1）=﹣=﹣1，则f（﹣2017）+f（2019）=﹣1+1=0，故答案为：0．16．（5分）已知函数（），若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=445π．【解答】解：令2x+=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，，∴f（x）在（0，）上有30条对称轴，∴x1+x2=2×，x2+x3=2×，x3+x4=2×，…，x n﹣1+x n=2×，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=2×（+++…+）=2××30=445π．故答案为：445π．三、简答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A={x|x2﹣6x+5＜0}，C={x|3a﹣2＜x＜4a ﹣3}，若C⊆A，求a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，C={x|3a﹣2＜x＜4a﹣3}，C⊆A，∴当C=∅时，3a﹣2≥4a﹣3，解得a≤1；当C≠∅时，a＞1，∴．解得1＜a≤2．综上所述：a的取值范围是（﹣∞，2]．18．（12分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，（1）求tan2α的值；（2）求β．【解答】解：（1）由0＜β＜α＜，cosα=，可得sinα=，∴tan=，则tan2α==﹣；（2）由cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜，得sin（α﹣β）==，可得，cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=∴．19．（12分）已知（x∈R，a∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若时，f（x）的最大值为4，求a的值．【解答】解：（1）∵已知（x∈R，a ∈R，a是常数），且（其中O为坐标原点），∴f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）当时，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，f（x）取得最大值为a+3=4，∴a=1．20．（12分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=+．（1）求△ABM与△ABC的面积之比．（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值．【解答】解（1）由，可知M、B、C三点共线．如图令==，∴，即面积之比为1：4．（2）由，，由O、M、A三点共线及O、N、C三点共线21．（12分）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随年产值x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%．（1）若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y=lgx+kx+5（k为常数）是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因（已知lg2≈0.3，lg5≈0.7）；（2）若采用函数f（x）=作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【解答】解：（1）对于函数模型y=lgx+kx+5 （k 为常数），x=100时，y=9，代入解得k=，所以y=lgx++5．当x∈[50，500]时，y=lgx++5是增函数，但x=50时，f（50）=lg50+6＞7.5，即奖金不超过年产值的15%不成立，故该函数模型不符合要求；（2）对于函数模型f（x）==15﹣a为正整数，函数在[50，500]递增；f（x）min=f（50）≥7，解得a≤344；要使f（x）≤0.15x对x∈[50，500]恒成立，即a≥﹣0.15x2+13.8x 对x∈[50，500]恒成立，所以a≥315．综上所述，315≤a≤344，所以满足条件的最小的正整数a的值为315．22．（12分）已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，求a的取值范围；（3）若对任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．【解答】（本小题12分）（1）设g（x）=a x（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．∴g（x）=2x．…（1分）∴，∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴=0，∴n=1，∴又f（﹣1）=f（1），∴=，解得m=2 ∴．…（3分）（2）由（1）知，易知f（x）在R上为减函数，…（4分）又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零点，从而h（﹣1）h（1）＜0，即，…（6分）∴（a+）（a﹣）＜0，∴﹣＜a＜，∴a的取值范围为（﹣，）；…（8分）（3）由（1）知，又f（x）是奇函数，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），∵f（x）在R上为减函数，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，…（10分）即对一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，…（11分）∴k＜﹣12，即实数k的取值范围是（﹣∞，﹣12）．…（12分）。
南开中学初2011级10-11学年(上)半期试题——数学
重庆南开中学初2011级初三上学期半期考试数学试题（全卷共5个大题，满分150分，考试时间l20分钟）题号一二三四五总分满分4024244022150得分的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．1．计算的结果是（）A． B． C．2x D．3x2．如图，左图是由四个相同的小立方体组成的立体图形，它的主视图是（）3．已知的半径为3cm，点A到圆心O的距离为4cm，则点A与的位置关系是（）A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．不能确定4．某学习小组7个男同学的身高（单位：米）分别为：l.66、1.65、1.72、1.58、1.64、1.66、1.70，那么这组数据的众数为（）A．1.65米 B．1.66米 C．1.67米 D．1.70米5．抛物线的顶点坐标为（）A．（－2，5） B．（5，－2） C．（2，5） D．（5，2）6．山坡底部有一棵竖直的大树AB，小明从A处沿山坡前进20米到达C 处，此时转身正好看到同一水平线上的树顶B．已知坡角，小明的眼睛到地面的距离为1.7米，则树高AB为（）A．20米 B．21.7米 C．米 D．11.7米7．如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，点D在BC上，且AD=BD，AD、CE相交于点F，若∠B=20°，则∠DFE等于（）A．70° B．60° C．50° D．40°9．如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，AC=6，点N从B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BA向A运动，同时点M从A出发，以同样的速度沿线段AC向C运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．下面能反映△AMN的面积y与运动时间x（秒）之间的关系的图象是（）10．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD⊥CD，BD=CD，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N，连接DE．下列结论：①BH=BE；②EH=DH；③tan∠EDB=；④；其中正确的有（）A．①③④ B．②③④ C．①④ D．①②③二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）在每个小题中，请将正确答案填在题后的横线上．11．分解因式：．12．方程的解是．13．第l6届广州亚运会将于2010年11月l2日开幕，本次亚运会志愿者报名人数达到1510000人，将数据1510000用科学记数法表示为．14．如图，在△ABC中，点D是AB边上—点，DE∥BC交AC于E，AD：DB=1：2，则△ADE与△ABC的周长之比为．15．如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点D（0，3），其对称轴为直线，点C为对称轴上一点，若四边形ABCD为平行四边形，则抛物线的解析式为．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，10），将矩形翻折，使得点B与点D（0，2）重合，折痕为EF，则点C的对应点G的坐标为．三、解答题：（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．17．计算：．18．解不等式组：，并将解集在所给的数轴上表示出来．19．如图，的弦，半径OD⊥AB于C，CD=2，求的半径．20．先化简，再求值：，其中．四、解答题：（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．21．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，在第三象限交于点B，过B作BD⊥x轴于D，连接AD．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）根据图象直接写出时自变量x的取值范围．22．为了解初三学生每天的自主学习情况，某校学生会对初三（18）班学生每天自主学习的时间进行了调查．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图：初三学生自主学习时间调查扇形统计图初三学生自主学习时间调查条形统计图：根据统计图中的信息同答下列问题：（1）初二（18）班学生每天自主学习时间的平均数为小时；并将条形统计图补充完整；（2）学习效率较高的同学每天的自主学习时间不低于1.5小时．小明想找两位学习效率较高的同学交流学习经验，他决定从班上学习效率较高的4位同学中（含小亮）随机选择两位进行交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮的概率．23．如图，在△ABC中，点D是AB的中点，C E⊥AB于点E，∠BCE=60°，∠ACE=45°，若DE=10，求CE的长．（结果保留根号）24．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB=75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．（1）求∠AED的度数；（2）求证：AB=BC．五、解答题：（本大题2个小题，篇25小题l0分，第26小题l2分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．25．金秋十月，某绿色种植基地种植的农产品喜获丰收，但由于同类农产品的大量上市，本地市场价格第一天为每千克4.8元，第二天降为每千克4.6元，且价格p（元／千克）与天数x（天）（1≤x≤7且x为整数）满足一次函数关系．销售量q（千克）与天数x（天）之间满足q=100x+1500（1≤x<7且x为整数）．（1）求价格p（元／千克）与天数x（天）之间的函数关系式：（2）第几天的销售收入最大?并求这个最大值．（3）若该农产品不能在7天内出售，将会因变质而不能出售．依此情况，基地将l0吨该农产品运往外地销售．已知在第五天将农产品运到了外地，并在当天全部销售完．外地销售这种农产品的价格比同一天在本地销售的价格高a％（0<a<20），而在运输过程中有0.6a％损耗，这样，除去各种费用l200元后收入40000元．请你参考以下数据，通过计算估算出a的整数值．（参考数据：）26．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过，对称轴是直线x=1．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在这样的点P，使△POC的面积和△PBC的面积比为1：5 ?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由：（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，要使以M、N、O、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点N的坐标．。
重庆南开高一试题及答案
重庆南开高一试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 重庆南开中学位于哪个城市？A. 北京B. 上海C. 重庆D. 广州答案：C2. 重庆南开中学的校训是什么？A. 厚德博学B. 笃学力行C. 求实创新D. 诚信笃行答案：A3. 重庆南开中学创建于哪一年？A. 1936年B. 1946年C. 1956年D. 1966年答案：A4. 重庆南开中学的校歌名称是什么？A. 南开之歌B. 重庆之歌C. 校歌D. 南开校歌答案：D5. 重庆南开中学的校徽颜色是什么？A. 蓝色B. 红色C. 绿色D. 黄色答案：A6. 重庆南开中学的校庆日是每年的哪一天？A. 5月20日B. 6月1日C. 9月10日D. 10月1日答案：A7. 重庆南开中学的校园占地面积是多少？A. 100亩B. 200亩C. 300亩D. 400亩答案：B8. 重庆南开中学的图书馆藏书量是多少？A. 10万册B. 20万册C. 30万册D. 40万册答案：C9. 重庆南开中学的体育设施包括哪些？A. 篮球场B. 足球场C. 游泳池D. 所有以上答案：D10. 重庆南开中学的学生人数大约是多少？A. 1000人B. 2000人C. 3000人D. 4000人答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 重庆南开中学的校训是“______”。
答案：厚德博学2. 重庆南开中学的校徽颜色是______。
答案：蓝色3. 重庆南开中学创建于______年。
答案：19364. 重庆南开中学的校歌名称是______。
答案：南开校歌5. 重庆南开中学的校庆日是每年的______。
答案：5月20日6. 重庆南开中学的校园占地面积约为______亩。
答案：2007. 重庆南开中学的图书馆藏书量约为______万册。
答案：308. 重庆南开中学的体育设施包括______、______和______。
答案：篮球场、足球场、游泳池9. 重庆南开中学的学生人数大约是______人。
重庆南开中学2008—2009学年度(上)期高2011级期末考试
重庆南开中学2008—2009学年度（上）期高2011级期末考试物理试题本试卷分第I卷和第II卷两部分。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试题卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题，共80分）一、选择题(本题包括l2小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个．．．．选项符合题意。
) 1．关于力的说法正确的是：( )A．物体之间有力的作用，它们一定相互接触B．相互接触的物体间一定有力的作用c．孤立的一个物体一定不存在力的作用D．手推车时，手推车的力大于车推手的力2．三个共点力，其大小分别为F l=4 N，F2=6 N，F3=8 N，则这三个共点力的合力的最小值是：( )A．0 N B．2 N C．4 N D．6 N3．下列说法中正确的是：( )A．加速度增大，物体的速度必定增大B．速度的大小不变，则加速度必定为零C．物体沿直线向右运动，速度随时间变化，则物体的加速度一定向右D．加速度的方向不能由速度方向确定，只能由合外力的方向来定4．伽利略的理想实验证明了： ( )A．物体运动必须有力的作用，没有力的作用物体就将静止B．物体静止必须有力的作用，没有力的作用物体就将运动C．要使物体由静止变为运动，必须受不为零的合外力作用，且合外力越大速度变化越快 D．物体不受外力时，总保持原来的匀速直线运动状态或静止5．如图所示，m l和m2两木块叠在一起以初速度V0被斜向上方抛出去，不考虑空气阻力，抛出后m2的受力情况是： ( )A．只受重力作用B．受重力和ml的压力作用C．受重力、ml的压力和摩擦力作用D．所受合力方向与初速度方向一致6．一个物体做自由落体运动，则它在第2秒内的位移，取g=10 m／s2：( )A．5 m B．10 m C．15 m D．20m7．一个竖直上抛的物体，上升过程的平均速度是10 m／s，它能到达的最大高度，取g=10M/s2：( ) A．5 m B．10 m C．20 m D．30 m8．如图所示，在静止的车厢内悬挂一重球，设悬线对球的拉力为T，车厢壁对球的弹力为Ⅳ，当车厢向右加速运动时：( )A．T、N都增大 B．T不变，N增大C．T增大，N不变 D．球仍保持静止状态9．如图所示，轻绳一端系在质量为m的物体彳上，另一端系在一个套在粗糙直杆MN的圆环上．现用水平力F拉住绳子上的O点，使物体A从图中的实线位置缓慢上升到虚线位置，但圆环仍保持在原柬的位置不变．则在这一过程中，环对杆的摩擦力Fl和环对杆的压力F2的变化情况是：( )A．F1保持不变，F2逐渐增大B．F1保持不变，F2保持不变C．F l逐渐减小，F2保持不变．D．F l保持不变，F2逐渐减小10．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当物体P匀速向上运动时，下列说法正确的是：( ) ，A．小车一直匀速向左运动B．小车一直减速向左运动C．绳上的拉力一直减小D．假设小车的牵引力不变，则小车做匀减速直线运动11．一个人用一根长l m的绳子，拴着一个质量为1 kg的小球，在竖直平面内作圆周运动，已知小球在最低点的速度为4 m／s，则此时绳上的张力为，取g=10m／s2：( )A．6 N B．10 N C．16 N D．26 N12．一根长为L的轻杆，其中点和端点处固定两个小球A和B，其中A球的质量为B的两倍，它们与杆一起绕O点在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是：( ) A．A、B两球的线速度相同B．A、B两球的角速度不相同C．杆对A、B两球的作用力为2:1D．杆对A、B两球的作用力相同二、选择题(本题包括8小题．每小题4分，共32分．每小题给出的四个选项中，只有两个选．．．．．项是正确的．．．．．，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)13．下列说法正确的是：( )A．当物体的速度等于零时，物体不一定处于平衡状态B．作用力与反作用力的性质一定相同C．高速运动的物体不容易让它停下来，是因为物体运动速度越大，惯性越大D．物体做离心运动，是因为受到离心力的作用14．如图所示，代表船速的方向用3个箭头来表示，每两个箭头之间的夹角如图，已知水速是l m／s,船在静水中的速度是2 m／s，则： ( )A．要使船能垂直河岸渡过河，那么划船的方向是aB．要使船能垂直河岸渡过河，那么划船的方向是bC．要使船能在最短时间渡河，那么划船方向应是bD．要使船能在最短时间渡河，那么划船方向应是c15．小球从空中自由落下，与水平相碰后弹到空中某一高度，其速度随时间变化的关系如图所示，取g=lO m／s2．则： ( )A．小球下落的最大速度为5 m／sB．小球第一次反弹的初速度的大小为4 m／sC．小球能跳起的最大高度为l．25 MD．小球能跳起的最大高度为0．45m16．如图所示的装置中，绳子与滑轮的质量不计，摩擦不计，悬点a与b之间的距离大于两轮的直径，两个物体的质量分别为ml和M2，若装置处于静止状态，则下述正确的是： ( )， A．M 2不可以大于M lB．θ1与θ2必定相等C．M2必定大于M l／2D．m2必定要等于M l／217．如图所示，A、B两物体相距S=7m，物体A在水平拉力和摩擦力的作用下，以V A=4 m／s的速度向右匀速运动；而物体B此时速度v B=10 m／s，由于摩擦力的作用向右做匀减速运动，加速度的大小为2 m／s2，下列说法正确的是：( )A．物体B在5 s末停下来B．在B停下来之前，A、B间的距离一直减小C．A在7 S末追上BD．A在8 S未追上B18．质量为0．2kg的物体，其速度在x、Y方向的分量v x、v y与时间t的关系如图所示，已知X、Y方向相互垂直，则：( ) ，A．0～4 s内物体做曲线运动B．0～4 s内物体做匀速直线运动C．0～4 s内物体的位移为12 mD．4～6 s内物体的位移为25m19．负重奔跑是体能训练常用方式之一，如图所示的装置是运动员负重奔跑的跑步机，已知运动员的质量为m l，绳拴在腰问沿水平方向跨过定滑轮(不计滑轮摩擦、质量)悬挂质量为m2的重物，人用力向后蹬使传送带沿顺时针转动，下面说法正确的是：( )A．若m2静止，运动员对传送带摩擦力的大小为m2gR．若m2匀速上升时，m1越大，运动员蹬传送带的力越人C．若m2匀加速上升时，m l越大，运动员蹬传送带的力越大D．若m2匀加速上升时，m l越大，运动员蹬传送带的力越小20．如图所示，小车上物体的质量m=8kg，它被一根在水平方向上拉伸了的轻质弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为6 N．现沿水平向右的方向对小车施一作用力，使小车由静止开始运动起来．运动中加速度由零逐渐增大到1m／s2，然后以l m／s2的加速度做匀加速直线运动，以下说法证确的是：( )A．物体与小车始终保持相对静止，弹簧对物体的作用力始终没有发生变化B．物体受到的摩擦力先减小、后增大；先向左、后向右C．当小车向右的加速度为O．75 m／s2时，物体受到6 N的摩擦力作用D．小车以l m／s2的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到8 N的摩擦力作用第二部分(非选择题，共70分)21．(3分)一游标卡尺的主尺最小分度为lmm，游标上有20个小等分间隔，现用此卡尺来测量工件的直径，如图所示该工件的直径为______________cm22．(6分)(1)下列哪些因素会使“探究平抛运动的规律”实验的误差减小：( )A．使小球与斜槽间尽量光滑B．安装斜槽时使其末端水平C．建立坐标系时，以斜槽木端端口位置为坐标原点D．据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取离原点O较远的点(3分)(2)如图所示为某次实验所描绘的平抛物体运动的轨迹，抛出点在O点，A、B、C 三点的坐标为A(x l=0．35 m，Y l=0．05 m)、B(x l=0.70m，Y2=0．20 m)、C(x3=1.05rn，Y3=0.45 m)。
重庆南开中学2008—2009学年度(上)期高2011级期末考试
重庆南开中学2008—2009学年度（上）期高2011级期末考试数学试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后。
将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题卡和试题卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试题卷上。
3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合}7,6,5,4,3,2,1{=U ,}7,5,4,2{=A ,}5,4,3{=B 则()U A B = ð( )}6,1.{A .{4,5}B .{2,3,4,5,7}C .{1,2,3,6,7}D2．已知数列}{n a 为等比数列，且8741=⋅⋅a a a ，则=⋅53a a ( ) A ．2 22.B C ．4 D.8 3．已知命题;1:>x p 命题1|:|>x q ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．右图足指数函数)1,0(=/>=a a a y x的图象，已知a 的值取3,2,31,21则相应于曲线1234,,,C C C C 的a 依次为：( )2,3,21,31.A 3,2,21,31.B 21,31,3,2.C 31,21,2,3.D5．设定义在N 上的函数10 0n 2000()(20) n>2000n f n f n -≤≤⎧=⎨-⎩,则f(20ll)= ( )A. 2011B. 2001C. 1991D. 19816．函数()y f x =在R 上单调递增，且2()(),f m f m >-则实数m 的取值范围是( ))1,(--∞⋅A ),0(+∞⋅B )0,1(-⋅C (,1)(0,)D ⋅-∞-+∞7．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是( )A C ．指数函数模型 D ．对数函数模型8．若n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，且626,S S -=则8S 的值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 129．已知函数x x f 2log )(=的值域是],1,1[-则函数x f x g ()(1-⋅=)+1的值域是( )13[0,2] [,2] [,3]22A B C ⋅⋅⋅ 3(,)(3,)2D ⋅-∞+∞10.定义在R 上的偶函数()f x ，满足),3()3(x f x f -=+若)3,0(∈x 的解析式为,62x x y -=则()f x 在(6,3)--上的解析式为( ) 9)3(.2--=x y A 9)3(.2-+=x y B 3)3(.2-+=x y C 2)3(.+=x y D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上）11．函数12+-=x x y 的定义域为 . 12．已知函数32)(2--=mx x x f 的图象与x 轴的两个交点在直线1=x 的两侧，则 实数m 的取值范围为 .13.n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，且,20,5105==S S 则15S = . 14.已知函数,14)(-+=x x x f 则()f x 在[2，4]上的最大值与最小值之差为 . 15.若135(21)110(*),1111223(1)n n N n n +++⋅⋅⋅+-=∈++⋅⋅⋅+⋅⋅+则n = .16.方程()f x x =的根称为()f x 的不动点.若函数()(0)(2)xf x a a x ==/+有唯一的不动点，且1111000,(*),1()n nx x n N f x +==∈则2009x = . 三、解答题（本大题共6小题，共76分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分13分）已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数．当0≥x 时，)(x f y = 的图象如图所示，(1)写出函数)(x f y =的单调区间； (2)求不等式0)(≤x xf 的解集．18.（本小题满分13分）已知等比数列}{n a 中，41,1a a =是-2和18的等差中项， (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n a 的前n 项和为1023，求项数n ．19.（本小题满分13分）已知集合2{|121},{|310},P x a x a Q x x x =+≤≤+=-≤ (1)若,3=a 求();R P Q ð(2)若,P Q Q = 求实数a 的取值范围．20.（本小题满分13分）已知函数2()3(0),f x x bx b =++>当]2,1[-∈x 时，()f x 有 最大值为11， (1)求()f x 的解析式；(2)设()g t 为函数()f x 在[1,1]t t -+上的最小值，求()g t 的解析式.21．（本小题满分12分）设函数()2x f x a =-(a 是常数），)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象过点A(a ，3)，(1)求实数a 的值及)(1x f y -=的解析式；(2)将)(1x fy -=的图象向右平移4个单位得)(x g y =的图象，若不等式1)()4(21≥--+-x g m x f 恒成立，求实数m 的取值范围．22.（本小题满分12分）数列}{n a 中，11,354(*)n n a a a a n n N +=+=-∈ (1)当a 为何值时，数列}{n a 为等差数列； (2)求数列}{n a 的通项公式；(3)设n S 为数列}{n a 的前n 项和，并且有相同的n ，使得n S 与||1n n a a ++都取最小值，求a 的取值范围．。
重庆市南开中学2011届高三期中考试数学试题(理)及答案(打印版)
重庆市南开中学2011届高三期中考试数学试题(理)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题:(本大题共10小题，每小题5分，共50分)备题答案必须答在答题卡上。
1．点P 是P 1P 2的中点，则点P 2分有向线段1PP 的比为 ( )A ．-2B ．12-C ．12D ．2 2．设向量(1,1),(1,3)a x b x =-=+，则"2""//"x a b =是的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．下列各选项中，与sin 2011︒最接近的数是 ( )A ．12BC ．-12D ．4．下列命题中，真命题是( )A ．,ac bc a b >>若那么B ．若,a b a b c c>>则C ．若22,a b ac bc >>则D ．若,a b a c b c >->-则5．已知非零向量|2|,0,|2|a b a b a b a b -⋅=+满足则=( )A ．14B ．2C ．12D ．1 6．由下面的条件能得出ABC ∆为锐角三角形的是( )A ．1sin cos 5A BaA +=B ．0AB BC ⋅<C ．tan tan tan 0A B C ++>D ．3,30b c B ===︒7．如果数列{}n a 满足11121112,1,(2)n n n n n n n n a a a aa a n a a a a -+-++===≥-且，则100a =( )A ．10012 B ．9912 C ．1100D ．1508．已知函数(),()xxf x ag x b ==的图象与直线y=3的交点分别为12,x x ，且12x x >，且a 与b 的大小关系不可能．．．成立的是( )A ．1b a >>B ．10a b >>>C ．10b a >>>D ．10b a >>>9．函数()sin ,'()()f x x f x f x =是的导函数，若将()f x 的图象按向量(,)a m k =平移可得到'(),f x则当||a 最小时，2111lim(1)n x m m m→∞++++= ( )A ．2ππ-B ．2ππ+C ．1ππ- D ．1ππ+10．设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B+⋅+的取值范围为( )A ．51(0,)2B ．5151,)22C ．51,)2+∞ D ．(0,)+∞ 第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题:(本大题5个小题，每小题5分，共25分) 11．设11()42,(0)xx f x f +-=-则= 。
重庆南开中学1112高一数学下学期期末考试(扫描版)新人教版
重庆南开中学11-12 学年度下学期高一数学期末考试（扫描版）新人教版重庆南开中学高2014级2011-2012学年度高一（下）期末数学试题 第I 卷（选择题共50分）、选择莎 本大壺共io 水题，毎加题5分.共甜分.在每小曲给出的四个备堆项中. 只有一项罡符合题冃要求的一已知点M （】,2）, N （l,lh 则直线MN 的倾纵轴是（ ）已妙。
上为1F 零实数，Wa<b.不算式成立的垦（已知柿圆#!一+丄二=1,长铀在护轴上+若議距为4・10— m JW — 2D. 8第I STA. 45°B. 90’C. 135* 0.不存在3. B M<b\C.已知歸足等差数列依」的前丹顶利，若吗=4,则A. 5B. WC 15D. 20某栓对商三年级男生的身体发育傭况进行调査.共抽取他名男生的身岛竹:为样本.JC 频率分布药方图如题4图所示，则或奇在［M7. 间的人数为（ A. 30 B, 36 C. 39D, 42179｝之 点统b-尸+ 1 = 0与圆（X-1）2 +/ 4的位置关系是（A.相交0-相切C.相离 1+ 2+9”已知桶圆务+斗土 13 A" A 0）的左右値点分别是耳，码，点尸是椭圆上一点’点财 a b是线段尸耳的中点，且|OFj = 2|OM|,OM 丄户殆 则椭圆的离心率为（）C. 41-\10.谡MBC 的角 A,B f C 所对的边分别为 a,b,c * 若a 7 +d 2 = a6cosC +Jia^sinC >则MBC 的形状为（C.等腰直角三粛形第n 巻（非选择题共loo 分）二、填空題：本幻8共5小題，毎小題5分，共鬲分.把答案填写在答题卡相应位覽上. 1L 某T 厂共有职T 3（H ）0人，其中老、中、肯年駅工比例为5:3:2,现用分层抽样的方法7.如题7图是一个稈睜框图，则输出结果为（9 1010 11D .1112 \ +j>0«.设O 是原点* M （2,-l},若点N （x,刃满足不等式y<x + 2,则阪•而的最小O^x<l值是（〉B.C. -}D. 0A. V3-1 A. 直角非尊腰三角形B, 答腰菲竽边二甬形D,等边三角形从所有职工中抽取一个容量为斗00的样本，则抽収的中年职工人数为_____________ __第2員・12已驚” =厂1〉.且a V S .则日一”工 _______________ .1413.已知且口+ b = 则的最小值为________________________________ +a b14.已知点F（l,l）是直线/被梯圆—+ —= 1所截得的弦的中点，则直线f的方程24为________________ ・^1沉若克线/平分lS!x2 -i-y1^4x-4y + l = 0的圆周，且与曲綫x = J1J 有两个不同的交点，剜直线/的斜率的取值范围是 ______________ •三、解答题；本大題共6水题，共75分.解答应写出立宇说明、证明过程或滅算步鼻.⑹（本小题満分13分）已^AIIC的三个顶点的坐标XJ J（0,0）,负】,2）, C（2-4）.< i）求 M边上的高所在宣线f的方程；（11）求与直线Z平行且距离为2$的自线方程.□ •（本小题满分二3分）已知椭恻C的长轴长为乩11与捕圆：兰十疋匕订育相同的篠点. 2516■*C I）求椭囲C的方程；（1【）设川（72）, F为椭圖C的右焦点*尸为楠圆（7上一点，求円| + ±网的罐小值.庚”（本小题構分13分）已知MBC^t ^A r B t C的对边分别为a,h,s丑为锐角且y/3a = 2bsinA.（I）求角月的大小丫（11>设m+c=3#=2运，求2皿7的面积.隼3頁13.(本少題満分12分》已知圜(7：/ +旷~2耳-4川岗=0 (耐此5)被眉x + ^-5 = 0^得的技板为2^2.(I )求圆C的方桂；(II)若点P(x,y) Piffle上一动总求X1 y2 T-6x+2vfi$|>大值利酸小优20.(本小題满分12分) 已知动澜尸与圜G：(jc + iy+y—丄外t,与恻849 C2:(X™1)2+/=—内切.S< I)求动圆圆心P的轨迹匚的方圍(1Q设点耐(打)屣否存在过点F(l,0)H»轴不垂程的盲线/与轨迹C：于小£两4点，使得莎+倔丄屈？若存在，求出贯线r的方程；若不存在，说明理hEL (本小题满分12分)如题2$图所示：加个实数码，a2» ••・，% tnAgnw N)依es次按噸时针方向圃成个圜圈.(1)当/n = 20!4时，若a t =1 t«B+1 =a fl +2** (ne N* Sin <rr)> 求气+ 他+…十务的值:(H)段圆圈上按顺时针方向任堂相邻的三个数牛、吋$均満足；片-加戸+ (1 - A)u r(2 > 0),求证；a, = a2h* 二—重庆南开中学高2014级2011 - 2012学年度高一(下)期末数学试题参考答集一、选择题B C D C A D C B A D10+ 提示：a 2 +b 2 = «&cosC + V3tj/>sinC = 2odsin(C + —)< 2ab > 当且仅C =—时 63取“=”，乂占+b*工2ab,当且仅当a = b 时取所以a^b 且C ■兰T \ABC3为墀边三帮形*故选4 二、 填空題 lh 120 12. 2^5三、 解答题丄6〔解】:(I ) k^. = - 2, /. k)--.化白线2 的方梅为：x — 2y + 3 = 0** 25)设所求直线方理为x-2y+m-0・由条杵有匸色啓录仔n 桝二口试-7.•.所求直线方程为x-2y + 13 = 0或兀・2片一7 = 0. 17.［解】：x 2 v 2(1 )由条件，2。