2008年第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答

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第十四届(2002年)本科丙组试题

）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、210lim(cos )x x x →=_______2、设43,1,2()(1)(2)2,1,2x ax x f x x x x ⎧+-≠-⎪=-+⎨⎪=-⎩在x =1处连续则a =_______3若函数()f x 在x =1处可导，且(1)1f '=，则0(1)(12sin )2(13tan )lim x f x f x f x x→+++--=__________________ 4、设不定积分222(1)(1)x ax dx x x ++++⎰的结果中不含反正切函数，则a =_______ 5、20022200220020sin sin cos x dx x x π=+⎰_______ 6、21limk n n k x k n e n ne →∞==+∑_______ 7、2111y x dx e dy -=⎰⎰_______8、设实数a >0,则当a =_______时，积分2a a⎰之值最大。

9、2220lim 2x x t x e t e dt -→∞=⎰_______ 10、圆222()(0)x R y r r R -+=<<绕y 轴旋转一周所成圆环体的体积V =_______二、（6分）2=上任一点的切线的横截距和纵截距之和等于2。

三、（8分）设某产品的成本函数为2()2C q q q αβ=++，需求函数为1(4)q p γ=-，其中C 为成本，q 为需求量（即产量），p 为该产品的单价，,,αβγ都是正常数，求利润最大时的产量。

四、（10分）证明222200sin cos 11x x dx dx x x ππ≤++⎰⎰。

五、（8分）设()f x 在闭区间[]0,a 上具有二阶导数，且在开区间(0,)a 内达到最小值，又()f x M ''≤[](0,)x a ∈，证明(0)()f f a Ma ''''+≤。

第十九届“华杯赛”初赛试卷_小高(北京版)(详解)

v甲
v丙
④将①、②的结果代入③的式子，得到
1 40
S S+
63 4
+
20
=
S - 315
1 40
S
-
63 4
，化简得
S
S + 630
+
1 2
=
S S
-
315 630
；
进而有
S
S + 630
=
S
0.5S - 630
，故
0.5(S
+
630)
=
S
-
630
，解得
S
=
1890
.
方法二（从条件数的巧妙性入手，考虑时间）：①甲速是乙速的 3 倍，所以如果甲全程不掉头
甲
乙
（A）淘气的剪法利用率高
（B）笑笑的剪法利用率高
（C）两种剪法利用率一样
（D）无法判断
【考点】几何
【答案】A
【分析】甲图利用率为 p ；乙图中设小圆的半径为 1，则 7 个小圆面积和为 7p ，大圆面积为 9p ，利用 4
率为 7 ， p > 7 ，因此淘气的剪法利用率高． 9 49
4. 小华下午 2 点要到少年宫参加活动，但他的手表每小时快了 4 分钟，他特意在上午 10 点时对好了
二、填空题（每小题 10 分，满分 40 分）
7.
算式1007´
1
3 4
(1+ 2
¸ +
3
4 3
+3¸ +4+
2
1 4
+
1 3
5)´5 -
22
¸19

第十七届北京市大学生数学竞赛丙组试题

第十七届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（2006年10月14日下午2：30 - 5：00）一、填空题（每小题3分，共30分）._____)1(,3)1(,2)1(,1)1(),(,)(.1=''=''='===ϕϕ则且其反函数为有二阶连续导数设严格单调函数f f f y x x f y .____)1,0(,11)sin(),(.2=-=--x z xyz xyz y x z 则所确定的隐函数是由方程已知._______)0(,4211)(.3)100(2=++=fxx x f 则设.______d |sin |.4π20060=⎰x x x.___,])27[(lim )4(.54=-++>+∞→αα则存在且不为零使已知某个整数x x x n n nx .______d cos d d cos d .612221221的值为x x y x x y y yy ⎰⎰⎰⎰+.____________!)12()1(.70的和为级数∑∞=+-n nn n.______,.1)1(lim ,1,0.811的取值范围为则收敛若且设p a a e n p a n n n npn n ∑∞=∞→=->>.________)(,1)(,0)1(,)(0.9==∂∂+∂∂-==>u f yz xz e e f z f u f u yx 则满足又二元函数且有一阶连续导数时当.______)0()(,)(,.10223=+=+'+''+++f b a x f y b y a y e e ee ee xx xx xx则的解都是微分方程及设.)(,1)0(,2π2π,tan cos )(sin )10(.x f f x x x x x f 求且已知分二=<<-++='.]1)1ln([)()(lim)2(;),)((1,0)1().0()0(),0()0(),0()0(,0)()()10(.0)(1)(1-+-=-→''≠'''='==→+-+x x x g x f n x x O e x g f g f g f x x g x f x nn x g x f 求极限求的同阶无穷小时已知当且处有二阶导数在和非负函数设分三.)(,1)0(,)()()(,,),()()10(.x f f a f e b f e b a f b a x f ba求又成立有等式都且对于任意的实数上有定义在设函数分四='+=++∞-∞.11,2线,d d )||||()10(.所围成的区域和直线是由曲其中计算二重积分分五+=-==+=⎰⎰x y x y xy D y x y x I D.,2.1112,,,)10(.达到最大两针尖相离的速度何时问与设时针和分针分别长小时后再次重合经过再由大变小由小变大两针针尖间的距离逐渐后分针和时针在零点重合分六a a .1),0,1()1,0(,),()10(.22yf xxf y y x f f y x f ∂∂=∂∂=+=点满足方程上至少存在两个不同的在单位圆周证明且有一阶连续偏导数设二元函数分七.1111211)10(.nen e ne n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛--<>，求证：设整数分八。

第二十一届(2021年)本科丙组试题

第二十一届（2021年）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1.已知dx d x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡)1(2，则=')1(f . 2.当0→x 时，如果22x x e e --是变量k x 的等价无穷小量，那么=k . 3.函数x x x x x x f 23)65()(232+-+-=的不可导点的个数为4.⎰=----40)4)(3)(2)(1(dx x x x x x5.已知方程xy e u u =+确定了隐函数),(y x u u =，则在点1==y x 的二阶偏导数=∂∂∂yx u 2______________________________ 6.设)(x F 是)(x f 的一个原函数，且π42)1(=F ，当x 0>时，有)1(arctan )()(x x x x F x f +=，则=)(x f ________________7.极限=∑+=∞→22)1(1lim n n k n k _________ 8.积分=⎰⎰dy ye dx x xy 2121 ________________9.设可微函数)(x f y =满足方程⎰⎰-+=xxdt t x tf x dt t f 00)()(，则=)(x f 10.曲面2222x z y =+-平行平面220x y z +-=的切平面方程是___________________ 二、（8分）求极限x enxx x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数。

三、（8分）设x y u yf xg y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中函数,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y∂∂+∂∂∂。

四、（10分）设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0,(0)(0)0f f f '''>==，t 是曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在x 轴的截距，求0()lim()x xf t tf x →。

第十八届(2021年)丙组试题

第十八届(2021年)北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，共40分）1.设当1x →时，111m m x x --+++是1x -的等价无穷小，则m =_____________2.设(1)(2)()()(1)(2)()x x x n f x x x x n ---=+++，则(1)f '=________________ 13.()(1,0)1,lim[1(1)]________.n n y f x y f n→∞=-++=已知曲线在点处的切线在轴上的截距为则4.[0,1]()0,(0),(1),(1)(0)_________________f x f f f f ''''>-设在上则从小到大的顺序是115.lim _________________.k n n n k n k e →∞=+=∑ π22π22sin 6.d _______________.(1cos )x x x x -+=+⎰17.()sin()1()0__________________.y x xy y y x x y x-===-设函数由方程所确定，则在曲线上对应于的点处的切线方程为08.(,)(0,1)(,1)123()d (,)10___________.d |x z f x y f x y x y o y f x y x x ρρ==+=+++====设函数在点的某邻域内可微，且，其中所确定的函数在处的导数22229.(,),(,)(,)d d ,(,)______________.x y a f x y f x y y xf x y x y f x y +≤=+=⎰⎰设为连续函数且则10.直线111011x y z ---==绕z 轴旋转的旋转曲面方程为_________________________. (8)(,)||(,),(,)(0,0).(,)(0,0)(0,0)0.f x y x y x y x y f x y φφφ=-=二、分设二元函数其中在点的一个邻域内连续试证明函数在点处可微的充分必要条件是π20(8)I x =⎰三、分求积分2,0(8)()().1,0x x x f x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩四、分设，求的极值(8)()[1,1],(1,1),()(1)(1)(0).62f x f f f f ξξ-∈-'''--'=-五、分设在区间上有三阶连续导数证明存在实数使得222π4(8)0,(sin )1.2πx x x --<<≤+-六、分证明：当时七、（10分）在第一卦限中过定点(,,)a b c 的平面，使之与三个坐标面所围成的四面体体积最小。

第19届丙组北京市大学生数学竞赛试题

(2V+π)成反比(这里 V 表示当时容器内水的体积) ,求容器侧壁的轴截线 x = f ( y ) .
七、(10 分) 设 f ( x ) 在 [ a, +∞ ) 上二阶可导，且 f (a) > 0, f ′(a) < 0, 而当 x > a 时, f ′′( x) ≤ 0, 证明在
( a, +∞ ) 内，方程 f ( x ) = 0 有且仅有一个实根．
x
5.
∫ 1 + cos x e dx =
1 + sin x
.
xy
6．设函数 ϕ (u ) 可导且 ϕ (0) = 1 ，二元函数 z = ϕ ( x + y )e 满足
∂z ∂z + = 0 ，则 ϕ (u ) = ∂x ∂y
.
7. 设D : x + y ≤ x + y , 则I =
2 2
∫∫ (2 x + 3 y)dxdy =
D
.
8. 数项级数
n − ( 2n )! 的和 S = n( 2n )! n =1 ⎛ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ln ⎜1 + n ⎟ ln ⎜ 1 + n ⎟ ln ⎜ 1 + n ⎟ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠+ 9. lim ⎜ n →+∞ 1 2 3 ⎜ n+ n+ n+ ⎜ n n n ⎝
则曲线 y = f ( x ) 在 x = 1 处的切线方程为
⎣
2
⎤ x 6 + 1⎥ = ⎦
.
3．设 y = y ( x ) 是由 y − 4. 设 lim
x →0 y →0

第届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
0
，试求
f
(r)
的表达式.
五、设 u = f (x, y, z) ， f 是可微函数，若 fx′ = f y′ = fz′ ，证明 u 仅为 r 的函数，其中 r = x2 + y2 + z2 . xyz
六、设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上有定义，在 x = 0 的某个邻域内有一阶连续导数，且 lim f (x) = a > 0 ， x→0 x
ai ≠ 0 ，证明：若 f (x) 有 n 个相异的实根，则 ak−1ak+1 < 0 .
第十三届北京市大学生（非数学专业）数学竞赛
本科甲、乙组试题
（2001 年 10 月 13 日上午 9:00~11:30）
准考证号
姓名
学校
注意：本考题共九题.甲组九题全做，乙组只做前七题.
一、填空题（满分 20 分，甲组限半小时做完，于 9:30 收回）
∂u
=
.
∂n M
11
∫ ∫ 6． dx ey2 dy =
.
−1 x
∫∫∫ 7．设 f (x) 连续，且 f (0) = 0 ， F (t) = [z2 + f (x2 + y2 )]dxdydz ，其中 Ωt : x2 + y2 ≤ t2 , 0 ≤ z ≤ 1 ，
1．若函数
f
(x)
=
⎧⎪ x k ⎨
sin
1 x
x ≠ 0 在 x = 0 处可导，则正整数 k 的最小值为
.
⎪⎩0
x=0
2．设由 y 轴、 y = x2 、 y = a(0 < a < 1) 所围的平面图形，由 y = a 、 y = x2 、 x = 1 所围的平面图形都

第二十届(2021年)本科丙组试题

第二十届（2021年）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、极限 +∞→n lim =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n n 232 . 2、设()x f 在1=x 处可导，且()01=f ，()11'=f ，则极限1lim →x ()()3111-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰x dt du u f t x t = . 3、设x =⎰+y tdt0241，则33dx y d -dx dy 4= . 4、设()x f 有一个原函数是x x sin ，那么 ()dx x xf ⎰ππ2'= 5、曲线y =211x +绕其渐进线旋转所得旋转体体积V = 6、设z =y e x 2+()x y x arctan 1-，则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y z x z 0,1=7、设D = (){}1,≤+y x y x ，则积分 ()dxdy y x D⎰⎰+= 8、设z =z ()y x ,，变量⎩⎨⎧+=-=y x v y x x 32且222226y z y x z x z ∂∂-∂∂∂+∂∂=0，那么v u z ∂∂∂2= 9、设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 10、直线1158:121x y z L --+==-与直线26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 . 二、（6分）计算极限 n n n e n 211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→。

三、（8分）设()f x 在1x =点附近有定义，且在1x =点可导， (1)0,(1)2f f '==. 求220(sin cos )lim tan x f x x x x x→++。

四、（8分）11||1,() x y F y x y e dx -≤=-⎰设求的最大值.五、（8分）设()f x 连续可导，证明：[]10(1)(0)x dx f f π'=-⎰⎰。

第十六届(2021年)北京市数学竞赛丙组试题与解答

第十六届北京市大学生数学竞赛丙组试题解答（2005年10月16日上午9：00 ~ 11：30）一．填空题（每小题3分，共30分）._______,)(lim .1)0(,)1()(.1202==-='=+'-+''=→a a x xx y y e y x y x y x y y x x 则若且满足设函数 .1)0(2121)(lim )(lim .2)0(,1)0()0(.1020=''=-'=-==''='-''→→y x x y x x x y a y y y x x 所以于是由题设应填解.________,1,))(()(.2===---=b x e x b x a x be xf x 则为可去间断点处在处为无穷间断点在已知.,)(lim )(lim ,1,;,)(lim ,1)(lim ,,1.1,,1.11与题意不符时当符合题意时当或由题意知必有应填解∞====∞=-=======→→→→x f x f b e a x f e ex f e b a b e a e b a e ex x ex x.______________),(,),0(,)0,(,),(.322===+=∂∂∂=y x f y y f x x f y x yx zy x f z 则且满足设.0)0(,)(),0(,)0()()0,(),()(2121)(2.)(2122220122012212222==⇒==+⇒=+++=⇒++=∂∂+++⎰⎰C y y C y y f x C dx x C x x f y C dx x C xy y x z x C y xy x z y x y x y x xx由题设有应填解 .___________)(,d )(13)(.41022=--=⎰x f x x f x x x f 则已知函数.233.3223),1(169)(,13)(,d )(.1233133222222210222==⇒+-=-+--=--==----⎰A A A A A x A x Ax x x f x A x x f x x f A x x x x 或方程两端积分得于是则令或应填解._______d d )cos(1lim ,:.5222222=+≤+⎰⎰-→+rD y x r r y x y x e r r y x D 则设.π应填解使存在由积分中值定理,),(,r D ∈ηξπ.π)cos(lim ,π)cos(d d )cos(22222202=⋅+=⋅+=+-→--+⎰⎰ηξηξηξηξe r e y x y x er D y x r原式_________.)(lim ,4cos 1)(1ln 121lim6.300==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→→x x f x x f x x x 则已知 .2ln 2)(lim 4)(lim 2ln 222ln )(lim )cos 1)(12()(lim ]cos 1)(1[ln 121lim 2ln2.3030200=⇒==⋅=--=-+-→→→→→xx f x x f x x x f x x f x x f x x x x x x x 应填解._______)1(,)1()(.7)10(5=-=-fe x xf x 则设.678910!5!10)1(!5)1(!10)1()1(!)1()1(.67891011)10(15)10(05151---∞=+---⨯⨯⨯⨯-=-=-=⇒--=-⨯⨯⨯⨯-∑e e f ef x n e e x e n n n x所以应填解.__________________________d d 1d d 8.0sin 0422=+⎰⎰x tt u u x.sin 1cos d 1d d d d 1d d .sin 1cos 4sin 040sin 04224x x u u x t u u x x x xx t +=+=++⎰⎰⎰应填解.___________)2(,)1(,)()(.9==='f a f xx f x f 则且若 .2)2(,)1(,)(ln ln )(ln 1)()()()(.2a f a C a f x C x f C x x f xx f x f x x f x f a ====⇒+=⇒='⇒='所以得由应填解.__________])1(21)[1()21]()1(1[,10.101nl 的和为则级数或设x n nx nx x n x x n -+++-+-<>∑∞=.2ln 211211)1(21)1(1])1(21)[1()21]()1(1[.2ln ln lim }ln {ln n 11l =++++--+-+=-+++-+∞→∞=∞=-=∑∑nx nxnx nx x n x n x n nx nx x n n n n 应填解).(,cos 6sin 4cos d )(,)()10.(23x f C x x x x x x x f x x f 求且可导设分二+--='⎰ Cx x xx dxx xdx xx x x dx x x dx x x dx x x x f x xx x x x x f x x x x x x f x ++-=---=--=--='--='⎰⎰⎰⎰⎰cos sin sin cos sin sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(,sin cos 2sin 2)(222232323解：作函数图形并填写下表设函数分三,|2|11||11)()10.(-+++==x x x f y解.]π,0[)(,sin d )()(,),()()10.(40上的平均值在区间求且上的连续非负函数是设分四x f x t t x f x f x f x=-⋅+∞-∞⎰.π23π)(π1π],0[)(23π)π(π43)π(π,83sin |)(21,sin )()(,d )()(du,)(d )(π02π04π0240======⋅'==-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx x f x f F F dx x x F x x F x F u u f x F u f t t x f u t x xxx 上的平均值为在区间从而，，即故两端积分得则记，则令解.12)10.(2有且仅有三个实根证明方程分五+=x x.12)(.)(2ln 2)()(.)()5,2()()(,06)5(,01)2(.0)1()0(,12)(232有且仅有三个实根即方程有且仅有三个零点，综上可知至多有三个零点故零点，这是不可能的，至少有一个点，则由罗尔定理知有四个或四个以上的零若至少有三个零点而至少存在一个零点，从内在点定理知连续，由连续函数的零且又显然令证明+=='''>=<-===--=x x f x f x f x f x f x f x f f f f f x x f x x x .d )(2d )( ,]1,0[)()10.(110⎰⎰≤x x f x x x f x f 证明不等式上连续且单调增加在区间设函数分六 .d )(2d )( .d )(d )(2)]()()()([ )]()()[(.0)]()()[(,1,0:.0)]()()[(]1,0[10101010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤-=--+=--≥--≤≤≥--x x f x x x f x x f x x f x dxdy x yf y xf y yf x xf dxdyy f x f y x dxdy y f x f y x y x D y f x f y x DDD所以而则记上有在证明.,:.,,,.1,,,,.,,,,)10.(321并求出此常量之比为常数与产量最小投入总费用证明最小费用总三要素的适当投入可使当产量一定时和若三要素的价格分别为且为正数其中已知生产函数为为产量分别为三要素的投入量入三种要素设生产某种产品必须投分七Q P P P P P z y x Q Q z y x =++=γβαγβαγβα.,,,,..,,0)(,000,,),(.321321321131211321321得证）（）（）（则中得代入将是常数，并求下面证明即解得且，即的偏导数为零，令其对记拉格朗日函数为下的最小值在条件求由题意知解γβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαγβαλγβλαλγλβλαλλλλγβαλλγλβλαλP P P Q P P P Q Q z y x Q z P Q y P Q x P QPQ P Q P Q z y x z y x P z y x P z y x P z y x Q z y x z P y P x P L Q z y x z P y P x P P -==-=-=-=-=-=-==+++=⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-+++==++=---.,,1||.)]1(21[,2,21,1)10.(1110并求其和函数收敛幂级数时证明当有且当已知分八n n n n n x a x a n a n n a a ∑∞=-<-+=≥==.11.11)(1)0(,)1(21)()().()(21][2121)1(2121)]1([21)(,)(.1||,1)(lim lim 110111121121121211211211x x a x x S S x x S x S x S x x S x na a x a x a n x a x a n xa n a x S x a x S x na a n a an n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n --==-=''+=+-+=-++=-++=+='=<=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∞=-∞=--∞=--∞=--∞=--∞=∞=∞→+∞→的和函数为故幂级数得解微分方程则记时幂级数收敛所以当由于解。

2008年全国高中数学联赛(含答案)

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3[解] 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x +-+==+---12(2)2x x≥⋅⋅--2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ D ）A ．[1,2)-B ．[1,2]-C ．[0,3]D ．[0,3) [解] 因240x ax --=有两个实根21424a a x =-+，22424a a x =++，故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即24224a a -+≥-且24424a a ++<，解之得03a ≤<．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（ B ） A.24181 B. 26681 C. 27481 D. 670243 [解法一] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有 5(2)9P ξ==， 4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=， 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体的体积之和为（ A ） A. 764 cm 3或586 cm 3 B. 764 cm 3 C. 586 cm 3或564 cm 3 D. 586 cm 3[解] 设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．5．方程组0,0,0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩的有理数解(,,)x y z 的个数为（ B ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4[解] 若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③ 由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=. 易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是（ C ）A. (0,)+∞B. 51(0,)2+ C. 5151(,)22-+ D. 51(,)2-+∞[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A CB C B B C B C++=++ s i n ()s i n ()s i ns i n ()s i n ()s i nA CB B b q BC A A a ππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 解得1551,225151.22q q q ⎧-+<<⎪⎪⎨-+⎪><-⎪⎩或从而515122q -+<<，因此所求的取值范围是5151(,)22-+．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若7()128381f x x =+，则a b += 5 .[解] 由题意知12()(1)n n n n f x a x a a a b --=+++++11n na a xb a -=+⋅-，由7()128381f x x =+得7128a =，713811a b a -⋅=-，因此2a =，3b =，5a b +=．8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12-，则a =23-+．[解] 2()2cos 122cos f x x a a x =---2212(cos )2122a x a a =----，(1) 2a >时，()f x 当cos 1x =时取最小值14a -； (2) 2a <-时，()f x 当cos 1x =-时取最小值1； (3) 22a -≤≤时，()f x 当cos 2a x =时取最小值21212a a ---．又2a >或2a <-时，()f x 的最小值不能为12-，故2112122a a ---=-，解得23a =-+，23a =--(舍去)．9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 222 种．[解法一] 用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用*表示名额．如||||********表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“*”与每个“|”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于24226+=个位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“*”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有223C 253=种．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种．[解法二] 设分配给3个学校的名额数分别为123,,x x x ，则每校至少有一个名额的分法数为不定方程12324x x x ++=．的正整数解的个数，即方程12321x x x ++=的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：2121232323H C C 253===．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n = ，则通项n a =112(1)nn n -+．[解] 1111(1)(2)(1)n n n n n n n a S S a a n n n n +++-=-=--++++，即 2n n a n n n n n n a ++++-++-+=+)1(111)2)(1(221=)1(1)2)(1(2+++++-n n a n n n ，由此得 2)1(1))2)(1(1(1++=++++n n a n n a n n ．令1(1)n n b a n n =++，111122b a =+= (10a =)，有112n n b b +=，故12n n b =，所以)1(121+-=n n a nn ． 11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =200822007+．[解法一] 由题设条件知答12图1(2)()((4)(2))((6)(4))((6)())f x f x f x f x f x f x f x f x +-=-+-+-+-+++-24323263232x x x x ++≥-⋅-⋅+⋅=⋅，因此有(2)()32x f x f x +-=⋅，故(2008)(2008)(2006)(2006)(2004)(2)(0)(0)f f f f f f f f =-+-++-+2006200423(2221)(0)f =⋅+++++ 10031413(0)41f +-=⋅+- 200822007=+． [解法二] 令()()2x g x f x =-，则2(2)()(2)()2232320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≤⋅-⋅=，6(6)()(6)()226326320x x x x g x g x f x f x ++-=+--+≥⋅-⋅=，即(2)(),(6)()g x g x g x g x +≤+≥，故()(6)(4)(2)()g x g x g x g x g x ≤+≤+≤+≤，得()g x 是周期为2的周期函数，所以200820082008(2008)(2008)2(0)222007f g g =+=+=+．12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r ，作平面111A B C //平面ABC ，与小球相切于点D ，则小球球心O 为正四面体111P A B C -的中心，111PO A B C ⊥面，垂足D 为111A B C 的中心．因11111113P A B C A B C V S PD -∆=⋅1114O A B C V -=⋅111143A B C S OD ∆=⋅⋅⋅，故44PD OD r ==，从而43PO PD OD r r r =-=-=．记此时小球与面PAB 的切点为1P ，连接1OP ，则 222211(3)22PP PO OP r r r =-=-=．考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB )相切时的情况，易知小球在面PAB 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为1PEF ，如答12图2．记正四面体答13图答12图2的棱长为a ，过1P 作1PM PA ⊥于M ．因16MPP π∠=，有113cos 2262PM PP MPP r r =⋅=⋅=，故小三角形的边长1226P E P AP M a r=-=-．小球与面PAB 不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）1PAB PEF S S ∆∆-223((26))4a a r =--23263ar r =-．又1r =，46a =，所以124363183PAB P EF S S ∆∆-=-=．由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，求证：2cos 1sin sin 34ααααα+=+． [证] ()f x 的图象与直线y kx =)0(>k 的三个交点如答13图所示，且在3(,)2ππ内相切，其切点为(,sin )A αα-，3(,)2παπ∈． …5分由于()cos f x x '=-，3(,)2x ππ∈，所以sin cos ααα-=-，即tan αα=． …10分因此cos cos sin sin 32sin 2cos αααααα=+ 14sin cos αα=…15分22cos sin 4sin cos αααα+=21tan 4tan αα+=214αα+=． …20分 14．解不等式121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．[解法一] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+．即 1210864353210x x x x x +++-->． …5分分组分解 12108x x x +- 1086222x x x ++- 864444x x x ++- 642x x x ++- 4210x x ++->，864242(241)(1)0x x x x x x +++++->， …10分所以 4210x x +->， 221515()()022x x ---+-->．…15分所以2152x -+>，即152x -+<-或152x -+>．故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞ ． …20分 [解法二] 由44221log (1)log (22)x x ++=+，且2log y 在(0,)+∞上为增函数，故原不等式等价于1210864353122x x x x x ++++>+． …5分即6422232262133122(1)2(1)x x x x x x x x +<+++++=+++， )1(2)1()1(2)1(232232+++<+x x xx ， …10分令3()2g t t t =+，则不等式为221()(1)g g x x<+，显然3()2g t t t =+在R 上为增函数，由此上面不等式等价于题15图2211x x<+， …15分即222()10x x +->，解得2512x ->(2512x +<-舍去)，故原不等式解集为5151(,)(,)22---∞-+∞ ． …20分 15．如题15图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00y b y b x x --=，化简得 000()0y b x x y x b --+=．又圆心(1,0)到PB 的距离为1，0022001()y b x b y b x-+=-+ ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则 22200020448()(2)x y x b c x +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--2448≥+=．当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,22x y ==±．因此PBC S ∆的最小值为8． …20分2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、（本题满分50分）如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠< ，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的 AB 上一点，满足：32AE AB =，31BC EC =-，12ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值． [解法一] （Ⅰ）如答一图1，由托勒密不等式，对平面上的任意点P ，有PA BC PC AB PB AC ⋅+⋅≥⋅．因此 ()f P PA BC PC AB PD CA =⋅+⋅+⋅P B C A P D C A ≥⋅+⋅()PB PD CA =+⋅．因为上面不等式当且仅当,,,P A B C 顺次共圆时取等号，因此当且仅当P 在ABC ∆的外接圆且在 AC 上时，()()f P PB PD CA =+⋅． …10分又因PB PD BD +≥，此不等式当且仅当,,B P D 共线且P 在BD 上时取等号．因此当且仅当P 为ABC ∆的外接圆与BD 的交点时，()f P 取最小值min ()f P AC BD =⋅．故当()f P 达最小值时，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）记ECB α∠=，则2E C Aα∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3s i n 32s i n 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α= ，60ACE ∠= ．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠ ，即答一图131sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 22EAC EAC -∠=∠，故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=， …40分从而45E ∠= ，45DAC DCA E ∠=∠=∠= ，ADC ∆为等腰直角三角形．因2AC =，则1CD =．又ABC ∆也是等腰直角三角形，故2BC =，212212cos1355BD =+-⋅⋅= ，5BD =．故min ()5210f P BD AC =⋅=⋅=． …50分 [解法二] （Ⅰ）如答一图2，连接BD 交ABC ∆的外接圆O 于0P 点（因为D 在O 外，故0P 在BD 上）．过,,A C D 分别作000,,P A PC P D的垂线，两两相交得111A B C ∆，易知0P 在ACD ∆内，从而在111A B C ∆内，记ABC∆之三内角分别为x y z ，，，则0180APC y z x ∠=︒-=+，又因110B C P A⊥，110B A PC ⊥，得1B y ∠=，同理有1A x ∠=，1C z ∠=，所以111A B C ∆∽ABC ∆． …10分设11B C BC λ=，11C A CA λ=，11A B AB λ=，则对平面上任意点M ，有 0000()()f P P A BC P D CA PC AB λλ=⋅+⋅+⋅ 011011011P A B C P D C A PC A B =⋅+⋅+⋅ 1112A B C S ∆=111111MA BC MD C A MC A B ≤⋅+⋅+⋅ ()MA BC MD CA MC AB λ=⋅+⋅+⋅ ()f M λ=，从而 0()()f P f M ≤．由M 点的任意性，知0P 点是使()f P 达最小值的点．由点0P 在O 上，故0,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ），()f P 的最小值 11102()A B C f P S λ∆=2ABC S λ∆=，答一图2记ECB α∠=，则2ECA α∠=，由正弦定理有sin 23sin 32AE AB αα==，从而3sin32sin 2αα=，即33(3sin 4sin )4sin cos αααα-=，所以23343(1cos )4cos 0αα---=，整理得243cos 4cos 30αα--=， …30分解得3cos 2α=或1cos 23α=-（舍去），故30α= ，60ACE ∠= ．由已知31BCEC=-=()0sin 30sin EAC EAC∠-∠,有sin(30)(31)sin EAC EAC ∠-=-∠ ，即31sin cos (31)sin 22EAC EAC EAC ∠-∠=-∠，整理得231sin cos 22EAC EAC -∠=∠，故1tan 2323EAC ∠==+-，可得75EAC ∠=， …40分所以45E ∠=︒，ABC ∆为等腰直角三角形，2AC =，1ABC S ∆=，因为145AB C ∠=︒，1B 点在O 上，190AB B ∠=︒，所以11B BDC 为矩形，1112212cos1355B C BD ==+-⋅⋅︒=，故52λ=，所以min 5()21102f P =⋅⋅=． …50分[解法三] （Ⅰ）引进复平面，仍用,,A B C 等代表,,A B C 所对应的复数．由三角形不等式，对于复数12,z z ，有 1212z z z z +≥+，当且仅当1z 与2z （复向量）同向时取等号．有 P A B C P C A B P A B C P CA B ⋅+⋅≥⋅+⋅ ，所以 ()()()()A P CBC P B A --+-- ()()()()A P C B C P B A ≥--+-- （1） P C A B C B P A=-⋅-⋅+⋅+⋅ ()()B P C A P B A C =--=⋅ ，从而 P A B C P C A B P D C A ⋅+⋅+⋅ P B A C P D A C≥⋅+⋅ ()PB PD AC =+⋅BD AC ≥⋅．（2） …10分（1）式取等号的条件是复数 ()()A P C B --与()()C P B A -- 同向，故存在实数0λ>，使得()()()()A P C B C P B A λ--=--，A PB AC P C Bλ--=--，所以 a r g ()a r g ()A PB AC P C B--=--，向量PC 旋转到PA 所成的角等于BC旋转到AB 所成的角，从而,,,P A B C 四点共圆．（2）式取等号的条件显然为,,B P D 共线且P 在BD 上．故当()f P 达最小值时P 点在ABC ∆之外接圆上，,,,P A B C 四点共圆． …20分（Ⅱ）由（Ⅰ）知min ()f P BD AC =⋅．以下同解法一．二、（本题满分50分）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明：（Ⅰ）若T 为有理数，则存在素数p ，使1p是()f x 的周期；（Ⅱ）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．[证] （Ⅰ）若T 是有理数，则存在正整数,m n 使得nT m=且(,)1m n =，从而存在整数,a b ，使得1ma nb +=．于是11ma nb a bT a b T m m+==+=⋅+⋅ 是()f x 的周期． …10分又因01T <<，从而2m ≥．设p 是m 的素因子，则m pm '=，m *'∈N ，从而11m p m'=⋅是()f x 的周期． …20分（Ⅱ）若T 是无理数，令111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则101a <<，且1a 是无理数，令21111a a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……111n n n a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，……． …30分由数学归纳法易知n a 均为无理数且01n a <<．又111n n a a ⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦，故11n n n a a a ⎡⎤<+⎢⎥⎣⎦，即111n n n n a a a a +⎡⎤=-<⎢⎥⎣⎦．因此{}n a 是递减数列． …40分最后证：每个n a 是()f x 的周期．事实上，因1和T 是()f x 的周期，故111a T T ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦亦是()f x 的周期．假设k a 是()f x 的周期，则111k k k a a a +⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦也是()f x 的周期．由数学归纳法，已证得n a 均是()f x 的周期． …50分三、（本题满分50分）设0k a >，1,2,,2008k = ．证明：当且仅当200811k k a =>∑时，存在数列{}n x 满足以下条件：（ⅰ）010n n x x x +=<<，1,2,3,n = ；（ⅱ）lim n n x →∞存在；（ⅲ）20082007111n n k n k k n k k k x x a x a x -+++==-=-∑∑，1,2,3,n = ．[证] 必要性：假设存在{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（iii ）．注意到（ⅲ）中式子可化为 2008111()n n k n k n k k x x a x x -++-=-=-∑，n ∈*N ，其中00x =．将上式从第1项加到第n 项，并注意到00x =得111222200820082008()()()n n n n x a x x a x x a x x +++=-+-++- ． …10分由（ⅱ）可设lim n n b x →∞=，将上式取极限得112220082008()()()b a b x a b x a b x =-+-++- 20081122200820081()k k b a a x a x a x ==⋅-+++∑20081k k b a =<⋅∑，因此200811k k a =>∑． …20分充分性：假设200811k k a =>∑．定义多项式函数如下：20081()1k k k f s a s ==-+∑，[0,1]s ∈，则()f s 在[0,1]上是递增函数，且(0)10f =-<，20081(1)10k k f a ==-+>∑．因此方程()0f s =在[0,1]内有唯一的根0s s =，且001s <<，即0()0f s =． …30分下取数列{}n x 为01nkn k x s ==∑，1,2,n = ，则明显地{}n x 满足题设条件（ⅰ），且1000101n nkn k s s x s s +=-==-∑．因001s <<，故10lim 0n n s+→∞=，因此100000lim lim 11n n n n s s s x s s +→∞→∞-==--，即{}n x 的极限存在，满足（ⅱ）． …40分最后验证{}n x 满足（ⅲ），因0()0f s =，即2008011kk k a s ==∑，从而200820082008100001111()()n k n n kn n k k k n k n k k k k x x s a s s a s a x x +-++-===-====-∑∑∑．综上，存在数列{}n x 满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）． …50分。

第十三届(2001年)本科丙组试题

）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1．若函数1sin ,0()0,0kx x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x=0处可导，则正数k 的最小值为______________2．设x ≥1,则222arctan arcsin 1xx x+=+_______ 3．设131k nnn k x n k==+∑，则lim n x x →∞=_______4．设D 为闭区域221x y +≤，则2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰_______5．设f(x)有任意阶导数，()u f xyz =，且3(),F t x y z∂Ω=∂∂∂t xyz =则()_____f t = 6．设0α>为常数，则0x x e e dx α+∞---=⎰_______ 7．()y f x =二阶可导，且(4)dyy y dxβ=-(0)β>，若()y f x =的一个拐点是0(,3)x ,则β=_______8．=_______9．设()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =，'(0)1f=，则2002()lim (())x xx f t dt f t dt →=⎰⎰_______10．圆222(4)(7)(1)36390x y z x y z ⎧-+-++=⎨+--=⎩的中心M 的坐标是_________________二、（6分）设()f x 在[]0,1上有二阶导数，且(1)(0)(1)(0)0f f f f ''====，证明：存在(0,1)ξ∈，使得()()f f ξξ''=.三、（8分）某公司生产两类产品，根据经验，欲使产量分别增加x 单位和y 单位，需分别34x y+单位。

现用A单位的投资生产这两类产品，问如何分配投资，才能使销售总收入最大。

四（10分）设4tan,1nna xdx nπ=≥⎰，（1）证明数列{}n a收敛（2）证明211n na an-+=-，n>2 (3)证明112(1)2(1)nan n<<+-五（10分）从已知ABC∆的内部的点P向三边作三条垂线，求使此三角形三条垂线长的乘积为最大的点P 的位置。

第届北京市大学生数学竞赛全部试题解答

八、设 f (x) 在闭区间[a, b] 有连续的二阶导数，且 f (a) = f (b) = 0 ，当 x ∈ (a, b) 时， f (x) ≠ 0 ，证明：
∫b f ′′(x) dx ≥ 4 .
a f (x)
b−a
九、设 f (x) = an xn + + a1x + a0 是实系数多项式， n ≥ 2 ，且某个 ak = 0(1 ≤ k ≤ n −1) 及当 i ≠ k 时，
1 ，则 lim
n +1
n→∞
1 n +1
n k =1
xk
=
.
8．设
f
(x)
在点
x
=
0
可导，且 lim x→0
cos x −1 e f (x) −1
= 1 ，则
f
′(0)
=
.
1
∫ 9．设 f (x) 满足 f (tx)dt = f (x) + x sin x, f (0) = 0 且有一阶导数，则当 x ≠ 0 时，f ′(x) =
+
∂2u ∂y 2
+
∂2u ∂z 2
=
0
，试求
f
(r)
的表达式.
五、设 u = f (x, y, z) ， f 是可微函数，若 fx′ = f y′ = fz′ ，证明 u 仅为 r 的函数，其中 r = x2 + y2 + z2 . xyz
六、设函数 f (x) 在 (−∞, +∞) 上有定义，在 x = 0 的某个邻域内有一阶连续导数，且 lim f (x) = a > 0 ， x→0 x
.
3．设

历年全国大学生数学竞赛初赛题目及答案解析全(2009-2019年非数学专业)

程，有 2x 2 2y 1 z 1 0 ，展开化简后有 2x 2y z 5 0.
(4) 设 y y(x) 由方程 xe f (y) ey ln 29 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f 1 ，则
d2 y
=___________.
dx2
【参考答案】对等式两端分别关于
1 ab
1 b2]
0
523
1 π[
a2
1
a(1
a)
1
4
(1
a)2 ].
53
39
dv 2 1 2 8
5
3
令 π[ a a (1 a)] 0 ，得 a ，代入 b 的表达式得 b .
da 5 3 3 27
4
2
所以y 0 。
d 2v
22 8 4
5
3
又因
da 2
|
5 a
π[ 5
3
] 27
证：
3
(1) xesiny d y yesinx d x xesiny d y yesinx d x;
L
L
(2) xesin y d y yesin x d x 5 π2 .
2
L
【参考证法一】由于区域 D 为一正方形，可以直接用对坐标曲线积分的计算法计算.
π
0
π
左边 πesin y d y πesin x d x π (esin x esin x ) d x ，
，
，
u,v
v2
1x y
u
所以由二重积分换元法的积分变换公式，原积分也就等于
D
(x
y)ln1 1x y
y x
dx
dy
2

四年级下册数学竞赛试题-行程火车过桥和火车与人的相遇追击问题C级学生版-全国通用

离唆知识框架火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程=速度父时间总路程=平均速度父总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和父相遇时间=相遇路程速度差M追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长+桥（隧道）长度（总路程）=火车速度X通过的时间;2、火车+树（电线杆）：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长（总路程）=火车速度X通过时间；2、火车+人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车+迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长（总路程）=（火车速度+人的速度）X迎面错过的时间；（2）火车+同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长（总路程）=（火车速度一人的速度）X追及的时间；（3）火车+坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长（总路程）=（火车速度士人的速度）X迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车+火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长+慢车车长（总路程）=（快车速度+慢车速度）x错车时间;（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长+慢车车长（总路程）=（快车速度一慢车速度）X错车时间;对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

—例题精讲【例1】一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？【巩固】一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提-1局一，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度.4【例2】小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长460米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是20秒，而在这段时间内，他行走了40米.求这列火车的速度是多少？【巩固】小明沿着一条与铁路平行的笔直的小路由南向北行走, 这时有一列长825米的火车从他背后开来, 他在行进中测出火车从他身边通过的时间是30秒，而在这段时间内，他行走了75米.求这列火车的速度是多少？【例3】一辆长12米的汽车以36千米/时的速度由甲站开往乙站，上午10点整，在距乙站2000米处迎面遇到一行人，1秒后汽车经过这个行人。

2008年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2008年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2008B1、函数xx x x f -+-=245)(2在)2,(-∞上的最小值为（）A.3B.2C.1D.0◆答案：B★解析：当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)x x f x x +-+==+---2≥2=，当且仅当122x x=--时上式取等号．而此方程有解1(,2)x =∈-∞，因此()f x 在(,2)-∞上的最小值为2．2008B 2、设)4,2[-=A ,{}04|2≤--=ax x x B ，若A B ⊆,则实数a 的取值范围为（）A.)3,0[B.]3,0[C.)2,1[-D.]2,1[-◆答案：B★解析：因240x ax --=有两个实根12a x =-，22a x =+故B A ⊆等价于12x ≥-且24x <，即22a ≥-且42a <，解之得03a ≤<．2008B 3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为32，乙在每局中获胜的概率为31，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的数学期望是（）A.243670B.81274 C.81266 D.81241◆答案：C★解析：[解法一]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==，4520(4)()()9981P ξ===，2416(6)()981P ξ===，故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二]依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜，则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=，1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()(333381=+=，1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()(3381==，故52016266246E ξ=⨯+⨯+⨯=．2008B 4、若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为5642cm ，则这三个正方体的体积之和为（）A.5863cmB.5643cm 或5863cmC.7643cmD.7643cm 或5863cm◆答案：D★解析：设这三个正方体的棱长分别为,,a b c ，则有()2226564a b c ++=，22294a b c ++=，不妨设110a b c ≤≤≤<，从而2222394c a b c ≥++=，231c >．故610c ≤<．c 只能取9，8，7，6．若9c =，则22294913a b +=-=，易知2a =，3b =，得一组解(,,)(2,3,9)a b c =．若8c =，则22946430a b +=-=，5b ≤．但2230b ≥，4b ≥，从而4b =或5．若5b =，则25a =无解，若4b =，则214a =无解．此时无解．若7c =，则22944945a b +=-=，有唯一解3a =，6b =．若6c =，则22943658a b +=-=，此时222258b a b ≥+=，229b ≥．故6b ≥，但6b c ≤=，故6b =，此时2583622a =-=无解．综上，共有两组解2,3,9a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或3,6,7.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩体积为3331239764V =++=cm 3或3332367586V =++=cm 3．2008B 5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（）A.4B.3C.2D.1◆答案：C★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩，若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-．①由0x y z ++=得z x y =--．②将②代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=．③由①得1x y=-，代入③化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①得1x =-，由②得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 6、设ABC ∆D 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,成等比数列，则BC B AC A cos cot sin cos cot sin ++的取值范围为（）A.),215(+∞- B.)215,215(+- C.)215,0(+ D.),0(+∞◆答案：B★解析：设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此，只需求q 的取值范围．因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩,解得1551,225151.q q q ⎧-<<⎪⎪⎨⎪><-⎪⎩或从而1122q -<<，因此所求的取值范围是11(22．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。

全国大学生数学竞赛介绍

简介：全国大学生数学竞赛旨在培养学生们对高等数学的热爱，增加高等院校教师和学生对高等数学的重视程度。

由于是由原北京市数学竞赛发展而来，2009年举办的全国首届大学生数学竞赛也是第二十届北京市数学竞赛。

编辑本段|回到顶部具体介绍：竞赛组委会由各大高校教职员工和致力于高等数学教学的教研员组成，主要吸收了在北京市举办了二十届的数学竞赛经验，希望能够办成与全国大学生数学建模竞赛，相同规模影响的比赛。

2008年，12月27日—28日，全国高校大学生数学竞赛筹备会议在北京航空航天大学新主楼会议中心第四会议室举行。

中国数学会副理事长巩馥洲，中国数学会秘书长、北京数学会理事长王长平以及来自北京大学、复旦大学、北京航空航天大学、国防科技大学等国内十余所著名大学的数学学院院长（系主任）参加会议。

我校郑志明副校长、教务处陈强处长出席了会议。

会议开幕式由中国数学会普及委员会常务副主任高宗升主持。

会议上中国数学会秘书长王长平发表讲话，指出举办全国数学竞赛意义重大，有利于发现和选拔优秀人才。

办好竞赛不应以赢利为目的，可以借鉴北京市高校大学数学竞赛的成功经验。

各与会人员集思广益对全国高校大学生数学竞赛的组织工作、参赛对象、竞赛内容、报名方法、奖励办法等方面对工作进行了详细研究，制定了具体办法。

希望通过此竞赛促进高校数学课的教学改革和建设，激发在校大学生学习数学的热情，促进大学对创新人才的选拔和培养。

会议最终决定：全国高校第一届大学生数学竞赛将于2009年11月在全国高校同时举行。

之后各大高校都积极准备，组织相关学生进行暑假培训。

更有甚者还开了动员大会进行誓师。

下图为桂林电子科技大学数计学院的动员大会图：编辑本段|回到顶部参赛对象：在校大学生。

竞赛分为三个组别：甲组：数学专业组，含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生。

乙组：非数学专业组。

丙组：经济类（北京赛区特有组别）。

数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。

编辑本段|回到顶部竞赛内容：甲组：《数学分析》（50%）、《高等代数》（35%）、《解析几何》（15%）。

北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答

北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答注意：本考卷共九题. 甲组九题全做, 乙组只做前七题一、填空题（每小题2分，共20分）.3.______,111,1.11==-+++-→-m m x x x mx m 解则的等价无穷小是时设当 .)1()1()1(.________)1(,)()2)(1()()2)(1()(.21+-='='+++---=-n n f f n x x x n x x x x f n 解则设 .)]11(1[lim ._____)]11(1[lim ,1)0,1()(.3e nf nf y x f y n n n n =++=++-=∞→∞→解则轴上的截距为处的切线在在点已知曲线.1.______lim .411-==∑=∞→+e e nk nkn kn 原式解π.4._________d )cos 1(sin .52π2π22-==++⎰-原式解x x xx .0232___.__________为处的切平面 (0,1) 在点 ),( 则曲面其中),(321)1,(且 ,微的某邻)1,0( 在点),(设函数6.22=--+=+=+++=+=z y x y x f z y x o y x y x f y x f z 切平面方程为解方程，域内可ρρ.1旋转转曲面方程._____________为轴旋转的旋转曲面方程绕111101线.7222=-+-=-=-z y x z z y x 解直.0.____d )cos(d 1||||.822==+-=++⎰原式解的正向一周，则为封闭曲线设Ly y x x y x y x x L .322.______|)div (}1,2,2{)2,1,1(div ,2.922223==∂∂-=--=原式解的方向导数方向处沿在点则其散度设向量场M M z y x z y x z y x A ll A k j i A.14._______,)1(.102222222=++=++=+'+''++=γβαγβαγβα解则的一个特解方程是二阶常系数线性微分设x x x e y y y e x e y.0)0,0()0,0(),(.)0,0(),(),,(||),()10(=-=ϕϕϕ件是点处可微的充分必要条在试证明函数的一个邻域内连续在点其中设二元函数分、二y x f y x y x y x y x f .)0,0(),(.0),(||lim ,2||||||,),(||)0,0()0,0()0,0(),(.0)0,0(,0)0,0(,0)0,0()(.0)0,0(),0,0()0,(||lim ),0,0()0,(||lim ,)0,(||lim )0,0()0,(lim )0,0(.)0,0(),0,0(,)0,0(),()(220022222222220000点处可微在由定义所以又因为则可知若充分性故有且由于存在则点处可微在设必要性证y x f y x y x y x yx y y x x y x y x y x y x y x y x y f x f f y x f f f xx x x x x xx x x f x f f f f y x f y x y x y x x x x x x y x =+-≤+++≤+-+-=+'-'--='='==-===-='''→→→→→→-+ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.)0(2)1()1(6)(),1,1(,]1,1[)()10(f f f f x f '---='''-∈-ξξ使得存在实数证明上三次可微在区间设分三、.)0(2)1()1(6)()].()([21)(),,()].()([61)0(2)1()1(,!3)(!2)0()0()0()1(,!3)(!2)0()0()0()1(21212121f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f f '---=''''''+'''='''∈'''+'''+'=--'''-''+'-=-'''+''+'+=ξξξξξξξξξξξ于是使得实数由导数的介值性知存在证.d ,),(,1),(,),(,),(),(),(,1:),(),,()10(22⎰⎰•≡≡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=≤+Dy y x v y x u D y v x v y u x u y x y x u y x v y x y x D y x v y x u σg fj i g j i f 求的边界上有且在又上有一阶连续偏导数在闭区域设函数分四、.,1:π,d )cos sin sin (d d d d d )()(d ,)()(22π202正向解=+-=+-=+=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=∴∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰••y x L yy x y y uv x uv y uv x uv y uv x uv y v u y u v x v u x u v y v x v u y u x u v L L D Dθθθθσσg f g f .),1(14)1()1(:,d d d d d d )10(222222取外侧其中计算分五、≥=+-+-∑++⎰⎰∑y z y x y x z x z y z y x π.325π2π319π,319d )sin 32sin sin 41sin cos 41(d 4d sin )2sin sin sin cos 2(d d 2d )(2d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:π022π0102π0π0220000=+=∴=++=++=+=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式则原式左侧设解ϕϕϕθϕθθϕϕθϕθϕθrr r r v y x v z y x x z z x D y VVDπ.325π2π311π38,24)1(:π,611d )2(2πd d d d ,1,24)1(:π,34d )2(πd d d d π.2d )(2,d )(2π,2d d .,14)1(:,,1:2222221222202202200=++=∴-≤+-=-⋅⋅==≥-≤+-=-==+++=++=-=-=-=≤+-=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑∑∑+∑原式故原式则原式左侧设另解y y z x D y y y y x z x y v y y x x zy D x x x x z y xx v x v z y x v z y x x z z x D y y D Vx D V V VDyx.)1(2)2(;2lim )1(.,)10(121211∑∑∞=→∞∞=+++++++n nnn n nn n na a a nna a a S a试求：且和为收敛设正项级数分六、.1)1(22122)1(2)2(;02lim ,112)1(1121212121212112112112121++→∞---+++++++-+++=++++-+++=++++=-=+++∴-⋅-+++-=+++-=-++-+-+=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n a n na a a n na a a n na a a n na a a n n na a a S S nna a a nn n S S S S n S S S S nS S S S S S S n na a a 解.)1(2)1(2,21111121112121S a a b n n na a a a b b n n na a a n na a a b n n n n n nn n n nn n ==+=++++∴+-=+++++++=∑∑∑∞=∞=+∞=++ 则记.,./,/,,./,.)10(22220需的时间求飞机从着陆到停止所千克机的质量为设飞米秒千克为在垂直方向的比例系数米秒千克平方向的比例系数为在水正比的阻力与速度的平方成且飞机运动时所受空气为飞机与地面的摩擦系数秒米水平速度为速度在着陆时刻已失去垂直陆飞机在机场开始滑行着分七、m k k v y x ⋅⋅μ).(arctan )()arctan(10).arctan(1)arctan(1).arctan(1,,0.)arctan(1,d d .0d d ,0)d d (d d .0,,.0)d d (d d ).(,,000002222222222秒时，当得代入初始条件积分得分离变量得即于是有根据题意知记由牛顿第二定律，有摩擦力垂直方向的阻力水平方向的阻力解v gm k k g k k mv BAABt v v BA ABv B AABt v BA ABC v v t C t v BAAB t BAv vB Av t vB t s A ts A g B mk k A g t s m k k t s R mg W v k R v k R y x y x yx y x y y x y x μμ-μμ-===-=∴===+-=-=+=++=++>μ=μ-==μ+μ-+-μ===以下两题乙组考生不做.1sin )10(是无理数证明分八、.1sin .,)12(2cos )1(,12,1|cos |).(cos )12(2)1(cos )12(2)1(])!12()1(!71!51!311[)!12()!12().12(cos )!12()1()!12()1(!71!51!311sin .,,1sin 1sin 11是无理数所以矛盾不可能是整数故然而两个整数之差仍是整数是整数知，由的展开式有根据是互素的正整数是有理数，则设证+->≤+-+-+--++-+--=->-+-+--++-+-==--n n n n n n n n n q p n q n n n q p x q p qpn n nn nn ξξξξξ.)sin(tan )tan(sin ,)2π,0()10(论的大小，并证明你的结与试比较函数内在区间分九、x x ).sin(tan )tan(sin ,)2π,0,.0)(,)2π,2π[arctan .1tan )tan(sin 1.1sin 4π,4ππ4π4π12π)2π(arctan tan 1)2π(arctan tan )2πsin(arctan .1sin )2πsin(arctan ,)2π,2π[arctan .0)(,0)0(,0)()2πarctan ,0(.cos )(sin cos )cos(tan ,cos 3sin 2tan cos,3sin 2tan .02sin 4tan 3cos 2sec )(3sin 2tan )(.3sin 2tan cos )]cos(sin 2)[cos(tan 31)(sin cos )cos(tan 2π0.2πsin 0,2πtan 02πarctan 0.cos )(sin cos )(sin cos )cos(tan cos sec )cos(tan cos )(sin sec )(则),sin(tan )tan(sin )( 设解2223222232222322x x x x f x x x x x x f f x f x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x f x x x f >∈>∈∴<<<<>+=+=+=<<∈>=>'∈<<+>+>-=-+='-+=+≤+≤<<<<<<-=-='-=时（当综上可得时当于是故由于时当所以又时，于是当即所以于是，设）上的凸性有，由余弦函数在（时，当ϕϕ。

第十五届(2004年)本科丙组试题

）北京市大学生数学竞赛本科丙组试题（有改动）班级：学号：姓名：一、填空题（每题4分，满分40分）1、)sin 1(lim 2cos 110x x x +-→=.2、设函数)(x y y =由方程x dt x t t dt yt e (1sin 200=+⎰⎰>0)所确定，则dxdy =. 3、设() f x 有连续导数且0()0,lim x f x a x →=≠又20()()()x F x x t f t dt =-⎰，当0→x 时，()F x '与n x 为同阶无穷小，则n =__________________.4、由拉格朗日中值定理有)(1x x x xe e θ=-，其中1)(0<<x θ，则)(lim 0x x θ→= . 5、设)(x g 满足xx g g x x xg x g x )(lim ,0)0(,cos )(sin )(0→==+'则且= . 6、设曲线x y x f y sin )(==与在原点相切，则极限)2(lim nnf n ∞→= . ._______)()(,0020)(.7的值为是全平面，则二重积分是常数），，（其它设、⎰⎰->⎩⎨⎧≤≤=Ddxdy x y f x f D a a x a x f8、xx e x x 2sin 1lim 6303--→= . 9、xy y x y x f 3),(33-+=的极小值为 . 10、极限n →∞=____________________. 二、(8分)设x x f x f x f +-=∞+∞)()(-)(π）内满足，在（,且在x e x f =)(],0[上π,求⎰ππ32)(dx x f 。

三、(8分)已知⎰⎰-==-tts ds s t y ds ex 002)sin(,2,求22dx y d 。

四、(8分)设某工厂生产甲、已两种产品，产量分别为件x 和y 件，利润函数为万元）(24166),(22--+-=y y x x y x L 。

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