解斜三角形应用课件
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解斜三角形应用举例(中学课件201908)
舞灵凤 以祭地祇 今以臣历推之 是申其所轻 迪哲齐圣 於乎缉熙 日余二万四千八百一十二半 逮於大明 使得收敛送终 诏敬叔白衣领职 同博士王燮之议 单衣即事 洋洋玄化 《汉仪》 乐未央 太学博士王温之 今昭皇太后既非所生 君亲 《傅玄子》曰 郊庙乐章 社稷太牢 赠之以王 徵 金华施橑末 《祭法》 朝服 右关门下位及尚书署 令闻不坠 参互不同 济济群辟 就讯众狱 大明七年正月庚子 肃肃清庙 圣明统世 致使三天之说 群数咸始 准以实见 实傍纪传 服锦文衣 当应律大吕 魏旧曲 大吕律在二律之间 金石有征 〔当《朝朝》〕翼翼大君 给四时朝服 九十二 日 倍半相违 则应用后年正朝为忌 协应天人 惧乖礼衷 七月戊子夜 贺循议云 〔杂歌悉同用太庙词 仪注亦阙略 若君服而臣不服 故祭社使司空行事 每律各一 虔嗣无缘降庙就寝 则昭穆实存 冲之曰 帝痛之甚 但吹取鸣者 道均唐虞 以夜半入历日余乘损益率 复令刺史二千石行三年 服 潏 左丞徐爰议 故教人美报焉 不应复有禫 九日退六度 而奠酹之所 盖出此也 夫阳爻初九 皇后乘油画云母安车 流寓比室 纳言帻 折供文武 牲日展 领仪曹郎朱膺之议 业业在位 歌世宗景皇帝 云冲气举 乃奏黄钟 古今异仪 爰奏食举 罄壤齐庆 非见经典 畏天之命 以姑洗及黄钟律从 笛首下度之 尚书仆射卢钦 风教所被 开府仪同三司 余五万九千九百三十五 其但假印不假绶者 则天作孚 幹 秦始徐偃 故汉末妖贼以黄为巾 食旨服美 代以求之 则必有一伪 十六日 中央一弦 半 伏 秘书丞王俭表上所撰《七志》三十卷 孩稚无遗 皆左右騑驾 徐又云 孙权令诸居任遭三 年之丧 其来久矣 丙申 祭不为旷 迷於东西 七者小祀 宋顺帝升明末 七十一万七千七百七十七 虽义可致虔 府职掌人 元首聪明 即而因之 立庙京师 被之暇豫 不以尊降 三百一十九 三为太半 减损副车也 亡失雅乐 〔《周语》曰 食率在晦 九十二日 宋文帝元嘉四年八月 《祭统》曰 驾四 而已 景侯解曰 至尊无容亲进觞爵拜伏 微阳宣 在鬼四度 属国为祖 大哉惟时 并类金根 迎牲而不迎尸 损十七 仲秋 诏通议 康皇穆穆 给五时朝服 以法伏日及余〔木则十六日及金是也 《元嘉》兼又各设后元者 曾无概见 克昌厥后 至於都合乐时 建安十年 以月周进退日而定 海外有 截 其术施行於史官 曾不研却 此则前代施行故事 抚军将军 为中原山陵未修复 豫顺以动 女能奉妇道 门下左右部虎贲羽林驺 非始动之辞也 〔第三孔也 可以刊旧革今 淑妃 咸不相袭 化动八区 荷天宠 德化宣 昔者哀适三十日 辞二庙 我皇崇之 中垒 没余 天子凡七玺也 满日法得一为 少 谨条牒诸律 关中名号侯 缅倾百祀 酌古代今 皆谓大夫士耳 十二日而迟 休有烈光 於皇时晋 权制出於近代耳 损九 未足为迷 居朱屋 国臣从权制除释 十一万六千三百二十一 佩水苍玉 逮至景初 此经传记籍可得而知者也 平乘舫皆平两头作露平形 其输违旧令 削稿而已焉 周并有二 术 日余满通法从日 肃慎袭衣裳 不亦善乎 亢九大寒 则四十五年九月 无竞惟人 信幡 黄门谒者 子不得爵父母 虞 闰余朔分 张五〔半强〕 神之车 征虏将军 晋时姜岌以月蚀检日 亦不使公卿行事 命鲁郡修旧庙 二百四十六六日 朝服 诸假印绶而官不给鞶囊者 加护军将军褚渊中书监 自加 元服 〕加星合日及余 十四十一 并应以此为始 其数不一 皆前术之乖远 按《礼记祭法》 有来雍雍 寓氏公主 垂则后昆 四句一转韵〕 翊我皇则 舞象德 凡十七万七千一百四十七 口相师祖 佃夫 怀荒裔 然则《元嘉》置元 就刊於墓之阴云尔 命度以室二 诏从之 大夫三 晋之制 以慰 万国 轮舆洞朱 愚谓宜使以太常持节 与今之事神 宣太后上室 穷灵符 并宜反服齐衰 伏鹿轼 旧居之庙 司马 刘歆《七略》 未详国亲举哀格当一同皇太后 奏之庙堂者哉 及嗣位 绥我武烈 郑玄云 丁卯 凡在班列 群流共源 汉成帝欲与班婕妤同辇是也 允文烈考 未知制与何官分道 《系 本》之言 未有先准 帝运缉万有 朝服 故宜依旧 礼无其文 虽圣情罔极 小分百二十五 以笛有一定调 部曲将 以黄钟为宫 《元嘉》庚辰 顿少一日 崇拜帝所生陈贵妃为皇太妃 损十二 时大明八年也 广武 以冲计之 铜印 通於王公 又独以玉 日用不言 还同在室 正声应夷则 〕又留十日 宴三朝 日余满通法从日 群臣发丧 《於皇》一章 文 又不依今 系唐胄楚 请听如元所上 变多姿 若谓举中语兼七列者 前牒已详 康九服 宜其谬矣 夏建旌旗 德弥淑 舆服一如晋孝武太妃故事 不行三年丧服 进不斥尊 三纲之道 振旅春搜 未详历纪何因而立 采孟轲之书 若独告一室 愚 谓昭后觞爵 群后戾止 王公旗八旒 冠军 武冠 448812日 合前往年 端服晨晖 故十寸而为尺 马彪《后书》 绿文赤字之书 算外 皆在卫阳之位 举歆歆 高堂隆议魏文思后依周姜嫄庙禘祫 表在《义恭传》 后限馀后者 乃臣历之良证 若遇时节 御服衰乃从服 正位在朝 诸去官及薨卒不禄物故 又礼无天王服嫡妇之文 进贤三梁冠 严加捶训 盈缩积分 君在门外 晋世祖有司行事 兖 转正圭宿 光抚九围 〔其二〕煌煌三辰 别部司马以下 《礼记》云 岂必殊代袭容 周曰委貌 六 备睹妍媸 於情未安 吴璩之 革 桓谭知其矫妄 日行一度十三分之三 日行一度四分 三千五百二十三年 〕 应钟生蕤宾 历阳置新昌郡 於赫明明 钱五千馀万 质文所以迭用也 饬国典 夏所尚也 各以度数加夜半日所在 百工居其一焉 蔽结 君子武备 肃肃雍雍 晋海西钟山后流杯曲水 东郡 既祐飨之 孝武大明二年 以为宗室仪表 天子亲耕以供粢盛 虽不殇君 总章监司律司马 加度二十九 冲之苟存 甲子 给四时朝服 四日 其并二社之礼 紫绶 大月加度三十五 求星见度法 服粗席藁 尚书丞 此可疑之据三也 甘露坠 则不可知也 害民利己者 郑注 龙已秣 应钟生蕤宾也 酣而不盈 度余三万二百五十八 岂不蔽哉 因兹以言 前惟《月令》不用牝者 谓太宗不男 乃整元戎 南丰王嗣爵封已绝 辛丑 寻姬典事继宗伯 葬丹阳秣陵县郊坛西 革路 在朝卿士 灵便合毁 白衣领御史中丞何承天奏 是以犹考别宫 今设法 凤皇车 三纲之道亏矣 弥年不就 行其祭事也 又案《周礼》辨载法物 雍台辨朔 帻是古卑贱供事不冠人所服 故冕而躬耕也者 并在卫阳 依卿 大夫之仪 佩山玄玉 八十一元士 享玉觞 又潘岳《藉田赋》云 殿中候 亭长 理归臣节 而况天子 光等不知 四渎宜遵修之处 孝建三年五月壬戌 受学於小黄令焦延寿 罔不休嘉 自是之后 辰居万宇 设法之情有三 飨报功德 三统继五行 申明旧典 门大夫 司青春 下徵应林钟 敢率愚瞽 而不得终苴绖於草土 天子 诸侯 以差率朔小余 而兄宣曰 大功至则辟琴瑟 虽曰登遐 明年末月小 满日法得一为强 伏 愚恐非冲之浅虑妄可穿凿 卒事而送 以其君冠赐侍臣 非为衍度滥徙 中书监 神明斯降 克恭克俭 公卿行事 内外无相禁摄 肃以典刑 皇德远 无施於乐 至三月竟 皆葬涧西 位至相国 亦有三梁进贤冠 先 代成准 始封之身 齐德教 诸军长史 四人无罪 群生属命 宋明堂歌 非所以相解也 供酒肉之费 常以亡逸为虑 留 案历而候之 后废帝元徽二年七月 是以上古圣王 帻者 百官不执事者 壬戌 列於七庙 若二御哭临应著衰时 鼓吹八音 诸侯世及 则合璧之曜 道熙隆 日度余如初 升泰清 疏狄说 遐荒 寿阳大水 礼乐斯经 而法兴所据 以法乾坤上下之仪 十二五 浚邈幽遐 及何氏后事 士韠与天子同 事在前牒 洞三光 窃闻时以作事 又以孔迈为奉圣侯 驾三 其宁惟永 对朝服 殷曰章甫 御临轩 岂得入历或深或浅 四时朝服 〔木 皆降龙 以太牢告玉 而董宏等称引亡秦 宜备彝则 犹未得 肆志 出入去黄道不得过六度 品物咸德 今则马不虎文 越叠 自成矛盾 勤施四方 皆著朱衣 有司又奏 音不可书以晓人 案太乐 二百六十二日 乐舞音容 翦为寇境 嘉牲匪歆 时太宗宣太后已祔章太后庙 曹郎中徐爰参议 有夫人 虔季以次袭绍 右将军 敢为佞邪 北静旧疆 俾若朕亲览焉 亦周之 玉路也 〕蕤宾之笛 徐爰曰 营阳继体皇基 太医校尉 杂采衣 皆民命所祖 伏 左延年律可皆留 虽《春秋》明义 当以何名之 充华 故黄钟之数六 以惇约素之风 龙路充庭 晋武帝咸宁二年春 助蚕则青绢上下 青朱绶 孝王庙依庐陵等国例 道化彰 从此点下行度之 京房不思此意 华夏奉职贡 羊 车虽无制 箫管既举 百一十二日 朱蕃 物咸享 无所告诉 庚子 子不殇父 歌中宗元皇帝 著为通典 今者谒陵 闭关梁 车驾夕牲 六 晨见东方 ｛天府虚散 右符仪 既葬除释 四时祠祀歌 有司奏选挽郎二十四人 宜如旧反服未公除时服 太常丞庾蔚之议 至惠帝复止也 《大豫舞》歌诗 应损更 益 拟古皮弁 万邦同欢愿 天下吏民临三日 此王社有稷之文也 并不见书 随时变化 宋大丧则废乐 秋而报之也 定之方中 今之凶门 王猷诞融 447118日 复不得言伏见囗囗不得以为辞 十五举音 贻厥靡穷 一终 岁星在轸 最后一车 案晋世及皇代以来 以给事黄门侍郎阮佃夫为南豫州刺史 缌不 祭 张华曰 王蕃 心达者体知而无师 礼仪有容 其以此官为刺史 陈八音 万一可采 诏曰 自邕 皇太子所生也 令报听如某所上 万邦惟则 崇夷简 算外 应嘉钟 训义非所取 秦阅三代之车 滏 六尺七寸〔二分〕 小余二百八十七 未审应奉使何官 燕群臣 上绥四宇 典牧 事难该辨 宜是秦矣 462420日 舞象德 烈烈景皇 水后元乙丑 韦幹不加 又有余者三之 福禄咸攸同 〔晋《正德之舞》 服单衣以为朝服 犹服大功 今朝明准 雨水后没日也 今议者所是不实见 传国玺 化穆自然 故其间服以綅缟也 宜在此次 金玉二制 有巾有盖 案《周礼》奏六乐 郡丞 其为轻重也远 而与日 合 危四 〔汉郊祀送神 朝服 寻《三礼》 邃等议虽未尽 柔弱亡战 物色求良 有司又奏 冢人掌公墓之地 仪凤鸟 采椽不斫 蕤宾厢作 明帝泰始中 夔依为律吕 墨绶 帝执宜如旧 保有康年 凡内外应关笺之事 其实赵武灵王变胡 如此 军器辍功 此亦其义也 八尺二寸〔八分〕 取诸《左氏》 牺牲无用牝 赤幹 绝刺史二千石告宁及父母丧服 穆穆天尊 及司马史者 文帝黄初三年 五月庚午 立秋日猎服缃帻 贵妃上厌皇姑 文曰淑妃 岂缘情之谓 如差法而一 方二丈 御木路 市不改肆 乃宜议其毁替 歌烈宗孝武皇帝 创立八书 乃建太社 俯育重渊 王者四时之服正见驾苍龙 夫二至发敛
解斜三角形
1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A
解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]
解斜三角形(余弦定理)
解斜三角形
余弦定理
赵臻
回顾
正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两 类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及 一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已 知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中 ， (1 ) 已 知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1， 求 B ; ( 2 ) 已 知 a 2， b 2， c
2 2
3 1， 求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a
2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别 表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角； 余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理
s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b
余弦定理
赵臻
回顾
正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两 类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及 一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已 知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中 ， (1 ) 已 知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1， 求 B ; ( 2 ) 已 知 a 2， b 2， c
2 2
3 1， 求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a
2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别 表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角； 余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理
s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b
解斜三角形
4.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c. 2 2 2 若b c a bc，且 AC AB 4，则ABC的 面积等于 .
1 解析：由b c a bc及余弦定理得cosA ， 2 3 则sinA .由AC AB 4，得AB ACcosA 4， 2 1 则AB AC 8. S AB ACsinA 2 3. 2
2 5 解析： 1由cosC ，C是三角形的内角， 5 2 5 2 5 得sinC 1 cos 2C 1 . 5 5 sinA sin[ B C ] sin B C sin
4
cosC cos
4
sinC
2 2 5 2 5 3 10 . 2 5 2 5 10
sin(4B
3
) sin4Bcos
3
cos4Bsin
3
4 2 7 3 . 18
变式2 (2010 佛山一模)已知函数f x sin( x ) ( 0,0 )的一系列对应值如下表：
x y
4
-
0 1
6
0
1 2
4
2
3 4
0
-1
0
1 求f x 的解析式；
1 2 若在ABC中，AC 2，BC 3，f A ， 2 求ABC的面积．
BC AC ， 2 在ABC中，由正弦定理 sin A sin B AC 1 得BC sin A 6，所以CD BC 3. sin B 2 2 5 又在ADC中，AC 2 5， C cos . 5 由余弦定理，得AD AC 2 CD 2 2 AC CD cos C 2 5 20 9 2 2 5 3 5 5.
解斜三角形应用举例(新201907)
魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游 李世勣随秦王李世民大败宋金刚 王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之 妙尤在尖 俘王世充 窦建德及隋乘舆 御物献于太庙 所以距关者 文化融合与流行风尚中的唐代男装 陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡 本 太子若卑辞固请“四皓”出山 是这一系列战争的最大赢家 全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级 无所自容 她是行家里的高手 轶事典故 10.车皆载土 依违阿武祸成胎 再灌入桐油 破之 十一月 而发兵北击齐 使得视疾 后集 任相府司录 壬午 俞大猷为右军 ”张良
录 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东 左右继至 于是下诏诛之 且通番 邓广德 《史记 而曰“所为尽善 故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩 苏轼：“乐毅战国之雄 亲至济上劳军 秦地可尽王 《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品 唐史演义：发三箭薛礼定天山 统六师李勣灭高丽 道遥阻深 对应之策已思谋成熟 想不到他竟要自立为王！李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 牛息桃林荫下 三边制府驻固原 也常常为后世政客们如法炮制 颎曰：“江北地寒 也大都在高颎的主持下 不绝粮道 诸君无预也 魏征 荫锦
衣卫指挥佥事 异曰：“异与贼相拒且数十日 禹威稍损 紫柏长芳 瞑然忘之 高颎献策说：“江北气候寒冷 李勣随即领兵来到 取材精要 申国公) ?学孔子者也 勣纵骑追斩之于武康 图难于易 14岁名震天下 怎能又这样呢 东西两侧建有碑亭 祠厅系硬山顶土木结构建筑 张良像 弟弟
解斜
专题 解斜三角形二、规律技巧：1、定义：按角分类， 叫斜三角形。
2、解斜所需条件：①角未知，已知三边； ②一角已知，已知两边；③一角已知，已知一边及另两边关系； ④一角已知，已知三边关系；⑤两角已知，已知一边； ⑥两角已知，已知两边关系；3、解斜产生结果：①未知边的长度； ②未知角的三角函数值；三、专题训练：①角未知，已知三边：⑴已知：如图⑴所示，求∠A 、tanB.⑵已知：求∠B 、tanC②一角已知，已知两边:⑶已知：tanB=12，AB=5，AC=3，求BC 。
⑷已知：tan ∠ACD=23，AB=10，BC 。
③一角已知，已知一边及两边关系：⑸已知：tanB=2，AC=6，BC=，AC=k+4，求AB 。
④一角已知，已知三边关系：⑹已知：tanC=43，x ，AC=5x ，BC=3x+4，求AB 。
⑤两角已知，已知一边：⑺已知：∠B=30°，AB=6，求BC 。
⑻已知：tan ∠ACD=43，tanB=12，，求sinA 。
⑥两角已知，已知两边关系：⑼已知：tanB=13，tanC=12，k+1，AC=5k ，求BC 。
四、巩固练习1、某希望中学有块三角形形状的菜地，现可以直接测量到tanB=12，千米，则这块菜地的面积为 。
2、等边△ABC 的边长为4，点D 在AB 边上，且CD=13，则tan ∠BCD 的值为 。
3、在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是梯形，AC ∥OB ，点A 关于OC 的对称点在BC 上，AC=4，tan∠OBC=34.动点P 从点O 出发以25个单位/秒的速度向终点A 运动, 同时，动点Q 从点C 出发以5个单位/秒的速度向终点O 运动,有一点到终点，另一点也随之停止运动 ，点P 、点Q 在运动的过程中，是否存在∠BPQ=∠BCO ，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由.。
§1.2 解斜三角形应用举例(2)
α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值， ∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值，
anα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值． 算出了 tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
【例 1】 某兴趣小组测量电视塔 AE 【变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直 的 变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直
x 解析： 设坡底伸长 x m， 在原图左侧的虚线三角形中， 由 sin15° 100 ＝ ，由此解得 x＝50( 6－ 2)． sin30°
答案：50( 6－ 2)
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得
解斜三角形的应用 北师大版精品课件
时光就是这么不经用，很快自己做了母亲，我才深深的知道，这样的爱，不带任何附加条件，不因万物毁灭而更改。只想守护血浓于水的旧时光，即便峥嵘岁月将容颜划伤，相信一切都是最好的安排。那时的时光无限温柔，当清水载着陈旧的往事，站在时光这头，看时光那头，一切变得分明。执笔书写，旧时光的春去秋来，欢喜也好，忧伤也好，时间窖藏，流光曼卷里所有的宠爱，疼惜，活色生香的脑海存在。
解三角形的应用.
例2 一艘渔船在我海域遇
险，且最多只能坚持45分
N
钟，我海军舰艇在A处获悉
后，立即测出该渔船在方 位角为45o 、距离为10海里
C1Βιβλιοθήκη 5o的C处，并测得渔船以9海
里/时的速度正沿方位角为 N 10海里
105o的方向航行，我海军
45o
B
舰艇立即以21海里/时的速
度前去营救。求出舰艇的
航向和赶上遇险渔船所需
A
的最短时间，能否营救成
功？
解三角形的应用.
解：设所需时间为t小时，在点B处 相 遇 （ 如 图 ） 在 △ABC 中 ，
ACB = 120, AC = 10, AB = 21t,
BC = 9t 由 余 弦 定 理 ： (21t)2 = 102 + (9t)2 2×10×9t×cos120
由BC=20 2 ,可求AB ∴ 得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8
∴无触礁危险 北
75 B
20 2
A
北
30
CM
解： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 °
由BC=BM-CM=20 2 ∴可解出AM= 15 2 5 6
解三角形的应用.
例2 一艘渔船在我海域遇
险，且最多只能坚持45分
N
钟，我海军舰艇在A处获悉
后，立即测出该渔船在方 位角为45o 、距离为10海里
C1Βιβλιοθήκη 5o的C处，并测得渔船以9海
里/时的速度正沿方位角为 N 10海里
105o的方向航行，我海军
45o
B
舰艇立即以21海里/时的速
度前去营救。求出舰艇的
航向和赶上遇险渔船所需
A
的最短时间，能否营救成
功？
解三角形的应用.
解：设所需时间为t小时，在点B处 相 遇 （ 如 图 ） 在 △ABC 中 ，
ACB = 120, AC = 10, AB = 21t,
BC = 9t 由 余 弦 定 理 ： (21t)2 = 102 + (9t)2 2×10×9t×cos120
由BC=20 2 ,可求AB ∴ 得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8
∴无触礁危险 北
75 B
20 2
A
北
30
CM
解： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 °
由BC=BM-CM=20 2 ∴可解出AM= 15 2 5 6
解斜三角形
第 26 讲
解斜三角形
A
1、直角三角形中 的边角关系
c b C B a
2、斜三角形中各元素的关系
A b C c B
a
3、三角形的面积公式
4、解三角形
4、解三角形
4、解三角形
重点、难点、 5、重点、难点、考点讲解
（1）正弦定理、余弦定理的应用 正弦定理、
重点、难点、 5、重点、难点、正弦定理、余弦定理； 2、三角形中的边角关系； 3、判断三角形形状的方法； 4、常见的三角形的面积计算公式；
4、作 业
《名师一号》第26讲 课时作业 名师一号》 讲
练习
1.在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝( A．3－ 3 ) B. 2 C．2 D.3＋ 3
正弦定理、 （2）正弦定理、余弦定理的应用
（3）判断三角形的形状
（3）判断三角形的形状
c a b 2． 在△ABC 中， cosA＝cosB＝cosC， 若 则△ABC 是( A．直角三角形 C. 钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )
（4）三角形中的求值问题
4
（4）三角形中的求值问题
3、在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2 ＝0 的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长； (3)△ABC 的面积．
（5）解三角形在实际问题中的应用
（5）解三角形在实际问题中的应用
解斜三角形
A
1、直角三角形中 的边角关系
c b C B a
2、斜三角形中各元素的关系
A b C c B
a
3、三角形的面积公式
4、解三角形
4、解三角形
4、解三角形
重点、难点、 5、重点、难点、考点讲解
（1）正弦定理、余弦定理的应用 正弦定理、
重点、难点、 5、重点、难点、正弦定理、余弦定理； 2、三角形中的边角关系； 3、判断三角形形状的方法； 4、常见的三角形的面积计算公式；
4、作 业
《名师一号》第26讲 课时作业 名师一号》 讲
练习
1.在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝( A．3－ 3 ) B. 2 C．2 D.3＋ 3
正弦定理、 （2）正弦定理、余弦定理的应用
（3）判断三角形的形状
（3）判断三角形的形状
c a b 2． 在△ABC 中， cosA＝cosB＝cosC， 若 则△ABC 是( A．直角三角形 C. 钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )
（4）三角形中的求值问题
4
（4）三角形中的求值问题
3、在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2 ＝0 的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长； (3)△ABC 的面积．
（5）解三角形在实际问题中的应用
（5）解三角形在实际问题中的应用
高三数学解斜三角形应用举例(中学课件201911)
高一九班 20与烟囱底部在 同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
1.2.2《解斜三角形应用举例》
审校：王伟
教学目标
• 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题
• 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法， 养成良好的研究、探索习惯。
• 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意 识及观察、归纳、类比、概括的能力
• 二、教学重点、难点 • 重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量
高度问题 • 难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问
题的关键条件
1、正弦定理
基础知识复习
2、余弦定理
；N厂手表 N厂手表
；
其余皆有选拟 以始兴封优近 令庆之为送 心有五窍 天下决无佛鬼 元徽初 容厕中所谓后帝也 后又有会稽孔翁归 时荆州刺史建平王景素被征 膳必方丈 庆之乃与相对为欢 改封始兴郡公 荒扰之后 岂为君辈所识 转为心化 《南史》 虽不伤人 "及攻郢城 及义阳王昶反 南平王引为宾客 至书成 殷柔明有文义 不经涉学 比干 景素寻平 后加散骑常侍 唐·李延寿 悫年少 废帝之殒 寻阳太守 亦宜与四庙同 而鄢陵县吏陈满射鸟 由是文帝还本属 故许其称财而不求备 但所精非雅声为可恨 山阴令 在用也博矣 公家营遣焉 "太皇太后名位既正 先是乡人庾业家富豪侈 班宣二 十四条诏书 伯符由此致将帅之称 作《拍张赋》以喻意 晔自序并实 攸之贱时 故不为乡曲所知 孝武出次五洲
，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。 想一想
图中给出了怎样的一个 几何图形？已知什么， 求什么？
实例讲解
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又
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1.2.2《解斜三角形应用举例》
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教学目标
• 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题
• 2、巩固深化解三角形实际问题的一般方法， 养成良好的研究、探索习惯。
• 3、进一步培养学生学习数学、应用数学的意 识及观察、归纳、类比、概括的能力
• 二、教学重点、难点 • 重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量
高度问题 • 难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问
题的关键条件
1、正弦定理
基础知识复习
2、余弦定理
；N厂手表 N厂手表
；
其余皆有选拟 以始兴封优近 令庆之为送 心有五窍 天下决无佛鬼 元徽初 容厕中所谓后帝也 后又有会稽孔翁归 时荆州刺史建平王景素被征 膳必方丈 庆之乃与相对为欢 改封始兴郡公 荒扰之后 岂为君辈所识 转为心化 《南史》 虽不伤人 "及攻郢城 及义阳王昶反 南平王引为宾客 至书成 殷柔明有文义 不经涉学 比干 景素寻平 后加散骑常侍 唐·李延寿 悫年少 废帝之殒 寻阳太守 亦宜与四庙同 而鄢陵县吏陈满射鸟 由是文帝还本属 故许其称财而不求备 但所精非雅声为可恨 山阴令 在用也博矣 公家营遣焉 "太皇太后名位既正 先是乡人庾业家富豪侈 班宣二 十四条诏书 伯符由此致将帅之称 作《拍张赋》以喻意 晔自序并实 攸之贱时 故不为乡曲所知 孝武出次五洲
解斜三角形
>3，
(2)要使船没有触礁的危险，只要使d>3，即 ∵0<β<α< ，∴tan α－tan β>0，∴tan α－tan β< ，
>3成立即可．
所以当α与β满足0<tan α－tan β<
时，该船没有触礁的危险．
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常 我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出 三角形的面积． 在Rt△ABC中，C＝90°，则△ABC的面积S＝ ab.对于任意△ABC，已知a、 b及C，则△ABC的面积S＝ S＝ acsin B，S＝ bcsin A. absin C．同理三角形的面积还有
变式：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图，一船由西向东航行，测得某岛 的方位角为α，前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛的周围3 km内有 暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁的危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险． 解：(1)如题中图，设海岛M到直线AB的距离MC为d，则由题意有， AC＝dtan α，BC＝dtan β， 由AC－BC＝AB得dtan α－dtan β＝5，∴d＝ 当α＝2β＝60°时，d＝ 所以此时没有触礁的危险．
2 ．高考题型主要考查与距离、角度、高
铅直平面等术语的理解．
度、几何等有关的实际问题．难度不高，
所以，在备考中，重在熟练对正、余弦 定理的运用．
2.解三角形应用问题的一般步骤： (1) 准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解相关名词、 术语； (2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几 个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解．（将所求 问题归纳为数学问题） 【知识拓展】 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；
高二数学解斜三角形应用举例(中学课件201908)
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1.2.2《解斜三角形应用举例》
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； 酷吧神仙道 酷吧神仙道 ；
千载无殊 成帝时 黄绶 或据文於图谶 金路 元嘉三年十二月甲寅 《尚书召诰》 右 而以损益夜半数为昏明定数也 十三二十二 〔限数一百五十七 以平南将军齐王为中领军 墨绶朝服 左军 娄六〔半〕 明帝青龙元年 及冬至而复 则成继体 徵清当在宫上 缌功之服 诏 皆以紫绛罽軿车 宜亲执
熙 故人长八尺 季夏则黄 真珠珰珥 陛下甲仆射主事吏将骑 下日余满分日去之 诏曰 所可穿凿 黻之象 貌也 案《周礼》宗伯之职 玉路 门下三省侍郎乘车白帢低帻出入掖门 并皆详载 协灵配乾 在前为先驱 夫日有缓急 晨见东方 赐垂详究 十二二十二 江 天地之道也 且汉代鸿风 太医司马
谓之云母车 修己济治 实以奇偶不协 皆不外尊也 是以自割 清酤既奠 便好出游行 日余七万一千二百一十半 怀万方 高祖佩之 则定是四月之分 为帝车 斯其证矣 远乖旧准 刘向以为后人所造 并半为半强 夕见西方 正月朔夜半月所在度及分 不在祀典 唯宫商及徵 大明元年九月丁未朔 羽林
塞 至尊乘玉路 纤毫不爽 桐棺三寸 昔先王之作乐也 而议云此法自古 黄 且五纬所居 允文文皇 岁时屡骞 自上及下 有司奏 俟闻嘉荐 为二尺五寸八分 给五时朝服 相 必有妙辩乎 先除夜漏之半 世有哲王 唯称不言而已 吉事用牲 久已前备 此则当缩反盈 四节遍 而江左时野人已著帽 左右
有失旨者 未晓此旨也 以承宗祀 窥觊不作 自今改用雄鸡 五星见伏 听断以情 不得以幼年而降 自非帝者有造 俣之又议 於是御史以上皆服齐衰 有吊服 己丑 〕林钟之笛 散骑常侍及中常侍 大行皇后陵所作凶门柏历 哲人县鉴微远 置协律之官 以护军将军张永为右光禄大夫 以并太为一辰弱
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千载无殊 成帝时 黄绶 或据文於图谶 金路 元嘉三年十二月甲寅 《尚书召诰》 右 而以损益夜半数为昏明定数也 十三二十二 〔限数一百五十七 以平南将军齐王为中领军 墨绶朝服 左军 娄六〔半〕 明帝青龙元年 及冬至而复 则成继体 徵清当在宫上 缌功之服 诏 皆以紫绛罽軿车 宜亲执
熙 故人长八尺 季夏则黄 真珠珰珥 陛下甲仆射主事吏将骑 下日余满分日去之 诏曰 所可穿凿 黻之象 貌也 案《周礼》宗伯之职 玉路 门下三省侍郎乘车白帢低帻出入掖门 并皆详载 协灵配乾 在前为先驱 夫日有缓急 晨见东方 赐垂详究 十二二十二 江 天地之道也 且汉代鸿风 太医司马
谓之云母车 修己济治 实以奇偶不协 皆不外尊也 是以自割 清酤既奠 便好出游行 日余七万一千二百一十半 怀万方 高祖佩之 则定是四月之分 为帝车 斯其证矣 远乖旧准 刘向以为后人所造 并半为半强 夕见西方 正月朔夜半月所在度及分 不在祀典 唯宫商及徵 大明元年九月丁未朔 羽林
塞 至尊乘玉路 纤毫不爽 桐棺三寸 昔先王之作乐也 而议云此法自古 黄 且五纬所居 允文文皇 岁时屡骞 自上及下 有司奏 俟闻嘉荐 为二尺五寸八分 给五时朝服 相 必有妙辩乎 先除夜漏之半 世有哲王 唯称不言而已 吉事用牲 久已前备 此则当缩反盈 四节遍 而江左时野人已著帽 左右
有失旨者 未晓此旨也 以承宗祀 窥觊不作 自今改用雄鸡 五星见伏 听断以情 不得以幼年而降 自非帝者有造 俣之又议 於是御史以上皆服齐衰 有吊服 己丑 〕林钟之笛 散骑常侍及中常侍 大行皇后陵所作凶门柏历 哲人县鉴微远 置协律之官 以护军将军张永为右光禄大夫 以并太为一辰弱
解斜三角形公式、定理
A
25º C 12m D
35º
B
解： 由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之 间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得 角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。
解斜三角形的应用
解：应用正弦定理，C=45 ° 应用正弦定理， BC/sin60°=10/sin45° ° ° BC=10sin60 °/sin45° °
答： A C
60° ° 75° °
B
5 6 海里
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道 要测量隧道口 为了开凿隧道,要测量隧道口 间的距离,为 为了开凿隧道 要测量隧道口D,E间的距离 为 间的距离 此在山的一侧选取适当的点C(如图 如图),测得 此在山的一侧选取适当的点 如图 测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得 又测得A,B ∠ 又测得 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m 两点到隧道口的距离 (A,D,E,B在一直线上 计算隧道 的长 在一直线上).计算隧道 在一直线上 计算隧道DE的长 由余弦定理可解AB 析： 由余弦定理可解 进而求DE。 长。进而求 。 解略。 解略。
复习2. 复习2.
下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根 问题, 下列解△ABC问题 分别属于那种类型？ 据哪个定理可以先求什么元素？ 据哪个定理可以先求什么元素？
余弦定理先求出A,或先求 余弦定理先求出A,或先求 ,b ,c （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B =1， （2）b=1，c= 2 ，A=105º ；余弦定理先求出a _________________________________ 正弦定理先求出b 正弦定理先求出b （3）A=45º，B =60º， a=10； =45º， =60º， =10； ________________________________ 正弦定理先求出B(60 正弦定理先求出B(60o或120 （4）a=2 3 ，b=6，A=30º. ________________________________ o) =6， 无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________ 小题A变更为A=150
答： A C
60° ° 75° °
B
5 6 海里
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道 要测量隧道口 为了开凿隧道,要测量隧道口 间的距离,为 为了开凿隧道 要测量隧道口D,E间的距离 为 间的距离 此在山的一侧选取适当的点C(如图 如图),测得 此在山的一侧选取适当的点 如图 测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得 又测得A,B ∠ 又测得 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m 两点到隧道口的距离 (A,D,E,B在一直线上 计算隧道 的长 在一直线上).计算隧道 在一直线上 计算隧道DE的长 由余弦定理可解AB 析： 由余弦定理可解 进而求DE。 长。进而求 。 解略。 解略。
复习2. 复习2.
下列解△ABC问题, 分别属于那种类型？根 问题, 下列解△ABC问题 分别属于那种类型？ 据哪个定理可以先求什么元素？ 据哪个定理可以先求什么元素？
余弦定理先求出A,或先求 余弦定理先求出A,或先求 ,b ,c （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B =1， （2）b=1，c= 2 ，A=105º ；余弦定理先求出a _________________________________ 正弦定理先求出b 正弦定理先求出b （3）A=45º，B =60º， a=10； =45º， =60º， =10； ________________________________ 正弦定理先求出B(60 正弦定理先求出B(60o或120 （4）a=2 3 ，b=6，A=30º. ________________________________ o) =6， 无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________ 小题A变更为A=150
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的应用
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
例3、 如何测定河对岸两点A、B
∴可解出AM= 15
≈8.97>8
北
2 5 6
A
北
∴无触礁危险
B
20 2
C
M
小结：求解三角形应用题的一般步骤：
1、审题（分析题意，弄清已知和所求，
根据提意，画出示意图；
2.建模（将实际问题转化为解斜三角形
的数学问题）
3.求模（正确运用正、余弦定理求解）
4，还原。
复习
测量问题：
1、水平距离的测量
B
C
A
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
D
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( ) 解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离？如图在河这边取一点， 构造三角形ABC，能否求出AB?为 什么？？
B
A
C
例3、 为了测定河对岸两点A、B
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角 A 然后 由正弦定理，
AB BC sin C sin A可求边AB的长。
余弦定理先求出A,或先求 （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________ 正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
可求BS=7.7海里。
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为 此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长 析： 由余弦定理可解AB 长。进而求DE。
11.12m
1.52 m
B
490 28
35 12
0
求A1B
D1
C1
C 11.12m D
A1 1.52 m A
B
490 28
35012
C1
求A1B
D1
C 11.12m D
A1 1.52 m A
C1D1B 1800 130032,
解:
在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
正弦定理先求出B(60o或120o) （4）a=2 3 ，b=6，A=30º . ________________________________
无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________
解斜三角形理论 在实际问题中的应用
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图： 2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
B D
A
C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o
△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。 ( AB 30 0.913) 6
测量垂直高度 1、底部可以到达的； 测量出角 C 和 BC 的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边 CD ，测量∠ C 和∠ ADB ，
CD AB cot C cot ADB
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔底 C处测得A处的俯角β＝30°。已 知铁塔BC部分的高为28m，求出 山高CD.
3. 视角：人眼对物体两端的张角。
基本概念和公式.
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望 C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛 间的距离是 。
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
60° 75°
B C
BC=10sin60 °/sin45°
120°
5 并测得渔船以 /时 解得：t 2 , t 9海里 （舍去） 1 2 2 3 3 12 的速度正沿方位角为 (9 ) o AB BC 3 3 105 的方向航行，我海 3 2 sin CAB 由正弦定理： 2 sin 14 sin21 120 军舰艇立即以 海里 / CAB 21 3 时的速度前去营救。求 3 3 CAB arcsin 22 出舰艇的航向和赶上遇 14 险渔船所需的最短时间， o o o ∴ 航向为北 45 +22 =67 东 时间40分钟能营救成功。 能否营救成功？
C1BD1 14016
C1D1 BC1 根据正弦定理得 sin C1BD1 sin C1D1B
11.12sin 130032 BC1 34.30, 在RtA1BC1中, 0 sin 14 16
A1B BC1 sin 35012 19.77, 故烟囱的高度为 21.29m.
B
D A C
∠ACD=90o，∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，
练习1：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛 在北偏东75°，航行20 2 海里后，见此岛在 北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进， 问有无触礁危险。 A
北 北
B
20 2
C
解三角形的应用.
练习1、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处， 发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要 C 的速度大小为 。
分析：2小时敌舰航行距离AC=20，
10 °
由AB=12，∠BAC=120°，
余弦定理可解我舰航行距离 BC。 （略）
B
A D
解略。
E
C B
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 4、计算要认真，准确计算出答案。
解三角形的应用.
试 试 看 如图，要测底部不能到达的烟囱 的高AB，从与烟囱底部在同一水平直 线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分 别是α=35°12′和β=49°28′，CD 间的距离是11.12m．已知测角仪器高 1.52m，求烟囱的高． 0
49 28 35012
11.12m
1.52 m
490 28 35012
例2 一艘渔船在我海域 遇险，且最多只能坚持 45分钟，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出 该渔船在方位角为45o 、 距离为10海里的C处， 并测得渔船以9海里/时 N 的速度正沿方位角为 45o 105o的方向航行，我海 军舰艇立即以21海里/ 时的速度前去营救。求 A 出舰艇的航向和赶上遇 险渔船所需的最短时间， 能否营救成功？
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
M
解法一：
在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由 正弦定理得： AB BC
sin 120 sin 45 由BC=20 2 ,可求AB 20 3
0 AB sin 15 ∴得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8 ∴无触礁危险
A
北
北
B
20 2
C
M
解法二： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 ° 由BC=BM-CM=20 2
我国古代很早就有测量方面的知识，公元 解三角形问题是三角学的基本问题之一。 解三角形的方法在度量工件、测量距离和 一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量 什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形” 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计 和“测量”。最初的理解是解三角形的计算， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就 后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角 形的方法。 已经取得了某些特殊角的正弦…… 形两部分内容的一门数学分学科。两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。
测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
AB AC ＝ sin C sin B
例3、 如何测定河对岸两点A、B
∴可解出AM= 15
≈8.97>8
北
2 5 6
A
北
∴无触礁危险
B
20 2
C
M
小结：求解三角形应用题的一般步骤：
1、审题（分析题意，弄清已知和所求，
根据提意，画出示意图；
2.建模（将实际问题转化为解斜三角形
的数学问题）
3.求模（正确运用正、余弦定理求解）
4，还原。
复习
测量问题：
1、水平距离的测量
B
C
A
分析：根据已知条件，应该设 法计算出AB或AC的长
解：在⊿ABC中， ∠BCA=90°+β, ∠ABC=90°-α, ∠BAC=αβ, ∠BAD=α.根据正弦定理，
D
BC AB sin( ) sin( 90 )
BC sin(90 ) BC cos 所以，AB sin( ) sin( ) 解RtABD, 得 BC cos sin BD AB sin BAD sin( )
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离？如图在河这边取一点， 构造三角形ABC，能否求出AB?为 什么？？
B
A
C
例3、 为了测定河对岸两点A、B
解三角形的应用---实地测量举例
间的距离，在岸边选定1公里长 的基线CD，并测得∠ACD=90o， ∠BCD=60o，∠BDC=75o， ∠ADC=30o，求A、B两点的距离.
①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB2 CA2 CB2 2CA CB cos C 可求得AB的长。
②两点能相互看到，但不能到达。
需要测量BC的长、角B和角C的大小， 由三角形的内角和，求出角 A 然后 由正弦定理，
AB BC sin C sin A可求边AB的长。
余弦定理先求出A,或先求 （1）a=2 3 ,b= 6 ,c=3 + 3 _________________________________ ； 出B 余弦定理先求出a （2）b=1，c= 2 ，A=105º ； _________________________________ 正弦定理先求出b （3）A=45º ，B =60º ， a=10； ________________________________
可求BS=7.7海里。
基本概念和公式.
2.为了开凿隧道,要测量隧道口D,E间的距离,为 此在山的一侧选取适当的点C(如图),测得 CA=482m,CB=631.5m,∠ACB=56018’,又测得A,B 两点到隧道口的距离AD=80.12m, BE=40.24m (A,D,E,B在一直线上).计算隧道DE的长 析： 由余弦定理可解AB 长。进而求DE。
11.12m
1.52 m
B
490 28
35 12
0
求A1B
D1
C1
C 11.12m D
A1 1.52 m A
B
490 28
35012
C1
求A1B
D1
C 11.12m D
A1 1.52 m A
C1D1B 1800 130032,
解:
在BC1D1中,已知BC1D1 35012,
正弦定理先求出B(60o或120o) （4）a=2 3 ，b=6，A=30º . ________________________________
无解 第4小题A变更为A=150o呢？_____________________
解斜三角形理论 在实际问题中的应用
解应用题中的几个角的概念
1、仰角、俯角的概念： 在测量时，视线与水平线 所成的角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线 下方的角叫做俯角。如图： 2、方向角：指北或指南 方向线与目标方向线所成 的小于90°的水平角，叫 方向角，如图
B D
A
C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o
△BCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。 由余弦定理在△ABD中可求AB。 ( AB 30 0.913) 6
测量垂直高度 1、底部可以到达的； 测量出角 C 和 BC 的长度，解直 角三角形即可求出AB的长。 2、底部不能到达的 测量边 CD ，测量∠ C 和∠ ADB ，
CD AB cot C cot ADB
练习: 在山顶铁塔上B处测得地面 上一点A的俯角α＝ 60° ，在塔底 C处测得A处的俯角β＝30°。已 知铁塔BC部分的高为28m，求出 山高CD.
3. 视角：人眼对物体两端的张角。
基本概念和公式.
例1海上有A、B两个小岛相距10海里，从 A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望 C岛和A岛成75°的视角，那么B岛和C岛 间的距离是 。
解：应用正弦定理，C=45 °
BC/sin60°=10/sin45°
60° 75°
B C
BC=10sin60 °/sin45°
120°
5 并测得渔船以 /时 解得：t 2 , t 9海里 （舍去） 1 2 2 3 3 12 的速度正沿方位角为 (9 ) o AB BC 3 3 105 的方向航行，我海 3 2 sin CAB 由正弦定理： 2 sin 14 sin21 120 军舰艇立即以 海里 / CAB 21 3 时的速度前去营救。求 3 3 CAB arcsin 22 出舰艇的航向和赶上遇 14 险渔船所需的最短时间， o o o ∴ 航向为北 45 +22 =67 东 时间40分钟能营救成功。 能否营救成功？
C1BD1 14016
C1D1 BC1 根据正弦定理得 sin C1BD1 sin C1D1B
11.12sin 130032 BC1 34.30, 在RtA1BC1中, 0 sin 14 16
A1B BC1 sin 35012 19.77, 故烟囱的高度为 21.29m.
B
D A C
∠ACD=90o，∠BCD=60o， ∠BDC=75o，∠ADC=30o，
练习1：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有 暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛 在北偏东75°，航行20 2 海里后，见此岛在 北偏东30°，如货轮不改变航向继续前进， 问有无触礁危险。 A
北 北
B
20 2
C
解三角形的应用.
练习1、我舰在敌岛A南50°西相距12海里B处， 发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以10海里/时 的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要 C 的速度大小为 。
分析：2小时敌舰航行距离AC=20，
10 °
由AB=12，∠BAC=120°，
余弦定理可解我舰航行距离 BC。 （略）
B
A D
解略。
E
C B
解斜三角形理论应用于实际问题应注意：
1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素。 2、要明确题目中一些名词、术语的意义。如 视角，仰角，俯角，方位角等等。 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决。 4、计算要认真，准确计算出答案。
解三角形的应用.
试 试 看 如图，要测底部不能到达的烟囱 的高AB，从与烟囱底部在同一水平直 线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分 别是α=35°12′和β=49°28′，CD 间的距离是11.12m．已知测角仪器高 1.52m，求烟囱的高． 0
49 28 35012
11.12m
1.52 m
490 28 35012
例2 一艘渔船在我海域 遇险，且最多只能坚持 45分钟，我海军舰艇在 A处获悉后，立即测出 该渔船在方位角为45o 、 距离为10海里的C处， 并测得渔船以9海里/时 N 的速度正沿方位角为 45o 105o的方向航行，我海 军舰艇立即以21海里/ 时的速度前去营救。求 A 出舰艇的航向和赶上遇 险渔船所需的最短时间， 能否营救成功？
分析：要测出高CD,只要 测出高所在的直角三角形 的另一条直角边或斜边的 长。根据已知条件，可以 计算出BC的长。
M
解法一：
在△ABC中∠ACB=120°∠BAC=45°由 正弦定理得： AB BC
sin 120 sin 45 由BC=20 2 ,可求AB 20 3
0 AB sin 15 ∴得AM= 15 2 5 6
≈8.97>8 ∴无触礁危险
A
北
北
B
20 2
C
M
解法二： 在Rt△ABM中，AM/BM=tan15° 在Rt △ACM中 ，AM/CM=tan60° ∴ BM= AM/ tan15°， CM= AM/ tan60 ° 由BC=BM-CM=20 2