2019年河北省衡水中学高三上学期三调考试数学文试题(含答案)

合集下载

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学(文)试题

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}210A x x =-<，{}2,x B y y x A ==∈，则A B ⋂=( ) A.()0,1B.()1,2-C.()1,+∞D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( )A.15-B.25-C.45D.353.命题:p 若α为第一象限角，则sin αα<；命题q ：函数()22x f x x =-有两个零点，则( ) A.p q ∧为真命题B.p q ∨为真命题C.p q ⌝∨⌝为真命题D.p q ⌝∧为真命题4.正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =( )A.1B.2C.1-5.已知O 是正方形ABCD 的中心，若DO AB AC λμ=+ ，其中λ，R μ∈，则λμ=( )A.2-B.12-C.6.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足AOB S =△1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值( )A.513-B.1213C.1213-D.5138.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a 、52a 、83a 成等差数列，则363S S =( ) A.134B.1312C.94D.11129.已知函数()51cos 1242f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，若函数()242g x x x =-+-与()f x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则1mi i x ==∑( )A.2mB.3mC.4mD.m10.将函数()2sin 0y x ωω=>的图象向左平移02φπφω⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则φ的取值范围是( )A.,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()2f x x ax =-，()ln x g x x e =-，在其共同的定义域内，()g x 的图象不可能在()f x 的上方，则求a 的取值范围( )A.101a e <<+ B.0a > C.1a e ≤+ D.0a ≤12.已知函数()g x 满足()()()121'102x g x g e g x x -=-+，且存在实数0x 使得不等式()021m g x -≥成立，则m 的取值范围为( )A.(],2-∞B.(],3-∞C.[)0,+∞D.[)1,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0a = ，1b = ，则2a b +等于____________.14.在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，sin B =，ABC S =△b 的值为_____________. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n N +++=-∈，则n S =__________.16.已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，981S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求122017111122017S S S ++++++…的值. 18.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22cos c a B b -=. (1)求角A 的大小；(2)若ABC △22cos 4c ab C a ++=，求a . 19.已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n aa n N a +=∈+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.20.已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且203SB A AC ⋅+= ，其中S 是ABC △的面积，4C π=.(1)求cos B 的值； (2)若24S =，求a 的值.21.已知函数()()()1ln 42f x m x m x m R x=+-+∈. (1)当4m ≥时，求函数()f x 的单调区间；(2)设[],1,3t s ∈，不等式()()()()ln322ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知函数()2x f x ke x =-(其中k R ∈，e 是自然对数的底数). (1)若2k =，当()0,x ∈+∞时，试比较()f x 与2的大小；(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求k 的取值范围，并证明：()101f x <<.数学(文)答案一、选择题1-5:DCCAA 6-10:CBCAB 11、12：CC 二、填空题13.21n- 16.322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由981S =，得5981a =，则有59a =，所以51912514a a d --===-，故()12121n a n n =+-=-()*n N ∈.(2)由(1)知，()213521n S n n =++++-=…，则()111111n S n n n n n ==-+++，所以12201711111111112201722320172018S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (12017)120182018=-=. 18.解：(1)由22cos c a B b -=及正弦定理可得： 2sin 2sin cos sin C A B B -=∵()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴sin cos sin 2BA B =， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又因为0A π<<， ∴3A π=.(2)∵22cos 4c ab C a ++=①，又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入①式得22283b c a +=-，由余弦定理得222222cos a b c b A b c bc =+-=+-.∵1sin 2ABC S bc A ==△1bc =，∴22831a a =--，得a =.19.解：(1)证明：由()*13n n n aa n N a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，从而1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； (2)12n n nb -=， ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯…()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯…，两式相减得 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-…， ∴1242n n n T -+=-. ∴()12142nn λ--<-，若n 为偶数，则1242n λ-<-，∴3λ<，若n 为奇数，则1242n λ--<-，∴2λ-，∴2λ-， ∴23λ-<<.20.解：∵203S BA AC ⋅+= ，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =，即()222sin 9cos 91sin A A A ==-，所以29sin 10A =，又30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0A >，故sin A =，cos A =()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===. (2)24S =，所以sin 48bc A =，得bc = 由(1)得cos B =，所以sin B =. 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin b cB C =，即= 联立①②，解得8b =，c =2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a =21.(1)函数定义域为()0,+∞，且()()()2221211'42x m x m f x m x x x--+⎡⎤⎣⎦=-+-=，令()'0f x =，得112x =，212x m=--，当4m =时，()'0f x ≤，函数()f x 在定义域()0,+∞单调递减；当4m >时，由()'0f x >，得1122x m -<<-；由()'0f x <，得102x m <<--或12x >，所以函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当4m =时，()f x 在定义域()0,+∞单调递减；当4m >时，函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知当()4,6m ∈时，函数()f x 在区间[]1,3单调递减，所以当[]1,3x ∈时，()()max 152f x f m ==-，()()min 13ln31263f x f m m ==++-.问题等价于：对任意的()4,6m ∈，恒有()()1ln322ln352ln31263a m m m m +-->----+成立，即()()22423m a m ->--. 因为2m >，则()2432a m <--，∴()min2432a m ⎛⎫<- ⎪ ⎪-⎝⎭，设[)4,6m ∈，则当4m =时，()2432m --取得最小值133-，所以，实数a 的取值范围是13,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.22.解：(1)当2k =时，()22x f x e x =-，则()'22x f x e x =-，令()22x h x e x =-，()'22x h x e =-，由于()0,x ∈+∞，故()'220x h x e =->，于是()22x h x e x =-在()0,+∞为增函数，所以()()22020x h x e x h =->=>，即()'220x f x e x =->在()0,+∞恒成立，从而()22x f x e x =-在()0,+∞为增函数，故()()2202x f x e x f =->=.(2)函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则12,x x 是()'20x f x ke x =-=的两个根，即方程2x xk e=有两个根，设()2x x x e ϕ=，则()22'xx x e ϕ-=，当0x <时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<；当01x <<时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；要使方程2xxk e =有两个根，只需()201k eϕ<<=，如图所示：故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭，又由上可知函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由()111'20x f x ke x =-=得112x x k e =， ∴()()111222211111112211x x x x f x ke x e x x x x e =-=-=-+=--+，由于()10,1x ∈，故()210111x <--+<，所以()101f x <<.。

2019届河北省衡水中学高三年级第三次质检考试数学(文)试题(含答案解析)

2019届河北省衡水中学高三年级第三次质检考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}{()}2230,ln 2A x x x B x y x =--≤==-，则A B ⋂= （）A ．[)32－，B ．(]23，C ．[)l 2－，D ．()l 2－，【答案】C【解析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A ，然后通过对数的性质计算出集合B ，最后计算出A B I ，即可得出结果。

【详解】集合A ：2230x x --≤，()()310x x -+?，13x -≤≤，故集合{}=13A x x -＃，集合B ：20x ->，2x <，故集合{}B=2x x <，)12A B é?-ë，，故选C 。

【点睛】本题考查的是集合的相关性质，主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及对数的相关性质，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题。

2．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 3．已知函数22log ,01(),1,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则()()2f f =（） A ．2 B ．1-C ．1D ．2-【答案】D【解析】根据分段函数的定义域中变量的范围先求出()124f =，然后再求出124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即为所求．【详解】由题意得()124f =， ∴()()2112log244ff f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭．故选D ．【点睛】本题考查分段函数求值，解题的关键是分清自变量在定义域中的哪个范围中，然后代入求值即可，属于基础题．4．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好【答案】D【解析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的．【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．已知两个非零单位向量12,e e u r u u r的夹角为θ，则下列结论不正确的是（）A ．不存在θ，使12e e •=u r u u rB ．2212e e =u r u u rC ．∀∈θR ，()1212()e e e e -⊥+u r u u r u r u u rD ．1e u r 在2e u u r方向上的投影为sin θ【答案】D【解析】A 中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B 中，由平面向量模长的定义，判断即可；C 中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D 中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；【详解】对于A ，因为两个非零单位向量12e ,e ?u v u u v ，所以 12e ?e u v u u v＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A 正确．对于B ，因为两个非零单位向量221212e ,e ?e e =u v u u v u v u u v ，所以＝1，B 正确；对于C ，因为两个非零单位向量12e ,e ?u v u u v ，且 ()()1212e e e e -+u v u u v u v u u v 22120e e =-=u r u u r ，所以()()1212e e e e -⊥+u v u u v u v u u v ，∴C 正确；对于D ，因为两个非零单位向量12e ,e ? u v u u v ，所以1e u r 在2e u u r 方向上的投影为|1e u r|cosθ＝cosθ，D 错误；故选D ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．6．对于实数m ，“12m <<”是“方程22112x ym m +=--表示双曲线”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据方程表示双曲线求出m 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由题意，方程22x y 1m 1m 2+=--表示双曲线，则()()m 1m 20--<，得1m 2<<，所以“1m 2<<”是“方程22x y 1m 1m 2+=--表示双曲线”的充要条件，故选C ．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（） A ．6766升 B ．4744升 C ．3733升 D ．1升【答案】A【解析】试题分析：依题意123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得1397,6666a d ==，故513928674666666a a d =+=+=. 【考点】等差数列的基本概念.8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值为（）A ．64B ．68C ．72D ．133【答案】B【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行，可得： n ＝5，x ＝2， v ＝1，m ＝2，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝122⨯+=4，m ＝1，n ＝4，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝421⨯+=9，m ＝0，n ＝3，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝920⨯+=18，m ＝﹣1，n ＝2，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝1821⨯-=35，m ＝﹣2，n ＝1，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝3522⨯-=68，m ＝﹣3，n ＝0，不满足进行循环的条件n ＞0，退出循环，输出v 的值为68．故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．9．若将函数()2sin cos 2x x f x x =+-的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（） A ．12πB ．4π C ．38π D ．512π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的最小值．【详解】将函数化简为()2sin cos 2x x f x x =-＝12sin2x •1cos22x +﹣2＝sin （2x +3π），将函数()f x 的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （2x ﹣2φ+3π）的图象；根据所得图象关于y 轴对称，可得﹣2φ+3π＝k π+2π，k ∈Z ，即122k ππϕ=--，k ∈Z ，令k ＝-1，可得ϕ的最小值为512π. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线：2:C 28x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1-D ．8【答案】A【解析】分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线1C 方程，利用运用抛物线的定义可得1BM AB BF AB AF -=-≤=，从而可得结果. 详解：因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0所以，可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =，由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()1,2A ，抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，即有1BM AB BF AB AF -=-≤=，当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间）三点共线，可得最大值1，故选A.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上存在一动点P ，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于,M N 两点.设BP x =，BMN ∆的面积为S ，则当点P 由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设2MN y =，而P 由B 运动到1BD 的中点的过程中，tan 12BP BP xBMPMP yMN ===∠，由相似三角形，可知tan BMP ∠为定值，设正方体的边长为a ，当P 为线段1BD的中点时，tan 2BMP ∠==,y x BMN =∆的面积为12S MN BP =⨯⨯()2102x x ==>，故选D.12．若a b b a e e ππ--+≥+，则有（） A ．0a b +≤ B ．0a b -≥ C ．0a b -≤ D ．0a b +≥【答案】D【解析】由a b b a e e ππ--+≥+，构造函数()xxf x e π-=-，利用函数单调性得答案．【详解】由a b b a e e ππ--+≥+，化简得a a b b e e ππ---≥-，构造函数()xxf x e π-=-，则函数()f x 在R 上是增函数，∵a a b b e e ππ---≥-，∴()()f a f b ≥-，则a b ≥-，即0a b +≥．故选：D ．【点睛】本题考查构造函数以及指数函数单调性的应用，属于基础题.二、填空题13．设α、β为两个不同平面，直线m α⊂，则“//αβ”是“//m β”的__________条件. 【答案】充分不必要【解析】利用面面平行的定义和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】根据题意，由于α、β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于//αβ，则根据面面平行的性质定理可知，在平面α内任何一条直线都与平面β平行，条件可以推出结论；反之，直线m 与平面α、β的交线平行，根据直线与平面平行的判定定理可知//m β，但此时，平面α、β相交.因此，“//αβ”是“//m β”的充分不必要条件，故答案为充分不必要. 【点睛】本题主要考查空间中面面平行的性质定理，同时也考查了充分不必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.14．若实数,x y 满足约束条件410,14x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则ln ln z y x =-的最小值是____.【答案】－ln3【解析】由约束条件作出可行域，目标函数z ＝lny ﹣lnx ＝ln y x ，由图求出yx的最大值即可．【详解】由实数x ，y 满足约束条件410,{14x y y x y --≥≥+≤作出可行域如图所示，联立4{1x y y +==，解得B （3,1），由目标函数z ＝lny ﹣lnx ＝ln y x ，而y x 的最小值为OB k ＝13，∴z ＝lny ﹣lnx 的最小值是﹣ln3．故答案为﹣ln3．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题． 15．若侧面积为的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______. 【答案】【解析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.因为球体积，故最小当且仅当最小.圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，所以,圆柱的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-，又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=．又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅．因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->．记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--．所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==．所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4．【考点】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2c A π⎛⎫- ⎪⎝⎭是cos a B 与cos b A 的等差中项. （1）求角A ；（2）若2a b c =+，且ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π；（2）4. 【解析】（1）由题意，得2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理，化简2sin cos sin C A C =，进而得到cos A ，即可求解；（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，求得2sin a R A ==利用余弦定理求得3bc =，进而利用面积公式，即可求解．【详解】（1）因为sin 2c A π⎛⎫-⎪⎝⎭是cos a B 与cos b A 的等差中项. 所以2cos cos cos c A a B b A =+. 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，从而可得2sin cos sin C A C =，又C 为三角形的内角，所以sin 0C ≠，于是1cos 2A =，又A 为三角形内角，因此3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，则1R =，2sin 3a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，所以3bc =. 所以ABC ∆的面积为133sin 2S bc A ==. 【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[]180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.【答案】（1）0.32 ；（2）众数是170，中位数是168.25 ；（3）45【解析】（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数；（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a ，b ，c ，女生三人，设为d ，e ，f ，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率．【详解】（1）被采访人拾好在第2组或第6组的概率40.0740.010.32p =⨯+⨯=.（2）众数：1681721702+=；设中位数为x ，则()()0.0540.0741680.080.20.281680.080.5x x ⨯+⨯+-⨯=++-⨯=∴中位数0.50.48168168.250.08x -=+=.（3）共500.126⨯=人，其中男生3人，设为a ，b ，c ，女生三人，设为d ，e ，f ，则任选2人，可能为{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},a f ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},b f ，{},c d ，{},c e ，{},c f ，{},d e ，{},d f ，{},e f ，共15种，其中两个全是男生的有{},a b ，{},a c ，{},b c ，共3种情况，设事件A ：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率()341155P A =-=. 【点睛】本题考查概率、众数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为23的菱形，60BAD ∠=o ，点E 是棱BC 的中点，DE AC O ⋂=，点P 在平面ABCD 的射影为O ，F 为棱PA 上一点．(1)求证：平面PED ⊥平面BCF ；(2)若BF//平面PDE ，PO=2，求四棱锥F-ABED 的体积．【答案】（1）见解析；（2）332【解析】（1）推导出BC ⊥PO ，BC ⊥DE ，从而BC ⊥平面PED ，由此能证明平面PED ⊥平面BCF ；（2）取AD 的中点G ，连结BG ，FG ，从而BG ∥DE ，进而BG ∥平面PDE ，平面BGF ∥平面PDE ，由此能求出四棱锥F ﹣ABED 的体积．【详解】证明：()1PO Q ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PO ∴⊥，依题意BCD V 是等边三角形，E 为棱BC 的中点，BC DE ∴⊥，又PO DE O ⋂=，PO ，DE ⊂平面PED ，BC ∴⊥平面PED ，BC Q ⊂平面BCF ，∴平面PED ⊥平面BCF ．解：(Ⅱ)取AD 的中点G ，连结BG ，FG ，Q 底面ABCD 是菱形，E 是棱BC 的中点，//BG DE ∴，BG Q ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，//BG ∴平面PDE ， //BF Q 平面PDE ，BF BG B ⋂=，∴平面//BGF 平面PDE ，又平面BGF ⋂平面PAD GF =，平面PDE ⋂平面PAD PD =，//GF PD ∴，F ∴为PA 的中点，31932323sin6022ABED S o Q 四边形=⨯⨯=，点F 到平面ABED 的距离为12POd ==， ∴四棱锥F ABED -的体积：119333133F ABED ABED V S d 四边形-=⋅⋅==．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）11(,)22-【解析】(1)由已知条件列出关于a b 、的二元一次方程组，求出a b 、的值，得到椭圆方程(2)由题意中点O 在以MN 为直径的圆外转化为MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>u u u u v u u u v，设出点M 、N 的坐标代入求出m 的取值范围【详解】（1）由已知得：(),0A a -，()0,B b ，结合已知有12b a ⎧=⎪=，可得24a =，21b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()224230my my +--=.故12224m y y m +=+，12234y y m -=+， ()()222212416480m m m ∆=++=+>.由题意得MON ∠为锐角0OM ON ⇔⋅>u u u u v u u u v，∴12120OM ON x x y y ⋅=+>u u u u v u u u v，又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212121211x x y y m y y m y y +=+-++()2222223214110444m m m m m m--+⋅-+=>+++ ∴214m <，解得1122m -<<. ∴m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在求解过程中将其转化为向量的夹角问题，运用向量知识求解，设而不求，解得m 的取值范围，属于中档题21．已知函数()()ln 1f x x a x =-+， a R ∈在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()212122x f x x k x -++>-成立，求k的取值范围.【答案】(1)增区间01)（，减区间(1,)+∞ (2) (,1).-∞ 【解析】试题分析：()1先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造新函数()()21ln 122x g x x x k x =-+---，求导，分类讨论k 的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得()f x 的定义域为()0,.+∞()1,f x a x ='-Q ()110,f a ∴=-=' 1.a ∴= ()111,xf x x x-∴=-=' ()001,f x x >'<<令得 ()01,f x x '令得()011+.f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（2）不等式()()212122x f x x k x -++>-可化为()21ln 122x x x k x -+->-，()()21ln 1,(1),22x g x x x k x x =-+--->令()()21111,x k x g x x k x x-+-+=-+-='令1,x >Q ()()211,h x x k x =-+-+令 ()1,2kh x x -=的对称轴为 111,2kk -≤≥-当时，即 ()01),h x x 易知在（，上单调递减 ()()11,h x h k ∴<=-()1,0,k h x ≥≤若则 ()0,g x ∴'≤ ()01),g x x ∴在（，上单调递减 ()()10g x g ∴<=，不适合题意.()-11,10,k h ≤若则 ()001)0,x x x g x ∴∈>'必存在使得（，时()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.111,2kk -><-当时，即 ()001),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()()110,h x h k ∴>=-> ()0,g x ∴'> ()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.综上，k 的取值范围是(),1.-∞点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线1C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C的直角方程为0x y -+=；（2）13()32，.【解析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程即可；（2）设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<，可得2OM ，2ON 的值，代入2211OMON+可得其取值范围.【详解】解：（1）由曲线1C的参数方程x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 1ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y += 又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-=故曲线2C的直角方程为0x y -=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OMρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ONααα+++=+= 由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON +的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.23．已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集；（2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m≥--【解析】（1）当2m=-时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x xxx x⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，分段解不等式即可．（2）f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝33,02343,2m xx m x⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当32x-<<时，得23m xx+≥+，当32x≤-时，得253m xx≥++，利用恒成立求最值，可得m的取值范围．【详解】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x xxx x⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得；当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝33,02343,2m xx m x⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当32x-<<时，得23m xx+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x ≤-时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令253y x x=++，，∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<--Q 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

衡中2019上三调理数答案

( ) ( )⋅ = ⎪3 ⎪ 5 ( )2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB11、12：CA二、填空题13.214. 3三、解答题15. 4 3316.42 2 17. 解：(1)∵ + +3 ，代入 = ⎛ cos 3A , sin 3A ⎫ ，= ⎛A A ⎫ ，有m n 2m n m 2 2 ⎪ n cos 2 , s in 2 ⎪ 1 + 1 + ⎛ 2 cos 3A cos A+ sin 3A sin A ⎫ = 3 ，2 2 2 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ∴ ⎛ cos 3A cos A + sin 3A sin A ⎫ = 1 ，即cos ⎛ 3A - A ⎫ = 1 ，∴ cos A = 1 ， A = 60° . 2 2 2 2 ⎪ 2 2 2 ⎪ 2 2⎝ ⎭ ⎝⎭(2)法一：∵ cos A = 1 ，∴ b 2- c 2 - a 21 = ①2 又∵ b + c = 3a ②2bc 2联立①②有， bc = b 2+ c 2- ⎛ b + c ⎫ ⎝ ⎭，即 2b 2 - 5bc - 2c 2 = 0 ，解得b = 2c 或c = 2b ，又∵ b - c = 3a ，若b = 2c ，则 a = 3c ， ∴ a 2 + c 2 =( 3c )2- c 2 = 4c 2 = b 2 ， △ABC 为直角三角形，同理，若 c = 2b ，则△ABC 也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点 P (4, 0) 且与 y = 2x - 8 垂直的直线 y = - 1x + 2 上，它又在线2 段OP 的中垂线 x = 2 上，所以求得圆心C (2,1) ，半径为 . 所以圆C 的方程为： ( x - 2)2+ ( y - 1)2= 5 .(2)假设存在两点 M , N 关于直线 y = kx - 1 对称，则 y = kx - 1 通过圆心C (2,1) ，求得 k = 1，所以设直线 MN 为 y = -x + b ，代入圆的方程得 2x 2 - (2b + 2 ) x + b 2 - 2b = 0 ，62设M (x1 , -x1 +b )，N (x2 , -x2 +b )，则OM ⋅ON = 2x1x2 -b x1 +x2 +b2 =b2 - 3b = 0 ，n nn n nn a 2 + b 2n n +1 = 2 (1 2 )n 2解得b = 0 或b = 3 ，这时∆ > 0 ，符合题意，所以存在直线 MN 为 y = -x 或 y = -x + 3 符合条件.19.解：(1)由 a 1 = 1 及2S= 2 pa 2+ pa- p (n ∈ N * ) ，得： 2 = 2 p + p - p ，∴ p = 1 .(2) 由 2S = 2a 2+ a -1 ①，得 2Sn +1 = 2a n +1 2 n +1 -1 ②由②－①，得 2a n +1 = 2 (a n +1 2 - a 2 ) + (a - a n )，即： 2 (a n +1 + a n )(a n +1 - a n ) - (a n +1 + a n ) = 0 ， ∴ (a n +1 + a n )(2a n +1 - 2a n - 1) = 0 ，由于数列{a } 各项均为正数，∴2a - 2a = 1 ，即 a - a = 1， n n +1 nn +1 n 2∴数列{a } 是首项为 1，公差为 1的等差数列，n∴数列{a } 的通项公式是 a 2 = 1 + (n - 1)⨯ 1 =n +1. n n2 2(3) 由 a = n + 1，得： S n (n + 3) ，∴ b = 4S n ⋅ 2n = n ⋅ 2n ， n 2 n 4n n + 3∴ T n = 1⨯ 2 + 2 ⨯ 2 + 3⨯ 2 + …+ n ⋅ 2 2 3 n2T n -T n= 1⨯ 22 + 2 ⨯ 23 + … + (n -1)⨯ 2 n + n ⨯ 2 n +1 ，- n= 2 + 22 + 23 + …+ 2n - n ⋅ 2n +1=- n ⨯ 2n +1 = - (n - 1 )⋅ 2n +1 - 21 - 2T = (n - 1) ⋅ 2n +1 + 2 .20.解：(1)因为 c = a 3， a 2 - b 2 = c 2 ，所以 a = 2b ，2因为原点到直线 AB : x - y = 1 的距离 d = a b ab = 4 5，解得 a = 4 ， b = 2 ，5故所求椭圆C 的方程为 x y 2 + = 1 .⎧ y = kx + 1 ⎪ 16 42 2(2)由题意⎨ x 2 ⎪⎩16 y = 1 4消去 y ，整理得(1 + 4k ) x + 8kx -12 = 0 ，可知∆ > 0 ， + a 2+1 + k2 x 2设 E (x , y ) ， F ( x , y ) ， EF 的中点是 M ( x , y ) ，则 x=x 2 + x 3 = -4k ，2233MMM2 1 + 4k 2y M = kx M + 1 =1 ，1 + 4k2 所以 k BM = y M + 2 = - 1，所以 x x M kM + ky M + 2k = 0 ，即 -4k 1 + 4k 2 + k 1 + 4k 2 + 2k = 0 ，又因为 k ≠ 0 ，所以 k 2 = 1 ，所以 k = ± 2.8 4 21.解：(1)设点 M 到直线l 的距离为 d ，依题意 M 2 = d ，设 M ( x , y ) ，则有= y + 1 ，化简得 x 2 = 4 y .所以点 M 的轨迹C 的方程为 x 2 = 4 y .(2) 设l : y = kx + 1 ，代入 x 2 = 4 y 中，得 x 2- 4kx - 4 = 0 ，设 A (x , y ) ， B ( x , y ) ， AB1 122x 2 则 x + x = 4k ，x ⋅ x = -4 ，所以 AB x - x = 4 (k 2+ 1) ，因为C : x 2= 4 y ，即 y = ， 1 2 1 2 1 24所以 y = x，所以直线l 的斜率为 k = x 1 ，直线l 的斜率为 k = x 2 ，因为 k k = x 1 x 2 = -1，2 1 1 2 2 2 2 1 24所以 PA ⊥ PB ，即△PAB 为直角三角形.所以△PAB 的外接圆的圆心为线段 AB 中点，线段 AB 是直径，因为 AB = 4 (k 2 + 1) ，所以当 k = 0 时线段 AB 最短，最短长度为 4，此时圆的面积最小，最小面积为 4π. 22.解：(1)依题意，知 f ( x ) 的定义域为(0, +∞) ，当 a = b = 1 时， f ( x ) = ln x - 1 x 2 - 1x ，2 4 21 1 1 -( x + 2)(x - 1) f '( x ) = - x x - = ，2 2 2x 令 f '( x ) = 0 ，解得 x = 1 .(∵ x > 0 )因为 g ( x ) = 0 有唯一解，所以 g ( x 2 ) = 0 ，当0 < x < 1时， f '( x ) > 0 ，此时 f ( x ) 单调递增；当 x > 1 时， f '( x ) < 0 ，此时 f ( x ) 单调递减，所以 f ( x ) 的极大值为 f (1) = - 3，此即为最大值.4(2) F ( x ) = ln x + a， x ∈(0, 3] ，则有 k = F '(x ) = x 0 - a ≤ 1 ，在 x ∈(0, 3] 上恒成立，x 所以 a ≥ ⎛ - 1 x 2 + x ⎫， x ∈(0, 3] .0 20 0 2 0 0 ⎪ 0 ⎝ ⎭max当 x = 1 时， - 1 x 2 + x 取得最大值 1 ，所以 a ≥ 1.2 0 0 2 2x 2 + ( y - 1)2( ) ( )m(3) 因为方程 2mf (x ) = x 2有唯一实数解，所以 x 2 - 2m ln x - 2mx = 0 有唯一实数解，设 g ( x ) = x 2 - 2m ln x - 2mx ，2x 2 - 2mx - 2m则 g ' x = ，令 g ' x = 0 ，x 2 x- mx - m = 0 ，因为 m > 0 ， x > 0 ，所以 x 1 0 (舍去)， x 2 = 2，当 x ∈(0, x 2 ) 时， g '( x ) < 0 ， g ( x ) 在(0, x 2 ) 上单调递减；当 x ∈( x 2 , +∞) 时， g '( x ) > 0 ， g ( x ) 在( x 2 , +∞) 上单调递增；当 x = x 2 时， g '( x 2 ) = 0 ， g ( x ) 取最小值 g ( x 2 ) .⎧⎪g ( x 2 ) = 0 ⎧⎪x 2- 2m ln x - 2mx = 0 则⎨ ，即⎨ 2 2 2， ⎪g '( x ) = 0 ⎪x - mx - m = 0⎩ 2 ⎩ 2 2所以 2m ln x 2 + mx 2 - m = 0 ，因为 m > 0 ，所以 2 ln x 2 + x 2 -1 = 0 (*) 设函数 h ( x ) = 2 ln x + x - 1 ，因为当 x > 0 时， h ( x ) 是增函数，所以 h ( x ) = 0 至多有一解，因为 h (1) = 0 ，所以方程(*)的解为 x 2 = 1 ，即2= 1，解得 m = 1 .2 m。

河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文数试题 Word版含解析

河北省衡水中学2019届高三上学期调研考试文科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数32i z i i-=-+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B考点：1.复数的运算；2.复数相关的概念.2. 设 A B ，是全集{}1 2 3 4I =，，，的子集，{}1 2A ＝，，则满足A B ⊆的B 的个数是（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【答案】B【解析】试题分析：满足条件的集合B 可以是{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4，所以满足A B ⊆的B 的个数是4，故选B. 考点：集合的表示及集合间的关系.3. 抛物线23y x =的焦点坐标是（）A ．3 04⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．30 4⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1 012⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】试题分析：抛物线23y x =的标准方程为213x y =，所以其焦点坐标为10 12⎛⎫ ⎪⎝⎭，，故选C. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.4. 设向量()()1 2 1m =-=a b ，，，，若向量2+a b 与2-a b 平行，则m =（）A ．72-B ．12- C.32 D ．52【答案】B【解析】试题分析：2(12,4),2(2,3)a b m a b m +=-+-=--,因为向量2+a b 与2-a b 平行，所以(12)34(2)m m -+⨯=⨯--，解之得12m =-，故选B. 考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.5. 圆221x y +=与直线3y kx =-有公共点的充分不必要条件是（）A ．k ≤-k ≥．k ≤- C.2k ≥ D ．k ≤-2k >【答案】B考点：1.直线与圆的位置关系；2.充分条件与必要条件.6. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33a =，且201620170a a +=，则101S 等于（）A ．3B ．303 C.3- D ．303-【答案】A【解析】试题分析：由201620172016(1)0a a a q +=+=得1q =-，所以10113S a ==，故选A. 考点：等比数列的性质与求和.7. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（）A ．18-B ．18 C.116 D ．132 【答案】A。

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学(文)试卷(含答案)

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M在双曲线上，∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a，b的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，sinθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B.【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，所以月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．②平面，∴不可能存在点，使得，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于设正方体的棱长为1，∵无论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出a n=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{b n}是等比数列，，，由此求出．（2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n＝，①，②①-②，得即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出. 【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，，又，平面，又平面，.（2）设，连接.由（1）得平面，是直线与平面所成的角.设，则，，，在中，，直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型.20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛.（1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（1）；（2）的值为或．【解析】【分析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1) ，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，若，则，若，则所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学(文)试卷+Word版含解析

河北省衡水中学2019届高三上学期五调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合B对应不等式的解集，然后求其与集合A的交集即可.【详解】因为,又，所以.故选A.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题型.2.满足（是虚数单位）的复数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将原式子变形为，再由复数的除法运算得到结果.【详解】∵，∴，即，故选A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，复数的常考内容有：z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)；复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．涉及到共轭复数的概念，一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，求出a1，即可求出a2详解：：∵等差数列{a n}的公差为2，a1，a3，a4成等比数列，∴（a1+4）2=a1（a1+6），∴a1=-8，∴a2=-6．故选D.点睛：本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．4.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A. 月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B. 月跑步平均里程逐月增加C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D. 1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳【答案】D【解析】由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数；月跑步平均里程不是逐月增加的；月跑步平均里程高峰期大致在9，l0月份，故A，B，C错.本题选择D选项.5.在直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，其终边上的一点P的坐标为（其中），则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得，再由余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意，可知角中终边上一点的坐标为且，则，所以，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中根据三角函数的定义，求得的值，再由余弦的倍角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作OA⊥于点A，于点B，可得，，，结合双曲线定义可得从而得到双曲线的渐近线方程.【详解】如图，作OA⊥于点A，于点B，∵与圆相切，∴，，又点M 在双曲线上， ∴整理，得，∴∴双曲线的渐近线方程为故选：A【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，解题关键建立关于a ，b 的方程，充分利用平面几何性质，属于中档题.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果. 【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.如图，已知三棱柱的各条棱长都相等，且底面，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM所成的角，在△A2BM中，．故选：A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．9.在等腰直角三角形中，，点为所在平面上一动点，且满足,求的取值范围A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，用参数方程表示点P的坐标，从而求出的取值范围．【详解】根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示则A（0，2），B（2，0），C（0，0），由||=1知，点P在以B为圆心，半径为1的圆上，设P（2+cosθ，si nθ），θ∈[0，2π）；则=（cosθ，sinθ），又+=（2，2）；∴•（+）=2cosθ+2sinθ=2sin（θ+），当θ+=，即θ=时，•（+）取得最大值2，当θ+=，即θ=时，•（+）取得最小值﹣2，∴•（+）的取值范围是[﹣2，2]．故选：D．【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，是中档题．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.10.如图，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面，若四面体的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设BC的中点是E，连接DE，由四面体A′BCD的特征可知，DE即为球体的半径.【详解】设BC的中点是E，连接DE，A′E，因为AB＝AD＝1，BD＝由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形所以DE为球体的半径故选A【点睛】求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.11.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与圆交于两点.若，则直线的斜率为A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得圆心即为抛物线的焦点，故直线过圆心，于是为圆的直径，所以．设直线，将其代入抛物线方程消去x得到关于y的一元二次方程，然后根据弦长公式可得，于是得到．【详解】由题设可得圆的方程为，故圆心为，为抛物线的焦点，所以所以．设直线,代入得，设直线l与抛物线C的交点坐标为，则，则，所以，解得．故选C．【点睛】（1）本题考查直线和抛物线的位置关系、圆的方程、弦长的计算，意在考查分析推理和计算能力．(2) 弦长公式对有斜率的直线才能使用，此时公式为，其中表示直线的斜率，是直线和椭圆的方程组消去化简后中的系数，是的判别式．对于斜率不存在的直线，则弦长为．12.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将函数恰有2个零点转化为两函数与有两不同交点，作出函数图像即可求出结果.【详解】由题意函数恰有2个零点，即是方程有两不等实根，即是两函数与有两不同交点，作出函数图像如下图，易得当时，有两交点，即函数恰有2个零点.故选B. 【点睛】本题主要考查数形结合思想处理函数零点问题，只需将函数有零点转化为两函数有交点的问题来处理，作出函数图像，即可求出结果，属于中档试题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）.为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出____________________人．【答案】25【解析】【分析】利用频率分布直方图的纵坐标是频率除以组距，所以频率等于纵坐标乘以组距，求出段的频率，结合样本容量即可求出结果.【详解】由题意，月收入在（元）段的频率为，所以月收入在（元）段应抽出的人数是.【点睛】本题主要考查分层抽样，属于基础题型.14.中，角，，的对边分别为，，，，，，则的面积等于__________．【答案】【解析】【分析】先由正弦定理得a=b，然后由余弦定理求得a、b，在用面积公式求得的面积.【详解】化解得：即：A=B又解得：a=b=【点睛】本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化.15.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数的定义域为，恒成立,即等价于，令，则，令，则在上恒成立，∴在上单调递增，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，则，故，故答案为.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解；在该题中最大的难点是运用二次求导来求函数的最小值.16.如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_____.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】②④【解析】①为棱上的中点时，此时也为棱上的中点，此时；满足//平面，∴①正确．②平面，∴不可能存在点，使得，∴②错误．③连结则平面，而平面，∴平面平面，成立，∴③正确．④四棱锥B1-BED1F的体积等于设正方体的棱长为1，∵无论在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变．三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变．∴三棱锥和三棱锥体积为定值，即四棱锥的体积等于为定值，∴④正确．故答案为：①③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数的最小正周期为．求的值；中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，面积，求b．【答案】(1)(2)3【解析】【分析】（1）化简，根据函数的最小正周期即可求出的值2）由（1）知，.由，求得，再根据的面积，解得，最后由余弦定理可求出.【详解】（1）故函数的最小正周期，解得.（2）由（1）知，.由，得（）.所以（）.又，所以.的面积，解得.由余弦定理可得，所以.【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．18.等差数列的公差大于0，且是方程的两根，数列的前项的和为，且．（1）求数列，的通项公式；（2）记,求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件得a3=5，a5=9，由此求出a n=a5+（n-5）d=2n-1；由，推导出{b n}是等比数列，，，由此求出．（2）由（1）知，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n【详解】（1）∵是方程的两根，且数列的公差，∴，公差∴又当时，有1－当∴数列是等比数列，∴（2）由（1）知∴T n＝，①，②①-②，得即【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19.如图，三棱柱中，平面，，.（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正切值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)先证平面,可得，再由四边形为正方形可得，从而可得平面，进而可得；(2)由平面可得是直线与平面所成的角，利用勾股定理求出OA,OB,即可得出.【详解】证明（1）平面，平面，又，即，，平面，平面，.，四边形为正方形，，又，平面，又平面，.（2）设，连接.由（1）得平面，是直线与平面所成的角.设，则，，，在中，，直线与平面所成角的正切值为.【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，以及直线与平面所成的角，属于中档题型. 20.为提高衡水市的整体旅游服务质量，市旅游局举办了旅游知识竞赛，参赛单位为本市内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游3名，其中高级导游2名；乙旅游协会的导游3名，其中高级导游1名.从这6名导游中随机选择2人参加比赛. （1）求选出的2名都是高级导游的概率；（2）为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献范围是（单位：万元），求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)用列举法求出基本事件数，即可计算所求的概率值；(2)根据题意知，所求概率为几何概型问题，由几何概型计算公式即可求出结果.【详解】（1）设来自甲旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，来自乙旅游协会的3名导游为，其中为高级导游，从这6名导游中随机选择2人参加比赛，有下列基本情况：，，，，；；；；共15种，其中选出的2名都是高级导游的有，，，共3种所以选出的2人都是高级导游的概率为.（2）依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），乙旅游协会对本地经济收入的贡献为（单位：万元），则且，则，属于几何概型问题作图，由图可知，，所求概率为.【点睛】本题主要考查古典概型和几何概型，属于常规题型.21.已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆上一点到其两焦点，的距离之和为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线：（）与椭圆交于不同两点，，且，若点满足，求的值．【答案】（1）；（2）的值为或．【解析】【分析】（1）由已知求得，又由，由此能求出椭圆的方程；（2）由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、中垂线的性质，结合已知，即可求出的值．【详解】（1）由已知，得，又，∴，∴椭圆的方程为．（2）由得①∵直线与椭圆交于不同两点、，∴，得，设，，∴．又由，得，解得．据题意知，点为线段的中垂线与直线的交点，设的中点为，则，，当时，，此时，线段的中垂线方程为，即．令，得．当时，，∴此时，线段中垂线方程为，即．令，得．综上所述，的值为或．【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．22.已知函数，其中．(1)试讨论函数的单调性；(2)若，且函数有两个零点，求实数的最小值．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】⑴求出，分别讨论的范围，求出单调性⑵等价于有两个零点，结合⑴中的结果求导后判定函数的单调性，研究零点问题【详解】(1) ，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，若，则，若，则所以函数在上单调递减，在上单调递增；综上可知，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；(2) 函数有两个零点等价于有两个零点.由(1)可知，当时，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意。

衡水中学2019上学期三调文数答案

衡水中学 2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学(文)答案一、选择题1-5:DCCAA6-10:CBCAB11、12：CC二、填空题⎡ - 3 ⎤13. 2 14. 15. 2n- 116. ⎢-2e 2, 3e ⎥⎣ ⎦三、解答题17. 解：(1)设等差数列{a n } 的公差为 d ，由 S 9 = 81，得9a 5 = 81 ，则有 a = 9 ，所以 d = a 5 - a 1 = 9 -1= 2 ，故 a = 1 + 2 (n - 1) = 2n - 1 (n ∈ N * ) .5 5 -1 4 n(2)由(1)知， S = 1 + 3 + 5 + …+ (2n - 1) = n 2 ，则 1 = 1 = 1 - 1， S n + n n (n + 1) n n + 1所以 1 + 1+ … + 1= ⎛1- 1 ⎫+ ⎛1 - 1 ⎫+ …+ ⎛ 1- 1 ⎫S + 1 S + 2 S + 2017 2 ⎪ 2 3 ⎪ 2017 2018 ⎪1 2 2017⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= 1 -1= 2017 . 2018 201818.解：(1)由 2c - 2a cos B = b 及正弦定理可得：2sin C - 2sin A cos B = sin B∵ sin C = sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B ， ∴ cos A sin B =sin B ，2∵ sin B ≠ 0 ， ∴ cos A = 1 ，2又因为 0 < A < π，∴ A = π .3(2)∵ c 2 + ab cos C + a 2 = 4 ①，314 n( ) 3 10 10 a 2 + b 2 - c 22 2 2又由余弦定理得 ab cos C =，代入①式得b + c 2由余弦定理得 a 2 = b 2 + c 2 - 2b cos A = b 2 + c 2 - bc .= 8 - 3a ，∵ S= 1 bc sin A = 3 ，∴ bc = 1 ，∴ a 2 = 8 - 3a 2 - 1 ，得 a = 7. △ ABC 2 4 219.解：(1)证明：由 a n +1 = a n a + 3 (n ∈ N *) ，得 1 a n +1 = a n + 3 = 3 a n a n n+ 1 ， ∴ 1 + 1 = 3⎛ 1 + 1 ⎫ ， a 2 a 2 ⎪n +1⎝ n ⎭⎧ 1 1 ⎫ ⎛1 1 ⎫ 3 所以数列 + 是以 3 为公比，以 + = 为首项的等比数列， ⎨ a 2 ⎬ a 2 ⎪ 2 ⎩ n ⎭ ⎝ 1 ⎭ 从而 1 + 1 = 3 ⨯ 3n -1 ⇒ a = 2 ； n na n 2 2 3 -1(2) b n = n ， 2n -1 T = 1⨯ 1 + 2 ⨯ 1 + 3⨯ 1 + …+ (n - 1)⨯ 1 + n ⨯ 1n20 21 222 n -2 2 n -1 T n = 1⨯ 1 + 2 ⨯ 1+ …+ (n - 1)⨯ 1 + n ⨯ 1 ，两式相减得 2 21 222 n -1 2 n T n = 1 + 1 + 1+ … + 1 - n ⨯ 1 = 2-n +2 ， 2 20 21 222 n -1 2 n 2 n ∴ T n= 4 - n + 2 . 2n -1 ∴ (-1)nλ< 4 -2 ，2n -1若 n 为偶数，则λ< 4 -22n -1，∴ λ< 3 ，若 n 为奇数，则-λ< 4 -∴ -2 < λ< 3 .22n -1，∴ -λ2 ，∴ λ- 2 ，2S 120.解：∵ BA ⋅ AC + = 0 ，得3bc cos A = 2 ⨯ 3 bc sin A ，得sin A = 3cos A ，2即sin 2 A = 9 cos 2 A = 9 1 - sin 2A ，所以sin 2 A = 9 ， 10又 A ∈⎛ 0, 3π⎫ ，∴ sin A > 0 ，故sin A = ， cos A = ，4 ⎪ 10 10 ⎝ ⎭10 cos B = -cos ( A + C ) = -cos A cos C + sin A sin C = - 10 ⨯ 2 + 3 10 ⨯ 2 = 10 ⨯ 2 = 5 .(2) S = 24 ，所以bc sin A = 48 ，得bc = 16 10 2 10 2 5 2 5①，由(1)得cos B =5 ，所以sin B =2 5 .55 在△ABC 中，由正弦定理，得 b=c ，即 b = c②，sin B sin C 2 5 25 2联立①②，解得b = 8 ， c = 2 ，则 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A = 72 ，所以 a = 6 2 .21.(1)函数定义域为(0, +∞) ，且 f '( x ) = m - 1 + 4 - 2m = (2x -1) ⎡⎣(2 - m ) x + 1⎤⎦ ，令 f '(x ) = 0 ，得 x = 1 ， x = - 1 x x 2 x 2 ， 1 2 22 - m当 m = 4 时， f '( x ) ≤ 0 ，函数 f ( x ) 在定义域(0, +∞) 单调递减；当 m > 4 时，由 f '(x ) > 0 ，得- 1 2 - m < x < 1 ；由 f '( x ) < 0 ，得0 < x < - 2 1 2 - m或 x > 1 ， 2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为⎛ - 1 , 1 ⎫ ，递减区间为⎛0, -1 ⎫ ， ⎛ 1 , +∞⎫ .2 - m 2 ⎪ 2 - m ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭综上所述，当 m = 4 时， f ( x ) 在定义域(0, +∞) 单调递减；当 m > 4 时，函数 f ( x ) 的单调递增区间为⎛ - 1 , 1 ⎫ ，递减区间为⎛0, -1 ⎫ ，⎛ 1 , +∞⎫ .2 - m 2 ⎪ 2 - m ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭(2)由(1)知当 m ∈(4, 6) 时，函数 f ( x ) 在区间[1, 3] 单调递减，所以当 x ∈[1, 3] 时，f ( x ) max = f (1) = 5 - 2m ， f ( x )min= f (3) = m ln 3 + 1+ 12 - 6m . 3问题等价于：对任意的 m ∈(4, 6) ，恒有(a + ln 3)(2 - m ) - 2 l n 3 > 5 - 2m - m ln 3 - 1- 12 + 6m 成3立，即(2 - m ) a > 2- 4 (2 - m ) .3因为 m > 2 ，则 a < 2 ⎛ 2 ⎫ - 4 ，∴ a < - 4 ，3(2 - m )3(2 - m ) ⎪设 m ∈[4, 6) ，则当 m = 4 时，2 3(2 - m )⎝ ⎭min- 4 取得最小值- 13 ，3 所以，实数 a 的取值范围是⎛-∞, - 13⎤ .3 ⎥ ⎝ ⎦22.解：(1)当 k = 2 时， f ( x ) = 2e x - x 2 ，则 f '( x ) = 2e x - 2x ，令 h ( x ) = 2e x - 2x ，1011h '( x ) = 2e x - 2 ，由于 x ∈(0, +∞) ，故 h '( x ) = 2e x - 2 > 0 ，于是 h ( x ) = 2e x - 2x 在(0, +∞) 为增函数，所以 h ( x ) = 2e x - 2x > h (0 ) = 2 > 0 ，即 f '( x ) = 2e x - 2x > 0 在(0, +∞) 恒成立，从而 f ( x ) = 2e x - x 2 在(0, +∞) 为增函数，故 f ( x ) = 2e x - x 2 > f (0 ) = 2 .(2)函数 f ( x ) 有两个极值点 x ，x ，则 x , x 是 f '( x ) = ke x - 2x = 0 的两个根，即方程 k =2x121 2ex有两个根，设ϕ( x ) = 2x ，则ϕ'( x ) = 2 - 2x ，e x e x当 x < 0 时，ϕ'( x ) > 0 ，函数ϕ( x ) 单调递增且ϕ( x ) < 0 ；当0 < x < 1时，ϕ'( x ) > 0 ，函数ϕ( x )单调递增且ϕ( x ) > 0 ；当 x > 1 时，ϕ'( x ) < 0 ，函数ϕ( x ) 单调递增且ϕ( x ) > 0 ；要使方程 k = 2xe x有两个根，只需 0 < k < ϕ(1) = 2，如图所示：e故实数 k 的取值范围是⎛ 0, 2 ⎫，又由上可知函数 f ( x ) 的两个极值点 x ，x 满足0 < x< 1 < x ，e ⎪ 1 2 1 2 ⎝ ⎭由f '( x ) = ke x 1- 2x = 0 得k = 2x 1 ，1 1e x1∴ f ( x ) = ke x - x 2 =2x 1 e x - x 2 = -x 2 + 2x = - (x - 1)2+ 1 ，由于 x ∈(0,1) ，11 e x11 1 1 1 1故0 < -( x -1)2+ 1 < 1 ，所以0 < f ( x ) < 1 .11。

2019届河北省衡水中学高三上学期三调考试数学(文)试卷(解析版)

河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，根据指数函数的性质求出的值域B，取交集即可．【详解】，，则，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的运算，考查解不等式问题，指数函数的性质，准确求出集合A，B是解题的关键，属于基础题．2.已知复数满足：(其中为虚数单位)，复数的虚部等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出，由此能求出复数的虚部．【详解】∵复数满足：(其中为虚数单位)，∴．∴复数的虚部等于，故选C.【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．3.命题若为第一象限角，则；命题：函数有两个零点，则( )A. 为真命题B. 为真命题C. 为真命题D. 为真命题【解析】【分析】根据三角函数的性质，对于命题可以举出反例，可得其为假，对于命题，根据零点存在定理可得其至少有三个零点，即为假，结合复合命题的真假性可得结果.【详解】对于命题，当取第一象限角时，显然不成立，故为假命题，对于命题∵，，∴函数在上有一个零点，又∵，∴函数至少有三个零点，故为假，由复合命题的真值表可得为真命题，故选C.【点睛】本题主要借助考查复合命题的真假，考查三角函数的性质，零点存在定理的应用，属于中档题．若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，作出判断即可．4.正项等比数列中的，是函数的极值点，则( )A. 1B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】对函数求导，由于，是函数的极值点，可得，，即可得出结果．【详解】，∴，∵，是函数的极值点，∴，又，∴．∴，故选A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值、一元二次方程的根与系数、等比数列的性质、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5.已知是正方形的中心，若，其中，，则( )A. B. C. D.【解析】【分析】根据平面向量加减运算的三角形法则以及平面向量基本定理求出，，即可得出答案．【详解】∵，∴，，∴，故选A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．平面向量基本定理补充说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行，（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．6.在中，角所对的边分别为，且.若，则的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】结合，利用余弦定理可得，可得，由，利正弦定理可得，代入，可得，进而可得结论.【详解】在中，∵，∴，∵，∴，∵，∴，代入，∴，解得．∴的形状是等边三角形，故选C．【点睛】本题考查了正弦定理余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点的纵坐标易得，求出，根据三角形的面积公式得到，结合范围得出，将所求等式利用三角恒等式可化简将代入即可得结果.【详解】角、角的终边分别交单位圆于、两点，∵点的纵坐标为，∴，，∵，∴，，又∵，∴，∴，即∴，故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握公式是解本题的关键．8.已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足、、成等差数列，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】公比不为1的等比数列的前项和为，运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质，解方程可得公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值.【详解】公比不为1的等比数列的前项和为，、、成等差数列，可得，即为，即，解得（1舍去），则，故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.9.已知函数，若函数与图象的交点为，，…，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数的解析式可得，求出的对称轴为，根据两图象的对称关系分为为奇数和偶数即可得出答案．【详解】∵，∴∴的图象关于直线对称，又的图象关于直线对称，当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，∴，当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴，故选A．【点睛】本题函数考查了函数的图象对称关系，分类讨论的思想，解题的关键是根据函数的性质得到，属于中档题．10.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知求得，再由已知得函数的最小正周期为，求得，结合对任意恒成立列关于的不等式组求解．【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．∴，当时，，∵，，∴，解得，∴的取值范围是，故选：B．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换与性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，是中档题．11.已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件转化为：不等式恒成立，分离参数，然后构造函数利用导数，求解函数的最值即可．【详解】函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，化为：，即，；令，（），．令，，函数在单调递增，，∴时，，，函数单调减函数，时，，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值以及恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题.考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.12.已知函数满足，且存在实数使得不等式成立，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别求出，，求出的表达式，求出的导数，得到函数的单调区间，求出的最小值，问题转化为只需即可，求出的范围即可．【详解】∵，∴，∴，解得，，解得，∴，∴，∴在递增，而，∴在恒成立，在恒成立，∴在递减，在递增，∴，若存在实数使得不等式成立，只需即可，解得：，故选D．【点睛】本题考查了求函数的表达式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，转化思想，属于中档题．由，得函数单调递增，得函数单调递减；注意区分“恒成立问题”与“能成立问题”之间的区别与联系.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与的夹角为，，，则等于____________.【答案】【解析】【分析】运用向量的数量积的定义，可得，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【详解】由向量与的夹角为，，|，可得，，则，故答案为.【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的模的平方即为向量的平方，考查运算求解的能力，属于基础题.14.在中，分别是内角的对边且为锐角，若，，，则的值为_____________.【答案】【解析】【分析】由已知及正弦定理可得，利用三角形面积公式可得，联立①②可得，，利用同角三角函数基本关系式可求，由余弦定理可得的值.【详解】∵，∴，可得：，①∵，，∴，②∴联立①②可得，，∵，且为锐角，∴，∴由余弦定理可得：，解得：，故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题.15.已知数列的前项和为，且满足：，，，则__________.【答案】【解析】【分析】，则，化为：，由，，可得，可得数列是等比数列，首项为2，公比为2，即可得出．【详解】，则，化为：．由，，可得，因此对都成立．∴数列是等比数列，首项为2，公比为2．∴，即，故答案为.【点睛】本题考查了等比数列的定义、通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.16.已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】求出函数关于直线的对称函数，令与的图象有交点得出的范围即可．【详解】关于直线对称的直线为，∴直线与在上有交点，作出与的函数图象，如图所示：若直线经过点，则，若直线与相切，设切点为，则，解得．∴，故答案为.【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的前项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)求的值.【答案】（1）.；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；（2）根据数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【详解】(1)设等差数列的公差为，由，得，则有，所以，故.(2)由(1)知，，则，所以.【点睛】本题主要考查了等差数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.18.在中, 内角,,的对边分别为,, ,且.（1）求角的大小；（2）若的面积为,且,求.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理、三角形内角和定理以及两角和的正弦函数公式化简已知条件式，由此求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据条件等式结合余弦定理得到的关系式，然后根据三角形面积公式求得的值，从而求得的值．试题解析：（1）由及正弦定理可得,,,又因为.（2）①,又由余弦定理得,代入①式得,由余弦定理．,得.考点：1、正弦定理与余弦定理；2、两角和的正弦函数公式；3、三角形面积公式．19.已知数列中，，.(1)求的通项公式；(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件推导出，从而得到，由此能求出结果；（2）由，利用裂项求和法求出，从而得到为单调递增数列，由此利用分类讨论思想能求出的取值范围．【详解】(1)证明：由，得，∴，所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，从而；(2)，.，两式相减得，∴.∴，若为偶数，则，∴，若为奇数，则，∴，∴，∴.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法和分类讨论思想的合理运用．20.已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.(1)求的值；(2)若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）首先利用向量的数量积和三角形的面积公式求出结果，，进一步建立等量关系求出结果；（2）利用三角形的面积公式和正弦定理建立方程组，进一步求出结果．【详解】∵，得，得，即，所以，又，∴，故，，.(2)，所以，得①，由(1)得，所以.在中，由正弦定理，得，即②，联立①②，解得，，则，所以.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，向量数量积的应用，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用，方程组的解法，属于基础题型．21.已知函数.(1)当时，求函数的单调区间；(2)设，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分为和两种情形，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于对任意的，恒有成立，即，根据，分离，从而求出的范围即可．【详解】(1)函数定义域为，且，令，得，，当时，，函数在定义域单调递减；当时，由，得；由，得或，所以函数的单调递增区间为，递减区间为，.综上所述，当时，在定义域单调递减；当时，函数的单调递增区间为，递减区间为，.(2)由(1)知当时，函数在区间单调递减，所以当时，，.问题等价于：对任意的，恒有成立，即.因为，则，∴，设，则当时，取得最小值，所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．22.已知函数(其中，是自然对数的底数).(1)若，当时，试比较与2的大小；(2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而比较大小即可；（2）问题转化为方程有两个根，设，根据函数的单调性，结合函数图象证明即可．【详解】(1)当时，，则，令，，由于，故，于是在为增函数，所以，即在恒成立，从而在为增函数，故.(2)函数有两个极值点，，则是的两个根，即方程有两个根，设，则，当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；当时，，函数单调递增且；要使方程有两个根，只需，如图所示：故实数的取值范围是，又由上可知函数的两个极值点，满足，由得，∴，由于，故，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属于难题，通过对导函数进行求导，判断导函数的单调性，得到其与0的关系是解题的关键.。