北京市延庆区2021届高三数学上学期9月统测考试试题 [含答案]
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2021年高一上学期9月月考数学试题含答案
2021年高一上学期9月月考数学试题含答案 一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列四个集合中，空集是（ ）A ．{x ∈R|x 2＋2=0}B ．{0}C ．{x|x ＞8或x ＜4}D ．{∅}2．已知集合A ＝{x|－1≤x<1}，B ＝{－1，0，1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{－1，0} C ．{0} D ．{－1，1}3．设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则C U (M ∩N) = （ ）A ．{1，2}B ．{2，3}C ．{2，4}D ．{1，4}4．下列函数中，在区间(0， 1)上是增函数的是（ ）A ．y=｜x ｜B ．y=3－xC ． y=D ．y=－x 2+4 5．定义在R 上的偶函数f(x)在上的偶函数，则f(x)的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．与a ，b 有关，不能确定7．设全集U=R ，集合A={x | |x|≤2}，B={x|＞0}，则(C U A)∩B=（ ）A ．B ．(2，+∞)C ．(1，2]D ．(－∞，－2)8．函数y=－x 的图象只可能是（ ）9．若函数f(x)= 是奇函数，则实数a 的值是（ ）A ．－10B ．10C ．－5D ．5 10． 已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f(2)=1，则f(－2)=（ ）x 2 －5x ， x ≥0，－x 2＋ax ， x ＜0A．－1 B．1 C．－5 D．5第II卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知全集U={1，2，3，4， 5}，集合A={1， 3， 5}，B=={3， 4， 5} 则集合C U(A∪B) = ．12．已知集合A={1，2，3， 4}，集合B＝{x|x≤a， a∈R}，若A∪B=(－∞，5]，则a的值是．13．已知f(x－1)=x2＋2，则f(3)= ．14．设A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7}，则满足S⊆A且S∩B=∅的集合S的个数是．15．函数f(x)=的定义域是．三、解答题（16至19题每题12分，20题13分，21题14分）16．设U={x∈Z|0<x≤10}，A={1，2，4，5，9}，B={4，6，7，8，10}，求A∩B，A∪B，(C U A)∩(C U B)．17．设集合A={x∈R|2x－8=0}，B={x∈R|x2－2(m+1)x+m2=0}，（1）若m=4，求A∪B;（2）若B ⊆A，求实数m的取值范围．18．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x(2－x)．（1）在给定的图示中画出函数f(x)的图象（不需列表）；（2）求函数f(x)的解析式；（3）讨论方程f (x)－k=0的根的情况。
2021年高三暑假自主学习测试(9月)数学试题含答案
2021年高三暑假自主学习测试（9月）数学试题含答案数学 xx.09正题注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效．3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差，其中．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡．．．相应位置．．．．上．1．已知集合，，则___▲___.2．设R，向量且，则x= ___▲___．3．设复数z满足（i为虚数单位），则=___▲___.4．若，则的最小值为▲．5．样本数据18，16，15，16，20的方差＝___▲___.6．已知双曲线的离心率为2，则m的值为 ___▲___．7．根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为___▲___.8．已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为9．已知实数x，y满足不等式组0,0,26,312xyx yx y⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤，则的最大值是▲．10．已知函数，则满足的x的取值范围是___▲___．E FA B CD PFED1C1B1BCDA1A11．如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为3：2，则三棱锥和的体积比= ___▲___.12．已知P是直线l：上一动点，PA，PB是圆C：的两条切线，切点分别为A，B．若四边形PACB的最小面积为2，则k= ▲．13．已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是▲．14．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为___▲___.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题卡的指定区域内．15．（本小题满分14分）已知向量，，，其中为的内角．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若，且，求的长．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）设数列的前n项和为，对任意满足，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前2n项和．18．（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将与接通．已知AB =60m ，BC =80m ，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于的角为． （Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．19．（本小题满分16分）已知椭圆的长轴两端点分别为A ，B ，是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若k ＝1，且P 为椭圆上顶点时，的面积为12，点O 到直线PD 的距离为，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若k ＝2，试证明：AE ，EF ，FB 成等比数列．图（1）l 2l 1BAC图（2）20．（本小题满分16分）对于函数，若在定义域内存在实数x ，满足，则称为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学 xx.09附加题注意事项：1．本试卷共2页，满分40分，考试时间30分钟．2．请将解题过程写在答题卡的规定区域，在本试卷上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、学校、考试号写在答题卡的指定位置．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选．定其中．．．两题．．，并在．．相应的．．．答题区域．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，， PC 平分，交⊙O 于点C ．求证：为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵A =，B =，求矩阵．C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）已知曲线C的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线C和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．D．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）设实数a，b满足，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知曲线C上任意一点到点的距离与到直线的距离相等．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设，是x轴上的两点，过点分别作x轴的垂线，与曲线C分别交于点，直线与x轴交于点，这样就称确定了．同样，可由确定了．现已知，求的值．23．（本小题满分10分）设a，b为实数，我们称（a，b）为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，我们称（A，B，C）为有序三元组．如果集合A，B，C满足，且，则我们称有序三元组（A，B，C）为最小相交（表示集合S中的元素的个数）．（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．xx 届高三暑假自主学习测试试卷数学参考答案及评分标准 xx.09正 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1． 2． 3． 4．4 5．3.2 6．3 7．9 8． 9． 10． 11． 12．2 13． 14．54二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）cos cos sin sin cos()cos A B A B A B C ⋅=-=+=-m n ， ………………… 2分 所以，即， ………………… 4分 故或（舍），又，所以． ………………… 7分 （Ⅱ）因为，所以． ① ………………… 9分由余弦定理，及得，． ② …………………12分 由①②解得． …………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）取中点G ，连，因为、分别为、的中点，所以∥，且． ……… 2分又因为为中点，所以∥，且． ………………… 3分所以∥，．故四边形为平行四边形． ………………… 5分 所以∥，又平面，平面，故∥平面． ………………… 7分 （Ⅱ）设，由∽及为中点得，又因为，，所以，．所以，又为公共角，所以∽．所以，即． ……………… 10分又，，所以平面． ……………… 12分 又平面，所以平面平面． ……………… 14分 17．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）∵，①∴当时，，②以上两式相减得， ………………… 2分 即，∵，∴当时，有． ………………… 5分又当时，由及得，所以数列{ a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n ． ………………… 8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得． ………………… 9分所以13212(242)3(222)n n T n n -=++++++++ ………………… 10分． ………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，过E 作，垂足为M ，由题意得， 故有，，．………………… 4分所以 … 5分． ………… 8分 （Ⅱ）设（其中，则2cos cos (sin )(sin 2)()cos f αααααα---'== 令得，即，得． ………………… 11分列表所以当时有，此时有．………………… 15分答：排管的最小费用为万元，相应的角． ………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（Ⅰ）如图，当k ＝1时，CD 过点（0，-b ），CD ＝2a ，∵的面积为12，∴，即．① ………………… 2分 此时D （-a ，-b ），∴直线PD 方程为． ∴点O 到PD 的距离＝． ② …… 4分 由①②解得． …………… 6分 ∴所求椭圆方程为． ………… 7分 （Ⅱ）如图，当k ＝2时，，设，由D ，E ，P 三点共线，及，（说明：也可通过求直线方程做） 得，∴，即．…… 9分l 2M由C ，F ，P 三点共线，及， 得，∴，即．…… 11分又，∴． ………………… 13分而00000002()2()242222222b x a b a x ay abEF a AE FB a a y b y b y b y b ⋅+⋅-=--=--=-=++++．…… 15分 ∴，即有AE ，EF ，FB 成等比数列． ………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：为“局部奇函数”等价于关于x 的方程有解．（Ⅰ）当时，方程即有解，所以为“局部奇函数”． ……………… 3分 （Ⅱ）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解．………… 5分 令，则． 设，则，当时，，故在上为减函数，当时，，故在上为增函数． ………………… 7分 所以时，．所以，即． ………………… 9分 （Ⅲ）当时，可化为 ．，则，从而在有解即可保证为“局部奇函数”．……… 11分令， 1° 当，在有解，由，即，解得； ……………… 13分 2° 当时，在有解等价于解得． ………………… 15分（说明：也可转化为大根大于等于2求解）综上，所求实数m 的取值范围为． ………………… 16分附加题21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：由得为直径，所以． …………………… 2分 由，得，同理． …………………… 4分又因为PC 平分，所以． …………………… 6分所以，故． …………………… 8分从而，为等腰直角三角形． ………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=， ………………… 1分即=， ………………… 4分 故，从而A 的逆矩阵为=． ………………… 7分 所以==． ………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由得曲线C 的直角坐标方程为． ………………… 2分由得曲线的直角坐标方程为． ………………… 5分曲线C 表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆．因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， ………………… 8分 所以圆C 和圆的位置关系是内含． ………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：作差得442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+-- …………………… 1分 ＝＝ …………………… 4分＝． …………………… 6分 因为，所以a ，b 不同时为0，故，， 所以，即有． …………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为曲线C 上任意一点到点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线定义知，曲线C 是以点为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为． ……………… 4分（Ⅱ）由题意知，，，则，故：． ……………… 6分 令，得，即． ……………… 8分同理，， ……………… 9分于是． ……………… 10分 23．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设，，，则，，，，且．所以（A ，B ，C ）是一个最小相交的有序三元组． ……………… 4分 （Ⅱ）令，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的，使得，，（如图），要确定共有种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数N =．……………… 10分>40052 9C74 鱴El26211 6663 晣d2_24425 5F69 彩28805 7085 炅 27912 6D08 洈22639 586F 塯28081 6DB1 涱21215 52DF 募CBA zyx。
北京市2022届高三上学期期中数学备考训练题——函数
高三上学期期中备考题目分类-函数一．函数的三要素1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()21log 1f x x x =+-的定义域为___________.2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为_______． 二．函数的性质1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．2yxB ．ln y x =C ．2x y =D ．sin y x x =2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．3y x =B ．ln ||y x =C ．2x y -=D ．22y x x =- 3. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．2ln y x =B ．3||y x =C ．1y x x=- D ．cos y x =4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）下列函数值中，在区间(0,)+∞上不．是．单调函数的是（ ）A ．y x =B ．2yxC ．y x =D ．1y x =-5. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）下列函数中为偶函数且在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．1y x=B ．lg y x =C ．cos y x =D ．2xy =6. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）设函数f(x)={3x −1,x ⩽a|x +1|,x >a .①若a =1，则f (x )的值域为___________；②若f (x )在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是___________.7. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）定义在R 上的函数()f x ，给出下列三个论断：①()f x 在R 上单调递增；②1x >；③()(1)f x f >.以其中的两个论断为条件，余下的一个论断为结论，写出一个正确的命题：________. 8. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,4三．函数与方程-零点问题1. （北京市海淀区2021届高三上学期期中考数学试题）已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）2. （北京市通州区2019-2020学年高三上学期期中数学试题）设函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩若方程()0f x k -=有且只有一个根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[0,2]3. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）函数11()1f x x x x=-+-,设1x 、2x 、3x 是曲线()y f x =与直线y a =的三个交点的横坐标,且123x x x <<，则下列命题错误的是（ ）A ．存在实数a ，使得324x x ->B ．任给实数a ，都有314x x ->C ．存在实数a ，使得211x x ->D ．任给实数a ，都有321x x ->4. （2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题）已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．[0,)+∞D ．(,0]-∞5. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞)C ．[-1，3]D ．(-∞，3]6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数2,0,(),0.x a x f x x x ⎧->=⎨-<⎩若()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞7. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]0,a 上可找到()2,n n n N *≥∈个不同的数1x 、2x、、n x ，使得f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯⋯=f (x n )x n，则n 的取值为（ ）A ．{}2,3,4,5B ．{}2,4,5C ．{}3,4,5D ．{}2,3,4四．函数的应用1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）当强度为x 的声音对应等级为f (x )分贝时，有0()10lgxf x A =(其中A 0为常数)，装修电钻的声音约为120分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．2B ．lg 2C ．102D ．1062. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y (mg/m³)随时间t (h)变化的规律可表示为1 ,02 11 ,0)2(at ty aat t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，如图所示，则a=_____;实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入. 五．初等函数：指数与对数1. （北京市密云区2021届高三上学期期中数学试题）已知a =log 34，πb =3，c 3=9，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c2. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知ln3a =，0.3log 2b =，0.20.3c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<3. （2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知132a -=，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>4. （北京市朝阳区2021届高三上学期期中质量检测数学试题）已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈(-∞，0]时，1()2,3xf x =+则23(log )2f =（ ）A ．12B ．1C ．77D ．11115. （2020届北京市西城区第四中学高三上学期期中数学试题）已知,a b 为不相等的两个正数，且lg 0ab =，则函数x y a =和x y b =的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称6. （北京市丰台区2021届高三上学期期中练习数学试题）已知函数f(x)=log 2(x +a)，若f(2)=2，则a =________．【答案】一．函数的三要素 ：1. 由题意得010x x >⎧⎨-≠⎩，解得：0x >且1x ≠，故函数()f x 的定义域是()()0,11,+∞.故答案为：()()0,11,+∞.2. ∵x >1，10x ∴->，411151y x x ∴=-++≥=-，当3x =时，等号成立.所以函数4(1)1y x x x =+>-的最小值为5.故答案为：5二．函数的性质1. 对于A ，函数是偶函数，在()0,∞+递减，不合题意；故A 错误，对于B ，函数是偶函数，在()0,∞+递增，合题意；故B 正确， 对于C ，函数不是偶函数，不符合题意；故C 错误，对于D ，函数在()0,∞+不是单调递增，不符合题意；故D 错误. 故选：B.2. 因为3y x =为奇函数，函数2x y -=和函数22y x x =-不具有奇偶性，故排除A ，C ，D ， 又ln ||y x =为偶函数且在(0,)+∞上递增，故B 符合条件.3. 对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，∵()3f x x =的定义给域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x =-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误；对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.4. 由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2yx 在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．5. A. 1y x=，是奇函数，排除；B. lg y x =，是偶函数，0x >时，lg y x =，单调递增，正确；C. cos y x =，偶函数，0x >时，是周期函数，排除；D. 2x y =，非奇非偶函数，排除；故选B6.解：①若a =1，则31,1()1,1x x f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩，当x ≤1时，f (x )=3x ﹣1∈(﹣1，2]， 当x >1时，f (x )=|x +1|>2，∴f (x )的值域为(﹣1，2]∪(2，+∞)=(﹣1，+∞)；②在同一平面直角坐标系内作出函数y =3x ﹣1与y =|x +1|的图象如图：由图可知，要使函数31,()1,x x af x x x a ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩在R 上的增函数，只需-1≤a ≤1，则实数a 的取值范围是[﹣1，1]. 故答案为：①(−1,+∞)；②[﹣1,1].7. 证明：()f x 在R 单调递增且当1x >时，有()(1)f x f >，得证. 故答案为：①②推出③8. 解：根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B三．函数与方程-零点问题1. 函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数，又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f < 所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．2. 22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩方程()0f x k -=有且只有一个根，等价于()f x k =图像有一个交点. 画出函数图像：根据图像知：2k > 故选：B3. 解：函数11()1f x x x x=-+-的定义域为()()(),00,11,-∞+∞，易知()f x 在这三段定义域上分别单调递增， 其大致图象如下曲线()y f x =与y a =的三个交点的横坐标1x 、2x 、3x ，且123x x x <<，则12301x x x <<<<，取0.5a =时，即()0.5f x =得(1)(2)(0.5)0x x x +--=，所以11x =-，20.5x =，32x =，21 1.51x x -=>，3134x x -=<，存在0.5a =时，3134x x -=<，所以B 不成立，对于D ：要证321x x ->，即321x x -> ①当32x ≥显然成立②当()31,2x ∈时()310,1x -∈，321x x -> 又()f x 在()0,1上单调递增()()()3231f x f x f x ->=令()()()1111111112112F x f x f x x x x x x x x x=--=-+--+-=+----- 当()1,2x ∈时112x>- ()30F x ∴>即()()3310f x f x --> 即321x x ->即任给实数a ，都有321x x ->，故D 正确；显然A 、C 也成立； 故选：B ．4. ∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ．5.作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C6.设00x >，则00x -<，()y f x =的图象上存在两个点,A B 关于原点对称，则0020x a x -+=在()0,∞+上有解，即002x a x =+在()0,∞+上有解，由002x y x =+在()0,∞+上的值域为(1,)+∞，则实数a 的取值范围是(1,)+∞.故选：D7.∵f (x )x =f (x )−0x−0，则代数式()f x x表示曲线()y f x =上的点()(),x f x 与原点连线的斜率， 设()()()1212n n f x f x f x k x x x ====，可知直线y kx =与函数()y f x =的图象有()2,n n n N *≥∈个交点，作出函数()y f x =与直线y kx =的图象如下图所示：由图象可知，直线y kx =与函数()y f x =的图象有2或3或4或5个交点， 因此，n 的可能取值的集合为{}2,3,4,5.故选：A.四．函数的应用1. 解：根据题意，0()10lg x f x A =， 装修电钻的声音约为120分贝，此时对应的声音强度为x 1，则有1012010lgx A =，变形可得121010x A =，普通室内谈话的声音约为60分贝，此时对应的声音强度为x 2，则有206010lg x A =，变形可得62010x A =，变形可得：61210x x =， 故选：D.2. 由题知：当12t =时，1y =，即21a ，解得2a =. 所以1( 12,021,0)22t t y a t t⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥>⎪⎩，. 当102t <<时，2y t =，单调递增，当12t ≥时，12y t =，单调递减， 令10.752t<，解得23t >， 所以经过23小时后方可进入房间. 故答案为：2；23五．初等函数：指数与对数1.∵a =log 34>1，且a <log 39=2，即a ∈(1，2). ∵πb =3，∴b =log π3<log ππ=1， ∵c 3=9，∴c =√93>√83=2， 则b <a <c ，故选：D.2.由函数单调性可知ln3ln 1a e =>=，0.3log 20b =<， 0.200.30.31c =<=，01c ∴<<， 所以b c a <<.故选：C3. 因为13212112(0,1),log 0,log 1,33a b c -=∈==所以.b a c <<选C ． 4. 23log 02>，∴22log 3222332121(log )(log )(log )21223333f f f =-==+=+=． 故选：B ．5. ∵a ，b 为不相等的两个正数， 1b a∴=， 则x x y b a -==，函数x y a =和x y a -=的图象关于y 轴对称， ∴函数x y a =和x y b =的图象关于y 轴对称． 故选：B ．6.∵f(x)=log 2(x +a)，()()22log 22f a ∴=+=，得24a +=，解得2a = 故答案为：2.。
2020-2021 上学期初三数学9月月考试题
22. （5 分）用总长为
的篱笆围成矩形场地，矩形面积 随矩形一边长 的变化而变化．
（1）当矩形边长 为多少米时，矩形面积为
；（2 分）
（2）求出 关于 的函数关系式，并直接写出当 为何值时，场地的面积 最大．（3 分）
18. 已知二次函数
中，函数 与自变量 的部分对应值如表：
23. （5 分）如图，有一座抛物线形拱桥，已知桥下在正常水位 时，水面宽 ，水位上升
，交 轴于点
，交 轴于点 ．
（1）求抛物线和直线 的解析式；（4 分）
（2）求
的铅垂高 及
；（2 分）
（3）抛物线上是否存在一点 ，使
存在，请说明理由．（3 分）
，若存在，求出 点的坐标；若不
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，就达到警戒水位 ，这时水面宽 ，若洪水到来时，水位以每小时
的速度
上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
则当
时， 的取值范围是
．
三、解答题（共 8 小题；19-24 题每小题 5 分，25 题 7 分，26 题 9 分，共 46 分）
19. （5 分）解方程：
．
20. （5 分）一个口袋中放有 个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑 球个数的 倍多 个．从袋中任取一个球是白球的概率是 ． （1）求袋中红球的个数；（4 分） （2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．（1 分）
24. （5 分）某班“数学兴趣小组”对函数
的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整．
（1）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值列表：
其中，
．（1 分）
（2）根据表格数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请
2021-2022年高三上学期9月月考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期9月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则等于( )A. B. C. D.2.已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3.函数的图像大致是( )4.已知，则等于( )A. B.7 C. D.5.已知中，，则B等于( )A. B.或 C. D.或6.要得到函数的导函数的图像，只需将的图像( )A.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）C.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）7.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果，那么向量等于( )A. B. C. D.8.若，则( )A. B. C. D.9. 如果，那么以A,B,C为内角的是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形10.在钝角中，角A,B,C所对的边分别为，且满足，，则的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知函数的周期为2，当时，那么函数与函数的图像的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个12.已知．现有下列命题：①；②；③. 其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13若，则的值是。
14. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且和互补，则AC 的长为 km 。
15.规定运算：，例如：，则函数的值域为 。
16.关于函数，有下列命题： ①若，则必是的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称.其中正确的是 。
北京市海淀区北京一零一中学23届高三上学期9月月考数学含答案
北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M ＝｛x ∈Z |1g （x -1）≤0｝，N ＝｛x ∈Z|x |＜2}，则M N ＝（ ） A.φB. （1，2）C. （-2，2］D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A. b ＝3，ac ＝9B. b ＝-3，ac ＝9C. b ＝3，ac ＝-9D. b ＝-3，ac ＝-93. 设)(x f ，)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。
其中，正确的命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 若ab ＞0，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22b a <B.a 1＜b1C.2>+ba ab D.2ba +＞ab 5. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数)(x f ＝cos 2ωx -sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则（ ） A. )(x f 在（0，2π）内单调递增B. )(x f 在（0，2π）内单调递减 C. )(x f 在（4π，43π）内单调递增D. )(x f 在（4π，43π）内单调递减7. 若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）-f （4）＝（ ）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（ ）A. 1323++-=x xx yB. 123+-=x xx yC. 1cos 22+=x xx yD. 1sin 22+=x xy 9. 已知函数)(x f ＝x 3+x 2-2|x |-k 。
北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题Word版含解析
北京市延庆区2021届高三一模考试数学试题第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知复数22z a i a i =--是正实数，则实数a 的值为( )A. 0B. 1C. 1-D. 1± 【答案】C【解析】【分析】将复数化成标准形式，由题意可得实部大于零，虚部等于零，即可得到答案.【详解】因为2222(1)z a i a i a a i =--=-+-为正实数，所以20a ->且210a -=，解得1a =-.故选：C【点睛】本题考查复数的基本定义，属基础题.2.已知向量()()1,,,2,a k b k ==若a 与b 方向相同，则k 等于( )A. 1B.C. 【答案】D【解析】【分析】依题a //b ，且a 与b 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a 与b 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>，因为()()1,,,2a k b k ==，所以(,2)b k λλλ=，所以12k k λλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >，所以k =故答案选：D【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.3.下列函数中最小正周期为π的函数是( )A. y sinx =B. 12y cos x = C. 2y tan x = D. y sinx = 【答案】D【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】A 选项的最小正周期为221T ππ==；B 选项的最小正周期为2412T ππ==；C 选项的最小正周期为2T π=；D 选项的最小正周期为1T ππ==.故选：D【点睛】本题考查三角函数的周期性，属基础题.4.下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A. 1y x = B. y tanx = C. x xy e e -=- D. 2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义及函数单调性的判断即可得出答案.【详解】对于A 选项，反比例函数1y x =，它有两个减区间，对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意；对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-，所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数，又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增，所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩， 所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数. 故选：C【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.5.某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为433，则它的表面积为( )A. 8B. 12C. 443+D. 20【答案】B【解析】【分析】 由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，底面为正方形，根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱，如图所示，底面边长为2，设四棱锥的高为h ，则依题意有1223V h =⨯⨯=所以h =12h === 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯， 所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，锥体体积公式应用，表面积的求法，属于基础题. 6.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【解析】【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为: 2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x---+==， 当1034r -=时，2r，此时523552280r r C C -==， 所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A. 5-B. 5-C. 5D. 25- 【答案】A【解析】【分析】设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β，由任意角的三角函数的定义可以求得sin β的值，依题有OA OB ⊥,则90αβ，利用诱导公式即可得到答案.【详解】如图，设直线直线OA 与x 轴正半轴所成的最小正角为β因为点()1,2A 在角β的终边上，所以2225sin 12β 依题有OA OB ⊥,则90αβ，所以25cos cos(90)sin αββ，故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义及诱导公式，属于基础题.8.已知直线,a b ，平面,//b a a b αβαβα⋂=⊥，，，，那么“a β⊥”是“αβ⊥”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据面面垂直的判定定理和面面垂直的性质定理即可得到结论.【详解】若//a α，则在平面α内必定存在一条直线a '有//a a '，因为a b ⊥，所以a b '⊥，若a β⊥，则a β'⊥，又a α'⊂，即可得αβ⊥，反之，若αβ⊥，由b αβ=，a b '⊥，a α'⊂可得a β'⊥，又//a a '，则有a β⊥.所以“a β⊥”是“αβ⊥”的充分必要条件.故选：C【点睛】本题主要考查面面垂直的判定和性质定理，以及线面平行的判定定理，属中档题.9.某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年 【答案】B【解析】【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310()2x ，640()5x ，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x+=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=）， 依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量， 则3610()40()25x x >化简得154x x +>，即lg5(1)lg 4x x >+， 所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 2 6.206213lg 2≈- 所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.10.已知双曲线221169x y C -=：的右焦点为F ，过原点O 的直线与双曲线C 交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则BOF 的面积为( )C. 32D. 92【解析】【分析】根据题意画出图像，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，即可得四边形1AFBF 为平行四边形，从而求出1F BF ∠，利用余弦定理和双曲线的定义联立方程可求出1|BF ||BF|的值，利用面积公式可求出1F BF 的面积，根据1F BF 和BOF 的关系即可得到答案. 【详解】如图，设双曲线的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 依题可知四边形1AFBF 的对角线互相平分， 则四边形1AFBF 为平行四边形，由60AFB ∠=︒可得1120F BF ∠=︒， 依题可知12||2216910F F c ==+=， 由余弦定理可得：2221111|BF |+|BF|-2|BF ||BF|cos |||F BF F F ∠= 即2211|BF |+|BF|+|BF ||BF|100=； 又因为点B 在椭圆上，则1||BF |-|BF||28a ==，所以2211|BF |+|BF|-2|BF ||BF|64=. 两式相减得13|BF ||BF|36=，即1|BF ||BF|12=，所以1F BF 的面积为： 111113||||sin 123322F BF S BF BF F BF =∠=⨯=因为O 为1F F 的中点，所以11332OBF F BFS S ==【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，涉及到了双曲线的定义，余弦定理和面积公式，考查学生转化和化归的能力，属中档题.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题 5 分，共 25 分11.已知集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈，则k 的取值范围是____________. 【答案】(,3)-∞【解析】【分析】由集合元素与几何的关系即可得到答案. 【详解】因为集合|1k M x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭,且3M -∈， 所以13k >--，解得3k <， 所以k 的取值范围是(,3)-∞.故答案为：(,3)-∞【点睛】本题考查集合的基本定义，属基础题.12.经过点()2,0M -且与圆221x y +=相切的直线l 的方程是____________.【答案】(2)3y x =±+ 【解析】【分析】 设直线l 方程为(2)y k x =+，根据题意有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到答案.【详解】依题满足条件的直线斜率存在，设直线l 方程为：(2)y k x =+即20kx y k -+=.又221x y +=的圆心为(0,0)，半径为1,又直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，1=，解之得：k =所以直线的方程为(2)3y x =±+.故答案为：(2)3y x =±+ 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离解决问题，属于基础题.13.已知函数()222f x sin x sin x cos x =+-，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭____________.【解析】【分析】利用倍角公式化简，代入即可得到答案.【详解】()222sin 2cos2f x sin x sin x cos x x x =+-=-所以11sin cos 1266222f πππ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.故答案为：12 【点睛】本题考查三角函数的倍角公式，代入法求值，属基础题.14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.【答案】①16；②29【解析】【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ，如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．故答案为①16；②29．【名师点睛】本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.15.在ABC 中，10AB D =，是BC 边的中点.若660AC A =∠=︒，，则AD 的长等于________；若4562CAD AC ∠=︒=，，则ABC 的面积等于____________.【答案】 (1). 7 (2). 42【解析】【分析】（1）依题可得1()2AD AB AC =+，则有1||||2AD AB AC =+，利用向量运算即可得到答案. （2）在ADC 和ADB △中分别用正弦定理，求出AD DB ，，再利用AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=，即可求得sin BAC ∠，再利用三角形的面积公式即可得到答案.【详解】（1）依题在ABC 中，D 是AB 的中点， 所以1()2AD AB AC =+所以1||||2AD AB AC =+ 又6,60AC A =∠=所以22||2AB AC AB AB AC AC +=+⋅+ 22102106cos60619614=+⨯⨯+==所以1||||72AD AB AC =+= 所以AD 的长等于7. （2）在ADC 中，由正弦定理有：sin sin AC DAC D A C C D =∠∠ 所以sin 62456sin sin sin AC DAC DC ADC ADC ADC ∠===∠∠∠；在ADB △中，由正弦定理有：sin sin BD AB BAD ADB=∠∠ 所以sin 10sin sin sin AB BAD BAD BD ADB ADB ∠∠==∠∠ 因为D 是AB 的中点，则AD DB =，180ADB ADC ∠+∠=,所以sin sin ADB ADC ∠=∠，所以10sin 6BAD ∠=即3sin 5BAD ∠=，所以4cos 5BAD ∠==± 当4cos 5BAD ∠=时， sin sin(45)sin cos 45cos sin 45BAC BAD BAD BAD ∠=∠+=∠+∠34cos )()55BAD BAD =∠+∠=+=当4cos 5BAD ∠=-时，sin sin(45)BAC BAD ∠=∠+34)55=-=不符合题意， 所以ABC 的面积为：11sin 10422210ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= 故答案为：（1）7；（2）42【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及模的运算，考查正弦定理和三角形的面积公式，考查学生推理和计算能力，属中档题.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，4AB PD PC O =⊥，，是CD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点，//PA 平面BDE .（1）求证：E 是PC 的中点；（2）求证：PD 和BE 所成角等于90.︒【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）因为//PA 平面BDE ，由线面平行的性质定理及三角形中位线的判定即可得证.（2）由PO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形可证BC ⊥平面PDC ,从而可证PD ⊥平面PBC ，从而得证结论. 【详解】（1）如图，联结AC ，设AC 与BD 交于F ，联结EF ，因//PA 平面BDE ，平面PAC 平面BDE =EF ,所以//PA EF .又因为四边形ABCD 是正方形，所以F 是AC 的中点，所以EF 是PAC 的中位线，所以E 是PC 的中点（2）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO BC ⊥.因为四边形ABCD 是正方形，所以BC CD ⊥又PO CD O =，所以BC ⊥平面PDC ，所以BC PD ⊥又因为PD PC ⊥且BC PC C ⋂=，所以PD ⊥平面PBC因为BE ⊂平面PBC ，所以PD BE ⊥，所以PD 与BE 成90︒角.【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面平行的判定定理的运用，考查学生逻辑推理能力，属中档题.17.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和，1016a =.（1）判断2024是否是数列{}n a 中的项，并说明理由；（2）求n S 的最值.从 ①810a =；②88a =；③820a =中任选一个，补充在上面的问题中并作答.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）n S 最小值-26，无最大值 .【解析】【分析】（1）选择①，用等差数列的通项公式即可求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项，令2024n a =，求出的n 若为整数则2024是数列{}n a 中的项，否则不是.（2）令0n a >，求出n 的范围，从而可确定n S 的最大最小值情况.【详解】选①810a =（1）选①810a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081610a a =⎧⎨=⎩，所以11916710a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1311d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)11(1)3n a a n d n =+-=-+-⨯314n =-令 3142024n -=，则32038n =，此方程无正整数解所以2024不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即3140n ->，解得：142433n >= 所以当5n ≥时，0,n a >当4n ≤时，0,n a <所以当4n =时，n S 的最小值为41185226S =----=-.n S 无最大值.选②88a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为108168a a =⎧⎨=⎩，所以1191678a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1420d a =⎧⎨=-⎩ 所以1(1)20(1)4n a a n d n =+-=-+-⨯424n =-令 4242024n -=，则512n =，此方程有正整数解所以2024是数列{}n a 中的项.（2）令0n a >，即4240n ->，解得：6n >所以当7n ≥时，0,n a >当6n ≤时，0,n a ≤所以当5n =或6n =时，n S 的最小值为56656(20)4602S S ⨯==⨯-+⨯=-. n S 无最大值.若选②820a =设等差数列{}n a 的公差为d ，因为1081620a a =⎧⎨=⎩，所以11916720a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1234d a =-⎧⎨=⎩ 所以1(1)34(1)(2)n a a n d n =+-=+-⨯-362n =-令 3622024n -=，则994n =-，此方程无正整数解所以不是数列{}n a 中的项.（2）令0n a ≥，即3620n -≥，解得：18n ≤，所以当18n >时，0n a <，当18n >时，0n a < ，所以当17n =或18n =时，n S 的最大值为171818171834(2)3062S S ⨯==⨯+⨯-=. n S 无最小值. 【点睛】本题主要考查等差数列通项公式，以及等差数列的前n 项和的最值问题，主要考查学生的计算能力和直观想象能力，属于基础题.18.A B C ，，三个班共有120名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：（1）试估计A 班的学生人数；（2）从这120名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概率；（3）从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.【答案】（1）36；（2）920；（3）1135. 【解析】【分析】（1）利用分层抽样的方法即可得到答案；（2）利用古典概率的公式即可得到答案；（3）利用分类和分步计数原理和组合公式即可得到答案.【详解】（1）由题意知，抽出的20名学生中，来自A 班的学生有6名．根据分层抽样的方法可知A 班的学生人数估计为61203620⨯=人． （2）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法， 设此人一周上网时长超过15小时为事件D, 其中D 包含的选法有3+2+4=9种，所以 9()20P D =. 由此估计从120名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的概率为920. （3）设从A 班抽出的6名学生中随机选取2人，其中恰有(12)i i ≤≤人一周上网超过15小时为事件i E ,从B 班抽出的7名学生中随机选取1人，此人一周上网超过15小时为事件F ，则所求事件的概率为：2111135332212167151811()15735C C C C C P E F E F C C ++⋃===⨯. 【点睛】本题主要考查分层抽样，古典概型及计数原理和组合公式，属基础题.19.已知函数()2221,1ax a f x x +-=+其中0a ≠ （1）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（2）若函数()f x 在[)0,+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围.【答案】（1）2y x =；（2）(,1](0,1]-∞-⋃.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用直线的点斜式即可得到答案；（2）利用导数求出函数的极值及单调区间，列表求出函数的最值，根据题意即可确定a 的取值范围. 【详解】（1）解：2222(1)1()(1)x a f x x -'==+当时，. 所以切线的斜率(0)2k f '==；又(0)0f =所以曲线()y f x =在原点处的切线方程为：2y x =.（2）22222(1)(21)2()(1)a x ax a x f x x +-'+-=+ ()()22222222221()(1)(1)ax a x a ax x a x x -+-+--+==++ 当0a >时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()f x 的最大值为21()f a a=， 若()f x 存在最小值，则()0x ∈+∞，时， 2()(0)1f x f a ≥=-恒成立，即2222111ax a a x +-≥-+， 所以()2221ax a x ≥-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a >，所以210a -≤，则01a <≤. 当0a <时，()0f x '=解得 121,x a x a=-= 则[0,)x ∈+∞时()()f x f x '、随x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增，所以()f x 的最小值为1-，若()f x 存在最大值，则()0x ∈+∞，时，2()(0)1f x f a ≤=-恒成立，即2222111ax a a x +-≤-+， 所以()2221ax a x ≤-即2112a a x -≤在(0,)x ∈+∞恒成立， 所以2102a a-≤.又因为 0a <，所以210a -≥，则1a ≤-. 综上所述，a 的取值范围为(,1](0,1]-∞-⋃.【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的最大值和最小值，考查学生的运算求解能力，分类讨论和转化与化归的能力，属中档题.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b G +=>>：的左焦点为(),F 且经过点(),,C A B 分别是G 的右顶点和上顶点，过原点O 的直线l 与G 交于,P Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段AB 交于点M .（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若3PQ =，求直线l 的方程；（3）若BOP △的面积是BMQ 的面积的4倍，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）2y x =；（3）814y x =. 【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义即可求出a 的值，从而求出b ，从而得到答案.（2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得1212,x x x x +，再利用弦长公式即可得到答案.（3）依题设出点,,P Q M 的坐标以及直线l 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线l 的斜率，从而求出直线直线l 的方程.【详解】（1）依题知c =1F ），因为点()C 在椭圆上，且1||CF =， 又||1CF =，所以12||||4a CF CF =+=，所以2a =所以222422b a c =-=-=， 所以椭圆的标准方程为22142x y +=. （2）因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为(0)k k >，则直线l 的方程为y kx =，设直线 l 与该椭圆的交点为1122(,),(,)P x y Q x y ，由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩可得22(12)40k x +-=， 易知>0∆，且1212240,12x x x x k -+==+，则PQ ==3===，所以27,22k k ==±， 又0k >，所以直线l的方程为2y x =. （3）设(,)m m M x y ，()00,Q x y ，则()00,P x y --，易知002x <<，001y <<.由()2,0A，B ，所以直线AB的方程为12x +=，即20x +-=. 若BOP ∆的面积是BMQ ∆的面积的4倍，则||4||OP MQ =,由,P Q 关于原点对称，可得||||OP OQ =,所以||4||OQ MQ =，所以3||||4OM OQ =即034m x x = ① . 设直线l 的方程为y kx =，由20y kx x =⎧⎪⎨-=⎪⎩得m x =， 由2224y kx x y =⎧⎨+=⎩得0x =34=,化简得21470k-+=，解得814k=，所以直线l的方程为：814y x=.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求解能力，方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养.21.在数列{}n a中，若*,na N∈且()1,?1,2,3,?··23,nnnn naaa na a+⎧⎪==⎨⎪+⎩是偶数，是奇数则称{}n a为“J数列”.设{}na为“J数列”，记{}n a的前n项和为.n S（1）若110a=，求3nS的值；（2）若317S=，求1a的值；（3）证明：{}n a中总有一项为1或3.【答案】（1）3716nS n=+；（2）15a=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据递推公式列出数列{}n a中的项，找规律，发现周期性即可得到答案;（2）根据题意分情况进行求解即可得到答案;（3）首先证明：一定存在某个i a，使得6ia≤成立，再进行检验即可得到答案.【详解】（1）当110a=时，{}na中的各项依次为10,5,8,4,2,1,4,2,1,，即数列{}n a从第四项开始每三项是一个周期，所以312323S a a a=++=，634564217S S a a a-=++=++=，9678933(1)42177n nS S a a a S S--=++=++=-=，所以3237(1)716nS n n=+-=+.（2）① 若1a 是奇数，则213a a =+是偶数，213322a a a +==， 由317S =，得1113(3)172a a a ++++=，解得15a =，适合题意. ② 若1a 是偶数，不妨设*12()a k k =∈N ，则122a a k ==. 若k 是偶数，则2322a k a ==，由317S =， 得2172k k k ++=，此方程无整数解； 若k 是奇数，则33a k =+，由317S =，得2317k k k +++=，此方程无整数解.综上，15a =.（3）首先证明：一定存在某个i a ，使得6ia ≤成立. 否则，对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则在i a 为奇数时，必有232i i i a a a ++=<； 在i a 为偶数时，有232i i i a a a +=+<，或24i i i a a a +=<. 因此，若对每一个*i ∈N ，都有6i a >，则135,,,a a a 单调递减，注意到*n a ∈N ，显然这一过程不可能无限进行下去，所以必定存在某个i a ，使得6i a ≤成立. 经检验，当2i a =，或4i a =，或5i a =时，{}n a 中出现1；当6i a =时，{}n a 中出现3，综上，{}n a 中总有一项为1或3.【点睛】本题主要考查递推数列以及推理知识的综合应用，考查学生逻辑思维能力、运算求解能力和推理论证能力，属中档题.。
北京市延庆区2021届高三英语上学期9月统测考试试题(含参考答案)
北京市延庆区2021届高三英语上学期9月统测考试试题第一部分：知识运用（共两节，45分）第一节语法填空（共10小题；每小题1.5分，共15分）阅读下列短文，根据短文内容填空。
在未给提示词的空白处仅填写一个适当的词，在给出提示词的空白处用括号内所给词的正确形式填空。
AChinese New Year is a 1 (celebrate) marking the end of the winter season and the beginning of spring. This is why decorating with plants, fruits and flowers 2 (carry) special significance. They represent the earth 3 (come) back to life and best wishes for new beginnings.BMany people have the hobby of collecting things, e.g. stamps, postcards or antiques. In the 18th and 19th centuries, 4 (wealth) people travelled and collected plants, historical objects and works of art. They kept their collection at home until it got too big 5 until they died, and then it was given to a museum. The 80,000 objects collected by Sir Hans Sloane, for example, 6 (form) the core collection of the British Museum 7 opened in 1759.CThe first time I saw Suzy Khan, I knew I had to help her. She was really small for her age of 12. The boy in my class often joked about her and laughed their heads off. She would open a book, pretending to read, with tears dropping 8 the open page.All I knew was that she was an orphan (孤儿) from Africa. She 9 (adopt) by a family in town who decided that the best way for her 10 (learn) American ways of life was to be with American kids. I looked down at this tiny girl and promised myself that somehow I would help her.第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
2021年高二上学期9月月考数学试题 答案不全
广大附校xx －xx 学年(上)第一次月考 高二年级 数学试题 xx.9.292021年高二上学期9月月考数学试题 答案不全参考公式： ①方差, 其中 ;②回归直线方程的系数： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x n x y x n y x b ni ini i i 1221第Ⅰ卷 （共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四 个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 要从已编号的枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,用系统 抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是( ) A. B. C. D .2. 某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽 取的人数为，那么从高二学生中抽取的人数应为（ ） A. 10 B . 9 C. 8 D. 7 3．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．274. 如图所示,程序执行后输出的结果是( )A. 360B. 720 C . 120 D. 305. 执行如图所示的程序框图,若输入则输出的值为( )A. B.C. D.6. 函数的最小正周期是( )A．B．C．D．7. 下图是辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图已知时速在的汽车有210辆,由此可知的值是( )A. 250B. 280C. 300D. 3208. 某程序框图如图所示,现分别输入如下函数:①②③④⑤⑥则可以输出的函数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9. 下表提供了某厂节能降耗技术改革后生产产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产(第8题图)能耗(吨标准煤)的几组对应数据.根据上表提供的数据,求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为( ) A . 3 B. 3.15 C. 3.5 D. 4.5 10.等差数列的公差,且()1sin sin sin cos cos cos sin 72623262323232=+-+-a a a a a a a a ,仅当时,数列的前项和取得最大值,则首项的取值范围是( ) A .B .C .D .第Ⅱ卷 （共100分）二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11．某小区居民共1650人,现采用分层抽样的方法抽取150人进行身体检查，若该小区 老年人共220人，则在老年人中应抽取_________人;12. 一个样本数据从小到大的顺序为13,14,19,,23,27,28,31,若中位数为22,则________; 13. 某历史老师身高,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是、和.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高 为________________.14. 已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为 整数的正整数一共有____________个.三.解答题:（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15. (本小题满分12分)要从甲、乙两名划艇运动员中选拔一名去参加比赛,为此对甲、乙两人在相同的条件下进行了次测试,测得他们最大速度()的数据如下:甲: 27, 38, 30, 37, 35, 31; 乙: 33, 29, 38, 34, , 36, 经计算,甲、乙两人次测试的平均成绩相等.(1) 求的值,并用茎叶图表示甲、乙两人的成绩; (6分)(2) 试比较这两名划艇运动员谁更优秀.(6分)16. (本小题满分12分) 已知函数的最小正周期是.(1) 求的值; (3分) (2)求的值; (3分) (3) 若,求的值. (6分)17. (本小题满分14分) 设函数(1) 若,求的最大值及相应的的集合;(7分)(2) 若是的一个零点,且,求函数的单调递增区间.(7分)第18、19、20题见答题卷.广大附校xx －xx 学年(上)第一次月考高二年级 数学答题卷 xx.9.29第Ⅰ卷 （共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四 个选项中， 只有一项是符合题目要求的.第Ⅱ卷 （共100分）二. 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分._______________ 座号：____________准答题11. ___________; 12.___________; 13.___________; 14.__________;三.解答题:（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤）15.(本小题满分12分)16. (本小题满分12分)17. (本小题满分14分)18. (本小题满分14分)某校有高二学生人, 为了了解他们的体能状况，随机抽取了部分学生进行一分钟 跳绳次数测试,将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方 形的面积之比为,其中第二小组频数为.甲乙(茎叶图)（1）求样本容量和图中的值； (5分)（2）若次数在以上为达标，试估计该校高二学生体能达标的人数;(5分) (3) 试估计该校高二学生一分钟跳绳次数的平均值.19. (本小题满分14分)已知是等差数列的前项和,,,是等比数列,,.（1）求数列和的通项公式；(6分)（2）设,求.(8分)20. (本小题满分14分)已知数列的相邻两项、是关于的方程的两实根,且是数列的前项和.(1) 求证: 数列是等比数列;(5分)(2) 问是否存在常数,使得对任意正整数都成立? 若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.(9分)31616 7B80 简lf23664 5C70 屰22686 589E 增33487 82CF 苏33040 8110 脐wr31170 79C2 秂37336 91D8 釘~ 23302 5B06 嬆=。
2021届北京市朝阳区高三上学期期中考试质量检测数学试题
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件北京市朝阳区2020〜2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1.已知集合4 =卜52-工一2<0}, B = {-1,0,123},则AA8 =【答案】B3sin( -- x)=」，贝ij sin2A-(2 5【答案】C4.如图，在aABC 中，。
是BC 的中点,若= = （【答案】c51加>11西'是“3°>3g 的（） B. {TO 』,2}C. {0,1,2}D. {0,123}12A.— 25n24 B.— 25c 24 D. 一一25【答案】B3.己知〃 =2-，b = log?!，c ~ a ，贝 Ij(J£ DA. a>b>cB. a>ohC. c>a>bD. c>b> aA- 3a-2bB. a-2bD.C.充分必要条件【答案】A6.已知函数/(x)=弓sin — (刃＞ 0)的图象与直线尸1的相邻两个交点间的距离等于冗,贝力/U) 的图象的一条对称轴是() 乃九冗A. x =---- B. x =—C. x =---12123【答案】D7.在aABC 中，AB=4, AC=3,且I 而+/1=19一正I,则CX =( A. -12B. -9C. 9【答案】B1 38.己知,ZU)是定义在R 上的偶函数，且当X £(-8, 0]时，/(工)=2'+ —，则/(1(^2二)=()3 2 1711 A. —B. 1C. -D.—27 11【答案】B9.己知函数/*•) =「+ 7'若存在实数叽使得/(〃?)= 2/一4。
北京市延庆区2022届高三地理上学期9月统测考试试题(含解析)
A. 西北方向 B. 东南方向
C. 正北方向 D. 正南方向
11. 从毛伊岛到锡拉岛的最短航线的航向是( )
A. 一直向西北 B. 一直向东
C. 先向北，后向南 D. 先向南，后向北
12. 两岛间最短距离约为( )
A.7000kmB.11000km
C.13600kmD.16000km
【19题详解】
冬季太阳直射南半球，内蒙古白昼时间较短，①正确；冬季气温低，热水需求多，②错误；太阳高度角小太阳辐射弱，③正确；季气温低，太阳能热水器集热管易冻裂，④正确；内蒙古西部气候干燥，暴风雪少，⑤错误；故选B。
下图为第17-24届冬奥会举办城市分布图。读图，完成下面小题。
20.图中城市（ ）
【11题详解】
两岛近似位于同一经线圈上，而经线圈是大圆，根据“大圆劣弧”的最短航线原则，最短航线的航向应为先从毛伊岛沿经线向北到北极，再由北极沿经线向南到锡拉岛。故先向北，后向南。选C。其余选项可排除。
【12题详解】
根据经纬网判断，两岛近似位于同一经线圈上，最短距离为该经线圈上的劣弧长度；由经线上纬度相差1°实际相距约111km可知，两岛最短距离约为[(90－21)＋(90－36)]×111＝13653km。
【解析】
【分析】
本题组主要考查冰岛区域自然环境特征，大气热力作用和地壳物质循环等知识，突出了对地理事物的区域性、综合性等地理核心素养的考查。
【13题详解】
结合图示，冰岛地处欧洲西部，高纬度地区，临近极圈，深受西风影响，冬季的时候也会da受到副极地低气压带和极地东风的一定影响，A错误；冰岛纬度高，气温较低，地表多以冰川和苔原为主，B错误；冰岛地处亚欧板块和美洲板块张裂地带，是世界上露出海面的海岭，C正确；冰岛临近北极圈，纬度高，水温较低，不可能有珊瑚发育，D错误。ABD错误，C正确。故选C。
哈尔滨市延寿县第二中学2020_2021学年高二数学9月月考试题
黑龙江省哈尔滨市延寿县第二中学2020-2021学年高二数学9月月考试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．下面对算法描述正确的一项是（)A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一个问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同2．图示程序的功能是()错误!A．求1×2×3×4×…×10 000的值B．求2×4×6×8×…×10 000的值C．求3×5×7×9×…×10 001的值D．求满足1×3×5×…×n＞10 000的最小正整数n3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图,若输入的a,b分别为14，18，则输出的a＝(）A．0 B．2C．4 D．144．用秦九韶算法求多项式f（x）＝208＋9x2＋6x4＋x6当x ＝－4时的值时，v2的值为()A．－4 B．1C．17 D．225．(2018·全国卷Ⅱ)为计算S＝1－错误!＋错误!－错误!＋…＋错误!－错误!，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（）A．i＝i＋1 B．i＝i＋2C．i＝i＋3 D．i＝i＋46．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民，对其该天的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本7．2012年6月16日“神舟”九号载人飞船顺利发射升空，某校开展了“观‘神九’飞天燃爱国激情”系列主题教育活动．该学校高一年级有学生300人,高二年级有学生300人，高三年级有学生400人，通过分层抽样从中抽取40人调查“神舟”九号载人飞船的发射对自己学习态度的影响，则高三年级抽取的人数比高一年级抽取的人数多(）A．5 B．4C．3 D．28．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，…，800,利用随机数表法抽取样本，从第7行第1个数8开始,依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是()(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行）1622779439495443548217379323788735209643 84263491648442175331572455068877047447672176335025 8392120676630163783916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342 99660279545760863244094727965449174609629052847727 0802734328A．425 B．506C．704 D．7449。
北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷(word版,含答案)
北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷数 学2022.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.2(1i)+= A.2-B.2C.2i -D.2i2.双曲线221169x y -=的渐近线方程为 A.34y x =±B. 43y x =±C. 35y x =±D. 916y x =±3. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为A ．16B.310 C.12 D.344.已知抛物线24y x =上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是 A．B.C.4D.125.设函数21,()l ,11()g ,2o .x x f x x x ⎧⎪=⎨⎪>⎩≤ 若()2f x ≤，则实数x 的取值范围是A ．[)1,-+∞B ．(0,4]C ．[1,4]-D ．(,4]-∞6. 在直角坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点A 1(,2-, 将向量OA 绕原点按逆时针方向旋转2π得到OA ',则OA '的坐标为A. 1()2B. 1)2-C. 1(,2D. 1(2-7. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤 （参考数据：lg20.3010≈） A.2次B.3次C.4次D.5次8.若函数x b x a x f cos sin )(+=的最大值为2，则下列结论不一定成立．．．．．的是（ ）A.422=+b aB.2ab ≤C.2()8a b +≤D.()24a b -≤9.已知平面向量,a b 满足2,a a =与a b -的夹角为 120，记(1),()m a b t t t =+-∈R ,则m 的取值范围为_______ A.),3[+∞B.),2[+∞C.),1[+∞D.),21[+∞10.如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为A.76π+1 B.7566π+ C.78π+1 D.1π+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡上． 11．在51()x x+的展开式中，x 的系数为__________.12.已知圆222:C x y r +=()0r >，直线:2l y x =+，则使“圆C 上至少有3个点到直线l 距离都 是1”成立的一个充分条件是“r =_______”.13.如图，正方形ABCD 的边长为2，取正方形ABCD 各边的中点,,,E F G H ，作第2个正方形EFGH ， 然后再取正方形EFGH 各边的中点,,,I J K L ,作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去.则第4个正方形的面积是_______；从正方形ABCD 开始，连续8个正方形面积之和是_______.14.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，==2PA AB ，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点，平面AEF 与平面PBC_______ (填“垂直”或“不垂直”）；AEF △的面积的最大值为_______．15. 已知函数)2π0,)(sin()(<>+=ϕωϕωx x f 的部分图象如图所示，设()(),g x f x =给出以下四个结论：① 函数()g x 的最小正周期是π3；② 函数()g x 在区间7π5π(,)189上单调递增； ③ 函数()g x 的图象过点3(0,)； ④ 直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴. 其中所有正确结论的序号是_______．_______．_______E DB PF三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分13分）记ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知14,4,12+==-=t c t b t a （1t >）. （Ⅰ）当3=t 时，求cos B ；（Ⅱ）是否存在正整数t ，使得角C 为钝角？如果存在，求出t 的值，并求此时ABC △的面积；如果不存在，说明理由.17.（本小题满分13分）“双减”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2”模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时.某学校的课后服务有学业辅导、体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本，发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若样本中上个月未参加任何课后服务的学生有(014)n n <≤人在本月选择仅参加学业辅导，样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化.从全校学生中随机抽取3人，以频率估计概率，以X 表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y 表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数，试判断方差()D X ,()D Y 的大小关系(结论不要求证明).18.（本小题满分14分）刍甍（chú méng ）是中国古代数学书中提到的一种几何体.《九章算术》中有记载“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.”如图，在刍甍ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，平面BAE 和平面CDE 交于EF . （Ⅰ）求证：CD 平面BAE ；（Ⅱ）若4AB =，=2EF ，ED FC =，AF =ABCDEF 存在，并求平面ADE 和平面BAE 夹角的余弦值．条件①：BF FC ⊥，AF FC ⊥； 条件②：平面CDE ⊥平面ABCD ； 条件③：平面CBF ⊥平面ABCD .19.（本小题满分15分）已知曲线W ：221(,3x y m m m+=∈-R 0,m ≠且3m ≠).（Ⅰ）若曲线W 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）当1m =时，过点(1,0)E 作斜率为k ()0k ≠的直线l 交曲线W 于点,A B （,A B 异于顶点），交直线2x =于P .过点P 作y 轴的垂线,垂足为Q ，直线AQ 交x 轴于C ，直线BQ 交x 轴于D ，求线段CD 中点M 的坐标.20.（本小题满分15分）已知函数()2ln ln f x x x a =--，0a >.（Ⅰ）求曲线()y f x =在(1,(1))f 处切线的斜率； （Ⅱ）求函数()f x 的极大值；（Ⅲ）设2()=e x g x a x -，当(1,e)a ∈时，求函数()g x 的零点个数,并说明理由.A（21）（本小题满分15分）对任意正整数n ，记集合1212{(,,,)|,,,n n n A a a a a a a =均为非负整数，且12}n a a a n +++=，集合1212{(,,,)|,,,n n n B b b b b b b =均为非负整数，且122}n b b b n +++=．设12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n b b b B β=∈，若对任意{1,2,,}i n ∈都有i i a b ≤，则记αβ．（Ⅰ）写出集合2A 和2B ；（Ⅱ）证明：对任意n A α∈，存在n B β∈，使得αβ；（Ⅲ）设集合{(,)|,,}n n n S A B αβαβαβ=∈∈，求证：n S 中的元素个数是完全平方数．北京市朝阳区2021-2022学年高三上学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题：（本题满分40分）16.(本小题满分13分) 解：（Ⅰ） 3=t 时，5,12,13,a b c ===此时ABC △为直角三角形， 所以5cos 13a B c ==.............6分 （Ⅱ）由题意可得，2221,(21)(4)(41)cos 0.2(21)4t t t t C t t >⎧⎪-+-+⎨=<⎪-⋅⎩即24120,1.t t t ⎧-<⎨>⎩所以13,t <<t *∈N .则 2.t = 此时三边为3,8,9.a b c ===所以2223891cos .2386C +-==-⨯⨯所以sin C 所以11sin 3822ABC S ab C ==⨯⨯△............13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有25人，仅参加体育锻炼的学生有18人，仅参加实践能力创新培养的学生有16人，未参加任何课后服务的学生有14人.故样本中至少参加了两类课后服务的学生有1002518161427----=人. 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为270.27100=.............4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为0,1,2,3.从样本中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为251=1004， 由此估计从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为14.0331127(0)()(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 1231127(1)(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 2213119(2)()(1)4464P X C ==⨯⨯-=， 33311(3)()464P X C ==⨯=. 所以X 的分布列为故X 的数学期望为()0123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.............10分 （Ⅲ）()()D X D Y <.............13分 18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：正方形ABCD 中，CD AB ，CD ⊄平面BAE ，AB ⊂平面BAE ，所以CD ∥平面BAE ．............5分 （Ⅱ）条件②符合题意．过点F 作FO DC ⊥于点O ，过点O 作OH DC ⊥且交AB 于点H ，连接AO ． 因为平面CDE ⊥平面ABCD ，且平面CDE 平面ABCD CD =，FO DC ⊥，所以FO ⊥平面ABCD ．所以FO OH ⊥．以O 为坐标原点，分别以,,OD OH OF 所在直线为,,x yz 轴建立空间直角坐标系O xyz -． 因为CD平面BAE ,CD ⊂平面CDE ，平面BAE 平面CDE EF =， 所以CDEF ．在四边形CDEF 中，ED FC =，=2EF ，4CD =，所以=1OC ，=3OD . 在正方形ABCD 中，4AB =，所以5AO =． 因为AO FO ⊥，且AF =FO ．所以(0,4,0)H ，(3,0,0)D ，(3,4,0)A ,E ,F ． 所以(0,4,0)DA =，(DE =-，(1,AE =--，(2,0,0)FE =．设平面ADE 的一个法向量为111(,,)x y z =n ．由0,0,DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得11140,0.y x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令11z =，所以n =．设平面BAE 的一个法向量为222(,,)x y z =m ．AC由0,0,AE FE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m得222240,20.x y x ⎧--=⎪⎨=⎪⎩令21y =，所以m =．设平面ADE 与平面BAE 夹角为θ，则cos =cos <=||||n m n m n m ,θ⋅>=所以平面ADE 和平面BAE．............14分 19.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由题意可知30,0,3.m m m m ->⎧⎪>⎨⎪->⎩解得302m <<，所以m 的取值范围为3(0,)2.............4分（Ⅱ）当1m =时，曲线W 为椭圆221,2x y +=由题意，设直线l 的方程为(1)y k x =-()0k ≠.2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(12)4220.k x k x k +-+-= 设直线l 交椭圆W 于点1122(,),(,)A x y B x y ，则 2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 由直线l 的方程(1)y k x =-，令2,x =解得y k =， 所以(2,)P k ，(0,)Q k . 所以直线AQ 的方程为11y ky x k x -=+，10x ≠. 令0,y =解得11kx x k y =-， 所以11(,0)kx C k y -. 直线BQ 的方程为22y ky x k x -=+，20x ≠. 令0,y =解得22kx x k y =-， 所以22(,0)kx D k y -. 11kx k y +-22kx k y -122112[()()]()()k x y k x y k y k y k --+-=--. 由于11(2)y k k x -=-，22(2)y k k x -=-.则11kx k y +-22kx k y - =]1221212[(2)(2)(2)(2)k x k x x k x k x x --+---1212122()2(2)(2)x x x x x x +-=--()121212122()224x x x x x x x x +-=-++=22222224222()1222841212k k k k k k k -++--+++ =2.所以线段CD 的中点M 的坐标为(1,0).............15分 20.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞2()xf x x-'=， (1)1f '=，所以曲线()y f x =在()1,(1)f 处切线的斜率为1.............4分 （Ⅱ）()2ln ln f x x x a =--，则2()xf x x-'=. 令()0f x '=得2x =.当02x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以函数()f x 的极大值为(2)f =24lnea .............10分 （Ⅲ）()e 2(1e)x g x a x a '=-<<，当(],0x ∈-∞时，()0g x '>，所以函数()g x 在(],0x ∈-∞时单调递增.而(0)0g a =>，(1)10eag -=-<. 所以方程()0g x =在()1,0x ∈-时有且只有一个根，即方程()0g x =在(],0x ∈-∞时有且只有一个根. 当0x >时，讨论函数()g x 的零点个数即讨论方程2e x a x =根的个数，即研究方程ln 2ln a x x +=(1e >0)a x <<,的根的个数，即研究函数()f x =2ln ln x x a --(1e >0)a x <<,的零点个数. 当1e a <<时，22e e a >，2244(2)lnln 0e ef a =<<，则函数()f x 在(0,)+∞上无零点. 综上,当(1,e)a ∈时，函数()g x 有且仅有一个零点.............15分 21.（本小题满分15分）解：（Ⅰ）2{(0,2),(1,1),(2,0)}A =，2{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)}B =．.....4分 （Ⅱ）对任意12(,,,)n n a a a A α=∈，设1(1,2,3,,)i i b a i n =+=，则12,,,n b b b 均为非负整数，且(1,2,3,,)i i a b i n =≤．令12(,,,)n b b b β=，则121212(1)(1)(1)()2,nn n b b b a a a a a a nn +++=++++++=++++=所以n B β∈，且αβ．............9分（Ⅲ）对任意12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n a a a A α''''=∈，记1122(,,,)n n a a a a a a αα'+=+'+'+'，则1122,,,n n a a a a a a '''+++均为非负整数，且11221212(,)))(()(2()n n n n a a a a a a a a a a a n a n n +++++'''++'''=++=+++++=所以n B αα'+∈，且,αααααα'''++．设集合n A 中的元素个数为t ，设12{,,,}n t A ααα=．设集合{(,)|1,2,,,1,2,,}n i i j T i t j t ααα=+==．对任意i n A α∈（1,2,,i t =），都有12,,,i i i t n B αααααα+++∈，且,1,2,,ii j j t ααα+=．所以n n T S ⊆．若(,)n S αβ∈，其中12(,,,)n n a a a A α=∈，12(,,,)n n b b b B β=∈，设i i i c b a =-（1,2,,i n =），因为i i a b ≤，所以0i i i c b a =-≥，记12(,,,)n c c c α'=，则1211221212()()()()()2,nn n n n c c c b a b a b a b b b a a a n n n +++=-+-+-=+++-+++=-=所以n A α'∈，并且有βαα'=+，所以(,)n T αβ∈，所以n n S T ⊆． 所以n n S T =．因为集合n T 中的元素个数为2t ，所以n S 中的元素个数为2t ，是完全平方数．............15分。
北京市海淀区2021届九年级上期中考试数学试题含答案
AOA '北京市海淀区2021届九年级上期中考试数学试题含答案数 学 2021.11学校 姓名 学号 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1．一元二次方程2320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，2 2．里约奥运会后，受到奥运健儿的感召，群众参与体育运动的热度不减，全民健身再次成为了一种时尚，球场上也显现了更多年轻人的身影．请问下面四幅球类的平面图案中，是中心对称图形的是A B C D 3．用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是A ．()239x += B ．()239x -= C ．()236x += D ．()237x += 4．如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从 A 点运动到了A '点，则'OAA ∠的度数为 A ．40° B ．50° C ．70° D ．80°5．将抛物线22y x =平移后得到抛物线221y x =+，则平移方式为 A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位6．在△ABC 中，90C ︒∠=，以点B 为圆心，以BC 长为半径作圆，点A 与该圆的位置关系为A ．点A 在圆外B ．点A 在圆内C ．点A 在圆上D ．无法确定 7．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 8．已知2是关于x 的方程230x ax a +-=的根，则a 的值为A ．4-B ．4C ．2D ．459．给出一种运算：关于函数nx y =，规定1-='n nx y ．例如：若函数41y x =，则有314y x '=．函数32y x =，则方程212y '=的解是A ．14x =，24x =-B ．123x =，223x =-C ．021==x xD ．12x =，22x =-10．太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍照地点的一种方法．为了确定视频拍照地的经度，我们需要对比视频中影子最短的时刻与同一天东经120度影子最短的时刻．在一定条件下，直杆的太阳影子长度l （单位：米）与时刻t （单位：时）的关系满足函数关系2l at bt c =++（a ，b ，c 是常数），如图记录了三个时刻的数据，依照上述函数模型和记录的数据，则该地影子最短时，最接近的时刻t 是A ．12.75B ．13C ．13.33D ．13.5二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．方程02=-x x 的解为 ．12．请写出一个对称轴为3x =的抛物线的解析式 ．13．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，其中合格的是图 （填“甲”、“乙”或“丙”），你的依照是_______________________________________________________ _______________________________________________________．14．若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是 ．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，半径OB 的长为3，则AB的长为 ．16．CPI 指居民消费价格指数，反映居民家庭购买消费商品及服务的价格水平的变动情形．CPI 的涨跌率在一定程度受到季节性因素和天气因素的阻碍．依照北京市2020年甲 乙丙1413120.350.40.6Ol (米t (时)B OyxO –1–2–3123–1–2–3123与2021年CPI 涨跌率的统计图中的信息，请判定2020年1~8月份与2021年1~8月份，同月份比较CPI 涨跌率下降最多的月份是 月；请依照图中提供的信息，预估北京市2021年第四季度CPI 涨跌率变化趋势是 ，你的预估理由是 ．2020与2021年CPI 涨跌率（%）三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：246x x +=．18．求抛物线22y x x =-的对称轴和顶点坐标，并画出图象．19．如图，A ，D 是半圆上的两点，O 为圆心，BC 是直径，∠D =35°，求∠OAC 的度数．20．已知：2230m m +-=．D B O C A图2求证：关于x 的方程2220x mx m --=有两个不相等的实数根．21．如图，在等边△ABC 中，点D 是 AB 边上一点，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE ，连接AE ． 求证：AE ∥BC ．22．如图1，在线段AB 上找一点C ，C 把AB 分为AC 和CB 两段，其中BC 是较小的一段，假如2BC AB AC ⋅=，那么称线段AB 被点C 黄金分割．为了增加美感，黄金分割经常被应用在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域． 如图2，在我国古代紫禁城的中轴线上，太和门位于太和殿与内金水桥之间靠近内金水桥的一侧，三个建筑的位置关系满足黄金分割，已知太和殿到内金水桥的距离约为1005 2.2）．A C B图1B CDA EDOMB EC FA23．如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他 测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A ，B 两点的距离为18米，求这种 装置能够喷灌的草坪面积．24．下表是二次函数2y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值：x… 1-12-12 132 252 3 … y…m141-74- 2-74- 1-142…（1）二次函数图象的开口向 ，顶点坐标是 ，m 的值为 ；（2）当0x ＞时，y 的取值范畴是 ；（3）当抛物线2y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下方时，n 的取值范畴是 ．25．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点A作⊙O 的切线交BC 的延长线于点F ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）过点C 作CM ⊥AF 于M 点，若CM = 4，BE = 6，求AE 的长．图1OA B240°图226．小华在研究函数1y x =与22y x =图象关系时发觉：如图所示，当1x =时，11y =，22y =；当2x =时，12y =，24y =；…；当x a =时，1y a =，22y a =．他得出假如将函数1y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原先的2倍，就能够得到函数22y x =的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：（1）假如函数3y x =图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原先的3倍，得到的函数图象的表达式为 ；（2）①将函数2y x =图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原先的 倍，得到函数24y x =的图象；②将函数2y x =图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原先的2倍，得到图象 的函数表达式为 ．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x mx n =++-的对称轴为2x =．（1）m 的值为 ；（2）若抛物线与y 轴正半轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ，当△OAB 是等腰直角三角形时，求n 的值；（3）点C 的坐标为（3，0），若该抛物线与线段OC 有且只有一个交点，求n 的取值范畴．28．在菱形ABCD 中，∠BAD =α，E 为对角线AC 上的一点（不与A ，C 重合），将射线EB绕点E 顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD 交于F 点．试探究线段EB 与EF 的数量关系．小宇发觉点E 的位置，α和β的大小都不确定，因此他从专门情形开始进行探究．（1）如图1，当α=β=90°时，菱形ABCD 是正方形．小宇发觉，在正方形中，AC 平分∠BAD ，作EM ⊥AD 于M ，EN ⊥AB 于N ．由角平分线的性质可知EM =EN ，进而可得EMF ENB △≌△，并由全等三角形的性质得到EB 与EF 的数量关系为 ．（2）如图2，当α=60°，β=120°时，①依题意补全图形；②请帮小宇连续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立， 请举出反例说明；（3） 小宇在利用专门图形得到了一些结论之后，在此基础上对一样的图形进行了探究，FEM CD A N B 图1 图2设∠ABE =γ，若旋转后所得的线段EF 与EB 的数量关系满足（1）中的结论，请直截了当写出角α，β，γ满足的关系：． 29．点P 到AOB ∠的距离定义如下：点Q 为AOB ∠的两边上的动点，当PQ 最小时，我们称现在PQ 的长度为点P 到AOB ∠的距离，记为()d P AOB ∠，．专门的，当点P 在AOB ∠的边上时，()0d P AOB ∠=，． 在平面直角坐标系xOy 中，A ()40，． （1）如图1，若M （0，2），N （1-，0），则()d M AOB ∠=， ，()d N AOB ∠=， ；（2）在正方形OABC 中，点B （4，4）．①如图2，若点P 在直线34y x =+上，且()d P AOB ∠=，，求点P 的坐标；②如图3，若点P 在抛物线24y x =-上，满足()d P AOB ∠=，P 有个，请你画出示意图，并标出点图2图1图3九年级第一学期期中练习数 学 答 案 2021．11一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．1201x x ==，； 12．()23y x =-（答案不唯独）；13．乙，90°的圆周角所对的弦是直径； 14．1-； 15． 16．8，第二空填“上涨”、“下降”、“先减后增”等，第三空要能支持第二空的合理性即可．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．解法一：解：24410x x ++=，----------------------------------------------------------------------------------1分 ()2210x +=，-------------------------------------------------------------------------------------3分2x =-±12x =-，22x =- -------------------------------------------------------------5分解法二： 解：2460x x +-=，----------------------------------------------------------------------------------1分-2b x a ±==，----------------------------------------------------3分2x =-±12x =-，22x =- -------------------------------------------------------------5分 18．解：()211y x =--，-----------------------------------------------------------------------------------1分∴对称轴为1x =． --------------------------------------------------------------------------------2分顶点为()11-，． ----------------------------------------------------------------------------------3分----------------------------------------------------------------------------5分19．解法一：解：∵35D ∠=°，∴35B D ∠=∠=°． ---------------------------------------------1分 ∵BC 是直径， ∴90BAC ∠=°．∴90ACB ∠=°55ABC -∠=°． -------------------------------3分 ∵OA OC =，∴55OAC OCA ∠=∠=°． --------------------------------------5分 解法二：解：∵35D ∠=°， ∴270AOC D ∠=∠=°． ---------------------------------------------------------------------1分∵OA OC =， ∴OAC OCA ∠=∠，----------------------------------------------------------------------------3分∵180OAC OCA AOC ∠+∠+∠=°， ∴55OAC ∠=°． ---------------------------------------------------------------------------------5分 20．解：∵2230m m +-=， ∴223m m +=． ---------------------------------------------------------------------------------1分∴248m m ∆=+-----------------------------------------------------------------------------------2分 ()242120m m =+=＞，------------------------------------------------------------------4分 ∴原方程有两个不相等的实数根． -------------------------------------------------------------5分 21．解：∵等边ABC △，∴AC BC =，60B ACB ∠=∠=°．∵线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到CE ， ∴CD CE =，60DCE ∠=°． ∴DCE ACB ∠=∠．------------------------------------------------1分即1223∠+∠=∠+∠．∴13∠=∠． -----------------------------------------------------------------------------------------2分 在BCD △与ACE △中，13BC AC CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BCD △≌ACE △． ------------------------------------------------------------------------3分∴60EAC B ∠=∠=°． ∴EAC ACB ∠=∠．--------------------------------------------------------------------------------4分∴AE BC ∥． --------------------------------------------------------------------------------------5分 22．解：设太和门到太和殿的距离为x 丈，321DB CA E-----------------------------------------------------------1分 由题意可得，()2100100x x =-.----------------------------------------------------------------------------3分150x =-+，250x =--（舍）.--------------------------------------------4分 5050 2.260x ≈-+⨯=．答：太和门到太和殿的距离为60丈． ------------------------------------------------------------5分 23．解：过点O 作OC AB ⊥于C 点．∵OC AB ⊥，18AB =，∴192AC AB ==． ---------------------------------------1分∵OA OB =，360AOB ∠=°240-°120=°，∴1602AOC AOB ∠=∠=°． ---------------------------2在Rt OAC △中，222OA OC AC =+，又∵12OC OA =，∴r OA == -----------------------------------------4分 ∴240360S =πr 2=72π（m 2）．----------------------------------5分 24．（1）上；()12-，；2；（说明：每空1分） ------------------------------------------------------3分 （2）2y ≥-；------------------------------------------------------------------------------------------4分 （3）3n >-． -------------------------------------------------------------------------------------------5分 25．（1）连接BD ， ∵AB 是直径，∴90ADB ∠=°． --------------------------1∵AF 是⊙O 的切线， ∴90BAF ∠=°.∴1290BAC BAC ∠+∠=∠+∠=°． ∴12∠=∠. ∵AB=BC ， ∴2122ABC ∠=∠=∠． ---------------------------------------------------------------------2分（2）∵12334∠=∠=∠∠=∠，，∴24∠=∠． ∵AB 是直径， ∴CE⊥AE ．--------------------------------------------------------------------------------------------3分 ∵CM ⊥AF ，CM =4, ∴CE =CM =4． --------------------------------------------------------------------------------------4分 ∵BE =6,∴AB =BC =BE +EC =10．在Rt △ABE 中，8AE ===． ----------------------------------------------------5分 26．（1）9y x=;-------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）①4；----------------------------------------------------------------------------------------------3分 ②214y x =． --------------------------------------------------------------------------------------5分27．（1）4-． ----------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）241y x x n =-+-， ()01A n -，，()20B ， ，------------------------------------------------------------------2分12n -=，3n =． --------------------------------------------------------------------------------------------3分（3）如图1，当抛物线顶点在x 轴上时，5n =， ------------------------------------------------4分 如图2，当抛物线过点C (3，0)时，4n =，--------------------------------------------------5分如图3，当抛物线过原点时，1n =， ---------------------------------------------------------6分结合图象可得，14n ≤<或5n =．------------------------------------------------------------7分28．（1）EB=EF；------------------------------------------------------------------------------------------1分 （2）①；---------------------------------------------------------------------2分 ②结论依旧成立EB =EF ． -----------------------------------3分证法1：过点E 作EM ⊥AF 于M ，EN ⊥AB 于N ．∵四边形ABCD 为菱形，∴12∠=∠．∵EM ⊥AF ，EN ⊥AB ．∴=90FME N ∠=∠°，EM=EN ． -------------------4分 ∵60BAD ∠=°，120BEF ∠=°，∴3360F ∠+∠=°180BAD BEF -∠-∠=°． ∵3180EBN ∠+∠=°， ∴F EBN ∠=∠．------------------------------------------------------------------------------5分 在△EFM 与△EBN 中，F EBN FME N EM EN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△EFM ≌△EBN ． ∴EF=EB ． ------------------------------------------------------------------------------------6分证法2：连接ED∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD =AB ，∠DAC =∠BAE ． 又∵AE =AE ,∴△ADE ≌△ABE ．∴ED =EB ，∠ADE =∠ABE ． ------------------------4分 又∵∠DAB =60°，∠BEF =120°． ∴∠F +∠ABE =180°．又∵∠ADE +∠FDE =180°， --------------------------5分 ∴∠F =∠FDE ． ∴EF =ED ． ∴EF =EB ． -------------------------------------------------------------------------------------6分 （3）+=180αβ°或++=18022αβγ°． ------------------------------------------------------7分 29．（1）1；1．（说明：每空1分） --------------------------------------------------------------------2分（2）①如图，点P 在EF 上时，OP=， 设P （x ，3x +4），()22348x x ++=，12225x x =-=-，（舍），P ()22--，， --------------------------------4分点P 在射线FG 上时，P 到射线OB的距离为 点P 与点C 重合，P ()04，， -------------------------------------5分∴P ()22--，，()04，．②4． -------------------------------------------------------------------------------------------------6分 -------------------------------------------------------------8分（说明：每标对两个点得1分）。
2021年全国统一高考理科数学试卷(全国乙卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考理科数学试卷（全国乙卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（共12题；共60分）1. ( 5分) 设2（z+ z̅）+3(z- z̅)=4+6i，则z=（）.A. 1-2iB. 1+2iC. 1+iD. 1-i2. ( 5分) 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）A. ∅B. SC. TD. Z3. ( 5分) 已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A. p ∧qB. ¬p ∧qC. p ∧¬qD. ¬(pVq)4. ( 5分) 设函数f(x)= 1−x1+x，则下列函数中为奇函数的是（）A. f(x-1)-1B. f(x-1)+1C. f(x+1)-1D. f(x+1)+15. ( 5分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A. π2B. π3C. π4D. π66. ( 5分) 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. ( 5分) 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y=sin(x- π4)的图像，则f(x)=（）A. sin( x2−7π12) B. sin( x2+π12) C. sin( 2x−7π12) D. sin( 2x+π12)8. ( 5分) 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A. 74B. 2332C. 932D. 299. ( 5分) 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
2025届甘肃省兰州市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题含解析
2025届甘肃省兰州市第二中学高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞2．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，b f ⎛=- ⎝，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>3．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-4．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-5．已知函数2()ln(1)f x x x-=+-,则函数(1)=-y f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->- B ．()()211bb a a ->- C ．()()11aba b +>+ D ．()()11aba b ->- 7．在101()2x x-的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．158．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b-=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、 B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ） A ．43B ．54C ．65D ．769．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面 10．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．11．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A ．18B ．14C ．16D ．1212．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。