2020版高考数学一轮复习课时规范练19三角函数的图像与性质理北师大版201903164190

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北京专用2020届高考数学一轮第四章三角函数.三角函数的图象与性质

象的对称轴为直线
ｘ
＝
ｋπ＋
π ２
ꎬｋ∈Ｚꎬ对称中心为(
ｋπꎬ０)
ꎬｋ∈Ｚꎻ
ｙ＝ｃｏｓｘ图象的对称轴为直线ｘ＝ｋπꎬ ｋ ∈ Ｚꎬ 对称中心为
( ) ( ) ｋπ＋
π ２
ꎬ０
ꎬｋ∈Ｚꎻｙ＝ｔａｎｘ图象的对称中心为
ｋπꎬ０２
ꎬｋ∈Ｚꎬ
无对称轴.
(２) 利用整体代换思想求解函数ｙ＝Ａｓｉｎ( ωｘ＋ φ) 图象的对
｜
φ ω
｜
(
ω>０)
个单位.
原因在于相位变换
和周期变换都
是针对ｘ而言的.
三角函数的综合应用
１.三角函数ｙ＝Ａｓｉｎ( ωｘ＋φ) ꎬｙ＝Ａｃｏｓ( ωｘ＋φ) 的定义域为
{ } Ｒꎻｙ＝Ａｔａｎ(ωｘ＋φ)的定义域为
ｘ
ｘ≠ｋωπ－
φ ω
＋２πωꎬｋ∈Ｚ
.
２.函数ｙ＝Ａｓｉｎ( ωｘ＋φ) ꎬｙ＝Ａｃｏｓ( ωｘ＋φ) 的最大值为｜Ａ｜ ꎬ
４８５年高考３年模拟Ｂ版( 教师用书)
§ ４.３三角函数的图象与性质
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2020版高考数学一轮复习课后限时集训19三角函数的图像与性质文含解析北师大版

课后限时集训(十九)(建议用时：60分钟)A 组基础达标一、选择题1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.] 3．(2019·长春模拟)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．(2019·广州模拟)函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称 B ．关于直线x ＝－π4对称 C ．关于直线x ＝π2对称 D ．关于直线x ＝－π2对称 B [f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，故选B.] 5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 C [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π得φ＝π4. ∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . 当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.] 二、填空题6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的递减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z 得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .] 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，119 [由π＜x ＜3π2得πω－π3＜ωx －π3＜3π2ω－π3，由题意知⎝⎛⎭⎪⎫πω－π3，3π2ω－π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ πω－π3≥2k π＋π2，k ∈Z 3π2ω－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得⎩⎪⎨⎪⎧ ω≥2k ＋56，k ∈Z ω≤43k ＋119，k ∈Z当k ＝0时，56≤ω≤119.] 三、解答题9．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 10．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z . 所以函数f (x )图像的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z .(2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时， 3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.B 组能力提升1．直线x ＝π3，x ＝π2都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤π)的对称轴，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上递减，则( ) A ．ω＝6，φ＝π2B ．ω＝6，φ＝－π2C ．ω＝3，φ＝π2D ．ω＝3，φ＝－π2A [由题意知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝π3，由T ＝2πω＝π3得ω＝6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1得sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝1. 又φ∈(－π，π]得φ＝π2，故选A ．] 2．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22 B [由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] 3．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图像的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [由两三角函数图像的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.] 4．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m . 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。

高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第19讲三角函数的图像与性质(55张PPT)

2
sin（x－
π 4
）>0，将x－
π 4
视为一
点面
个整体，由正弦函数y＝sin
x的图像和性质可知2kπ<x－
π 4
<π＋
讲
考向
2kπ，解得2kπ＋π4<x<54π＋2kπ，k∈Z.
所以所求定义域为
x
π4＋2kπ<x<54π＋2kπ，k∈Z．
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第19讲三角函数的图像与性质
点
(2)要使函数有意义，必须有21s－in2xc－os1x>≥00，，
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第19讲三角函数的图像与性质
双
向
固基
[答案](1)× (2)×
础
[解析] (1)因为y＝sin（x＋32π）＝sin（π＋π2＋x）＝－
sin（
π 2
＋x）＝－cosx，所以函数y＝sin（x＋
3π 2
）是偶函
数．
(2)因为y＝cos（x－
π 2
）＝cos（
π 2
－x）＝sinx，所以y＝
双
向
固
基
础
2．[教材改编] 函数 y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是 3，则它
的最小值是________．
[答案]－1
[解析] 依题意得 A＋1＝3，所以 A＝2，所以函数 y＝2sin x＋1 的最小值为 1－2＝－1.
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•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021

高考数学一轮复习第三章三角函数的图像与性质学案理含解析北师大版

高考数学一轮复习：第四节三角函数的图像与性质命题分析预测学科核心素养本节是高考考查的重点，主要考查：（1）三角函数的图像变换；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图像与性质的综合应用，有时也与三角恒等变形综合考查，多以选择题和填空题的形式呈现，难度中等偏下．本节通过三角函数的图像及性质考查考生的直观想象和数学运算核心素养，及化归思想和整体代换思想的应用．授课提示：对应学生用书第72页知识点三角函数的图像与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：（0，0），⎝⎛⎭⎫π2，1，（π，0），⎝⎛⎭⎫3π2，－1，（2π，0）．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：（0，1），⎝⎛⎭⎫π2，0，（π，－1），⎝⎛⎭⎫3π2，0，（2π，1）．五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）． 2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图像定义域RR{x |x ∈R ，且x ≠k π＋⎭⎬⎫π2，k ∈Z 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡－π2＋2k π，⎦⎤π2＋2k π（k ∈Z ）上是递增函数，在在[2k π－π，2k π]（k ∈Z ）上是递增函数，在[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ）上是在⎝⎛－π2＋k π，⎭⎫π2＋k π（k ∈Z ）上是递增函数⎣⎡π2＋2k π，⎦⎤3π2＋2k π（k ∈Z ）上是递减函数递减函数函数 y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x周期性周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是2π 周期是2k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是2π 周期是k π（k ∈Z 且k ≠0），最小正周期是π对称性对称轴是x ＝π2＋k π（k ∈Z ），对称中心是（k π，0）（k ∈Z ）对称轴是x ＝k π（k ∈Z ），对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0（k ∈Z ）对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2，0（k ∈Z ） • 温馨提醒 • 二级结论正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．必明易错1．正切函数的图像是由直线x ＝k π＋π2（k ∈Z ）隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π（k ∈Z ），不能说它在整个定义域内是增函数，如π4＜3π4，但是tan π4＞tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数的单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件．1．（2021·沈阳模拟）若函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为A ，则（） A ．T ＝π，A ＝1 B ．T ＝2π，A ＝1 C ．T ＝π，A ＝2D ．T ＝2π，A ＝2解析：最小正周期T ＝2π2＝π，最大值A ＝1．答案：A2．y ＝tan 2x 的定义域是_________．解析：由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，所以y ＝tan 2x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z 3．函数f （x ）＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为_________．解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，所以函数f （x ）在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3．答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 4．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4图像的对称中心是_________．解析：由x ＋π4＝k 2π，k ∈Z ，得x ＝k 2π－π4，k ∈Z ．答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π4，0（k ∈Z ）5．（2021·青岛模拟）函数f （x ）＝sin （－2x ）的单调增区间是_________．解析：由f （x ）＝sin （－2x ）＝－sin 2x ，令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2（k ∈Z ）得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4（k ∈Z ）．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4（k ∈Z ）授课提示：对应学生用书第73页题型一三角函数的定义域与值域1．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为_________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ．所以函数y 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3的值域是_________．解析：∵0＜x ≤π3，∴π3＜x ＋π3≤23π，又y ＝cos x 在[0，π]上是减函数，∴cos 23π≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＜cos π3，即－12≤y ＜12．答案：⎣⎡⎭⎫－12，12 3．函数y ＝cos 2x －2sin x 在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为_________．解析：设sin x ＝t ，则t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22． ∴y ＝1－sin 2x －2sin x ＝－（t ＋1）2＋2，t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22，故当t ＝－22，即x ＝－π4时，y max ＝－⎝⎛⎭⎫－22＋12＋2＝22＋12．答案：22＋121．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法（1）利用sin x 和cos x 的范围直接求．（2）把所给的三角函数式变换成y ＝A sin （ωx ＋φ）的形式求值域．（3）把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域．（4）利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域．题型二三角函数的性质三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有：（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的奇偶性；（3）三角函数的对称性；（4）三角函数的单调性．考法（一）三角函数的周期性[例1] （1）函数y ＝2sin 2x ＋sin 2x 的最小正周期是（） A ．π4B ．π2C ．πD ．2π（2）函数f （x ）＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期是_________．[解析] （1）函数y ＝2sin 2x ＋sin 2x ＝2×1－cos 2x 2＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，则函数的最小正周期为2π2＝π．（2）∵f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 ＝|cos x |＋|sin x |＝f （x ）， ∴f （x ）的最小正周期是π2．[答案] （1）C （2）π2三角函数的周期求法（1）利用周期定义．（2）利用公式：y ＝A sin （ωx ＋φ）和y ＝A cos （ωx ＋φ）的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan （ωx ＋φ）的最小正周期为π|ω|．（3）利用图像．考法（二）三角函数的奇偶性[例2] 函数f （x ）＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈（0，π）．（1）若f （x ）为偶函数，则φ＝；（2）若f （x ）为奇函数，则φ＝_________． [解析] （1）∵f （x ）＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为偶函数， ∴－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈（0，π），∴φ＝5π6．（2）∵f （x ）＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ为奇函数， ∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，即φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又∵φ∈（0，π），∴φ＝π3．[答案] （1）5π6 （2）π3函数具有奇偶性的充要条件函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数⇔φ＝k π（k ∈Z ）；函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（x ∈R ）是偶函数⇔φ＝k π＋π2（k ∈Z ）；函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（x ∈R ）是奇函数⇔φ＝k π＋π2（k ∈Z ）；函数y ＝A cos （ωx ＋φ）（x ∈R ）是偶函数⇔φ＝k π（k ∈Z ）．考法（三）三角函数的对称性[例3] 已知函数f （x ）＝a sin x ＋cos x （a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线x ＝π6对称，则函数g （x ）＝sin x ＋a cos x 的图像（） A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称 C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝π6对称[解析] 因为函数f （x ）＝a sin x ＋cos x （a 为常数，x ∈R ）的图像关于直线x ＝π6对称，所以f （0）＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g （x ）＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，函数g （x ）的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π3，k ∈Z ，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3．所以g （x ）＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝π3对称．[答案] C1．对于函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点（x 0，0）是否是函数图像的对称轴或对称中心时，可通过检验f （x 0）的值进行判断．2．函数图像的对称性与周期T 之间有如下结论：①若函数图像相邻的两条对称轴分别为x ＝a 与x ＝b ，则最小正周期T ＝2|b －a |；②若函数图像相邻的两个对称中心分别为（a ，0），（b ，0），则最小正周期T ＝2|b －a |；③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为（a ，0）与x ＝b ，则最小正周期T ＝4|b －a |．考法（四）三角函数的单调性[例4] （1）（2019·高考全国卷Ⅱ）下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是（） A ．f （x ）＝|cos 2x | B ．f （x ）＝|sin 2x | C ．f （x ）＝cos|x |D ．f （x ）＝sin|x |（2）已知ω＞0，函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是_________．[解析] （1）作出函数f （x ）＝|cos 2x |的图像，如图：由图像可知f （x ）＝|cos 2x |的周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递增．同理可得f （x ）＝|sin 2x |的周期为π2，在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2上单调递减，f （x ）＝cos|x |的周期为2π．f （x ）＝sin|x |不是周期函数，排除B ，C ，D ．（2）法一：由π2＜x ＜π，ω＞0，得ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z ．又由4k ＋12－⎝⎛⎭⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54＞0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎡⎦⎤12，54．法二：由已知T 2＝πω≥π2，所以0＜ω≤2，又π2＜x ＜π，得π4＜ωx ＋π4＜94π．当π2≤ωx ＋π4≤32π时，f （x ）单调递减，解得π4ω≤x ≤5π4ω，于是应有⎩⎨⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π，解得12≤ω≤54． [答案] （1）A （2）⎣⎡⎦⎤12，54已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解；（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解；（3）周期法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式（组）求解．[题组突破]1．（2021·合肥联考）函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图像的一条对称轴的方程可以是（） A ．x ＝－π6 B ．x ＝11π12C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12解析：f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3．令2x －π3＝π2＋k π（k ∈Z ），可得x ＝512π＋k 2π（k ∈Z ）．令k ＝1可得函数图像的一条对称轴的方程是x ＝1112π．答案：B2．（2021·常德检测）将函数f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图像，则下列说法不正确的是（） A ．g （x ）的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g （x ）图像的一条对称轴D ．g （x ）为奇函数解析：由题意得g （x ）＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以最小正周期为π，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g （x ）图像的对称轴，g （x ）为奇函数．答案：C3．（2021·湖南四地联考）已知f （x ）＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为（） A ．[－2，＋∞） B ．（－2，＋∞） C ．（－∞，－4）D ．（－∞，－4]解析：f （x ）＝cos 2x ＋a cos ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝1－2sin 2x －a sin x 在⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增且sin x ∈⎝⎛⎭⎫12，1．令t ＝sin x ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则y ＝－2t 2－at ＋1在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增，则－a4≥1，因而a ∈（－∞，－4]．答案：D三角函数性质中的核心素养数学运算——三角函数中ω值（范围）的求法问题 1．利用三角函数的对称性求解[例1] 已知函数f （x ）＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3（ω＞0）的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有（） A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1[解析] 因为函数的中心到对称轴的最短距离是T 4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以对称中心⎝⎛⎭⎫π12，0到对称轴x ＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12＝T 4＋kT2（k ∈Z ，T 为周期），解得（2k ＋1）T ＝π，又T ＝2πω，所以（2k ＋1）·2πω＝π，则ω＝2（2k ＋1），当k ＝0时，ω＝2最小．[答案] A三角函数的对称轴必经过其图像上的最高点或最低点，函数f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）的对称中心就是其图像与x 轴的交点，故可利用三角函数的极值点（最值点）、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值或范围． 2．利用三角函数的最值求解[例2] 已知函数f （x ）＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是_________． [解析] 显然ω≠0．若ω＞0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，因为函数f （x ）＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32．若ω＜0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，因为函数f （x ）＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2．所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2．综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是（－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞． [答案] （－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．[题组突破]1．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6（ω∈N ＋）图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为_________．解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫πω6＋π6＝0，则πω6＋π6＝π2＋k π（k ∈Z ）⇒ω＝6k ＋2（k ∈Z ），又ω∈N ＋，所以ω的最小值为2．答案：22．已知f （x ）＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3（ω＞0），f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f （x ）在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，则ω＝_________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，而12⎝⎛⎭⎫π6＋π3＝π4，所以f （x ）的图像关于直线x ＝π4对称，又f （x ）在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，所以f （x ）min ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫πω4＋π3＝－1，所以πω4＋π3＝2k π＋3π2，k ∈Z ，解得ω＝8k ＋143．再由f （x ）在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内有最小值无最大值，得2πω＝T ≥π3－π6，解得ω≤12，所以0＜ω≤12，所以k ＝0，ω＝143．答案：143。

2023届高考数学一轮复习作业三角函数的图像与性质北师大版

三角函数的图像与性质一、选择题1．函数f (x)＝ln(cos x)的定义域为( )A．，k∈ZB．(kπ，kπ＋π)，k∈ZC．，k∈ZD．(2kπ，2kπ＋π)，k∈ZC　[由题意知cos x＞0，则2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，故选C．]2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)的两个相邻的极值点，则ω＝( )A．2 B． C．1 D．A　[由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2．故选A．]3．下列函数中最小正周期为π，且在上为增函数的是( )A．f (x)＝|sin 2x|B．f (x)＝tan|x|C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝cos|2x|C　[函数f (x)＝tan|x|不是周期函数，因此排除B．函数f (x)＝|sin 2x|在上不是单调函数，故排除A．函数f (x)＝cos|2x|在上是减函数，故排除D，综上知选C．]4．(2021·北京高考)已知函数f (x)＝cos x－cos 2x，则该函数( )A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为D．偶函数，最大值为D　[函数f (x)定义域为R，且f (－x)＝f (x)，则f (x)为偶函数，f (x)＝cos x－cos 2x＝cos x－(2cos2x－1)＝－2cos2x＋cos x＋1＝－2＋，故最大值为，故选D．]5．已知函数f (x)＝sin(0＜ω＜π)，f ＝0，则函数f (x)的图像的对称轴方程为( ) A．x＝kπ－，k∈Z B．x＝kπ＋，k∈ZC．x＝kπ，k∈Z D．x＝kπ＋，k∈ZC　[f (x)＝sin＝cos ωx，则f ＝cos＝0，∵0＜ω＜π，∴ω＝，解得ω＝2，即f (x)＝cos 2x．由2x＝kπ，k∈Z得x＝kπ，k∈Z，故选C．]二、填空题6．函数y＝cos的单调递减区间为________．(k∈Z)　[因为y＝cos＝cos，所以令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]7．若函数f (x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________．　[由题意知ω＝，解得ω＝．]8．函数f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)是奇函数，则tan θ等于________．－　[f (x)＝cos(3x－θ)－sin(3x－θ)＝2sin＝－2sin，因为函数f (x)为奇函数，则有－－θ＝kπ，k∈Z，即θ＝－kπ－，k∈Z，故tan θ＝tan＝－．]三、解答题9．(2021·浙江高考)设函数f (x)＝sin x＋cos x(x∈R)．(1)求函数y＝的最小正周期；(2)求函数y＝f (x)f 在上的最大值．[解]　(1)因为f (x)＝sin x＋cos x，所以f ＝sin＋cos＝cos x－sin x，所以y＝＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x．所以函数y＝的最小正周期T＝＝π．(2)f ＝sin＋cos＝sin x，所以y＝f (x)f ＝sin x(sin x＋cos x)＝(sin x cos x＋sin2x)＝＝sin＋．当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，函数y＝f (x)f 在上取得最大值，且y max＝1＋．10．已知f (x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝时，f (x)的最大值为2．(1)求f (x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f (x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．[解]　(1)由T＝2知＝2得ω＝π．又当x＝时f (x)max＝2，知A＝2．且＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ＋(k∈Z)．∴f (x)＝2sin＝2sin．(2)存在．令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝k＋(k∈Z)．由≤k＋≤．得≤k≤，又k∈Z，∴k＝5．故在上存在f (x)的对称轴，其方程为x＝．1．(2021·朝阳区二模)已知函数f (x)＝sin，则下列四个结论中正确的是( )A．函数f (x)的图像关于中心对称B．函数f (x)的图像关于直线x＝－对称C．函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点D．函数f (x)在区间上单调递增C　[对于函数f (x)＝sin，令x＝，求得f (x)＝，故函数f (x)的图像不关于中心对称，故排除A；令x＝－，求得f (x)＝sin，不是最值，故函数f (x)的图像不关于直线x＝－对称，故排除B；在区间(－π，π)上，2x－∈，当2x－＝－2π，－π，0，π时，f (x)＝0，故函数f (x)在区间(－π，π)内有4个零点，故C正确；在区间上，2x－∈，f (x)没有单调性，故D错误，故选C．]2．(2021·成都模拟)关于函数f (x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f (x)是偶函数；②f (x)在区间上单调递增；③f (x)在[－π，π]上有4个零点；④f (x)的最大值为2．其中所有正确结论的编号是( )A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③C　[f (－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f (x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f (x)＝sin x＋sinx＝2sin x，∴f (x)在上单调递减，故②不正确；f (x)在[－π，π]上的图像如图所示，由图可知函数f (x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin| x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④．故选C．]3．已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (0＜ω＜1，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图像关于点M对称．(1)求φ，ω的值；(2)求f (x)的单调递增区间；(3)x∈，求f (x)的最大值与最小值．[解]　(1)因为f (x)＝sin(ωx＋φ)是R上的偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝，即f (x)＝cos ωx．因为图像关于点M对称，所以ω×＝＋kπ，k∈Z，且0＜ω＜1，所以ω＝．(2)由(1)得f (x)＝cos x，由－π＋2kπ≤x≤2kπ且k∈Z得，3kπ－≤x≤3kπ，k∈Z，所以函数f (x)的递增区间是，k∈Z．(3)因为x∈，所以x∈，当x＝0时，即x＝0，函数f (x)的最大值为1，当x＝－时，即x＝－，函数f (x)的最小值为0．1．已知函数f (x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝( )A．－B．－C．D．C　[法一：∵f (x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C．法二：∵f (x)＝sin x＋cos x，∴f ′(x)＝cos x－sin x．又f (x)在x＝θ时取得最大值，∴f ′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，则cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故选C．]2．已知函数f (x)＝a＋b．(1)若a＝－1，求函数f (x)的单调增区间；(2)当x∈[0，π]时，函数f (x)的值域是[5，8]，求a，b的值．[解]　f (x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝a sin＋a＋b．(1)当a＝－1时，f (x)＝－sin＋b－1，由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴f (x)的单调增区间为(k∈Z)．(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，∴－≤sin≤1．依题意知a≠0，①当a＞0时，∴a＝3－3，b＝5；②当a＜0时，∴a＝3－3，b＝8．综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8．。

北京2020版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第五节三角函数的图象与性质作业本理

第五节三角函数的图象与性质A组基础题组1.y=|cos x|的一个单调增区间是( )A. B.[0,π]C. D.2.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )A.y=sinB.y=cosC.y=sinD.y=cos3.设函数f(x)=sin-cos的图象关于原点对称,则角θ=()A.-B.C.-D.4.已知函数f(x)=3cos在上的最大值为M,最小值为m,则M+m等于( )A.0B.3+C.3-D.5.已知函数f(x)=sin-1(ω>0)的最小正周期为,则f(x)的图象的一条对称轴方程是( )A.x=B.x=C.x=D.x=6.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是( )A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象关于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在单调递减7.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.8.(2017北京房山一模,15)已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求ω的值;(2)设函数g(x)=f(x)+2cos2x-1,求g(x)在区间上的最大值和最小值.B组提升题组9.已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=D.x=10.同时具有性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在区间上单调递增”的一个函数是( )A.y=cosB.y=sinC.y=cosD.y=sin11.(2017北京朝阳二模,4)已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为4π,则( )A.函数f(x)的图象关于原点对称B.函数f(x)的图象关于直线x=对称C.函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后,所得的图象关于原点对称D.函数f(x)在区间(0,π)上单调递增12.已知点A,B,C,若这三个点中有且仅有两个点在函数f(x)=sin ωx的图象上,则正．数．ω．的最小值为.13.(2018北京东城期中,15)设函数f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx),其中0<ω<2.(1)若f(x)的最小正周期为π,求f(x)的单调递增区间;(2)若函数f(x)的图象的一条对称轴为x=,求ω的值.答案精解精析A组基础题组1.D 作出y=|cos x|的图象(如图).易知是y=|cos x|的一个单调增区间.故选D.2.A 由于函数周期为π,所以排除C,D;对于A,由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z.得单调减区间为(k∈Z).显然⫋(k∈Z).故选A.3.D ∵f(x)=2sin,且f(x)的图象关于原点对称,∴f(0)=2·sin=0,即sin=0,∴θ-=kπ(k∈Z),即θ=+kπ(k∈Z),又|θ|<,∴θ=.4.C ∵x∈,∴2x-∈,∴cos∈,∴f(x)∈,∴M+m=3-.5.A 依题意,得=,|ω|=3,又ω>0,所以ω=3,令3x+=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z),当k=0时,x=.因此函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=.6.D f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f=cos=cos 3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cos=-cos,∴f=-cos=-cos=0,故C正确;由于f =cos=cos π=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误.7.答案,k∈Z解析令2x+=kπ(k∈Z)得,x=-(k∈Z).∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是,k∈Z.8.解析(1)由题意可得=,则T=π,∴T==π,∴|ω|=2,∵ω>0,∴ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,∴g(x)=sin+2cos2x-1=sin 2xcos-cos 2xsin+2cos2x-1=sin 2x-cos 2x+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin.∵0≤x≤,∴0≤2x≤π,∴≤2x+≤,∴当2x+=,即x=时, g(x)取得最大值,为1,当2x+=,即x=时, g(x)取得最小值,为-.B组提升题组9.A 由f(x)dx=sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)=-cos+cos φ=0,得cos φ=sin φ,从而有tan φ=,则φ=nπ+,n∈Z,从而有f(x)=sin=(-1)n·sin,n∈Z.令x-=kπ+,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,即f(x)的图象的对称轴是x=kπ+,k∈Z,故选A.10.D 由①可排除A,由②可排除C,对于B,令2kπ-≤2x+π≤2kπ+,k∈Z,得kπ-π≤x≤kπ-,k∈Z,故y=sin的递增区间为,k∈Z,故排除B,故选D.11.C ∵T==4π,∴ω=,∴f(x)=sin.A选项,令+=kπ,k∈Z,则x=-+2kπ,k∈Z,故函数f(x)=sin的对称中心为,k∈Z,不包括原点,所以A错.B选项,令+=+kπ,k∈Z,则x=+2kπ,k∈Z,故函数f(x)的对称轴为x=+2kπ,k∈Z,不包括直线x=,所以B错.C选项,平移后,所得函数g(x)=sin=sin的图象关于原点对称,所以C正确.D选项,令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,则-+4kπ≤x≤+4kπ,k∈Z,所以函数f(x)=sin的单调递增区间为(k∈Z),不包括(0,π),所以D错误.12.答案 4解析若A在f(x)的图象上,则ω=2kπ+,k∈Z,则ω=6kπ+π,k∈Z,则f=0,则C在f(x)的图象上,若B在f(x)的图象上,同理可知C在f(x)的图象上,只有A、C或B、C同时在函数图象上.若ω=2,则A、B、C三点均在函数图象上,所以ω≠2.若B、C在,A不在,则需满足sin=1,则ω=2kπ+(k∈Z),解得ω=8k+2(k∈Z),所以正数ω的最小值为10.若A、C在,B不在,则需满足sin=,则ω=+2kπ(k∈Z)或ω=+2kπ(k∈Z),解得ω=12k+2(k∈Z)或ω=12k+4(k∈Z),所以正数ω的最小值为4.综上,正数ω的最小值为4.13.解析(1)f(x)=cos ωx(sin ωx+cos ωx)=sin ωxcos ωx+cos2ωx=·sin 2ωx+cos 2ωx+=·sin+,∵f(x)的最小正周期是π,∴T==π,ω=1,∴f(x)=sin+,令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴f(x)的单调增区间为,k∈Z.(2)∵x=是f(x)的一条对称轴,∴·ω+=+kπ,k∈Z,∴ω=+,k∈Z,又0<ω<2,∴ω=或.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训19三角函数的图像与性质文含解析北师大版

课后限时集训(十九)(建议用时：60分钟)A 组基础达标一、选择题1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) D ．RC [由cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z .] 2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝( ) A ．1 B.12 C ．－1 D ．－12A [由题设知2πω＝π，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋π4＝sin π2＝1.] 3．(2019·长春模拟)下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos xB [A 项，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，最小正周期为π，且为偶函数，不符合题意； B 项，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，最小正周期为π，且为奇函数，符合题意； C 项，y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，最小正周期为π，为非奇非偶函数，不符合题意；D 项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，最小正周期为2π，为非奇非偶函数，不符合题意．]4．(2019·广州模拟)函数f (x )＝sin x －cos x 的图像( )A ．关于直线x ＝π4对称 B ．关于直线x ＝－π4对称 C ．关于直线x ＝π2对称 D ．关于直线x ＝－π2对称 B [f (x )＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－2，故选B.] 5．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个递减区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 C [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1， ∴π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π4，k ∈Z ，又|φ|＜π得φ＝π4. ∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z 得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，k ∈Z . 当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.] 二、填空题6．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的递减区间为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) [y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z 得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .] 7．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________．2或－2 [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2.] 8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)，若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2上为减函数，则实数ω的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，119 [由π＜x ＜3π2得πω－π3＜ωx －π3＜3π2ω－π3，由题意知⎝⎛⎭⎪⎫πω－π3，3π2ω－π3⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ πω－π3≥2k π＋π2，k ∈Z 3π2ω－π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得⎩⎪⎨⎪⎧ ω≥2k ＋56，k ∈Z ω≤43k ＋119，k ∈Z当k ＝0时，56≤ω≤119.] 三、解答题9．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. [解] (1)f (x )＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12. 10．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)求f (x )的递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π8，k ∈Z . 所以函数f (x )图像的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时， 3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.B 组能力提升1．直线x ＝π3，x ＝π2都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤π)的对称轴，且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上递减，则( ) A ．ω＝6，φ＝π2B ．ω＝6，φ＝－π2C ．ω＝3，φ＝π2D ．ω＝3，φ＝－π2A [由题意知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝π3，由T ＝2πω＝π3得ω＝6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1得sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝1. 又φ∈(－π，π]得φ＝π2，故选A ．] 2．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( ) A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22 B [由x ＝5π3是f (x )图像的对称轴，可得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3，即sin 0＋a cos 0＝sin 10π3＋a cos 10π3，解得a ＝－33.] 3．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图像的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 [由两三角函数图像的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.] 4．(2018·北京高考)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值． [解] (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m . 所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6. 要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3. 所以m 的最小值为π3.。

2020届一轮复习北师大版三角函数的图象与性质学案

第1讲小题考法——三角函数的图象与性质一、主干知识要记牢1．三角函数的图象及常用性质函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )上单调递增；在⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )上单调递减在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )(1)y ＝sin x――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．(2)y ＝sin x ―――――――→横坐标变为原来的1ω倍纵坐标不变y ＝sin ωx―――――――→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．二、二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cosα＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．三、易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2kπ时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的单调增区间．考点一三角函数的图象及应用1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法字母确定途径说明A 由最值确定 A ＝最大值－最小值2B由最值确定 B ＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为14个周期，ω＝2πTφ由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解1．(2018·豫南联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移π6个单位，则所得函数图象的解析式为( B )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π24 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2－5π12D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 解析函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4经伸长变换得 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，再作平移变换得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，故选B ． 2．(2018·商丘二模)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )，g (x )为偶函数，则ω的最小值为( B )A ．1B ．2C ．12D ．32解析将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象向右平移π3个单位后，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx －ωπ3＋π6，由于函数g (x )为偶函数，所以－ωπ3＋π6＝k π＋π2，∴ω＝－3k －1，∴ωmin ＝－3×(－1)－1＝2.故选B ．3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为__3__．解析由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π6＝2cos π6＝3．考点二三角函数的性质及应用1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|． (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．1．已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( B )A ．2π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 B ．π，⎣⎡⎦⎤3π8，7π8 C ．2π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 D ．π，⎣⎡⎦⎤－π8，3π8 解析 f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1，则T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )，令k ＝0得f (x )在⎣⎡⎦⎤3π8，7π8上单调递减，故选B ．2．(2018·K12联盟联考)函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，则ω的取值不可能为( D )A ．14B ．15C ．12D ．34解析 ∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω＞0)，∴令－π2＋2k π≤ωx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即－π4ω＋2k πω≤x ≤3π4ω＋2k πω，k ∈Z ，∵f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，∴－π4ω≤－π2且3π4ω≥π2，∴0＜ω≤12.故选D ．3．(2018·天津卷)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数( A )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 B ．在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上单调递减 C ．在区间⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增D ．在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减解析将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin 2x 的图象．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，所以函数y ＝sin 2x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4， k ∈Z .取k ＝0，得y ＝sin 2x 在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增．故选A ．考点三三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法三角函数类型求值域(最值)方法y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值) y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数，再求值域(最值) y ＝a sin x cos x ＋ b (sin x ±cos x )＋c 可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数，再求值域(最值)y ＝cos x ＋asin x ＋b一般可看成过定点的直线与圆上动点连线的斜率问题，利用数形结合求解1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1．解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1．当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，1． 2．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ⎝⎛⎭⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，则m 的取值范围是 ⎣⎡⎦⎤2π9，5π18 ．解析由x ∈⎣⎡⎦⎤ π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3， ∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎫2π9＝cos π＝－1， ∴要使f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18．。

2020年北师大版高考(理)数学一轮复习练习20三角函数的图像与性质

4.课时分层训练(二十)三角函数的图像与性质基础达标I n A. ，D. RD. y = sin 2 x + cos 2 x2nA [ y = sin x 为偶函数；y = tan 2 x 的周期为 —;y = sin 2 x + cos 2 x 为非奇非偶函数，故B 、CD 都不正确，选A.] 5 n已知函数f (x ) = sin x + a cos x 的图像关于直线 x = 一丁对称，则实数 a 的值为()B-- ^3C. .25 nB [由x = -y 是 f (x )图像的对称轴,10 n10 n即 sin 0 + acos 0 = sin 〒 + acos〒，解得a =—彳.]ini 2 n已知函数f (x ) = sin3 x + - — 1( 3> 0)的最小正周期为 —，贝y f (x )的图像的一条对、选择题 1. 函数y = cos x —£的定义域为( )【导学号：79140113】B. |kn nn — y , k n+_6(k € Z)C. 2k nnn —石,2k n+ 訂k € Z)2.C [由 cos x — -^ > 0,得 cos x > , (2017 •广州五校联考)下列函数中，周期为 A. y = sin x cos xn所以 2k n- g< X W2nk n + 石,k € Z.]n 的奇函数为()B. y = sin 2xC. y = tan 2 x 3.可得f (0) = fD.nn3 I = 3,又 3> 0,所以 3 = 3,令 3X +~6 = k n + — (k € Z),k n n n解得x =p +-9(k € Z)，当k = 0时，X =9.因此，函数f (x )的图像的一条对称轴方39 9程是x^ -9.]A ［由nnv x <兀，3>0得3 + nn <3x +n <兀3+nn ，由题意结合选项，令二、填空题6. ____________________________________________________________________ 已知f (x ) =J 2s in 卜+亍!, x € [0 , n ]，则f (x )的单调递增区间为 ____________________________ .【导学号：79140114】1冗|,冗 n n ,口3 nn0 "4 I [由一—+ 2k n w x + — W — + 2k n , k € Z ,得一丁 + 2k n <+ 2k n ,k € Z.又x € ［0 , n ］，所以f (x )的单调递增区间为7. (2018 •兰州模拟)已知下列函数:① f (x ) = 2sin 2x +n 3 ;A.7t7t［依题意,5.已知 3 >0,函数 f (x ) = sin 3的取值范围可以是B.D. (0,2]& nn3+〒，n 3— ?4 43n，所以所以 1< 3<5.]7.]n 上单调递减，则(n \②f(x) = 2sin i2x—石;③ f (x) = 2sin④f (x ) = 2sin j 2x--3 .n其中，最小正周期为 n 且图像关于直线 X = -y 对称的函数的序号是 _____________ ②［③中函数f (x ) = 2sin ［乂+手的最小正周期为4 n ，故③错误•将X =占分别代匕 3丿 3入①②④中，得其函数值分别为 0,2 ,3，因为函数y = A sin x 在对称轴处取得最值，故①④错误，②正确.］&函数y =tan ?x + 4的图像与x 轴交点的坐标是 ________________ .佇一才，0 ］ k € Z ［由 2x + 才=k n (k € Z)得，x =学一^(k € Z), 所以函数y = tan j 2x + n的图像与x 轴交点的坐标是i 咯一弓，0 , k € Z.］I 4 丿<28J三、解答题(1)求f (x )的最小正周期; (2)若将f (x )的图像向右平移专个单位长度，得到函数区间［0 , n ］上的最大值和最小值.[解](1) f (x ) = 2迈sin £+_4 • cosg +_4 — sin( x + n )=3cos(n \x + sin x = 2sin i x + -3 ,于是 T = 2"L= 2n .1故函数g (x )在区间［0 , n ］上的最大值为2,最小值为一1.2 10. 已知函数 f (x ) = (sin x + cos x ) + cos 2 x .(1)求f (x )的最小正周期;9.已知函数f (x ) = 2 3sing (x )的图像，求函数g (x )在•-x€ [0 ,nx+6 ./• g ( x ) = 2sinx +nn € [ -1'2]x n 2+才 COs——sin( x + n ).(2)由已知得g (x ) = f-1，/• sin⑵ 求f (x )在区间|0, n 上的最大值和最小值.［解］(1)因为 f (x ) = sin 2x + cos 2x + 2sin x • cos x + cos 2 x = 1 + sin 2 x + cos 2 x所以函数f (x )的最小正周期为 T = 2n= n .2k n < 2x <+ 2k n , k € Z 得一二■ + k nV x < + kn , k € Z ,所以函数 g ( x ) = — sin 2 4 4,k € Z ，所以函数 g (x ) =- sin 2 x 在由⑴ 的计算结果知，f (x ) = 2sin 2冗,2x+k € n 5 n 4，~4，由正弦函数 y = sin x 在・仔,5^ 上的图像知,4 "2，即x =扌时，f (x )取最大值，2+ 1;^5当2X +~4 =~^-,即x =~2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在|0, y 上的最大值为 2 +1,最小值为0.B 组能力提升n11. (2017 •郑州二次质量预测)将函数f (x ) = — cos 2 x 的图像向右平移二个单位后得到函4数g (x )，则g ( x )具有性质(A. n最大值为1,图像关于直线 x ="2对称B. 在i °，亍上单调递减，为奇函数 C.3n ，8上单调递增，为偶函数D.周期为n，图像关于点38B ［由题意得函数g (x ) =- cos j 2x — 2Xn4 一 sin 2x ，易知其为奇函数，由-G +2x 的单调递减区间为 1. 2x + 0,0, "4上单调递减，故选 B.]o > 0 , I $|<n的最小正12. (2017 •安徽江南十校联考)已知函数f(x) = sin( co x+ $ )A [由f (x ) = sin( w x + 0 )的最小正周期为4n ,得3= g 因为f (x ) W f Jy 恒成立, n1 n n所以 f (x )max = f j 3，即 2 X ~3 + 0 = "2 + 2k n (k € Z), n n i' 1 n '1由丨 0 | v ~2，得 $ = ，故 f ( x ) = sin i q x + § .Ar\令 2X + 才=k n (k € Z)，得 x = 2k n —寸(k € Z),14. (2016 •天津高考)已知函数 f (x ) = 4tan x • sin i 2 — x cos i x —(1)求f (x )的定义域与最小正周期;⑵讨论f (x )在区间I —》,n 上的单调周期为4n ，且任意x € R,有f (x ) W f，则f (x )图像的一个对称中心坐标是(A.2n 亍0故f (x )图像的对称中心为|2k n2 n亍 0(k € Z),当k = 0时，f (x )图像的对称中心为2 n 亍o.]13.若函数 f (x ) = sin> 0)的图像的相邻两条对称轴之间的距离为n，且该函数图像关于点(X 0,O)成中心对称,X o € |0,【导学号：79140115】；；［由题意得2= ~, T = n一 n k n n,W = 2.又 2x o + — = k n (k € Z) , X o = ~2~ —12( k € Z),而 x o € 0, nn ，所以 x o =5 n 12.]7t:n , k € ZB.性.［解］(1)f (x )的定义域为j x x 工§ + kf (x ) = 4tan x cos x cos x —专 — 3=4sin x cos x — 3 -' /3 =4sin x ?cos x +fsin x — 3 =2sin x cos x + 2 3sin 2x — 3 =sin 2 x +、/3(1 — cos 2 x ) — ：. -3⑵ 令z = 2x — -3，则函数y = 2sin z 的单调递增区间是专+ 2k n,专+ 2k nk €乙, nn n由— ~ + 2k n W2x —亍W ~ + 2k n ,n5 n得—12+ k n W x W 12 + k n , k € Z. 、r I n n设 A = f —&，才，n 5 n . n nB= ix —12+ k n W x W 右 + k n , k € Z r,易知 A n B= | — p,—'.所以，当x € —nn时，f (x )在区间| —12，~4上单调递增，在区间—n, — 12上单调递减.=sin 2 — 3cos 2 x = 2sin所以f (x )的最小正周期。

2020年高考数学一轮复习专题19三角函数的图像与性质(含解析)

专题19 三角函数的图像与性质一、【知识精讲】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 二、【典例精练】考点一三角函数的定义域、值域(最值) 【例1】 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________.(2(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( ) A.4B.5C.6D.7【答案】(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z (2)B【解析】 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ），所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，所以当sin x ＝1时，函数f (x )的最大值为5.【解法小结】 1.求三角函数的定义域其实质是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数的图象求解.2.求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点二三角函数的单调性角度1 求三角函数的单调性【例2－1】已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R ).(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间. 【解析】 (1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝(32)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－23×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x ，得f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期是π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z ).所以，f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ).角度2 已知单调性求参数【例2－2】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【答案】A【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.【解法小结】 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.。

2020版高考数学北京版大一轮精准复习精练：4.3 三角函数的图象与性质 Word版含解析

4.3三角函数的图象与性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.三角函数的性质及其应用1.了解三角函数的周期性2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等);理解正切函数的单调性2018北京,11三角函数的最值不等式恒成立的条件★★★2015北京,15三角函数的周期性及最值二倍角公式、辅助角公式2014北京,14三角函数的单调性及周期性三角函数图象2.三角函数的图象及其变换1.能画出y=sin x,y=cosx,y=tan x的图象2.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响2016北京,7三角函数图象的平移变换三角函数的周期性★★★2014北京文,16根据三角函数图象求值三角函数的性质应用分析解读分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大.在备考时要注意以下几点:1.研究三角函数时,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式组得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查三角恒等变换及数形结合能力.破考点【考点集训】考点一三角函数的性质及其应用1.函数y=3sin(2x+π4)的图象相邻的两条对称轴之间的距离是()A.2πB.πC.π2D.π4答案 C2.(2017课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin2x+√3cos x-34(x∈[0,π2])的最大值是.答案 13.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0,π]上的单调递增区间.解析(1)f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=√2sin(2x+π4).所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)由-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),得-3π8+kπ≤x≤π8+kπ(k∈Z).当x∈[0,π]时,单调递增区间为[0,π8]和[5π8,π].思路分析(1)根据二倍角公式、两角和的正弦公式将原式化简,得到f(x)=√2sin(2x+π4),根据周期公式得到T=2π2=π;(2)由题意得到-π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ(k∈Z),从而得到单调增区间,再与[0,π]取交集.考点二三角函数的图象及其变换4.将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[π12,7π12]上单调递减 B.在区间[π12,7π12]上单调递增C.在区间[-π6,π3]上单调递减 D.在区间[-π6,π3]上单调递增答案 B5.如图,已知函数f(x)=sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,-π<φ<π)的部分图象,那么f(x)的解析式为()A. f(x)=sin(x+π2) B. f(x)=sin(x-π2) C. f(x)=sin(2x+π2) D. f(x)=sin(2x-π2)答案 A6.函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;。

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课时规范练19三角函数的图像与性质基础巩固组1.函数f(x)=的最小正周期是()A. B. C.π D.2π2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有f=f,则f等于()A.2或0B.-2或2C.0D.-2或03.已知函数f(x)=sin(x∈R),下面结论错误的是()A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图像关于直线x=对称D.函数f(x)在区间上是增加的4.当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f()A.是奇函数,且图像关于点对称B.是偶函数,且图像关于点(π,0)对称C.是奇函数,且图像关于直线x=对称D.是偶函数,且图像关于直线x=π对称5.(2018河南六市联考一,5)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的图像与函数g(x)=cos(2x+φ)的图像的对称中心完全相同,则φ为()A. B.- C. D.-6.函数y=x cos x-sin x的部分图像大致为()7.(2018四川双流中学考前模拟)“φ=”是“函数y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.函数y=tan的递增区间是,最小正周期是.9.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上递增,在区间上递减,则ω=.10.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是.综合提升组11.(2018天津,理6)将函数y=sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数()A.在区间上递增B.在区间上递减C.在区间上递增D.在区间上递减12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),A为f(x)图像的对称中心,B,C是该图像上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的递增区间是()A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z13.函数f(x)=sin的递减区间为.14.设函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<与直线y=3的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且x=是f(x)图像的一条对称轴,则函数f(x)的递增区间为.创新应用组15.(2018河北衡水中学考前仿真,6)已知函数f(x)=sin+1的图像在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为()A. B.C. D.16.(2018江西南昌三模,9)将函数f(x)=sin的图像上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标保持不变,得到g(x)的图像,若g(x1)+g(x2)=2,且x1,x2∈[-2π,2π],则x1-x2的最大值为()A.πB.2πC.3πD.4π参考答案课时规范练19三角函数的图像与性质1.C由已知得f(x)=,故f(x)的最小正周期为π.2.B由f=f知,函数图像关于x=对称,f是函数f(x)的最大值或最小值.故选B.3.C f(x)=sin=-cos 2x,故其最小正周期为π,A正确;易知函数f(x)是偶函数,B正确;由函数f(x)=-cos 2x的图像可知,函数f(x)的图像关于直线x=不对称,C错误;由函数f(x)的图像易知,函数f(x)在上是增加的,D正确.故选C.4.C由题意,得sin =-1,∴φ=2kπ-(k∈Z).∴f(x)=sin=sin.∴y=f=sin(-x)=-sin x.∴y=f是奇函数,且图像关于直线x=对称.5.D∵两个函数图像的对称中心完全相同,则它们的周期相同,∴ω=2,即f(x)=2sin,由2x+=kπ,k∈Z,即x=-,k∈Z,∴f(x)的对称中心为,k∈Z,∴g(x)的对称中心为,k∈Z,∴g=cos=cos=±cos=0,k∈Z, 即φ-=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,当k=-1时,φ=-π+=-,故选D.6.C函数y=f(x)=x cos x-sin x满足f(-x)=-f(x),即该函数为奇函数,图像关于原点对称,故排除B;当x=π时,y=f(π)=πcos π-sin π=-π<0,故排除A,D.故选C.7.A由题意可得函数y=cos 2x在区间上递减.当φ=时,函数y=sin,x∈,可得2x+∈.∴函数y=sin在区间上递减.当φ=+2π时,函数y=sin(2x+φ)=sin在区间上递减,∴“φ=”是函数“y=cos 2x与函数y=sin(2x+φ)在区间上的单调性相同”的充分不必要条件.故选A.8.(k∈Z)2π由kπ-<+<kπ+,k∈Z,得2kπ-<x<2kπ+,k∈Z.最小正周期T==2π.9.∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点,∴当0≤ωx≤,即0≤x≤时,y=sin ωx是增加的;当≤ωx≤,即≤x≤时,y=sin ωx是减少的.由题意知=,∴ω=.10.由题意cos=sin,即sin=,+φ=kπ+(-1)k·(k∈Z),因为0≤φ<π,所以φ=.11.A将函数y=sin的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数解析式为y=sin+=sin 2x.当-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin 2x递增.当+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z时,y=sin 2x递减.。

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课时规范练三角函数的图像与性质基础巩固组.函数()的最小正周期是(). . .ππ.已知函数()(ωφ)对任意都有,则等于()或或或.已知函数()(∈),下面结论错误的是().函数()的最小正周期为π.函数()是偶函数.函数()的图像关于直线对称.函数()在区间上是增加的.当时,函数()(φ)取得最小值,则函数().是奇函数,且图像关于点对称.是偶函数,且图像关于点(π)对称.是奇函数,且图像关于直线对称.是偶函数,且图像关于直线π对称.(河南六市联考一)已知函数()(ω>)的图像与函数()(φ)的图像的对称中心完全相同,则φ为() . ..函数的部分图像大致为().(四川双流中学考前模拟)“φ”是“函数与函数(φ)在区间上的单调性相同”的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.函数的递增区间是,最小正周期是..若函数() ω(ω>)在区间上递增,在区间上递减,则ω..已知函数与(φ)(≤φ<π),它们的图像有一个横坐标为的交点,则φ的值是.综合提升组.(天津,理)将函数的图像向右平移个单位长度,所得图像对应的函数().在区间上递增.在区间上递减.在区间上递增.在区间上递减.已知函数()(ωφ)为()图像的对称中心是该图像上相邻的最高点和最低点,若,则()的递增区间是()∈∈∈∈.函数()的递减区间为..设函数()(ωφ)>,ω>φ<与直线的交点的横坐标构成以π为公差的等差数列,且是()图像的一条对称轴,则函数()的递增区间为.创新应用组.(河北衡水中学考前仿真)已知函数()的图像在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心,则实数ω的取值范围为(). .. ..(江西南昌三模)将函数()的图像上所有点的横坐标压缩为原来的,纵坐标保持不变,得到()的图像,若()(),且∈[ππ],则的最大值为().ππππ参考答案课时规范练三角函数的图像与性质由已知得(),故()的最小正周期为π.由知,函数图像关于对称是函数()的最大值或最小值.故选.() ,故其最小正周期为π正确;易知函数()是偶函数正确;由函数() 的图像可知,函数()的图像关于直线不对称错误;由函数()的图像易知,函数()在上是增加的正确.故选.由题意,得 ,∴φπ(∈).∴().∴() .∴是奇函数,且图像关于直线对称.∵两个函数图像的对称中心完全相同,则它们的周期相同,∴ω,即(),由π∈,即∈,∴()的对称中心为∈,∴()的对称中心为∈,∴±∈,即φπ∈,则φπ∈,当时,φπ,故选.函数() 满足()(),即该函数为奇函数,图像关于原点对称,故排除;当π时(π)ππππ<,故排除.故选.由题意可得函数在区间上递减.。

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