求函数值域的十种方法

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高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =

的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)

(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

求函数值域的方法

求函数值域的十种方法

前言：求函数是高中数学的一项基本技能，而且在解高中数学题中是常用到的工具之一，由于求函数值域的方法很多，有时技巧要求很高，致使学生产生畏难情绪．我们试图介绍在求函数值域的十种方法，每一种方法各举了若干个典型例子并配以相应练习，以使学生能举一反三，掌握求函数值域这一高中数学的基本技能．这十种方法是１. 部分分式法；2. 配方法；3. 判别式法； 4. 反函数；5. 函数有界性法；6. 函数单调性法；7. 换元法；8. 数形结合法；9. 不等式法；10. 多种方法综合运用

一. 部分分式法（分离常数法）

（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）例1、求函数1

++=

x x y 的值域解：利用恒等变形，得到：1

1++

=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。

例2、求函数1

22+--=x x x

x y 的值域。

观察分子、分母中均含有x x -2

项，可利用部分分式法；则有4

3)21(1

111112222

2+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-

=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,4

)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。所以 ⎝

求函数值域的方法大全

1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数

的极值。原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。求极

限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。

2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导

数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有

效解决函数求极值问题。

3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。原理是利用

函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比

较快速地解决函数最值问题。

4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数

的最大值和最小值。这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称

性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范

数的格式，得出最值的解。

5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数

的最大值和最小值。

例说求函数值域的十种基本方法

1、利用非负数的性质

根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1322+-=x x y 的值域。解析：(1)161602≤-≤x ， 41602≤-≤∴x

故所求函数的值域为 []40，

∈y 。 (2)012>+x ，∴原函数可化为 3)1(22-=+x x y ，即 3)1(2+=-y y x ，当1≠y 时，y y x -+=132， 02≥x ，013≥-+∴y

y ，解得13≤≤-y 又 1≠y ，所以 13<≤-y ，

故所求函数的值域为）

，13[-∈y 。 2、利用函数的图象

对于含有绝对值（或分段）函数，若函数图象比较易作出，则利用函数图象能较快的求出其值域。

例2、求函数|1||2|+--=x x y 的值域。

解析：去掉绝对值符号得：

⎪⎩

⎪⎨⎧-<=++-≤≤-+-=+-->=+--=)1(3)1(2)21(12)1(2)2(3)1(2x x x x x x x x x x y 。

画出函数的图象（如图）：由函数的图象可得，原

函数的值域为]33[，-∈y 。

3、利用二次函数的性质

对于二次函数或与二次函数相关的函数，在求其值域时常用此法。

例3、(1)求函数]22[2，

，-∈+-=x x x y 的值域。 (2)求函数]23

1[27，，∈-=x x x y 的值域。解析：(1)41)21(22+--=+-=x x x y ，]22[，-∈x ，4

求函数值域的十种方法

例25.求函数的值域。
解：原函数变形为：
当且仅当
即当时，等号成立
故原函数的值域为：
例26.求函数的值域。
解：
当且仅当，即当时，等号成立。
由可得：
故原函数的值域为：
十一、多种方法综合运用：
例27.求函数的值域。
解：令，则
（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以
（2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：
注：先换元，后用不等式法
例28.求函数的值域。
解：
令，则
∴当时，
当时，
此时都存在，故函数的值域为
注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令，求出的值域，进而可得到的值域。
【练习】
1．求函数的值域。
【参考答案】1．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。

求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y x =

的值域。

【解析】0x ≥11x ≥，∴函数1y x =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】22

42(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴2

3(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：

求函数值域的十种常用方法

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求函数值域的十种常用方法
一：定义域法
二：函数单调性法
三：反函数法
四：换元法
五:分离常数法
六：判别式法
七：三角换元法
九：数形结合法
十导数法：
因为数学，我们走到了一起——数联天地
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求函数值域的方法大全

函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。找到函数

的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。下面是一些常见的方法

帮助我们求函数值域。

1.用图形法求值域：

使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确

定函数值域的范围。例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函

数的最小值开始一直到正无穷大。如果函数是下凸的，那么它的值域可能

是从负无穷大到函数的最大值。

2.用定义法求值域：

通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，

从而找到函数的可能取值。例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同

的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。

3.用反函数法求值域：

如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负

实数，因此原函数的值域也是非负实数。

4.用导数法求值域：

对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数

的单调性和图像的形状来求值域。例如，当函数的导数为零时，这些点可

能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函

数的值域的上下界。

5.用极限法求值域：

当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。通过

求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。6.用解析法求值域：

对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。例如，对于一

次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负

求函数值域的12种方法

函数的值域即为函数的输出值的集合。在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于

$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函

求值域的十种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 ．求函数的值域。

【解析】∵ ，∴ ，∴函数的值域为。

【练习】

1 ．求下列函数的值域：

① ；② ；

③ ；，。

【参考答案】① ；② ；③ ；。二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2 ．求函数（）的值域。

【解析】。

∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 。

∴函数（）的值域为。

例 3 ．求函数的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

配方得：利用二次函数的相关知识得，从而得出：。

说明：在求解值域 ( 最值 ) 时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：。

例 4 ．若，试求的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点在直线上滑动时函数的最大值。利用两点，确定一条直线，作出图象易得：

， y=1 时，取最大值。

【练习】

2 ．求下列函数的最大值、最小值与值域：

① ；② ；③ ；

④ ；，；。【参考答案】① ；② ；③ ；④ ；；

三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数 ( 即有理分式一次型 ) ，也可用于其它

易反解出自变量的函数类型。

例 5 ．求函数的值域。

分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出，从而

便于求出反函数。

反解得，故函数的值域为。

【练习】

1 ．求函数的值域。

2 ．求函数，的值域。

函数求值域15种方法

方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x

和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。

方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。例

如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的

值域也是[-1, 1]。

方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中

来确定整个函数的值域。例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数

g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值

域也是[1,+∞)。

方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后

将这些值域合并得到整个函数的值域。例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。

方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。如果函数是奇函数，

即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即

f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。根据函数的奇偶性可以推断

出函数的值域。

方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。如果函数有周期T，

那么函数的值域在一个周期内是相同的。可以通过观察函数的图像或者函

数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。

方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。可以求函数在正无穷和

负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。如果函数在正无穷的

求函数值域的常见方法

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。它描述了函数的全部可能的结果。确定一个函数的值域可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。在数学中，有一些常见的方法可以用于确定函数的值域。

一、代数方法：

1.借助于函数的表达式和定义域的特点，可通过分析函数表达式的正负性、比较大小、奇偶性等特点来确定其值域。

2.如果函数是一个有界区间上的连续函数，可以使用区间最值定理来确定其值域。根据函数的导数来判断函数的单调性，进而得到最值。

3.可以使用解方程的方法，将函数的表达式与一个常数进行等式的形式，然后求解此方程，以确定函数的值域。

二、几何方法：

1.根据函数图像的特点来确定函数的值域。可以使用函数图像的对称性、相交点、极值点等特点来推导出函数的值域。

2.如果函数的图像是一个连续曲线，可以观察曲线的走势来确定函数值域的范围。

3.如果函数有限多个分段，可以分别分析每个分段函数的值域，然后确定整个函数的值域。

三、其他方法：

1.使用反函数法。有时候，通过找到一个函数的反函数，可以简化问题，通过求反函数的定义域得到原函数的值域。

2.类似地，可以使用逆映射法来确定函数的值域。逆映射是用来从值来确定原始元素的映射。

需要注意的是，确定一个函数的值域需要结合函数的定义域、特点和性质来综合分析，不能简单地通过一个方法就得出结果。有时候，可能需要使用多种方法或结合多个方法来确定函数的值域。此外，还需要注意函数是否在定义域内是连续的和可导的，这也可以对确定函数的值域有所帮助。

总之，确定函数的值域是函数分析中的一个重要课题，需要运用数学的思维和方法，以及对函数特点的理解和分析，综合运用多种方法来解决问题。

高中数学：求函数值域的10种常见方法

求函数的值域（常用）

一、用非负数的性质

例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2

+2;（2）

≥-1).

练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．

练2：

求函数y =

练3：求函数的值域。

练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y

（3）2234x x y -+-=

]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=

二、分离常数法

对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．

例1：求下列函数的值域：（1）y=21

x x ++（2）y=2211x x -+.

练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3

214222++++=x x x x y

三、利用函数单调性

已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．例1：求函数y=3x+x 3

的值域.

练1：求函数122+-

x y ()0>x 的值域.

练2：求函数x x y 213--=的值域.

四、利用判别式

特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值．例1：求函数y =

234

x x +的最值．

练1：利用判别式方法求函数222231

x x y x x -+=-+的值域．

五、利用换元法求值域

有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．例1：求函数

的值域。

求函数值域的十三种方法

求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法

观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法

代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法

图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法

导数法是通过求函数的导数来求函数值域。通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法

反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法

极限法是通过求函数的极限来求函数值域。通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法

积分法是通过求函数的积分来求函数值域。通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。

例 1．求函数y x1的值域。

【分析】∵ x0 ，∴x11，∴函数 y x1的值域为[1,) 。

【练习】

1．求以下函数的值域：

① y 3x 2( 1 x 1) ；② f ( x)2 4 x ；

；○4y21,0,1,2 。

③ y x 1 1 ， x

【参照答案】① [ 1,5]；② [2,)；③ (,1)(1,) ；

{1,0,3} 。

二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。形如

F (x) af 2 ( x) bf ( x) c 的函数的值域问题，均可使用配方法。

例 2．求函数y x24x 2（ x[ 1,1] ）的值域。

【分析】y x24x 2( x2)2 6 。

∵ 1 x 1 ，∴ 3 x2 1 ，∴1 (x2)29，∴ 3(x 2)2 6 5 ，∴ 3 y 5。

∴函数 y x24x 2 （ x[ 1,1]）的值域为 [3,5]。

例 3 ．求函数y2x24x( x0, 4 ) 的值域。

【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：

f (x)x2 4 x( f (x)0) 配方得： f (x)(x2)24(x0, 4 ) 利用二次函数的有关知识得

f (x)0, 4，从而得出： y0,2 。

说明：在求解值域 (最值 ) 时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f ( x)0 。

例 4 ．若x 2 y4, x0, y0，试求 lg x lg y 的最大值。

高中数学求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =

的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)

(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：