上海中考数学二模题

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上海市2024年虹口区中考数学二模试卷

一、选择题1. 下列各数中，无理数是（上海市2024年虹口区中考数学二模试卷）A . 112 B . 3.14159 C.D . 1.2·2. 如果关于x 的一元二次方程−+=x x m 202有实数根，那么实数m 的取值范围是（）A . m >1B . m <1C . ≥m 1D . ≤m 13. 已知二次函数=−−y x 42)(，如果函数值y 随自变量x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（） A . ≥x 4B . ≤x 4C . ≥−x 4D . ≤−x 44. 下列事件中，必然事件是（）A . 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B . 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C . 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D . 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于180°5. 如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和AD 上，BE =2，AF =6，如果AE //CF ，那么ABE 的面积为（） A . 6B . 8C . 10D . 126. 在ABCD 中，BC =5，S ABCD =20，如果以顶点C 为圆心，BC 为半径作C ，那么C 与边AD所在直线的公共点的个数是（） A . 3个B . 2个C . 1个D . 0个二、填空题7.=_____________ 8. 分解因式：−=a b 922_____________9. 不等式+≤+x x 5232)(的解集是____________ 10. 函数=y 的定义域是______________ 11. 将抛物线=−+y x 212)(先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为_____________12. 在一个不透明袋子中，袋有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为0.25，那么白球的个数是______________13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图（图2），那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有____________名14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半，在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为y （厘米），燃烧的时间为t （分钟），那么y 关于t 的函数解析式为______________（不写定义域）15. 如图3，已知正六边形螺帽的边长是4cm ，那么与该螺帽匹配的扳手的开口a 为____________cm 16. 如图4，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，联结AC ，设,AB a AC b ==，那么用向量,a b 表示向量EF =______________17. 如图5，在ABCD 中，AB =7，BC =8，=B 5sin 4，点P 在边AB 上，AP =2，以点P 为圆心，AP 为半径作P ，点Q 在边BC 上，以点Q 为圆心，CQ 为半径作Q ，如果P 和Q 外切，那么CQ 的长为______________18. 如图6，在扇形AOB 中，∠AOB =105°，OA =8，点C 在半径OA 上，将BOC 沿着BC 翻折，点O 的对称点D 恰好落在弧AB 上，再将弧AD 沿着CD 翻折至弧A D 1（点A 1是点A 的对称点），那么OA 1的长为_______________三、解答题19. 先化简，再求值：⎝⎭++ ⎪÷−⎛⎫−+m m m m m 33121422，其中=m20. 解方程组：②①⎩−−=⎨⎧−=x xy y x y 20262221. 如图7，一次函数图像与反比例函数图像相交于点A (m ,2)和点−B 2,4)(，与y 轴交于点C ，点−D n 1,)(在反比例函数图像上，过点D 作x 轴的垂线交一次函数图像于点E . （1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求CDE 的面积.22. 根据以下素材，完成探索任务23. 如图9，在Rt ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得DB =CB ，过点A 、D 分别作AE //BC ，DE //BA ，AE 与DE 相交于点E ，联结BE . （1）求证：⊥BE CD ；（2）联结AD 交BE 于点F ，联结CE 交AD 于点G .如果∠FBA =∠ADB ，求证：=AG AB .24. 新定义：已知抛物线=++y ax bx c 2（其中≠abc 0），我们把抛物线=++y cx bx c 2称为=++y ax bx c 2的“轮换抛物线”，例如：抛物线=++y x x 2312的“轮换抛物线”为=++y x x 232，分别交于点E 、F ，点E 在点F 的上方，抛物线C 2的顶点为P . （1）如果点E 的坐标为（0,1），求抛物线C 2的表达式；（2）设抛物线C 2的对称轴与直线=+y x 38相交于点Q ，如果四边形PQEF 为平行四边形，求点E 的坐标；（3）已知点−M n 4,)(在抛物线C 2上，点N 坐标为⎝⎭⎪−−⎛⎫22,71，当PMN PEF 时，求m 的值.25. 在梯形ABCD 中，AD //BC ，点E 在射线DA 上，点F 在射线AB 上，联结CE 、DF 相交于点P ，∠EPF =∠ABC .（1）如图10①，如果AB =CD ，点E 、F 分别在边AD 、AB 上，求证：=DE CEAF DF；（2）如图10②，如果⊥AD CD ，AB =5，BC =10，∠=ABC 5cos 3，在射线DA 的下方，以DE 为直径作半圆O ，半圆O 与CE 的另一个交点为点G ，设DF 与弧EG 的交点为Q . ①当DE =6时，求EG 和AF 的长； ②当点Q 为弧EG 的中点时，求AF 的长.。

2024年上海市徐汇区中考二模数学试题(解析版)

2023学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学　试卷（时间100分钟满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1. 下列实数中，有理数是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查实数的分类及算术平方根，熟练掌握实数的分类及算术平方根是解题的关键；根据实数的分类可进行排除选项．，是无理数；故选B ．2. 下列单项式中，与单项式是同类项的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据字母相同，字母的指数也相同的项叫做同类项，进行判断即可．【详解】解：与单项式是同类项的是；故选C ．3. 已知直线经过第一、二、四象限，则直线经过( )2=232a b 4ab -322a b 323b a 222a b c-232a b 323b a y kx b +＝y bx k +＝A. 第一、三、四象限B. 第一、二、四象限C. 第一、二、三象限D. 第二、三、四象限【答案】A 【解析】【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【详解】解：已知直线经过第一、二、四象限，则得到，那么直线经过第一、三、四象限．故选：A ．【点睛】此题考查一次函数图象与系数关系．解题关键在于注意理解：直线y=kx+b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k ＞0时，直线必经过一、三象限；k ＜0时，直线必经过二、四象限；b ＞0时，直线与y 轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b ＜0时，直线与y 轴负半轴相交．4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差3.63.67.48.1根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A 【解析】【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【详解】∵=>=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=<<，∴选择甲参赛，故选A ．【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定.的y kx b =+0,0k b <>y kx b =+x 甲x 丙x 乙x 丁2S 甲2S 乙2S 丙2S 丁5. 如图，的对角线、相交于点，如果添加一个条件使得是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，根据判定定理逐项判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则A 不符合题意；∵，∴，∴平行四边形菱形．则B 不符合题意；∵，∴．∵，∴，∴，∴平行四边形是菱形．则C 不符合题意；∵，∴．∵，∴，是 ABCD AC BD O ABCD 90DAO ADO ∠+∠=︒DAC ACD ∠=∠DAC BAC ∠=∠DAB ABC∠=∠90DAO ADO ∠+∠=︒90AOD ∠=︒AC BD ⊥ABCD DAC ACD ∠=∠AD CD =ABCD AB CD ACD BAC ∠=∠DAC BAC ∠=∠ACD DAC ∠=∠AD CD =ABCD AD BC ∥180BAD ABC ∠+∠=︒DAB ABC ∠=∠=90B A D ∠︒∴平行四边形是矩形．则D 正确．故选：D ．6. 如图，一个半径为的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A. cmB. cmC. cmD. cm【答案】B 【解析】【分析】本题考查了弧长公式．利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：根据题意，重物上升的高度为．故选：B ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.的解是________．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】，∴，∴，∴，∵，ABCD 9cm 120︒5π6π7π8π120︒()12096cm 180ππ⨯⨯==x 1x ==x 221x x -=()210x -=121x x ==210x -≥∴，∴；故答案是．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．8. 不等式组的解集是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．详解】解：，解①得：，解②得：，∴不等式组的解集是．9. 方程组的解是__________．【答案】或【解析】【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可．【详解】解：由②得：③；把③代入①，得：，解得：，∴，∴方程组的解为：或；【12x ≥1x =1x =()2133231x x x ->⎧⎨-->⎩2x >()2133231x x x ->⎧⎪⎨-->⎪⎩①②2x >5x >-2x >22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩22520x y x y ⎧+=⎨-=⎩①②2x y =()2225y y +=1y =±22x y ==±21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：或10. 关于的一元二次方程根的情况是：原方程______实数根．【答案】有两个不相等的【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．11. 如果二次函数的图像的一部分是上升的，那么的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据函数解析式可得抛物线开口向上，则当在对称轴右侧时，函数图像上升，所以求出函数的对称轴即可求解．【详解】解：，又抛物线开口向上，当时，随的增大而减小，图像下降；当时，随的增大而增大，图像上升；二次函数的图像的一部分是上升的，，故答案为：．12. 如果反比例函数的图像经过点，那么的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可．【详解】解：由题意，得：，21x y =⎧⎨=⎩21x y =-⎧⎨=-⎩x 210x mx --=()200ax bx c a ++=≠240b ac ∆=->240b ac ∆=-=24<0b ac ∆=-()()2241140m m ∆=--⨯⨯-=+>2241y x x =-+x 1x ≥x ()22241211y x x x =-+=--∴1x <y x 1x ≥y x 2241yx x =-+∴1x ≥1x ≥4y x=-(,2)A t t -t (,2)A t t -()24t t ⋅-=-解得：；故答案为：．13. 如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．【答案】【解析】【分析】根据构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可．【详解】∵从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段∴可能有：2、4、6；2、6、7；4、6、7；2、4、7四种可能性又∵构成三角形的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边∴符合条件的有：2、6、7；4、6、7两种故概率为：故答案为：【点睛】本题考查构成三角形的条件以及概率的计算，掌握构成三角形的三边之间的关系是解题关键．14. 小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是______米．【答案】【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解．【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米，，解得：，故答案为：．15. 某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这名家长的问卷真实有效），将这份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长____人．t =1221=42121:2.4i =13050x x 2.4x ∴()2222.4130x x +=50x =501001*********【答案】【解析】【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．先根据条形统计图计算出稍加询问的百分比，进而结合扇形统计图求出严格管理的百分比，最后利用样本估计总体即可求解．【详解】解：稍加询问的百分比：，严格管理的百分比：，持“严格管理”态度家长人数：（人），故答案为：．16. 如图，梯形中，，，平分，如果，，，那么是_______（用向量、表示）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，向量的运算，解题的关键是熟练掌握这些知识．根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，结合，可得，最后根据，即可求解．【详解】解：设，的400551000.5555%÷==155%25%20%--=200020%400⨯=400ABCD BC AD ∥AB CD =AC BAD ∠2=AD AB AB a = AD b = AC a b12a b +AB BC =2AD BC =12BC AD =12AC AB BC a AD =+=+BAC α∠=平分，，，，，，，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，．已知点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处，联结，那么的长是_______．【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线分线段成比例，如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，可知，得，进而根据勾股定理可得，，得结合，，可知，再根据勾股定理即可求解，根据折叠的性质得是解决问题的关键．【详解】解：如图，为点关于的对称点，过点作，过点作，则，联结，∴，AC BAD ∠∴BAC CAD α∠=∠= BC AD ∥∴BCA DAC α∠=∠=∴BCA BAC ∠=∠∴AB BC = 2=AD AB ∴2AD BC =∴12BC AD =∴1122AC AB BC a AD a b =+=+=+ 12a b +ABC 6AB AC ==4BC =D AC ABC BD C E AE AE E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 1AD MNCD CN==1CN MN ==DN =BD =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△2CE OC ==DE DC =AD CD =AE CE ⊥AE CE ⊥E C BD A AM BC ⊥D DN BC ⊥AM DN ∥AE 122BM CM BC ===∵点是边的中点，即，∴，则为的中点，即，∴，，∵为点关于的对称点，∴，且，，则，∴，则∵，，∴，，又∵，∴，即，∴．18. 如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是_______．【答案】##【解析】D AC 132AD CD AC ===1ADMNCD CN==N CM 1CN MN==DN ==BD ==E C BD CE BD ⊥OC OE =DE DC =1122BCD S BC DN BD OC =⋅=⋅△DN BC OC BD ⋅===2CE OC ==DE DC =AD CD =DAE DEA ∠=∠DEC DCE ∠=∠180DAE DEA DEC DCE ∠+∠+∠+∠=︒90DEA DEC ∠+∠=︒AE CE ⊥AE ==A 8(0)y x x =-<OA 1(0)y x x=-<B C x AC AO =BC ABC 8-8-【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积．【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示：点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点，根据反比例函数比例系数的几何意义得：，，轴，轴，，，，，，，即，，，，轴，，，A B x D E 4OAD S = 0.5OBE S = OAD OBE ∽2()OAD OBE S OA SOB= OA =1)ABC OBC S S = 28AOC OAD S S == 8ABC OBC S S += OBC S = ABC A B x D E A 8(0)y x x =-<B 1(0)y x x=-<1842OAD S =⨯= 110.52OBE S =⨯= AD x ⊥ BE x ⊥AD BE ∴∥OAD OBE ∴ ∽∴2OAD OBE S OA S OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴2480.5OA OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭OA ∴=1)AB OA OB OB OB ∴=-=-=-1AB OB = 1ABC OBC S AB S OB==- ()1ABC OBC S S ∴= AC AO = AD x ⊥OD CD ∴=28AOC OAD S S ∴==，即，．故答案为：．【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19.．【答案】【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．先计算零指数幂、化简二次根式、绝对值，再算加减即可．【详解】解：原式．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．详解】解：，，，【8ABC OBC S S ∴+= 1)8OBC OBC S S -+= OBC S ∴= 8ABC AOC OBC S S S ∴=-=- 8-10212π---21)1=--+11=+2=22161242x x x x +-=--+5x =-22161242x x x x +-=--+()22162x x +-=-244162x x x ++-=-，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21. 如图，和⊙相交于点、，连接、、，已知，，．（1）求的半径长；（2）试判断以为直径的是否经过点，并说明理由．【答案】（1）（2）以为直径的经过点，见解析【解析】【分析】本题主要考查了圆的相关性质，相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．（1）连接，设与的交点为，根据题意可得，，在中，根据勾股定理求出，进而求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解；（2）根据题意并结合（1）可得，可证明，得到23100x x +-=()()520x x +-=50,20x x +=-=115,2x x =-=5x =-240x -≠5x =-2x =240x -=2x =1O 2O A B AB 12O O 2AO 48AB =1250O O =230AO =1O 12O O P B 4012O O P B 1AO 12O O AB G 1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 2GO 1GO 1Rt AGO 1AO 22122AO GO O O AO =122O AO AGO ∽，取的中点，连接、，推出，结合垂直平分，即可求解．【小问1详解】解：连接，设与的交点为．和⊙相交于点、，，，，在中，，；，在中，，；即的半径长为；【小问2详解】以为直径的经过点．，，，又，，，取的中点，连接、，，12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP 1AP PO =12O O AB 1AO 12O O AB G 1O 2O A B 48AB =∴1242AG AB ==12O O AB ⊥2Rt AGO 290AGO ∠=︒∴218GO ===∴1122501832GO O O GO =-=-=1Rt AGO 190AGO ∠=︒∴140AO ===1O 4012O O P B 212303505AO O O ==22183305GO AO ==∴22122AO GO O O AO =212AO O O A G ∠=∠∴122O AO AGO ∽∴12290O AO AGO ∠=∠=︒12O O P AP BP ∴1AP PO =又垂直平分，，以为直径的经过点．22. A 市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时千米，人步行的平均速度是每小时千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．【答案】（1）不能，见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；（1）根据题意分别求出单程送达比赛场地的时间和另外送4名学生的时间，进而问题可求解；（2）设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时，根据题意可得，进而求解即可．【小问1详解】解：他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．∵单程送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟）；∴送完另名学生的时间是：（分钟）（分钟）；∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地．【小问2详解】解：先将名学生用车送达比赛场地，另外名学生同时步行前往比赛场地，汽车到比赛场地后返回到与另外名学生的相遇处再载他们到比赛场地．（用这种方案送这名学生到达比赛场地共需时间约为分钟）．理由如下：先将名学生用车送达比赛场地的时间是：（小时）（分钟），12O O AB 1BP AP PO ==∴12O O P B 84154260544t 56015 1.25t t +=-15600.25÷=15=415345⨯=42>444840.4415600.25÷=15=此时另外名学生步行路程是：(千米)；设汽车与另外名学生相遇所用时间为小时．则；解得（小时）（分钟）；从相遇处返回比赛场地所需的时间也是（分钟）；所以，送这名学生到达比赛场地共需时间为：（分钟）；又；所以，用这种方案送这名学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地．23. 如图，在菱形中，点、、、分别在边、、、上，，，．（1）求证：；（2）分别连接、，求证：四边形是等腰梯形．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查了菱形的性质，等腰梯形的判定（1）连结，可得，，进而即可得到结论；（2）欲证明四边形是等腰梯形，只需推知，，即可．【小问1详解】证明：连结．450.25 1.25⨯=4t 56015 1.25t t +=-1152t =16513=16513816515240.413+⨯≈40.442<8ABCD E G H F AB BC CD DA AE AF =CG CH =CG AE ≠EF GH ∥EG FH EGHF BD AE AF AB AD =CG CH CB CD=EGHF EF GH ≠EF GH ∥EG FH =BD∵四边形是菱形，∴；又，，∴，；∴，；∴．【小问2详解】证明：连接∵，∴；∵，∴；又，∴；又，∴四边形是梯形；∵,即；又∵，即；∵四边形是菱形，ABCD AB AD BC CD ===AE AF =CG CH =AE AF AB AD=CG CH CB CD =EF BD ∥GH BD ∥EF GH ∥,EG FHEF BD ∥EF AE BD AB=GH BD ∥GH CG BD BC =CG AE ≠EF GH ≠EF GH ∥EGHF AB AE AD AF -=-BE DF =BC CG CD CH -=-BG DH =ABCD∴；∴；∴；∴梯形是等腰梯形．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．（1）求该抛物线的表达式及点的坐标；（2）已知点，联结，过点作，垂足为，点是轴上的动点，分别联结、，以、为边作平行四边形．① 当时，且的顶点正好落在轴上，求点的坐标；② 当时，且点在运动过程中存在唯一的位置，使得是矩形，求的值．【答案】（1）；点（2）①；②的值为或【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入表达式求出a 的值即可得到函数表达式，进而根据对称性求出点B 的坐标；（2）①在中，，则；得到；过点作，垂足为．在中，，；证明四边形是矩形，则；即可得到答案；②根据m 的取值分三种情况分别进行解答即可．【小问1详解】解：把代入，得，B D ∠=∠()SAS BGE DHF ≅ EG FH =EGHF xOy 244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B yC B (0,)M m BC M MG BC ⊥GD x GD MD GD MD GDMN 32m =GDMN N y D 0m ≥D GDMN m 2416433y x x =-+(3,0)B 6(,0)5D m 037Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM ∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=GDOH 65OD GH ==(1,0)A 244(0)y ax ax a =-+>440a a -+=解得；∴抛物线的表达式为；∵抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴交于点和点，∴点．【小问2详解】①由题意，得，，∴；∵四边形是平行四边形，∴；又点在轴上，∴，∴，在中，，∴，∴，；在中，，∴；∴；过点作，垂足为．43a =2416433y x x =-+1632423x -=-=⨯244(0)y ax ax a =-+>x (1,0)A B (3,0)B (0,4)C 3(0,)2M 52CM =GDMN GD NM ∥N y NM OD ⊥GD OD ⊥Rt BOC 90BOC ∠=︒5BC ==4cos 5OC OCB BC ∠==3sin 5OB OCB BC ∠==Rt CGM △90CGM ∠=︒cos CG MCG CM∠=54cos 225CG CM MCG =⋅∠=⨯=G GH OC ⊥H在中，，；∵，∴四边形是矩形，∴；∴．②当时，根据不同取值分三种情况讨论：当时，即点与点重合时，符合题意；当时，如图情况符合题意，取的中点P ，以为直径作圆P ，则在圆上，此时圆P 和x 轴有唯一切点D ，符合题设条件，则，∵，由①知，，则，则，∵，,∴，解得；当时，可得，所以符合题意的不存在；综合、、，符合题意的的值为或．【点睛】此题考查了二次函数的综合题，考查了解直角三角形，切线的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，分类讨论是解题的关键．25. 如图，在扇形中，，，点、是弧上的动点（点在点的上方，点不与点重合，点不与点重合），且．Rt CGH △90CHG ∠=︒36sin 255GH CG HCG =⋅∠=⨯=90GDO DOH GHO ∠=∠=∠=︒GDOH 65OD GH ==6(,0)5D 0m ≥m i 0m =M O ii 04m <<MG MG ,N D OH PD PM ==()3sin 425MG MC OCB m PM =⋅∠=-=CMG OCB ∠=∠sin sin CMG OCB ∠=∠()9sin 450MH PM OCB m =∠=-OH MH OM MH m =+=+PM OH =93(4)(4)5010m m m -+=-37m =iii 4m ≥OH PM >m i ii iii m 037OAB OA OB ==90AOB ∠=︒C D AB C D C A D B 45COD ∠=︒（1）①请直接写出弧、弧和弧之间的数量关系；②分别连接、和，试比较和的大小关系，并证明你的结论；（2）分别交、于点、．①当点在弧上运动过程中，的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求的值；②当时，求圆心角的正切值．【答案】（1）①；②，证明见解析；（2）①的值不变，；②或．【解析】【分析】（1）①根据“同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”即可得到答案；②在弧上取点连接，使得，可得，根据角的和差关系可得，则，即可得到答案；（2）①证明，即可得到答案；②过点在下方作，截取，连接、，证得，可得，进一步证得，则可得，由勾股定理和线段的和差关系可得，联立解得，过点N 作于点F ，则，利用勾股定理求得，，根据正切的概念计算即可．【小问1详解】解：①，，，；②．证明如下：AC CD BD AC CD BD AC BD +CD AB OC OD M N C AB AN BM ⋅AN BM ⋅5MN =DOB ∠ AC C BD D +=AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅=1tan 3DOB =∠1tan 2DOB ∠=CD E OE COE AOC ∠=∠AC CE =DOE BOD ∠=∠BD DE =BMO AON ∽△△O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM '()SAS OBM OAM ' ≌90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒()SAS ONM OMN ' ≌22225MN AM BN ==+7AM BN +=BN NF OB ⊥NF BF =NF OF 90AOB ∠=︒Q 45COD ∠=︒904545AOC BOD AOB COD ∴∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒ D B AC C D +∴=AC BD CD +>在弧上取点连接，使得，；、可得；，，；；．【小问2详解】解：①的值不变，．，，；，，；；；．②如图，CD E OE COE AOC ∠=∠∴AC CE =CE DE CE DE CD +> 45COE DOE ∠+∠=︒∴904545AOC BOD ∠+∠=︒-︒=︒∴DOE BOD ∠=∠∴BD DE =∴AC BD CD +>AN BM ⋅72AN BM ⋅= OA OB =90AOB ∠=︒∴45OAB OBA ∠=∠=︒ 45OMB OAB AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠45AON COD AOM AOM ∠=∠+∠=︒+∠∴OMB AON ∠=∠∴BMO AON ∽△△∴BM BO AO AN=∴72AN BM AO BO ⋅=⋅==过点在下方作，截取，连接、，，，，，；又，，，，；，；解得或；过点N 作于点F ，则，，，，设，则，当时，在中，，即，解得：O OB BOM AOM ∠=∠'OM OM '=BM 'NM ' AO BO =∴()SAS OBM OAM ' ≌∴BM AM '=45OBM OAB ∠=∠='︒∴90NBM OBA OBM '∠=∠+∠='︒45M ON COD ∠=︒=∠'ON ON =∴()SAS ONM OMN ' ≌∴M N MN '=∴222222MN M N BM BN AM BN =='+=+' 551257AM BN AB MN +=-=-==-=2225AM BN +=3BN =4BN =NF OB ⊥90NFB ∠=︒45ABO ∠=︒ 45BNF ∴∠=︒NF BF ∴=BF x =OF x =3BN =Rt NFB △222BF NF BN +=229x x +=x =OF ∴==；当时，在中，，即，解得：，．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．1tan 3NF O O F D B ∴==∠=4BN =Rt NFB △222BF NF BN +=2216x x +=x=OF ∴==1tan 2NF O O D F B ===∠∴。

上海市2024年静安区中考数学二模试卷

1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂上海市2024年静安区中考数学二模试卷]．下列各数中，是无理数的为（） ABC π0D ．712．下列运算正确的是（） A ．÷=−a a a 231B=aC ．=aa 253)( D ．+=a a a 3363．下列图形中，对称轴条数最多的是（） A ．等腰直角三角形B ．等腰梯形C ．正方形D ．正三角形4．一次函数=+y kx b 中，如果<≥k b 0,0，那么该函数的图像一定不经过（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（）第5题图A ．∠=∠AOB AOD B ．∠=∠ABO ADOC ．∠=∠BAO DAOD ．∠=∠ABC BCD6．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等； ②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：−=1______． 8．函数+=x f x 11)(的定义域是______．9．方程−=x 10(的根为______．10．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．11．如果关于x 的一元二次方程++=ax x 2102有实数根，那么a 的取值范围是______．12．反比例函数=+xy m 12（其中m 为任意实数）的图像在第______象限．13．将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是______．14．一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12"3，1次12"1，3次12"7，4次12"5，那么这10个数据的中位数是______．15．在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l 1与直线l 2交于点C 0,1)(，它们的夹角为90°．直线l 1交x 负半轴于点A ，直线l 2与x 正半轴交于点B 2,0)(，那么点A 的坐标是______．第16题图17．如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距=d 3，那么r 的取值范围是______．18．如图，矩形ABCD 中，==AB BC 8,17，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形AB C D 111，使点D 在直线B C 11上，那么线段BB 1的长度是______．第18题图19．（本题满分10分）先化简，再求值：÷−x x x x x x x44122−++−2−4+2，其中20．（本题满分10x =．分）解不等式组⎩⎪+>−⎨⎪⎧−≥x x x 3264330，并写出它的整数解．21．（本题满分10分）已知：如图，CD 是⊙O 的直径，AC 、AB 、BD 是⊙O 的弦，∥AB CD ．第21题图（1）求证：=AC BD ；（2）如果弦AB 长为8，它与劣弧AB 组成的弓形高为2，求CD 的长．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A （1，10.0）、B （2，11.0）、C （3，12.4）、D （4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=+y x 9．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：=S AC 2______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23．（本题满分12分）己知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且=DE DF ，联结AC ．（1）求证：=⋅AD AE AC 2；（2）联结BE 和BF ，求证：=BE BF ．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线=x 25对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求∠BAC tan 的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且∠=︒PAC 45，过点P 作⊥PQ y 轴，垂足为Q ，请说明∠=∠APQ BAC ，并求点P 的坐标．25．（本题满分14分）如图1，△ABC 中，已知==∠AB BC B 6,9,为锐角，∠=ABC 3cos 1．（1）求C sin 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果△BPQ 是等腰三角形，求AP 的长．一、选择题1.B 2. A 3.C 4. C 5.D 6. 参考答案A二、填空题7.18. x ≠−19. x =210. 60 11. a ≤1且a ≠012. 一、三13.4114. 12"515. 2b 2a − 16.⎝⎭⎪−⎛⎫2,0117. r >518.1717三、解答题19. 化简为x −21，代入后值为20. x −1<≤3，整数解x =0,1,2,321.（1）证明略（2）1022.（1）y =1.2x +8.8（2）0.0125；应选y =1.2x +8.8；14.823.（1）证明略（2）证明略24.（1）y =x −x +223152（2）31（3）⎝⎭⎪⎛⎫P 39,174425.（1）9（2）⎝⎭ ⎪=−≤<⎛⎫y x x 24117（3）23或3。

上海市2024年普陀区中考数学二模试卷

一、选择题1. 上海市2024年普陀区中考数学二模试卷是同类二次根式的是（）A.B.C.D.2. 下列运算正确的是（） A . +=a a a 342B . −=a a 32C . ⋅=a a a 332D . ÷=a a a 323. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（） A . =x 02B . −=x 102C . −+=x x 2202D . −+=x x 21024. 已知正比例函数=y kx （k 是常数，≠k 0）的图像经过点A （2,6），那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图像上的是（） A . −−1,3)(B . −1,3)(C .（6,2）D . −6,2)(5. 已知ABC 中，AH 为边BC 上的高，在添加下列条件中的一个后，仍不能判断ABC 是等腰三角形的是（） A . BH =HCB . ∠BAH =∠CAHC . ∠B =∠HACD . ABHAHCSS=6. 如图1，在ABC 中，∠ACB =90°，G 是ABC 的重心，点D 在边BC 上，⊥DG GC ，如果BD =5，CD =3，那么BCCG的值是（） A.B.C.D.二、填空题7. 计算：=a332)(________________9. 不等式组⎩−>⎨⎧+>x x 120360的解集是______________10. 已知反比例函数=−xy k 1的图像位于第二、四象限，那么k 的取值范围是_______________ 11. 已知一个角的余角是这个角的两倍，那么这个角的补角是_______________度12. 现有四张分别是等边三角形、菱形、直角梯形、等腰梯形的纸片，从这四张纸片中任意抽取一张恰好是轴对称图形的概率是_______________13. 已知直线=+y x 24与直线y =1相交于点A ，那么点A 的横坐标是________________14. 在直角坐标平面内，将点A 先向右平移4个单位，再向上平移6个单位得到点B ，如果点A 和点B 恰好关于原点对称，那么点B 的坐标是_______________15. 学校为了解本校九年级学生阅读课外书籍的情况，对九年级全体学生进行“最喜欢阅读的课外书籍类型”的问卷调查（每人只选一个类型），如图2是收集数据后绘制的扇形图，如果喜欢阅读漫画类书籍所在扇形的圆心角是72°，喜欢阅读小说类书籍的学生有72人，那么该校九年级喜欢阅读科技类书籍的学生有__________________人16. 如图3，梯形ABCD 中，AD //BC ，过点A 作AE //DC 分别交BD 、BC 于点F 、E ，=BC BE 32，设 ,AD a AB b ==，那么向量FE 用向量,a b 表示为______________17. 已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 在直线BC 上（点E 在点F 的左侧），∠EAF =45°，如果BE =1，那么CF 的长是______________18. 如图4，在ABC 中，AB =AC =5，=B 5cos 4，分别以点B 、C 为圆心，1为半径长作,B C ，D 为边BC 上一点，将ABD 和B 沿着AD 翻折得到'AB D 和'B ，点B 的对应点为点B '，AB '与边BC 相交，如果'B 与C 外切，那么BD =________________三、解答题19. 计算：⎝⎭⎪−++⎛⎫−4281221220. 解方程：−++=x x x x9326221. 如图5，在ABC 中，∠B =2∠C ，点D 在边BC 上，AB =AD =13，BC =23. （1）求BD 的长；（2）求tanC 的值.22. 甲外卖平台的外卖员小张看到乙外卖平台外卖员小王的月工资收入比自己高，于是想跳槽去乙外卖平台工作，如果不考虑其他因素，仅根据以下信息，请你帮助小张来决策是否需要跳槽到乙外卖平台，并说明理由.信息一：甲、乙两个外卖平台的税前月工资收入计算方式相同，如下：税前月工资收入=（每日底薪+每单提成⨯日均送单数）⨯月送单天数—当月违规扣款（其中这两个外卖平台每个月的月送单天数均相同）信息二：乙外卖平台外卖员小王的月工资单如下表：信息三：如图6-1，随机抽取了小张在甲外卖平台若干天的日均送单数绘制成条形图；如图6-2，根据小张在一年中每月的违规送单数绘制成条形图23. 已知：如图7，四边形ABCD 中，AB //CD ，点E 在边AD 上，CE 与BA 的延长线交于点F ，=AB EDFA AE. （1）求证：四边形ABCD 为平行四边形；（2）联结FD ，分别延长FD 、BC 交于点G ，如果=⋅FC FD FG 2，求证：⋅=⋅AD CG BF CD .24. 在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(与x 轴交于点A 、B ，抛物线的顶点P 在第一象限，且∠APB =90°.（1）当点P 的坐标为（4,3）时，求这个抛物线的表达式；（2）抛物线=−+≠y a x m n a 02)()(表达式中有三个待定系数，求待定系数a 与n 之间的数量关系；（3）以点P 为圆心，P A 为半径作P ，P 与直线=+y x n 2相交于点M 、N ，当点P 在直线=y x 21上时，用含a 的代数式表示MN 的长.25. 如图9，在梯形ABCD 中，AD //BC （AD <BC ），∠A =90°，BC =CD =6，将梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转，使点B 与点D 重合，此时点A 、D 的对应点分别是点E 、F . （1）当点F 正好落在AD 的延长线上时，求∠BCD 的度数；（2）联结AE ，设==AD x AE y ,. ①求y 关于x 的函数解析式；②定义：同中心同边数的两个正多边形称为双同正多边形，设∠BCF 是一个正多边形的中心角，联结BD ，请说明以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形的理由，当这两个正多边形的面积比是4:5时，求双同正多边形的边数.一、选择题1. D2. C3. B4. A5. C6. 参考答案D二、填空题7. a 968. =x 3 9. −<<x 221 10. k <1 11. 150 12. 43 13. −2314.（2,3） 15. 27 16. 42a b +33 17. 38或5818. −44三、解答题 19.1020. =x 6 21.（1）10 （2）3222. 不需要 23.（1）证明略（2）证明略 24.（1）=−−+y x 34312)( （2）+=an 10（3）=−aMN 2 25.（1）60°（2）①=y②十二条边。

2024年中考数学二模试卷(上海卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列图形中，为中心对称图形的是()A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合；是中心对称图形的只有B ．故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 2x 21-=-C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=【答案】C【详解】A ．∵x 4＞0，∴x 4+2=0无解，故本选项不符合题意；B ．∵22x -≥0，∴22x -=−1无解，故本选项不符合题意；C ．∵x 2+2x −1=0，∆=8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1x x -=11x -，可得x =1，经检验x =1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA += （）A ．AB ；B ．BA ；C ．0 ；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断．【详解】AB BA += 0 ．故选C ．4．在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP 相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A 【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ，∴AD OP ⊥，∵∠POQ =30°，⊙A 半径长为2，即2AD =，∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+-=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．分解因式：2218m -=．【答案】()()233m m +-/()()233m m -+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m -=2（m 2-9）=2（m +3）（m -3）．故答案为：2（m +3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．2x x +=-的解是．【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．【详解】把方程两边平方得x +2＝x 2，整理得（x ﹣2）（x +1）＝0，解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解．故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．9．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是．【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠，故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b == ，那么BG =（用a b 、表示）.【答案】23a b -+ .【详解】试题分析：∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b = ，∴23AG b =，又∵BG AG AB =- ，AB a = ，∴2233BG b a a b =-=-+ ；故答案为23a b -+ ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是.【答案】13【详解】解:列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程224404x x x x +-+=中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x 2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解．【详解】方程2234404x x x x +-+=-可变形为x 2-4x+214x x -+4=0,因为24y x x =-，所以340y y++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是．【答案】7r >/7r<【分析】由题意，⊙O 1与⊙O 2内含，则可知两圆圆心距d r r <-小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r ->，解得7r >．故答案为：7r >．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x ，那么可列方程是．【答案】100（1＋x ）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x ，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x 的一元二次方程．故答案为：100（1＋x ）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x ，根据题意可得：100（1＋x ）2＝200．故答案为：100（1＋x ）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD 中，已知AB ＝4，∠B ：∠C ＝1：2，那么BD 的长是．【答案】43【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO ＝12BD ，BD ⊥AC ，在Rt △ABO 中，由cos ∠ABO 即可求得BO ，继而得到BD 的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD ∥，∴∠ABC +∠BCD ＝180°，∵∠ABC ：∠BCD ＝1：2，∴∠ABC ＝60°，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°，BO ＝12BD ，BD ⊥AC ．在Rt △ABO 中，cos ∠ABO ＝BO AB ＝32，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×32＝23．∴BD＝2BO＝43．故答案为：43．【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC=．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD中，10AB=，12BC=，5CD=，3tan4B=，那么边AD的长为．【答案】9【分析】连接AC，作AE BC⊥交BC于E点，由3tan4B=，10AB=，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果．【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB +=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8，又 12BC =，∴CE=BC-BE=4，∴22213AC AE CE =+=，作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又 5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴226AF AC CF =-=，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt ∆ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =3，⊙O 是以BC 为直径的圆，如果⊙O 与⊙A 相切，那么⊙A 的半径长为．【答案】132±【分析】分两种情况：①如图，A 与O 内切，连接AO 并延长交A 于E ，根据AE AO OE =+可得结论；②如图，A 与O 外切时，连接AO 交A 于E ，同理根据AE OA OE =-可得结论．【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A 与O 内切时，连接AO 并延长交O 于E ，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒ ，根据勾股定理得：22222313OA OC AC =+=+=，132AE OA OE ∴=+=+；即A 的半径为132+；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得132AE AO OE =-=-，即A 的半径为132-，综上，A 的半径为132+或132-．故答案为：132±．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()20220118cot 45233sin 30π--︒+-+--︒．【答案】223+【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：20220118(cot 45)|23|(3)(sin 30)π-+-︒+-+--︒20221132(1)321()2-=+-+-+-3213212=++-+-223=+．【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =3，AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积；（2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）85；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积；（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB =AC =6，cos B =23，AH 是△ABC 的高，∴BH =4，∴BC =2BH =8，AH =226425-=，∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=8252⨯=85；（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CH AB HB DE HF ==，．∵AD ：DB =1：2，BH =CH ，∴AD ：AB =1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE =3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝x的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝k x的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k的值；(2)求点B的坐标．【答案】(1)2 (2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22kk=，解方程求得k＝2；（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A的坐标代入解得b52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．【详解】（1）解：∵点A是反比例函数ykx=的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2，∴22k k=，∴2k＝4，解得k＝±2，∵k＞0，∴k＝2；（2）∵k＝2，∴反比例函数为y2x=，正比例函数为y＝2x，把y＝2代入y＝2x得，x＝1，∴A（1，2），∵AB⊥OA，∴设直线AB的解析式为y12=-x+b，把A 的坐标代入得2112=-⨯+b ，解得b 52=，解21522y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点B 的坐标为（4，12）．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP 上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N 距离地面的高度为0.9m ，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度坡度1：201：161：121：101：8最大高度（m ）1.200.900.750.600.30水平长度（m ）24.0014.409.00 6.002.40【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即BEAE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB＝22AE BE+＝229.64+＝10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B''的坡度为1：4，即B EA E''＝1：4，∴A'E＝5×4＝20（m），∴A A'＝20﹣9.6＝11.4（m），A'G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED △和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅，∴AE AD CB AC=，∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =-++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式；(2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标．【答案】(1)2312355y x x =-++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2-．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，根据等腰直角三角形的性质可得2KF KE ==，则22DK DF KF =-=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c =-++，得：15503b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =-++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒ ，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE = ，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==，(4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =-++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒ ，45DFH ∴∠=︒，32DF =，过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =-= ，2KF KE ∴==，22DK DF KF ∴=-=，在Rt DKE ∆中，22cot 22DK EDF KE ∠===；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒ ，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF ED ED EP=，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，又2EF = ，223110ED =+=，102(1)y ∴=-，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒ ，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DP PD FP=，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =-，3FP y =-，223DP y =+，29(1)(3)y y y ∴+=--，解得32y =-，∴点P 的坐标为3(4,)2-；综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2-．【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时，①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；②74(2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA AB AP OA=，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH ＝2﹣x ，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝12∠AOB＝12β，∠ACO＝12∠APO＝12β，再利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵PA＝PO，∴∠BAO＝∠POA，∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，∴∠AOB＝∠APO；②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，∴△AOB∽△APO，∴OA AB AP OA=，∴OA2＝AB•AP＝1，∵点B是线段AP的中点，∴AP＝2，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝2﹣x，由勾股定理得，12﹣x2＝（2）2﹣（2x-）2，解得x＝2 4，∴OH＝2 4，21由勾股定理得，AH ＝2221()4-＝144，∴△AOP 的面积为11142224OP AH ⨯⨯=⨯⨯＝74；（2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP ＝β+α，∵OA ＝OC ，AP ＝PC ，OP ＝OP ，∴△OAP ≌△OCP （SSS ），∴∠OAP ＝∠OCP ＝β+α，在△OAP 中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23β．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2024年上海市松江区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市松江区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列代数式中，单项式是（）A．B．C．x+2D．2．（4分）当a＞0时，下列运算结果正确的是（）A．a0＝0B．a﹣2＝﹣a2C．（﹣a）3＝﹣a3D．3．（4分）如果a＞b，c为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（）A．ac＞bc B．ac＜bc C．c﹣a＞c﹣b D．c﹣a＜c﹣b 4．（4分）在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（）A．中位数B．众数C．平均数D．方差5．（4分）下列命题中假命题是（）A．对角线相等的平行四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线相等的菱形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形6．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，分别以A，C为圆心的两圆外切，且点D 在⊙A内，点B在⊙C内，那么⊙C半径r的取值范围是（）A．5＜r＜6B．5＜r＜6.5C．5＜r＜8D．5＜r＜12二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：﹣＝．8．（4分）因式分解：a2﹣a＝．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣x＝1有两个相等的实数根，那么k＝．11．（4分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么在每个象限内，y随x的增大而.（填“增大”或“减小”）12．（4分）我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长10%，第三季度的销量比第二季度增长20%，那么预计第三季度的销量为万辆．13．（4分）一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是．14．（4分）平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是.（只需写出一个符合条件的表达式）15．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，AC、BD交于点O．设＝，＝，那么向量可用表示为．16．（4分）某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图1和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为人．17．（4分）一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为厘米．18．（4分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．D是边BC的中点，E是边AC上一点，将△CDE沿着DE翻折，点C落在点F处，如果DF与△ABC的一边平行，那么AE＝．三、解答题（本大题共7题）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．（1）求⊙O的半径长；（2）P是上一点，PO⊥BC，交AB于点D，联结AP．求∠PAB的正切值．22．（10分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．（1）如图所示的四边形ABCD是一个“精致四边形”，其中AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD．试写出该“精致四边形”的两条性质（AB＝AC＝BC＝AD，BD＝CD除外）；（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数．23．（12分）如图，已知AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，O1O2与AB交于点C，O1O2的延长线与⊙O2交于点P，联结PA并延长，交⊙O1于点D．（1）联结O1A、O2A，如果AB＝AD＝AP．求证：O1A⊥O2A；（2）如果PO1＝3PO2，求证：PA＝AD．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，0）、点B（0，2），抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点A，且顶点C在线段AB上（与点A、B不重合）．（1）求b、c的值；（2）将抛物线向右平移m（m＞0）个单位，顶点落在点P处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点D，联结PD，交x轴于点E．①如果m＝2，求△ODP的面积；②如果EC＝EP，求m的值．25．（14分）如图，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边AD上一动点，过点P 作PE⊥AC，垂足为点E，联结BE，过点E作EF⊥BE，交边AD于点F（点F与点A 不重合）．（1）当F是AP的中点时，求证：BA＝BE；（2）当AP的长度取不同值时，在△PEF中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）延长PE交边BC于点G，联结FG，△EFG与△AEF能否相似，若能相似，求出此时AP的长；若不能相似，请说明理由．2024年上海市松江区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据单项式的定义，逐一判断即可解答．【解答】解：A、是单项式，故A符合题意；B、是分式，故B不符合题意；C、x+2是多项式，故C不符合题意；D、2不是单项式，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义是解题的关键．2．【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵a0＝1（a≠0），∴选项A不符合题意；∵a﹣2＝，∴选项B不符合题意；∵（﹣a）3＝﹣a3，∴选项C符合题意；∵＝，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p＝（a≠0，p为正整数）．3．【分析】根据不等式的性质分析判断．【解答】解：∵a＞b，∴当c＜0时，ac＜bc，故选项A不符合题意；当c＞0时，ac＞bc，故选项B不符合题意；∵a＞b，c是任意实数，∴﹣a＜﹣b，∴c﹣a＜c﹣b，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．4．【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．【解答】解：根据题意，从7个原始评分中去掉1个最高分和1个最低分，得到5个有效评分，5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数．故选：A．【点评】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．平均数、极差、方差与每一个数据都有关系，都会受极端值的影响，而中位数仅与数据的排列位置有关，代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响．5．【分析】由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【解答】解：由对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，得D是假命题，而A，B，C是真命题，故选：D．【点评】本题主要考查了真命题，解题关键是正确判断命题的真假．6．【分析】根据勾股定理求出AC的长，再根据以A，C为圆心的两圆外切得出⊙A的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出r的取值范围即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝＝13，∵以A，C为圆心的两圆外切，∴⊙A的半径为AC﹣r＝13﹣r，∵点D在⊙A内，∴AD＜13﹣r，∴r＜8，∵B在⊙C内，∴BC＜r，∴r＞5，∴5＜r＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出⊙A的半径是本题解题的关键．二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据二次根式的减法法则进行计算即可．【解答】解：﹣＝×﹣＝2﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查二次根式的运算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．【解答】解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故答案为：a（a﹣1）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x＜2，故不等式组的解集为1≤x＜2．故答案为：1≤x＜2．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．10．【分析】因为关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，所以k≠0且Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x﹣1＝0有两个相等的实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4×k×（﹣1）＝1+4k＝0，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．11．【分析】根据题意，先确定k＜0，再依据反比例函数性质解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k＜0，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故答案为：增大．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．12．【分析】把第一季度电动车的销量看成单位“1”，列式计算即可．【解答】解：10×（1+10%）×（1+20%）＝10×1.1×1.2＝13.2（万辆），∴预计第三季度的销量为13.2万辆．故答案为：13.2．【点评】本题考查百分数的应用，关键是把第一季度电动车的销量看成单位“1”．13．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是掌握：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．【分析】由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【解答】解：由平移抛物线y＝x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，设平移后抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线经过原点，得0＝（0﹣1）2+k，即k＝﹣1，符合顶点在第四象限，故所求为y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．故答案为：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】本题主要考查了抛物线，解题关键是待定系数法的应用．15．【分析】根据平行线分线段成比例求出AO和AC的关系，过C作AD平行线，构造平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则求出，从而可以求得．【解答】解：∵CD∥AB，∴AO：OC＝AB：DC＝2，∴AO＝AC，过C作CE∥AD交AB于E，如图：∴四边形ADCE为平行四边形，∴AE＝CD＝AB，＝+，∴＝＝+＝+．故答案为：+．【点评】本题主要考查了平面向量，根据平行四边形法则来求解是本题解题的关键．16．【分析】根据全校的总人数×步行的百分比得出结果即可．【解答】解：由题意得，样本容量为：25÷50%＝50，故该校步行上学的学生约为：1200×＝240（人），故答案为：240．【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，数据条形统计图和扇形统计图的特点．17．【分析】利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，并标明x的取值范围，将x＝5代入求出对应y的值即可．【解答】解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．将x＝2，y＝11和x＝4，y＝12代入y＝kx+b，得，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝x+10（0≤x≤8）．当x＝5时，y＝×5+10＝12.5，∴挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．故答案为：12.5．【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．18．【分析】根据DF与△ABC三边分类讨论，由翻折的性质以及勾股定理求出CE的长，从而求得AE的长即可．【解答】解：①当DF∥BC时，DF与BC重合，∴C，D，E不构成三角形，不符合题意；②当DF∥AC，如图：∴DF⊥BC，∴∠CDF＝90°，由翻折的性质可知，CD＝DF，CE＝CF，∴四边形CDFE为正方形，∴CE＝CD＝3，∴AE＝AC﹣CE＝5；③当DF∥AB，延长DF交AC于G，如图：∴CG＝AC＝4，DG＝＝5，∴FG＝DG﹣DF＝DG﹣CD＝2，设CE＝EF＝x，则EG＝4﹣x，在Rt△EFG中，（4﹣x）2＝x2+4，解得：x＝，∴AE＝AC﹣CE＝6.5，综上所述，AE＝5或6.5．故答案为：5或6.5．【点评】本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键．三、解答题（本大题共7题）19．【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值计算即可．【解答】解：原式＝+2﹣+2（+1）﹣＝．【点评】本题考查分母有理化、负整数指数幂，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂的运算法则及分母有理化、去绝对值的方法是本题的关键．20．【分析】将x2﹣3xy+2y2＝0分解因式求出x2﹣3xy+2y2＝（x﹣y）（x﹣2y），进而重新组合方程组求出即可．【解答】解：由①得x﹣y＝0，x﹣2y＝0．原方程组化为，，分别解这两个方程组，得原方程组的解是：，，，．【点评】此题主要考查了二元二次方程组的解法，根据已知分解因式x2﹣3xy+2y2＝（x ﹣y）（x﹣2y）是解题关键．21．【分析】（1）根据圆的性质以及勾股定理列方程求解即可；（2）根据垂直的定义以及圆周角定理求出∠PAB＝45°，再根据特殊锐角三角函数值进行计算即可．【解答】（1）解：如图，连接OA，则OA＝OB＝r，OC＝8﹣r，在Rt△AOC中，由勾股定理得，AC2+OC2＝OA2，即42+（8﹣r）2＝r2，解得r＝5，即⊙O的半径长为5；（2）解：∵PO⊥BC，∴∠BOP＝90°，∴∠PAB＝∠PAB＝45°，∴∠PAB的正切值为tan45°＝1．【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及特殊锐角三角函数值是正确解答的关键．22．【分析】（1）由等腰三角形的性质即可得到答案；（2）由菱形的性质得到AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，判定△ABD是等边三角形，得到∠ADO＝60°，因此AO＝OD，即可求出＝，得到较长线段与较短线段长度的比值是；（3）由等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠ADB，由平行线的性质推出∠CBD＝∠ADB，得到∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，由等腰梯形的性质推出∠ABC＝∠BCD，得到∠ACB＝∠CBD，由AC＝BC，得到∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，由三角形内角和定理得到2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，求出∠CBD＝36°，得到∠ABC＝2∠CBD＝72°，由平行线的性质得到∠BAD+∠ABC＝180°，求出∠BAD＝108°，由等腰梯形的性质得到∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°．【解答】解：（1）∠ABC＝∠ACB，∠DBC＝∠DCB（答案不唯一），理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCB；（2）如图，菱形ABCD中，BD＝AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2OD，∵BD＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADO＝60°，∴AO＝OD，∴AC＝BD，∴＝，∴较长线段与较短线段长度的比值；（3）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，同理：∠BCA＝∠DCA＝∠BCD，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠BCD，∴∠ACB＝∠CBD，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝2∠CBD，∠ABC+∠CAB+∠BCA＝180°，∴2∠CBD+2∠CBD+∠CBD＝180°，∴∠CBD＝36°，∴∠ABC＝2∠CBD＝72°，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝108°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ADC＝∠BAD＝108°，∠BCD＝∠ABC＝72°，∴两种长度的线段是AD＝CD＝AB，AC＝BD＝BC，梯形的各内角度数分别是72°、72°，108°、108°．【点评】本题考查梯形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由“精致四边形”的定义画出符合要求的菱形和梯形．23．【分析】（1）连接O1B，O2B，BD，BP，由直角三角形的判定可知△DPB为直角三角形，然后根据圆周角定理求出∠AO1O2+∠AO2O1的度数即可证明；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．【解答】证明：（1）连接O1B，O2B，BD，BP，如图：∵AD＝AB＝AP，∴△DBP为直角三角形，∠D+∠APB＝90°，由圆周角定理可知，∠AO1B＝2∠D，∠AO2B＝2∠APB，∵AB是⊙O1与⊙O2的公共弦，∴O1O2垂直平分AB，∴∠AO1C＝∠AO1B，∠AO2C＝∠AO2B，∴∠AO1C+∠AO2C＝∠D+∠APB＝90°，∴AO1⊥AO2；（2）过O1作O1E⊥DP于E，过O2作O2F⊥DP于F，如图：∴O1E∥O2F，∴＝＝，∴PE＝3PF，由垂径定理可知，AE＝DE，PF＝AF，∴AE＝PE﹣PA＝3PF﹣2PF＝PF，∴AD＝2AE＝2PF＝AP．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键．24．【分析】（1）先求出AB所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据A 和C都在线段AB上，求解即可；（2）①根据抛物线平移的性质求出P点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出D 点坐标，进而求出PD的直线表达式，最后求出E点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；②根据EC＝EP，可知E在CP的垂直平分线上，从而求出E点坐标，进而求出PD所在直线表达式，从而求得D点坐标，最后根据D在平移后的抛物线上求出m的值即可．【解答】解：（1）设AB所在直线的表达式为：y＝kx+m，将点A和点B的坐标代入表达式可得：，解得：k＝﹣1，m＝2，∴AB的表达式为：y＝﹣x+2，将点A的坐标代入抛物线解析式得：0＝﹣4+2b+c，∴c＝4﹣2b，将抛物线解析式改写成顶点式：y＝﹣x2+bx+4﹣2b＝﹣（x﹣）2+4﹣2b+，∴点C（，4﹣2b+）在直线AB上，∴4﹣2b+＝﹣+2，解得：b＝2或4，当b＝4时，顶点C和A重合，不符合题意；∴b＝2，c＝0；（2）①由（1）知，C（1，1），抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x，∴P（3，1），对称轴直线为：x＝1，∴平移后的抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+2（x﹣2）＝﹣x2+6x﹣8，当x＝1时，y＝﹣1+6﹣8＝﹣3，∴D（1，﹣3），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，将点P和点D的坐标代入表达式得：解得：t＝2，s＝﹣5，∴PD的表达式为：y＝2x﹣5，∴E（，0），＝××1+××3＝5；∴S△ODP②由平移的性质可知，P（m+2，1），∵EC＝EP，∴E在CP的垂直平分线上，∴E（+2，0），设PD所在直线的表达式为：y＝tx+s，代入P，E的坐标得：，解得：t＝，s＝﹣1﹣，∴PD的表达式为：y＝x﹣1﹣，∴D（1，﹣1﹣），由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m﹣2）2+1，将D点代入平移后的抛物线得：﹣1﹣＝﹣（m+1）2+1，解得：m＝1或﹣1或﹣2，∵m＞0，∴m＝1．【点评】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．25．【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质可知AF＝FE，再根据角之间的互余关系得到∠BAE＝∠BEA，从而证明AB＝BE；（2）根据平行线的性质以及互余关系证明△EPF和△EAB相似，从而可以证明PF是个定值；（3）因为∠AFE和∠FEG为钝角，所以当△EFG与△AEF相似时，这两个角相等，根据三角函数的定义求出PE的值，从而求得AP的值．【解答】（1）证明：∵PE⊥AC，F是AP中点，∴AF＝EF，∴∠FAE＝∠FEA，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAE＝∠AEF，又∵∠AEF+∠AEB＝90°，∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BAC＝∠AEB，∴BA＝BE；（2）解：存在PF长度不变．∵AD⊥CD，PE⊥AE，∴tan∠CAD＝＝＝，∵∠AEP＝∠FEB＝90°，∴∠AEB＝∠PEF，又∵∠BAE+∠CAD＝90°，∠CAD+∠APE＝90°，∴∠BAE＝∠APE，∴△ABE∽△PFE，∴＝＝，∴PF＝；（3）解：能相似．连接FG，过P作PH⊥BC于H，如图：∴PH＝AB＝1，∵PG⊥AC，∴∠GPH＝∠ACB，∴GH＝PH•tan∠ACB＝，由（2）知，PF＝，∴GH＝PF，又∵PF∥GH，∴四边形GHPF为矩形，∴∠PAE＝∠PGF，∴当∠AFE＝∠FEG时，△AEF∽△GFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF＝，∴AE＝2PE＝2，∴AP＝．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握特殊几何图形的性质是解题的关键。

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列单项式中，与单项式2a2b3是同类项的是（）A．﹣ab4B．2a3b2C．3b3a2D．﹣2a2b2c 3．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（）A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限4．（4分）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．甲乙丙丁平均数（cm）185180180185方差 3.6 3.68.17.4根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACDC．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC6．（4分）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A．5πcm B．6πcm C．7πcm D．8πcm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）方程﹣x＝0的根是．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）方程组的解是．10．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程实数根．11．（4分）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是．12．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是．13．（4分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是．14．（4分）小杰沿着坡比i＝1：2.4的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．15．（4分）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有人．16．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，＝，＝，那么是（用向量、表示）．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4．已知点D是边AC的中点，将△ABC 沿直线BD翻折，点C落在点E处，联结AE，那么AE的长是．18．（4分）如图，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y＝﹣（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）计算：﹣|1﹣|+π0﹣．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30．（1）求⊙O1的半径长；（2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由．22．（10分）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E、G、H、F分别在边AB、BC、CD、DA上，AE ＝AF，CG＝CH，CG≠AE．（1）求证：EF∥GH；（2）分别联结EG、FH，求证：四边形EGHF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．①当m＝时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．25．（14分）如图，在扇形OAB中，OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，点C、D是弧AB上的动点（点C在点D的上方，点C不与点A重合，点D不与点B重合），且∠COD＝45°．（1）①请直接写出弧AC、弧CD和弧BD之间的数量关系；②分别联结AC、CD和BD，试比较AC+BD和CD的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB分别交OC、OD于点M、N．①当点C在弧AB上运动过程中，AN•BM的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求AN•BM的值；②当MN＝5时，求圆心角∠DOB的正切值．2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：、、是无理数，＝2，是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断即可．【解答】解：与单项式2a2b3是同类项的是3b3a2，故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键，注意同类项与系数无关，与字母的顺序无关．3．【分析】先根据题意判断出k，b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴y＝bx+k经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小，所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定．故选：A．【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB＝∠ABC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．6．【分析】根据弧长的计算方法计算半径为9cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝6π（cm）．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】移项后方程两边平方得出2x﹣1＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：﹣x＝0，移项，得＝x，方程两边平方，得2x﹣1＝x2，x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．8．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞﹣5，∴原不等式组的解集为：x＞2，故答案为：x＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．9．【分析】方程组化为一元二次方程可解得答案．【解答】解：由x﹣2y＝0得x＝2y，代入x2+y2＝5得：5y2＝5，解得y＝1或y＝﹣1，∴原方程组的解为或．故答案为：或．【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组化为一元二次方程．10．【分析】先计算出Δ的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】依据题意，由y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，从而当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．∵二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．12．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），∴t×（﹣2t）＝﹣4，解得t＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这一特征是关键．13．【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果，根据三角形三边的关系可判断三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率求解．【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了三角形三边的关系．14．【分析】设上升的高度为x米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设上升的高度为x米，坡比i＝1：2.4，根据题意得x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义．15．【分析】先用总人数乘以从来不管对应的百分比求出其人数，再根据三个类别人数之和等于总人数求出严格管理的人数，最后用总人数乘以样本中严格管理人数所占比例即可．【解答】解：由题意知，从来不管的人数为100×25%＝25（人），则严格管理的人数为100﹣25﹣55＝20（人），所以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有2000×＝400（人），故答案为：400．【点评】本题考查了条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了利用样本估计总体．16．【分析】首先判定△ABC是等腰三角形；如图，过点C作CE∥AB交AD于E，构造平行四边形ABCE，则BC＝AE．所以在△ABC中，利用三角形法则求解即可．【解答】解：∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．如图，过点C作CE∥AB交AD于E，则四边形ABCE是平行四边形．∴BC＝AE．∵AD＝2AB，∴AD＝2BC．∵＝，∴＝＝．∵＝，＝+．∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量，等腰三角形的判定与性质，梯形．解题的巧妙之处在于作出辅助线，构造平行四边形．将所求的向量置于△ABC中，利用三角形法则作答．17．【分析】过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，根据等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例可以求出CN，BN的长，然后根据勾股定理求出DN和BD的长，根据轴对称的性质可得，CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，根据等积变换可以求出OC，从而求得CE，再根据AD＝CD＝DE可以判断△ACE为直角三角形，最后根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，∴AM∥DN，∵D为AC中点，AB＝AC，∴AD＝CD＝3，BM＝CM＝2，∴CN＝MN＝1，∴DN＝＝2，∴BD＝＝，∵E和C关于BD对称，∴CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，＝BC•DN＝BD•OC，∵S△BCD∴OC＝，∴CE＝，∵AD＝CD＝DE，∴△ACE为直角三角形，∴AE＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折问题，合理运用平行线分线段成比例、勾股定理以及直角三角形的判定是本题解题的关键．18．【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，反比例函数比例系数的几何＝4，S△OBE＝0.5，证△OAD∽△OBE得，由此得OA＝意义得S△OADOB，则AB＝（OB，再由得S△ABC＝（S，然后根据等腰三角形的性质得S△AOC＝2S△OAD＝8，则S△ABC+S△OBC＝8，由此得△OBC＝，进而可得△ABC的面积．得S△OBC【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：∵点A是函数（x＜0）图象上一点，点B是反比例函数（x＜0）图象上的点，＝×8＝4，S△OBE＝×1＝0.5，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，∴AD∥BE，∴△OAD∽△OBE，∴，∴＝8，∴OA＝OB，∴AB＝OA﹣OB＝OB﹣OB＝（）OB，即，∵，＝（）S△OBC，∴S△ABC∵AC＝AO，AD⊥x轴，∴OD＝CD，＝2S△OAD＝8，∴S△AOC+S△OBC＝8，∴S△ABC+S△OBC＝8，即（）S△OBC＝，∴S△OBC＝S△AOC﹣S△OBC＝．∴S△ABC故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质以及零指数幂分别化简得出答案．【解答】解：﹣|1﹣|+π0﹣＝2﹣+1+1﹣＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握正确化简各数是关键．20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】（1）连接AO1，由勾股定理求出CO2，再求出CO1，再由勾股定理求出AO1即可；（2）由勾股定理逆定理判断∠O1BO2是否为直角即可．【解答】解：（1）连接AO1，AB和O1O2交于点C，如图：∵AB是⊙O1和⊙O2的公共弦，∴AB⊥O1O2，AC＝BC＝24，∴CO2＝＝18，∴CO1＝O1O2﹣CO2＝32，∴AO1＝＝40．（2）经过．证明：∵BO1＝AO1＝40，BO2＝AO2＝30，O1O2＝50，∴+＝O1，∴∠O1BO2＝90°，∴B在以O1O2为直径的圆上．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键．22．【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性．【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，总路程为：15×3＝45（千米），第二次到达考场所需时间为：45÷60＝0.75（小时），0.75小时＝45分钟，∵45＞42，∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场，先将4人用车送到考场所需时间为15÷60＝0.25（h）＝15（分钟），5×0.25＝1.25（km），∴此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后与步行的4人相遇，则：5t十60t＝13.75，解得t＝，此时汽车与考场的距离为13.75﹣5×＝＝（km），∴汽车由相遇点再去考场所需时间为（h），用这一方案送这8人到考场共需15≈40.4（分钟）．∴40.4＜42，∴采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．【分析】（1）连接BD．根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，同理＝，又CG≠AE，得到EF≠GH，根据梯形的判定定理得到四边形EGHF是梯形；根据全等三角形的性质得到EG＝FH，于是得到梯形EGHF是等腰梯形．【解答】证明：（1）连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∵AE＝AF，CG＝CH，∴＝，＝，∴EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH；（2）∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝，同理＝，又CG≠AE，∴EF≠GH，∵EF∥GH，∴四边形EGHF是梯形；∵AB﹣AE＝AD﹣AF，即BE＝DF，∴BC﹣CG＝CD﹣CH，即BG＝DH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∴△BGE≌△DHF（SAS），∴EG＝FH，∴梯形EGHF是等腰梯形．【点评】本题考查了等腰梯形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，在Rt △CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，即可求解；②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；则抛物线的对称轴是直线x＝2，∴点B（3，0）；（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），则CM＝，∵四边形GDMN是平行四边形，∴DG∥MN，又点N在y轴上，∴NM⊥OD，∴GD⊥OD，在Rt△OBC中，BC＝＝5，则cos∠OCB＝＝，则sin∠OCB＝，在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，过点G作GH⊥CO，垂足为H，在Rt△CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，则OD＝GH＝，故点D（，0）；②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，则OH＝PD＝PM，∵MG＝MC•sin∠OCB＝（4﹣m）＝2PM，由①知，∠CMG＝∠OCB，则sin∠CMG＝sin∠OCB，则MH＝PM•sin∠OCB＝（4﹣m），而OH＝MH+OM＝MH+m，由PM＝OH得：（4﹣m）+m＝（4﹣m），解得：m＝；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，综上，符合题意的m的值为0或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键．25．【分析】（1）①根据弧长与圆心角之间的关系求解即可；②在弧CD上取点E，使得∠COE＝∠AOC，然后根据圆心角、弧长、弦长之间的关系以及三角形的三边关系证明即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，先证明△OMB∽△AON，即可得出AN•BM的值；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，利用全等三角形的判定与性质，以及勾股定理可以求出BN的长，过N作OB垂线，根据三角函数的定义求解tan∠BOD即可．【解答】解：（1）①设∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，∵＝•2πOA，＝•2πOA，＝•2πOA，∴＝+；②AC+BD＞CD．证明：在上取点E，连接OE，使得∠COE＝∠AOC，连接CE，DE，如图：∴AC＝CE，在△CDE中，CE+DE＞CD，∵∠COE+∠DOE＝45°，∠AOC+∠BOD＝45°，∴∠DOE＝∠BOD，∴BD＝DE，∴AC+BD＞CD．（2）①AN•BM的值不变，AN•BM＝72．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠OMB＝∠OAB+∠AOM＝45°+∠AOM，又∵∠AON＝∠COD+∠AOM＝45°+∠AOM，∴∠OMB＝∠AON，∴△OMB∽△AON，∴＝，∴AN•BM＝AO•BO＝72；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，连接BM′，NM′，如图：∵AO＝BO，∴△OBM′≌△OAM（SAS），∴BM′＝AM，∠OBM′＝∠OAB＝45°，∴∠NBM′＝90°，又∵∠M′ON＝45°＝∠COD，ON＝ON，∴△ONM′≌△OMN（SAS），∴M′N＝MN，∴MN2＝M′N＝BM′2+BN2＝AM2+BN2，又∵AM+BN＝12﹣5＝7，∴BN＝3或4，过N作NG⊥OB于G，当BN＝3时，NG＝BG＝，∴OG＝，∴tan∠BOD＝＝，当BN＝4时，NG＝BG＝2，∴OG＝4，∴tan∠BOD＝＝，∴tan∠BOD＝或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆心角与弦和弧的关系以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键。

上海中考二模数学试题及答案

上海中考二模数学试题及答案一、选择题1. 若集合A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，B = {2, 4, 6, 8,10}，则A ∩ B = （）A. {2, 4, 6}B. {1, 2, 3}C. {8, 10}D. {1, 3, 5, 7}2. 已知直线l与x轴交于点A，直线l与y轴交于点B，则下列说法中正确的是（）A. 点(0, 0)在l上B. 点(0, 1)在l上C. A与B的横坐标之积小于0D. A、B的横坐标之积大于03. 方程（x-2）²-4 = 0的根是（）A. 0B. 2C. 4D. 64. a1, a2, a3, ...是等差数列，若a1+a9=28，a5+a11=24，则该数列首项为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在Rt△ABC中，AB=12，AC=16，则BC的长度为（）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：1. A 2. D 3. B 4. C 5. B二、填空题1. 若a:b=2:3，且a:b:c=3:5:7，求c。

2. 设二次函数f(x)=-2x²+3x+4，若f(x)的图像与x轴交于点A、B，且AB=4，则A、B的横坐标分别为___。

3. 已知平行四边形ABCD中，AB=2a，AD=a+3，AC=4a-3，则BD 等于___。

4. 已知函数y=f(x)的图像关于原点对称，则f(-x)=___。

5. 若函数y=f(x)=ax²+x-1在区间[0, 1]上是增函数，则a的取值范围是___。

答案：1. 7 2. (-1, 3) 3. 2a-3 4. f(x) 5. a>0三、解答题1. 已知等差数列S的首项为a，公差为d，且S1 + S2 + S3 = 15，求S6的值。

解答：设等差数列的第n项是Sn，则有Sn = a + (n-1)d。

根据等差数列和公式，可以得到：S1 = aS2 = a + dS3 = a + 2dS6 = a + 5d给出条件S1 + S2 + S3 = 15，代入上面的式子可以得到：a + (a + d) + (a + 2d) = 153a + 3d = 15再考虑到S6 = a + 5d，将3a + 3d = 15带入可以得到：3a + 3d = 153(a + d) = 15a + d = 5将a + d = 5带入S6 = a + 5d：S6 = 5 + 5dS6 = 5(d + 1)所以S6的值为5(d + 1)。

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．（4分）下列是最简二次根式的是（）A．B．C．D．．2．（4分）关于一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况，正确的是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝2x2B．C．y＝﹣2x D．y＝2x+14．（4分）为了解某公司的收入水平，随机挑选五人的月工资进行抽样调查，月工资（单位：元）分别是3000，4000，5000，6000，50000，那么能够较好的反映他们收入平均水平的是（）A．中位数B．标准差C．平均数D．众数．5．（4分）如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（）A．B．∠AOD＝3∠BOC C．AC＝2CD D．OC⊥BD6．（4分）下列命题是假命题的是（）A．对边之和相等的平行四边形是菱形B．一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形C．一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形D．被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2﹣2＝．8．（4分）截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9．（4分）函数的定义域为．10．（4分）方程的解是．11．（4分）已知方程，如果设，那么原方程转化为关于y的整式方程为．12．（4分）如果二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，那么m的值为．13．（4分）在1，2，3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．14．（4分）为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有_____名．15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝2AD，点E是AC的中点，联结DE，设向量，，如果用、表示，那么＝．16．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F不与点C重合），且∠EAF＝45°，那么的值为．17．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，将△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，如果点A在DE的延长线上，且CE∥AB，那么∠CAE的余弦值为．18．（4分）我们把以三角形的重心为圆心的圆叫做该三角形的重心圆．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，如果△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，那么它的半径r的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：．21．（10分）如图，⊙O经过平行四边形ABCD的顶点B，C，D，点O在边AD上，AO＝3，OD＝5．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求∠D的正弦值．22．（10分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动商店优惠方式甲所购商品按原价打八折乙所购商品按原价每满300元减80元设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y元，求y关于x的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围．23．（12分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AD，点E在边AD上（点E不与点A、D重合），点F在边CD上，且∠ABD＝∠EBF＝∠C．（1）求证：；（2）联结EF，与BD交于点G，如果BG＝EG，求证：四边形BEDF为等腰梯形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与y轴、线段BC交于点D、E．①当CF＝DF时，求CD的长；②联结AC，如果△ACF的面积是△CDE面积的3倍，求点F的坐标．25．（14分）已知在△ABC中，CA＝CB，AB＝6，cos∠CAB＝，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交边AC于点D（点D不与点A、C重合）．（1）当AD＝4时，判断点B与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）过点C作CE⊥OD，交OD延长线于点E．以点E为圆心，EC为半径作⊙E，延长CE，交⊙E 于点C′．①如图1，如果⊙O与⊙E的公共弦恰好经过线段EO的中点，求CD的长；②联结AC′、OC，如果AC′与△BOC的一条边平行，求⊙E的半径长．2024年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]1．【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可．【解答】解：A、＝，故不符合题意；B、＝＝，故不符合题意；C、是最简二次根式，符合题意；D、＝＝5，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．3．【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、函数y＝2x2中，当x＜0时y随x的增大而减小，不符合题意；B、函数y＝﹣中，在每一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；C、函数y＝﹣2x中，y随x的增大而减小，不符合题意；D、函数y＝2x+1中，y随x的增大而增大，符合题意．故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质、一次函数的性质及正比例函数的性质、二次函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．4．【分析】利用平均数，中位数、众数和给出的数据分别进行分析，即可得出答案．【解答】解：根据给出的数据可得，中位数根据能够较好的反映他们收入平均水平．故选：A．【点评】此题考查了平均数、众数、中位数和标准差，众数是指一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．5．【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．【解答】解：A、∵OB⊥AC，∴＝，故不符合题意；B、∵＝，∴∠AOB＝∠COB，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC，∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD，∵BD＜BC+CD＝2CD，∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，∴OC⊥BD，故不符合题意；故选：C．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：A、∵平行四边形的对边相等，∴对边之和相等舒，邻边线段，∴平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；B、根据菱形的面积公式可知：一组邻边上的高相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是真命题；C、一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、有一条对角线与一组邻边构成等腰三角形的平行四边形不一定是菱形，故被一条对角线分割成两个等腰三角形的平行四边形是菱形是假命题，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据负整数指数幂法则进行解题即可．【解答】解：2﹣2＝．故答案为：．【点评】本题考查负整数指数幂，掌握运算法则是解题的关键．8．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n 是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：45000＝4.5×104．故答案为：4.5×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】方程两边平方得出x﹣1＝9，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：，方程两边平方，得x﹣1＝9，解得：x＝10，经检验：x＝10是原方程的解．故答案为：x＝10．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11．【分析】设，则原方程转化为y﹣＝2，再方程两边都乘3y即可．【解答】解：，设，则原方程转化为：y﹣＝2，方程两边都乘3y，得3y2﹣1＝6y，即3y2﹣6y﹣1＝0．故答案为：3y2﹣6y﹣1＝0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程，能正确换元是解此题的关键．12．【分析】求出函数图象向右平移3个单位后的函数解析式，再由函数图象过原点即可得出m的值．【解答】解：二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+m，∵二次函数y＝x2+m的图象向右平移3个单位后经过原点，∴（0﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣9．故答案为：﹣9．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“左加右减”的法则是解题的关键．13．【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及这个两位数是素数的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：列表如下：123112132212333132共有6种等可能的结果，其中这个两位数是素数的结果有：13，23，31，共3种，∴这个两位数是素数的概率为＝．故答案为：．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．14．【分析】总人数乘以样本中步行人数所占比例即可．【解答】解：估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有300×（1﹣12%﹣32%﹣26%）＝90（名），故答案为：90．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．15．【分析】首先由向量的知识，得到与的值，即可得到的值．【解答】解：在△ABC中，，，则＝﹣＝﹣．∵BD＝2AD，点E是AC的中点，∴＝＝，＝＝﹣，∴＝+＝+﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查向量的知识．解题的关键是注意数形结合思想的应用．16．【分析】通过证明△BAE∽△CAF，可得．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB，∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．17．【分析】由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝D＝x°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．【解答】解：由△ABC绕着点C旋转，点A、点B的对应点分别是点D、点E，点A在DE的延长线上，且CE∥AB，得∠ACE＝∠BAC＝∠D＝x°，由△ADC中，∠ACB＝90°，得3x+90＝180，得∠CAE＝x＝30°，得∠CAE的余弦值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了旋转的性质，解题关键是正确应用旋转的性质．18．【分析】当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，由△AOM∽△ABH，得到OM：BH＝AO：AB，即可求出OM＝3.2，当⊙O′与AB、AC分别有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，于是得到当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，即可得到答案．【解答】解：如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝10，∴HB＝HC＝BC＝×16＝8，∴AH＝＝6，设O是△ABC的重心，∴AO＝AH＝4，当⊙O与AB、AC相切时（切点是M、N），⊙O与△ABC的三边有4个公共点，连接OM，∴OM⊥AB，∴∠AMO＝∠AHB＝90°，∵∠OAM＝∠BAH，∴△AOM∽△ABH，∴OM：BH＝AO：AB，∴OM＝8＝4：10，∴OM＝3.2，∴重心圆的半径r＝3.2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，如图，过作AK⊥BC于K，∵∵AB＝AC＝10，∴KB＝KC＝BC＝×16＝8，∴AK＝＝6，设O′是△ABC的重心，∴AO′＝AH＝4，∴KO′＝6﹣4＝2，∴BO′＝＝2，当⊙O′与AB、AC有一个公共点，与BC有两个公共点时（⊙O′不过B、C两点），△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴当4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，∴重心圆的半径r＝3.2或4＜r＜2时，△ABC的重心圆与该三角形各边的公共点一共有4个，故答案为：r＝3.2或4＜r＜2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，三角形的重心，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是要分两种情况讨论．三、解答题（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：原式＝2+（﹣+3）﹣2+＝2﹣＝4．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．20．【分析】把②变形为（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，可得x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，故原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解．【解答】解：由②得：（x﹣2y）（x﹣3y）＝0，∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0，∴原方程组相当于和，分别解两个二元一次方程组可得原方程组的解为和．【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用因式分解法“降次“，把二元二次方程组变形为两个二元一次方程组．21．【分析】（1）过O点作OE⊥BC，如图，先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝8，AD∥BC，再利用垂径定理得到BE＝CE＝4，接着利用勾股定理计算出OE＝3，然后利用平行四边形的面积公式求解；（2）先证明四边形OECF为矩形得到CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，所以DF＝1，再利用勾股定理计算出CD，然后根据正弦的定义求解．【解答】解：（1）过O点作OE⊥BC，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝3+5＝8，AD∥BC，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝4，在Rt△OEC中，OE＝＝＝3，∴平行四边形ABCD的面积＝8×3＝24；（2）∵OF∥CE，OE⊥CE，CF⊥OF，∴四边形OECF为矩形，∴CF＝OE＝3，OF＝CE＝4，∴DF＝OD﹣OF＝5﹣4＝1，在Rt△CDF中，CD＝＝＝，∴sin D＝＝＝．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了平行四边形的性质、圆周角定理和解直角三角形．22．【分析】（1）根据甲商店实际付款是原价的0.8倍列出函数解析式；（2）根据题意可知300≤x＜500，然后按活动价列出等式，解方程即可；（3）分当300≤x＜600和600≤x＜900两种情况列出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.8x，∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x；（2）若x＜300，则甲商店按原价打八折，乙商店按原价，此时实际付款金额不可能相等，∴300≤x＜500，∴0.8x＝x﹣80，解得x＝400；（3）当300≤x＜600时，x﹣80＜0.8x，解得x＜400，∴300≤x＜400；当600≤x＜900时，x﹣160＜0.8x，解得x＜800，∴600≤x＜800，综上所述，x的取值范围为300≤x＜400或600≤x＜800．【点评】本题考查一次函数和一元一次不等式的应用，关键是列出函数解析式和不等式．23．【分析】（1）由AD∥BC，BD⊥AD，得∠ADB＝∠DBC＝90°，而∠ABD＝∠EBF＝∠C，可推导出∠ABE＝∠DBF，∠A＝∠BDF，进而证明△ABE∽△DBF，则＝；（2）将＝，变形为＝，因为∠ABD＝∠EBF，所以△ABD∽△EBF，得∠ADB＝∠EFB，再证明△BGF∽△EGD，得＝＝＝1，则BF＝ED，FG＝DG，所以∠GDF＝∠GFD，由∠BGE ＝2∠GEB＝2∠GFD，证明∠GEB＝∠GFD，则BE∥DF，所以四边形BEDF为等腰梯形．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，BD⊥AD，∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠EBF＝∠C，∴∠ABD﹣∠DBE＝∠EBF﹣∠DBE，∴∠ABE＝∠DBF，∵∠A+∠ABD＝90°，∠BDF+∠C＝90°，∴∠A＝∠BDF，∴△ABE∽△DBF，∴＝．（2）证明：联结EF，与BD交于点G，∵＝，∴＝，∵∠ABD＝∠EBF，∴△ABD∽△EBF，∴∠ADB＝∠EFB，∵∠BGF＝∠EGD，∠GFB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGF∽△EGD，∠GBE＝∠GEB，∴＝＝＝1，∴BF＝ED，FG＝DG，∴∠GDF＝∠GFD，∵∠BGE＝∠GBE+∠GEB＝2∠GEB，∠BGE＝∠GDF+∠GFD＝2∠GFD，∴2∠GEB＝2∠GFD，∴∠GEB＝∠GFD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF为等腰梯形．【点评】此题重点考查平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△ABE∽△DBF及△ABD∽△EBF是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，即可求解；②证明△EMD∽△FNA，得到DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），即可求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）由抛物线的表达式得，点A（﹣2，0）、C（0，6），设点F（m，﹣m2+2m+6），由点A（﹣2，0）、F的坐标得，直线AF的表达式为：y＝﹣（m﹣6）（x+2），则点D（0，6﹣m），①当CF＝DF时，则点F在CD的中垂线上，则（6﹣m+6）＝﹣m2+2m+6，解得：m＝0（舍去）或5，则CD＝6﹣（6﹣m）＝m＝5；②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，联立上式和AF的表达式得：﹣x+6＝﹣（m﹣6）（x+2），解得：x＝＝DM，由点F的坐标得，AN＝m+2，∵△ACF的面积是△CDE面积的3倍，则DE：AF＝1：3过点D作DM∥x轴，作EM⊥DM，过点F作FN⊥x轴，则△EMD∽△FNA，则DE：AF＝DM：AN＝1：3，则＝（m+2），解得：m＝﹣4（舍去）或4，即点F（4，6）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、三角形相似、中垂线的性质等，有一定的综合性，难度适中．25．【分析】（1）借助垂径定理，利用cos A表示出AO和BO，通过比较AO和BO的大小确定点与圆的位置关系；（2）①需要紧扣∠CDE＝∠A，结合连心线和公共弦的性质可以发现圆E和圆O是等圆，借助相似三角形的性质或锐角三角函数，用含k的代数式表示出CD、AD，从而求解；②当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，证明出∠C′AD＝∠C′DA，在Rt△C′NC中，cos∠C'CN＝＝，得到，解得，则；当AC′∥OC，延长OE交AC′延长线于点F，由AC′∥OC，得到，解得或5（舍去），则CE＝4k＝．【解答】解：（1）点B在⊙O内；理由如下：过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH过圆心，OH⊥AD，∴，∵OH⊥AC，∴∠AHO＝90°，在Rt△AOH中，，∴，∵AB＝6，∴，∵OB＜AO，∴点B在⊙O内；（2）过点C作CM⊥AB，垂足为M，如图2，∵AC＝BC，CM⊥AB，∴，在Rt△ACM中，，∴AC＝5，∵OA＝OD，∴∠CAB＝∠ODA，又∵∠ODA＝∠CDE，∴∠CAB＝∠CDE，∵，在Rt△CDE中，∠CED＝90°，，设DE＝3k，CD＝5k，则，∴AD＝5﹣k，①两圆的交点记为P、Q，连接PE，PO，如图3，⊙O与⊙E相交，PQ是公共弦，∴OE垂直平分PQ，即OE⊥PQ，∵PQ经过OE的中点，∴PQ垂直平分OE，∴PE＝PO，即CE＝AO，，在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，∴，∵，∴，解得，∴；②由于点A在直线AB上，∴AC′不可能与OB平行，则当AC′∥CB时，过点C′作C′N⊥AD，如图4，∵AC＝CB，∴∠CAB+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵AC′∥CB，∴∠C′AD＝∠ACB＝180°﹣2∠CAB，∵DE⊥CC′，CE＝C′E，∴DC′＝DC，∴∠CDE＝∠C′DE，∵∠C′DA+∠C′DE+∠CDE＝180°，∴∠C′DA＝180°﹣2∠CDE，∵∠CAB＝∠CDE，∴∠CAD＝∠CDA，∵C′N⊥AD，∴，∴，在Rt△C′NC中，，∴，∴，∴；当AC∥OC，延长OE交AC延长线于点F，如图5，∵AC′∥OC，∴，∴OE＝EF，∴，DE＝3k，∴，∴，∴，∵AC′∥OC，∴，∴，解得或5（舍去），∴，综上：或．【点评】本题考查了圆和三角形相结合的问题，锐角三角函数，点与圆的位置关系，相交两圆的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，构造直角三角形，并灵活运用勾股定理是解答本题的关键。

2024年4月上海市中考数学二模题型分类汇编3--- 实际应用含综合与实践(22题)

4 从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是
（填序号）．
（3）估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有 m 人．学校“环保社团”决定：这 m
名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派 x 人帮助本年级参赛得分 60 分以
下的学生普及环保知识．经计算，x 与（m－x）的积恰好等于样本容量的 15 倍. 你认为 x
越适宜．我们可通过计算一组 GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）
例如，分析直线 AB 即 f (x) x 9 上的点：可知 f (1) 10 ， f (2) 11 ， f (3) 12 ， f (4) 13 ，
求得偏离方差
有几种租车方案？
载客量（人/辆）租金（元/辆）
45
1500
33
1200
第 22 题表
（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？
【2024.4 月松江区二模】
22.（本题满分 10 分，第（1）小题 2 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分）一个凸四边形的四条边及两条对角线共 6 条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那
和∠θ，通过计算就可以得到大厦的高度.
测量并通过计算得：CD=60 米，cotα=10.667，cotβ=10.161，cotγ=10.159，cotθ=10.254.
（1）教学楼（AB）的高度为
米；
（2）请你在两种方案中选．取．一．种．方．案．，计算出上海中心大厦（SH）的高度（精确到 1 米）.
（第 22 题图 2）（第 22 题图 1）
（1）估计六年级参赛学生中成绩为良好的学生有

2024年上海市金山区中考数学二模试卷+答案解析

2024年上海市金山区中考数学二模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.单项式的系数和次数分别是()A.和2B.和3C.2和2D.2和32.下列多项式分解因式正确的是()A. B.C. D.3.关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是()A. B. C. D.4.在气象学上，每天在规定时段采集若干气温的平均数是当天的平均气温，连续5天的平均气温在以上，这5天中的第1个平均气温大于以上的日期即为春天的开始，那么下列表述正确的是()A.这5天中每天采集的若干气温中最高气温一定都大于B.这5天中每天采集的若干气温中最低气温一定都大于C.这5天中每天采集的若干气温的中位数一定都大于D.这5天中每天采集的若干气温的众数一定都大于5.在四边形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点下列说法能使四边形ABCD为菱形的是ㅤㅤA. B.C. D.6.下列命题中真命题是()A.相等的圆心角所对的弦相等B.正多边形都是中心对称图形C.如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合D.如果一个四边形绕对角线的交点旋转后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.计算：______.8.已知，______.9.已知关于x的方程，则______.10.不等式的解集是______.11.若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式解析式也称表达式为__________.12.从1到10这十个自然数中抽取一个数，这个数是素数的概率是______.13.在中，和互余，那么______14.正n边形的内角等于外角的5倍，那么______.15.如图，已知平行四边形ABCD中，，，E为AD上一点，，那么用，表示______.16.数据显示，2023年全球电动汽车销量约1400万辆，其中市场份额前三的品牌和其它品牌的市场份额扇形统计图如图所示，那么其它品牌的销量约为______万辆.17.如图，在中，，，D是AB的中点，把沿CD所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么______.18.如图，在中，，，，以点C为圆心作半径为1的圆C，P是AB上的一个点，以P为圆心，PB为半径作圆P，如果圆C和圆P有公共点，那么BP的取值范围是______.三、解答题：本题共7小题，共78分。

2024年上海市闵行区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．π﹣3B．﹣1C．D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a+a＝a2B．a•a＝2a C．（2a）3＝8a3D．（﹣a2）3＝a6 3．（4分）下列函数中，y的值随着x的值增大而增大的是（）A．B．y＝﹣x+2C．y＝x﹣2D．4．（4分）某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166，160，160，150，134，130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（）A．150，150B．155，155C．150，160D．150，155 5．（4分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝5，AC＝12，以点A，点B，点C为圆心的⊙A，⊙B，⊙C的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（）A．点B在⊙A上B．⊙A与⊙B内切C．⊙A与⊙C有两个公共点D．直线BC与⊙A相切6．（4分）在矩形ABCD中，AB＜BC，点E在边AB上，点F在边BC上，联结DE、DF、EF，AB＝a，BE＝CF＝b，DE＝c，∠BEF＝∠DFC，以下两个结论：①（a+b）2+（a ﹣b）2＝c2；②．其中判断正确的是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：＝．8．（4分）单项式2xy2的次数为．9．（4分）不等式组的解集是．10．（4分）计算：＝．11．（4分）分式方程的解是．12．（4分）已知关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．13．（4分）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两．牛二、羊五，直金十六两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，设1头牛值金x两，1只羊值金y两，那么可列方程组为．14．（4分）某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷，学生最期待的一项方式是：A畅谈交流心得；B外出郊游骑行；C开展运动比赛；D互赠书签贺卡．根据问卷数据绘制统计图如图，扇形统计图中表示D的扇形圆心角的度数为．15．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，，那么梯形ABCD的中位线长为．16．（4分）已知二次函数的解析式为y＝x2+bx+1，从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率是．17．（4分）如图，在△ABC中，BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，如果∠BAE＝∠C，那么的值为．18．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，，D为边AB上一动点，将DA 绕点D旋转，使点A落在边AC上的点E处，过点E作EF⊥DE交边BC于点F，联结DF，当△DEF是等腰三角形时，线段CF的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）先化简，再求值：，其中．21．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上，GD∥AC，∠DGF＝∠DEF，∠B＝∠GFE．（1）求证：四边形EDGF是平行四边形；（2）求证：．22．（10分）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆/分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征．时间x8时11时14时17时20时y1自西向东交通量（辆/分钟）1016222834y2自东向西交通量（辆/分钟）2522191613（1）请用一次函数分别表示y1与x、y2与x之间的函数关系．（不写定义域）（2）如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为v＝y1+y2，车流量大的方向交通量为v m，经查总阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由．23．（12分）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．①在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，在⊙O上截得一点B；②以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；再如此从点C逐次截得点D、E、F；③顺次联结AB、BC、CD、DE、EF、FA．（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明，．（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．①作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次联结AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形.（2）已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．（参考数据：，，，，si．）24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，与x轴相交于A（﹣1，0）、B两点，且与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的表达式；（2）如果点D是x轴正半轴上一点，∠ADC＝2∠ACO，且四边形AQCD是菱形，请直接写出点D和点Q的坐标（不需要说明理由）；（3）由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形，对于平面内的一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做“凸多边形”；否则叫做“凹多边形”．如果点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形（线段AE与线段BC不相交），求t的取值范围．25．（14分）如图，OB是⊙O的半径，弦AB垂直于弦BC，点M是弦BC的中点，过点M 作OB的平行线，交⊙O于点E和点F．（1）如图1，当AB＝BC时．①求∠ABO的度数；②联结OE，求证：∠OEF＝30°；（2）如图2，联结OE，当AB≤BC时，tan∠OEF＝x，，求y关于x的函数关系式并直接写出定义域．2024年上海市闵行区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：π﹣3、、是无理数，﹣1是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】A．根据合并同类项法则进行合并，然后判断即可；B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；C．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；D．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．【解答】解：A．∵a+a＝2a，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；B．∵a•a＝a2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；C．∵（2a）3＝8a3，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；D．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则．3．【分析】根据一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【解答】解：A、y＝是反比例函数，∵1＞0，故在每一象限内y随x的增大而减小，不符合题意；B、y＝﹣x+2是一次函数，k＝﹣2＜0，故y随着x增大而减小，不符合题意；C、y＝x﹣2是一次函数，k＝2＞0，故y随着x增大而增大，符合题意；D、y＝﹣是反比例函数，∵﹣1＜0，故在第一象限内y随x的增大而增大，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，一次函数的性质是解题的关键．4．【分析】根据中位数和算术平均数的定义列式求解即可．【解答】解：这组数据的平均数为×（166+160+160+150+134+130）＝150，中位数为＝155，故选：D．【点评】本题主要考查算术平均数和中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5．【分析】根据点圆的位置关系的判定方法，圆与圆的位置关系的判定方法以及切线的判定方法逐项进行判断即可．【解答】解：A．⊙A的圆心到点B的距离AB＝5，而⊙A的半径是5，因此点B在⊙A 上，所以选项A不符合题意；B．⊙A的半径AB＝5，而⊙B的半径为10，两个圆心之间的距离AB＝10﹣5＝5，所以⊙A与⊙B内切，因此选项B不符合题意；C．⊙A的半径AB＝5，而⊙C的半径为8，两个圆心之间的距离AC＝12，有12﹣5＜AC ＜12+5，即7＜AC＜17，所以⊙A与⊙C相交，即⊙A与⊙C有两个公共点，因此选项C 不符合题意；D．⊙A的圆心A到BC的距离为≈4.62＜5，所以直线BC与⊙A相交，因此选项D符合题意．故选：D．【点评】本题考查点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，掌握点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系的判定方法是正确解答的关键．6．【分析】根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC根据全等三角形的性质得到BF＝CD＝a，EF＝DF，求得BC＝AD＝BF+CF＝a+b，推出△EFD是等腰直角三角形，根据勾股定理得到（a+b）2+（a﹣b）2＝c2故①正确；根据三角形的三边关系得到．故②正确；【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝a，AD＝BC，在△BEF与△CFD中，，∴△BEF≌△CFD（ASA），∴BF＝CD＝a，EF＝DF，∴BC＝AD＝BF+CF＝a+b，∵∠BEF+∠BFE＝∠BFE+∠CFD＝90°，∴△EFD是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∵AE2+AD2＝DE2，∴（a+b）2+（a﹣b）2＝c2故①正确；∵EF＝DF＝DE＝c，BE+BF＝a+b，BE+BF＞EF，∴．故②正确；故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键，二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】根据算术平方根的定义，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，解答出即可；【解答】解：根据算术平方根的定义，得，＝＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．8．【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．【解答】解：单项式2xy2的次数为：3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．9．【分析】求出各个不等式的解集，然后再根据判断不等式组解集的口诀“大小小大中间找”求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得x＜3，解不等式②，得x＞2，故不等式组的解集为2＜x＜3．故答案为：2＜x＜3．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．10．【分析】实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，所以根据实数的运算法则解答即可．【解答】解：＝6﹣3+10+15＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量．此题属于平面向量的计算，属于基础题．11．【分析】先根据等式的基本性质，把分式方程化为整式方程，解方程求出x的值，然后进行检验，判断所求未知数是不是原分式方程的解即可．【解答】解：，方程两边同时乘x﹣1得：x2＝1，x＝±1，检验：当x＝1时，x﹣1＝0，∴x＝1不是原分式方程的解，当x＝﹣1时，x﹣1≠0，∴x＝﹣1是原分式方程的解，故答案为：x＝﹣1．【点评】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，注意：求出未知数的值后要检验．12．【分析】根据所给方程没有实数根，得出根的判别式小于零，据此可解决问题．【解答】解：由题知，因为关于x的方程x2+2x+m＝0没有实数根，所以Δ＝22﹣4m＜0，解得m＞1．故答案为：m＞1．【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．13．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金19两．2头牛、5只羊共值金16两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．14．【分析】首先用A组人数除以A组所占的比重，求出被调查的总人数；再根据条形统计图求出被调查的D组人数，接着用D组人数除以总人数可以求出D组所占的比重；最后根据部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°，即可求出扇形统计图中表示D的扇形圆心角的度数．【解答】解：（1）16÷40%＝40（人）40﹣16﹣8﹣6＝10（人）10÷40＝25%25%×360°＝90°故答案为：90°【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，理解扇形统计图、条形统计图的意义和掌握部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°是解题的关键．15．【分析】作DE∥AC，从而得到四边形ACED为平行四边形，将两底的和转化为线段BE 的长，利用梯形的中位线定理求得答案即可．【解答】解：作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥CE，∴四边形ACED为平行四边形，∴AD＝CE，DE＝AC＝2，ED⊥BD，AD+BC＝CE+BC＝BE＝＝＝4，∴梯形的中位线为：（AD+BC）＝×4＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识比较全面，需要用到梯形和三角形中位线定理以及平行四边形的性质．16．【分析】二次函数y＝x2+bx+1的顶点坐标为（，），则能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的b的值为0和2，再利用概率公式计算即可．【解答】解：二次函数y＝x2+bx+1的顶点坐标为（，），从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，能使二次函数图象的顶点在坐标轴上的有：0，2，∴从数字0，1，2中随机选取一个数作为b的值，得到的二次函数图象的顶点在坐标轴上的概率是．故答案为：．【点评】本题考查概率公式、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握概率公式、二次函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．17．【分析】连接DE，根据已知条件得到AD＝CD，BE＝CE，根据相似三角形的性质得到AF＝2EF，求得AF＝AE，AC＝AE，于是得到结论．【解答】解：连接DE，∵BC、AC上的中线AE、BD相交于点F，∴AD＝CD，BE＝CE，∴DE∥AB，DE＝，∴△DEF∽△BAF，∴＝，∴AF＝2EF，∴AF＝AE，∵∠ABC＝∠ABC，∠BAE＝∠C，∴△ABE∽△CBA，∴，∵BC＝2BE，∴AB＝，∴＝＝，∴AC＝AE，∴的值为＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．18．【分析】先根据题意画出示意图，再分别过点D和点F作AC边的垂线，构造出全等三角形，利用全等三角形的性质结合∠A的正切值即可解决问题．【解答】解：分别过点D和点F作AC边的垂线，垂足分别为M和N，∵∠DEF＝90°，DM⊥AC，FN⊥AC，∴∠DEM+∠FEN＝∠DEM+∠MDE＝90°，∠DME＝∠ENF，∴∠MDE＝∠FEN．在△DME和△ENF中，，∴△DME≌△ENF（AAS），∴FN＝ME，EN＝DM．在Rt△CNF中，sin C＝＝，∴设CF＝5x，FN＝3x，则NC＝．∴ME＝NF＝3x．在Rt△ABC中，sin C＝＝，又∵AB＝6，∴AC＝10，∴BC＝．∵DA＝DE，DM⊥AC，∴AM＝ME＝3x．又∵EN＝10﹣3x﹣3x﹣4x＝10﹣10x，∴DM＝EN＝10﹣10x．在Rt△ABC中，tan A＝．在Rt△ADM中，tan A＝，∴，解得x＝，经检验，x＝是原方程的解．∴CF＝5x＝．故答案为：．【点评】本题考查旋转的性质及解直角三角形，根据题意画出示意图并通过作垂线构造出全等三角形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝2﹣1+2+（2﹣）＝2﹣1+2+2﹣＝+3．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．20．【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．【解答】解：原式＝+•＝+＝，当a＝时，原式＝＝＝3+2．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．21．【分析】（1）由点E、F在边AC上，GD∥AC，得GD∥EF，由∠DGF+∠GFE＝180°，且∠DGF＝∠DEF，得∠DEF+∠GFE＝180°，所以DE∥FG，即可根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形EDGF是平行四边形；（2）由DE∥FG，得∠DEC＝∠GFE，而∠B＝∠GFE，所以∠DEC＝∠B，而∠C＝∠C，即可证明△DEC∽△ABC，得＝，所以＝．【解答】（1）证明：∵点E、F在边AC上，GD∥AC，∴GD∥EF，∴∠DGF+∠GFE＝180°，∵∠DGF＝∠DEF，∴∠DEF+∠GFE＝180°，∴DE∥FG，∴四边形EDGF是平行四边形．（2）证明：DE∥FG，∴∠DEC＝∠GFE，∵∠B＝∠GFE，∴∠DEC＝∠B，∵∠C＝∠C，∴△DEC∽△ABC，∴＝，∵DE＝GF，∴＝．【点评】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出DE∥FG及△DEC∽△ABC是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；＝y1+y2，求出v总关于x的函数关系式，分y1≥v总，y2≥v总两种情况（2）根据v总讨论，求出对应x的取值范围即可．【解答】解：（1）设y1＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．将x＝8，y1＝10和x＝11，y1＝16代入y1＝k1x+b1，得，解得，∴y1＝2x﹣6．设y2＝k2x+b2（k2、b2为常数，且k2≠0）．将x＝8，y2＝25和x＝11，y2＝22代入y2＝k2x+b2，得，解得，∴y2＝﹣x+33．＝y1+y2＝2x﹣6﹣x+33＝x+27．（2）v总当y1≥v总时，即2x﹣6≥（x+27），解得x≥18；当y2≥v总时，即﹣x+33≥（x+27），解得x≤9．∴8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东．【点评】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键．23．【分析】（1）根据正多边形的定义可知需要证明AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，就可证明六边形ABCDEF是正六边形；（2）连接BF，OB，OC，OD，OE，求出OM，AM，MN，可得ON，AN，即可知，由AF为⊙O直径，可得，故∠AFB＝36°，证明△OAB≌△OBC（SSS），得到∠OBC＝∠OCB＝54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，即可证明△EOA≌△AOB（SAS），从而AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC ＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝108°，五边形ABCDE是正五边形．【解答】解：（1）根据正多边形的定义，我们只需要证明AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，就可证明六边形ABCDEF是正六边形；故答案为：AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F；（2）连接BF，OB，OC，OD，OE，如图：根据题意，可得AF⊥PQ，OP＝OA＝2，∵点M为半径OP的中点，∴，∴，∵以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N，∴，∴，∴，∵以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截得交点B，∴，∵AF为⊙O直径，∴∠ABF＝90°，AF＝2×2＝4，∴，∴∠AFB＝36°，∴∠AOB＝2∠AFB＝72°，∵OA＝OB，∴，在△OAB和△OBC中，，∴△OAB≌△OBC（SSS），∴∠AOB＝∠BOC＝72°，∴∠OBC＝∠OCB＝54°，同理可得△OCD≌△ODE≌△OAB，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，∴∠EOA＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝72°＝∠AOB，∵OE＝OA，OA＝OB，∴△EOA≌△AOB（SAS），∴EA＝AB，∠OEA＝∠OAE＝54°，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB＝54°×2＝108°，∴五边形ABCDE是正五边形．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，正多边形的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是读懂题意，掌握正多边形的定义．24．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入可解得b，c的值，即可得到抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）求出B（4，0），而A（﹣1，0），C（0，﹣2），可得AC2+BC2＝AB2，∠ACB＝90°，即得∠ACO＝∠CBO，而∠ADC＝2∠ACO，故∠ADC＝2∠OBC，可得∠DCB＝∠CBD，即可推得CD＝AD＝BD，D为AB的中点，从而D的坐标为（，0），由菱形性质，平移性质得Q的坐标为（﹣，﹣2）；（3）由可得抛物线的对称轴为直线，求出直线BC的解析式为，直线BC与对称轴的交点F坐标为（，﹣），直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5），由图可得或＜﹣5．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣2）代入得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2；（2）如图：在中，令y＝0得，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴B（4，0），∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），∴AB＝5，，，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝90°，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，∵∠ADC＝2∠ACO，∴∠ADC＝2∠OBC，∴∠ADC＝∠DCB+∠CBD＝2∠OBC，∴∠DCB＝∠CBD，∴∠DCB＝∠ACO，CD＝BD，∠DCB+∠DCA＝∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠DCA＝∠OAC，∴CD＝AD＝BD，∴D为AB的中点，∴D的坐标为（，0），∵四边形AQCD是菱形，∴AQ∥CD，∵把点C先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点D，∴把点Q先向右平移个单位，再向上平移2个单位得到点A，∴Q的坐标为（﹣，﹣2）；（3）如图：由可得抛物线的对称轴为直线，∴抛物线对称轴与x轴的交点D坐标为（，0），设直线BC的解析式为y＝kx﹣2，把B（4，0）代入得：0＝4k﹣2，解得：，∴直线BC的解析式为，当时，，∴直线BC与对称轴的交点F坐标为（，﹣），同法可得直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2，直线AC与抛物线对称轴的交点M坐标为（，﹣5），∵点E是抛物线对称轴上的一个动点，纵坐标为t，且四边形ACBE是凹四边形，∴当点E在D，F之间或点E在点M下方时，满足题意，∴或＜﹣5．【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形性质及应用，菱形性质及应用，凹四边形等知识，解题的关键是画出图形，运用数形结合思想解决问题．25．【分析】（1）①依据题意，连接AO，CO，先证明∠AOB+∠BOC＝180°，从而可得A，O，C三点共线，再结合AB＝BC，OA＝OC，可得OB平分∠ABC，又∠ABC＝90°，进而可以得解；②依据题意，连接OE，由EF∥OB，OB⊥AC，可得EF⊥AC，又BM＝MC，故，从而可得在Rt△OHE中，，最后可以判断得解；（2）依据题意，过点A作AG⊥OB与点G，过O点作OP⊥EF与点P．设半径为r，则OE＝r，由tan∠OEF＝x，故，再结合BM＝MC，EF∥OB，进而证得△AOG﹣△ONP，故，从而AG＝2OP＝，又AO＝r，进而可得，再由，可得，最后由AB≤BC，可得0＜y≤1，则有：（3），进而可以得解．【解答】（1）①解：连接AO，CO，∵AO＝BO，CO＝BO．∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB．∵2∠OAB+2∠OBC＝180°，且∠AOB＝2∠OBC，∠BOC＝2∠OAB，∴∠AOB+∠BOC＝180°．∴A，O，C三点共线．∵AB＝BC，OA＝OC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝90°，∴∠ABO＝45°．②证明：连接OE，∵EF∥OB，OB⊥AC，∴EF⊥AC．∵BM＝MC，∴．在Rt△OHE中，，∴∠OEF＝30°．（2）解：过点A作AG⊥OB与点G，过O点作OP⊥EF与点P．设半径为r，则OE＝r，∵tan∠OEF＝x，∴．∵BM＝MC，EF∥OB，∴，∠AOB＝∠ONP．又∵∠AGO＝∠OPN＝90°，∴△AOG﹣△ONP．∴．∴AG＝2OP＝．∵AO＝r，∴．∴．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠OBC+∠OBA＝90°，∠GAB+∠OBA＝90°，∴∠GAB＝∠OBC＝∠OCB．∴．∴．∵AB≤BC，∴0＜y≤1，则有．∴．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题时要能熟练掌握并能灵活运用圆的相关性质解题是关键。

2024年上海市黄浦区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）A．提取公因式法B．公式法C．十字相乘法D．分组分解法2．（4分）已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（﹣3，2）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）3．（4分）如图1，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）A．型号1B．型号2C．型号3D．型号44．（4分）对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A．这组数据的平均数B．这组数据的中位数C．这组数据的众数D．这组数据的标准差5．（4分）反比例函数的图象有下述特征：图象与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A．自变量x≠0且x的值可以无限接近0B．自变量x≠0且函数值y可以无限接近0 C．函数值y≠0且x的值可以无限接近0D．函数值y≠0且函数值y可以无限接近0 6．（4分）小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）A．结论1、结论2都正确B．结论1正确、结论2不正确C．结论1不正确、结论2正确D．结论1、结论2都不正确二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）100的平方根是．8．（4分）计算：（﹣a3）2＝．9．（4分）方程x＝的解是．10．（4分）已知关于x的方程x2+mx﹣1＝0，判断该方程的根的情况是．11．（4分）将直线y＝2x向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是．12．（4分）一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A 的概率是．13．（4分）小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有名．类别主食荤菜蔬菜汤满意人数16520814．（4分）现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x厘米，那么可列出方程为．15．（4分）如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上点，满足AD＝2BD，∠ADE＝∠ABC．记，，那么向量＝（用向量、表示）．16．（4分）如图，正六边形MNPQRS位于正方形ABCD内，它们的中心重合于点O，且MN∥BC，已知正方形ABCD的边长为a，正六边形MNPQRS的边长为b，那么点P到边CD的距离为.（用a、b的代数式表示）17．（4分）如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD，内部形成一个小正方形MNPQ．如果正方形MNPQ的面积是正方形ABCD面积的一半，那么∠ABM的正切值是．18．（4分）如图，D是等边△ABC边BC上点，BD：CD＝2：3，作AD的垂线交AB、AC 分别于点E、F，那么AE：AF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|1﹣tan60°|﹣+（2024﹣）0．20．（10分）解不等式组：．21．（10分）如图，D是△ABC边AB上点，已知∠BCD＝∠A，AD＝5，BD＝4．（1）求边BC的长；（2）如果△ACD∽△CBD（点A、C、D对应点C、B、D），求∠ACB的度数．22．（10分）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当320＜x＜375时，写出y关于x的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．23．（12分）如图，M、N分别是平行四边形ABCD边AD、BC的中点，对角线BD交AN、CM分别于点P、Q．（1）求证：；（2）当四边形ANCM是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD的形状特征．24．（12分）问题：已知抛物线L：y＝x2﹣2x．抛物线W的顶点在抛物线L上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L上任取一点（非顶点），你所取的点是；再将该点作为抛物线W的顶点，可设抛物线W的表达式是；然后求出抛物线L的顶点是；再将抛物线L的顶点代入所设抛物线W的表达式，求得其中待定系数的值为；最后写出抛物线W的表达式是．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W，请再写出一个抛物线W的表达式．（3）如果问题中抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，求抛物线W的表达式．25．（14分）已知：如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB＝AC，弧、的中点分别为M、N，MN与AB、OA、AC分别交于点P、T、Q．（1）求证：OA⊥MN；（2）当△ABC是等边三角形时，求的值；（3）如果圆心O到弦BC、MN的距离分别为7和15，求线段PQ的长．2024年上海市黄浦区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】根据整式的乘法与因式分解的关系解答即可．【解答】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法，故选：A．【点评】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，属于基础题．2．【分析】根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【解答】解：∵点P在第二象限内，P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是2，∴点P（﹣3，2）．故选：B．【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．3．【分析】对所给四个型号，按要求依次进行判断即可．【解答】解：由题知，型号1是“田字”型，当放入空白处时，要么右下角的小正方形无法被占据，要么会与左下角的阴影小正方形重叠．故A选项不符合题意．如图所示，型号2中的图案若不旋转，则无法完全占据空白小正方形，旋转后，也无法完全占据空白小正方形，．故B选项不符合题意．如图所示，型号3无法完全占据空白小正方形，故C选项不符合题意．如图所示，型号4通过旋转可以完全占据空白小正方形，且与已有的正方形不重叠，故D选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查旋转的性质，良好的空间想象能力是解题的关键．4．【分析】根据平均数的定义即可得出答案．【解答】解：能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的平均数；故选：A．【点评】此题考查了平均数，掌握平均数能较好地反映一组数据的平均水平是解题的关键．5．【分析】根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可．【解答】解：A、自变量x≠0且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；B、自变量x≠0且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；C、函数值y≠0且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，不符合题意；D、函数值y≠0且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象的特点是关键．6．【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．【解答】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；故选：B．【点评】本题主要考查了图形的相似和垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】平方根的概念：一个数x的平方等于a，这个数x叫a的平方根；所以谁的平方是100，谁就是100的平方根．【解答】解：①∵（±10）2＝100，∴100的平方根是±10．故答案为±10．【点评】此题主要考查了平方根的定义，解决此类问题要先熟悉平方根的概念．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．8．【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．【解答】解：（﹣a3）2＝a6．【点评】本题考查幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意符号．9．【分析】先将无理方程两边同时平方转化为有理方程，解得方程的解，最后要进行检验，即可解答本题．【解答】解：x＝，两边平方，得x2＝x+2，移项，得x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣2）（x+1）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得，x＝2或x＝﹣1，检验，当x＝2时，方程左边等于右边，故x＝2是原无理方程的解，当x＝﹣1时，方程左边不等于右边，故x＝﹣1不是原无理方程的解，故答案为：x＝2．【点评】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，注意解方程最后要进行检验．10．【分析】根据b2﹣4ac的正负即可解决问题．【解答】解：由题知，Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，因为m2≥0，所以Δ＝m2+4≥4＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故答案为：两个不相等是实数根．【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．11．【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．【解答】解：直线y＝2x向上平移2个单位长度得到：y＝2x+2，令y＝0，即2x+2＝0，解得x＝﹣1，令x＝0，得y＝2，所以直线与x轴和y轴的交点坐标分别为：（﹣1，0）与（0，2），所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．12．【分析】根据概率公式直接求解即可．【解答】解：∵共有52张扑克牌（无大、小王），小华先从中抽取1张，∴剩下51张扑克牌，∵小华取得的是黑桃A，∵剩下的扑克牌中有3张A，∴他恰好抽到A的概率是＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】用该校的总人数乘以对午餐中主食满意的学生所占的百分比，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：1400×＝448（名），答：全校对午餐中主食满意的学生约有448名．故答案为：448．【点评】本题考查从统计表中获取信息的能力，及统计中用样本估计总体的思想．14．【分析】设原矩形纸片的长是x厘米，则宽为（18﹣x）厘米，所得的长方体的长为（x ﹣2×2）厘米，宽为（18﹣x﹣2×2）厘米，高为2厘米，根据“所得的长方体的体积是48立方厘米”即可列出方程．【解答】解：设原矩形纸片的长是x厘米，则宽为（18﹣x）厘米，所得的长方体的长为（x﹣2×2）厘米，宽为（18﹣x﹣2×2）厘米，高为2厘米，根据题意，得2（x﹣﹣2×2）（18﹣x﹣2×2）＝48，故答案为：2（x﹣﹣2×2）（18﹣x﹣2×2）＝48．【点评】本题主要考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符合题意得解．15．【分析】过点E作EF∥BC交BC于点F，根据平行线分线段成比例推出，，再根据平行四边形法则即可得出结果．【解答】解：∵∠ADE＝∠ABC．∴DE∥BC，如图，过点E作EF∥BC交BC于点F，则四边形DBFE是平行四边形，∴BF＝DE，∵AD＝2BD，DE∥BC，∴，BD＝，∴BF＝DE＝，又，，∴，，∴，故答案为：．【点评】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，熟记平面向量的平行四边形运算法则是解题的关键．16．【分析】根据正六边形、正方形的性质，由于它们的中心O重合，由对称性可得点P到边CD的距离PE是正方形边长的一半与正六边形边长的差即可．【解答】解：如图，连接SP，则SP过点O，延长SP交CD于点E，∵六边形PQRSMN是正六边形，∴＝60°，∵OP＝OQ，∴△POQ是正三角形，∴OP＝PQ＝b，由于MN∥BC，正六边形PQRSMN，正方形ABCD的中心O重合，由对称性可知，PE⊥CD，OE＝AD＝a，∴PE＝OE﹣OP＝a﹣b，即点P到边CD的距离为a﹣b，故答案为：a﹣b．【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质是正确解答的关键．17．【分析】设AM＝a，BM＝b，并用a，b表示出正方形MNPQ的面积和正方形ABCD面积，再列方程求出的值，即可解决问题．【解答】解：设AM＝a，BM＝b，则正方形ABCD面积＝AB2＝a2+b2，正方形MNPQ的面积＝MN2＝（b﹣a）2，∵正方形MNPQ的面积是正方形ABCD面积的一半，∴（b﹣a）2＝（a2+b2），整理，得a2﹣4ab+b2＝0，∵b≠0，∴（）2﹣4•+1＝0，解得＝2+＞1（舍去），＝2﹣，∵tan∠ABM＝＝＝2﹣．【点评】本题考查赵爽弦图，勾股定理，一元二次方程的解法，三角函数，能灵活运相关知识和一元二次方程的解法求出AM，BM间的关系是解题的关键．18．【分析】过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，设BD＝2m，则CD＝3m，BC＝5m，利用等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，勾股定理表示出线段BM，CN，DM，DN的长度，利用相似三角形的判定与性质求得线段AG，AH的长度，最后利用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】解：过点D作GD⊥AD，交AB于点G，交AC的延长线于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，如图，∵BD：CD＝2：3，∴设BD＝2m，则CD＝3m，∴BC＝5m．∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝5m，∠B＝∠ACB＝60°，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠BDM＝NCD＝30°，∴BM＝BD＝m，CN＝CD＝m，∴DM＝m，DN＝m．∴AM＝AB﹣BM＝4m，AN＝AC﹣CN＝m．∴AD＝＝m．∵AD⊥DG，DM⊥AB，∴△AMD∽△ADG，∴．∴AG＝＝m．同理：△ADN∽△AHD，∴，∴AH＝m．∵EF⊥AD，GH⊥AD，∴EF∥GH，∴△AEF∽△AGH，∴＝．故答案为：．【点评】此题考查等边三角形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、分式的化简等知识与方法，正确的作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】根据二次根式的混合运算法则和零指数幂与特殊的三角函数值等知识点计算即可．【解答】解：原式＝﹣1﹣（）+1＝﹣1﹣+1＝．【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，零指数幂和特殊的三角函数值，熟练掌握上述知识点是解题的关键．20．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．【解答】解：解不等式①，得：x≤2.5，解不等式②，得：x＞﹣10，则不等式组的解集为﹣10＜x≤2.5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．【分析】（1）由∠BCD＝∠A可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质即可解答；（2）由△ACD∽△CBD得出∠ACD＝∠B，进而得出∠ACD+∠BCD＝∠A+∠B＝90°．【解答】解：（1）∵AD＝5，BD＝4．∴AB＝9，∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝AB•BD＝9×4＝36，∴BC＝6；（2）∵△ACD∽△CBD，∴∠ACD＝∠B，∵∠BCD＝∠A，∴∠ACD+∠BCD＝∠A+∠B＝180°÷2＝90°，∴∠ACB＝90°．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．22．【分析】（1）根据题意列式4×75+（375﹣4×80），即可算得答案；（2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券，故y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20；（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．【解答】解：（1）∵4×75+（375﹣4×80）＝300+55＝355（元），∴在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元；（2）当320＜x＜375时，可使用4张代金券，∴y＝4×75+（x﹣4×80）＝x﹣20；∴y关于x的函数关系式为y＝x﹣20（320＜x＜375）；（3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下：当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；∴如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．23．【分析】（1）由平行四边形性质可得：AD＝BC，AD∥BC，得出AM＝CN，推出四边形AMCN是平行四边形，可得AN∥CM，得出＝＝1，＝＝1，即可证得结论；（2）由正方形性质可得：AM＝AN＝CN＝CM，∠MAN＝∠ANC＝∠AMC＝90°，由tan ∠ABN＝＝1，可得∠ABN＝45°，∠BAD＝180°﹣45°＝135°，再利用解直角三角形可得AD＝AB．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵M、N分别是平行四边形ABCD边AD、BC的中点，∴AM＝DM＝AD，BN＝CN＝BC，∴AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∴＝＝1，＝＝1，∴DQ＝BP＝PQ，∴PQ＝BD；（2）解：如图，∵四边形ANCM是正方形，∴AM＝AN＝CN＝CM，∠MAN＝∠ANC＝∠AMC＝90°，∵M、N分别是平行四边形ABCD边AD、BC的中点，∴AM＝DM＝BN＝CN，AD∥BC，∴AN＝BN，∴tan∠ABN＝＝1，∴∠ABN＝45°，∴∠BAD＝180°﹣45°＝135°，∴AB＝＝＝AM，∵AD＝2AM，∴＝＝，即AD＝AB，∴当四边形ANCM是正方形时，平行四边形ABCD的内角分别为∠BAD＝∠BCD＝135°，∠B＝∠D＝45°，AD＝AB．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的性质，平行线分线段成比例，解直角三角形等，熟练运用平行四边形的判定和性质是解题关键．24．【分析】（1）按照题干中的思路求解即可；（2）根据（1）的方法解答即可；（3）设在抛物线L上所取非顶点的一点P的坐标为（m，m2﹣2m），设出抛物线W的解析式，再把抛物线L的顶点（1，﹣1）代入W求出a＝﹣1，然后抛物线W与x轴的交点坐标为（x3，0），（x4，0），由根与系数的关系和抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等求出m的值，从而得出抛物线W的表达式．【解答】解：（1）对于抛物线L：y＝x2﹣2x，当x＝3时，y＝32﹣2×3＝3，∴在抛物线L上所取的点是（3，3），∴设抛物线W的表达式是W＝a（x﹣3）2+3，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线L的顶点是（1，﹣1），将（1，﹣1）代入W＝a（x﹣3）2+3得，a（1﹣3）2+3＝﹣1，解得a＝﹣1，∴抛物线W的表达式是W＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2﹣6x﹣6，故答案为：（3，3），W＝a（x﹣3）2+3，（1，﹣1），﹣1，﹣x2﹣6x﹣6；（2）对于抛物线L：y＝x2﹣2x，当x＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝3，∴在抛物线L上所取的点是（﹣1，3），∴设抛物线W的表达式是W＝a（x+1）2+3，∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴抛物线L的顶点是（1，﹣1），将（1，﹣1）代入W＝a（x﹣3）2+3得，a（1+1）2+3＝﹣1，解得a＝﹣1，∴抛物线W的表达式是W＝﹣（x+1）2+3＝﹣x2﹣2x+2（答案不唯一）；（3）设在抛物线L上所取非顶点的一点P的坐标为（m，m2﹣2m），设抛物线W的表达式是W＝a（x﹣m）2+m2﹣2m，将抛物线L的顶点（1，﹣1）代入W＝a（x﹣m）2+m2﹣2m得，a（1﹣m）2+m2﹣2m＝﹣1，解得a＝﹣1，令抛物线L中的y＝0，即x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，抛物线L上在x轴上所截得的线段长为2，抛物线W与x轴的交点坐标为（x3，0），（x4，0），方程a（x﹣m）2+m2﹣2m＝0的两个根为x3，x4，把方程a（x﹣m）2+m2﹣2m＝0整理并把a＝﹣1代入得：x2﹣2mx+2m＝0，∴x3+x4＝2m，x3•x4＝2m，∴|x3﹣x4|＝＝，∵抛物线L和W在x轴上所截得的线段长相等，∴|x3﹣x4|＝2，∴4m2﹣8m＝4，解得m＝1±，∴点P坐标为（1+，1）或（1﹣，1），∴抛物线W的表达式为W＝﹣（x﹣1﹣）2+1或W＝﹣（x﹣1+）2+1．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及待定系数法求函数解析式，关键是掌握抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．25．【分析】（1）利用等弦对等弧的性质，弧的中点的性质和垂径定理解答即可；（2）连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，利用等边三角形的性质，弧的度数的性质求得∠AOM＝∠AON＝60°，利用直角三角形的边角关系定理解答即可；（3）利用分类讨论的方法分两种情况讨论解答：①当圆心O在△ABC的内部时，连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，延长AO交BC于点H，利用全等三角形的判定与性质得到ME＝AT，MP＝AT；设⊙O的半径为r，则AH＝r+7，AE＝，利用勾股定理求得半径，设PT＝m，则MP＝AP ＝20﹣m，再利用勾股定理解答即可得出结论；②当圆心O在△ABC的外部时，连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，AO交BC于点H，类比①的方法解答即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴．∵弧、的中点分别为M、N，∴，，∴，∵OA为圆O的半径，∴OA⊥MN；（2）解：连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴＝⊙O，∵弧、的中点分别为M、N，∴OE⊥AB，OF⊥AC，，，∴＝⊙O，∴∠MON＝120°．∴∠AOM＝∠AON＝60°，∵cos∠AOE＝，∴OE＝OA．∵，OE⊥AB，OA⊥MN，∴OE＝OT，∴OT＝OA，∴＝1；（3）解：①当圆心O在△ABC的内部时，连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，延长AO交BC于点H，如图，∵AB＝AC，OA⊥MN，∴OA平分∠BAC，∴AH⊥BC．则OT＝15，OH＝7，由（2）知：OE⊥AB，OF⊥AC，在△AOE和△MOT中，，∴△AOE≌△MOT（AAS），∴OE＝OT＝15，AE＝MT，∴ME＝AT．在△MEP和△ATP中，，∴△MEP≌△ATP（AAS），∴MP＝AT．∵OE⊥AB，∴AE＝AB，∵OA⊥MN，∴MT＝NT＝MN，PT＝QT＝PQ．设⊙O的半径为r，则AH＝r+7，AE＝，∴AB＝2AE＝2．连接OB，∵BH2＝AB2﹣AH2，BH2＝OB2﹣OH2，∴，∴r＝﹣18（不合题意，舍去）或r＝25．∴AT＝OA﹣OT＝10，MT＝＝20，设PT＝m，则MP＝AP＝20﹣m，∵AT2+PT2＝AP2，∴102+m2＝（20﹣m）2，∴m＝．∴PQ＝2PT＝15；②当圆心O在△ABC的外部时，连接OM交AB于点E，连接ON交AC于点F，AO交BC于点H，如图，∵AB＝AC，OA⊥MN，∴OA平分∠BAC，∴AH⊥BC．则OT＝15，OH＝7，由（2）知：OE⊥AB，OF⊥AC，在△AOE和△MOT中，，∴△AOE≌△MOT（AAS），∴OE＝OT＝15，AE＝MT，∴ME＝AT．在△MEP和△ATP中，，∴△MEP≌△ATP（AAS），∴MP＝AT．∵OE⊥AB，∴AE＝AB，∵OA⊥MN，∴MT＝NT＝MN，PT＝QT＝PQ．设⊙O的半径为r，则AH＝r﹣7，AE＝，∴AB＝2AE＝2．连接OB，∵BH2＝AB2﹣AH2，BH2＝OB2﹣OH2，∴，∴r＝﹣25（不合题意，舍去）或r＝18．∴AT＝OA﹣OT＝3，MT＝＝3，设PT＝n，则MP＝AP＝3﹣n，∵AT2+PT2＝AP2，∴，∴n＝．∴PQ＝2PT ＝．综上，线段PQ的长为15或．【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键。

2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)

虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知：对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为或解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式（2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1）（2）（3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市宝山区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≥1B．x≥0C．x＞1D．x＞02．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等实数根，则实数m的值为（）A．B．﹣4C．D．43．（4分）下列函数中，y的值随x值的增大而减小的是（）A．y＝2x2+1B．y＝﹣2x2+1C．y＝x+1D．y＝﹣x+14．（4分）连续两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都是正面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（AQI）：28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差6．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）a6÷a2＝．8．（4分）因式分解：m2﹣3m＝．9．（4分）不等式的解集是．10．（4分）方程的解是．11．（4分）我国天文学家算出了仙女星系“体重”．仙女星系是距离银河系最近的大型漩涡星系，是研究星系形成和演化的绝佳案例．计算得到仙女星系质量约为11400亿倍太阳质量．把数据11400亿用科学记数法表示应是．12．（4分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，结果有28只灯泡的使用寿命超过了2500小时，那么估计这1000只灯泡中使用寿命超过2500小时的灯泡的数量为只．13．（4分）《孙子算经》记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木多出1尺．那么长木的长度为尺．14．（4分）如图，街心花园有A、B、C三座小亭子，A、C两亭被池塘隔开，A、B、C三亭所在的点不共线．设AB、BC的中点分别为M、N．如果MN＝3米，那么AC＝米．15．（4分）如图，正六边形ABCDEF，连接OE、OD，如果，那么＝．16．（4分）为传承海派文化，社区准备举办沪剧爱好者观摩演出活动．把某场馆的一个正方形区域改造成一个由矩形和半圆形组成的活动场地（如图），矩形ABCD是观众观演区，阴影部分是舞台，CD是半圆O的直径，弦EF与CD平行．已知EF长8米，舞台区域最大深度为2米，如果每平方米最多可以坐3名观众，那么观演区可容纳名观众．17．（4分）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上，那么图中阴影三角形①和②的面积之比的比值为．18．（4分）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE 沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C（2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）过点C作x轴的平行线l，如果点D在直线l上，且CD＝3，求△ABD的面积．22．（10分）小明家院内靠墙安装了一个遮阳篷（如图1），图2是它的侧面示意图，遮阳篷长AC＝6米，与水平面的夹角为17.5°，靠墙端A离地高度AB＝5米，已知该地区冬至正午太阳光照入射角∠CDF ＝36.9°，夏至正午太阳光照入射角∠CEF＝82.4°，因此，点D、E之间的区域是一年四季中阳光不一定照射到的区域，求该区域深度DE的长．（结果精确到0.1米）参考数据：sin17.5°≈0.3，cos17.5°≈0.95，tan17.5°≈0.32；sin36.9°≈0.6，cos36.9°≈0.8，tan36.9°≈0.75；sin82.4°≈0.99，cos82.4°≈0.13，tan82.4°≈7.5．23．（12分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，联结AC、DO，延长DO交AC于点F．（1）求证：AF2＝OF•DF；（2）如果CD＝8，BE＝2，求OF的长．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2x+4经过点P（0，4），顶点为A．（1）求直线PA的表达式；（2）如果将△POA绕点O逆时针旋转90°，点A落在抛物线上的点Q处，求抛物线的表达式；（3）将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移，平移后抛物线的顶点为B，与y轴交于点C．如果，求tan∠PBC的值．25．（14分）已知AB是半圆O的直径，C是半圆O上不与A、B重合的点，将弧AC沿直线AC翻折，翻折所得的弧交直径AB于点D，E是点D关于直线AC的对称点．（1）如图，点D恰好落在点O处．①用尺规作图在图中作出点E（保留作图痕迹），联结AE、CE、CD，求证：四边形ADCE是菱形；②联结BE，与AC、CD分别交于点F、G，求的值；（2）如果AB＝10，OD＝1，求折痕AC的长．2024年上海市宝山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：A．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到Δ＝0，建立关于m的方程，解答即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴12﹣4×1×（﹣m）＝0，解得，故选：A．【点评】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时Δ＞0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．3．【分析】依据题意，由二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质分别进行判断可以得解．【解答】解：由题意，对于A选项，y＝2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大，故A错误．对于B选项，y＝﹣2x2+1是二次函数，对称轴是y轴，开口向上，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小，故B错误．对于C选项，y＝x+1是一次函数，k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，故C错误．对于D选项，y＝﹣x+1是一次函数，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，故D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及一次函数的性质，解题时要熟练掌握并理解其增减性是关键4．【分析】画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两次都是“正面朝上”的结果有1种，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有1种，∴两次都是“正面朝上”的概率＝，故选：B．【点评】此题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．5．【分析】这组数据的平均数受极端数值117影响，众数偏离大多数据，方差是反应数据的集中趋势的统计量，据此可得答案．【解答】解：这组数据的平均数为＝，中位数为33，众数为26，方差是反应数据的集中趋势的统计量，所以能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数，故选：B．【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的意义．6．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，，∴＝，设AC＝x，BC＝2x，∴AB＝＝x＝5，∴x＝，∴AC＝，BC＝2，过点C作CD⊥AB于点D，∴CD＝＝2，∵⊙C与线段AB有两个交点，∴2＜R≤，故选：A．【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握切线的性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．【解答】解：a6÷a2＝a4．故答案为：a4．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．8．【分析】直接找出公因式m，进而分解因式得出答案．【解答】解：m2﹣3m＝m（m﹣3）．故答案为：m（m﹣3）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．【分析】根据不等式的性质：先分母，再移项，合并同类项即可．【解答】解：去分母，得x﹣1≤0．移项，得x≤1．【点评】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质，能求一元一次不等式的解集．10．【分析】首先将两边同时平方得2﹣x＝x2，再解这个整式方程求出x，然后再进行检验即可得出原方程的解．【解答】解：对于方程，两边同时平方得：2﹣x＝x2，移项得：x2+x﹣2＝0，∴（x﹣1）（x+2）＝0，∴x﹣1＝0或x+2＝0，由x﹣1＝0，解得：x＝1，由x+2＝0，解得：x＝﹣2，经检验得：x＝1为增根，x＝﹣2是原方程的根．∴方程的解是x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．【点评】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握解无理方程的一般方法是解决问题的关键．11．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：11400亿＝1140000000000＝1.14×1012，故答案为：1.14×1012．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．12．【分析】先求出调查中使用寿命超过了2500小时的灯泡占比，再用占比乘总数，即可求解．【解答】解：（28÷50）×1000＝560（只）故答案为：560．【点评】本题考查了用样本估计总体，理清题目的数量关系并仔细计算是解题关键．13．【分析】设木长x尺，则绳子长为（x+4.5）尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可．【解答】解：设木长为x尺，根据题意得：（x+4.5）＝x﹣1，解得x＝6.5，答：木长6.5尺．故答案为：6.5．【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，读懂题意，找到等量关系列方程是解题的关键．14．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：∵点M、N分别为AB、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴AC＝2MN＝2×3＝6（米），故答案为：6．【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．15．【分析】连接BD，先由正六边形的性质可得AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝120°，进而求出∠ABD＝∠BDE＝90°，则可证明AB∥DE，得到AB＝ED，则＝＝﹣＝﹣．【解答】解：如图所示，连接BD，由题意得，AB＝DE＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠CDE＝＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∴∠ABD＝∠BDE＝90°，∴∠ABD+∠BDE＝180°，∴AB∥DE，∴＝，∵，∴＝＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了平面向量，平行线的性质与判定，正多边形内角和定理，等边对等角等等．16．【分析】设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．利用垂径定理，勾股定理求出半径，再求出矩形ABCD的面积，可得结论．【解答】解：设半圆的圆心为O，过点O作OH⊥EF于点H，交⊙O于点J，连接OE．设OE＝OJ＝r米，∵OH⊥EF，∴EH＝FH＝EF＝4（米），在Rt△OEH中，OE2＝EH2+OH2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝CD＝10，AD＝BC＝5，∴矩形ABCD的面积＝5×10＝50（平方米），∵每平方米最多可以坐3名观众，∴观演区可容纳150名观众．故答案为：150．【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．【分析】设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，由△HLM∽△ALB，得＝＝，则HL＝m，AL＝m，由IG∥AB，得＝＝，则IH＝m，求得LI＝m，再证明△AKD∽△HKC，得＝＝1，则AK＝m，求得LK＝m，即可由△QLI ∽△PLK，求得＝＝，于是得到问题的答案．【解答】解：设AH分别交CD、FG、BM于点K、I、L，BM分别交CD、FG于点P、Q，设AH＝m，∵正方形ABCD、正方形CEFG和正方形GHMN的一边在同一条直线上，∴∠ABC＝∠DCG＝∠FGH＝∠MHG＝90°，AB＝BC＝AD＝5，CG＝EF＝3，GH＝HM＝MN＝2，∴AB∥CD∥FG∥MH，BH＝5+3+2＝10，HC＝3+2＝5，∵HM∥AB，∴△HLM∽△ALB，∴＝＝，∴HL＝AH＝AH＝m，AL＝AH＝AH＝m，∵IG∥AB，∴＝＝＝，∴IH＝AH＝m，∴LI＝m﹣m＝m，∵AD∥HC，∴△AKD∽△HKC，∴＝＝＝1，∴AK＝HK＝AH＝m，∴LK＝m﹣m＝m，∵IQ∥KP，∴△QLI∽△PLK，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】此题重点考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，设AH＝m，求得HL＝m，AL＝m，IH＝m，AK＝m是解题的关键．18．【分析】分两种情况讨论：点D落在BC延长线上时，由折叠得AF＝AD＝AB，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，得BH＝HF＝4，CF＝3，由菱形的性质得∠DCF＝∠B，可得，设CG＝4y，则CE＝5y，由勾股定理得EG＝3y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，而FG＝FC﹣CG＝3﹣4y，在Rt△EFG中由勾股定理得（3﹣4y）2+（3y）2＝（5﹣5y）2解方程求出y的值即可解决问题；点D 落在DC延长线上时，推导出DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，利用cos D＝cos B＝，即，求得DE＝4，再利用CE＝CD﹣DE即可得解．【解答】解：点D落在BC延长线上时，如图1，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EG⊥CF于点G，点D与点F重合，如图1，由折叠得，AF＝AD＝AB＝5，∴BH＝AH，∵，∴BH＝4，∴BF＝2BH＝8，∴FC＝AF﹣AC＝8﹣5＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴CD∥AB，∴∠DCF＝∠B，，设CG＝4y，则CE＝5y，FG＝CF﹣CG＝3﹣4y，由折叠得EF＝DE＝5﹣5y，在Rt△CEG中，由勾股定理得，在Rt△FEG中，由勾股定理得EG2+FG2＝EF2，∴（3y）2+（3﹣4y）2＝（5﹣5y）2，解得，∴；当点D落在DC的延长线上时，如图2，由折叠的性质得：DE＝EF，AD＝AF，AE⊥DF，由菱形的性质得：∠B＝∠D，∴cos D＝cos B＝，即，∴DE＝4，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣4＝1，综上，CE的长为或1．故答案为：或1．【点评】本题主要考查翻折变换（折叠问题），菱形的性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．【分析】先根据有理数的乘方，负整数指数幂，绝对值进行计算，再根据幂的乘方，分母有理化进行计算，再根据实数的加减法法则进行计算即可．【解答】解：8﹣（﹣1）﹣1﹣|﹣3|＝（23）﹣﹣（3﹣）＝22﹣﹣3+2＝4﹣（+1）﹣3+2＝4﹣﹣1﹣3+2＝．【点评】本题考查了分数指数幂，负整数指数幂，分母有理化，实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．20．【分析】通过方程两边都乘以最简公分母2x（x+1），将原方程化为整式方程再求解、检验．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1），得3×2x＝x+1+2x2+2x，整理，得2x2﹣3x+1＝0，解得x＝1或x＝，检验：当x＝1时，最简公分母2x（x+1）＝2×1×（1+1）≠0；当x＝时，最简公分母2x（x+1）＝2××（+1）≠0，∴原方程的解是x＝1或x＝．【点评】此题考查了分式方程的求解能力，关键是能准确理解并运用其求解方法进行变式、计算和检验．21．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）分两种情况求面积，①当D点坐标为（﹣1，5）时，②当D点坐标为（5，5）时，分别计算出△ABD的面积即可．【解答】解：（1）∵点C（2，m）在直线y＝x+3图象上，∴m＝2+3＝5，∴C（2，5），∵C（2，5）在反比例函数图象上，∴k＝10，∴反比例函数解析式为：y＝．（2）∵C（2，5），点D在直线l上，CD＝3，l∥x轴，∴D（5，5）或（﹣1，5），∵y＝x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（﹣3，0），B（0，3），①当D点坐标为（﹣1，5）时，S△ABD＝S梯形OEDA﹣S△DEB﹣S△AOB＝﹣﹣＝，②当D点坐标为（5，5）时，S△ABD＝S△ACD﹣S△BCD＝＝．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．22．【分析】过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，根据正切的定义求出AH，进而求出BH，根据正切的定义分别求出DG、EG，计算即可．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥BF于点G，则四边形HBGC为矩形，∴BF＝CG，在Rt△AHC中，AC＝6米，∠ACH＝17.5°，∵sin∠ACH＝，∴AH＝AC•sin∠ACH≈6×0.3＝1.8（米），∴BH＝AB﹣AH＝5﹣1.8＝3.2（米），在Rt△CDG中，CG＝3.2米，∠CDG＝36.9°，∵tan∠CDG＝，∴DG＝≈≈4.27（米），在Rt△CEG中，CG＝3.2米，∠CEG＝82.4°，∵tan∠CEG＝，∴EG＝≈≈0.43（米），则DE＝DG﹣EG＝4.27﹣0.43≈3.8（米），答：DE的长约为3.8米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．【分析】（1）连接AD，由垂径定理得＝，则∠OAF＝∠OAD，由OA＝OD，得∠ADF＝∠OAD，所以∠OAF＝∠ADF，而∠OFA＝∠AFD，即可证明△OFA∽△AFD，得＝，则AF2＝OF•DF；（2）由OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，得DE＝CE＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，由OE2+DE2＝OD2，得（OD﹣2）2+42＝OD2，求得OD＝5，OE＝3，所以AE＝8，则AD＝＝4，根据相似三角形的性质得＝＝，则AF＝OF，由AF2＝OF•DF，得（OF）2＝OF（OF+5），求得OF＝．【解答】（1）证明：连接AD，∵直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，∴＝，∴∠OAF＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠ADF＝∠OAD，∴∠OAF＝∠ADF，∵∠OFA＝∠AFD，∴△OFA∽△AFD，∴＝，∴AF2＝OF•DF．（2）解：∵OA＝OB＝OD，CD＝8，BE＝2，∴DE＝CE＝CD＝4，OE＝OB﹣2＝OD﹣2，∵∠AED＝90°，∴OE2+DE2＝OD2，∴（OD﹣2）2+42＝OD2，解得OD＝5，∴OA＝OB＝5，OE＝5﹣2＝3，∴AE＝OA+OE＝5+3＝8，∴AD＝＝＝4，∵△OFA∽△AFD，∴＝＝，∴AF＝OF，∵AF2＝OF•DF，∴（OF）2＝OF（OF+5），解得OF＝或OF＝0（不符合题意，舍去），∴OF的长是．【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（3）求出点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），由，求出m＝2，进而求解．【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，点A（，4﹣），设直线PA的表达式为：y＝kx+4，将点A的坐标代入上式得：4﹣＝k×+4，解得：k＝﹣1，即直线PA的表达式为：y＝﹣x+4；（2）由旋转的性质得，点Q（﹣4，），将点Q的坐标代入抛物线表达式得：＝a（﹣4）2﹣2（﹣4）+4，解得：a＝（舍去）或﹣，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4；（3）由直线PA的表达式知，其和x轴负半轴的夹角为45°，点A（﹣2，6），设将（2）中得到的抛物线沿射线PA平移m个单位，则相当于向左、向上个平移了m个单位，则平移后的抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m，当x＝0时，y＝﹣（x﹣m）2﹣2（x﹣m）+4+m＝﹣m2﹣m+4，即点C的坐标为：（0，﹣m2﹣m+4），则PC＝m2+m+4，而AB＝m＝2m＝PC＝m2+m+4，解得：m＝2，则点C（0，0），即点C、O重合，由点A的坐标（﹣2，6）得到点B（﹣4，8），在△PBC中，CP＝4，BC＝，PB＝4，过点P作PH⊥BC于点H，则S△PBC＝PC×|x B|＝BC×PH，即4×4＝×PH，则PH＝，则sin∠PBC＝＝＝，则tan∠PBC＝．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．25．【分析】（1）①设AC与DE的交点为M，通过推导出AC、EO互相垂直平分，证明四边形ADCE是菱形；②先求出菱形ADCE的内角为60°，再推导出CF＝2FG，即可推导出EB＝6FG，可得＝；（2）当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H点，过点E作EN⊥AB交于N点，设GD＝4m，则MO＝5m，EG＝4m，ED＝8m，先求出cos∠EAD＝，即可分别求出AN＝4×＝，ND＝4﹣＝，EN＝，ED＝8m＝，得到m＝，则MO＝，AM＝，再求AC＝；当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4．【解答】（1）证明：①如图1，设AC与DE的交点为M，由折叠可EM＝MO，∵E、D点关于AC对称，∴EO⊥AC，∵EO是圆O的半径，∴AM＝CM，∴AC、EO互相垂直平分，∴四边形ADCE是菱形；②解：∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAC＝∠CAO＝∠ECA＝∠ACO，∵AM⊥MO，MO＝AO，∴∠MAO＝30°，∴∠AOM＝∠MOC＝60°，∵DO＝BO，∴∠OEB＝∠OBE＝30°，∴∠EGO＝90°，∵∠FCG＝30°，∴CF＝2FG，∵∠CEF＝∠ECF＝30°，∴EF＝FC＝2FG，∵EG＝GB，∴EB＝6FG，∴＝；（2）解：如图2，当D点在O点左侧时，过O点作OM⊥AC交于M点，过点O作OH⊥AE交于H 点，过点E作EN⊥AB交于N点，由对称可知，AE＝AD，∵AO＝5，OD＝1，∴AE＝AD＝4，∵ED∥MO，∴＝，设GD＝4m，则MO＝5m，∵E、D点关于AC对称，∴EG＝4m，∴ED＝8m，∵AH＝HE＝2，∴cos∠EAD＝，∴AN＝4×＝，∴ND＝4﹣＝，EN＝，∴ED＝8m＝，∴m＝，∴MO＝，∴AM＝，∴AC＝；如图3，当D点在O点右侧时，同理可求AC＝4；综上所述：AC的长为4或．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握折叠的性质，垂径定理，直角三角形的性质是解题的关键。

2024上海普陀区初三二模数学试卷及答案

奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优奥孚培优奥孚培优优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥孚培奥孚培优奥孚培优奥孚培优奥奥孚培优九年级第二学期数学自适应练习（2024.4）参考答案及评分说明一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(D)； 2．(C)； 3．(B)； 4．(A)； 5．(C)； 6．(D)．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式=416(2−++−+=10．20．解：62(3)(3)3x xx x x +=+−+.去分母，得6(3)2(3)(3)x x x x x +−=+−. 化简，得23180x x −−=．解得 13x =−，26x =．经检验：26x =是原方程的根，13x =−是增根，舍去．所以，原方程的解为6x =．21．解：（1）∵ AB AD =，∴ B ADB ∠=∠．∵ADB DAC C ∠=∠+∠，∴B DAC C ∠=∠+∠． ∵2B C ∠=∠，∴DAC C ∠=∠． ∴13CD AD ==． ∵23BC =，∴10BD =．7．69a ； 8． 3x =； 9． 122x −<<； 10．1k <； 11．150； 12．34； 13． 32−； 14．23(,)； 15．27；16．4233a b →→+；17．85、83（或325、323）； 18．4．（2）过点A 作AH BC ⊥，垂足为H ．∵AB AD =，AH BC ⊥，∴5BH DH ==．∴18CH =．在Rt △ABH 中，由勾股定理可得12AH =．在Rt △AHC 中，122tan 183AH C HC ===． 22．解：设乙外卖平台外卖员小王的月送单天数是x 天．由信息一和信息二可列方程 (50616)3208832x +⨯−=．解得 22x =．所以，乙外卖平台外卖员小王的月送单天数是22天．即这两个外卖平台每个月的月送单天数都是22天．由信息四可得甲外卖平台外卖员小张的日均送单数：542582606623652=6022632x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++小张日均送单数．小张的月均违规送单数：92101112313214215122113221x ⨯+++⨯+⨯+⨯+==++++++小张月均违规送单数．由信息三可知小张在甲外卖平台月均工资收入是22(7060 5.5)12108680⨯+⨯−⨯=元．由信息一可知小张若在乙外卖平台月均工资收入是22(50606)12328636⨯+⨯−⨯=元．由86368680<，可决策小张不需要跳槽．23．证明：（1）∵ AB //CD ，∴ FE AEEC ED=． ∵FA AE AB ED =，∴FE FAEC AB=．∴AD //BC ．又∵AB //CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．（2）∵2FC FD FG =⋅，∴FD FCFC FG=． ∵DFC CFG ∠=∠，∴△DFC ∽ △CFG ． ∴FCD G ∠=∠．∵ AB //CD ，∴BFC FCD ∠=∠，B DCG ∠=∠．∴BFC G ∠=∠． ∴△BFC ∽ △CGD ． ∴BC BFCD CG=．∴BC CG BF CD ⋅=⋅． ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC =． ∴AD CG BF CD ⋅=⋅．24．解：（1）由抛物线的顶点P ()4,3，可得抛物线的表达式为()243y a x =−+．过点P 作PH ⊥AB ，垂足为H ．由抛物线的对称性可得PA PB =． ∵90APB ∠=︒，∴3AH BH PH ===．可得点A 的坐标为()1,0．把()1,0A 代入()243y a x =−+，得13a =−．所以，抛物线的表达式是()21433y x =−−+．（2）由抛物线的顶点P (),m n ，同理可得点(),0A m n −．把(),0A m n −代入()2y a x m n =−+，得()20a m n m n =−−+，化简得()10n an +=．∵点P 在第一象限，∴0n ≠．∴10an +=．（3）由点P 在直线12y x =上，可设点()2,P n n ，得(),0A n ，()3,0B n ．可得直线AP 的表达式为y x n =−，BP AP ==，2AB n =． ∵直线MN 的表达式为2ny x =+，∴AP ∥MN ．记直线MN 与x 轴的交点为G ，可得点G 的坐标为,02n ⎛⎫− ⎪⎝⎭． ∴32AG n =．延长BP 交MN 于点Q ，联结PM ．得90PQM ∠=︒，MP BP ==，2MN MQ =．由AP ∥MN ，可得BP ABPQ AG=，得232nPQ n=，解得PQ =．在Rt △PMQ中，由勾股定理得4MQ n =．可得2MN n =． ∵10an +=，∴1a n=−．∴2MN a=−．25．解：（1）∵CD CF =，∴CDF CFD ∠=∠．由已知BCD ∠是旋转角，得BCD DCF ∠=∠． ∵AD ∥BC ，点F 在AD 的延长线上，∴DF ∥BC ．得 BCD CDF ∠=∠．∴DFC CDF DCF ∠=∠=∠．∴△CDF 为等边三角形．60BCD ∠=︒．（2）①分别联结AC 、EC 、BD ，过点D 作DP BC ⊥，垂足为点P ．易证四边形ABPD 为矩形．得BP AD x ==，6PC x =−．在Rt △DPC 中，由勾股定理得DP AB =．在Rt △ADB 中，由勾股定理得BD =．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ．由梯形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转得梯形EDCF ，可得ACE BCD ∠=∠，AC EC =. ∴BC CDAC CE=.∴△BCD ∽△ACE .∴BC BDAC AE =.y =. ∴y ． ②以线段BD 、AE 为边的正多边形是双同正多边形．由BCF ∠是一个正多边形的中心角，且2BCF BCD ∠=∠，可得BCD ∠也是一个正多边形的中心角.∵CB CD =，∴点C 在线段BD 的中垂线上.同理可得点C 在线段AE 的中垂线上.由两条不同的中垂线相交于点C ，可知点C 同时为以线段BD 、AE 为边的正多边形的中心. 由ACE BCD ∠=∠，可得边数也相同.所以，以线段BD 、AE 为边的正多边形有相同的中心C ，且边数也相同，即它们是双同正多边形．由两个正多边形的面积比是4:5，可得△BCD 与△ACE 的面积比是4:5．相似比是2．即BC AC ==，解得6x =±．∵AD ＜BC ，∴6x =−．可得30BCD ∠=︒．所以双同正多边形的边数为12．。

2024年上海青浦区初三二模数学试卷和答案

上海青浦区2023-2024学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A.B. C.D.2.下列计算正确的是（）A.a 2+a 2＝a 4B.（2a ）3＝6a 3C.3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5D.4a 6÷2a 2＝2a 3．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5x y =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C .平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CDCE BF=二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．8.方程5=的解是_______．9.函数1xy x =+的定义域是________．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m 名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D 四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A 等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A 90100x ≤≤n B 8090x ≤<117C7080x ≤<32D070x ≤<8成绩扇形统计图14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 的仰角为α，看这栋楼底部C 的俯角为β，热气球A 处与楼的水平距离为m 米，那么这栋楼BC 的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．18.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)20853π⎛⎫--++ ⎪-⎝⎭20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．2023学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷含答案（时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】各项化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，B3=C=3D=不是同类二次根式.故选C．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．2.下列计算正确的是（）A.a2+a2＝a4B.（2a）3＝6a3C.3a2•（﹣a3）＝﹣3a5D.4a6÷2a2＝2a3．【答案】C【解析】【分析】根据合并同类项法则、单项式的乘方、乘法和除法逐一计算可得．【详解】A ．a 2+a 2＝2a 2，此选项错误；B ．（2a ）3＝8a 3，此选项错误；C ．3a 2•（﹣a 3）＝﹣3a 5，此选项正确；D ．4a 6÷2a 2＝2a 4，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则，积的乘方法则，及单项式的乘法和除法法则．3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（）A.5xy =B.5x y =-C.5y x=D.5y x=-【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键．【详解】A ：5x y =为一次函数，x 取所有实数，∵105>，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确；B ：5x y =-为一次函数，x 取所有实数，∵105-<，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；C ：5y x=为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误；D ：5y x=-为反比例函数，0x ≠，在0x <内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在0x >内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误；故选：A ．4.某兴趣小组有5名成员，身高（厘米）分别为：161,165,169,163,167．增加一名身高为165厘米的成员后，现兴趣小组成员的身高与原来相比，下列说法正确的是（）A.平均数不变，方差不变B.平均数不变，方差变小C.平均数不变，方差变大D.平均数变小，方差不变．【答案】B 【解析】【分析】本题考查算术平均数和方差的知识，熟记算术平均数和方差的计算公式是解题的关键．【详解】()1611651691631675165x =++++÷=原，()()()()()222222116116516516516916516316516716585S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦原，()1611651691631671656165x =+++++÷=新，()()()()()()222222212016116516516516916516316516716516516563S ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-=⎣⎦新，∴平均数不变，方差变小，故选：B ．5.已知四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AC 与BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断这个四边形为等腰梯形的是（）A.AC BD= B.ABC BCD∠=∠ C.,OB OC OA OD== D.,OB OC AB CD==【答案】C 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰梯形的判定，解此题的关键是求出AD BC ．【详解】A 、AC BD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；B 、ABC BCD ∠=∠，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；C 、∵OB OC OA OD ==，，∴OBC OCB ∠=∠，OAD ODA ∠=∠，∴()SAS AOB DOC ≌，∴ABO DCO ∠=∠，AB CD =，OAB ODC ∠=∠，∵360ABC DCB CDA BAD ∠+∠+∠+∠=︒，∴180DAB ABC ∠+∠=︒，∴AD BC ，∴四边形ABCD 是梯形，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是等腰梯形．D 、OB OC =，AB CD =，不能证明四边形ABCD 是等腰梯形，错误；故选C ．6.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，过O 作AC 的垂线交AD 于点,E EC 与BD 相交于点F ，且ECD DBC ∠=∠，那么下列结论错误的是（）A.EA EC =B.DOC DCO ∠=∠C.4BD DF= D.BC CD CE BF=【答案】D 【解析】【分析】由题意可知，OE 垂直平分AC ，则EA EC =，可判断A 的正误；由DAO ECA ∠=∠，ADO DBC ECD ∠=∠=∠，DOC DAO ADO ∠=∠+∠，DCO ECA ECD ∠=∠+∠，可得DOC DCO ∠=∠，可判断B 的正误；证明FDC CDB ∽，则DF CD CD BD =，即1212BDDF BD BD =，可得4BD DF =，进而可判断C 的正误；证明CBF ECD ∽，可得FC BD C BF CDCE B =≠，进而可判断D 的正误．【详解】解：∵平行四边形ABCD ，∴OA OC =，12OB OD BD ==，AD BC ∥，又∵OE AC ⊥，∴OE 垂直平分AC ，∴EA EC =，A 正确，故不符合要求；∴DAO ECA ∠=∠，∵AD BC ∥，∴ADO DBC ECD ∠=∠=∠，∴DOC DAO ADO ∠=∠+∠，又∵DCO ECA ECD ∠=∠+∠，∴DOC DCO ∠=∠，B 正确，故不符合要求；∴12CD OD BD ==，∵FCD CBD ∠=∠，FDC CDB ∠=∠，∴FDC CDB ∽，∴DF CD CD BD =，即1212BD DF BD BD =，解得，4BD DF =，C 正确，故不符合要求；∵AD BC ∥，∴BCF CED ∠=∠，又∵CBF ECD ∠=∠，∴CBF ECD ∽，∴FC BD C BF CD CE B =≠，D 错误，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7.分解因式：22xy x y -=_______．【答案】()xy y x -【解析】【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法分解因式是解题的关键．【详解】解：22()xy x y xy y x -=-，故答案为：()xy y x -．8.方程5=的解是_______．【答案】13x =【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和一元一次方程的解法，解题的关键是准确计算．5=，∴2125x -=，解得：13x =，经检验：13x =是原方程的解，故答案为：13x =．9.函数1x y x =+的定义域是________．【答案】x ≠－1【解析】【分析】根据分母不为零，即可求得定义域．【详解】解：由题意，10x +≠即1x ≠-故答案为：1x ≠-【点睛】本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围，即函数的定义域，对于分母中含有未知数的函数解析式，必须考虑其分母不为零．10.如果关于x 的方程20x x c --+=有实数根，那么实数c 的取值范围是_______．【答案】14c ≥-【解析】【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根，根据方程的0∆≥即可解答．【详解】解：方程20x x c --+=有实数根，∴()()21410c --⨯-⨯≥，∴14c ≥-，故答案为：14c ≥-．11.如果将抛物线21y x =+向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是_______．【答案】2=(3)+1y x -【解析】【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．【详解】将抛物线21y x =+向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是2=(3)+1y x -．故答案为：2=(3)+1y x -．12.甲、乙两位同学分别在、、A B C 三个景点中任意选择一个游玩，那么他们选择同一个景点的概率是_______．【答案】13【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种，故他们选择同一个景点的概率是：3193=，故答案为：13．13.某校有2000名学生参加了“安全伴我行”的宣传教育活动．为了解活动效果，随机从中抽取m名学生进行了一次测试，满分为100分，按成绩划分为,,,A B C D四个等级，将收集的数据整理绘制成如下不完整的统计图表．请根据以上信息，估计该校共有_______名学生的成绩达到A等级．成绩频数分布表等第成绩x频数A90100x≤≤nB8090x≤<117C7080x≤<32D070x≤<8成绩扇形统计图【答案】430【解析】【分析】此题考查了扇形统计图、频数分布表理清它们之间的数据关系是解题的关键．用2000乘以A等级人数的占比即可求解．【详解】解：本次抽取的人数为3216%200÷=人，∴A等级的人数为20011732843---=人，估计该校共有达到A等级的学生数为43 2000430200⨯=人，故答案为：430．14.如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B的仰角为α，看这栋楼底部C的俯角为β，热气球A处与楼的水平距离为m米，那么这栋楼BC的高度为_______米．（用含m αβ、、的式子表示）【答案】()tan tan m αβ+【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的仰角俯角问题，首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，根据题意得BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，然后利用三角函数求解即可求得答案．【详解】解：首先过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图所示，则BAD ∠=α，DAC β∠=，AD m =米，在Rt △ABD 中，tan tan BD AD m αα== 米，在Rt ACD △中，tan tan DC AD m ββ== 米，∴()·tan ·tan tan tan BC BD DC m m m αβαβ=+=+=+米．故答案为：()tan tan m αβ+15.如图，在ABC 中，中线AD BE 、相交于点F ，设,AB a FE b == ，那么向量BC 用向量a b、表示为_______．【答案】6a b+ 【解析】【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得33BE FE b == ，利用三角形法BD BE ED =+ 则求出即可．【详解】解：连接DE ，∵中线AD BE 、相交于点F ，∴DE AB ∥，12DE AB =，∴1122ED AB a == ，∴DEF ABF ∽，∴12EF ED FB AB ==，∴33BE FE b == ，∴132BD BE ED a b =+=+ ，又∵点D 是BC 的中点，∴26BC BD a b ==+，故答案为：6a b + ．【点睛】16.如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角15BAC ∠=︒，那么这个正多边形的中心角是_______度．【答案】30【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于是解题的关键．根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出150B ∠=︒，然后可得每一个外角为30︒，进而即可求解．【详解】解：AB BC = ，∴15BAC BCA ∠=∠=︒，∴1801801515150B BAC BCA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴多边形的外角为18015030︒-︒=︒，∴多边形的边数为：3601230=，∴正多边形的中心角是3603012︒=︒，故答案为：30．17.正方形ABCD 的边长为1,E 为边DC 的中点，点F 在边AD 上，将D ∠沿直线EF 翻折，使点D 落在点G 处，如果BG BC =，那么线段DF 的长为_______．【答案】14##0.25【解析】【分析】本题考查正方形的折叠，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握折叠的性质是解题的关键．连接BE ，证明EGB ECB ≌，可得90DEF CEB ∠+∠=︒，然后得到DEF CBE ∽即可解题．【详解】如图，连接BE ，由翻折可得：90D EGF ∠=∠=︒，12DEF GEF DEG ∠=∠=∠，DE EG =，又∵E 为边DC 的中点，∴12DE EC EG ===，又∵BG BC =，BE BE =，∴EGB ECB ≌，∴12GEB CEB CEG ∠=∠=∠，∴119022DEF CEB DEG CEG ∠+∠=∠+∠=︒，又∵ABCD 是正方形，∴90D C ∠=∠=︒，∴90DEF DFE ∠+∠=︒，∴DFE CEB ∠=∠，∴DEF CBE ∽，∴DF DE CE BC =，即12112DF =，解得14DF =．故答案为：1418.在矩形ABCD 中，2,4,AB BC AC ==与BD 相交于点O ．A 经过点B ，如果O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，那么O 的半径长r 的取值范围是_______．522r -≤<【解析】【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系，掌握圆与圆的位置关系和直线和圆的位置关系是解题的关键．过点O 作OE CD ⊥于点E ，根据勾股定理得到AC =，然后根据COE CAD ∽，得到2OE =，由已知可以得到r 的取值范围即可．【详解】解：过点O 作OE CD ⊥于点E ，∵ABCD 是矩形，∴90ABC ADC OEC ∠=∠=∠=︒，12AO OC AC ==，∴AC ===，∴AO OC ==，又∵90ADC OEC ∠=∠=︒，∴OE AD ，∴COE CAD ∽，∴12OE CO AD AC ==，∴122OE AD ==，又∵O 与A 有公共点，且与边CD 没有公共点，22r -≤<，22r -≤<．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19.计算：2301(2024)8π⎛⎫--++ ⎪⎝⎭【答案】154-【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，分数指数幂，化简二次根式，先计算分数指数幂和零指数幂，利用平方差公式进行二次根式和化简，最后算加减．【详解】解：2301(2024)8π⎛⎫-- ⎪⎝⎭23343112+⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦)24311259+⎛⎫=-+⎪-⎝⎭1341=-+154=-．20.解方程组：22221,230.x y x xy y +=⎧⎨--=⎩①②【答案】93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答．因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再代入①即可解方程组．【详解】解：由②得：()()30x y x y -+=，即3x y =或x y =-，把3x y =代入①得3y =，9x =；把x y =-代入①得21y =-，21x =；∴方程组的解为：93x y =⎧⎨=⎩，2121x y =⎧⎨=-⎩．21.如图，AB 是O 的直径，AB 与CD 相交于点E ，弦AD 与弦CD 相等，且 BCBD =．（1）求ADC ∠的度数；（2）如果1OE =，求AD 的长．【答案】（1）60︒（2）23【解析】【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）连接AC ，根据垂径定理可得 AC AD =，从而可得,AC AD =然后利用等量代换可得,AC AD CD ==从而可得ACD 是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可解答；（2）连接OD ，根据垂径定理可得1,,2DE EC CD AB CD ==⊥从而可得90,AED ∠=︒再利用直角三角形的两个锐角互余可得30,DAO ∠=︒然后利用圆周角定理可得60,DOE ∠=︒再在.Rt OED 中，利用锐角三角函数的定义求出DE 的长，即可解答．【小问1详解】连接AC ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，∴ AC AD =，AC AD ∴=，AD CD = ，AC AD CD ∴==，ACD ∴是等边三角形，60ADC ∴∠=︒；【小问2详解】连接OD ，∵AB 是O 的直径， BCBD =，1,2DE EC CD AB CD ∴==⊥，90AED ∴∠=︒，60ADC ∠=︒ ，9030DAO ADC ∴∠=︒-∠=︒，260DOE DAO ∴∠=∠=︒，在Rt OED 中，1OE =，tan60DE OE ∴=⋅︒=，2CD DE ∴==，CD AD ∴==．22.某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x 辆，租车总费用为y 元．型号载客量（人/辆）租金（元/辆）甲451500乙331200（1）求y 与x 的函数解析式（不需要．．．写定义域）；（2）如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？（3）在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？【答案】（1）300y x =8400+（2）共有3种租车方案（3）租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆；根据题意列函数关系式即可；（2）根据租车总费用不超过10200元，师生共有275人可得()30084001020045337275x x x +≤⎧⎨+-≥⎩，又x 为整数,解不等式组即可得到租车方案；（3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题．【小问1详解】租用甲种型号的客车x 辆，则租用乙种型号的客车()7x -辆，()150012007300y x x x ∴=+-=8400+；【小问2详解】∵租车总费用不超过10200元，师生共有275人,()30084001020045337275x x x +≤⎧∴⎨+-≥⎩，解得2363x ≤≤，∵x 为整数,∴x 可取4,5,6,∴一共有3种租车方案；【小问3详解】在3008400y x =+中，y 随x 的增大而增大,又x 可取4,5,6,∴当4x =时，y 取最小值，最小值为300484009600⨯+=(元),∴租用甲种型号的客车4辆，租用乙种型号的客3辆，租车最省钱，租车的总费用是9600元．23.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是对角线AC 上一点，EA ED =，且DAB DEC DCB ∠=∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）延长DE 分别交线段AB CB 、的延长线于点F G 、，如果GB BC =，求证：22AD EF GD =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由,AD BC 得180DAB ABC ∠+∠=︒,则180DCB ABC ∠+∠=︒，所以AB CD ，则四边形ABCD 是平行四边形，由2,DEC CAD ∠=∠且,DAB DEC ∠=∠得2DAB CAD ∠=∠,所以,CAB CAD ACB ∠=∠=∠则AB CB =,即可证明四边形ABC D 是菱形；（2）由菱形的性质得AB AD BC CD ===,而GB BC =,所以AD GB =,可证明ADF BGF ∽,得1,AF AD BF GB ==则11,22AF BF AB CD ===再证明AEF CED ∽,得1,2EF AF ED CD ==所以2ED EF =,再证明EDC CDG ∽,得,CD ED GD CD =则2,AD EF GD AD =即可证明²2AD EF GD =⋅．【小问1详解】)证明:∵AD BC ,∴180,DAB ABC CAD ACB ∠+∠=︒∠=∠,∵DAB DCB ∠=∠,∴180DCB ABC ∠+∠=︒,∴AB CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形，∵EA ED =,∴EDA CAD ∠=∠,∴2DEC EDA CAD CAD ∠=∠+∠=∠，∵DAB DEC ∠=∠,∴2DAB CAD ∠=∠,∴CAB CAD ACB ∠=∠=∠,∴AB CB =,∴四边形ABCD 是菱形；【小问2详解】证明：根据题意作图如下，∵四边形ABCD 是菱形,∴AB AD BC CD ===，∵,AD BC GB BC ==,∴AD GB =,∵AD GB ,∴ADF BGF ∽,1AF AD BF GB ∴==，1122AF BF AB CD ∴===，∵AF CD ,∴AEF CED ∽,12EF AF ED CD ∴==，∴2ED EF =,∴,ECD CAD G EDA ∠=∠∠=∠,且CAD EDA ∠=∠,∴ECD G ∠=∠,∵EDC CDG ∠=∠,∴EDC CDG ∽,∴CD ED DG CD =,2AD EF GD AD ∴=，²2AD EF GD ∴=⋅．【点睛】此题重点考查平行线的性质、菱形的判定性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出CAB CAD ACB ∠=∠=∠是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-的图像与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ．与y 轴交于点,C D 是线段OA 上一点．（1）求这条抛物线的表达式和点C 的坐标；（2）如图，过点D 作DG x ⊥轴，交该抛物线于点G ，当DGA DGC ∠=∠时，求GAC △的面积；（3）点P 为该抛物线上第三象限内一点，当1OD =，且45DCB PBC ∠+∠=︒时，求点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =+-，()03C -，（2）158（3）()14P --，【解析】【分析】（1）将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，可求12a b =⎧⎨=⎩，则223y x x =+-，当0x =时，=3y -，进而可求()03C -，；（2）如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，则3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，由tan tan DGA DGC ∠=∠，可得()()223232m m m m m m +-=-+--+，计算求出满足要求的解为12m =-，则11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线AC 的解析式为3y x =--，进而可得1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，则54GN =，根据()12GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯- ，计算求解即可；（3）如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，由45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，可知点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，由1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，可求3105BH =，则222365BN BH HN =+=，待定系数法求直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，由()()222361335BN n n =-+--=，可求15n =-，75n =-（舍去），则11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，待定系数法求直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：将(3,0)A -、(1,0)B 代入得，933030a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得，12a b =⎧⎨=⎩，∴223y x x =+-，当0x =时，=3y -，即()03C -，；【小问2详解】解：如图1，作CM DG ⊥于M ，记AC 与DG 的交点为N ，设()0D m ，，则()223G m m m +-，，()3M m -，，∴3AD m =+，()223DG m m =-+-，CM m =-，()22GM m m =-+，∵DGA DGC ∠=∠，∴tan tan DGA DGC ∠=∠，∴AD CMDG GM =，即()()223232m mm m m m +-=-+--+，解得，12m =-，经检验，12m =-是原分式方程的解，且符合要求；∴11524G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线AC 的解析式为y kx c =+，将(3,0)A -，()03C -，代入得，303k c c -+=⎧⎨=-⎩，解得，13k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 的解析式为3y x =--，当12x =-时，15322y ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，即1522N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∴54GN =，∴()1151532248GAC GAN GCN C A S S S GN x x =+=⨯-=⨯⨯= ，∴GAC △的面积为158；【小问3详解】解：如图2，作BH CD ⊥于H ，在CD 上取HN BH =，连接BN 交抛物线于点P ，∵HN BH =，BH CD ⊥，∴45BNH DCB PBC ∠=︒=∠+∠，∴点P 即为所求，由勾股定理得，CD BC ===，∵1122BCD S BD OC CD BH =⋅=⋅ ，∴112322BH ⨯⨯=，解得，3105BH =，∴222365BN BH HN =+=，设直线CD 的解析式为y kx d =+，将(1,0)D -，()03C -，代入得，03k d d -+=⎧⎨=-⎩，解得，33k c =-⎧⎨=-⎩，∴直线CD 的解析式为33y x =--，设()33N n n --，，∴()()222361335BN n n =-+--=，解得，15n =-，75n =-（舍去），∴11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，设直线BN 的解析式为y kx e =+，将(1,0)B ，11255N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入得，011255k e k e +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得，22k e =⎧⎨=-⎩，∴直线BN 的解析式为22y x =-，联立得，22223x x x -=+-，解得，1x =舍去或=1x -，∴()14P --，．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，正切，二次函数与面积综合，一次函数解析式，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．25.在ABC 中，2AB AC ==，以C 为圆心、CB 为半径的弧分别与射线BA 、射线CA 相交于点D E 、，直线ED 与射线CB 相交于点F ．（1）如图，当点D 在线段AB 上时．①设ABC α∠=，求BDF ∠；（用含α的式子表示）②当1BF =时，求cos ABC ∠的值；（2）如图，当点D 在BA 的延长线上时，点M N 、分别为BC DF 、的中点，连接MN ，如果MN CE ∥，求CB 的长．【答案】（1）①12α②24（2）1BC =+【解析】【分析】（1）①根据等边对等角得到ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，然后根据四边形的内角和是360︒计算解题；②先根据F BDF ∠=∠得到1BD BF ==，然后推导CDB ACB ∽，得到BC BD AB BC =，可以求出BC 长，过点A 作AG BC ⊥于点G ，然后求出cos ABC ∠值即可；（2）设MN 交BD 于点H ，设BC a =，则1AH BH ==，然后证明BCA BDC ∽，得到22a BD =，然后根据平行线分线段成比例得到EN HA DN DH =，EN CM FN MF =，再根据DN FN =，就可得到HA CM DH MF=，代入数值即可解题．【小问1详解】解：①∵AC AB CB CD CE ===，，∴ACB ABC CDB α∠=∠=∠=，CDE CED ∠=∠，又∵360ACB ABC CDB CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴()1136018022CDB CDE αα∠+∠=︒-=︒-，∴()11180********ADE CDB CDE αα⎛⎫∠=︒-∠+∠=︒-︒-= ⎪⎝⎭；②∵12ADE BDF ABC αα∠=∠=∠=，，∴12F BDF α∠=∠=，∴1BD BF ==，又∵1802BCD A α∠=︒-=∠，CBD DBC ∠=∠，∴CDB ACB ∽，∴BC BDAB BC =，即12BCBC =，解得：BC =BC =；过点A 作AG BC ⊥于点G ，则1222BG BC ==，∴222cos 24BG ABC AB ∠===；【小问2详解】解：设MN 交BD 于点H ，设BC a =，∵M 是BC 的中点，∴12BM CM a ==，又∵MN CE ，∴BMH BCA ∽，∴1BH BMHA MC ==，又∵2AB AC ==，∴1AH BH ==，∵AC AB =，BC CD =，∴ACB ABC CDB ∠=∠=∠，∴BCA BDC ∽，∴BC BDBA BC =，即2aBDa =，解得：22a BD =，∴212a DH DB BH =-=-，∵MN CE ，∴2212212ENHA a DN DH a ===--，又∵ACB ABC ∠=∠，12BDF ACB ∠=∠，∴12ABC ACB ∠=∠，∴ACB F ∠=∠，∴22a BF BD ==，∴222a aFM FB MB =+=+，∵MN CE ，∴212122aEN CM a a FN MF a ===++，又∵N 是DF 的中点，∴DN FN =，∴EN EN DN FN =，即22121a a =-+，解得：1a =+1a =-，BC=∴1【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。

2024上海市奉贤区中考初三二模数学试题及答案

2023学年第二学期九年级数学练习(2024.04)(完卷时间100分钟，满分150分)考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数的是（A ）-3；（B ）0；（C ）13；（D.2.下列计算中，正确的是（A ）624a a a =+；（B ）824a a a =⋅；（C ）224a a a =÷；（D ）1642)(a a =.3.下列关于x 的方程中有实数根的是（A ）012=--mx x ；（B ）012=+x ；（C ）111-=-x xx ；（D ）011=++x .4.运动会200米赛跑，5位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（A ）30，4；（B ）30，2；（C ）32，4；（D ）32，2.5.下列函数中，能同时满足以下三个特征的是①函数图像经过点(1，-1)；②图像经过第二象限；③当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.（A ）x y -=；（B ）2-=x y ；（C ）xy 1-=；（D ）12-=x y .6.如图1，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 交于点O ，下列条件能判断四边形ABCD 是正方形的是（A ）AC =DB 且DA ⊥AB ；（B ）AB =BC 且AC ⊥BD ；（C ）AB =BC 且∠ABD =∠CBD ；（D ）DA ⊥AB 且AC ⊥BD .DABCO图1二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：12x x+=▲.8.单项式24xy -的次数是▲.9.因式分解：241m -=▲.10.函数121y x =-的定义域是▲.11.不等式组1030x x +≤⎧⎨-≥⎩的解集是▲.12.据国家航天局消息，天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距地球约320000000千米.其中320000000用科学记数法表示为▲.13.在四张背面完全相同的卡片上分别印有等腰三角形、平行四边形、菱形、圆的图案，现将印有图案的一面朝下，打乱后从中随机抽取一张，则抽到卡片上印有的图案是中心对称图形的概率为▲.14.到线段AB 两个端点距离相等的点的轨迹是▲.15.如图2，已知点A 、B 、C 在直线l 上，点P 在直线l 外，BC =2AB ，a P A =，b PB =，那么PC =▲.（用向量a 、b 表示）16.已知两个半径都为4的⊙A 与⊙B 交于点C 、D ，CD =6，那么圆心距AB 的长是▲.17.如图3，正方形ABCD 的边长为1，点P 在AD 延长线上（PD <CD ），联结PB 、PC ，如果△CDP 与△PAB 相似，那么tan ∠BPA =▲.18.如图4，△OAB 是等腰直角三角形，∠AOB =90°，OA =OB=，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，且CD ∥AB ，已知△CDE 是等边三角形，且点E 在△OAB 形内，点G 是△CDE 的重心，那么线段OG 的取值范围是▲.三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分）计算：23)21(3218231-+--+-.PABC图2DABOCE图4ABCDP图320.（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧-=-=+.341222y x y x ，21.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图5，已知一次函数图像y =2x -3与反比例函数图像xky =交于点A （2，m ）.（1）求反比例函数的解析式；（2）已知点M 在点A 右侧的反比例函数图像上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，如果S △AMN =41，求点M 的坐标.22.（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型.如图6，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同.某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小.（1）利用圆规和直尺，在图6上作出圆弧形水道的圆心O .（保留作图痕迹）（2）如图7，学习小组来到了圆弧形道路内侧A 处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B 处，并测得绳子中点C 与圆弧形道路内侧中点D 的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离DE 为22米（点D 、C 、E 在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径.图7ABCDE 圆弧形道路内侧圆弧形水道外侧图6圆弧形道路圆弧形水道图5AxyOE OMN A BCD图10ABCD EF图823.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图8，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B =∠ADC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且∠ADE =∠CDF .（1）求证：CF CB AE AB ⋅=⋅；（2）联结AC 、EF ，如果EF ∥AC ，求证：四边形ABCD 是菱形.24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图9，在直角坐标平面xOy 中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴正半轴交于点C ，顶点为P ，点A 坐标为（-1，0）.（1）写出这条抛物线的开口方向，并求顶点P 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）将抛物线向下平移后经过点（0，1），顶点P 平移至P'.如果锐角∠CP'P 的正切值为12，求a 的值；（3）设抛物线对称轴与x 轴交于点D ，射线PC 与x 轴交于点E ，如果∠EDC =∠BPE ，求此抛物线的表达式.25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）如图10，已知半圆O 的直径为MN ，点A 在半径OM 上，B 为 MN的中点，点C 在 BN 上，以AB 、BC 为邻边作矩形ABCD ，边CD 交MN 于点E .（1）如果MN =6，AM =2，求边BC 的长；（2）联结CN ，当△CEN 是以CN 为腰的等腰三角形时，求∠BAN 的度数；（3）联结DO 并延长，交AB 于点P ，如果BP =2AP ，求AB BC的值.图9xyO11-1OM NB备用图2023学年第二学期九年级数学练习参考答案及评分说明（202404）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.D2.C3.A4.B5.C6.D二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.x38.39.)12)(12(-+m m 10.21≠x 11.1-≤x 12.8102.3⨯13.4314.线段AB 的垂直平分线15.ba 32+-16.7217.215-18.30<<OG 三、解答题（本大题共7题，其中19-22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分78分）19.解：原式=32(4)32(2-+-++....................................................................................8分=2............................................................................................................................2分20.法一：解：由②得，3)2)(2(-=-+y x y x ③........................................................................................2分将①代入③得，32-=-y x ......................................................................................................2分得新方程组：⎩⎨⎧-=-=+3212y x y x .........................................................................................................1分解得⎩⎨⎧=-=11y x ................................................................................................................................4分所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=11y x ..................................................................................................1分法二：解：由①得，y x 21-=③..........................................................................................................2分将③代入②得，34)21(22-=--y y ........................................................................................2分化简得：-4y =-4..........................................................................................................................1分解得1=y 将1=y 代入③得，1-=x ...........................................................................................................4分所以，原方程组的解为⎩⎨⎧=-=11y x ................................................................................................1分21.（1）解：将A （2，m ）代入32-=x y ，解得1=m ，A （2，1）.................................2分将A （2，1）代入xky =，解得2=k ........................................................................................1分∴反比例函数解析式为xy 2=....................................................................................................1分（2）设M （a ，a2），则N （a ，0）.........................................................................................1分∴aMN 2=，2-=-a x x A M ....................................................................................................2分∴41)2(221=-⋅⋅a a .....................................................................................................................1分解得38=a 所以，点M 的坐标为（38，43）..............................................................................................2分22.（1）略...................................................................................................................................4分（2）联结OA ，延长DC∵点D 是弧AB 的中点，点C 是弦AB 的中点∴圆心O 在DC 延长线上，且OD ⊥AB ..................................................................................2分10021==AB AC 设半径OA =x ，则OC =10-x 在Rt △OAC 中，222100)10(x x =+-.......................................................................................2分解得505=x .................................................................................................................................1分∴48322505=-=-=DE OD OE 米.........................................................................................1分答：圆弧形水道外侧的半径为483米.23.（1）证明：∵AB ∥CD∴∠ADC +∠A =180°.................................................................................................................1分又∵∠ADC =∠B∴∠B +∠A =180°∴AD ∥BC ...................................................................................................................................1分∴四边形ABCD 为平行四边形..................................................................................................1分∴∠A =∠C ，AD =BC ，AB =DC ...................................................................................................1分由∠ADE =∠CDF ，得△ADE ∽△CDF .....................................................................................1分∴CDADCF AE =∴AB AE CB CF ⋅=⋅...................................................................................................................1分（2）∵EF ∥AC ∴BC CFAB AE =................................................................................................................................2分又∵CFABAE CB =∴CFABCB CF AE CB AB AE ⋅=⋅...............................................................................................................2分得BC AB =.................................................................................................................................1分又∵四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形..............................................................................................................1分24.（1）解：抛物线开口向下...................................................................................................1分抛物线对称轴为直线122=--=aax .............................................................................................1分∴P （1，c a +-）将A （-1，0）代入c ax ax y +-=22，得a c 3-=...................................................................1分∴P （1，a 4-）.........................................................................................................................1分（2）由题意可知，点C （0，a 3-）平移至C'（0，1）∴PP'=CC'=13--a ....................................................................................................................1分∴P'（1，1+-a ）.......................................................................................................................1分∴tan ∠CPP'=21)1(31=+---a a ..............................................................................................1分解得23-=a .................................................................................................................................1分（3）由抛物线对称轴为直线1=x ，A （-1，0），可知B （3，0）由C （0，a 3-），P （1，a 4-），解得直线CP ：aax y 3--=∴点E （3-，0）........................................................................................................................1分又∵∠EDC =∠BPE ，∴△EDC ∽△EPB .................................................................................1分∴BE EC EP DE =，∴6991616422a a+=+...............................................................................1分解得1-=a （正根舍去）∴抛物线解析式为322-+-=x x y ..........................................................................................1分25.（1）解：联结OB ，过点O 作OH ⊥BC ，垂足为H∵点B 是 MN中点∴∠MOB =∠NOB =︒=︒⨯9018021.............................................................................................1分由1=-=AM OM OA ，OB=3，得10=AB 又∵矩形ABCD ，OH ⊥BC ∴AB ∥OH ，BC BH 21=............................................................................................................1分∴∠ABO =∠BOH在Rt △AOB 与Rt △BOH 中，sin ∠ABO =sin ∠BOH ，AB OA =BOBH............................................................................................1分解得10103=BH ∴5103=AB ..............................................................................................................................1分（2）联结OC 设∠CON =α则∠CNO =2180α-︒，∠COH =290α-︒∴在Rt △OCH 中，∠OCH =24529090αα+︒=-︒-︒∴∠OCE =245)245(9090αα-︒=+︒-︒=∠-︒OCH ∴∠ECN =︒=-︒--︒=∠-∠45)245(2180ααOCE OCH .........................................................2分∠CEH =245245ααα+︒=-︒+=∠+∠OCE COE 当CE =CH 时，2180245αα-︒=+︒，解得α=45°，∴∠BAN =67.5°...................................2分当CN =EN 时，︒=+︒45245α，不存在.....................................................................................1分（3）由AB ∥OH ∥CE ，可得1==AOOEBH CH ，∴AO =OE .......................................................1分∴△AOP ≌△EOD ，∴PA=DE ，PD=AE.................................................................................1分设AO =OE =x ，AP =ED =y ，则AB =3y 易证△AOB ∽△EDA ，∴AEAB ED OA =，x yy x 23=...............................................................................................................1分即2232y x =∴BC =AD =y DE AE 522=-.................................................................................................1分∴3535==y y AB BC .....................................................................................................................1分。

2024届上海杨浦区中考数学二模试卷及答案

杨浦区2023 学年度第二学期初三质量调研（一）数学学科2024.4 一、选择题1.的同类二次根式是（）A .B .C .D .2.已知a b >，下列不等式成立的是（）A .a b −>−B .22a b −<−C .22a b <D .0a b −<3.如果k <0,b <0，那么一次函数y kx b =+的图像不经过（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4.已知一组数据,2,4,1,6a 的中位数是4，那么a 可以是（）A .0B .2C .3D .55.下列命题中，真命题的是（）A .四条边相等的四边形是正方形B .四个内角相等的四边形是正方形C .对角线互相垂直的平行四边形是正方形D .对角线互相垂直的矩形是正方形6.如图，在ABC 中，,120AB AC BAC ≠∠=︒，将ABC 绕点C 逆时针旋转，点A 、B 分别落在点D 、E 处，如果点A 、D 、E 在同一直线上，那么下列结论错误的是（）A .∠ADC =60°B .∠ACD =60°C .∠BCD =∠ECD D .∠BAD =∠BCE二、填空题7.计算：3262a a ÷=______________8.在实数范围内因式分解：23x −=______________9.函数y =的定义域是______________10.如果关于x 的方程260x x k −+=有两个实数根，那么k 的取值范围是____________11.布袋中有大小、质地完全相同的5个小球，每个小球上分别标有数字1,2,3,4,5，如果从布袋中随机抽一个小球，那么这个小球上的数字是合数的概率是_____________12.已知反比例函数1m y x−=的图像在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________ 13.根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x ，根据题意可列方程_____________14.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是边AD 的中点，CE 与对角线BD 相交于点F ，设向量AB a =，向量BC b =，那么向量BF =______________（用含,a b 的式子表示）15.近年来越来越多的“社区食堂”出现在街头巷尾，它们是城市服务不断丰富的缩影，已知某社区食堂推出了15元、18元、20元三种价格的套餐，每人限购一份，据统计，3月16日该食堂销售套餐共计160份，其中15元的占总份数的40%，18元的卖出40份，其余均为20元，那么食堂这一天卖出一份套餐的平均价格是____________元16.如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交边BC 于点D ，如果BD =4CD ，那么tanB =____________17.如图，已知一张正方形纸片的边长为6厘米，将这个正方形纸片剪去四个角后成为一个正八边形，那么这个正八边形的边长是______________厘米18.已知矩形ABCD 中，AB =5，以AD 为半径的圆A 和以CD 为半径的圆C 相交于点D 、E ，如果点E 到直线BC 的距离不超过3，设AD 的长度为m ，则m 的取值范围是______________三、解答题19.计算：)0112112713−⎛⎫+−−+ ⎪⎝⎭20.解方程组：222124440x y x xy y +=⎧⎨−+−=⎩21.如图，已知在ABC 中，AB =AC =9，cos B =，点G 是ABC 的重心，延长AG 交边BC 于点D ，以G 为圆心，GA 为半径的圆分别交边AB 、AC 于点E 、F .（1）求AG 的长；（2）求BE 的长.22.寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6:00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途径一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速，如图，这是她们离目的地的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图像.根据图像提供的信息回答下列问题：（1）图中的a =______________，b =______________；（2）求提速后y 关于x 的函数解析式（不用写出定义域）；（3）她们能否在中午12:30之前到达目的地? 请说明理由.23.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，BD =BC ，∠DBC 的平分线交AD 延长线于点E ，交CD 于点F .（1）求证：四边形BCED 是菱形；（2）联结AC 交BF 于点G ，如果AC CE ⊥，求证：2AB AG AC =⋅.24.定义：我们把平面内经过已知直线外一点并且与这条直线相切的圆叫做这个点与已知直线的点切圆，如图1，已知直线l 外有一点H ，圆Q 经过点H 且与直线l 相切，则称圆Q 是点H 与直线l 的点切圆. 阅读以上材料，解决问题：已知直线OA 外有一点P ，PA OA ⊥，OA =4，AP =2，圆M 是点P 与直线OA 的点切圆.（1）如果圆心M 在线段OP 上，那么圆M 的半径长是______________（直接写出答案）（2）如图2，以O 为坐标原点，OA 为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，点P 在第一象限，设圆心M 的坐标是(),x y .①求y 关于x 的函数解析式；②点B 是①中所求函数图像上的一点，联结BP 并延长交此函数图像于另一点C ，如果CP :BP =1:4，求点B 的坐标.25.已知以AB为直径的半圆O上有一点C，CD OA⊥，垂足为点D，点E是半径OC上一点（不与点O、C重合），作EF OC⊥交弧BC于点F，联结OF.（1）如图1，当FE的延长线经过点A时，求CDAF的值；（2）如图2，作FG AB⊥，垂足为点G，联结EG.①试判断EG与CD的大小关系，并证明你的结论；②当EFG是等腰三角形，且4sin5COD∠=，求OEOD的值.参考答案一、选择题1.C2. B3. A4. D5. D6. C二、填空题7.3a8. (x x −9.1x >10. 9k ≤11. 1512.m >1 13.()24.321 4.72x +=14. 2233a b −+15. 17.516. 517.618. 2510m ≤≤三、解答题19. 1220. 752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或572x y =⎧⎪⎨=⎪⎩21.（1）4（2）11322.（1）3；320（2）100620y x =−+（3）能，12时12分到达目的地，说明略23.（1）证明略（2）证明略24.（1）52（2）①21254y x x =−+②（0,5）或（8,5）25.（1）12（2）①EG =CD ，证明略②715。

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x
y O 动点之角度 (2015 二模崇明)24．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．
（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．
(2015 二模奉贤)24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线x ax y +=2的对称轴为直线
x ，顶点为A ．
（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；
（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．
①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；
②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP =∠OBP 时，求点B 的坐标．
(2015 二模杨浦)24．(本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分，)
已知：在直角坐标系中，直线y =x +1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线
21()2
y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。

（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（第24题图） B A
C O x y （备用图） B A C O x y
O y
A x
（3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称
轴于点P ，使得∠DCP =∠CAD ，求点P 的坐标。

动点之相似
(2015 二模宝山嘉定) 24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系xOy （图9），双曲线)0(≠=k x
k y 与直线2+=x y 都经过点),2(m A ．（1）求k 与m 的值；
（2）此双曲线又经过点)2,(n B ，过点B 的直线BC 与直线2+=x y 平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线2+=x y 与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E
似比不为1，求点E 的坐标． (2015 二模金山)24．（本题满分12分）
已知抛物线)0(82≠-+=a bx ax y 经过,2(-A 于点C ．（1）求抛物线)0(82≠-+=a bx ax y （2）求APB ∠的正弦值；
（3）直线2+=kx y 与y 轴交于点N ，与直线AC 的交点为M ，当MNC ∆与AOC ∆相似时，求点M 的坐标．
动点之面积
(2015 二模黄浦)24. （本题满
分12分，第（1）小题满分3分，
第（2）小题满分4分，第（3）O x y
（第24题图）图9
小题满分5分）
如图7，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a >4)，射线OA 与反比例函数12y x
=的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x
=的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；
C ，且∠OBC =∠OAB ，AC =3．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，
且2:3:=∆∆AFG ADG S S (2015 二模长宁)24．如图，已知抛物线22+-=tx x y 作AB ⊥y 轴于点B ，C 是线段AB CD ⊥x 轴于点D ，并交抛物线于点P . （第24题
（1）若点C 的横坐标为1，且是线段AB 的中点，求点P 的坐标；
（2）若直线AP 交y 轴负半轴于点E ，且AC =CP ，求四边形OEPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE 的面积等于2S 时，求t 的值.
动点之直角、等腰三角形存在性
(2015 二模普陀) 如图10图像经过点()1,0A -，()4,0B ，()0,2C ．点联结BD ，点E 是x 的坐标为(m , 0)，过点作x 轴的垂线l 交抛物线于点P ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点Q ．当四边形CDQP 是平行四边形时，求m 的值；
（3）是否存在点P ，使△BDP 是不以BD 为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 12bx +A （4，0），过点H D ，
其对称轴与直线AB 及x 轴分别交于点E 和点F ．
（1）求这个二次函数的解析式；图10图第24题图
（2）如果CE =3BC ，求点B 的坐标；
（3）如果△DHE 是以DH 为底边的等腰三角形，求点E 的坐标．
动点之梯形
(2015 二模徐汇)24．如图，在平面直角坐
标系中，O 为坐标原点，开口向上的抛物线与x 轴交于点A （－1，0）和点B （3，0），D 为
抛物线的顶点，直线AC 与抛物线交于点C
（5，6）．
（1）求抛物线的解析式；（2）点E 在x 轴上，且AEC ∆和AED ∆相似，求点E 的坐标；
（3）若直角坐标平面中的点F 和点A 、C 、D 构成直角梯形，且面积为16，试求点F 的坐标．
其他
(2015 二模闵行)24．（本题满分12题各4分）
如图，已知在平面直角坐标系xOy 抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B 点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D
（1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；
（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径；
（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN 的值． (2015 二模浦东)24．（本题满分12分，其中第（1）
小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已
（第24题图）（第24题图）
x
知：如图，直线y=kx+2与x轴的正半轴相交于点A（t,0）、与y轴相交于点B，抛物线c
-
+
=2经过点A和点B，点C在第三象限内，
y+
bx
x
1．
且AC⊥AB，tan∠ACB=
2
（1）当t=1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求Array
t的值．
（第24题图）。