复数项级数
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4.1复数项数列、复数项级数
级数收敛的必要条件
n =1
n =1
定理3：级数 n = (an + ibn ) 收敛的必要条件是
lim n = lim ( an + ibn ) = 0.
n →
n →
证明：由定理2及实数项级数收敛的必要条件可知
级数
n =1
n
收敛，则 级数
a
n =1
n
和 bn 都收敛；
n =1
n =1
n =1
n =1
所以当 an 与 bn 绝对收敛时， n 也绝对收敛.
2
同时有 an n ，bn n ，所以当 n 绝对收敛时，
a
n =1
n
n =1
与 bn 也绝对收敛.
推论：
n =1
n =1
n
n =1
n =1
绝对收敛的充要条件是级数 an 与 bn 也绝对收敛.
复变函数与积分变换
第一节 复数项级数
一、复数项数列
二、复数项级数
一、复数项数列
定义1: 设 n = 1,2,∙∙∙ 为一复数列，其中 = + , 又设
= +为一确定的复数.如果对于任意给定的 > 0，相应地总
能找到一个正数 , 使得当 > 时，不等式 − <
→∞
当n > 时，有 n − α < ，即 (n + ) − ( + ) < 成立，
从而有
所以
n − ≤ (n −) + ( − ) < ，
复数项级数
n→∞ n
∑ ∑ 但 ∞ 1 + i2n+1 = ∞ 1 + (−1)n i
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ = (1 + 1 + 1 + ") − i(1 − 1 + 1 − ")= ∞ 1 + i ∞ (−1)n 1
23
23
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ 因为 级数 ∞ 1 发散, 虽 ∞ (−1)n 1收敛,
α
n
=α.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
5
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
=
1 1
+ −
ni ni
;
(2)
zn
=
(−1)n
+
n
i +
; 1
(3)
zn
=
1
e
−
nπi 2
.
n
6
二、级数的概念
1.定义 设{α n } = {an + bn } (n = 1,2,")为一复数列 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
;
n
(2) αn = ncos in .
解
(1) 因为αn
=
(1
+
1
)e
i
π n
=
n
(1
+
1 )(cos n
π n
+
i
sin
π ),
n
∑ ∑ 但 ∞ 1 + i2n+1 = ∞ 1 + (−1)n i
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ = (1 + 1 + 1 + ") − i(1 − 1 + 1 − ")= ∞ 1 + i ∞ (−1)n 1
23
23
n=1 n
n=1
n
∑ ∑ 因为 级数 ∞ 1 发散, 虽 ∞ (−1)n 1收敛,
α
n
=α.
[证毕]
定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两
个实数列的敛散性.
5
课堂练习:
下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
=
1 1
+ −
ni ni
;
(2)
zn
=
(−1)n
+
n
i +
; 1
(3)
zn
=
1
e
−
nπi 2
.
n
6
二、级数的概念
1.定义 设{α n } = {an + bn } (n = 1,2,")为一复数列 ,
=
(1 +
1
)e
i
π n
;
n
(2) αn = ncos in .
解
(1) 因为αn
=
(1
+
1
)e
i
π n
=
n
(1
+
1 )(cos n
π n
+
i
sin
π ),
n
复数项级数与幂级数
∞
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
那末级数 � 发散.
=1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是: 利用极限 lim sn = s .
n→ ∞
8
3.复数项级数收敛的条件
∞
∞
（1）※定理2 级数 � = � ( + ) 收敛的
∞
证
=
=
∞
充要条件 � 和 � 都收敛.
n =1
19
级数最前面n项的和
sn ( z ) = f 1 ( z ) + f 2 ( z ) + + f n ( z )
称为这级数的部分和.
和函数
如果对于 D 内的某一点 z0 , 极限 lim sn ( z0 ) = s( z0 )
n→∞
∞
存在, 那末称级数 ∑ f n ( z ) 在 z0 收敛 , s( z0 )称为
=
称为复数项无穷级数.
部分和 其最前面 n 项的和
= + + ⋯ + 称为级数的部分和.
7
2. 收敛与发散
∞
如果部分和数列 { sn } 收敛 , 那末级数 � 收敛,
并且极限 lim sn = s 称为级数的和 .
n→ ∞
=1
如果部分和数列 { sn } 不收敛 ,
规定 ∞ = +∞
5
※例2 证明：
已知
lim =
→∞
, <
,
<
∞ , >
lim
∞,
> →∞ =
, =
,
=
不存在， = −
复数项级数
所以
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
lim n
n
例1 下列数列是否收敛?如果收敛,求出其极限.
1
1 [解] 因为 n an ibn 1 cos i sin n n n 1 lim a n li m 1 cos 1 ,
2 2 [证] 由于 an 或 bn an bn n
根据比较判别法:实数正项级数
n 1
cn 和 d n
n 1
满足cndn,
级 数 d n收 敛, 则 级 数 cn收 敛; 级 数 cn发 散, 则 级 数 d n发 散.
n 1 n 1 n 1 n 1
级 数
n 0
8i n
n! 所以原级数绝对收敛,当然原级数收敛.
8n n! n 0 n!
8n 1
n
lim
8n
n 1 !
8 lim 01. n n 1
3
1n 1 n 2n n 1
i
[解] 莱布尼茨定理: 交错级数
[证](必要性) 如果 lim n ， 那末 0, N 0
当n N时 ， n
由于 an a
或 bn b an a i bn b
an a i bn b
故 an a ，
n
bn b ,
§2 幂级数
§3 泰勒级数
§4 洛朗级数
§1 复数项级数 1.复数列的极限
设有一个复数列 n n 1,2,，其中 n an ibn ,
又 设 a ib为 一 确 定 的 复 数 ，
复数项级数
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
| w( z ) Sn (z)|< 成立，Sn (z)＝ wk ( z )
k 1 n
表示：rn(z)=w( z ) Sn (z)余和， lim rn(z)＝0
n
若N与z无关，则称 wk ( z )在D上一致收敛于w( z )。
k 1
复变项级数收敛的判断： 1.若在区域D或曲线l上每一点上述级数都收敛，则称级数收敛于区域D或曲线l.
法、罗朗级数展开法。难点在于罗朗级数展开，孤立奇点类型判断。 第一节 复数项级数 1．复常数项级数 2．复常数项级数收敛的判断（柯西收敛判据）。 3．复变函数项级数及收敛的判断 第二节 幂级数 1．幂级数定义 2．幂级数敛散性判别法 3．收敛圆与收敛半径定义及求解 第三节 泰勒级数 1．泰勒级数展开定理 2．泰勒级数展开举例 第四节 解析延拓* 第五节 罗朗级数展开 1．罗朗级数展开定理 2．罗朗级数展开举例 第六节 孤立奇点的分类 1．可去奇点 2．极点 3．本性奇点 4．无限远点
k 1
称 mk 为 wk的强级数。
k 1 k 1
n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运算与无限求和运算可以交换次序
复数项级数汇总.
n p
3.有关一致收敛的三个性质。 (1)若在D上一致收敛的复变项级数的每一项都是D上的连续函数，则级数的 和也是D上的连续函数。 在一致收敛时，极限运im wk(z) lim w(z)=w(z0 )= wk(z0 ) lim wk(z)
k 1 z z0 k 1 k 1 z z0
（2）若在曲线l上一致收敛的复变项级数的每一项都是曲线l上的连续函数， 则级数的和也是曲线l上的连续函数，且级数可沿l逐项积分。 说明在一致收敛条件下，定积分运算与无限求和运算可交换次序：
w( z)dz w ( z)dz,
p1q1 ( p1q2 p2 q1 ) ( p1q3 p2 q2 p3q1 ) ...也是收敛的。且它的和 就等于原两级数的和之积。
3.复变项级数
w (z) w(z) w (z) ...w (z) ...组成级数的每一项都是z的函数。
k 1 k 1 2 k
有用公式：
(n 1) 2 i dz l包含a。 l ( z a) n 0 (n 1的整数)
复变函数论
第三章 幂级数展开
复习：级数的敛散性
复习：级数的敛散性
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
• • • • • • • • • • • • •
3.1 复数项级数
• 教学重点：级数收敛的概念与收敛判据 • 教学过程：请同学们回忆实数项级数的相关内容，泰勒级数公式
1.复常数项级数
设有复数项的无穷级数
w
k 1
k
4-1复数项级数和幂级数
则 limr n cosn limr n sinn 0, lim n 0
n
n
n
20
（2） 若r 1, 则 n r n(cosn i sinn ),
则1
n
r -n[co（s - n）
i sin（- n )],
r-n[cosn - i sinn ],
则 limr-n 0,cosn ,sinn有界， n
称为该级数前n项的部分和.
24
n
Sn (z) f1(z) f2(z) fn(z)= fk (z) k 1
若对
D
内的
某一点
z0，
lim
n
Sn(z0 )
S(z0 )
存在，称 fn(z) 在 z0 收敛, 且S(z0 )为它的和.
n1
如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定
是 z 的一个函数 S(z)
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
f (z) g(z) ( anzn ) ( bnzn ),
n0
n0
(anb0 an1b1 a0bn )zn ,
n0
其中 z R, R min( r1, r2 )
32
定理4 设幂级数 cn(z z0 )n 的收敛半径为 R, 则
（1）
1 (1 i ),
n1 n
n
(2)
(1
1
i
)e n
n1
n
解
（1）
n1
1 (1 n
i )= n
n1
(
1 n
i n2
)
(8i)n
(3) n1 n!
复变函数论第4章
n1
n
当z 2时,
原级数成为
n1
1, n
调和级数，发散.
说明：在收敛圆周上既有级数的收敛点, 也有 级数的发散点.
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铃
例3 求幂级数 (cosin)zn的收敛半径:
n0
解
因为
cn
cos in
cosh n
1 (en 2
en ),
所以
lim cn1 n cn
n1 n
解 (1) 因为 lim cn1 lim ( n )3 1,
n cn
n n 1
或
1
lim n
n
cn
lim n n
n3
lim 1 1. n n n3
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结束
铃
所以收敛半径 R 1, 即原级数在圆 z 1内收敛, 在圆外发散,
铃
补充求：等比级数
ar n1 的敛散性。
n1
解：等比级数的部分和为：
Sn
n
ar k 1
k 1
a ar n1 r 1 r
a(1 r n ) 1 r
已利用等比数列求和公式：
Sn
a1 anq 1 q
当公比|r|<1时，lim n
Sn
lim
n
a(1 rn ) 1 r
n0
n0
f (z) g(z) anzn bnzn (an bn )zn ,
n0
n0
n0
R min( r1, r2 )
第九讲 复数项级数
复变函数
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
2.复变函数项级数的收敛性
如果对于 D 内的某一点 z0 ，极限 lim sn ( z0 ) s( z0 ) 存在，
n
那么称复变函数项级数在 z0 收敛，而 s( z0 ) 称为它的和. 如果 级数在 D 内处处收敛，那么它的和一定是 z 的一个函数 s( z ) ：
的收敛范围与和函数.
n 1 z 解： Sn 1 z z 2 ... z n1 ,z 1 1 z 1 z 1时, limS n , 级数收敛 1 z n z 1时, limSn 级数发散
n
第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第四章 级数 复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
(2) 代换运算
当 z r 时， f ( z ) an z n ，又设在 z R 内，
n 0
g( z ) 解 析 且 满 足 g( z ) r ， 那 么 当 z R 时 ，
f [ g( z )] an [ g( z )]n .
第四章
级数
复变函数
六、小结
六、小结
第九讲
复数项级数与幂级数
1.复数列的极限定义.
判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性. 2.复数项级数的概念，复数项级数收敛性的判断，复 数项级数的绝对收敛与条件收敛. 3.复变函数项级数的概念及收敛定义. 4.幂级数的概念及收敛定理(Abel定理).
5.收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法 .
第九讲
2
复数项级数与幂级数
1 in 1 n 2n (1) n i 2 2 1 in 1 n 1 n
三、幂级数的概念
第九讲
复数项级数与幂级数
2.复变函数项级数的收敛性
如果对于 D 内的某一点 z0 ，极限 lim sn ( z0 ) s( z0 ) 存在，
n
那么称复变函数项级数在 z0 收敛，而 s( z0 ) 称为它的和. 如果 级数在 D 内处处收敛，那么它的和一定是 z 的一个函数 s( z ) ：
的收敛范围与和函数.
n 1 z 解： Sn 1 z z 2 ... z n1 ,z 1 1 z 1 z 1时, limS n , 级数收敛 1 z n z 1时, limSn 级数发散
n
第四章
级数
复变函数
四、收敛圆与收敛半径
第四章 级数 复变函数
五、幂级数的运算和性质
第九讲
复数项级数与幂级数
(2) 代换运算
当 z r 时， f ( z ) an z n ，又设在 z R 内，
n 0
g( z ) 解 析 且 满 足 g( z ) r ， 那 么 当 z R 时 ，
f [ g( z )] an [ g( z )]n .
第四章
级数
复变函数
六、小结
六、小结
第九讲
复数项级数与幂级数
1.复数列的极限定义.
判断复数列的收敛性转化为判断两个实数列的收敛性. 2.复数项级数的概念，复数项级数收敛性的判断，复 数项级数的绝对收敛与条件收敛. 3.复变函数项级数的概念及收敛定义. 4.幂级数的概念及收敛定理(Abel定理).
5.收敛圆与收敛半径的概念，幂级数收敛半径的求法 .
第九讲
2
复数项级数与幂级数
1 in 1 n 2n (1) n i 2 2 1 in 1 n 1 n
复数项级数
f (z)dz
n0
z 0
cn z ndz
n0
cn n
1
z n1
.
三、解析函数的泰勒展开式
（一）泰勒定理
设 f (z)在以z0为圆心, R为半径的圆| z z0 | R 内解析, 则在此圆内, f (z)可以展开成幂级数
f (z)
f (z0 )
f
(z0 1!
)
(
z
23
n1
sin z z 1 z 3 1 z5 (1)n z 2n1 (| z | ) .
3! 5!
(2n 1)!
cos z 1 1 z 2 1 z4 (1)n z 2n (| z | ) .
2! 4!
(2n)!
（三）将函数展开为幂级数
(| z | R)
n0 n!
上式称为f (z)的麦克劳林展开式 。
幂级数
f (n) (0) zn 称为 f (z)的麦 克 劳 林 级 数 。
n0 n!
（三）将函数展开为幂级数
几个常用的初等函数的幂级数
ez 1 z 1 z2 1 zn (| z | ) .
c n n
(2)
如果
lim
n
n
|
cn
|
,
则 收 敛 半 径R
1;
例2 求下列幂级数的收敛半径
(1)
zn ;
(2)
1 zn ;
(3)
n!zn .
n0
n0 n!
n0
例3
考察幂级数
17.复数列的极限、复数项级数
如果e >0, 存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式
n e 成立, 则称当n时, n 收敛于 ,
或称 是 n 的极限, 记作
lim n , 或 n n .
n
复数列收敛与实数列收敛的关系 定理1
lim n 的充分必要条件是
n 1
于是在判别级数的敛散性时, 可先考察
lim n ? 0.
n
定义3
设
n 1
n
是复数项级数, 如果正项
级数 n 收敛, 则称级数 n 绝对收敛.
n 1 n 1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数. 绝对收敛级数的性质 定理4 并且 若级数 n 绝对收敛, 则它收敛,
级数收敛的必要条件 推论 证明
n
n 0. 如果级数 n 收敛, 则 lim n
n 1
由定理3及实数项级数收敛的必要
n
n 0. 条件 lim an 0, lim bn 0 知, lim n
n 0 n 发散. 重要结论: lim n
则级数 n 绝对收敛, 并且
n 1
n n n . n1 n1 n1
n 1
n 1
n
n
n .
n 1
n 1
绝对收敛 an 和 bn 都绝对收敛.
n 1 n 1
( 1)n 1 n i 是否绝对收敛? 例 级数 n 2 n 1
解 因为
( 1)n , n n 1
第1篇 复变函数论-第3章 复变函数级数
第3章复变函数级数Anhui University第一章采用微分研究解析函数，第二章采用积分研究解析函数。
级数也是研究解析函数的重要工具，从另外一个侧面揭示解析函数的本质,从而进一步认识解析函数。
中心目标：解析函数与无穷级数的关系。
具体内容：1.有关复级数的概念、性质、定理；2. taylor级数与解析函数的关系及展开方法；3. 洛朗级数和奇点存在的关系及展开方法；4. 孤立奇点的分类3.1 复级数一. 复数项级数1. 复数项级数定义：2. 复数项级数收敛：lim Re lim Re ,Im lim Im .n n n n n n S S S S S S →∞→∞→∞=⇔==注意：复级数可归结为两个实级数的研究。
3. 复数项级数收敛的充要条件：4. 收敛的必要条件：二. 复变函数项级数1.定义：2.收敛与发散：3.一致收敛：4.一致收敛级数的主要性质及判别法则：（1）和函数连续；（2）逐项积分；（3）逐项可导；（4）判别法则；3.2 幂级数一. 幂级数的定义二. 幂级数的敛散性1. 阿贝尔（Abel）定理：2. 推论：3. 收敛圆与收敛半径：4. 收敛半径的计算方法：(1).比值法：1lim ||k k k a R a →∞+=(2).根式法：(3).奇点法：1lim ||k k k R a →∞=0kk z∞=∑求下列幂函数的收敛半径例1. 31k k z k ∞=∑例2. 311lim lim 1k k k k a k a k →∞→∞++⎛⎞==⎜⎟⎝⎠解：注：收敛半径R =1, 也就是级数在圆|z |<1内收敛, 在圆周外发散。
在圆周上发散注：所以收敛半径R =1, 也就是原级数在圆|z |=1内收敛。
在圆周|z |=1上, 级数是收敛的, 因为这是一个p 级数, p =3>1,所以原级数在收敛圆上是处处收敛的。
ln 1k k k kz ∞=∑例3. 2ln 1ln 1ln()(ln )ln ln()01lim ||lim()lim lim lim 1.||k k k k k k k k k k k k k k k k k R k e e e e a −−−−→∞→∞→∞→∞→∞=======解：由根式法：,61)(02∑∞==−+=n nn z C z z z f 2;R =解：由奇点法可锝（1）的收敛半径,)(61)(02∑∞=−=−+=n nn i z C z z z f 例4. 5R =解：由奇点法可锝（2）的收敛半径 即（0,0）到（2,0）之间距离。
复变函数第四章
使级数对一 切Mzn∈收E敛,有,则|f复n(z函)|≤数M项n (级n=数1,2,…fn)(,z而)在且点正集项E上
n1
绝对收敛且一致收敛.
n1
这样的正项级数
M
称为函数项级数
n
fn
(z)
的优级数.
n 1
n1
定理4.6 设级数 fn(z)的各项在点集E上连续,并
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
且一致收敛于f(z)n,则1 和函数 f (z) fn(z)也在E
上连续.
n1
定理4.7 设级数 fn(z)的各项在曲线C上连续,并 n1
且在C上一致收敛于f(z),则沿C可以逐项积分:
C f (z)dz C fn(z)dz n1
定义4.5 设函数fn(z)(n=1,2,…)定义于区域D内,若 级数(4.2)在D内任一有界闭集上一致收敛,则称此 级数在D内内闭一致收敛.
由定理4.7得 c f (z)dz c fn (z)dz 0 n1
于是，由摩勒拉定理知，f(z)在 K 内解析，即
在 z0 D 解析。由于 z0 D 的任意性，
故f(z)在区域 D 内解析。
(2)设z0的某邻域U的边界圆K也在D内，对于z K ,
n1
(z
fn(z) 一致收敛于
f(z),对于E上的每一点z,级数(4.2)均收敛于f(z),则称
f(z)为级数(4.2)的和函数,记为: f (z) fn(z) n1
定义4.4 对于级数(4.2),如果在点集E上有一个函数
f(z),使对任给的ε>0,存在正整数N=N(ε),当n>N时,对
一致切收的 敛于z∈f(Ez均)，有记|作f(z:)-sn(z)|<fεn ,则zz称E 级f z数 (4.，2)在E上其一
4.1级数的基本性质
由于当 z 1时,
lim
n
sn
lim 1 zn n 1 z
1 1
z
,
所以当 z 1时级数收敛.
复数项级数收敛的等价条件
设S a ib为复数.
复数项级数 zn收敛于S n1
an a, bn b .
n1
n1
复数项级数收敛的必要条件
复数项级数 zn收敛于S的必要条件为 n1
lim
则称{zn}收敛于z0，记作
lim
n
zn
z0.
如果序列{zn}不收敛,则称{zn}发散,或称{zn}为发散序列.
复数序列收敛的等价条件
设z0 a ib为复数. 复数列 {zn} (n 1, 2, ) 收敛于 z0
lim
n
an
a,
lim
n
bn
b.
即 序列 {zn} 收敛于 z0 的充要条件是{an}收敛于a 与{bn}收敛于b.
n1 n!
解
因为
(8i)n 8n ,
n! n!
所以由正项级数的比式判别法知:
8n 收敛,
n1 n! 故原级数收敛, 且为绝对收敛.
例7
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n
fn(z) S(z) ,
k 1
或
fn(z) f (z) ,
则称复函数级数 fn (z),或复序列{ fn (z)}在E上 n1
一致收敛于S(z)或f (z).
定义4.1.1 如果 0, N N ,当n N, z E时,
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n(en
2
en )
当 n 时, zn , 所以数列发散.
2、复数项级数的概念
1)定义 设{zn} {xn iyn} (n 1, 2,L )为一复数列,
表达式
zn z1 z2 zn
n1
称为复数项无穷级数.
2）部分和 其最前面 n 项的和 sn z1 z2 zn
记作
lim
n
zn
z0
或 zn z0 (n ) .
若数列{zn }不收敛，则称{zn }发散.
2)复数列收敛的条件
定理 复数列{zn} (n 1,2, )收敛于z0 的充要条件是
lim
n
xn
x0 ,
lim
n
yn
y0 .
该定理说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两 个实数列的敛散性.
例1 下列数列是否收敛, 如果收敛, 求出其极限.
(1)
zn
(1
1
)e
i
n
n
;
(2) zn ncos in .
解
(1) 因为
zn
(1
1
)e
i
s n
n
i sin
), n
所以
xn
(1
1 )cos n
π n
,
yn
(1
1 )sin
nn
.
而
lim
n
xn
1
,
lim
n
yn
0.
数列收敛,
且
lim
n
zn
1
.
(2)
由于
zn
n cos in
lim 8 0 n n 1
8n 收敛,
n1 n!
∴原级数收敛, 且为绝对收敛.
例5
级数
[(1)n n1 n
1 2n
i]是否绝对收敛？
解 因为 (1)n 收敛; n1 n
n1
1 2n
也收敛,
故原级数收敛.
但 (1)n 为条件收敛,
n1 n 所以原级数非绝对收敛.
二 、复变函数项级数
n1 n
n1
n
1 i (1)n 1
n1 n
n1
n
Q 级数 1 发散, n1 n
虽然 (1)n 1收敛,
n1
n
原级数仍发散.
（2 ）
n1
1 n2
(1
i n
)
Q
xn
n1
1 n2
n1
收敛;
n1
yn
1 n3
n1
收敛.
∴原级数收敛
5）级数收敛的必要条件
因为实数项级数 xn和 yn收敛的必要条件是
启示:
判别级数的敛散性时,
可先考察
lim
n
zn
?
0
lim 如 果 n
zn
0,
级数发散;
lim
n
zn
0,
应进一步判断.
6) 绝对收敛与条件收敛
ⅰ）定义 如果 zn 收敛, 那么称级数 zn 为绝对收敛.
n1
n1
非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.
ⅱ）定理 如果级数 zn 收敛, 那么 zn 也收敛.
n1
n1
ⅲ）定理 zn绝对收敛 xn与 yn绝对收敛.
n1
n1
n1
注： zn 的各项都是非负实数, 可用正项级数的审敛法.
n1
例4 级数 (8i)n 是否绝对收敛？
n1 n!
解∵
(8i)n 8n ,
n! n!
由正项级数的比值判别法知:
lim
n
zn1 zn
8n1 n!
lim
n
(n
1)!
8n
s.
4)复数项级数收敛的条件
定理 级数 zn ( xn iyn ) 收敛的充要条件是
n1
n1
xn 和 yn 都收敛.
n1
n1
说明
复数项级数的审敛问题
(定理)
实数项级数的审敛问题
例2 判断下列级数是否收敛？
（1） 1 i2n1
n1 n
（2 ）
1 (1 i )
n2
n1
n
解：（1） 1 i2n1 1 (1)n i
且有 1 1 z z2 zn . 1 z
2. 幂级数
函数项级数的特殊情形， 当fn (z) cn1(z z0 )n1时，
定义幂级数：
n 1, 2,L
cn (z z0 )n c0 c1(z z0 ) c2 (z z0 )2 L cn (z z0 )n L
n0
z0为幂级数的中心.
称为这级数的部分和.
3）和函数
如果对于
D
内的某一点 z0,
极限
lim
n
sn
(
z0
)
s(
z0
)存在,
那么称级数 fn (z) 在 z0 收敛, s(z0 )称为它的和. n1
如果级数在区域D内处处收敛, 那么它的和一定
是 z 的一个函数 s(z) :
s(z) f1(z) f2(z) fn(z)
当z0 =0时，幂级数的形式为： cn zn n0
3、幂级数的敛散性
1）收敛定理 (阿贝尔Abel定理)
如果级数 cn (z z0 )n在z z1处收敛, n0 则对满足 z-z0 z1 z0 的点z对应的级数一定绝对收敛；
如果级数 cn (z z0 )n在z z2处发散, n0
称为级数的部分和.
3）级数收敛与发散的定义
如果部分和数列{sn } 收敛, 那 么 级 数 zn收 敛, n1
并且极限
lim
n
sn
s
称为级数的和.
如果部分和数列{sn } 不收敛, 那 么 级 数 zn发 散.
n1
说明: 与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散
性的基本方法是:
利用极限
lim
n
sn
§4.1 复数项级数
一 、复数项级数
二 、复变函数项级数
一 、复数项级数
1、复数列的极限
1)定义 设{zn} (n 1,2, )为一复数列, 其中
zn xn iyn , 又设 z0 x0 iy0 为一确定的复数,
若 0, 自然数N ,当n N 时，有zn z0 .
则称复数列{zn}收敛于 z0 , 或称{zn }以z0为极限.
n1
n1
lim
n
xn
0
和
lim
n
yn
0.
所以复数项级数 zn收敛的必要条件是
lim
n
zn
0
n1
重要结论:
lim
n
zn
0
级数
n1
zn发散.
例3 判断级数 ein是否收敛？ n1
解：Q
lim
n
zn
lim ein n
lim(cos n i sin n) 0, n
不满足级数收敛的必要条件,
∴原级数发散.
1 、复变函数项级数
1）定义 设 { fn(z)} (n 1,2, ) 为一复变函数序列,
其中各项在区域 D内有定义.表达式
fn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
n1
称为复变函数项级数, 记作 fn(z).
n1
2）部分和 级数最前面n项的和
sn(z) f1(z) f2(z) fn(z)
称为该级数在区域D上的和函数.
例6 求级数 zn 1 z z2 zn
n0
的收敛范围与和函数.
解 级数的部分和为
z
sn
1
1
z z2 zn1
lim
n
sn
1 1
z
1 zn
1 z 级数
, (z 1)
zn 收敛,
n0
z 1
lim zn 0
n
级数 zn 发散.
n0
收敛范围为一单位圆域 z 1,