空间曲线的参数方程ppt课件
合集下载
高等数学课件D852空间曲线
yx0
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
9/16/2019
高等数学课件
ay
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
9/16/2019
xyx2y2 1 z0
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H(xz,y)0 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y
R(yx,z)0
得C 在zox
0
面上的投影曲线方程
x C
T(xy,z)0
0
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C: x2(xy2 1y)2 2 (zz2 11)21
盘龙线
x sin 3t cos t
z
oo
1
x
2y
o
2y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x2z2a2 (3)
x2y2a2 z
a
oo a
y
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y5x1 yx3
z
y5x1
yx3 o
y
9/16/2019
高等数学课件
ay
x
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
xx(t) yy(t) zz(t)
称它为空间曲线的 参数方程.
z
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
M
o
x yz a a vtsci o ntts令t,bv
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
9/16/2019
xyx2y2 1 z0
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H(xz,y)0 0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y
R(yx,z)0
得C 在zox
0
面上的投影曲线方程
x C
T(xy,z)0
0
9/16/2019
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C: x2(xy2 1y)2 2 (zz2 11)21
盘龙线
x sin 3t cos t
641空间曲线及其方程 PPT资料共20页
第六章
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程 四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
18.09.2019
1
目录
上页
下页
返回
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2 G (x,y,z)0L
S1
17
目录
上页
下页
返回
(6) 上 半 球 0 za 2 x 2 y 2 与 圆 柱 体 x 2 y 2 a x (a 0 )
的 公 共 部 分 在 x o y 面 和 x o z 面 上 的 投 影 .
z
z
ay x xz20y2 ax
ay x
x2z2a2 (x0, z0) y0
一般方程（三元方程组）
或参数方程 (如, 圆柱螺线) • 曲面的参数方程
• 求投影曲线
课外练习
习题6－4 1；2；5；7；8；10
18.09.2019
13
目录
上页
下页
返回
思考与练习
1. 展示空间图形
x1 (1)
y2
z
z 4x2y2
(2)
yx0
z
oo
1
x
18.09.2019
2y
14
o
2y
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
18.09.2019
8
目录
上页
下页
返回
又如, xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
18.09.2019
9
目录
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、曲面的参数方程 四、空间曲线在坐标面上的投影
五、小结与思考练习
18.09.2019
1
目录
上页
下页
返回
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2 G (x,y,z)0L
S1
17
目录
上页
下页
返回
(6) 上 半 球 0 za 2 x 2 y 2 与 圆 柱 体 x 2 y 2 a x (a 0 )
的 公 共 部 分 在 x o y 面 和 x o z 面 上 的 投 影 .
z
z
ay x xz20y2 ax
ay x
x2z2a2 (x0, z0) y0
一般方程（三元方程组）
或参数方程 (如, 圆柱螺线) • 曲面的参数方程
• 求投影曲线
课外练习
习题6－4 1；2；5；7；8；10
18.09.2019
13
目录
上页
下页
返回
思考与练习
1. 展示空间图形
x1 (1)
y2
z
z 4x2y2
(2)
yx0
z
oo
1
x
18.09.2019
2y
14
o
2y
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
18.09.2019
8
目录
上页
下页
返回
又如, xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
18.09.2019
9
目录
第四节-空间曲线及其方程
x y x2 y2 1 z 0
目录 上页 下页 返回 结束
P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
目录 上页 下页 返回 结束
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0
目录 上页 下页 返回 结束
P51 题 7
z
z
O
ay x xz20y2 ax
O
ay x
z a2 ax (x 0 , z 0)
y0
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
随着 t
目录 上页 下页 返回 结束
例 1 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z
轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在xoy面的投影M ( x, y,0)
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F (x, y, z) 0
8_4空间曲线
第四节 空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
第八章
三、空间曲线在坐标面上的投影
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为
S2
S1
G ( x, y , z ) 0
L F ( x, y , z ) 0
z
例如,方程组 C
2
表示圆柱面与平面的交线 C.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
C:
消去 z 得柱面 H(x,y) = 0, 此柱面包含C; 柱面 H(x, y)=0与 xoy 面的交线
z
C
y
H ( x, y ) 0 z0
包含 C 在 xoy 面上的投影曲线C’.
x
C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例如, 和锥面 上半球面 二者交线在xoy 面上的投影曲线. 二者交线
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
机动
目录
上页
下页
返回
结束
o
x
机动 目录 上页
1 y
下页 返回 结束
又如, 方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
z
C
y
x
C
以C 为准线，母线平行于 z轴的柱面 叫做 C 关于 xoy 面的投影柱面; 投影柱面与 xoy 面的交线 C’ 叫做C 在 xoy 面上的投影曲线.
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
第八章
三、空间曲线在坐标面上的投影
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为
S2
S1
G ( x, y , z ) 0
L F ( x, y , z ) 0
z
例如,方程组 C
2
表示圆柱面与平面的交线 C.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
C:
消去 z 得柱面 H(x,y) = 0, 此柱面包含C; 柱面 H(x, y)=0与 xoy 面的交线
z
C
y
H ( x, y ) 0 z0
包含 C 在 xoy 面上的投影曲线C’.
x
C
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例如, 和锥面 上半球面 二者交线在xoy 面上的投影曲线. 二者交线
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
机动
目录
上页
下页
返回
结束
o
x
机动 目录 上页
1 y
下页 返回 结束
又如, 方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
z
C
y
x
C
以C 为准线，母线平行于 z轴的柱面 叫做 C 关于 xoy 面的投影柱面; 投影柱面与 xoy 面的交线 C’ 叫做C 在 xoy 面上的投影曲线.
曲线的参数方程 课件
【解】 如图，设 OQ 是经过原点的任意一条弦，
OQ 的中点是 M(x，y)，设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 θ，取 θ 作
为参数，已知圆的圆心是 O′，O′(a,0)⊥OO′，那么|OM|＝acos θ，
所以xy＝＝||OMMM′′||＝＝||OOMM||csoins
名师点评
(1)消去参数的常用方法． ①如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、 加减消元法． ②如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之 前要做必要的变形．
③另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如 sin2α＋cos2α ＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，11＋－kk222＋1＋2kk22＝1 等．
θ＝acos2θ， θ＝acos θsin
θ，
(θ 为参数)
这就是所求轨迹的参数方程．
名师点评
引入参数 θ 后，根据圆的中点弦的性质结合变量 x，y 的几何 意义，用半径 a 及参数 θ 表示坐标 x，y 即可得出曲线的参数方程．
要点二 圆的参数方程的应用 1.圆的参数方程
(1)圆心在原点，半径为 r 的圆的参数方程为
标是(x，y)，那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角
函数定义，有 cos ωt＝xr，sin ωt＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r
的圆的参数方程为xy＝＝rrcsions
ωt， ωt
(t 为参数)，其中参数 t 的物理
意义是__质___点__作__匀__速__圆__周__运__动__的__时__刻_____．
特别提醒
参数 t 是联系 x，y 的桥梁，它可以有物理意义或几何意义， 也可以是没有明显实际意义的变数．
问题探究 1：参数方程与普通方程有什么区别和联系？ 提示：
空间曲线的参数方程
2 2Fra bibliotek2
MA z
亦即 ( x 4) y z
z
( x 4) 2 y 2 0
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 ( x 4) y 0
2 2
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解： （1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 (a,0,0), (a,0,0) ，设动点 M ( x, y, z ) ， 所求的轨迹为 C ，则
解：上述二图形的公共点的坐标满足
x 2 y 2 2x 0 y 2 c( 2 c) x c x c
从而： （Ⅰ）当 0 c 2 时，公共点的轨迹为：
y c(2 c) x c
即为两条平行轴的直线； （Ⅱ）当 c 0 时，公共点的轨迹为：
及
y c(2 c) x c
y 0 x 0
（Ⅲ）当 c 2 时，公共点的轨迹为：
即为 z 轴；
y 0 x 2
即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；
（Ⅳ）当 c 2 或 c 0 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1） x y 16 z 64 ；
（* ）
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（2）由已知，球面半径 R 所以类似上题，得球面方程为
MA z
亦即 ( x 4) y z
z
( x 4) 2 y 2 0
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为 ( x 4) y 0
2 2
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解： （1）取二定点的连线为 x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的 常数为 m ，二定点的距离为 2a ，则二定点的坐标为 (a,0,0), (a,0,0) ，设动点 M ( x, y, z ) ， 所求的轨迹为 C ，则
解：上述二图形的公共点的坐标满足
x 2 y 2 2x 0 y 2 c( 2 c) x c x c
从而： （Ⅰ）当 0 c 2 时，公共点的轨迹为：
y c(2 c) x c
即为两条平行轴的直线； （Ⅱ）当 c 0 时，公共点的轨迹为：
及
y c(2 c) x c
y 0 x 0
（Ⅲ）当 c 2 时，公共点的轨迹为：
即为 z 轴；
y 0 x 2
即过 (2,0,0) 且平行于 z 轴的直线；
（Ⅳ）当 c 2 或 c 0 时，两图形无公共点。 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1） x y 16 z 64 ；
（* ）
( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 3) 2 36
（2）由已知，球面半径 R 所以类似上题，得球面方程为
曲线的参数方程课件
(1)x＝12sin2θ， (θ为参数)； y＝sinθ＋cosθ
x＝1t ， (2)y＝1t t2－1
(t为参数)．
【分析】 观察题目的特点．(1)可用代入消元法．(2)可用加 减消元法，在转化过程中要保证等价性．
【解】 (1)由y2＝(sinθ＋cosθ)2 ＝1＋sin2θ＝1＋2x， ∵－12≤12sin2θ≤12，
2．圆的参数方程 (1)圆 x2＋y2＝r2 的参数方程通常写为________(θ 为参数)． (2) 圆 (x － a)2 ＋ (y － b)2 ＝ r2 的 参 数 方 程 通 常 写 为
x＝a＋rcosθ， y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
3．曲线的普通方程和参数方程的互相转化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般 地，可以通过________而从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如________， 把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系________，那么 ________，就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使 x，y 的________保持一致.
往往需要消去参数，化为普通方程，消参的主要方法有代入消元
法，利用三角恒等式消参法两种．
(2)由普通方程化为参数方程
有时为了求变量的范围或求最值我们还需要把曲线的普通方
程化为参数方程．如：椭圆
x2 a2
＋
y2 b2
＝1就可以化为参数方程
x＝acosθ， y＝bsinθ
(θ为参数)．
应注意：普通方程化为参数方程时，由于选参不同，参数方
2．圆的参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程中参数θ的几何意义 圆x2＋y2＝r2的参数方程为
曲线的参数方程PPT
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
(*)
t的几何意义：|t|=|M0M|
探究
直线与曲线y
f
(
x)交于M1,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1 , t2 .
(1)曲线的弦M1M
的长是多少？
2
（2）线段 1：设直线的参数方程：
A、一个定点
B、一个椭圆
C、一条抛物线
D、一条直线
4．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速运动，
角速度为 rad / s .试以时间 t 为参数，建立质点运动轨
60
迹的参数方程。
直线的参数方程
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，
倾斜角，求这条直线的方程.
所以，该直线的参数方程为
那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程，其中变
量t叫做参数．
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y v0
o
x
例1、已知曲线C的参数方程{ y
x
3t 2t 2
(t为参数) 1
(1)、判断点M1(0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
y
A
M(x,y)
o
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的
函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯
一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标
x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是
曲线的参数方程资料课件
曲线类型及特点概述
直线 圆 椭圆
实际应用场景举例
01
物理学
02
工程形式 几何意义 举例
圆和椭圆参数方程
圆的标准形式
椭圆的标准形式
几何意义
举例
双曲线与抛物线参数方程
双曲线的标准形式
抛物线的标准形式
几何意义
举例
螺旋线与其他特殊曲线
手绘技巧分享
01
02
基础绘图工具使用
参数方程是通过引入一个或多个参数 来表示曲线上点的坐标的一种方程形 式。
常见的曲线参数方程
包括直线的参数方程、圆的参数方程、 椭圆的参数方程等。
参数方程中参数的几何意义
参数在参数方程中通常具有几何意义， 如角度、时间等，反映了曲线上点的 位置或运动状态。
参数方程与普通方程的互化
掌握参数方程与普通方程之间的互化 方法，便于不同问题之间的转换和解 决。
拓展延伸：三维空间曲线参数方程简介
三维空间曲线参数方程的概念
01
三维空间曲线参数方程的表示方法
02
三维空间曲线参数方程的应用
03
THANKS
感谢观看
曲线绘制要点
03 细节处理技巧
计算机辅助绘图软件介绍
常用绘图软件简介
01
软件在参数方程绘图中的应用
02
绘图软件使用技巧
03
典型错误分析及避免方法
曲线绘制中的常见错误
错误原因分析及解决方法
物理学中运动轨迹描述
抛物线运动
圆周运动
振动与波动
工程设计中优化问题求解
最短路径问题
结构优化问题 参数化建模
计算机图形学中模型构建
三维曲线绘制
利用参数方程在计算机图形学中 绘制三维曲线，如螺旋线、贝塞
参数方程的概念(课件)
对于参数方程 x = a*cos(t), y = a*sin(t) (其中 t 为参数)，可 以通过分离参数 t，得到简单 方程 tan(t) = y/x，进而求解 x 和 y。
参数代入法
01 总结词
通过将参数方程中的参数代入 到已知的函数或表达式中，求 解未知数。
02
详细描述
参数代入法的基本思想是将参 数方程中的参数代入到已知的 函数或表达式中，从而得到一 个关于未知数的简单方程。这 个简单方程通常比较容易求解 ，从而得到原参数方程的解。
在计算机图形学中，参数方程被广泛应用于动画制作和游戏开发 等领域。
在经济学中的应用
在经济学中，参数方程可以用来描述经济数据的趋势和变化规律。
在生物学中的应用
在生物学中，参数方程可以用来描述生物种群的增长规律和生态系 统的平衡状态。
03
参数方程的求解方法
消去参数法
总结词
通过消去参数，将参数方程转化为普通方程，从 而求解未知数。
通过参数的变化，可以描述曲线的几 何性质和动态变化。
x=x(t), y=y(t) 或 x=x(t), y=y(t), z=z(t)，其中 t 是参数。
参数方程的表示形式
平面参数方程
在平面直角坐标系中，如果用参数 t 表示曲线上点的横坐标和纵坐标，则平面 参数方程可以表示为 x=x(t), y=y(t)。
2. 通过代数方法消去 参数 t；
3. 得到直角坐标方程 。
02
参数方程的应用
在几何图形中的应用
描述平面曲线
参数方程可以用平面曲线的几何 性质和形状，通过参数的变化来 描述曲线上的点。
旋转和放缩
通过参数方程，我们可以方便地 实现图形的旋转和放缩，从而得 到不同角度和大小的图形。
空间曲线参数方程(第五讲)
第五讲 空间曲线参数方程一、求空间曲线(,,)0(,)0F x y zG x y =ìG í=î：的参数方程方法1；若把(,)0G x y =看做xoy 平面上的曲线方程，其参数方程已知，再将他们代入方程(,,)0F x y z =中，解出z ，就可以得到空间曲线G 的参数方程．例1．设空间曲线2222222x y z a x y bì++=G í+=î：，()0a b ³>，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2222x y z a ++=与圆柱222x y b +=的交线，由圆周222x y b +=的参数方程得到cos sin x b t y b t =ìí=î，(02)t p ££ 将222x y b +=代入球面方程得到222z a b =-， 于是交线方程为cos sin x b t y b t z =ìï=íï=î． 方法2：把变量x ，y 之一看作参数，如另x t =，由(,)0G x y =解出y ，再将它们代入方程(,,)0F x y z =，解出z 即可得到空间曲线G 的参数方程． 例2．设空间曲线2222259x y z x y ì++=G í+=î：，求其参数方程． 解：空间曲线是球面2225x y z ++=与平面429x y +=的交线，它是空间平面429x y +=上的一个圆周．以t 为参数，令x t =，则由平面方程得到 922y t =-， 将x ，y 代入球面方程得22229615(2)18524z t t t t =---=--， 即z =U n R e i s t e r e d由26118504t t --³，得到18181010t +££，因此空间曲线参数方程为922x t y t z ìï=ïï=-íïï=ïî． 例3．设空间曲线2229x y z y z ì++=G í=î：，求其参数方程． 解：将y z =代入方程2229x y z ++=中，得 2229x z += 该椭圆参数方程为x t =，3sin z t =，(02)t p ££ 于是空间曲线的参数方程为3sin x t y t z t ì=ïïï=íïï=ïî， (02)t p ££． 例4． 设空间曲线222(1)(1)40x y z z ì+++-=G í=î：，求其参数方程． 解：因为0z =，则22(1)3x y ++=，令1x t =-，y t =，于是得参数方程为10x t y t z ì=-+ïï=íï=ïî (02)t p ££， 例5．设空间曲线22290x y z x y z ì++=G í++=î：，求其参数方程． U n R e g i s t e r e d解：将z x y =--代入方程2229x y z ++=中，得到柱面方程 2292x y xy ++=， 作极坐标变换cos sin x r t y r t=ìí=î，将其代入到2292x y xy ++=中得到 229sin cos 2r r t t +=因此 2921sin cos r t t =+，即r = 于是曲线的参数方程为x y z ì=ïïïï=íïï=ïïî U n R e g i t e r e d。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点 M1绕 z 轴旋转, 则
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
6
目录 上页 下页 返回 结束
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
7
目录 上页 下页 返回 结束
又如, xOz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
O
2y
1
x
O
2y
x
13
目录 上页 下页 返回 结束
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a Oa
x
y
14
目录 上页 下页 返回 结束
P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 O
y
x
15
目录 上页 下页 返回 结束
zx
y 0
x2
y2
1
19
目录 上页 下页 返回 结束
x O 1y
2
目录 上页 下页 返回 结束
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
C
3
目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M O
18
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面 与平面
x y z 1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
xz
x2 yz
y2 1
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为
y0
9
目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C
:
x2
x2
y2 z2 ( y 1)2
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y x
10
目录 上页 下页 返回 结束
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
8
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z0
O
y
消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程
C
R(y, z) 0
x
x0
消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
T (x, z) 0
P36 题2(2)
z
x2 y2 1 49 y3
思考: 对平面 y b
O 2 x
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
16
目录 上页 下页 返回 结束
P37 题 7
z
z
O x xz20y2 ax
O
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
17
目录 上页 下页 返回 结束
作业 P36 3，4，5，6, 8
x y
上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
4
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
5
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求空间曲线 :
时的旋转曲面方程 . 解:
转过角度 后到点
绕 z 轴旋转
二者交线
z
在 xOy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
CO 1 y x
11
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
12
目录 上页 下页 返回 结束
答案: P36 题1
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
6
目录 上页 下页 返回 结束
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
7
目录 上页 下页 返回 结束
又如, xOz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
O
2y
1
x
O
2y
x
13
目录 上页 下页 返回 结束
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a Oa
x
y
14
目录 上页 下页 返回 结束
P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 O
y
x
15
目录 上页 下页 返回 结束
zx
y 0
x2
y2
1
19
目录 上页 下页 返回 结束
x O 1y
2
目录 上页 下页 返回 结束
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
C
3
目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M O
18
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面 与平面
x y z 1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
xz
x2 yz
y2 1
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为
y0
9
目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C
:
x2
x2
y2 z2 ( y 1)2
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y x
10
目录 上页 下页 返回 结束
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
8
目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z0
O
y
消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程
C
R(y, z) 0
x
x0
消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
T (x, z) 0
P36 题2(2)
z
x2 y2 1 49 y3
思考: 对平面 y b
O 2 x
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
16
目录 上页 下页 返回 结束
P37 题 7
z
z
O x xz20y2 ax
O
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
17
目录 上页 下页 返回 结束
作业 P36 3，4，5，6, 8
x y
上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
4
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
5
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求空间曲线 :
时的旋转曲面方程 . 解:
转过角度 后到点
绕 z 轴旋转
二者交线
z
在 xOy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
CO 1 y x
11
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
12
目录 上页 下页 返回 结束
答案: P36 题1