空间曲线的参数方程ppt课件
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空间曲线PPT课件
曲线的对称性与旋转性
对称性
空间曲线具有对称性，即曲线可以通过旋转 、平移、镜像等方式保持不变。
旋转性
空间曲线可以绕某一直线旋转，旋转后得到 的曲线与原曲线形状相同或相似。
04
CATALOGUE
空间曲线在几何图形中的应用
在解析几何中的应用
空间曲线是解析几何中的重要 概念，用于描述三维空间中点 的运动轨迹。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
挠率
描述曲线在某一点处的扭曲程度，计算公式为τ=lim(Δs趋向于0)Δα/Δs，其中Δα为曲线在某一点处 的切线转角，Δs为曲线在某一点处的弧长增量。
空间曲线及其方程
螺距 h 2b
三、空间曲线在坐标面上的投影
（以后在求三重积分和曲面积分时需要确定 一个立体或曲面在坐标面上的投影）
z
问题：求已知曲线C在xoy面上的 C •( x, y, z)
投影曲线C的方程.
注意：一个点与其在xoy面上的 投影点的x,y坐标相同.
o
y
x C •( x, y,0)
所以求曲线在xoy面上的投影曲线的方程就是 求原曲线上点x,y坐标的关系.
解:
z 取时间t为参数， 动点从点A出
发，经过时间t，运动到点M.
M( x, y, z)在xoy面的投影为M( x, y,0).
t
oM •
x A M y
x acost y a sint
z vt
螺旋线的 参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
( t,
b v)
xoy面 上 的 投 影.
z
解: 半球面和锥面的交线为
C
:
z
4 x2 y2,
z 3( x2 y2 ),
o 1y x
消去 z 得投影柱面 x2 y2 1,
则交线 C 在 xoy 面上的投影为 x2 y2 1, z 0.
所求立体在xoy 面上的投影为
x2 y2 1,
z 0.
空间曲线及其方程
解
z a2 x2 y2
上半球面,
2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
t
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,
2 2 z x y 6 、旋转抛物面 (0 z 4 ) 在 xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在zox 面上的投影为__________.
z a2 x2 y2
上半球面,
2 a 2 a 圆柱面, ( x ) y2 2 4
交线如图.
二、空间曲线的参数方程
x x( t ) y y( t ) 空间曲线的参数方程 z z(t )
当给定 t t1 时，就 得到曲线上的一个点
( x1 , y1 , z1 ) ，随着参数的变化可得到曲线上的全
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
t
o
x A
M
x a cos t y a sin t z vt
y
M
螺旋线的参数方程
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos y a sin v z b ( t , b )
螺旋线的重要性质：
即 : 0 0 ,
2 2 z x y 6 、旋转抛物面 (0 z 4 ) 在 xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在zox 面上的投影为__________.
空间曲线的参数方程
2 2 2 2 2 2 2 2
即： b x a y a z a b
2 2 2 2 2 2 2
2
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
( x c) 2 y 2 z 2 ( x c) 2 y 2 z 2 2a
（3）曲面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
分别为：
x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 4 y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 亦即 , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。
2 2 2 2 2 2 2
上式即为所要求的动点的轨迹方程。 （2 ） 建立坐标系如 （1 ） ， 但设两定点的距离为 2c ， 距离之和常数为 2a 。 设动点 M ( x, y, z ) ， 要求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
即： b x a y a z a b
2 2 2 2 2 2 2
2
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点 M ( x, y, z ) ，所求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
( x c) 2 y 2 z 2 ( x c) 2 y 2 z 2 2a
（3）曲面 x 4 y 16 z 64 与 xoy 面 ( z 0) ， yoz 面 ( x 0) ， zox 面 ( y 0) 的交线
2 2 2
分别为：
x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 x 2 4 y 2 16 z 2 64 , , z 0 x 0 y 0 x 2 4 y 2 64 4 y 2 16 z 2 64 x 2 16 z 2 64 亦即 , , z 0 x 0 y 0 即为中心在原点，实轴在 x 轴，且处在 xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在 x 轴上，且处在 zox 面上的双曲线。
2 2 2 2 2 2 2
上式即为所要求的动点的轨迹方程。 （2 ） 建立坐标系如 （1 ） ， 但设两定点的距离为 2c ， 距离之和常数为 2a 。 设动点 M ( x, y, z ) ， 要求的轨迹为 C ， 则 M ( x, y, z ) C
一、曲线的参数方程
感谢您的观看
线的性质。
参数方程与立体几何的关系
要点一
参数方程表示三维空间中的曲面
通过引入更多的参数，参数方程可以用来描述三维空间中 的曲面，这些曲面可以是球面、旋转曲面等。
要点二
参数方程与球面坐标和柱面坐标 的转换
在研究某些特殊类型的曲面时，可以将参数方程转换为球 面坐标或柱面坐标，以便更好地描述曲面的形状和性质。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
直线的参数方程通常用于表示直线上的点，其中 t 是参数，x(t) 和 y(t) 是关于 t 的函数。通过给定不同的参数值，可以在直线上找到对应的点。
圆
总结词
圆的参数方程通常表示为 x = x0 + r*cos(t)，y = y0 + r*sin(t)，其中 (x0, y0) 是圆 心，r 是半径，t 为参数。
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
线的性质。
参数方程与立体几何的关系
要点一
参数方程表示三维空间中的曲面
通过引入更多的参数，参数方程可以用来描述三维空间中 的曲面，这些曲面可以是球面、旋转曲面等。
要点二
参数方程与球面坐标和柱面坐标 的转换
在研究某些特殊类型的曲面时，可以将参数方程转换为球 面坐标或柱面坐标，以便更好地描述曲面的形状和性质。
通过参数t将曲线上的点与实数轴上的点一一对应起来。
参数方程的表示形式
显式参数方程
x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)的形式，其中 x、y、z是参数t的函数。
隐式参数方程
通过方程F(x,y,z)=0表示，其中F是参 数t的函数。
参数方程与直角坐标方程的转换
直角坐标方程
01
通过x、y、z来表示曲线上点的坐标。
直线的参数方程通常用于表示直线上的点，其中 t 是参数，x(t) 和 y(t) 是关于 t 的函数。通过给定不同的参数值，可以在直线上找到对应的点。
圆
总结词
圆的参数方程通常表示为 x = x0 + r*cos(t)，y = y0 + r*sin(t)，其中 (x0, y0) 是圆 心，r 是半径，t 为参数。
参数方程与解析几何的关系
参数方程是解析几何的基本工具 之一
在解析几何中，参数方程被广泛应用于描述几何图形， 它提供了比直角坐标方程更加灵活和方便的描述方式。
双曲线参数方程课件
应用拓展 随着各领域的不断发展，双曲线参数方程的应用 范围将不断拓展，为解决实际问题提供更多有效 的方法。
理论完善 随着研究的深入，双曲线参数方程的理论基础将 不断完善，为数学和其他学科的发展提供更多支 持。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
参数方程的形式
双曲线的参数方程一般形
式为
x=a*cosθ,
y=b*sinθ，其中a和b是
常数，θ是参数。
双曲线参数方程的证明
证明方法
利用双曲线的标准方程和 三角函数的性质，通过代 数运算证明参数方程的正 确性。
证明过程
首先将双曲线的标准方程 转化为极坐标形式，然后 利用三角函数的转换公式， 推导出参数方程。
实例一：特定双曲线的参数方程
总结词
通过具体双曲线的参数方程，展 示双曲线的几何特性。
详细描述
选取一个具体的双曲线，如x^2 y^2 = 1，通过参数方程的形式， 展示双曲线的标准方程、焦点位 置、离心率等几何特性。
实例二：参数变化对双曲线形状的影响
总结词
分析参数变化对双曲线形状的影响。
详细描述
通过改变双曲线参数方程中的参数，观察双曲线形状的变化，如焦点距离、开 口大小等，从而理解参数在双曲线形状中的作用。
02
参数方程通常由两个方程组成， 一个表示x坐标，一个表示y坐标， 并且包含一个参数t。
理论完善 随着研究的深入，双曲线参数方程的理论基础将 不断完善，为数学和其他学科的发展提供更多支 持。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
参数方程的形式
双曲线的参数方程一般形
式为
x=a*cosθ,
y=b*sinθ，其中a和b是
常数，θ是参数。
双曲线参数方程的证明
证明方法
利用双曲线的标准方程和 三角函数的性质，通过代 数运算证明参数方程的正 确性。
证明过程
首先将双曲线的标准方程 转化为极坐标形式，然后 利用三角函数的转换公式， 推导出参数方程。
实例一：特定双曲线的参数方程
总结词
通过具体双曲线的参数方程，展 示双曲线的几何特性。
详细描述
选取一个具体的双曲线，如x^2 y^2 = 1，通过参数方程的形式， 展示双曲线的标准方程、焦点位 置、离心率等几何特性。
实例二：参数变化对双曲线形状的影响
总结词
分析参数变化对双曲线形状的影响。
详细描述
通过改变双曲线参数方程中的参数，观察双曲线形状的变化，如焦点距离、开 口大小等，从而理解参数在双曲线形状中的作用。
02
参数方程通常由两个方程组成， 一个表示x坐标，一个表示y坐标， 并且包含一个参数t。
常见曲线的参数方程
椭圆性质
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
参数方程优点
参数方程能够方便地描述一些难以用 显式方程或隐式方程表示的曲线，如 螺旋线、摆线等。同时，参数方程也 便于进行曲线的变换和计算。
直线与圆参数方程
02
直线参数方程
• 一般形式：对于直线 $Ax + By + C = 0$，其参数方程可 表示为
直线参数方程
• 标准形式：对于经过原点的直线 $y = kx$，其参 数方程可简化为
直线参数方程
$left{ begin{array}{l} x = tcosalpha
椭圆有两个焦点，任意一点到两焦点 的距离之和等于长轴的长度；椭圆关 于中心对称，也关于两焦点所在的直 线对称。
椭圆参数方程推导
参数方程形式
$x = acostheta, y = bsintheta$，其中$theta$为参数，表 示与$x$轴的夹角。
推导过程
由椭圆的标准形式，设$x = acostheta$，代入椭圆方程可得 $y = pm bsqrt{1 - frac{x^2}{a^2}} = pm bsqrt{1 cos^2theta} = pm bsintheta$。由于椭圆关于$x$轴对称， 故取正号，得到椭圆的参数方程。
参数方程定义
参数方程是一种通过引入参数来表示 变量间关系的方程形式。在参数方程 中，曲线的坐标被表示为参数的函数 。
参数方程优点
参数方程能够方便地描述一些难以用 显式方程或隐式方程表示的曲线，如 螺旋线、摆线等。同时，参数方程也 便于进行曲线的变换和计算。
直线与圆参数方程
02
直线参数方程
• 一般形式：对于直线 $Ax + By + C = 0$，其参数方程可 表示为
直线参数方程
• 标准形式：对于经过原点的直线 $y = kx$，其参 数方程可简化为
直线参数方程
$left{ begin{array}{l} x = tcosalpha
空间曲线参数方程
空间曲线参数方程
空间曲线参数方程指的是将一条曲线在三维空间中的轨迹用参数方程的形式表示出来。具体地说，对于一条空间曲线，可以将其表示为三个关于一个参数t的函数，即：
x=x(t)。
y=y(t)。
z=z(t)。
其中，x(t)、y(t)、z(t)分别表示曲线在三个坐标轴方向上的变化。通过改变参数t的取值范围，可以表示出曲线上所有点的坐标。例如，如果t取值范围为0到1，那么当t=0时，曲线上的点就是
(x(0),y(0),z(0))，当t=1时，曲线上的点就是(x(1),y(1),z(1))。
空间曲线参数方程有很多应用，例如在计算机图像学中，可以使用参数方程来表示曲线的轨迹，从而实现曲线的绘制和变形。在数学中，参数方程也可以用来描述空间曲线的几何特征，例如曲线的弧长、曲率等。
同济第五版高数下第七章课件
z a2 x2 y2 2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
表示怎样的曲线？
解 z
a x y
2 2
2
表示上半球面,
(x a 2 ) y
2 2
a
2
4
是圆柱面,
交线如图.
二、空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程
x x(t ) y y(t ) z z(t )
在xoy面上的投影为
x y 1 . z 0
2 2
作 业
p.324 习题7－4
3；4；8.
思考题
2
开口向上
2
求椭圆抛物面 2 y x z 与抛物柱面
2 x
2
z 的交线关于 xoy 面的投影柱面和
在 xoy 面上的投影曲线方程.
母线平行于y轴
思考题解答
2 y x z , 交线方程为 2 2 x z
2 2
z
y
x
消去z,得投影柱面
x y 1,
2 2
( t为 参 数 )
当给定 t
( x 1 , y 1 , z 1 ),
t1
时,就得到曲线上的一个点
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随着参数的变化可得到曲线上的
全部点.
例3 如果空间一点M在圆柱面 x y a 上以角速度 绕z轴旋转,同时又以线速度v 沿平行于z轴上升，那么点M构成的图形叫做 螺旋线. 试建立其参数方程. z 取时间t为参数， 动点从A点出发, 解 经过t 时间，运动到M点. M 在 xoy 面的投影 M ( x , y , 0 )
7_7空间曲线
2 3 在点 M (1, 1, 1) 处的切线 x t , y t , z t 例. 求曲线
方程与法平面方程.
解： x 1, y 2 t , z 3 t 2 , 点(1, 1, 1) 对应于 思考: 光滑曲线 y ( x) 因此所求切线方程为 : z ( x) x 1 y 1 z 1 的切向量呢 ? 2 1 3 xx 法平面方程为 答: : y ( x) ( x 1) 2 ( y 1) 3( z 1) 0 z ( x) 即 x 2 y 3z 6 切向量 T (1, , ) 故点M 处的切向量为 T (1, 2, 3)
且有 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t点可导， r ( t ) ( x( t ), y( t ), z( t )).
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
切线方程
x x0 y y0 z z0 y(t0 ) z ( t0 ) x(t0 )
法平面方程 x ( t 0 )( x x0 ) y ( t 0 )( y y0 ) z ( t 0 )( z z0 ) 0
五、空间光滑曲线C的弧长为
s
空间曲线及其方程
y2
4x
0.
解 消去 x,得母线x平 轴行 的于 柱面方程
5 y 2 5 z 2 2 z ,即 0y 2 ( z 2 ) 2 4 ,
消z,去 得母线 z轴 平 的 行 柱 y2 于 面 4x0,方
于是所给曲母 线线 方平 程 x轴 行 化 z与 轴 于 为的柱
面的交线方程为
y2 z2 4z,
x
所围圆域: x2y21,z0.
求两曲面交线
求投影曲线所 围区域
求投影曲线
椭圆抛x物 2y面 22z在各坐标面上的
40
z 20
10
5
0y
0
-5
-10 -10
-5 0
x
5 10
单叶双曲面在各坐标面上的投影
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
1y
x2 y2 1, z 0.
x2y2z2 1
例6 求曲线 z12
在坐标面上的 . 投
解 (1 )消去 z后 变 x 得 2y2 量 3 41
在 xOy面上的投影为圆周
0.5 z
1
0
0.5
y 0
x2
y2
3, 4
-0.5
空间曲线及其方程28372PPT学习教案
.
.
x2 y2 1
.
o
. .
y
x
z =0
2
第9页/共20页
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程：GF((xx,,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得： H ( x, y) 0
曲线C关于xoy的投影柱面
空间曲线C在 xoy面上的投影曲线
H(x, y) 0
z
0
第10页/共20页
y
0
第12页/共20页
x2 y2 z2 1
例1 影.
求曲线
z
1 2
解 消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在xoy 面上的投影
为
x2
y2
3 4,
z 0
在xoy坐标面上的投
第13页/共20页
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影 .
空
关
间 立
键体
是
确
立
轮曲
廓面
线
第14页/共20页
.
o
. .
y
x
z =0
2
第11页/共20页
类似地：可定义空间曲线 C：
F(x, y,z) 0
G( x, y, z) 0
空间曲线C在 xoy面上的投影曲线
空间曲线的参数方程
空间曲线的参数方程
空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以用参数方程来描述。参数方程是一种通过引入参数来表示曲线上的点的方法，其能够提供曲线上点的位置和方向的信息。本文将介绍空间曲线的参数方程，并探讨其应用。
一、什么是参数方程
参数方程是一种用参数表示曲线上各点的位置坐标的方法。在平面坐标系中，一般用 x 和 y 来表示点的位置，而在三维空间中，可以引入第三个参数 z 来表示点的高度坐标。因此，空间曲线的参数方程通常可以写成以下形式：
x = f(t)
y = g(t)
z = h(t)
其中，x、y、z 分别表示曲线上点的横坐标、纵坐标和高度坐标，f(t)、g(t) 和 h(t) 则是参数 t 的函数。通过给定不同的参数值 t，可以得到曲线上对应的点的位置。
二、参数方程的应用
参数方程在几何学中有广泛的应用，尤其在描述曲线和曲面时非常方便。下面以几个具体的例子来说明参数方程的应用。
1. 直线的参数方程
考虑一条直线 L，过点 A 和 B 的两个不同位置。可以使用参数方程来表示直线上的点。
假设 A 的坐标为 (x₁, y₁, z₁)，B 的坐标为 (x₂, y₂, z₂)。则直线
L 的参数方程可以表示为：
x = x₁ + t(x₂ - x₁)
y = y₁ + t(y₂ - y₁)
z = z₁ + t(z₂ - z₁)
其中，t 是参数，可以取任意实数。当 t 取不同的值时，可以得到直线上不同位置的点。
2. 圆柱面的参数方程
圆柱面是一种常见的曲面，在三维空间中可以使用参数方程来表示。假设圆柱面的中心点为 (a, b, c)，半径为 r，高度为 h，则圆柱面的参数
参数方程1 PPT
θ.这样点 P 的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．空间的
点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上
述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)．有序数
组(r，φ，θ)叫做点 P 的球坐标，其中 r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2
π.
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基 础
1．极坐标系中，点的极坐标是唯一的．( )
点
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考 频分析2012年课标地区真题卷情况．
► 探究点一 平面直角坐标系中图象的变换
例 1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 φ：
点 面 讲
x′＝2x， 3y′＝y.
考 点
(1)求点 A(－12，3)经过 φ 变换所得的点 A′的坐标；
(2)曲线 C 经过 φ 变换后所得到曲线 C′：y′＝ 6x′2，求曲线 C 的方程．
有序数对(_ρ__，__θ__)_就叫做 M 的极坐标．一般地，极径 ρ≥0；
极角θ可取任意实数．
图 11－64－1
双
向
三、直角坐标与极坐标的互化
固 基
1．互化条件：(1)原点与极点重合，(2)极轴与 x 轴正方向
础 重合，(3)两坐标轴长度单位一致．
2．互化公式：xy＝ ＝ρρcsionsθθ，，tρan2θ＝＝x2＋yx（y2x，≠0）.
高等数学空间曲线及其方程
例2
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
z
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a)2 y2 a2
2
4
圆柱面,
交线如图.
ay x
二、空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
2 x 思考: 对平面 y b
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
P325 题 7
z
z
ay x
ay x
xz20y2 ax
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业 P324 3，4，5，6, 8
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的参数方程二
《解析几何》
－Chapter 2
§3 空间曲线的方程
Contents
❖ 一、空间曲线的方程 ❖ 二、空间曲线的参数方程
一、空间曲线的方程
设 F1 x, y, z 0 ， F2 x, y, z 0是两个曲面方程，若它们相交于曲线 L .
则曲线 L 上的任意点，同时在这两个曲面上，它的坐标满足方程组
F1 x, y, z 0,
F2
x,
y,
z
0
（2.3－1）；
反过来，满足方程组（2.3－1）的任何一组解所决定的点，同时在这两
曲面上，即在这两曲面的交线上，
因此方程组（2.3－1）表示一条空间曲线 L 的方程，我们把它叫做空间
曲线的一般方程.
注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.
例5 有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起， 作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的 顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的运动，这时质点在圆锥面 上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程.
二、空间曲线的参数方程
例 6 有两条互相直交的直线 l1 与 l2 ，其中 l1 绕 l2 作螺旋运动，即 l1 一方 面绕 l2 作等速运动，另一方面又沿着 l2 作等速直线运动，在运动中 l1 永 远保持与 l2 直交，这样由 l1 所画出的曲面叫做螺旋面，试建立螺旋面的 方程.
－Chapter 2
§3 空间曲线的方程
Contents
❖ 一、空间曲线的方程 ❖ 二、空间曲线的参数方程
一、空间曲线的方程
设 F1 x, y, z 0 ， F2 x, y, z 0是两个曲面方程，若它们相交于曲线 L .
则曲线 L 上的任意点，同时在这两个曲面上，它的坐标满足方程组
F1 x, y, z 0,
F2
x,
y,
z
0
（2.3－1）；
反过来，满足方程组（2.3－1）的任何一组解所决定的点，同时在这两
曲面上，即在这两曲面的交线上，
因此方程组（2.3－1）表示一条空间曲线 L 的方程，我们把它叫做空间
曲线的一般方程.
注：空间曲线可以用不同形式的方程组来表达.
例5 有一质点，沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起， 作等速直线运动，另一方面这一条母线在圆锥面上，过圆锥的 顶点绕圆锥的轴（旋转轴）作等速的运动，这时质点在圆锥面 上的轨迹叫做圆锥螺线，试建立圆锥螺线的方程.
二、空间曲线的参数方程
例 6 有两条互相直交的直线 l1 与 l2 ，其中 l1 绕 l2 作螺旋运动，即 l1 一方 面绕 l2 作等速运动，另一方面又沿着 l2 作等速直线运动，在运动中 l1 永 远保持与 l2 直交，这样由 l1 所画出的曲面叫做螺旋面，试建立螺旋面的 方程.
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二者交线
z
在 xOy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
CO 1 y x
11
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内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P36 题 1，2，7（展示空间图形）
12
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答案: P36 题1
8
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三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线C的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C在xOy 面上的投影曲线 C´为
C
H (x, y) 0
z0
O
y
消去 x 得C 在yOz 面上的投影曲线方程
C
R(y, z) 0
x
x0
消去y 得C在zOx 面上的投影曲线方程
T (x, z) 0
18
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
Hale Waihona Puke Baidu
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面 与平面
x y z 1的交线在 xOy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
交线为
xz
x2 yz
y2 1
此曲线向 xOy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xOy 面上的投影曲线方程为
P36 题2(2)
z
x2 y2 1 49 y3
思考: 对平面 y b
O 2 x
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
16
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P37 题 7
z
z
O x xz20y2 ax
O
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
17
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作业 P36 3，4，5，6, 8
x O 1y
2
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又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
C
3
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二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M O
y0
9
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例如,
C
:
x2
x2
y2 z2 ( y 1)2
1 (z
1)2
1
在xOy 面上的投影曲线方程为
x2 2y2 2y 0
z0
z
C
O 1y x
10
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又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xOy 面上的投影区域为: 二者交线在
xOy 面上的投影曲线所围之域 .
点 M1绕 z 轴旋转, 则
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
6
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例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
7
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又如, xOz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
zx
y 0
x2
y2
1
19
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x y
上升高度 h 2π b, 称为螺距 .
4
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例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
5
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例2. 求空间曲线 :
时的旋转曲面方程 . 解:
转过角度 后到点
绕 z 轴旋转
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2
(2)
yx0
z
O
2y
1
x
O
2y
x
13
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(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a Oa
x
y
14
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P36 题2 (1)
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 O
y
x
15
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第四节
第八章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
1
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一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
S2
S1
G(x, y, z) 0 L F(x, y, z) 0
z
2C
表示圆柱面与平面的交线 C.