标量位与矢量位
《物理场论》标量位矢量位和波动方程
2
1 v2
2
t 2
表示一个标量场或矢量场；v通常表示波速。
(x, y, z,t) 表示一个已知的函数。
4、波动方程
(x, y, z,t) 0 达朗伯方程变成为齐次波动方程，
也是通常所说的波动方程：
2
1 v2
2
t 2
0
若方程的解是无旋的非稳矢量场，则这样的场 是纵波场；
《物理场论》第1篇：物理场论基础
第3节 标量位、矢量位和波动方程
张元中
中国石油大学（北京）地球物理与信息工程学院
主要内容
1. 矢量场的分类 2. 标量位 3. 矢量位 4. 波动方程
1、矢量场的分类
无源场：若
A
0
，则
A
为无源场，又称
无散场，涡旋场，如磁感应强度场。
无旋场：若
位函数的规范化条件。如洛伦兹规范条件、库 仑规范条件等。
4、波动方程 场：发生物理现象的空间称为场；场是物理量 的空间函数。
波：在空间以特定形式传播的物理量或物理量 的扰动，形成波；分机械波和电磁波两大类。
波的共同特征：周期(频率)；相位；幅度；反 射和折射；叠加；干涉；衍射；偏振等。
波动方程：波在空间传播的物理规律用数学形 式表示出来，即物理量满足的偏微分方程组。
4.3矢量磁位和标量磁位
在直角坐标系下， 2 A
J
可展开为
2 Ax J x ; 2 Ay J y ; 2 Az J z
令无限远处 A = 0（参考磁矢位），方程特解为
J y dV J x dV J z dV Ax ; Ay ; Az V V 4π R 4π R 4π V R
ˆ Ia 2 z ˆ m ISn 0 m sin 0 m r A 2 4r 4r 2
B A
ˆ m ISn
a
I
m ˆ sin ) B (r ˆ2 cos 4r
0 3
m
R
r'
r
0m R A(r ) 4R 2
'
0 Ia a cos ' x sin ')d ' A ( 1 sin cos ')( y 4r 0 r
x
0 Ia 2 sin A 4r 2
ˆ
A
0 Ia 2 sin ˆ A 2 4r
小电流环也称为磁偶极子
r
大小和方向用磁偶极矩表示
4.3矢量磁位和 标量磁位
CONTENTS
1 2 标量磁位 矢量磁位 磁偶极矩
3
一、标量磁位
在静电场中，引入了电位Φ（
物理中常见的矢量和标量
物理中常见的矢量和标量
1.引言
1.1 概述
矢量和标量是物理学中常见的概念。在物理学中，我们经常需要描述和测量物体的某些特性或属性，而这些特性或属性可以被分为两类：矢量和标量。
矢量是有大小和方向的量。它们可以用箭头表示，箭头的长度表示量的大小，箭头的方向表示量的方向。例如，速度、力、位移和加速度等都是矢量量，它们除了有大小之外还有方向。
与此相反，标量是只有大小而没有方向的量。标量只有数值大小，没有箭头来表示方向。例如，时间、质量、温度和能量等都是标量量，它们只有一个数值大小而没有具体的方向。
矢量和标量在物理学中有着广泛的应用。在运动学中，我们可以使用矢量来描述物体的运动状态，例如速度矢量可以告诉我们物体的速度和方向。在力学中，矢量可以用来描述物体所受的力和力的作用方向。在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量来描述。
总结起来，物理学中常见的矢量和标量分别指的是有大小和方向的量以及只有大小而没有方向的量。它们在描述和测量物理现象中起着关键的作用。在接下来的文章中，我们将详细讨论矢量和标量的定义、特点以及它们在物理学中的应用。
文章结构部分的内容可以如下编写：
1.2 文章结构
本文将按照以下结构来介绍物理中常见的矢量和标量：
第二部分将详细介绍矢量的定义和特点。我们将从矢量的基本概念开始，解释什么是矢量以及它们的特点。我们将探讨矢量的大小和方向，以及如何表示和运算矢量。
接着，第二部分将转向标量的定义和特点。我们将解释什么是标量以及它们与矢量的区别。我们将讨论标量的大小但没有方向的特点，并介绍一些常见的标量物理量。
高中物理常见的矢量和标量
高中物理常见的矢量和标量
高中物理常见的矢量和标量
物理学是一门研究物质运动和相互作用的科学，而矢量和标量是物
理学中常见的两种量。它们在描述物理现象和计算物理量时起着重要
的作用。本文将介绍高中物理中常见的矢量和标量，并探讨它们的特
点和应用。
一、矢量
矢量是具有大小和方向的物理量。在物理学中，常用箭头表示矢量，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。矢量的大
小称为矢量的模，用数值表示。矢量的方向可以用角度或者方向余弦
表示。
高中物理中常见的矢量有位移、速度、加速度、力等。以位移为例，位移是物体从一个位置到另一个位置的位移量，它既有大小又有方向。当物体沿直线运动时，位移的大小等于物体的位移量，方向由起点指
向终点。当物体沿曲线运动时，位移的大小等于物体的位移量的代数和，方向由起点指向终点的切线方向。
矢量的运算有加法和减法。矢量的加法是指将两个矢量相加得到一
个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之和，方向由两个矢量的方
向决定。矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量，其大小等于两个矢量的大小之差，方向由两个矢量的方向决定。
二、标量
标量是只有大小而没有方向的物理量。在物理学中，标量用普通字
母表示，如时间、质量、温度等。标量的大小用数值表示，没有方向。
高中物理中常见的标量有时间、质量、温度、功等。以时间为例，
时间是物体运动所经历的时间间隔，它只有大小没有方向。时间的单
位有秒、分钟、小时等。
标量的运算有加法、减法、乘法和除法。标量的加法是指将两个标
量相加得到一个新的标量，其大小等于两个标量的大小之和。标量的
标量位与矢量位
2 Az
2 Az t 2
J z
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢
量位
A
的解为
A(r , t )
4π
V
J r,t r
r r v
r
dV
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
(r)
dV 4π r
可见函数 f1 为
f1Hale Waihona Puke Baidu t
r v
t
r v
4π
dV
因此位于原点的时变点电荷的标量位为
d
(r,t)
t
r v
4π r
dV
式中 r 为体元 dV 至场点的距离。
z
r,t
r
r v
位于 V 中的体电荷 在 r 处产生的电位为
E
B A
因此，标量位 – 标量电位；矢量位 A – 矢量磁位。
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
A
J
2 A t 2
t
A t
再利用矢量恒等式 A ，上 A两式2又A可表
示为
2
A
(
A)
2A t 2
t
J
2
t
(
A)
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则
矢量和标量标量和矢量的区别和运算法则矢量和标量是物理学中常见的两个概念，它们在运算法则和性质上有着明显的区别。本文将从定义、区别和运算法则三个方面详细讨论矢量和标量的特点。
一、定义
矢量是具有大小和方向的物理量，如速度、力、位移等。通常用箭头来表示，箭头的长度表示大小，箭头的方向表示方向。例如，一个速度为10 m/s向东的矢量可以表示为10 m/s➞。矢量在运算中保留了
大小和方向的信息。
标量是只有大小而没有方向的物理量，如质量、时间、温度等。标量可以用一个数值来表示，没有箭头或其他符号。例如，一个质量为5 kg的标量可以简单表示为5 kg。标量在运算中只关注大小，不考虑方向。
二、区别
1. 大小和方向：矢量有大小和方向，标量只有大小。例如，一个力的矢量可以表示为10 N向上，而标量只能表示为10 N。
2. 符号表示：矢量通常用箭头表示，标量直接用数值表示。
3. 运算法则：矢量有特定的运算法则，如矢量的加法、减法、数量积和向量积等。而标量的运算法则和普通数学运算相同，只是考虑了单位的换算。
4. 变换规律：矢量在空间中保持不变，具有平移、旋转和镜像等变
换规律。而标量在空间中的变换规律与具体物理量无关。
三、运算法则
1. 矢量的加法：根据平行四边形法则，两个矢量相加的结果是以它
们为邻边构成的平行四边形的对角线。例如，矢量a➞和矢量b➞相加
的结果为矢量c➞，即a➞ + b➞ = c➞。
2. 矢量的减法：矢量的减法可以理解为加上它的负矢量，即a➞ -
b➞ = a➞ + (-b➞)。
3. 数量积：数量积又称点积，表示两个矢量的数量上的乘积与它们
矢量和标量的区别(一)
矢量和标量的区别（一）引言概述：
矢量和标量是物理学和数学中两个重要的概念。它们在描述物理量时有着不同的特点和应用。本文将详细探讨矢量和标量的区别，通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，旨在帮助读者更好地理解这两个概念。
正文：
一、定义
1.1 矢量的定义：矢量是具有大小和方向的物理量。它可以用箭头来表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向。
1.2 标量的定义：标量是只有大小而没有方向的物理量。它可以用一个实数或者一个数字来表示，而没有其他附加信息。
二、表示
2.1 矢量的表示：矢量可以使用加粗的字母（如a、b）表示，或者使用小写字母上方有箭头（→）的符号（如→a、→b）表示。
2.2 标量的表示：标量可以使用普通的字母（如c、d）表示，或者使用斜体字母（如、）表示。
三、运算规则
3.1 矢量的运算规则：矢量之间可以进行加法、减法和数量乘法。在矢量的加法和减法中，矢量的大小和方向都会参与运算。
3.2 标量的运算规则：标量之间可以进行加法、减法、乘法和除法。在标量的运算中，只有数值才会参与运算，而没有方向。
四、应用示例
4.1 矢量的应用示例：矢量在物理学中有广泛的应用，如描述物体的位移、速度、加速度等。而且，在工程学、航空航天等领域也有着重要的应用。
4.2 标量的应用示例：标量在数学中有广泛的应用，如描述温度、时间、质量等。此外，标量也在计量学、经济学等领域中起着重要的作用。
总结：
通过对矢量和标量的定义、表示、运算规则以及应用示例的讨论，我们可以看出矢量和标量在物理学和数学中的不同之处。矢量具有大小和方向，可以进行矢量的加法、减法和数量乘法运算，适用于描述物体的位移、速度等；而标量只有大小，可以进行加法、减法、乘法和除法运算，适用于描述温度、时间等。通过深入理解和应用这两个概念，我们能够更好地解决实际问题和推进科学发展。
动力学中的矢量与标量的区别
动力学中的矢量与标量的区别动力学是研究物体运动规律的学科，而矢量和标量是描述物理量的两种不同方式。在动力学中，矢量和标量有着重要的区别和应用。本文将从定义、性质和应用等方面介绍动力学中矢量与标量的区别。
一、矢量的定义和性质
矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示。在运动学和动力学中，矢量用来描述物体的速度、加速度、力等。矢量的定义包括以下几个要素：大小、方向和作用点。
首先，大小指的是矢量的数量，有时也被称为模或大小。例如，如果我们用矢量表示物体的速度，那么它的大小就代表了物体运动的快慢。
其次，方向指的是矢量的指向或朝向。在物理中，我们常使用方位角或坐标系来表示矢量的方向。对于速度矢量来说，方向可以表示物体的运动方向。
最后，作用点是指矢量所指向的位置。例如，如果我们用矢量表示力，那么作用点就代表了力的施加位置。
矢量具有以下几个性质：
1. 矢量之间可以进行加法和减法运算。当两个矢量的方向相同时，则它们相加时大小为向量和。当两个矢量的方向相反时，则它们相减时大小为两个向量之差。
2. 矢量和标量之间可以进行乘法运算。矢量与标量相乘时，矢量的
大小会按照标量的大小进行缩放，而方向保持不变。
3. 矢量可以进行正负号的运算。正负号的改变只会改变矢量的方向，而不会改变矢量的大小。
二、标量的定义和性质
标量是只有大小而没有方向的物理量，可以用实数表示。在动力学中，标量常用来描述物体的质量、体积、时间等。标量的定义只包括
大小，不包括方向。
标量具有以下几个性质：
1. 标量之间可以进行加法和减法运算。当两个标量相加或相减时，
物理学中标量和矢量辨别
物理学中标量和矢量辨别
本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！
物理学中标量和矢量辨别
在新课教学中，学生每接触一个新的物理量时，我们常提问提问学生它是标量还是矢量，学生往往只从物理量的方向来考虑，觉得有方向的就是矢量，容易认为电流、电动势、磁通量有方向就是矢量；或者单纯从符号出发，认为有正负号的物理量是矢量，负号表示反方向，例如把温度（-10℃）、重力势能（-100J）误以为是矢量。
针对学生出现的片面认识，我觉得可以从以下五个方面来区分标量和矢量：
一、从定义和性质来辨别
矢量亦称向量。这些物理量，是由数值大小和方向才能完全确定的物理量，它们之间的运算并不遵循一般的代数法则，在相加减时它们遵从几何运算法则。这样的量叫物理矢量。如速度、加速度、位移、力、冲量、动量、电场强度、磁场强度等都是矢量。可用黑体字（例如F）或带箭头的字母来表示矢量，计算是遵循平行四边形法则。
标量亦称无向量。这些物理量，只有数值大小，而没有方向，它们之间的运算遵循一般的代数法则。这样的量叫做标量。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等物理量。无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。即标量是有大小，没有方向。矢量既有大小又有方向，但既有大小又有方向的未必就是矢量，两者不是互逆命题，比如电流，虽然规定有方向，却不是矢量，而是标量。
二、从数学的角度来辨别
若把矢量看成负数，标量看成正数。根据数学乘除法则负负得正，正负得负的原则，若乘除结果为正则为标量，若为负则为矢量。所以可以分为以下几种情况讨论。
高一物理矢量和标量归纳知识点
高一物理矢量和标量归纳知识点在高一物理学习中，矢量和标量是重要的概念。矢量是具有大
小和方向的物理量，而标量只有大小没有方向。深入理解和掌握
这些概念对于学习物理非常关键。下面将对高一物理矢量和标量
的相关知识点进行归纳。
1. 矢量和标量的定义
矢量是具有大小和方向的物理量，常用箭头表示，如力、速度、位移等。它们在运算中需考虑方向和大小的综合作用。而标量只
有大小，没有方向，常用数字表示，如时间、温度、质量等。标
量在运算中只需考虑大小的计算。
2. 矢量的表示方法
矢量可以使用多种表示方法，包括数值法、文字法和图示法。
数值法是指使用数值和单位来表示矢量，如10 m/s的速度矢量。
文字法是使用字母符号和单位来表示矢量，如V表示速度矢量。
图示法是通过箭头图示来表示矢量的大小和方向，箭头长度表示
大小，箭头方向表示方向。
3. 矢量的运算
矢量的运算包括矢量相加和矢量相减。矢量相加时，可以使用
平行四边形法则或三角形法则。平行四边形法则是将矢量按照顺
序排列，然后把它们的起点连起来构成平行四边形，连接对角线
得到结果矢量。三角形法则是将矢量按照顺序排列，然后从第一
个矢量的尾部画一条线到第二个矢量的尾部，再从第二个矢量的
尾部画一条线到第三个矢量的尾部，连接第一个矢量的起点和第
三个矢量的终点得到结果矢量。矢量相减可以通过将被减矢量取
反后再进行矢量相加来实现。
4. 矢量的分解
矢量的分解是将一个矢量分解为数个分量，常用直角坐标系进
行分解。例如，将一个力矢量分解为水平和垂直方向上的分量。
分解后的矢量之和等于原矢量。分解矢量使计算和分析更方便和
矢量和标量的区别
矢量和标量的区别
进入高中的学习，物理上引入了矢量和标量两种物理量。
标量，就是只有大小，没有方向的物理量，比如：路程，时间。
矢量，就是既有大小又有方向的物理量，比如：位移，力。
矢量和标量有着很大的区别，可以由一道题来说明。
一个人，先向东走了500米，再向西走了500米。问此人所走的路程和位移分别是多少？此人运动分为两段，第一段向东，第二段向西。两段运动都为500米，所以运动的路程为500+500=1000米。而位移，考虑了方向的问题，也就是只考虑相对于地面的位置移动。因为此人先向东走了500米，此时位移为500米，而后他又想起始点，也就是向西走回500米，最终的位置和开始点的位置一样，所以他经过一段运动没有发生位置的变化，所以他所运动的位移为0米。
此外，两者的计算方法也不一样。
标量，可以直接相加。比如，一个人先走了500米，停了一段时间，然后又走了400米，问此人的路程为多少？两者可以直接相加，500+400=900米。只要是标量，就可以直接相加在一起。
而矢量则必须遵循平行四边形定则和三角形定则和正交分解。比如速度，一个向东的速度3m/s，和一个向北的速度4m/s，实际物体的运动方向为东偏北arctan4/3角度方向，大小为5m/s。
有别于以前学过的标量，矢量可以看作只考虑起始点和终止点的位置关系。用位移来举例，两点之间连线的长度就是位移，不管途中怎样折返和绕道，只要是起始点和终止点一样，那么位移就一样。好比两个人旅游，都从北京出发，其中一个先去天津，再去上海，再去安徽，而另一个人直接去安徽。前者所走的路程远远大于后者，但是可以说他们的位移相同，因为他们的位移都是从北京到安徽的直线距离。
矢量和标量的区别
矢量和标量的区别有3点：
1、概念的区别
一种是在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；另一种是在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说明性质，叫矢量。
2、运算法则区别
在中学物理中，长度、质量、时间、密度、功、能量、温度、电流强度等都是标量，标量运算服从代数运算法则。力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度等都是矢量，矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头的直线段表示。线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。
3、正负号区别
在中学物理中，无论是矢量，还是标量，都存在正负号问题。但矢量正负号跟标量正负号有本质区别。
⑴矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢量的方向。若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示跟选定正方向相反。
⑵标量正负号：虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。
4.3矢量磁位和标量磁位
2． 标量磁位的微分方程
负号是为了与静电位对应 而人为加入的。
由 B 0 和 B H, H m，所以
B (m ) 2m 0
可以得到
2m 0
所以标量磁位满足拉普拉斯方程。
二、 矢量磁位
1. 磁矢位 A 的引出
由于 B 0 已知矢量旋度的散度恒为零。 一般，已知 J ，
则可以先求得
r
取场点 r 源点到场点距离R
R
R2 (r cos )2 (r sin )2 a2 2ar sin cos'
r2 a2 2ar sin cos'
1 1 [1 ( a )2 2a sin cos']1/2
Rr r r
x
(1 x) 1/2 1 x
1 1 (1 a sin cos') Rr r
l
Id l R
I
4π
l
dl R
这里事实是给了一种计算磁场的积分方法，先求矢量磁位关于电流的积
分，再对磁位 A 求旋度可得磁场 B 。
矢量磁位 A 、标量磁位 φm 与电位 φ 的比较
例1.
解:
取
求d利对半l用'于径矢线为a量d电a电磁流'流位ˆ'为计JdI算的VA磁'小(r场电)Idl流'4环0 A在l(rI远)dRl处'4(0r>V>aJ)的(Rr'磁)dV场' .
标量和矢量的区别
标量和矢量的区别
标量和矢量的区别：有概念的区别：一种是在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；另一种是在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说明性质，叫矢量。还有运算法则区别和正负号区别等。
概念的区别
一种是在选定测量单位以后，仅需用数字表示大小的量叫标量；另一种是在选定测量单位后，除用数字表示其大小外，还需用一定的方向才能说明性质，叫矢量。
运算法则区别
在中学物理中，长度、质量、时间、密度、功、能量、温度、电流强度等都是标量，标量运算服从代数运算法则。力、位移、速度、加速度、动量、冲量、电场强度、磁感应强度等都是矢量，矢量的运算要遵循平行四边形法则或三角形法则。矢量常用带有箭头的直线段表示。线段的长度代表矢量大小，箭头代表矢量的方向。
正负号区别
在中学物理中，无论是矢量，还是标量，都存在正负号问题。但矢量正负号跟标量正负号有本质区别。
⑴矢量正负号：在选定一个正方向的前提下，矢量的正负号实质上表示矢量的方向。若矢量为正，表示该矢量跟选定正方向相同；矢量为负表示跟选定正方向相反。
⑵标量正负号：虽然标量无方向，但有的标量也存在正、负号问题。
标量scalar，亦称“无向量”。有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。物理学中，标量或作纯量指在坐标变换下保持不变的物理量。用通俗的说法，标量是只有大小，没有方向的量。
矢量图像，又称为向量，也称为面向对象的图像或绘图图像，在数学上定义为一系列由线连接的点。既有大小又有方向的量。一般来说，在物理学中称作矢量，在数学中称作向量。在计算机中，矢量图可以无限放大永不变形。
高中物理矢量和标量
高中物理矢量和标量
高中物理矢量和标量
一、什么是矢量
1、矢量是指有大小和方向的物理量，大小可以通过它的模量反映出来，而方向可以通过它的有向性来确定。
2、矢量有很多种形式，其中常见的包括力，速度，加速度，磁场强度，电场强度等物理量。
二、什么是标量
1、标量是指没有方向性的物理量，它只有大小，而没有方向，诸如时间，温度，长度，能量，功率等都是标量。
2、在力学中，动能，位能，势能也属于标量。因为它们实际上也只是
一个表示物体的潜在能量的值，而没有任何方向性。
三、矢量和标量的区别
1、矢量具有方向和大小，而标量只具有大小。
2、矢量可以相互加减，而标量只能进行加减，乘除运算。
3、矢量可以使用一般化坐标来表示，而标量只能用一个实数来表示。
4、矢量可以用虚矢量和实矢量来区分，而标量只能用实数来表示。
四、高中物理中矢量和标量的用途
1、矢量在表示物理量方面具有很大的优势，物理量的大小不仅可以表示为实数，而且还可以表示为方向，基于此可以绘制出各种物理量的分布和变化。
2、标量通常用于表示物理量的大小，诸如静电势，重力势等都是没有任何方向性的物理量，只能通过它们的实数值来表示。
3、矢量和标量在高中物理学中可以用于分析物理问题，帮助学生理解物理现象，归纳总结物理规律。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5. 位函数方程的求解 根据静态场结果，采用类比方法推出其解。
Hale Waihona Puke Baidu
先求解时变点电荷的矢量位，再利用叠加原
理导出分布的时变体电荷的矢量位。
z
(r, t) r
当时变点电荷位于坐标原点
时，其场分布与 及 无关。那
么，在除坐标原点以外整个无源
O
y 空间，位函数 满足的方程式为
x
2 ( r) 1 2 ( r)
原来电磁场的矢量方程为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
在三维空间中需要求解 6 个坐标分量
。 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ t 2
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。
在直角坐标系中，实际上等于求解 1 个标量方程 。
V
��r ,t r r
v
� r r
� � � V
d
O
y
x
将矢量位方程在直角坐标系中展开，则矢量位
A 各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式
即，
2 A
2 Ax
x
t 2
Jx
2 Ay
2 Ay t 2
J y
2 Az
z2 A
t 2
J
z
每个分量的解结构同前。三个分量合成后，矢
量位 A 的解为
4. 标量位与矢量位 设介质是线性均匀且各向同性的，那么由麦
克斯韦方程可得
E 2 E J
t 2
t
H 2H J
t 2
利用矢量恒等式 A ，同 A时考2虑A 到
及 ，那 么B 上 0述两式 D变为
2 E 2 E J 1
t 2
t
2 H 2 H J
t 2
场与源的关系比较复杂。
引入标量位与矢量位作为两个辅助函数 , 可以简 化时变电磁场的求解。
已知 B 0 ，因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度。
即
B A
式中， A 称为矢量位。
将上式代入式 E B 中，
得
t
E ( A)
t
上式又可改写为
E
A t
0
可见，矢量场 E
Jr,t r r
A(r,t)
v dV
4π V
r r
式中， V ' 为电流 J 的分布区域。
r2 v2 t2 0
式中 v 1
0 r
上式为函数 ( r) 的齐次波动方程，其通解为
r
f 1t
r v
f
2 t
r v
式中的第二项不符合实际的物理条件，应该舍
去。因此，求得位于原点的时变点电荷产生的标量电
位为
Φ(r,t)
f 1t
r v
r
已知位于原点的静止点电荷 q 产dV生的电位为
2
A
(
A)
2 A t 2
t
J
2 ( A)
t
已定义了矢量场 A 的旋度， A B ， 必须再规定其散度。
为了简化计算，令
A Φ
t
洛伦兹条件
则前两式可以简化为
2 A 2 A J
t 2
2Φ 2Φ
t 2
仅与电流 J 有 关
仅与电荷 有关
原来两个相互关联的方程变为两个独立方程。
可见函数 f1 为
(r) dV 4π r
f1 t
r v
t
r v
4π
dV
因此位于原点的时变点电荷的标量位为
d
(r,
t)
t
r v
dV
4π r
式中 r 为体元 dV 至场点的距离。
z
r,t r r
v
位于 V 中的体电荷 在 r 处产生的电位为
r'
dV'
V' r
r' - r
(r, t) 1 (r, t) 4π
为一个标量场
的A梯t 度，为示即无旋场。因此可以表
E A
t
式中 称为标量位。求得
E A
t
当 A 与时间无关时
E
B A
因此，标量位 – 标量电位；矢量位 A – 矢量磁位。
将位函数代入麦克斯韦方程，求得
A
J
2 A t 2
t
At
再利用矢量恒等式 A ，上 A两式2又A可表 示为