排列组合习题_(含详细答案)
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排列组合专项训练
1.题1 (方法对比,二星)
题面:(1)有5个插班生要分配给3所学校,每校至少分到一个,有多少种不同的分配方法
(2)有5个数学竞赛名额要分配给3所学校,每校至少分到一个名额,有多少种不同的名额分配方法 解析:“名额无差别”——相同元素问题
(法1)每所学校各分一个名额后,还有2个名额待分配,
可将名额分给2所学校、1所学校,共两类:
2
1
33C C +(种)
(法2——挡板法)
相邻名额间共4个空隙,插入2个挡板,共:
246C =(种) 注意:“挡板法”可用于解决待分配的元素无差别,且每
个位置至少分配一个元素的问题.(位置有差别,元素无差别)
同类题一 题面:
有10个运动员名额,分给7个班,每班至少一个,有多少种分配方案
答案:6
9C
详解:
因为10个名额没有差别,把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板
方法对应一种分法共有69C 种分法。
同类题二
题面:
求方程X+Y+Z=10的正整数解的个数。 答案:36. 详解:
将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值, 故解的个数为C 92=36(个)。
2.题2 (插空法,三星)
题面:某展室有9个展台,现有3件展品需要展出,要
求每件展品独自占用1个展台,并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有______种;如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有____种. 答案:60,48
同类题一
题面:
6男4女站成一排,任何2名女生都不相邻有多少种排法
答案:A 66·A 47种.
详解: 任何2名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共有A 66·A 47种不同排法.
同类题二 题面:
有6个座位连成一排,现有3人就坐,则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A .36种
B .48种
C .72种
D .96种
答案:C.
详解:恰有两个空座位相邻,相当于两个空位与第三个
空位不相邻,先排三个人,然后插空,从而共A 33A 24=72
种排法,故选C.
3.题3 (插空法,三星)
题面:5个男生到一排12个座位上就座,两个之间至少隔一个空位.
1]没有坐人的7个位子先摆好,
[2](法1——插空)每个男生占一个位子,插入7个位子所成的8个空当中,有:
58A =6720种排法.
(法2)[1]5个男生先排好:55A ;
[2]每个男生加上相邻的一个座位,共去掉9个位置,当作5个排好的元素,
共有6个空,剩下的3个元素往里插空,每个空可以插1个、2个、3个元素,
共有:3216662C C C ++种,
综上:有55A (3
21
6662C C C
++)=6720
种.
同类题一
题面:文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目
的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列
方法有多少种 答案:30。 详解:
记两个小品节目分别为A 、B 。先排A 节目。根据A
节目前后的歌舞节目数目
考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,有
种方法。
这一步完成后就有5个节目了。
再考虑需加入的B 节目前后的节目数,同理知有
种
方法。故由分步计数原理知,方
法共有
(种)。
同类题二 题面:
(2013年开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A .60 B .48 C .42
D .36
答案:B. 详解:
第一步选2女相邻排列C 23·A 22,第二步与男—女排列A 22,第三步男生甲插在中间,1种插法,第四步男—男生插空C 14,故有
C 23·A 22·A 22·C 14=48
种不同排法.
4.题4 (隔板法变形,三星)
题面:15个相同..的球,按下列要求放入4个写上了1、2、3、4编号的盒子,各有多少种不同的放法
(1)将15个球放入盒子内,使得每个盒子都不空;
314364C =
(2)将15个球放入盒子内,每个盒子的球数不小于盒子的编号数;
(3)将15个球放入盒子内,每个盒子不必非空; (4)任取5个球,写上1-5编号,再放入盒内,使每个盒子都至少有一个球;
(5)任取10个球,写上1-10编号,奇数编号的球放入奇数编号的盒子,偶数编号的球放入偶数编号的盒子. 解析:
(2)先将2、3、4号盒子分别放入1、2、3个球,剩下的
9个球用挡板法,3
8C =56
(3)借来4个球,转化为19个球放入盒子内,每个盒子
非空,3
18
816C =
(4)不能用“挡板法”,因为元素有差别.
(法1)必有一个盒子有2个球,24
5
4240C A =; (法2)先选3个球,分别排到4个盒子中的3个里,剩下的盒子自然放2个球.
33
54240C A =;
(法3)41
5
4480A C =,会重!需要除2! 重复原因:1号盒子放1、5号球,先放1后放5与先放5、后放1是一样的!
(5)(法1)每个球都有2种选择,共有10
2种方法; (法2)奇数号的球有1、3、5、7、9,共5个,可以在1、3号两个盒子中选一个放入,
共有:54321055
555552C C C C C C +++++=种放法, 同理放偶数号的球也有52种方法,综上共有10
2种方法.