(2.3) 第三节 反函数和复合的求导法则(少学时简约版).
第三节反函数的导数复合函数的求导法则
第三节反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数：
反函数的导数定义是：如果y=f(x)是一个单调函数，且f-1(x)是
y=f(x)的反函数，那么f-1(x)的导数就被定义为[f-1′(x)=1/f′(f-
1(x))]。
即反函数的导数等于其原函数的导数的倒数。
反函数的导数是研究函数及其变化规律的重要工具，在微积分中应用很广泛。
比如，探究定积分的导数，由定积分定义可知，定积分的导数是原函数反函数的导数，计算定积分的导数，就可以利用反函数的导数的公式来解决。
复合函数的求导法则：
复合函数的求导法则是指利用复合函数的性质计算复合函数（含有两个或以上的单函数）的导数的技术，它可以把多函数的求导问题化简为只有单个函数的求导问题。
这里把它简单概括成三条：（1）链式法则（即欧拉公式）：如果函数Z=f(g(x))，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dg(x)*dg(x)/dx。
（2）链式法则2：如果函数Z=f(g(h(x)))，那么Z的导数为dZ/dx=dZ/dg(h(x))*dg(h(x))/dh(x)*dh(x)/dx。
（3）分部积分法则：如果函数Z=f(x,y)，其中y=g(x)，那么Z的导数是
dZ/dx=dZ/dx，y=g(x)+dZ/dy，x=g(x)*dg(x)/dx。
复合函数的求导法则是利用复合函数的性质，将复合函数的求导问题转化为只有单个函数的求导问题。
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
反函数复合函数求导法则和基本求导公式
反函数复合函数求导法则和基本求导公式一、反函数求导法则：设函数y=f(x)在[a,b]上连续可导，且f'(x)≠0，设F(x)是f(x)在[a,b]上的反函数，则F'(x)=1/f'(F(x))。
证明：对于函数y=f(x)在区间[a,b]上的其中一点x，设其反函数为y=F(x)。
则根据反函数的定义可知：f(F(x))=x两边同时对x求导，则有：f'(F(x))*F'(x)=1由此可得：F'(x)=1/f'(F(x))这即为反函数求导法则。
二、复合函数求导法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由函数u=g(x)和函数y=f(u)复合而成的复合函数，则其导函数为：dy/dx = f'(u) * g'(x)证明：根据链式法则，设y=f(u)，u=g(x)，则由复合函数求导法则可知：dy/du = f'(u)du/dx = g'(x)将以上两个导数代入复合函数的导数公式中，则有：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这即为复合函数求导法则。
三、基本求导公式：1.常数函数的导数：(c)'=0，其中c为常数。
证明：设y=c，其中c为常数，则有：Δy/Δx=0当Δx趋近于0时，上式可进一步得到：dy/dx = 0因此，常数函数的导数为0。
2.变量的幂函数的导数：(x^n)'=n*x^(n-1)，其中n为常数。
证明：设y=x^n，其中n为常数，则有：Δy/Δx=[(x+Δx)^n-x^n]/Δx根据二项式定理展开(x+Δx)^n，这里不再赘述，从展开后的表达式中可以看出，除了形如x^n的一项，其他各项都含有Δx。
因此当Δx趋近于0时，可以将这些含有Δx的项直接忽略，只剩下一项：dy/dx = n*x^(n-1)这就是变量的幂函数的导数公式。
3.e^x的导数：(e^x)'=e^x。
高等数学 第2章 第三节 反函数的导数 复合函数的求导法则
记y1 f (sin2 x)
y2 g(cos 2 x)
以抽象形式给出的函 数求导数
y1' f (sin2 x) sin2 x f '(sin2 x) 2sin x cos x
f (sin2 x) sin2x
y2 ' g(cos 2 x)( sin2x)
y ' f (sin2 x) sin2x g'(cos 2 x)( sin2x)
第三节 反函数的导数
复合函数的求导法则
一、反函数求导法则
设：x ( y)单调连续并在点y可导，且'( y) 0 x ( y)的反函数y f ( x)在对应点x处可导，则
f '(x) 1
'( y)
或者记为dy 1 dx dx
dy
注意：1、这里反函数的记法，并不把自变量按习惯记作x.
2、反函数关系是相互的。
2
.
例6 ：y (2 x tan x)2 , 求y '
解： y ' 2(2x tan x) (2x tan x)' 2(2x tan x) (2 sec2 x)
例7 f ( x) sinnx cos n x (n R) 求f '( x).
解： f '( x) sinnx'cosn x sinnx (cosn x)'
du
dv v
dv
dw
1
cos w,
dw
dx
x2
dy dx
eu
1 v
cos w
1 x2
ln sin 1
ex
1 1
sin
cos
1 x
1
x2
反函数与复合函数的运算与求导法则
商式法则：对 两个函数的商 求导，先将分 子和分母分别 求导，再将结
果相除
反函数法则： 对反函数求导， 先将原函数求 导，再将结果
取倒数
复合函数的运算规则
乘法运算： f(g(x)h(x))=f(g (x))h(g(x))
加法运算： f(g(x)+h(x))=f (g(x))+f(h(x))
幂运算： f(g(x)^n)=f(g( x))^n
定义域：复合函 数中各个函数的 定义域的交集
值域：复合函数 中各个函数的值 域的并集
复合函数的求导 法则：链式法则 和乘积法则
复合函数的求导法则
链式法则：对 复合函数求导， 需要将外层函 数的导数与内 层函数的导数 相乘，再对内
层函数求导
乘积法则：对 两个函数的乘 积求导，先将 两个函数分别 求导，再将结
复合函数的导数： d/dx[f(g(x))]=( u'v'f')/(u'v')
复合函数的应用场景
物理问题：解决物理中的运动学、热力学等问题
经济问题：研究经济变量之间的相互影响，如供需关系、价格形成等
计算机科学：处理数据、图像、信号等，实现数据变换和算法优化
工程领域：在机械、航空、化工等领域中，复合函数的应用非常广泛，如控制系统的设 计、流体动力学的研究等
反函数与复合函数的运 算与求导法则
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汇报人：XX
目录
01 添 加 目 录 项 标 题 03 复 合 函 数 的 运 算 与
求导法则
02 反 函 数 的 运 算 与 求
导法则
04 反 函 数 与 复 合 函 数
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法
反函数与复合函数学习反函数和复合函数的定义和计算方法在数学中，函数是一种很基础且重要的概念。
在函数的学习中，我们常常会接触到两个特殊的概念：反函数和复合函数。
本文将重点介绍反函数和复合函数的定义以及计算方法。
一、反函数1. 反函数的定义给定一个函数y=f(x)，如果对于任意的y值，都能找到唯一的x值使得f(x)=y成立，则称该函数存在反函数。
反函数常用符号表示为f^(-1)(y)，读作"f的反"2. 反函数的计算方法为了计算一个函数的反函数，我们可以遵循以下步骤：步骤一：设y=f(x)，将该方程中的x和y互换位置得到x=f^(-1)(y)。
步骤二：解上述方程，得到f^(-1)(y)。
需要注意的是，有些函数的反函数可以通过解方程直接得到，而有些则需要通过其他方法求得。
3. 反函数的性质反函数具有以下两个重要性质：性质一：原函数和反函数互为镜像关系。
即对于函数y=f(x)和反函数y=f^(-1)(x)，它们的图像关于直线y=x对称。
性质二：对于原函数和反函数，它们的定义域和值域互换。
即原函数的定义域为反函数的值域，原函数的值域为反函数的定义域。
二、复合函数1. 复合函数的定义给定两个函数f(x)和g(x)，将g(x)的输出作为f(x)的输入，得到一个新的函数h(x)=f(g(x))，则称h(x)为f(x)和g(x)的复合函数。
2. 复合函数的计算方法计算复合函数的方法如下：步骤一：将g(x)的定义代入f(x)中，得到h(x)=f(g(x))。
步骤二：根据需要，进行进一步的计算和化简。
3. 复合函数的性质复合函数具有以下两个重要性质：性质一：复合函数是非交换的。
即对于两个函数f(x)和g(x)，一般情况下有f(g(x))≠g(f(x))。
性质二：复合函数的定义域和值域由内层函数和外层函数的定义域和值域共同决定。
三、计算示例以下是一个计算反函数和复合函数的示例：示例一：计算函数y=2x+3的反函数和复合函数。
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明反函数和复合函数的求导法则是微积分的重要概念，可以用来证明一些复杂的函数的求导过程。
本文将证明反函数和复合函数的求导法则，首先介绍反函数的定义和证明过程，然后再介绍复合函数的证明过程。
关于反函数的求导反函数是指在给定的一个函数y=f(x)的情况下，存在另一个函数y=g(x)，使得f(g(x))=g(f(x))=x。
反函数可以用来求解有关函数的极值和极点问题。
在证明反函数求导法则时，可以运用反函数的性质：若y=f(x)是可微的函数，则dy/ dx=f′(x)，其中f′(x)表示函数f(x)的导函数。
那么可以根据反函数的性质推得：若y=g(x)是f(x)的反函数，则dg/dx=1/f′(g(x))其中f′(g(x))是函数f(g(x))的导函数。
从上式可以看出，当反函数以某点为参数进行求导时，求导结果就是函数f(x)在该点上的导数的倒数，从而可以证明反函数求导法则，即可以通过求反函数的导数来求f(x)函数的极值点。
关于复合函数的求导复合函数是指将两个函数连接起来，组成一个新的函数。
在求导复合函数时，需要使用复合函数求导法则，即链式法则，它表明：若f(x)是可微的函数，而g(x)是f(x)的可微的函数，则复合函数h(x)=g(f(x))的导函数h′(x)=g′(f(x))*f′(x)。
由以上可以得出，复合函数的求导等于复合函数中每个函数的导函数相乘，所以可以证明复合函数求导法则，并且由此也可以求出函数h(x)的极值点。
结论本文介绍了反函数和复合函数的求导法则，以及它们的证明过程。
根据以上推论，可以得出结论，即可以利用反函数和复合函数的求导法则来求出某个复杂函数的极值点。
反函数和复合函数的求导法则的证明过程对于理解微积分的概念具有重要的意义。
第三节 反函数复合函数及隐函数的求导法则
2
y 1 [ 1 1 1 ( 1 )]
2 1 x arccosx
1 ( 1 1
1
1 x2
)
2 x 1
1 x2 arccosx
则 y(0) 1 .
例10 设 y f (arctanx2 ) ,求 y.
解 设u arctanv,v x2 ,
则 y f (u).
所以 dy dy du dv
dx du dv dx
例1
设y (1 2x)30 , 求dy .
dx
解 设 y u30 ,u 1 2x ,则
y (u30 )u (1 2x)x 30u29 2
60u29 60(1 2x)29
例2 求 y cos nx 的导数. 解 设 y cos u,u nx, 则
y (cosu)u (nx)x
所以
y
u
v
(v ln
u
vu ). u
y
u(x)
或 y uv evlnu , 则
y (evlnu ) evlnu (v ln u)
u v (vln u vu). u
例1 设 y (ln x)x ,求 y.
解 (1)两边取对数,有ln y x ln ln x.
两边对 x 求导,有 1 y ln ln x 1 .
1 sec2
又sec2 y 1 tan2 y 1 x2 , 所以(arctan x)
同理可得:
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
. y
1
1 x2
.
❖ 二. 复合函数的求导
复合函数求导法则:
设y f (u),u (x),即 y 是 x 的一个复合函
关于反函数及复合函数求导法则的证明
关于反函数及复合函数求导法则的证明反函数与复合函数求导法则是高等数学中重要的内容，其中反函数求导法则是指如果y=f(x)为单调函数，则可以定义其反函数记作x=f(y)，并且可以求得x关于y的导数：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$，而复合函数求导法则则是指当y=h(x)为单调函数、z=g(y)也为单调函数时，则z关于x的导数为：$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$。
本文旨在证明这两种法则所提出的结论是正确的。
首先讨论反函数求导法则，我们设随机变量x为原函数y的函数参数，不断增加（或者减少）直到y的值等于某一特定的$y_0$,此时变量x的值记作$x_0$,由于y为函数参数，因此可同时视x及y作性质相同的函数参数，此时有$y=f(x)$与$x=f(y)$，即反函数，设有$x_0=f(y_0)$，同时为$y_0$构造一个微增量$\Delta y$，此时有：$$x_0+\Delta x=f(y_0+\Delta y)$$将其分解成函数y与x的两个函数，有：$$\Delta x=f(y_0+\Delta y)-f(y_0)$$由于$\Delta y$与$\Delta x$非常微小，可以认为$\Delta x$等于函数f的导数：$$\Delta x=f'(y_0)\cdot \Delta y$$将其整理，有：$$\frac{\Delta x}{\Delta y}=f'(y_0)$$令$\Delta y$趋0，得：$$\frac{dx}{dy}=f'(y_0)$$即已证明反函数求导法则：$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{f'(y)}$ 接下来讨论复合函数求导法则，设z为y的函数参数，即$z=g(y)$，由反函数的求导法则有：$$\frac{dz}{dy}=g'(y)$$又有z为x的函数参数：$$z=h(x)$$再应用反函数求导法则得：$$\frac{dz}{dx}=h'(x)$$将上面两式相乘，得：$$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdot h'(x)$$即已证明复合函数求导法则：$\frac{dz}{dx}=g'(y)\cdoth'(x)$经过上述分析，可以看出反函数与复合函数求导法则都是基于单调函数求导的性质所推导出的一种有效的求导方法。
反函数、复合函数求导法则和基本求导公式
2. ( x ) x 1
3. (a x ) a xln a
4. (loga
x)
1 x lna
5. (sin x) cos x
(tan x) sec2x
(secx) secx tan x 6. (arcsin x) 1
1 x2
(arctan x )
1
1 x2
(e x ) e x
(ln x) 1 x
.
2、 设 y sin2 x,则 y=
sin 2x
.
2x
3、 设 y arctan(x 2 ),则 y= 1 x 4
.
4、 设 y ln cos x ,则 y= tan x
.
10xtan2x ln 10
5、 设 y 10x tan 2x ，则 y= (tan 2x 2x sec2 2x) .
课内练习
求下列函数的导数：
(1) y ln x ,
(3) y sin2( x cos x) (5) y ln(x x2 1)
(2)
y
x2 tan 2
x
x2 (4) y ( x2 2)3
x
(6) y 2 ln x .
(1) y ln x ,
ln x
ln x ln( x)
x 0, x 0.
dy
利用arcsin x arccos x 以及arctan x arc cot x ,
2
2
得
(arccos x) 1 1 x2
(arc cot
x)
1 1 x2
.
例：求函数 y a x (a 0,a 1)的导数.
解：y a x 的反函数是 x log a y (0 y ).
反函数,复合函数求导法则
解
y e
1 g x
1 g e x
1 g x
1 1 g x x
e
1 g x
g x
1 1 g 2 x x 1 g 1 x x e . 2
)]
9
例 设f ( x )f ( x )] , f (4), [ f (4)] . 解
f ( x ) [log 2 x ]
[ f ( x )] [log 2 x ]
1 x ln 2
1 x ln 2
f (4) [ f ( x )] x 4
2 ,
2
)内单调、可导
,
且 (sin y ) cos y 0 , 在 I x ( 1 ,1 )内有
(arcsin x ) (arcsin x ) 1 (sin y ) 1 cos y
1 1 sin
1 1 x
2
2
y
1 1 x
2
.
同理可得 (arccos x )
( x 0 ), 又知 ( y ) 0
y x
lim 1 x y
lim f ( x ) x 0
1 dx dy
y 0
1
( y )
dy dx
1 dx dy
.
3
例 求函数 y arcsin x 的导数 .
解 x sin y 在 I y (
(arctan x ) 1 1 x
2
;
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数的求导法则
反函数的导数复合函数是指由一个反函数和一个普通函数复合而成的函数，通常被写作f（g（x））。
求反函数的导数复合函数的求导法则就是链式法则。
链式法则可以让我们求解复杂函数的导数，它可以将复杂的函数分解成一些简单的函数，然后利用其中的一些简单函数的已知导数计算出整个函数的导数。
首先了解几个基本概念：
1、定义域：定义域指变量的取值范围，所有在定义域内的取值，对应的函数值都是定义的。
2、域：函数的取值范围就叫域，也就是实际上函数所取得的真实数值范围。
3、反函数：如果一个函数f（x）的反函数是g（x），那么g（x）的定义域就是f（x）的域，而f（x）的定义域就是g（x）的域。
4、导数：导数表示函数的变化率，是描述函数单调性的概念。
基于上文所说的基本概念，可以提出反函数的导数复合函数的求导法则：
即反函数的导数复合函数f（g（x））的求导法则是：
f（g（x））的导数等于f（g（x））在g（x）处的导数乘以g（x）在x处的导数。
即：
f（g（x））′=f（g（x））′g（x）′
举例说明：
如果f（x）和g（x）分别如下定义：
f（x）=x2+1
g（x）=ln（x）。
函数的复合与反函数数学中的运算法则
函数的复合与反函数数学中的运算法则在数学中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
函数的复合和反函数是函数的两个重要概念，它们在数学中有着广泛的应用。
一、函数的复合运算法则函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
假设有两个函数f(x)和g(x)，函数的复合可以表示为g(f(x))。
在进行函数的复合时，需要确保两个函数的定义域和值域能够对应正确。
举个例子来说明函数的复合运算法则。
假设有函数f(x) = x + 1和函数g(x) = 2x，我们可以将函数g的输出作为函数f的输入来进行复合运算。
首先计算f(g(x))，即将函数g的结果2x代入函数f中，得到f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1。
这就是函数g和函数f的复合函数。
函数的复合具有如下的性质：1. 函数的复合是一个封闭性运算，即复合的结果仍然是一个函数。
2. 函数的复合满足结合律，即f(g(h(x))) = (f∘g)∘h(x) = f(g(h(x)))。
3. 函数的复合不满足交换律，即一般情况下g(f(x)) ≠ f(g(x))。
二、反函数的概念及计算方法反函数是指可以将一个函数的输出逆向映射回原来的输入的函数。
对于一个函数f(x)，其反函数可以表示为f^(-1)(x)。
反函数是函数的一种特殊情况，它要求函数是双射函数，即每个输入有唯一的输出。
计算反函数的方法可以通过求解方程来完成。
具体步骤如下：1. 将函数f(x)表示为y，即y = f(x)。
2. 将y的表达式改为x，并解方程得到x = f^(-1)(y)。
3. 将x表示为f^(-1)(y)，即f^(-1)(y) = x。
举个例子来说明反函数的计算方法。
假设有函数f(x) = 2x，我们可以通过以下步骤来计算它的反函数：1. 将函数f(x)表示为y，即y = 2x。
2. 将y的表达式改为x，并解方程得到x = 2y。
3. 将x表示为f^(-1)(y)，即f^(-1)(y) = x/2。
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( y ) 0，则它的反函数 y = f( x )在区间
I x ={ x x = ( y ), y I y }
内也可导，且
fx
1y
,
或dy
dx
1 dx
.
dy
关系式 f x 是 按1“y点 ”叙述的: 此关系左边[ f( x )]是关于 x 的表达式，右边是关
于 y 的表达式，二者相等的意义是在点 M( x ,y )处对 应的“函数值”相等。
接函数与反函数的导数关系： 当 x I x =( -1 ,1 )时有
fx a r c c o sx 1 yc o s 1 y s1 in y,
为应用的方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 , )时有 s i n y 1 c o s 2 y 1 x 2 ,x I x 1 , 1 ,
设 x = ( y )为直接函数，y = f ( x )为其反函数，且
直接函数 x = ( y )在某区间 I y 内单调，相应反函数
y = f( x )的单调区间为 I x .
对任意的 x I x ，给 x 以增量 x 0，x + x I x,
由反函数 y = f ( x )的单调性知，其相应的增量满足
yloga
y
1 0. ylna
故由直接函数与反函数的导数关系：
当 x I x =( - ,+ )时有
fxax1 ylo g 1 ay
1 yln a. 1
yln a
为应用的方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 ,+ )时, y = a x，故有
( a x)= a x ln a，x (- ,+ )
故由直接函数与反函数的导数关系： 当 x I x =( - ,+ )时有
fx a r cc o tx 1 yc o 1 ty c sc 1 2y.
为应用方便，应将上式右边写成 x 的函数。
因为当 y I y =( 0 , )时有 c s c y 1 c o t 2 y 1 x 2 ,x I x , + ,
故求得 a r c c o tx 1 1 x 2,x ,
同理可求得
a rcta n x1 1 x 2,x ,
例：设 y = a x，求: y . 对此基本初等函数求导问题，容易想到根据导
数定义计算。同时由于 log a x 的导数已求得，故也可利 直接函数与反函数导数关系求此指数函数导数。
这种表述形式对于导出结果是方便的，但对于应 用却显得不便。因此，在应用时常需将等式两边换成 相同的变量，即此关系式的应用形式应是
fx1 yf1x .
(3) 反函数求导法则的应用
例：设 y = arccos x，求: y . 对此基本初等函数求导问题，容易想到根据定
义计算，但按定义求此反三角函数导数却不方便。 注意到余弦函数 cos x 的导数已求得，故考虑利用
由导数定义及函数的四则运算的求导规则 求得了几个基本初等函数的导数，为便于求出 全部基本初等函数的导数还需讨论反函数的求 导规则。
由于初等函数由基本初等函数经由四则运 算和复合运算构成，故求得了基本初等函数的 导数，再能建立复合运算的求导规则就可解决 所有初等函数的导数计算问题。
(2) 直接函数导数与反函数导数的关系
特例 ( e x)= e x ln e = e x，x (- ,+ )
(1) 复合函数求导问题的提法
设有复合函数 y = f[ g( x )]，其求导问题的一般提
法为：若内层函数 u = g( x )在点 x 处可导，
即d du xlixm 0 u x存 在 ,
外层函数 y = f ( u )在对应点 u = g( x )处可导,
即d du ylium 0 u y存 在 ,
考虑复合函数 y = f[ g( x )]在点 x 处是否可导，
即 d dxylxim 0xy 是否存在？
若存在，其导数形式如何？
由于复合函数 y = f [g( x )]的因变量 y 通过中
故求得 a r c c o sx 1 1 x 2 ,x 1 ,1
例：设 y =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱarccot x，求: y .
用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= cot y ,y I y =( 0 , )为直接函数，则
f( x )= arccot x 为其反函数。
由于 x = ( y )= cot y 在 I y =( 0 , )内单调可导，且 ( cot y )= - csc 2 y ， y I y =( 0 , ).
当 x → 0 时, y → 0 .
若进一步假设 x = ( y )在点 y 处可导，且
y lim y 0
x y
0,
于是由复合函数取极限定理有
lim x0
y x
x0 y0
即 fx 1y .
lim
y0
1
x
,
y
由上讨论有如下结果：
反函数求导法则
如果函数 x = ( x )在区间 I y 内单调、可导，且
用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= log a y ,y I y =( 0 ,+ ),( a > 0 , a 1 ),
为直接函数，则 y = f( x )= a x 为其反函数。
由于 ( y )= log a y 在 I y =( 0 ,+ )内单调可导，且
当 y I y =( 0 ,+ )时
y = f ( x + x )- f ( x ) 0 ， 于是在点 M( x ,y )处，直接函数 x = ( y )的变化
率与其反函数 y = f( x )相应的变化率满足关系
y x
1 x
.
y
若假设 x = ( y ) 在点 y 处连续，则由反函数的连
续性知，y = f( x )在对应点 x 处连续，即
直接函数与反函数导数间的关系求此反三角函数导数。 用反函数求导法则计算
取 x = ( y )= cos y ,y I y =( 0 , )为直接函数，则
f( x )= arccos x 为其反函数。
由于 x = ( y )= cos y 在 I y =( 0 , )内单调可导，且 ( y )=( cos y ) = - sin y < 0 , y I y =( 0 , )，故由直