胡海岩+机械振动基础课后习题解答--第1章习题
机械振动习题集
第一章 概论1-1概念1. 机械振动系统由哪几部分组成？其典型元件有哪些？2. 机械振动研究哪三类基本问题？3. 对机械振动进行分析的一般步骤是什么？4. 在振动分析中，什么叫力学模型，什么叫数学模型？5. 惯性元件、弹性元件、阻尼元件的基本特性各是什么？6. 什么叫离散元件或集中参数元件？7. 什么叫连续体或分布参数元件？8. 建立机械振动系统力学模型的基本原则有哪些？9.建立机械振动系统力学模型需要考虑的基本问题？并分析建立下图中的系统的力学模型。
一台机器（看为一个整体）平置于一块板上，板通过两个垂直的支撑块放置在地面上，试建立其力学模型。
10. 如果一个振动系统是线性的，它必须满足什么条件？11. 如果一个振动系统的运动微分方程是常系数的，它必须满足什么条件？ 12. 试讨论：若从车内乘客的舒适度考虑，该如何建立小轿车的振动模型？1-2简谐运动及其运算1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2πω+=t x （2）)410cos(4ππ+=t x （3）)452cos(3︒+=t x π答案：（1）111,,2222S B B X j X j X j +-==-=+ （2）,,S B B X X X +-== （3）,,224444S B B X j X j X j +-=+=+=-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和，并用“振动计算实用工具”对（2）（3）进行校核（1）)3sin(21πω+=t x )32s i n (32πω+=t x （2）t x π10sin 51=)410cos(42ππ+=t x（3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π)452cos(33︒+=t x π)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π答案：（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π3试计算题1中)(t x 的一阶导数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++ 。
机械振动课后习题答案
机械振动课后习题答案机械振动是力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力作用后的振动特性。
在学习机械振动的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将为大家提供一些机械振动课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识。
1. 一个质量为m的弹簧振子在无阻尼情况下振动，其振动方程为mx'' + kx = 0，其中x为振子的位移，k为弹簧的劲度系数。
试求振动的周期。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是简谐振动，其周期T与振子的质量m和弹簧的劲度系数k有关。
根据简谐振动的周期公式T = 2π√(m/k)，可得振动的周期为T = 2π√(m/k)。
2. 一个质量为m的弹簧振子在受到外力F(t)的作用下振动，其振动方程为mx''+ kx = F(t)，其中F(t) = F0cos(ωt)。
试求振动的解析解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受迫振动，其解析解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
将特解xp(t)代入非齐次方程，求解得到A和φ的值。
最后，振动的解析解为x(t) = xh(t) + xp(t)。
3. 一个质量为m的弹簧振子在受到阻尼力和外力的作用下振动，其振动方程为mx'' + bx' + kx = F(t)，其中b为阻尼系数。
试求振动的稳定解。
解答：根据振动方程可知，振子的振动是受到阻尼力和外力的作用，其稳定解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。
首先求解齐次方程mx'' + bx' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力和阻尼作用下的自由振动解。
然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。
机械振动一章习题解答
T = 2π
所以应当选择答案(C)。
m ( k1 + k 2 ) m = 2π k k1 k 2
习题 12—4
一质点作简谐振动，周期为 T，当它由平衡位置向 X 轴正方向运动 ］
时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为： ［ (A) T/4。 (B) T/12。 (C) T/6。 (D) T/8。
解： 单摆的振动满足角谐振动方程， 这里所给的 θ 是初始角位移，显然是从最大角位移处计时。由 旋转矢量法容易判断该单摆振动的初位相为 “0” ， 因此，应当选择答案(C) 。 −θm
题解 12―1 图
习题 12—2
轻弹簧上端固定，下端系一质量为 m1 的物体，稳定后在 m1 下边又
系一质量为 m2 的物体，于是弹簧又伸长了 ∆x ，若将 m2 移去，并令其振动，则 振动周期为： ［ (A) T = 2π ］
位相 ϕ = π 2 ，故振动方程为
x = 0.02 cos(1.5t +
π ) 2
(SI)
习题 12─17
两个同方向的简谐振动的振动方程分别为
1 ， x 2 = 3 × 10 − 2 cos 2π (t + ) 4
1 x1 = 4 × 10 − 2 cos 2π (t + ) 8
(SI)
求：合振动方程。 解：设合振动方程为
X
习题 12─12
一质点作简谐振动，振动图
线如图所示，根据此图，它的周期
4 O –2
2
t (s)
T=
ϕ=
，用余玄函数描述时的初位相
习题 12―12 图
。 解：根据振动图线可画出旋转矢量图，可得
t=2
∴ ∴
胡海岩+机械振动基础课后习题解答--第1章习题
n2 B0 (n2 2 )2 (2n)2
系统的阻尼比 c 2.4103 0.4 2 mk 2 1009104
其中：B0
f0 k
(1) 求当＝n时的稳态振幅Bd
Bd
B0 2
f0 2 k
90 2 0.4 9104
1.25103(m)
(2) 求振幅具有最大值时的激振频率
(n )2 4 2n
由以上各式得到：keq
(a b)2 a2 b2
k2 k1
k1x1 x1
a
bx1 ax2 ab
k 2 x2
o
x2
b f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96106 Nm2, 且k 4.9105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
w
F F／2
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t) a sin(t ) u(t) a cos(t )
两边平方，相加
代入已知条件
[a2 u2 (t)]2 u2 (t)
(ml2 2ml2 ) k l2 mgl 4
n
kl 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆，其转轴与铅垂方向成角，摆长l，质量不计。求摆动固有频率。 ml2 mg sin( )l sin
ml2 mg sin( )l sin 0
很小，sin
ml2 mg sin( )l 0
动周期为T2, 液体阻尼力可表示为fd 2 Au, 其中2 A为板的面积，为粘性系数，u为板
运动的速度。求证： 2 m AT1T2
(完整word版)机械振动一章习题解答
机械振动一章习题解答习题12—1 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使单摆与竖直方向成一微小角度θ，然后由静止位置放手任其振动，从放手时开始计时，若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初位相为：［ ］ (A) θ。
(B) π。
(C) 0。
(D) 2π。
易判断该单摆振动的初位相为“0”(C) 。
习题12—2 轻弹簧上端固定，下端系一质量为m 1的物体，稳定后在m 1下边又系一质量为m 2的物体，于是弹簧又伸长了x ∆，若将m 2移去，并令其振动，则振动周期为：［ ］ (A) g m x m T 122∆=π。
(B) g m xm T 212∆=π。
(C) g m m x m T )(2211+∆=π。
(D) gm m xm T )(2212+∆=π。
解：谐振子的振动周期只与其本身的弹性与惯性有关，即与其倔强系数k 和质量m 有关。
其倔强系数k 可由题设条件求出g m x k 2=∆ 所以xgm k ∆=2 该振子的质量为m 1，故其振动周期为 gm xm k m T 21122∆==ππ 应当选择答案(B)。
习题12—3 两倔强系数分别为k 1和k 2的轻弹簧串联在一起，下面挂着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为：［ ］题解12―1 图(A) 21212)(2k k k k m T +=π。
(B) 212k k mT +=π。
(C) 2121)(2k k k k m T +=π。
(D) 2122k k mT +=π。
解：两弹簧串联的等效倔强系数为2121k k k k k +=，因此，该系统的振动周期为2121)(22k k k k m k mT +==ππ 所以应当选择答案(C)。
习题12—4 一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向X 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：［ ］(A) T /4。
(B) T /12。
机械振动学习题解答1
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略）
解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
动能
势能
U
1 2
k1
r2 a
b
2
1 2
k2
r2
2
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和
k2静变形的势能。
由能量守恒原理 d (U V ) 0
dt
化简得
J Mr22 m1r12
所以，圆频率 n 2 fn 20
振幅 A xmax 0.072734 m
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
xmax n2 A n xmax 287.14 m/s2
1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台 面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可 有多大？
dP dt
cx2
dt
2－5 求图示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
解：（力法）静平衡时有：
mg k （Δ为弹簧的伸长量）
M, r
F
F’
假设弹簧相对于平衡位置伸长x，则圆
盘沿逆时针方向转过x/r角
F
质量m mx mg F
k x
圆盘M Mr2 x Fr k(x )r
2 2
2
动能 V 1 J2 1 mL2 2
2
23
由能量守恒原理 d (U V ) 0
θ
dt
kL2 mg L sin mL2 0
2
2
3
化简得 m mg k 0
3 2L 2
列系统微分方程的一般步骤
机械振动基础习题
机械振动分析与应用习题第一部分问答题1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。
3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。
4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。
6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。
第二部分计算题1．求图2-1所示两系统的等效刚度。
图2-1 图2-2 图2-32．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。
3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。
图2-4 图2-5 图2-6 图2-74．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。
现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。
(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。
)5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。
6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。
7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。
8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。
图2-8 图2-99．长度为L 、重量为W 的均匀杆对称地支承在两根细绳上，如图2-8所示。
试建立杆相对于铅垂轴线o-o 的微角度振动方程并确定它的周期。
10．求图2-9所示系统的等效刚度和固有频率。
11．用能量法求图2-10所示均质圆柱体振荡的固有频率。
(完整版)第一章习题答案(2)
习 题1-1 一物体放在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz 的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 解：物体做简谐运动，设系统运动方程为：)sin()(ϕω+=t a t u对物体分离作受力分析: Fs mg t u m -=)(&&要使物体不条离台面，要求0≥Fs ，即： mg t u m ≤)(&&也就是2max )(ωa t ug =≥&& m fg ga 0099.0422==≤∴πω1-2 求简谐运动u t t 1540()cos =和u t t 2339()cos =合成运动的最大振幅与最小振幅，并求其拍频和周期。
解：最大振幅为8最大振幅为21-4 图中简支梁长l =4m 、抗弯刚度EI =⨯1961062.Nm ，且k =⨯49105.N /m ，m =400kg 。
分别求图示两种系统的固有频率。
题1-4图解：简支梁的等效刚度 m N lEIk e 53107.1448⨯==左图系统等效于弹簧并联：m N k k k e 51106.19⨯=+=系统固有频率为：s rad mk n /701==ω 右图系统等效于弹簧串联：m N k k kk k ee68.32=+=系统固有频率为： s rad mk n /3.302==ω 1-5 钢索的刚度为4105⨯N /m ，绕过定滑轮吊着质量为1000kg 的物体以匀速0.5m /s 下降。
若钢索突然卡住，求钢索内的最大张力。
解：此问题等效于单自由度无阻尼系统的自由振动固有频率s rad mkn /20==ω 初始条件是：s m uu 5.0)0(,0)0(==& 则系统的振幅025.0)0()0(222=+=nu u a ω&故由振动引起的最大动张力N ka mg T T T 421102⨯=+=+=1-6 图示重物挂在弹簧上使弹簧静变形为δs 。
胡海岩主编机械振动基础课后习题解答第2章习题
胡海岩主编---机械振动基础课后习题解答_第2章习题第2章习题含答案习题2-1 定常力作用下的单自由度系统1. 一个单自由度系统的质量m=2kg，刚度k=1000N/m，阻尼系数c=10N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(1000/2) ≈ 22.36 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 10/(2√(2×1000)) ≈ 0.158振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
2. 一个单自由度系统的质量m=5kg，刚度k=500N/m，阻尼系数c=20N·s/m。
试求该系统的固有频率、阻尼比和振动的稳定性。
解：根据公式，该系统的固有频率可计算为：ωn = √(k/m) = √(500/5) = 10 rad/s阻尼比可计算为：ξ = c/(2√(mk)) = 20/(2√(5×500)) ≈ 0.141振动的稳定性取决于阻尼比ξ的大小。
当ξ<1时，系统为欠阻尼；当ξ=1时，系统为临界阻尼；当ξ>1时，系统为过阻尼。
习题2-2 强迫振动的幅值和相位1. 一个单自由度系统的质量m=3kg，刚度k=2000N/m，阻尼系数c=30N·s/m。
给定的外力F(t) = 10sin(5t)N。
试求该系统在稳态时的振动幅值和相位。
解：首先求解系统的强迫响应，即对外力F(t)进行拉氏变换：F(s) = L{F(t)} = L{10sin(5t)} = 10L{sin(5t)} = 10×(5/(s^2+25))根据公式，系统的强迫响应可计算为：X(s) = F(s)/((s^2+ωn^2)+2ξωns)其中，ωn=√(k/m)为系统的固有频率，ξ=c/(2√(mk))为系统的阻尼比。
NO1机械振动答案
N O1机械振动答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March《大学物理AII 》作业 机械振动一、选择题：1．假设一电梯室正在自由下落，电梯室天花板下悬一单摆(摆球质量为m ，摆长为l ) 。
若使单摆摆球带正电荷，电梯室地板上均匀分布负电荷，那么摆球受到方向向下的恒定电场力F 。
则此单摆在该电梯室内作小角度摆动的周期为：[ C ] (A) Fm l π2 (B) Flmπ2(C) Fmlπ2 (D) mlF π2 解： 2．图(a)、(b)、(c)为三个不同的简谐振动系统。
组成各系统的各弹簧的原长、各弹簧的劲度系数及重物质量均相同。
(a)、(b)、(c)三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为[ B ] (A) 2∶1∶21(B)1∶2∶4(C) 2∶2∶1 (D) 1∶1∶2解：由弹簧的串、并联特征有三个简谐振动系统的等效弹性系数分别为：2k，k ，k 2 则由m k=2ω可得三个振动系统的2（为固有角频率）值之比为：m k 2 ：m k ：m k2，即1∶2∶4 故选B 3．两个同周期简谐振动曲线如图所示。
则x 1的相位比x 2的相位 [ A ] (A) 超前/2 (B) 落后 (C) 落后 解：由振动曲线画出旋转矢量图可知x 1的相位比x 2的相位超前k m m mk k k k (b) (c) t x O x 1 x 2x 2A1A ω4．一物体作简谐振动，振动方程为)21cos(π+=t A x ω。
则该物体在t = T /8（T 为振动周期）时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为： [ B ] (A) 1:4 (B) 1:2 (C) 1:1 (D) 2:1 (E) 4:1解：由简谐振动系统的动能公式：)21(sin 2122πω+=t kA E k有t = 0时刻的动能为：22221)2102(sin 21kA T kA =+⋅ππt = T /8时刻的动能为：22241)2182(sin 21kA T T kA =+⋅ππ，则在t = T /8时刻的动能与t = 0时刻的动能之比为：1:2二、填空题：1．用40N 的力拉一轻弹簧，可使其伸长10cm 。
2020 机械振动基础思考题(含答案)
机械振动基础思考题与练习题第一章绪论1.机械振动的概念：一种特殊形式的运动。
在这种运动过程中，机械系统由于自身的弹性将围绕其平衡位置作微小的往复运动。
2.简述日常生活与工程实际中常见的振动现象。
（1）心脏的搏动、耳膜和声带的振动；（2）声音的产生、传播和接收；（3）桥梁、建筑物在阵风或地震激励下的振动；（4）飞机、船舶在航行中的振动；（5）机床、刀具在加工时的振动；（6）各种动力机械的振动；（7）控制系统中的自激振动。
3.试结合工程实际论述振动的危害及可利用性。
（1）振动的危害1）振动会降低机床的精度，产生误动作；2）振动会降低仪器仪表的准确性，影响其工作寿命；3）振动会使机械结构产生疲劳破坏，影响使用寿命；4）振动会产生强烈的噪声，污染环境，损害人们的健康；5）振动会使机动车辆的舒适性、操纵稳定性变差；6）海浪激起的共振会引起轮船的断裂；7）气流引起的共振会导致飞机机翼的折断；8）飞行的导弹遇到气流引起的振动会降低导弹的命中率；9）水下潜艇振动过大，将会产生强烈的噪声，极易暴露目标；10）火箭发射失败也常常由振动或控制失灵所引起；11）发生地震会给人民生命财产造成重大损失。
（2）振动的可利用性1）生物医学领域：利用振动治疗疾病，如利用振动按摩仪进行按摩、减肥等。
2）通信工程领域：利用振动研制谐振器等；3）工程地质领域：利用振动对地下资源进行勘探；4）海洋工程领域：利用海浪波动的能量发电；5）土建工程领域：利用振动拔桩、压实等；6）其它工程领域：利用振动完成输送、筛分、破碎、粉磨、脱水等作业过程。
4.简述振动系统的构成及振动问题分类。
（1）振动系统的构成1）振动系统：研究的振动对象，“振系”表示研究对象的振动特性。
2）输入（激励）：表示初始干扰和激振力等外界因素对系统的作用。
3）输出（响应）：表示系统在输入或外激励作用下所产生的动态响应。
（2）振动问题分类振动问题可分为三类：1）振动分析：已知激励和系统特性，求系统的响应。
胡海岩+机械振动基础课后习题解答__第1章习题
u(t)asin(t) 两 边 平 方 ， 相 加
代入已知条件
u ( t) a c o s ( t )
[a 2 u 2(t)]2 u 2(t)
[a2 0.052]2 0.22 [a2 0.12]2 0.082
解出
振 动 周 期 ： T 2 / 2 / 2 . 1 1 6 7 2 . 9 ／ 2
x
任 意 截 面 处 的 弯 矩 ：
M(x)FxFxl
2
2
挠 曲 线 微 分 方 程 ：
x
l 2
x 0
l 2
当x l 2
当x l 2
ddx2w 2 ME(Ix)F 2xFEIx2l 积分：
w(x)E F I1 x2 31 6x2 l3CxD
# 如 果 u 0 0 , u 0 0 ， 系 统 静 止 在 平 衡 位 置 上 。
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0
t1 0
u(t1)u00
经 过 平 衡 位 置 一 次
#如 果 u 0 0 ,u 0 0
u(t) 0 t 1 为 负 值 ， 无 意 义 ， 即 无 解 ， 表 明 系 统 不 经 过 平 衡 位 置
边界条件： w(0)w(l)0
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x
w
F F／ 2
F／ 2
x
w(x)E FI1 x2 31 6x2 l 33 4l82x (a )
kbeam
F w(l /2)
F l3F
48EI l3
(ml22ml2)kl2mgl
4
胡海沿 机械振动习题答案
g g 1 0.7654 , 2 1.8478 l l
(t ) 0.707 0.707 g g (t ) 1 0.707 cos(0.7654 ) t 0.707 cos(1.8478 )t 0 0 1 ( t ) 1 l l 2
P88,2-4: 图示电车由两节质量均为2.28 104 kg的车厢组成， 中间连接器的刚度为 2.86 106 N/m。 求电车振动的固有频率和固有振型。
m 0 u1 k 0 m u k 2 k u1 0 u 0 k 2
1 7.3384(rad/s), 2 48.1783(rad/s)
P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m，求系统的固有模态。
1 2 ma k1b 2 k2 (a u ) a 3 mu k2 (u a )
ma 2 / 3 0 k1b2 k2 a 2 运动方程： 0 m u k2 a
1 1 1 动能： T ( J1 m1a 2 )12 m2 (l1 b 2 ) 2 J 2 22 2 2 2 1 1 1 ( J1 m1a 2 m2l 2 )12 m2 (2lb1 2 ) ( J 2 m2b 2 ) 22 2 2 2
1
1 1 势能： U (m1 ga m2 gl )12 m2 gb22 2 2
( K 2 M )φ 0
2k 2k 1 1 , 1 2 J J 2 2
1 1 φ1 , φ2 1/ 2 1/ 2
P88,2-6: 不计刚杆质量，按图示坐标建立运动微分方程，并求出固有频率和固有振型。
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cl 2 c 48 16 0.21 2 mg 1 9.8 kl mgl ) 16 1 (224 ) 2 ml 2 ( ) 16 m(k l 0.49 4 4
P59.1-16: 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d 2 Au, 其中2 A为板的面积， 为粘性系数，为板 u 运动的速度。求证：
n
(b)
keq
1.96 106 70(rad / s) m 400
k kbeam 3.675 105 k kbeam
keq m 30.3(rad / s)
n
P58.1-8: 钢索的刚度为4 105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。
F ／ 2
x
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
kbeam
F w(l / 2)
F 48EI 3 3 l F l 48EI
(a)
keq k kbeam
keq
48EI 48 1.96 106 5 k 3 4.9 10 1.96 106 ( N / m) 3 l 4
系统的运动方程： mu(t ) ku(t ) f 0 sin(t ) 奇次方程通解：
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt
n 7000 /17.5 20(rad / s)
特解为： u＊(t ) Bd sin(t )
响应： 响应：
Bd f0 /(k m 2 ) 0.01
k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
整个系统的等效刚度：keq keq k3 keq k3 (k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq m
261.86 rad/s
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡： f k1x1 k2 x2 对o力矩平衡： k1x1a k2 x2b
设等效刚度系数为keq， 则：f keq bx1 ax2 ab
bx1 ax2 ab
(a b) 2 由以上各式得到：keq 2 a b2 k2 k1
x1
k1x1
k2 x2
o
a
b
x2
f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96 106 Nm2 , 且k 4.9 105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
a 0.1069, =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？
m
u
质量m运动方程： N mg mu(t )
N mu(t ) mg
不跳离条件: N 0
a sin(t )
越过平衡位置的条件：u(t1 ) 0, u(t1 ) 0 # 如果u0 0, u0 0， 系统静止在平衡位置上。 # 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
u(t1 ) u0 0
t1 0
经过平衡位置一次
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置
g
2
u (t )
g 2
mu(t ) mg 0
u(t ) 2u(t )
N
() 如果sin(t ) 0, 则上式恒成立
m
mg
() 如果 sin(t ) 0, 则上式变为a
g g 9.8 9.9mm 2 sin(t ) 2 (2 5)2
积分：
F x3 1 l 3 w( x) x Cx D EI 12 6 2
边界条件：
w(0) w(l ) 0
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
w
F
F ／ 2
拍周期
2 2 2 (s) | 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 当m 2.5kg, k1 k2 2 105 N/m, k3 3 105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明： k1和k2并联， 之后与k3串联
T1 2
2 m T22 T12 AT1T2
T12 1 2 T2
n
2
T2
d
2 1 2 n
T1 1 2 T2
AT1 c 2 A 2mn 2m 2 2 m T1
2 m T22 T12 AT1T2
P59.1-17: 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m 17.5kg, k 7000N/m, 求该系统在零 初始条件下被简谐力f (t ) 52.5sin(10t 300 )N激发的响应。
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt 0.01sin(t ) u(0) 0, u(0) 0 a1 0.005 a2 0.0043
u(t ) 0.005cos nt 0.0043sin nt 0.01sin(10t 300 )
w
F
F ／ 2
F M ( x) x F x 2 2
挠曲线微分方程：
F l xF x d w M ( x) 2 2 2 dx EI EI
2
l x l x 2 2 0
当x
l 2 l 当x 2
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t ) a sin(t ) u(t ) a cos(t )
两边平方，相加
[a u (t )] u (t )
2 2 2 2
代入已知条件
[a 2 0.052 ] 2 0.22 2 2 2 2 [a 0.1 ] 0.08
解出
振动周期： T 2 / 2 / 2.1167 2.9684 振幅： a 0.1069 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263
u (t ) (5cos t 3)2 (5sin t )2 34 30cos t
(t ) arctan(
5sin t ) 5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s
很小， sin
mg sin
n
mg sin( )l ml 2
g sin( ) l
P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
u(t ) [u0 (u0 nu0 )t ]ent u(t ) [u0 n (u0 nu0 )t ]ent
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1
u0 u0 nu0
0
u (t1 ) [u0 nu0 ]e
nu0 u0 n u0
经过平衡位置一次
P58.1-14: 一单自由度阻尼系统， m 10kg时， 弹簧静伸长s =0.01m。自由振动20个循环后， 振 幅从6.4 103 m 降至1 .6 103 m。 求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量。
P59.1-18: 质量为100kg的机器安装在刚度k 9 104 N/m和阻尼系数c 2.4 103 Ns/m的隔振 器上，受到铅垂方向激振力 f (t ) 90sin t N作用而上下振动。求 (1) 当＝n时的稳态振幅Bd ; (2) 振幅具有最大值时的激振频率; (3) max(Bd )与Bd的比值;
u(t )与u1 (t )的相位差： 65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1 (t ) 5cos 40t , u2 (t ) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
0
0
0
0
0
)
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re[5e j 40t 3e j 39t ] Re[(5e jt 3)e j 39t ] Re[((5cos t 3) j 5sin t )e j 39t ] Re[u (t )e j (t ) e j 39t ] u (t ) cos(39t (t ))
s
A m g ln( 0 ) n An s
10 6.4 103 9.8 ln( ) 6.91(Ns/m) 20 1.6 103 0.01
20周阻尼器消耗的能量
1 1 mg 2 2 2 k ( A02 An ) ( A0 An ) 2 2 s 10 9.8 ((6.4 103 ) 2 (1.6 103 ) 2 ) 0.19(NM) 2 0.01
系统固有频率： n k m
初始条件： u(0) 0, u(0) v0
u0 v0 m k
2 振幅： a u0 (
n
)2
n
v0
最大张力： T mg ka mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4 105 1.98 104 (N)