胡海岩+机械振动基础课后习题解答--第1章习题
胡海岩机械振动基础试题综合
1、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；（确定性振动）和随机振动；自由振动和（强迫振动）；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离散系统。
2、在离散系统中，弹性元件储存（势能），惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。
3、叠加原理是分析(线性振动系统)的振动性质的基础。
4．叠加原理在（线性振动系统）中成立；在一定的条件下，可以用线性关系近似（非线性关系）。
5．在振动系统中，弹性元件储存（势能），惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。
6、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。7．周期运动可以用（简谐函数）的（级数）形式表示。
8．根据系统、激励与响应的关系，常见的振动问题可以分为（振动设计、系统识别、环境预测）三类基本课题。
9．随机振动中，最基本的数字特征有（均值、方差、自相关函数和互相关函数）；宽平稳随机振动过程指的是上述数字特征具有（与时间无关）特点；各态遍历过程是指任一样本函数在（时域）的统计值与其在任意时刻的状态的统计值相等。
10、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。
11、(惯性)元件、(弹性)元件、(阻尼)元件是离散振动系统的三个最基本元素。
12、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。
13、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。
14、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。
胡海岩机械振动基础课后习题解答第1章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t) a sin(t ) u(t) a cos(t )
最大速度=a Evaluation 0.10692.1167 0.2263 only.
eaPt5e7.d1-2:w一物it体h放A在水s平 p台o面se上.，S当l台i面d沿e铅s垂f方o向r 作.N频率E为T5Hz3的.简5谐C振动li时e，n要t使P物体ro不f跳i离le平台5，.2.0
5.2.0
t
Re[u (t)e j (t)e j39t ]
u (t) cos(39t (t))
(t) arctan( 5sin t )
5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s 拍周期 2 2 2 (s)
u(t1) uC0 o0 pyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
# 如果u0 0, u0 0 u(t) 0 t1为负值，无意义，即无解，表明系统不经过平衡位置
# 如果u0 0, u0 0
机械振动第1单元习题课
A B
O
A－O
O－B
B－O
O—A
x v F
动能和 势能 总机械 能
向左减小 向右增大
向右减小 动能增大 势能减小
向右增大 向右减小 向左增大 向右减小 向左增大 向左减小
向左增大 向左减小 向右增大 动能减小 动能增大 动能减小 势能增大 势能减小 势能增大
不变
不变
不变
不变
简谐运动的周期性
【例1】一个在水平方向做简谐运动的弹簧振子的振动周期是 0.025s，当振子从平衡位置开始向右运动，在0.17s时刻，振 子的运动情况是（ ） A．正在向左做减速运动 B．正在向右做加速运动 C．加速度正在减小 D．动能正在减少
练习2：一个质点作简谐运动，其运动的位移与时间的关 系图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A.振动周期为4s B.振动频率为0.25Hz C.质点在8s内通过的路程为40cm D.5s末质点的位移为零.
机械振动一章习题解答
sin ϕ = −
ϕ = − arccos 0.8 = −36.87 �
一系统作简谐振动，周期为 T，以余玄函数表示振动时，初位相为 时刻动能和势能相等。
零。在 0 ≤ t ≤ T 2 范围内，系统在 t= 解：依题意有如下关系 1 2 1 kx = mv 2 2 2 即
1 2 1 kA cos 2 ω t = mω 2 A 2 sin 2 ω t 2 2 ∵ ∴
所以
k=
该振子的质量为 m1，故其振动周期为
m2 g ∆x
T = 2π
应当选择答案(B)。
m1 m1 ∆x = 2π k m2 g
习题 12—3
两倔强系数分别为 k1 和 k2 的轻弹簧串联在一起， 下面挂着质量为 m ］
的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为： ［ (A) T = 2π
该力的大小为
Fmax = 10 N
由于
F = ma = −50 x
令上式中
F = Fmax = ±10(N)
可得
x = ± 0 .2 m
习题 12—14
一质量为 M 的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是 12cm ,在
距平衡位置 6cm 处速度是 24cm/s，求：(1) 周期 T；(2) 当速度是 12cm/s 时的位 移。 解：(1) 由方程
机械振动一章习题解答
机械振动基础课后习题答案
机械振动基础课后习题答案
1. 简谐振动的特点是什么？简述简谐振动的基本方程。
答：简谐振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。其特点有以下几点：振动周期固定、振幅不变、振动轨迹为正弦曲线。简谐振动的基本方程为x = A*cos(ωt + φ)，其中x为振动的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 简述自由振动、受迫振动和阻尼振动的区别。
答：自由振动是指振动系统在无外力作用下，自身受到弹性力作用而产生的振动。受迫振动是指振动系统在外力作用下，产生与外力频率相同的振动。阻尼振动是指振动系统在有阻尼力作用下，产生的振动。三者的区别在于外力的有无和阻尼力的存在与否。
3. 什么是振动的自由度？简述单自由度振动和多自由度振动的特点。
答：振动的自由度是指描述振动系统所需的独立坐标的个数。单自由度振动是指振动系统所需的独立坐标只有一个，可以用一个坐标来描述整个振动系统。多自由度振动是指振动系统所需的独立坐标大于一个，需要多个坐标来描述整个振动系统。单自由度振动的特点是简单、容易分析，而多自由度振动具有更复杂的动力学特性。
4. 简述振动系统的自然频率和强迫频率。
答：振动系统的自然频率是指系统在无外力作用下自由振动时的频率。自然频率只与系统的质量、刚度和几何形状有关。强迫频率是指系统在受到外力作用下振动的频率。强迫频率可以是任意频率，与外力的频率相同或不同。
5. 什么是共振？简述共振现象的发生条件。
答：共振是指振动系统在受到外力作用下，当外力的频率接近系统的自然频率时，振动幅度达到最大的现象。共振现象发生的条件包括：外力的频率接近系统的自然频率，外力的幅度足够大，系统的阻尼较小。
机械振动学习题解答1
所以等效刚度
F2
ke F / x k1 cos2 k2a2 / b2
F2
2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距 左端O为 nL 处设一支承点，如图所示。求杆对O点 的等效质量。
解：设弹簧k以速度 x发生变形，则杆的质心的运动
2
由动量矩定理J Ti
得
mL2
F
L
i
cos
mg
L
sin
3
2
2
又由于 sin , cos 1
上式可化简为
m mg k 0
3 2L 2
θF mg
（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0。当 杆顺时针偏转θ角时
势能 U 2 1 k L sin 2 mg L 1 cos
2－7 求图示系统的振动微分方程。（刚性杆质量忽 略）
解：（能量法）设系统处于静平衡位置时势能为0
动能
势能
U
1 2
k1
r2 a
b
2
1 2
k2
r2
2
m1参与静平衡，重力势能抵消了弹簧k1和
k2静变形的势能。
由能量守恒原理 d (U V ) 0
胡海岩机械振动基础第一章课件
(t ) cu (t ) ku(t ) 0 mu
(t ) ku(t ) 0 mu
振动工程研究所
1.2无阻尼单自由度系统的自由振动
方程
& & m u (t ) ku (t ) 0
二阶常系数齐次方程
注意
特点
初始条件
(定解条件)
(0) u 0 u(0) u0 , u
振动工程研究所
梁横向振动
例：简支梁的横向振动，假设系统的质量全部 集中在梁的中部，取梁的中部挠度作为系统的 位移，静态挠度 ：
P
等效刚度
P 48EI ke 3 l
EI l 2
l 2
振动工程研究所
系统自由振动方程为
(t ) k e u(t ) 0 mu
振动固有频率
ke 48EI n m ml 3
0
a
O
0
Re
Re
Re
a
b
c
– 复数法
z ae e
j
j0t
ae
j(0t )
振动工程研究所
复数法的位移、速度、加速度关系
z ae e
j 0 ae z
j ( 0t )
j
j0t
ae
j / 2
j(0t )
0 ae
机械振动基础习题
机械振动分析与应用习题
第一部分问答题
1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。
3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。
4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？
5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。
6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。
第二部分计算题
1．求图2-1所示两系统的等效刚度。
图2-1 图2-2 图2-3
2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。
图2-4 图2-5 图2-6 图2-7
4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。)
5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。
6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。
7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。
机械振动基础习题
机械振动分析与应用习题
第一部分问答题
1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。
2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。
3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。
4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？
5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。
6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。
第二部分计算题
1．求图2-1所示两系统的等效刚度。
图2-1 图2-2 图2-3
2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。
图2-4 图2-5 图2-6 图2-7
4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。)
5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。
6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。
7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。
机械振动基础(1)
机械振动基础（1）班级 姓名 学号
一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。）
1、振动频率和周期是系统的固有属性，仅与系统的弹性和惯性有关，与运动初始条件无关. ( )
2、系统自由振动的振幅和初位相与运动初始条件有关。 （ ）
二、选择题
1、图（a ）系统固有频率为 ；
图（b ）系统固有频率为 ；
图（c ）系统固有频率为 ；
图（d ）系统固有频率为 。
①()212m /k n =
ω； ② ()212m /k ； ③ ()21
m /k
2、图示系统。当α改变时系统的固有频率
为 。
①随α的增加而增加； ②随α的增加而减小；
③随α的减小而增加； ④随α的减小而减小；
⑤与α无关。
3、匀质圆盘质量为m ，半径为r ，弹簧静伸长为S δ
，绳与圆盘间无滑动，广义坐标θ的原点在平衡位置，则系统作微振动的微分方
程 。
①θ&&0J +θ2kr
-mgr =0 ②()θ
θkr mr mr ++&&222/=0 ③+θ
&&0J θ2kr =0 ④()θ&&2/2mr +()r r k S
δθ+=0 三、填空题
1、小阻尼（n
对周期的影响是 。
2、两振动系统如图，其振动周期之比b a T T /= 。
四、计算题
1、质量为m的小车在斜面上自高度h处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。缓冲弹簧的刚性系数为k，斜面倾角为 。求小车碰着缓冲器后自由振动的周期与振幅。
2、图示均质杆AB，质量为m1，长为l3，B端刚性连接一质量为m2的物体，其大小不计。杆AB在O处为铰支，两弹簧刚性系数均为k，约束如图。设图示位置为平衡位置。求系统的固有频率。
大学--机械振动----课后习题和答案(1-4章-总汇)
大学--机械振动----课后习题和答案(1-4章-总汇)
1.1 试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。
1.2 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
1.3 设有两个刚度分别为1
k ，2
k 的线性弹簧如图
T —1.3所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq
k 为：2
1k k k
eq
+=
2)它们串联时的总刚度eq
k 满足：
2
1111k k k eq +=
解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧
的变形相同为x ，但受力不同，分别为：
1122P k x P k x
=⎧⎨
=⎩
由力的平衡有：1
2
1
2
()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq
P
k k k x
=
=+
2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为：
1122P x k P x k ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，弹簧的总变形为：1
2
12
11
(
)x x x
P k k =+=+
故等效刚度为：122112
111eq
k k P k x k k k k =
==++
1.4 求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1
t k ，2
t k 。
解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为：
1122t t T k T k θθ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
系统的总转角为：
1212
11
(
)t t T k k θθθ=+=+，12
1
11(
)eq
t t k T
k k θ
=
=+
故等效刚度为：12
111eq
t t k k k =
+
1.5 两只减振器的粘性阻尼系数分别为1
机械振动学习题解答(一)解读
F F2
F1
其中
F1 k1 x cos
F2b F2a k2 ax / b a F2 k2 xa 2 / b 2
所以等效刚度
F2
ke F / x k1 cos2 k2a2 / b2
F2
2－12 一质量为 m、长度为 L 的均匀刚性杆，在距 左端O为 nL 处设一支承点，如图所示。求杆对O点 的等效质量。
b点的等效刚度计算与a点类似：
1 1 1 1 1 1 kb 4 4 ka 3 k4 4k1 4k2 k3 k4 于是质量m的固有频率 n kb / m
2 A 加速度幅值 xmax n
2 Asin(nt ) 加速度 x(t ) n
由题意，fn 10 Hz, xmax 4.57 m/s
所以，圆频率 n 2 fn 20
A xmax 0.072734 m
振幅
n
周期 T 1/ fn 0.1 s
最大加速度
m
k
2－6 图示系统垂直放置，L2杆处于铅垂位置时系统 静平衡，求系统作微振动的微分方程。（刚性杆质 量忽略）
解：（力法）静平衡时（假设此时弹簧被压缩，即m3 的力矩大于m1的力矩）
m3g L3 L4 kL3 L4 m1gL1
胡海沿 机械振动习题答案
1 7.3384(rad/s), 2 48.1783(rad/s)
P88,2-9: 图示均匀刚杆质量为m，求系统的固有模态。
1 2 ma k1b 2 k2 (a u ) a 3 mu k2 (u a )
ma 2 / 3 0 k1b2 k2 a 2 运动方程： 0 m u k2 a
1 0.437
k k , 2 1.144 m m
1 1 φ1 0.618 , φ2 1.618 l l
1 1 cos 1t u (t ) (t ) 0.618 1.618 0 l l
0 u 2k kl / 4 u 0 m 运动方程： 0 ml 2 /12 kl / 4 5kl 2 /16 0
1Baidu Nhomakorabea 1.282
k k , 2 2.026 m m
1 1 φ1 , φ 2 8.42 / l 1.43 / l
( K 2 M )φ 0
1 0, 2 2k / m 15.84 (rad/s)
1 1 φ1 , φ2 1 1
P88,2-5: 求图示扭转振动系统的固有频率和固有振型。
J 0 u1 k 0 2 J u k 2 k u1 0 u 0 2k 2
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F
F ／ 2
F ／ 2
x
任意截面处的弯矩：
F l M ( x) x F x 2 2
挠曲线微分方程：
F l xF x d w M ( x) 2 2 2 dx EI EI
2
l x l x 2 2 0
当x
l 2 l 当x 2
F ／ 2
x
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
kbeam
F w(l / 2)
F 48EI 3 3 l F l 48EI
(a)
keq k kbeam
keq
48EI 48 1.96 106 5 k 3 4.9 10 1.96 106 ( N / m) 3 l 4
a 0.1069, =2.1167
P57.1-2: 一物体放在水平台面上， 当台面沿铅垂方向作频率为5Hz的简谐振动时， 要使物体不跳离平台， 对台面的振幅有何限制？
m
u
质量m运动方程： N mg mu(t )
N mu(t ) mg
不跳离条件: N 0
a sin(t )
P59.1-18: 质量为100kg的机器安装在刚度k 9 104 N/m和阻尼系数c 2.4 103 Ns/m的隔振 器上，受到铅垂方向激振力 f (t ) 90sin t N作用而上下振动。求 (1) 当＝n时的稳态振幅Bd ; (2) 振幅具有最大值时的激振频率; (3) max(Bd )与Bd的比值;
积分：
F x3 1 l 3 w( x) x Cx D EI 12 6 2
边界条件：
w(0) w(l ) 0
F x3 1 l 3 3l 2 w( x) x x EI 12 6 2 48
w
F
F ／ 2
n
(b)
keq
1.96 106 70(rad / s) m 400
k kbeam 3.675 105 k kbeam
keq m 30.3(rad / s)
n
P58.1-8: 钢索的刚度为4 105 N/m, 绕过定滑轮吊着质量为100kg的物体以匀速0.5m/s下降， 若钢索突然卡住， 求钢索内的最大张力。
u(t )与u1 (t )的相位差： 65.50 300 35.50
P57.1-4: 求两简谐运动u1 (t ) 5cos 40t , u2 (t ) 3cos 39t的合成运动的最大振幅和最小振幅， 并求其拍频和周期。
0
0
0
0
0
)
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) Re[5e j 40t 3e j 39t ] Re[(5e jt 3)e j 39t ] Re[((5cos t 3) j 5sin t )e j 39t ] Re[u (t )e j (t ) e j 39t ] u (t ) cos(39t (t ))
2 2 2 2
代入已知条件
[a 2 0.052 ] 2 0.22 2 2 2 2 [a 0.1 ] 0.08
解出
振动周期： T 2 / 2 / 2.1167 2.9684 振幅： a 0.1069 最大速度=a 0.1069 2.1167 0.2263
k1和k2并联后的等效刚度：keq k1 k2
整个系统的等效刚度：keq keq k3 keq k3 (k1 k2 )k3 k1 k2 k3
系统的固有频率：n
keq m
261.86 rad/s
P57.1-6: 写出图示系统的等效刚度的表达式。
垂直方向力平衡： f k1x1 k2 x2 对o力矩平衡： k1x1a k2 x2b
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1
u0 u0 nu0
0
u (t1 ) [u0 nu0 ]e
nu0 u0 n u0
经过平衡位置一次
P58.1-14: 一单自由度阻尼系统， m 10kg时， 弹簧静伸长s =0.01m。自由振动20个循环后， 振 幅从6.4 103 m 降至1 .6 103 m。 求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量。
系统固有频率： n k m
初始条件： u(0) 0, u(0) v0
u0 v0 m k
2 振幅： a u0 (
n
)2
n
v0
最大张力： T mg ka mg v0 mk 1000 9.8 0.5 1000 4 105 1.98 104 (N)
系统的运动方程： mu(t ) ku(t ) f 0 sin(t ) 奇次方程通解：
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt
n 7000 /17.5 20(rad / s)
特解为： u＊(t ) Bd sin(t )
响应： 响应：
Bd f0 /(k m 2 ) 0.01
u(t ) a1 cos nt a2 sin nt 0.01sin(t ) u(0) 0, u(0) 0 a1 0.005 a2 0.0043
u(t ) 0.005cos nt 0.0043sin nt 0.01sin(10t 300 )
P57.1-3: 求简谐位移u1 (t ) 5e j (t 30 )与u2 (t ) 7e j (t 90 )的合成运动u(t ), 并求u(t )与u1 (t )的相位差。
0
0
u (t ) u1 (t ) u2 (t ) 5e j (t 30 ) 7e j (t 90 ) (5e j 30 7e j 90 )e jt (5cos 300 j (5sin 300 7))e jt 10.44e j (t 65.5
第一章习题
P57.1-1: 一物体作简谐振动, 当它通过距平衡位置为0.05m, 0.1m处时的速度分别为0.2m/s和0.08m/s。 求其振动周期、振幅和最大速度。
u(t ) a sin(t ) u(t ) a cos(t )
两边平方，相加
[a u (t )] u (t )
拍周期
2 2 2 (s) | 2 1 | | 40 39 |
P57.1-5: 写出图示系统的等效刚度的表达式。 当m 2.5kg, k1 k2 2 105 N/m, k3 3 105 N/m时， 求系统的固有频率。
分析表明： k1和k2并联， 之后与k3串联
n ln(
A0 A1 An1 A ) ln 0 A1 A2 An An A0 2 An
ln
A0 A , ln 1 , A1 A2
, ln
An1 An
ln
1 n
1 2 n
ln
A0 An
c 2 mk 2 m
mg
s
2m
g
设等效刚度系数为keq， 则：f keq bx1 ax2 ab
bx1 ax2 ab
(a b) 2 由以上各式得到：keq 2 a b2 k2 k1
x1
k1x1
k2 x2
o
a
b
x2
f
P57.1-7: 图中简支梁长l 4m, 抗弯刚度EI 1.96 106 Nm2 , 且k 4.9 105 N/m, m 400kg。 分别求图示两种系统的固有频率。
s
A m g ln( 0 ) n An s
10 6.4 103 9.8 ln( ) 6.91(Ns/m) 20 1.6 103 0.01
20周阻尼器消耗的能量
1 1 mg 2 2 2 k ( A02 An ) ( A0 An ) 2 2 s 10 9.8 ((6.4 103 ) 2 (1.6 103 ) 2 ) 0.19(NM) 2 0.01
T1 2
2 m T22 T12 AT1T2
T12 1 2 T2
n
2
T2
d
Fra Baidu bibliotek
2 1 2 n
T1 1 2 T2
AT1 c 2 A 2mn 2m 2 2 m T1
2 m T22 T12 AT1T2
P59.1-17: 已知单自由度无阻尼系统的质量和刚度分别为m 17.5kg, k 7000N/m, 求该系统在零 初始条件下被简谐力f (t ) 52.5sin(10t 300 )N激发的响应。
2
cl 2 c 48 16 0.21 2 mg 1 9.8 kl mgl ) 16 1 (224 ) 2 ml 2 ( ) 16 m(k l 0.49 4 4
P59.1-16: 图示系统的薄板质量为m, 系统在空气中(认为无阻尼)振动周期为T1 , 在粘性液体中振 动周期为T2 , 液体阻尼力可表示为f d 2 Au, 其中2 A为板的面积， 为粘性系数，为板 u 运动的速度。求证：
很小， sin
mg sin
n
mg sin( )l ml 2
g sin( ) l
P58.1-13: 证明对临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。
(1) 对临界阻尼情形
u(t ) [u0 (u0 nu0 )t ]ent u(t ) [u0 n (u0 nu0 )t ]ent
越过平衡位置的条件：u(t1 ) 0, u(t1 ) 0 # 如果u0 0, u0 0， 系统静止在平衡位置上。 # 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
u(t1 ) u0 0
t1 0
经过平衡位置一次
# 如果u0 0, u0 0
u(t ) 0
t1为负值， 无意义， 即无解， 表明系统不经过平衡位置
P58.1-11: 系统在图示平面内作微摆动， 不计刚杆质量， 求其固有频率。
l2 (ml 2ml ) k mgl 4
2 2
n
kl 4mg 12ml
P58.1-12: 图示摆， 其转轴与铅垂方向成角， 摆长l， 质量不计。 求摆动固有频率。
ml 2 mg sin( )l sin ml 2 mg sin( )l sin 0 ml 2 mg sin( )l 0
u (t ) (5cos t 3)2 (5sin t )2 34 30cos t
(t ) arctan(
5sin t ) 5cos t 3
umax 34 30 8 umin 34 30 2
拍频 | 2 1 || 40 39 | 1 rad/s
g
2
u (t )
g 2
mu(t ) mg 0
u(t ) 2u(t )
N
() 如果sin(t ) 0, 则上式恒成立
m
mg
() 如果 sin(t ) 0, 则上式变为a
g g 9.8 9.9mm 2 sin(t ) 2 (2 5)2
P58.1-15: 图示系统的刚杆质量不计，m 1kg，k 224N/m, c 48Ns/m, l1 l 0.49m, l2 l / 2, l3 l / 4。 求系统固有频率及阻尼比。
l2 l 2 mgl kl mg 224 0.49 1 9.8 7.14(rad/s) ml c (k ) 0 n 4ml 4 1 0.49 16 4 4