高等数学同济第七版第一章ppt课件
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反常积分
反常积分的概念
反常积分是对于无穷区间上的积分，它分为两类：无穷限的反常积 分和瑕点的反常积分。
反常积分的性质
反常积分具有一些特殊的性质，例如：无穷限的反常积分的结果可 能为无穷大，瑕点的反常积分的结果可能为无穷小。
反常积分的计算方法
对于不同类型的反常积分，计算方法有所不同，常用的方法包括利 用极限理论、幂级数展开等。
法则。
基本公式
02 基本公式包括指数函数的导数、幂函数的导数、对数
函数的导数和三角函数的导数等。
常见函数的导数
03
常见函数的导数包括一次函数的导数、二次函数的导
数、反比例函数的导数和幂函数的导数等。
微分及其应用
01
02
03
微分的概念
微分是函数在某一点处的 近似值，即函数在该点的 切线截距。
微分的几何意义
柯西中值定理
进一步揭示了函数在某点处的导数与该点附近函数的平均值之间的关系，是微分学中的重要定理之一。
洛必达法则
洛必达法则基本内容
在一定条件下，当一个函数的极限为0时，可以 应用洛必达法则求其导数的极限。
洛必达法则的应用
适用于求一些复杂函数的极限，简化计算过程 。
洛必达法则的条件
只有在满足一定条件下才能使用洛必达法则，否则可能导致错误的结果。
反常积分的应用
• 总结词：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类问 题。反常积分的应用包括物理、工程、经济等领域。
• 详细描述：反常积分是定积分的一种推广形式，它可以用来求解更广泛的一类 问题。反常积分有两种类型：无穷区间上的反常积分和无界函数的反常积分。 无穷区间上的反常积分可以用来求解函数在无穷区间上的积分，而无界函数的 反常积分可以用来求解函数在有限区间上的瑕积分。反常积分的应用非常广泛 ，包括物理、工程、经济等领域。例如，在物理学中，反常积分可以用来求解 量子力学中的波函数问题、电动力学中的电磁场问题等；在工程学中，反常积 分可以用来求解流体动力学中的问题、热传导问题等；在经济领域，反常积分 可以用来求解贴现问题、投资组合问题等。
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a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
b
F (b) F (a) a f ( x)dx .
0 f ( x)dx ，
a
0
a
0
x t
f ( x)dx
a
f (t)dt
a f ( x)dx ，
a
0
0
a
f ( x)dx
a
[
f (x)
f ( x)]dx ，
a
0
a
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
a
0
(1) f ( x)为偶函数, 则
y y f (x)
1
0
xf
(
x
)dx
11
2 0
f ( x)d( x2 )
1 2
x2 f (x)
1
0
1 2
1 x2df ( x)
0
1 2
f
(1)
11
2 0
x2
f
( x)dx
1 2
1 0
x2
sin x2 x2
2x
dx
1 2
1
0
2
x
sin
x
2dx
1 2
1
sin
x2d( x2 )
1
cos
x2
0
2
1 0
1 (cos1 1).
1
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1+ x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
理解为：
f
(
∆
)
=
1− 1+
∆ ∆
（五）函数与图像
2、图像：平面点= 集 C {(x= , y) y f (x), x∈D}。
了解函数的直
例：画函数 y = x 的图像.
观手段！
y
一元函数的图像通常是二
维平面上的一条一维曲线.
注： 由曲线求取对应的函
数往往不易，由函数画图
o
x 像相对容易.
例如， 1 + 2 =3 1 − 2 =−1
负数的引入有实 际意义！如：记 帐有赢利亏欠， 温度有零上零 下…
2. Z(整数环)
对加法、减法都封闭; 对除法不能封闭。
例如， 1 ÷ 2 =0.5
3. Q(有理数域)
对加法、减法、乘法、除法都封闭；有理数域尽管稠密但不 连续，还有客观事物不能用有理数表示。
课后自测
1、 写出所有三角函数和反三角函数的定义域，并画出函数图像。
2、
已知函数
y
=
f
(x)
=
12+
x, x,
0≤ x ≤1 x >1
求
f
(
1 2
)
及
f
(
1 t
)
,
并写出定义域及值域 。
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理
一、有界性与最大值最小值定理
二、预备知识
1、基本初等函数 (4) 三角函数
余弦函数 y = cos x 正切函数 y = tan x
余切函数 y = cot x
正割函数 y = sec x 余割函数 y = csc x
高等数学同济第七版第一章ppt课件
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
3
2
1 -4 -3 -2 -1 o -1 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4
阶梯曲线
(4) 狄利克雷函数
y
D( x)
1 0
当x是有理数时 当x是无理数时
y
1
• 无理数点
o
有理数点
x
例
设
D(
x)
1 0
xQ ,
xQ
求D( 7), D(1 2).并讨论D(D( x))的性质. 5
例如,
f
(
x)
2x
x
2
1, 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
(1) 绝对值函数
y
0
x
(2) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
y
(3) 取整函数 y=[x]
4
[x]表示不超过 x 的最大整数
函数的值域可由其定义域和对应规则确定，即
R f ={ y y = f( x )，x D f }= f( D f ).
结论：函数的两个要素实际也给出了判别两函数是 否相同的方法，即若两函数的定义域相同，对应法 则也相同，这两函数就是相同的，否则就是不同的。
例如：y = f( x )= sin x，x R =( - ,+ )；
反函数的定义域和值域恰为原函数的值域 和定义域
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
高等数学 同济大学第七版第1章第1节课件C1S1
那么称函数f (x)在X上有上界
y
K1 称为函数f (x)在X上的一个上界
类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K1, 使得 f ( x) K1 对任一 x X 都成立
那么称函数f (x)在X上有上界
o
x
注 函数f (x)在X上有界
函数f (x)在X上既有上界，又有下界
例：f ( x) sin x 在(, )内有界，f ( x) 1 在(0, 1)内无界 x
函数的几种特性
2．函数的单调性
设函数f (x) 的定义域为D，区间 I D
y
如果对于区间I上的任意两点x1及x2，
积 f g ( f g)( x) f ( x) g( x), x D
商 f g
f ( x) f ( x) , x D \ x | g( x) 0
g g(x)
概念
概念
集映 合射
逆映射
区邻 间域
构造 复合映射
初等函数 函
反函数
数
复合函数 构造
四则运算
第一讲 映射与函数
映
特例
函
射
数
概念
映
函
射
数
映射的概念
定义 设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得 对X中每个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素 y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，记作：y=f (x)
f Xx
原像
像
定义域
Y y
值域
注
（1） 映射的三要素：定义域、值域的范围、对应法则； （2） 映射的像唯一，但原像不一定唯一； （3） 映射又称为算子，在不同数学分支中有不同的名称
同济大学高等数学(第七版)上册第一章函数 PPT课件
16 x2 0
(1) (2)
y 2x ln x 16 x2
y log5 (x2 1)
ln x 0 x [1, 4) (4, )
x0
x2 1 0 x (, 1) (1, )
函数定义可简单地归结为构成函数的两个要素： • 定义域 D f ： 自变量的变化范围。 • 对应法则 f ：自变量与因变量的对应规则。
y y f (x)
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数图形关于y轴对称,如：y=kx2
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x) f ( x) 称 f ( x)为奇函数;
y
y f (x)
-x f (x)
f (x)
o
xx
奇函数的图形关于原点对称，如：y=kx
奇、偶函数经四则运算后仍可在一定条件 下保持相应的奇、偶性。
解： D( 7) 1, 5
D(1 2) 0,
D(D( x)) 1,
(5) 取最值函数
y max{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
y min{ f ( x), g( x)}
y
f (x)
g( x)
o
x
例.
已知函数
y
f
(
x)
2 1
x, x,
y
y f (x)
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D, 如果对于区间 I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时, 恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ), 则称函数 f ( x)在区间I上是单调减少的;
高等数学-第一章-函数与极限-函数的极限-同济大学
f (x) A ,
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
经过不等式的变形, 得到关系
f (x) A M x x0 ,
其中 M是一个与x无关的常量. 再取 , 则当
0 x x0 时, 有:
M
f (x) A M x x0 ,
此即说明 lim f (x) A. x x0
例1 证明下列极限
⑴ lim(2x 1) 5; x2
xn
是函数 f
x
xx0
定义域中的一个任意数列,
xn
x0 ,
且
lim
n
xn
x0,
则相应的数列 f xn 收敛, 且
lim
n
f
(xn )
lim
x x0o
f
(x).
o
证
设 lim f (x) A, xx0
则存在U (x0, ), 当x U (x0, ), 有
f (x) A ,
o
又因
lim
n
x
证令
xn
1,
1
2n
2
yn
1
2n
,
则
lim
n
xn
lim
n
yn
0,
且 xn
0, yn , 0,
但
lim
n
f
(xn )
1, lim n
f
( yn )
0,
所以 lim sin π 不存在.
x0
x
对于数列, 相应的归并性定理为
定理
设数列
lim
n
xn 存在,
则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
2x 2(x2 1)
1 x
最新同济大学高等数学第七版上册定积分精品课件
则有
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
b
a f ( x)dx f [(t)] (t)dt
证 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，故原函数存在，设 F( x) 是 f (x) 的一个原函数，则有
f [(t)](t)dt
f [(t)]d(t)
F[(t)] F[( )] F[( )]
2
三、小结
1、使用定积分的换元法时要注意积分限的对 应。
2、不引入新的变量记号，积分限不变；引入 新的变量记号，积分限跟着变。
3、定积分分部积分公式的用法与不定积分分 部积分公式的用法类似。
作业
P254 1 (4) , (10) , (16) ,(24) ; 3 ; 6; 7 (4), (9), (10)
2 2arctant 1 2 .
0
2
例7
设
f
(x)
12xx, 1 x
,
x0 x0,
2
求 f ( x 1)dx . 0
解 令 x1 t，
原式
1
f (t)dt
1
f ( x)dx
1
1
1
2xdx
0 1 x dx
0
1 1 x
x2 1
0
(1
2 ) dx
0
1
1 x
1 1 2 ln(1 x) 0 2 ln 2 . 1
T f ( x)dx .
a
0
aT
证 a f ( x)dx
0
T
aT
a f ( x)dx 0 f ( x)dx T f ( x)dx ,
aT
f ( x)dx
xT t
《高数同济》课件
引发学生对下一次课程的兴趣，告知学生需要进行的预习，以便更好地理解和掌握。
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
《高数同济》PPT课件
本《高数同济》PPT课件演示文稿旨在向大家介绍高等数学的基本概念和定理， 以及解释常见的数学公式。通过实例和练习题的讲解，帮助学生更好地掌握 课程内容。课件结构概述，总结回顾，还将提醒学生预习下一讲内容。
课件结构概述
第一部分
引言和课件目的
第三部分
基本公式和定理的说明
第五部分
总结与回顾
4 拉普拉斯变换
将函数在时域与频域之间转换
实例和练习题讲解
1
ห้องสมุดไป่ตู้
实例分析
通过实际例子，演示高数解决实际问题的应用
2
练习题展示
挑战学生的数学能力，让他们灵活运用所学知识
3
答疑解惑
为学生解答他们在实例和练习中遇到的问题
总结与回顾
回顾本次课程的重点内容，总结关键知识点，强化学生的记忆和理解。
提醒学生预习下一讲内容
第二部分
基本概念和定义的解释
第四部分
实例和练习题讲解
第六部分
提醒学生预习下一讲内容
基本概念和定义的解释
详细解释高等数学中的基本概念，例如函数、导数、积分等，并介绍相关的 数学定义。
基本公式和定理的说明
1 牛顿-莱布尼茨公式
计算定积分与不定积分的联系
3 泰勒展开式
用多项式逼近函数
2 微分中值定理
描述函数在某区间内任意两点间的关系
同济七版高等数学上册 大一上学期 映射与函数 ppt
于是,
四. 初等函数
(1) 基本初等函数 常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运 算和复合步骤所构成 ,并可用一个式子表示 的函数 ,称为初等函数 .否则称为非初等函数 .
例如
y x3 5x2 1
y ex ex
(1,0)
(a 1)
4.三角函数
正弦函数 y sin x
余弦函数 y cos x
正切函数 y tan x 余切函数 y cot x
正割函数 y sec x 余割函数 y csc x
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x 反余弦函数 y arccos x
反正切函数 y arctan x
③牢固掌握极限运算法则，极限的性质，尤其是函 数 极限的保号性质
④理解极限存在准则，熟记两个重要极限及其证明 方法，灵活地运用它们及各种变形公式求极限
⑤正确理解连续概念，理解间断点的分类
⑥理解初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数 的性质
第一节 映射与函数
一、集合 二、映射 三、函数
一、集合
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.
几个特殊的函数举例
y
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
1
o
x
-1
x sgn x x
y
(2) 取整函数 y=[x]
4 3
[x]表示不超过 x 的最大整数
2
阶梯曲线
1 -4 -3 -2 -1 o -11 2 3 4 5 x
同济大学高等数学第七版§1.10--闭区间上连续函数的性质ppt课件
几何意义:
连续曲线弧y=f(x)与水平直 线y=C至少有一个交点
y
yf(x)
B
C P1 P2 P3
A O a 1 2 3
bx
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12
定理3(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得
f()C, (a,b).
证 设(x)=f(x)-C 则(x)在闭区间[a b]上连续
且 (a )f(a )C
(b )f(b ) C
零点定理
(a ) (b ) 0 ,(a,b)使 ,
()0,即 () f() C 0 ,f()C.
完整版ppt课件
13
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值
M与最小值 m之间的任何值(不会有任何遗漏).
几何意义:
y
M yf(x)
C
P1 P2 P3
a x1
O
1 2 3 x2 b x
m
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14
例 证 明x3方 8x 程 10在 区 (0,1)内 间 至 少 有 . 一 根
证 令 f(x)x38x1,则f(x)在[0,1]上连, 续
又 f(0 )10 , f(1)60, 由零点定理,
但函数f(x)=x在开区间(a，b)内既无最大值又无最小值．
y y=x
Oa
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
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5
定理1 （最大值和最小值定理）在闭区间上连续的 函数在该区间上一定有最大值 和最小值．
注1 ： 定理1说明，如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，
大学高等数学第七版----第一章第六讲1
x
x
解 ： 原 式
lim ln[2x (1
x
1 2x
)] ln(1
3) x
lim {[(x ln 2)
x
ln(1
1 2x
)] ln(1
3 )}
x
3
1
3
lim [(x ln 2) ln(1
x
) x
ln(1
2x
)ln(1
)] x
lim [3ln 2
x
ln(1 3
3) x ]
lim
x
1 2x
原式 lim x x
x0 (2 x)3
0.
解 当x 0时, sin 2x ~ 2x,
tan x sin x tan x(1 cos x) ~ 1 x3 ,
原式 lim
1 x3 2
1
.
2
x0 (2 x)3 16
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例5 求 lim tan 5x cos x 1 .
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
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1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点.
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
(3) 如果lim C(C 0,k 0),就说是的k阶的 k
无穷小.
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例1 证明 :当x 0时,4x tan 3 x为x的四阶无穷小.
解
同济高数七版第一章
微分学
一元函数微积分
导数 微分
分析 引论 极限 连续
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学
多元函数微积分
偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积、体积、 质心…
多元函数 积分学
切线、法平面、 应用 梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
投影到x轴的区间 3. 设 对每个 上
例2 设有映射 映射
对每个 对每个
求复合映射
概念
概念
集 合 区 邻 间 域
映 射
逆映射
函 数
构造 复合映射
函数的概念
定义 设数集 D R , 则称映射 为定义在D 上的
定义域
函数 , 通常简记为
y f ( x) , x D
因变量 自变量
f(D)
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K 1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
K 1 称为函数f (x)在X上的一个上界
同济大学高等数学第七版1-7无穷小的比较 PPT
1 - cos x ~ 1 x2 , 所以 当x 0时有 2
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
1- cos x 1 x2 o( x2 ). 2
16
定理2 (等价无穷小替换定理)
设
~ ,
~
且
lim
A(或),
则
lim
lim
A(或).
证
lim
lim(
t
1)
n 1 1 n
12
13
二、利用等价无穷小替换求极限
定理1 ~ － o().
即 两个等价无穷小的差一定是一个更高 阶的无穷小，反之亦然。
原因？ 他们太接近了，所以它们的差远远小于 它们之中的任何一个。
定理1 ~ o().
14
定理1 ~ o().
证 设 ~ , 则
lim
-
lim
- 1
lim
-1
0,
因此 - o( ), 即 o(lim
lim
o( )
lim1
o( )
1,
lim x 2 0,
x0 x
x2 0比x 0要快得多;
lim sin x 1, sin x 0与x 0快慢相仿;
x0 x
4
无穷小的比较
定义 设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果lim 0, 就说是比 高阶的无穷小;
记作 o( );
原式
lim
x0
x- x (2 x)3
同济7版高等数学精品智能课件-第1章-第1节-集合、映射、函数
例2 设 X = {(x , y) | x2 + y2 = 1},Y = {(x , 0) | |x| 1 },
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
f : XY，则对每个 (x , y) X，有唯一确定的(x , 0) Y 与之对应．显然f 是一个映射，定义域 Df = X ，值域 Rf = Y ．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在 原点的单位圆上的点投影到 x 轴上的区间 [ -1 , 1 ]上．
第一节 映射与函数
注意
(1) 映射 g 和 f 能构成复合映射的条件是：Rg Df . (2) 映射 g 和 f 构成复合映射是有顺序的，f g 有 意义时， g f 可能没意义，即使它们同时都有意义，但 不一定表示同一映射．
三、函数
第一节 映射与函数
1. 函数的概念
定义 设数集合 D R ，则称映射 f : D R为定义 在 D 上的函数，通常简记为
y
1 (x , y)
-1 O x 1 x -1 (x , -y)
第一节 映射与函数
例3
设
f
:
π 2
,
π 2
[1
,
1]
,
对每个
x
π 2
,
π 2
,
f (x) = sin x ．则f 是一个映射，定义域
Df
π 2
,
π 2
,
y
值域 Rf = [ -1 , 1 ] ．
1
π 2
f (x) = sin x
二、映射
第一节 映射与函数
1. 映射的概念
定义 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f , 使得 x X , 有唯一确定的 y Y 与之对应,
则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y .
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解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
例1. 设 f (x) f ( xx1) 2x , 其中 x 0 , x 1 ，求 f (x).
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
阅读与练习
P65 题 1 , 3(2) ; P74 题 *6
P74 题*6. 证明: 若 f (x) 在 ( , )内连续, lim f (x)
,
代入原方程得
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
f
(11x)
f
(x)
2 1 x
令
1 1 x
uu1 ,
即
x
1 1u
,
代入上式得
f (uu1)
f
(11u )
2(u1) u
,
即
f ( xx1)
f
(11x)
2( x1) x
画线三式联立
f (x) x 1 1 1 x 1 x
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得 (x) ln(1 x) ,
x (O
D
x
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
D
g g(D)D1
f g f
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1
不是
sin x 1
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
例2. 设函数 f (x)
a (1cos x2
x)
,
1,
ln( b x2) ,
x0 x0 x0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示: f (0 ) lim a (1 cos x) a
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (10 3) f (7) f [ f (12) ]
f (12 3 ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C[X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
x 13 x 1
(4)
f
(x)
1 1
x3 x3
, ,
x 0 1 x0
x6 ,
xR
以上各函数都是初等函数 .
(x 1)2 x 1 x 1
y1 ⑷
Ox
4. 设 f (x) ex2 , f [(x)] 1 x , 且(x) 0, 求 (x)
及其定义域 .
5.
已知
f
(x)
x f
3, [ f (x
f (D1)
5. 初等函数
有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与
复合而成的一个表达式的函数.
思考与练习
1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么?
(1) f (x) cos(2arccos x) 与(x) 2x2 1, x [1,1]
相同
(2)
f
(x)
ax
, ,
x x
a a
与 ( x)
1a
2
x0
x2
2
f (0 ) lim ln (b x2) ln b
x0
a 1 ln b 2
1 cos x ~ 1 x2 2
例3. 设函数
f (x) ex b (x a)(x 1)
有无穷间断点
x0
及可去间断点 x 1,试确定常数 a 及 b .
解: x 0 为无穷间断点, 所以
lim ex b x0 (x a)(x 1)
lim (x
x0
a)(x 1) exb
a 1b
0
a 0,b1
x 1 为可去间断点 , lim ex b 极限存在
x1 x (x 1)
lim(ex b) 0
x1
b limex e
x1
例4. 设 f (x) 定义在区间 ( , ) 上 , 且对任意实数
x, y 有 f (x y) f (x) f ( y) , 若 f (x) 在 x 0 连续,
习题课 函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
cos x , 提示: (2) y
sin x ,
0
x
π 4
π 4
x
π 2
3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
(1)
f (x) xx, ,
x0 x0
x2
(2) f (x) 11,,
x0 x0
x2 , x
x0
y⑵
1
O 1 x
y⑶
4
2
O1
x
(3)
f
(x)
2, 4,
x x
1 1
3
1, 1,