北师大版数学必修一《简单的幂函数》教学课件
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高中数学北师大版必修一2.5【教学课件】《简单的幂函数》
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第二章 · 函数
简单的幂函数
北京师范大学出版社
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新课导入
下面三个函数从结构上看有什么共同的特点？ y=x , y=x2, y = 1 ������
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探索新知
从形式上看，它们只是指数不同，它们都可以写成幂的形式。
（1）幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数 ∝，即 y=������ ∝ ，这样的函数称为幂
例2 判断f（x）=-2x5，g（x）=x4+2的奇偶性。
解： 在R上f（-x）=-2（-x）5=2x5=-f(x)所以f（x）为奇函数。 在R上g（-x）=（-x）4+2=x4+2=g(x)所以g（x）为偶函数。
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巩固练习
（1）幂函数y＝f(x)经过点(2， 2)，则f(9)为(
函数。
（2）奇函数的定义 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数。
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（3）偶函数的定义 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数。
（4）奇偶性的定义
当函数f（x）是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
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质疑答辩，发展思维
判断函数f（x）=x2，x∈[-3,4]的奇偶性。 解:观察f（x）=x2，x∈[-3,4]的图像可知，它不符合偶函数的图像关于y轴对称的特点，
| 必修一
(3)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( A．1 【解析】 B．2 C ．1 或2 D．3
)
∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝
第二章 · 函数
简单的幂函数
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新课导入
下面三个函数从结构上看有什么共同的特点？ y=x , y=x2, y = 1 ������
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探索新知
从形式上看，它们只是指数不同，它们都可以写成幂的形式。
（1）幂函数的定义 如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数 ∝，即 y=������ ∝ ，这样的函数称为幂
例2 判断f（x）=-2x5，g（x）=x4+2的奇偶性。
解： 在R上f（-x）=-2（-x）5=2x5=-f(x)所以f（x）为奇函数。 在R上g（-x）=（-x）4+2=x4+2=g(x)所以g（x）为偶函数。
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巩固练习
（1）幂函数y＝f(x)经过点(2， 2)，则f(9)为(
函数。
（2）奇函数的定义 一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数。
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（3）偶函数的定义 一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数。
（4）奇偶性的定义
当函数f（x）是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
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质疑答辩，发展思维
判断函数f（x）=x2，x∈[-3,4]的奇偶性。 解:观察f（x）=x2，x∈[-3,4]的图像可知，它不符合偶函数的图像关于y轴对称的特点，
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(3)已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝( A．1 【解析】 B．2 C ．1 或2 D．3
)
∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝
北师大版高中数学必修1课件2 简单的幂函数课件
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第二章 ·函数
第 5 节 简单的幂函数
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一、导入新课
数学史上很早就使用“幂”字，起先用于表示面、面积，后来扩 充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰(1811～1882) 译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词 ，如函数、极 限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”
)
D．y＝x2－1
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[答案] C [解析]
y xa
幂函数的形式为，只有C符合
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5、小结
一：幂函数的定义
二：幂函数的图像 2.1描点法作图 2.2根据函数的图像分析性质（定义域、值域、单调性、图像特征） 2.3题型：幂函数的图像与性质、比较函数值大小
北京师范大学出版社 高中一年级 | 必修一
三：函数的奇偶性
3.1根据指数的奇偶分类，观察图像（指数为奇的幂函数图像关 于原点对称、……） 3.2函数奇偶性的定义及满足的等式 3.3深化对奇偶性概念的认识（定义域，函数值、运算等） 3.4题型：根据函数奇偶性画图像、求函数的解析式（方程组、 待定系数法、分段函数）、比较函数值，解函数值不等式。
果α >0，则幂函数的图像还过（0，0），并在区间[0，＋∞)上递增；如 果α <0，则幂函数在区间 [0，＋∞) 上递减，在第一象限内，当x从右边 趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限 接近。
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函数f(x)＝(m2－m－5) 的，试确定m的值．
第二章 ·函数
第 5 节 简单的幂函数
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一、导入新课
数学史上很早就使用“幂”字，起先用于表示面、面积，后来扩 充为表示平方或立方.1859年我国清末大数学家李善兰(1811～1882) 译成《代微积拾级》一书，创设了不少数学专有名词 ，如函数、极 限、微分、积分等，并把“Power”这个词译为“幂”．这样“幂”
)
D．y＝x2－1
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[答案] C [解析]
y xa
幂函数的形式为，只有C符合
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5、小结
一：幂函数的定义
二：幂函数的图像 2.1描点法作图 2.2根据函数的图像分析性质（定义域、值域、单调性、图像特征） 2.3题型：幂函数的图像与性质、比较函数值大小
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三：函数的奇偶性
3.1根据指数的奇偶分类，观察图像（指数为奇的幂函数图像关 于原点对称、……） 3.2函数奇偶性的定义及满足的等式 3.3深化对奇偶性概念的认识（定义域，函数值、运算等） 3.4题型：根据函数奇偶性画图像、求函数的解析式（方程组、 待定系数法、分段函数）、比较函数值，解函数值不等式。
果α >0，则幂函数的图像还过（0，0），并在区间[0，＋∞)上递增；如 果α <0，则幂函数在区间 [0，＋∞) 上递减，在第一象限内，当x从右边 趋向于原点时，图像与y轴无限接近；当x趋向于＋∞时，图像与x轴无限 接近。
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函数f(x)＝(m2－m－5) 的，试确定m的值．
新教材北师大版高中数学必修一 2.4.2简单幂函数的图象和性质(第1课时) 教学课件
第三十一页，共三十四页。
角度二
解不等式
第三十二页，共三十四页。
角度三
研究性质
由图可得,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
第三十三页，共三十四页。
课堂小结
1．核心要点
2．数学素养
能运用数形结合的方法处理与幂函数有关的问题, 加强直观想象能力素养的培养.
第二十七页，共三十四页。
环节五
应用幂函数图像 和性质
第二十八页，共三十四页。
角度一
比较大小
第二十九页，共三十四页。
角度一
比较大小
第三十页，共三十四页。
角度二
解不等式
解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解 得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y
轴对称，∴m2－2m－3是偶数，又22－2×2－3＝－3为奇 数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
第七页，共三十四页。
环节二 幂函数概念
第八页，共三十四页。
一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指 数是常数的函数称为幂函数.
微练
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y=x4
(4) y 2x
(2) y=2x2
(5) y x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
第九页，共三十四页。
上述3个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示,则
对应的函数关系式分别是什么?
第五页，共三十四页。
上述2个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示, 则对应的函数关系式分别是什么?
角度二
解不等式
第三十二页，共三十四页。
角度三
研究性质
由图可得,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 单调递减区间为(0,+∞),单调递增区间为(-∞,0).
第三十三页，共三十四页。
课堂小结
1．核心要点
2．数学素养
能运用数形结合的方法处理与幂函数有关的问题, 加强直观想象能力素养的培养.
第二十七页，共三十四页。
环节五
应用幂函数图像 和性质
第二十八页，共三十四页。
角度一
比较大小
第二十九页，共三十四页。
角度一
比较大小
第三十页，共三十四页。
角度二
解不等式
解：∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3＜0，解 得－1＜m＜3.∵m∈N*，∴m＝1，2.又函数的图象关于y
轴对称，∴m2－2m－3是偶数，又22－2×2－3＝－3为奇 数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.
第七页，共三十四页。
环节二 幂函数概念
第八页，共三十四页。
一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指 数是常数的函数称为幂函数.
微练
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y=x4
(4) y 2x
(2) y=2x2
(5) y x2
(3) y= -x2
(6) y=x3+2
第九页，共三十四页。
上述3个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示,则
对应的函数关系式分别是什么?
第五页，共三十四页。
上述2个问题中,若自变量都用x表示,因变量都用y表示, 则对应的函数关系式分别是什么?
高中数学 2.5 简单的幂函数多媒体教学优质课件 北师大版必修1
第二十三页，共24页。
忘掉(wàng diào)失败，不过要牢记失败中的 教训。
第二十四页，共24页。
具有(jùyǒu)的特点
1．对于定义域中的任意的 x ，都有 f (x) f (x)
2．定义域关于原点对称
第十二页，共24页。
偶函数
一般地，图像(tú xiànɡ)关于y轴对称的函数叫作偶函数. 具有(jùyǒu)的特
1点．对于定义域中的任意的 x ，都有 f (x) f (x)
2．定义域关于原点对称
（3）y xn
(4) y (x 2)5
仅(3)是幂函数
第八页，共24页。
试一试
画出幂函数y=x3的图像,并讨论(tǎolùn)其图像特征 （单调性、对称性等）.
第九页，共24页。
x … -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 …
y … -8 -1 -1/8 0 1/8 1 8
…
y
特征
(tèzhē
上是( )
A.增加(zēngjiā)的
B.减少的
C.先增加(zēngjiā)后减少的 D.先减少后增加 (zēngjiā)的 4.设 f (x) 为定义在 R 上的偶函数,且 f (x) 在
[0,+ )上是增加的,则 f (2), f (3), f (4) 由小 到大的排列顺序为 f(-2)<f(3)<f(-4)
所以 g(-x)=g(x)
于是g(x)是偶函数.
第十八页，共24页。
补全下面四个函数(hánshù)的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y y=x2+1 y
ox
1 o xo xo x
y=-x4
第十九页，共24页。
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-2《简单幂函数的图象和性质》课件PPT
1
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
数学必修Ⅰ北师大版25简单的幂函数PPT课件
10
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
高中数学(北师大)必修一优质课件：第2章 §5 简单的幂函数
×
1
2.函数y= x的3 图像是(
)B
解 内析的：图函 像恒数过y=定x13点是(幂1,函1),数排,除幂A函,D数. 在当第x>一1时象,限x> ，1 故幂函数y= 的图像在直线y=x的下方,排除C. x3
1
x3
3.已知函数 y=f(x)是B ）
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数 的奇偶性.（重点） 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. (难点） 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识.
探究点1.幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
补全下面四个函数的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y=x2+1
y
y
ox
1
o xo xo x
y=-x4
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( ) ×
（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( ) √ （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( )
y
0
x
(1)奇函数
y
y 0x
-3
(2)偶函数
1
-1 O x
(3)非奇非偶函数
思考：
已知奇函数 f (x) x3 , 则 f (2) = -8 , f (2) = 已知偶函数 f (x) x2 , 则 f (2) = 4 , f (2) =
8. 4.
例1 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 解: 因为在R上f(x)=-2x5， f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以 f(-x)=-f(x)， 于是f(x)是奇函数. 而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2， 所以g(-x)=g(x). 于是g(x)是偶函数.
1
2.函数y= x的3 图像是(
)B
解 内析的：图函 像恒数过y=定x13点是(幂1,函1),数排,除幂A函,D数. 在当第x>一1时象,限x> ，1 故幂函数y= 的图像在直线y=x的下方,排除C. x3
1
x3
3.已知函数 y=f(x)是B ）
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数 的奇偶性.（重点） 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. (难点） 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识.
探究点1.幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
补全下面四个函数的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y=x2+1
y
y
ox
1
o xo xo x
y=-x4
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( ) ×
（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( ) √ （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( )
y
0
x
(1)奇函数
y
y 0x
-3
(2)偶函数
1
-1 O x
(3)非奇非偶函数
思考：
已知奇函数 f (x) x3 , 则 f (2) = -8 , f (2) = 已知偶函数 f (x) x2 , 则 f (2) = 4 , f (2) =
8. 4.
例1 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 解: 因为在R上f(x)=-2x5， f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以 f(-x)=-f(x)， 于是f(x)是奇函数. 而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2， 所以g(-x)=g(x). 于是g(x)是偶函数.
高中数学第二章函数2.5简单的幂函数课件北师大版必修1
第十三页，共32页。
【解析】 (1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个 函数中，只有 y＝x13＝x－3 和 y＝3 x5＝x53符合幂函数的定义，是幂函数， 其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数， 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故 f(x)＝x3. 【答案】 (1)B
【解析】 当 α＝1,3 时，函数 y＝xα 的定义域为 R，且为奇函数； 当 α＝－1 时，y＝1x的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}；当 α＝12时，y＝x12＝
x的定义域是{x|x≥0}． 【答案】 1,3
第九页，共32页。
课堂探究
类型一 幂函数
[例 1] (1)下列函数：①y＝x4；②y＝31x；③y＝3x－1；④y＝x6＋1；
第十八页，共32页。
跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ x； (2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝|x|; (4)f(x)＝|x＋12－|－x22.
第十九页，共32页。
【解析】 (1)因为 f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 故 f(x)＝ x为非奇非偶函数． (2)因为 f(x)＝x3 的定义域为 R，关于原点对称且 f(－x)＝(－x)3＝ －x3＝－f(x)， 所以 f(x)＝x3 为奇函数． (3)因为 f(x)＝|x|的定义域为 R， 关于原点对称且 f(－x)＝|－x|＝f(x)． 所以 f(x)＝|x|为偶函数．
【解析】 当 x<0 时，－x>0， 所以 f(－x)＝x2＋2x. 又因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0 【答案】 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0
【解析】 (1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的六个 函数中，只有 y＝x13＝x－3 和 y＝3 x5＝x53符合幂函数的定义，是幂函数， 其余四个都不是幂函数．
(2)根据幂函数定义得 m2－m－1＝1， 解得 m＝2 或 m＝－1， 当 m＝2 时，f(x)＝x3 在(0，＋∞)上是增函数， 当 m＝－1 时，f(x)＝x－3 在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． 故 f(x)＝x3. 【答案】 (1)B
【解析】 当 α＝1,3 时，函数 y＝xα 的定义域为 R，且为奇函数； 当 α＝－1 时，y＝1x的定义域是{x|x∈R 且 x≠0}；当 α＝12时，y＝x12＝
x的定义域是{x|x≥0}． 【答案】 1,3
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课堂探究
类型一 幂函数
[例 1] (1)下列函数：①y＝x4；②y＝31x；③y＝3x－1；④y＝x6＋1；
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跟踪训练 2 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝ x； (2)f(x)＝x3； (3)f(x)＝|x|; (4)f(x)＝|x＋12－|－x22.
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【解析】 (1)因为 f(x)的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称， 故 f(x)＝ x为非奇非偶函数． (2)因为 f(x)＝x3 的定义域为 R，关于原点对称且 f(－x)＝(－x)3＝ －x3＝－f(x)， 所以 f(x)＝x3 为奇函数． (3)因为 f(x)＝|x|的定义域为 R， 关于原点对称且 f(－x)＝|－x|＝f(x)． 所以 f(x)＝|x|为偶函数．
【解析】 当 x<0 时，－x>0， 所以 f(－x)＝x2＋2x. 又因为 f(x)是奇函数， 所以 f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x. 所以 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0 【答案】 f(x)＝x2－2xx≥0， －x2－2xx<0
北师大版高中数学必修1：简单的幂函数_课件1
3．函数 y＝(x2－2x) －12 的定义域为
()
A．{x|x≠0，或 x≠2}
B．(－∞，0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．(0,2)
解析：x应满足x2－2x>0，解得x>2或x<0. 答案：B
4．关于 x 的函数 y＝(x－1)α(其中 α 的取值可以是 1,2,3， －1，12)的图像恒过定点________． 解析：因为幂函数y＝xα的图像恒过定点(1,1)，所 以函数y＝(x－1)α恒过定点(2,1)． 答案：(2,1)
1
③y＝x 5 ＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；
⑧y＝1.
A．①②③⑧
B．①④
C．③④⑤⑥
D．②④⑦
[思路点拨] 解答本题可先考虑幂函数的定义，紧紧抓
住其形式特点再一一判断．
[精解详析] 由幂函数的定义：形如 y＝xα(α∈R)的 函数才是幂函数，则 y＝x13＝x－3，y＝xn 是幂函数．
(1)f(x)＝x23＋x 3； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝2xx2＋＋12x. 解：(1)f(x)的定义域是 R， 又 f(－x)＝－3x－2＋x 3＝－x23＋x 3＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数；
(2)f(x)的定义域是 R， 又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1| ＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数； (3)函数 f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．
我们学习过几种基本初等函数如正比例函数y＝x，反 比例函数y＝x－1，二次函数y＝x2.看下面两个例子：
(1)如果正方体的棱长为x，正方体的体积为y； (2)如果正方形场地面积为x，其边长为y. 问题1：在第一个例子中，y关于x的函数关系式怎样？ 提示：y＝x3.
高中数学北师大版必修一2.5《第1课时简单的幂函数》ppt课件
D．y＝2x2
• [答案] C
• [解析] A、B、D都是幂函数经过变化得到的函数，
C中，y＝x－1是幂函数.
• 幂函数的图像与性质
讨论下列函数的定义域、值域，并作出函数图像．
1
(1)y＝x4； (2)y＝x4 ； (3)y＝x－3.
• [思路分析] 把分数指数幂化为根式，并使根式有 意义．
• [规范解答] (1)函数的定义域为R，值域为[0，＋ ∞)．
如图，图中曲线是幂函数 y＝xα 在第一象限的大致图像．已 知 α 取－2，－12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3， C4 的 α 的值依次为( )
A．－2，－21，21，2 B．2，21，－12，－2 C．－12，－2,2，12 D．2，12，－2，－21
• [答案] B
[解析] 解法 1：在第一象限内，在直线 x＝1 的右侧，y ＝xα 的图像由上到下，指数 α 由大变小，故选 B.
• 所有的幂函数在_(_0，__＋_∞_)___上有定义，并且图像都过 (点1,1_) _____，如果α >0，则幂函数的图(0,像0) 还过_____， 并在区间[0，＋∞)上________；如果α <0，则幂函 数在区间[0递，增 ＋∞)上________，在第一象限内，当
x从递右减 边趋向于原点时，图像_____________；当x趋
与向 y轴无于限＋接近∞时，图像______________与．x轴无限接近
1.下列所给函数中，是幂函数的是( )
A．y＝－x3
B．y＝3x
1
C．y＝x2
D．y＝x2－1
[答案] C [解析] 幂函数的形式为 y＝xα，只有 C 符合．
• 2．幂函数y＝xα (α ∈R)的图像一定不经过( )
北师大版(2019)数学必修第一册：2.4.2《简单幂函数的图像和性质》PPT课件(共16页)
(0, +∞)上为减函数，解关于的不等式( + 1)− < (3 − 2)− .
提示： (4) 函数 = 3−9 ( ∈ ∗ )在(0, +∞)上为减函数，
则3 − 9 < 0，即 < 3， ∈ ∗ ，故 = 1或 = 2.
又图象关于轴对称，函数为偶函数，则3 − 9为偶数，所以 = 1
提示： = 3 .
(2)写出面积为的正方形的边长的函数.
提示： = 即 =
1
2
∝
一般地，形如 = （∝为常数）的函数，称
为幂函数.
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如：函数 = 3 、 = 、 = −1 等等
注意：
①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的
系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体
简单幂函数的图像和性质
初中学习了函数 = 、反比例函数 =
1
、二次函数
= 2 等，对它们的图象和性质已经很熟悉了
1
后面将学习“ ”可以记作“ −1 ”、“
1
2
”可以记作“ ”
以上都是形如“ = ∝ ”的函数，在实际生活中经常会遇到
思考讨论
(1)写出边长为的正方体体积的函数；
= 3
同一个坐标系中
= 2
=
=
可以看出：
幂函数 = ∝ 的图象
过定点（1，1）
1
思考讨论
(2)下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧
的图象，并说出画法的依据.
前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，
提示： (4) 函数 = 3−9 ( ∈ ∗ )在(0, +∞)上为减函数，
则3 − 9 < 0，即 < 3， ∈ ∗ ，故 = 1或 = 2.
又图象关于轴对称，函数为偶函数，则3 − 9为偶数，所以 = 1
提示： = 3 .
(2)写出面积为的正方形的边长的函数.
提示： = 即 =
1
2
∝
一般地，形如 = （∝为常数）的函数，称
为幂函数.
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如：函数 = 3 、 = 、 = −1 等等
注意：
①幂函数的指数∝是常数，底数是自变量，且指数式前面的
系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数∝，视其情况具体
简单幂函数的图像和性质
初中学习了函数 = 、反比例函数 =
1
、二次函数
= 2 等，对它们的图象和性质已经很熟悉了
1
后面将学习“ ”可以记作“ −1 ”、“
1
2
”可以记作“ ”
以上都是形如“ = ∝ ”的函数，在实际生活中经常会遇到
思考讨论
(1)写出边长为的正方体体积的函数；
= 3
同一个坐标系中
= 2
=
=
可以看出：
幂函数 = ∝ 的图象
过定点（1，1）
1
思考讨论
(2)下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧
的图象，并说出画法的依据.
前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，
北师版数学高一北师大版必修一课件简单的幂函数
解析答案
3.函数f(x)＝|x|＋1是( B ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析 函数定义域为R，f(－x)＝|－x|＋1＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，故选B.
12345
解析答案
12345
4.函数f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在实数集上的奇函数，则( C ) A.a＝0，b≠0，c≠0 B.ac＝0，b≠0 C.a＝0，c＝0，b取任意实数 D.a，b，c均可取任意实数 解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又因函数是奇函数.所以 f(－x)＝a(－x)2＋b(－x)＋c＝－f(x)＝－ax2－bx－c，从而得ax2＋c＝0， 又因为x可以取任意实数，所以a＝0，c＝0，b取任意实数，故选C.
解析答案
课堂小结 1.判断一个函数是不是幂函数应严格按其定义判断. 2.幂函数性质可以通过其图像研究，只需掌握α＝1,2,3，12，－1这几种 情况即可，其他的不做研究. 3.判断函数的奇偶性的方法： (1)定义法； (2)图像法：若函数的图像关于原点对称，函数是奇函数；若函数的图 像关于y轴对称，函数是偶函数.
第二章 函 数
§5 简单的幂函数
学习 目标
1.了解幂函数的定义及几个常见的幂函数的图像与性质. 2.理解函数奇偶性及其几何意义，会判断函数的奇偶性.
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知识点一 幂函数的定义 如果一个函数， 底数 是自变量x， 指数 是常量α，即y＝xα，这样的函数 称为幂函数.
D.f(x)＝|x|(|x|－2)
解析 ∵f(x)在R上是偶函数，且x≥0时，f(x)＝x2－2x， ∴当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2＋2x＝x2＋2x，
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＝3x2 及 y＝2 均不符合幂函数的形式 y＝xα， 故均不是 幂函数．
2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？ 【提示】 由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
幂函数的概念
下列函数中是幂函数的是( ) ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3； 1 1 ⑤y＝ 2；⑥y＝x2＋ . x x A．①③⑤ C．③⑤ B．①②⑤ D．只有⑤
yx ；
1 2
(2)观察上面的函数图象会发现以下特征： ①图象都过点(1,1)． ②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3， y
x
1 2
的图象自左向右看都是
上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点． ③函数y＝x－1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即y＝x－1在(0， ＋∞)上是减函数．
【思路点拨】 依据幂函数的定义进行判断.
【解析】 y＝－x2 幂前系数是－1 而不是 1，故不是幂函数； y＝2x 指数不是常量，不是幂函数；y＝(x－1)3 的底数是 x－1 而不是 x，故不是 1 1 幂函数； y＝x2＋ 是两个幂函数和的形式， 也不是幂函数.y＝ 2＝x－2 和 y＝xπ 具有 x x 幂函数 y＝xα 的形式，所以选
解决有关幂函数问题的关键是会定性分析
x
q p
中，p，q
为正、负、奇、偶等各种情况的大体图象，要从函数的奇偶性、单调性出 发对函数进行探讨，重点要研究在第一象限内的各种情况.注意：所有幂函 q q 数在第一象限内均有图象，且过点(1,1)， ＞0，则为递增， ＜0，则为 p p 递减.
2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④ ⑤y＝x－1的图象并指出其特点. 【解析】 (1)图象如下图所示：
【思路点拨】 图象判断即可. 由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用
【解析】
设 f(x)＝xn，由题意得 2＝( 2)n，
∴n＝2，即 f(x)＝x2. 再设 g(x)＝x m， 1 由题意得 ＝(－2)m， 4 ∴m＝－2，即 g(x)＝x－2. f(x)，g(x)的图象如图所示 由图象知：(1)当 x＞1 或 x＜－1 时，f(x)＞g(x). (2)当 x＝± 1 时，f(x)＝g(x). (3)当－1＜x＜1，且 x≠0 时，f(x)＜g(x).
§5
简单的幂函数
若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，求该 函数的解析式．
1 【答案】 y＝ x2－2x＋1. 2
• 1．幂函数的定义 • 形如y＝xα ( 其中底数x为 • 2．函数的奇偶性 • 已知y＝f(x)，x∈A，则f(x)奇偶性定义见下表： 自变量 ，指数α为 常量 )的函数叫幂函数．
④y＝x，y＝x3，y＝x－1的图象关于原点对称，它们是奇函数；而y＝x2的
图象关于y轴对称，它是偶函数；y 是非奇非偶函数．
x 图象只在第一象限内(含原点)，它
1 2
函数奇偶性的判断
判断下列函数是否具有奇偶性．
1 (1)f (x)＝x－ x (2)f (x)＝x2－1，x∈[－3,3] 2x2＋6x (3)f (x)＝ x ＋3 (4)f (x)＝ 4－x2＋ x2－4
f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)
∴函数f(x)＝x2－1，x∈[－3,3]是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}； 定义域不关于原点对称， ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f(x)的定义域为{x|x＝±2}， 此时函数f(x)＝0 f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x) ∴函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数． 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法： (1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若 函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断 f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性． (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关
类别定
义
奇函数
偶函数 图象关于y轴对称的函 数叫作偶函数
图象定 图象关于 原点 对称 义 语言定 义 的函数叫作奇函数
f(－x)＝－f(x) 任意x∈A， f(－x)＝f(x) 任意x∈A，
1 1．函数 y＝3x ，y＝ 2，y＝2 都是幂函数吗？ x
2
【提示】
1 y＝ 2，即 y＝x－2 是幂函数；而函数 y x
【思路点拨】 解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然 后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．
【解析】 (1)函数定义域为{x|x≠0} f(－x)＝(－x)－ ＝－(x－)＝－f(x) ∴f(－x)＝－f(x) ∴函数f(x)＝x－是奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为[－3,3]关于原点对称，
【答案】
C 幂函数y＝xα要满足三个特征：
(1)幂xα前系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数．
【解析】 根据幂函数的定义，知
幂函数的图象与性质
Hale Waihona Puke 1 点( 2，2)在幂函数 f (x)的图象上，点(－2， ) 4 在幂函数 g(x)的图象上． (1)当 x 为何值时，f (x)＞g(x)； (2)当 x 为何值时，f (x)＝g(x)； (3)当 x 为何值时，f (x)＜g(x)．
＝－f(x)， 所以函数f(x)＝x＋
方法二：y＝x，y＝
∴f(x)＝x＋
1 x
1 都是{x|x∈R且x≠0}上的奇函数， x 是奇函数．
1 是奇函数． x
(2)函数的定义域是{x|x∈R，且x≠0}，
其定义域关于原点对称．
于y轴对称，则函数为偶函数．
3.判断下列函数是奇函数还是偶函数． (1)f(x)＝x＋ 1 (2)f(x)＝ x 2 ＋2；
1 ； x
(3)f(x)＝|x＋2|－|x－2|. 【解析】 方法一：函数的定义域是{x|x∈R且x≠0}， 所以关于原点对称，
1 1 又f(－x)＝－x＋ ＝－(x＋ ) x x