二次函数中“含参恒成立”问题求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略不等式是数学中的基础知识，它涉及到关系的研究，常用于数学等学科的计算。
它的解决方案可以用来帮助解决复杂的问题，或者提出观点并影响结果。
今天，我们将讨论如何解决含参不等式恒成立问题。
首先，让我们来讨论这种问题，即不等式含参恒成立问题，是指一个不等式变量以及一些参考变量满足不等式恒成立（比如x+y<5，当x=3，y=2时恒成立）的问题。
解决这类问题的思路主要有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
1.学解法。
数学解法是常用的解决含参不等式恒成立问题的方法，通常需要先将输入的参数值代入不等式，然后利用求解方程的方法求解问题。
例如，当给定不等式为x+y<5，求解x=3,y=2时恒成立，则可以分别代入x=3和y=2，得到x+y<5，因此恒成立。
2.序求解法。
程序求解法是更加实用的方法，特别是在需要处理大量数据时。
它需要把不等式构造成一个程序，然后通过程序求解。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以用程序编写一段代码，把输入的参数代入不等式，并判断结果是否满足不等式，从而解决问题。
3.明方法。
证明方法是解决含参不等式恒成立的另外一种方法，即通过证明不等式恒成立来解决问题。
证明方法需要对不等式或者相关公式进行证明，以达到满足不等式恒成立的目的。
例如，当给定不等式为x+y<5时，可以通过证明x=3,y=2时，x+y也小于5，从而解决问题。
从以上内容可以看出，解决含参不等式恒成立的问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法。
其中，数学解法是最常用的方法，而程序求解法和证明方法则能够更加实用地解决复杂的问题。
因此在解决含参不等式恒成立问题时，要根据问题的复杂程度选择适当的策略，从而有效解决问题。
综上所述，解决含参不等式恒成立问题的策略有三种，分别是数学解法、程序求解法和证明方法，根据不等式的复杂程度来选择适当的策略，从而有效求解问题。
把握这些解决含参不等式恒成立问题的策略，能够帮助我们有效解决复杂的问题，从而更快提出观点，影响结果。
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
含参一元二次不等式的解法与恒成立问题
一元二次不等式是几何、代数以及统计学等领域中使用最广泛的不等式之一，其解法和恒成立问题也是学习和研究的重要内容。
首先，要理解含参一元二次不等式的解法，我们需要对一元二次方程有所了解。
一元二次不等式也可以表示为一元二次方程形式，也可以将一元二次方程化为一元二次不等式形式。
一元二次方程有一般形式ax^2 + bx + c = 0,其中a,b,c均为实数，且a≠0，这个方程有两个实根，如果a,b,c满足一定条件，那么解得的方程式可以写作
x^2+px+q≥0,其中p为常数，q为常数。
在求解含参一元二次不等式的时候，要先化成一元二次方程的形式，然后根据首项系数是正还是负，分两种情况讨论，如果ax^2为正，那么此一元二次不等式在实数集上有解，只要保证满足一定条件即可；若ax^2为负，则含参一元二次不等式可以分离，而只要满足条件就必定存在解。
当求解不等式的恒成立问题时，一般的思路是先将不等式的非负部分和负部分分开，求解其左右两边的值，例如：若有ax^2+bx+c≥0，可先将其分解为ax^2+c≥0和bx≥0，然后求解其左右两边的值，根据不等式的性质，求解其两个值，确定其恒成立条件。
总之，一元二次不等式的解法及其恒成立问题是学习和研究中重要的内容，也是大家常用的不等式之一。
要正确求解，首先要正确分离不等式，然后根据不等式的性质确定相应的恒成立条件。
解答含参不等式恒成立问题的三个途径
解题宝典含参不等式恒成立问题是一类综合性较强的题型，经常同时涉及多个不同的知识点.由于问题中涉及了参数，所以在解题的过程中，我们要充分关注参数，对参数进行分离、分类讨论等.本文结合实例，对解答含参不等式恒成立问题的三种途径作一探讨.一、分离参数法分离参数法是指将不等式变形使参数和变量分离，然后构建关于变量的函数，将原问题转化为函数最值或值域问题来求解的方法.在分离出参数之后，求函数最值的方法有导数法、基本不等式法、配方法等.例1.已知函数f ()x =ln 2()1+x -x 21+x，其单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞.若不等式æèöø1+1n n +a≤e 对于任意n ∈N *都成立（其中e 是自然对数的底数），求a 的最大值.解：将不等式æèöø1+1n n +a≤e 两边取对数，可得()n +a æèöø1+1n ≤1，即a ≤1ln æèöø1+1n -n ，设g ()x =1ln ()1+x -1x，x ∈(]0,1，而函数的单调递增区间为()-1,0，单调递减区间为()0,+∞，所以ln 2()1+x -x 21+x≤0，故g ′()x <0，x ∈(]0,1，即g ()x 在区间(]0,1上为减函数，因此g ()x 在(]0,1的最小值为g ()1=1ln 2-1，则a 的最大值为1ln 2-1.解答本题主要运用了分离参数法.首先将不等式进行变形使参数和变量分离，然后构造函数g ()x ，对其求导，通过讨论导函数的单调性求得g ()x 的最小值，得到a 的最大值.二、分段讨论法分段讨论法一般适用于求解需要分多种情况进行讨论的问题.在运用分段讨论法求解含参不等式恒成立问题时，需将参数或定义域区间分成几段，然后逐段讨论使不等式恒成立时的情况，最后综合所求得的结果即可.这种方法的优势在于可以将每一种情况都考虑到.例2.已知f ()x =x ||x -a -2.当x ∈[]0,1时，f ()x <0恒成立，求实数a 的取值范围.分析：已知函数式中含有绝对值，需采用分段讨论法来求解，在定义域内讨论不同区间去掉绝对值符号以及不等式恒成立的情况.解：当x =0时，显然f ()x <0成立，此时a ∈R ，当x ∈(]0,1时，由f ()x <0可得，x -2x <a <x +2x，令g ()x =x -2x ，h ()x =x +2x ，x ∈(]0,1，则g ′()x =1+2x2>0，所以g ()x 在x ∈(]0,1上是单调递增的，则g ()x max =g ()1=-1，此时h ′()x =1-2x2<0，则h ()x 是单调递减，h ()x min =h ()1=3，因此a 的取值范围是()-1,3.三、单调性法单调性法是指利用函数的单调性构造使不等式恒成立的条件，使问题获解的方法.在运用单调性法解答不等式恒成立问题时，要注意首先将不等式进行变形，构造出合适的函数，然后分析函数的单调性.例3.若定义在()0,+∞上的函数f ()x 满足f ()x +f ()y =f ()xy ，且当x >1时，不等式f ()x <0成立，若不等式f æèöøx 2+y 2≤f ()xy +f ()a 对于任意x ,y ∈()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.解：设0<x 1<x 2，则x 2x 1>1，则有f æèçöø÷x 2x 1<0，所以f ()x 2-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1∙x 1-f ()x 1=f æèçöø÷x 2x 1<0，即f ()x 2<f ()x 1，所以函数f ()x 在()0,+∞上为减函数，故f æèöøx 2+y 2≤f xy +f ()a ⇔f æèöøx 2+y 2≤f ()a xy⇔a +y xy+y xy≥2xy xy=2（当且仅当x =y 时取等号），所以a 的取值范围是()0,2.分离参数法、分段讨论法和单调性法都是解答含参不等式恒成立问题的方法，但它们的适用范围并不相同，分离参数法适用于求解方便将参数、变量分离的问题；分段讨论法适用于解答需要分多种情况进行讨论的问题；单调性法适用于解答函数的性质较为明显的问题.（作者单位：江苏省南通市海门四甲中学）42。
函数中的几个恒成立问题的解题策略(学)
函数中的几个恒成立问题的解题策略一、一次函数型给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f本质上是利用了一次函数的单调性和函数的最值！例1：对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围。
真题实战： 设函数323()(1)1,32af x x x a x a =-+++其中为实数。
（Ⅰ）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。
二、 二次函数（1）二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)当R x ∈大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ；（2）二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布求解。
本质上是利用了二次函数的性质和函数的最值！例2.若函数y =R 上恒有意义，求m 的取值范围。
例3.已知函数2()3f x x a x a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。
变式1：若[]x∈-时，()02,2f x≥恒成立，求a的取值范围。
变式2：若[]2,2x∈-时，()2f x≥恒成立，求a的取值范围。
惠生活 观影园爱尚家居 嘟嘟园迅播影院请支持我们，会有更多资源给大家备注：此题属于含参数二次函数，求最值时，通常有两种变化：（1）轴变区间定，（2）轴定区间动。
此类题目中的x还可以换成)f：如三角函数、指数函数、对数函数，还可以是一元二次(x不等式，一元二次函数等。
二次函数中“含参恒成立”问题求解策略
二次函数中“含参恒成立”问题求解策略二次函数是一个具有形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq 0$。
在解题过程中，当给定一定的条件，要求找到使得二次函数“含参恒成立”的参数值，需要采取以下步骤。
第一步：理解含参恒成立的概念含参恒成立是指对于二次函数中的参数值，存在一个或一组满足特定条件的解使得方程恒成立。
通常来说，这些参数值可以是实数、整数或者满足特定要求的整数。
第二步：分析题目条件仔细阅读题目，分析所给条件以及问题的要求。
通常来说，问题中会涉及到函数图像的性质、方程的解的个数、方程的根的取值范围等。
第三步：确定参数的取值范围根据题目中给出的条件，确定参数的取值范围。
这方面通常包括参数的正负性质以及其他限制条件。
第四步：构建二次方程根据题目要求以及参数的取值范围，构建二次方程。
一般来说，可以通过给定条件构建出包含参数的二次方程。
第五步：解二次方程解二次方程的方法有多种，可以通过求根公式或者配方法解方程。
第六步：验证解的合法性将求得的解代入构建的二次方程中，验证是否满足题目给定的条件。
如果满足条件，则该参数取值使得二次函数“含参恒成立”。
第七步：总结答案将满足条件的参数值以及求得的二次方程的解进行总结，得出最终答案。
如果存在多个满足条件的参数值，需要将所有解都列出。
在实际解题过程中，每一步都要仔细思考、分析，并得出合理的解答。
需要注意的是，由于题目条件的不同，求解的策略也会有所差异。
因此，根据具体情况灵活运用解题策略是非常重要的。
含参不等式恒成立问题(无答案)
含参不等式恒成立问题的求解策略【典型例题】[判别式法]若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
[最值法]将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立m in )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立m ax )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
例4．函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
[分离变量法]若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立m ax )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立m ax )()(x f a g <⇔例5．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
[变换主元法]例6．对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。
[数学]含参不等式恒成立问题
![[数学]含参不等式恒成立问题](https://img.taocdn.com/s3/m/9d8ceec29b89680203d8253f.png)
一、 判别式法:若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有（1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔0a ;（2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a注:①R x c bx ax ∈>++对02恒成立⎩⎨⎧<∆>⎩⎨⎧>==⇔0000a c b a 或;②R x c bx ax ∈<++对02恒成立⎩⎨⎧<∆<⎩⎨⎧<==⇔0000a c b a 或 例：关于x 的不等式01)1(2<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围． 解:(1)当0=a 时，原不等式化为01<--x ,不符合题意，∴0≠a .(2)当0≠a 时,则⎩⎨⎧>--<⇒⎩⎨⎧<---=∆<012300)1(4)1(022a a a a a a a 310)1)(13(0-<⇒⎩⎨⎧>-+<⇒a a a a ∴a 的取值范围为)31,(--∞ 例：若函数)8(6)(2++-=k kx kx x f 的定义域为R ，求实数k 的取值范围解：(1)当0=k 时，8)(=x f 满足条件.(2) 当0≠k 时,则102)8(43602≤<⇒⎩⎨⎧≤+-=∆>k k k k k . 综合(1)(2)得：k 的取值范围是]1,0[ 例:已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题意得：不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆a a ，解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞例：若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围. 解: (1)当0=a 时,原不等式可化为10-<,显然成立(2)当0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a 综上(1)(2)得：a 的取值范围]0,4(-. 例：已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R ,求实数m 的取值范围.解:(1)若0322=--m m ,则13-==m m 或, 当3=m 时，原不等式可化为10-<,显然成立; 当1-=m 时，原不等式可化为014<-x ,显然不成立.3=∴m(2) 若0322≠--m m ,则⎪⎩⎪⎨⎧<+=∆<03-2m -m 43)-(m 03-2m -m 222, 综上(1)(2)得：m 的取值范围]3,51(-例1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+3>0 ................ (*) （1）当| x | ≤2，(*)式恒成立，求实数m 的取值范围 ； （2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x 的取值范围 解(2) : 设g(m)=(-x2+x)m+(x2-x+3) （m [-2,2]） 则 g(m)>0恒成立⇔g(-2)=3x2-3x+3>0g(2)=-x2+x+3>0*若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
由一道题谈含参不等式恒成立问题的解法
考点透视含参不等式恒成立问题经常以压轴题的形式出现.这类问题具有较强的综合性，需灵活运用不等式的性质，函数的图象、性质，导函数的性质、求导公式，方程的性质等来求解.下面结合一道例题，谈一谈解答含参不等式恒成立问题的两种方法.例题：已知函数f (x )=e x +ax 2-x ，当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围.该题中涉及了指数式、幂函数式，较为复杂，很难直接利用简单基本函数、不等式的性质求得答案，需采用函数最值法和分离参数法来求解.方法一：函数最值法函数最值法是求解含参不等式恒成立问题的常用方法.通常需先将不等式进行适当的变形，如移项、通分等，将所有的项置于不等式的一侧，以构造出一个新函数，有时可将变形后不等式两边的式子分别构造成两个新函数；再研究新函数的性质，求得新函数的最值，进而建立使不等式恒成立的新关系式，从而求得问题的答案.解：由f (x )=e x +ax 2-x 可得(12x 3-ax 2+x +1)e -x ≤1，设函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)，则F ′(x )=-12x (x -2a -1)(x -2)e -x .由F ′(x )=0可得x 1=0,x 2=2a +1,x 3=2，①若2a +1≤0,即a ≤-12，则当x ∈()0,2时，F ′(x )>0，所以F (x )在(0,2)上单调递增，而F (0)=1，所以当x ∈()0,2时，F (x )>1，不符合题意，②若0<2a +1<2，即-12<a <12，当x ∈(0,2a +1)⋃(2,+∞)时，F ′(x )<0，当x ∈(2a +1,2)时，F ′(x )>0，所以F (x )在()0,2a +1和(2,+∞)上单调递减，在(2a +1,2)上单调递增，由于F (0)=1，所以F (x )≤1，所以F (2)=(7-4a )e -2≤1，即a ≥7-e 24，即当7-e 24≤a <12时，F (x )≤1.③若2a +1≥2，即a ≥12，F (x )≤(12x 3+x +1)e -x ，由②可得(12x 3+x +1)e -x ≤1，故a ≥12时，符合题意.综上可知，a 的取值范围是éëêùûú7-e 24,+∞.解答此题，需先将不等式移项，构造出新函数F (x )=(12x 3-ax 2+x +1)e -x (x ≥0)；然后对函数进行求导，以通过研究导函数的性质判断出函数的单调性，求得函数的最值，只需使F (x )max ≤1，即可确保不等式恒成立.在讨论函数的最值时，需分2a +1≤0、0<2a +1<2、2a +1≥2三种情况进行讨论.利用函数最值法解题，关键在于根据函数的单调性求得函数的最值.此方法的缺点是解题时的计算量较大，并且往往需要分多种情况进行讨论.方法二：分离参数法运用分离参数法求解含参不等式恒成立问题，需先将不等式中的参数、变量分离，使其分别在不等号的两侧，如f (x )<a 、f (x )>a ；再求得f (x )的最值，使得f (x )max <a 、f (x )min >a ，即可解题.在分离参数时，往往要根据不等式的结构特点进行移项、分解因式，或根据不等式的性质改变不等号的方向.解：当x =0时，不等式恒成立.当x >0时，a ≥12x 3+x +1-e xx 2，令g (x )=12x 3+x +1-e xx 2,g ′(x )=(x -2)(12x 2+x +1-e x )x 3,令h (x )=12x 2+x +1-e x ，可得h ′(x )=x +1-e x，易证h ′(x )≤0恒成立，所以h (x )在(0,+∞)上单调递减，h (x )<h (0)=0，所以当x ∈(0,2)时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，当x ∈(2,+∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，则g (x )max =g (2)=7-e 24,所以a ≥7-e 24.运用分离参数法解答含参不等式恒成立问题，需先分离参数；再构造函数，找到函数值为零和导数值为零的点，以确定不含参数式子的临界值.相比较而言，运用分离参数法解题的计算量较小，但函数最值法比较常用.无论是运用函数最值法还是运用分离参数法，都需灵活运用数形结合思想、转化思想来辅助解题.（作者单位：江苏省高邮市第一中学）39Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
SX2020A118高考数学必修_含参数恒成立问题的求解策略
含参数恒成立问题的求解策略参数具有常数与变量的双重性，是数学中十分活泼的“元素”。
对参数的考查是一个热点，它渗透于选择题、填空题以及解答题中。
下面通过具体例子分析处理含参问题的常见方法与策略。
1、判别式法：就是求解的含参问题可转化为二次不等式)0(02≠>++a c bx ax 在实数集R 上恒成立，再由其充要条件是0>a ，且0<∆，进而求得参数的取值范围。
例1、 已知x ＝1是函数1)1(3)(23+++-=nx x m mx x f 的一个极值点，其中 .0,,<∈m R n m（1）求m 与n 的关系式；（2）求f （x ）的单调区间；（3）当]1,1[-∈x 时，函数y ＝f （x ）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。
解：前面两小题利用常规方法很快可以得到，（1）n ＝3m ＋6；（2）当0<m 时，f （x ）在)21,(m +-∞单调递减，在)1,21(m +单调递增，在),1(+∞上单调递减；（3）为m x f 3)('>对]1,1[-∈x 恒成立，即m mx x m 3)]21()[1(3>+--，因为0<m ， 所以1)]21()[1(3<+--mx x m （*） ①x ＝1时，（*）化为0<1恒成立，所以0<m ， ②1≠x 时，因为]1,1[-∈x ，所以012<-≤-x运用函数思想将（*）式化为11)1(2---≤x x m ，另t ＝x －1，则]0,2[-∈t ，记 tt t g 1)(-=，则g （t ）在区间[－2，0]是单调增函数， 所以.23212)2()(min -=---=-=g t g 由（*）式恒成立，必有m m <-⇒-<34232， 又0<m ，则.034<<-m 综合①②得.034<<-m 2、分离参数法：不等式恒成立问题中，求参数取值范围，可将参数分离出来，转化为形如“)()(x g a f <”或“)()(x g a f >”（其中a 为参数）在某条件下恒成立的不等式，且函数g （x ）在其定义域上的值域可求，从而求出参数的取值范围。
高中数学恒成立问题中含参范围的求解策略
恒成立问题中含参范围的求解策略周云才数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化对于某些恒成立问题，可将其中的参数分离出来，将原问题转化为)x (f a >（或)x (f a <）在给定区间上恒成立max )x (f a >⇔（或min )x (f a <），从而将原问题转化为求函数的最大值或最小值问题。
例1 当]1,(x -∞∈时，不等式0124)a a (x x 2>++-恒成立，求实数a 的取值范围。
解析：因04x >，所以x x 22141a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-对]1,(x -∞∈恒成立，即有max x x22141a a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛->-，由于x x 2141)x (f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在]1,(-∞上是增函数，所以当1x =时，432141)x (f 11max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，所以.23a 2103a 4a 443a a 22<<-⇒<--⇒->-例2 设c b a >>且ca m cb 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a ( .4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
二次函数恒成立问题洋葱数学
二次函数恒成立问题洋葱数学摘要：1.二次函数恒成立问题的背景和意义2.洋葱数学对二次函数恒成立问题的解析方法3.具体解题步骤和技巧4.实战演练与例题解析5.总结与建议正文：一、二次函数恒成立问题的背景和意义二次函数恒成立问题是我国中学数学中的一个重要知识点，它在各类考试中都有所体现。
掌握二次函数恒成立问题的解题方法，对于提高学生的数学素养和培养逻辑思维能力具有重要意义。
二、洋葱数学对二次函数恒成立问题的解析方法洋葱数学通过深入剖析二次函数恒成立问题的本质，提出了一种系统化的解题方法。
这种方法将二次函数恒成立问题分为以下几个步骤：1.判断二次函数的性质：根据函数的判别式，判断二次函数的图像开口方向和是否有实根。
2.建立恒成立方程：将问题转化为一个关于参数的方程，使方程在特定条件下恒成立。
3.求解方程：利用数学方法求解方程，得到参数的取值范围。
4.结合实际问题：将求得的参数值代入原问题，解决实际问题。
三、具体解题步骤和技巧1.判断二次函数的性质：根据函数的判别式，判断二次函数的图像开口方向和是否有实根。
2.建立恒成立方程：将问题转化为一个关于参数的方程，使方程在特定条件下恒成立。
3.求解方程：利用数学方法求解方程，得到参数的取值范围。
4.结合实际问题：将求得的参数值代入原问题，解决实际问题。
四、实战演练与例题解析以下通过一个具体例题来说明二次函数恒成立问题的解题过程：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，满足$f(0) = 1$，$f(1) = 3$，$f(2) = 7$，且在$x=1$ 处取得极小值。
求$a$、$b$、$c$ 的取值范围。
解析：根据题意，可列出以下方程组：$$begin{cases}c = 1a +b +c = 34a + 2b + c = 7end{cases}$$解得$a = 2$，$b = -2$。
由$f(x) = 2x^2 - 2x + 1$，可知其判别式$Delta = b^2 - 4ac = 8 - 8 = 0$，说明二次函数图像开口向上，且有一个实根。
浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１４数学学习与研究㊀２０１９ ２２浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略浅析含参数不等式恒成立问题的求解策略Һ张智云㊀(广元市八二一中学ꎬ四川㊀广元㊀６２８０００)㊀㊀ʌ摘要ɔ不等式问题是高中数学中的重要内容之一ꎬ而含参数不等式恒成立问题又是历年高考中的一个热点ꎬ也是高中数学的一个难点ꎬ含参数不等式恒成立问题综合性强ꎬ在解决这类问题的过程中ꎬ学生较难找到解题的切入点和突破口ꎬ基于此ꎬ本文结合实例谈谈这类问题的解决策略.ʌ关键词ɔ参数分离ꎻ变量转换一㊁分离参变量策略在含参数不等式中参数与变量能分离且函数最值容易求出时ꎬ可以将参数不等式经过变形ꎬ将参数分离出来ꎬ将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题ꎬ从而求出参数范围.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋ａｘ＋３－ａꎬ若ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｆ(ｘ)ȡ２恒成立ꎬ求实数ａ的取值范围.解㊀ｆ(ｘ)ȡ２在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立等价于:ａɤ－ｘ２－１ｘ－１在ｘɪ[－２ꎬ０]上恒成立.令ｈ(ｘ)＝－ｘ２－１ｘ－１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｘ＋１(ｘ－１)２＝－(ｘ－１)２＋２(ｘ－１)２.当ｘɪ[－２ꎬ０]时ꎬｈ(ｘ)在[－２ꎬ１－２)上单调递减ꎬ在[１－２ꎬ０]上单调递增ꎬʑｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(１－２)＝２２－２ꎬʑａɤ２２－２ꎬʑ实数ａ的取值范围为(－ɕꎬ２２－２].二㊁主参换位策略某些含参不等式恒成立问题ꎬ在分离参数会遇到讨论的麻烦㊁但函数的最值却难以求出时可以通过变量转换ꎬ构造以已知取值范围的参数为自变量的函数ꎬ利用函数求出另一参数的取值范围.例２㊀若不等式ａｘ２－２ｘ－ａ＋１<０对满足－２ɤａɤ２的所有ａ都恒成立ꎬ求实数ｘ的取值范围.解㊀原不等式可以转化为ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１<０.令ｆ(ａ)＝ａ(ｘ２－１)－２ｘ＋１(－２ɤａɤ２)ꎬ它的函数图像表示一条线段ꎬ且该线段在ｘ轴下方ꎬʑｆ(－２)<０ꎬｆ(２)<０ꎬ{即－２ｘ２－２ｘ＋３<０ꎬ２ｘ２－２ｘ－１<０ꎬ{解得－１＋７２<ｘ<１＋３２ꎬʑ实数ｘ的取值范围为－１＋７２ꎬ１＋３２æèçöø÷.以上介绍了两种含参数不等式恒成立问题的求解策略ꎬ只是从某一个方面突破去探讨了不等式参数的取值范围ꎬ在具体的解题过程中ꎬ往往需要综合考虑ꎬ灵活运用ꎬ才能更好地解决这类问题.ʌ参考文献ɔ[１]郭宏.浅谈高中数学恒成立问题的解题方法[Ｊ].中国基础教育研究ꎬ２００９(６):１６６－１６７.[２]叶海明.高中数学恒成立问题的解题策略浅探[Ｊ].读与写ꎬ２００９(８):１１３ꎬ１９２.。
高中数学教学论文 含参不等式恒成立问题的求解策略
含参不等式恒成立问题的求解策略“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。
本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx axx f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ;2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1．已知函数])1(lg[22a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22>+-+a x a x 对R x ∈恒成立，即有04)1(22<--=∆aa 解得311>-<a a 或。
所以实数a 的取值范围为),31()1,(+∞--∞ 。
若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例2．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立； 当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有： 1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔ 2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔例3．已知x x x x g a x x x f 4042)(,287)(232-+=--=，当]3,3[-∈x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围。
含参不等式恒成立
“含参不等式恒成立问题”一般求解策略：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有1）0)(>x f 对R x ∈恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ; 2）0)(<x f 对R x ∈恒成立.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）a x f >)(恒成立min )(x f a <⇔2）a x f <)(恒成立max )(x f a >⇔三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔四、数形结合法1）⇔>)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象上方；2）⇔<)()(x g x f 函数)(x f 图象恒在函数)(x g 图象下上方。
五、变换主元法例1．设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
解：设m mx x x F -+-=22)(2，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆1220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。
综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。
二次函数含参问题总结归纳
二次函数含参问题总结归纳二次函数含参问题总结归纳二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是考试中经常考察的知识点。
在学习二次函数的过程中，我们会遇到含参问题，即函数中会存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像、性质等产生影响。
本文将对二次函数含参问题进行总结归纳。
一、二次函数基本性质回顾在介绍二次函数含参问题之前，我们先来回顾一下二次函数的基本性质。
1. 二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
2. 二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由a的正负决定。
- 当a>0时，抛物线开口向上；- 当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的对称轴方程为x = -b/2a，对称轴与抛物线的凹凸性质相同。
4. 二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(-b/2a)即为函数的最值。
- 当a>0时，函数有最小值；- 当a<0时，函数有最大值。
二、含参二次函数的图像变化含参二次函数是指函数中存在一个或多个参数，这些参数会对函数的图像产生影响。
下面我们讨论几种常见的含参二次函数的图像变化情况。
1. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数a的变化对图像的影响：- 当a>0时，随着a的增大，抛物线的开口变得越来越窄，即变得越陡；- 当a<0时，随着a的减小，抛物线的开口变得越来越宽，即变得越矮胖。
2. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数b的变化对图像的影响：- 当b>0时，整个抛物线向左平移；- 当b<0时，整个抛物线向右平移。
平移的距离与b的绝对值成正比。
3. 含参二次函数f(x) = ax^2 + bx + c中的参数c的变化对图像的影响：- 当c>0时，在y轴上方平移；- 当c<0时，在y轴下方平移。
平移的距离与c的绝对值成正比。
高考数学热门专题之含参函数恒成立问题的三种解法
高考数学热门专题之含参函数恒成立问题的三种解法
杨宁平
含参不等式的求参数范围问题，往往与导数问题交汇在一起在压轴题中出现。
对于这一类问题解法灵活、巧妙,且逻辑推理难度很大,知识面广。
学生往往会望而生畏,不能进行
法二.分离参数，运用洛必达法则求最值
容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时，需要运用到大学内容洛必达法则来求最值。
法三：数形结合法。
在分离参数时，能把参数转化一条直线的斜率，通过图像观察，比较函数切线斜率与参数的大小，得出参数的范围。
但在分离出的函数不是初等函数时，画图像需要注意凹凸性，才能得到参数的准确范围。
好难：二次函数恒成立问题(草稿)
好难：二次函数恒成立问题（草稿）一.与抛物线有关的交点问题：（层层递进）1.抛物线与x轴（y=0）的交点问题二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标，是对应一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，所以抛物线与x轴的交点情况可以由对应一元二次方程的根的判别式判定：2.抛物线与平行于x轴的直线（y=k）的交点问题同1一样，可能有0个交点，有1个交点，有2个交点，当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是方程ax²+bx+c=k的两个实数根。
3.抛物线与一般直线（y=kx+n）的交点问题同2一样，可能有0个交点，有1个交点，有2个交点，当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为kx+n，则横坐标是方程ax²+bx+c=kx+n的两个实数根。
相关习题：二.二次函数恒成立问题：1.策略一：利用二次函数的判别式例题：已知函数f(x)=ax²+ax+3，若x∈R时,f(x)≥a恒成立，求a的范围。
相关习题：若不等式（m-1）x²+（m-1）x+2>0的解集是R，求m 的范围。
（提示：分类讨论）2.策略二：利用零点分布（感觉对不上，解题有点问题，不知哪个是对错？）例题：已知函数f(x)=x²+ax+3-a，若x∈[-2,2]时，f(x)≥2恒成立，求a的范围。
相关习题：已知函数f(x)=ax²+ax+3，若x∈[-2,2]时，f(x)≥a 恒成立，求a的范围。
3.策略三:利用函数的最值（或值域）（1）f(x)≥m对任意x都成立,则有f(x)min≥m （2）f(x)≤m对任意x都成立,则有m≥f(x)max。
简记：“大的大于最大的，小的小于最小的”相关习题：已知函数f(x)=x²+ax+3-a，若x∈[-2,2]时，f(x)≥2恒成立，求a的范围。
4.类型4相关习题：已知函数f(x)=x²-4ax+2a+6（a∈R）(1)x∈R时,f(x)≥a恒成立，求a的范围(2)若函数值为非负数，求函数f(a）=2-a∣a+3∣的值域。
二次函数恒成立问题
二次不等式恒成立问题
策略一:利用二次函数得判别式
对于一元二次函数有:
(１)上恒成立;(2)上恒成立
例1、若不等式得解集就是R，求m得范围。
策略二:利用零点分布
例２、已知,若恒成立,求a得取值范围、
变式:设,当时,恒成立,求实数得取值范围。
ﻬ策略三：分离参数
若所给得不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数得最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还就是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。
一般地有:
1)恒成立
2)恒成立
例3、函数,若对任意,恒成立,求实数得取值范围。
变式:已知函数时恒成立,求实数得取值范围。
三、ﻬ巩固练习
1、(1)若关于得不等式得解集为,求实数得取值范围;(2)若关于得不等式得解集不就是空集,求实数得取值范围.
２、若函数在R上恒成立,求m得取值范围。
3、已知向量若函数在区间上就是增函数,求t得取值范围、
４、已知函数,其中就是得导函数、对满足得一切得值,都有,求实数得取值范围;
５、若对任意得实数,恒成立,求得取值范围。
6、已知函数对于一切成立,求a得取值范围。
７、已知函数对于恒成立,,求m得取值范围。
８、若不等式在内恒成立,求a得取值范围。
９、已知函数得定义域为R,求实数得取值范围。
1０、已知函数，若对任意恒有，试确定得取值范围。
11、已知时,不等式恒成立,求得取值范围。
二次函数恒成立问题
二次不等式恒成立问题一、恒成立问题的基本类型：类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3：αα>⇔∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切αα>⇔∈<max )()(x f I x x f 恒成立对一切。
类型4：)()()()()()()(maxmin I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>⇔∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切二、恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的X 围。
含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题
}11|{1)5(1)4(}11|{10)3(}1|{0)2(}1,1|{0)1(<<>Φ=<<<<>=><<x ax a a ax x a x x a x ax x a 时，当时，当时，当时，当或时，当含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x变式：解关于x 的不等式1、0)2)(2(>--ax x ； 3、ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)}2,2|{,1)5(}2|{,1)4(}2,2|{,10)3(}2|{,0)2(}22|{,0)1(><>≠=><<<<=<<<x ax x a x x a ax x x a x x a x ax a 或时当时当或时当时当时当二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。