复变函数的映射
复变函数课件6-2分式线性映射
够处理更广泛的函数。
值的扩展
02
将分式线性映射的值域从实数域扩展到复数域，从而能够处理
复数函数的变换。
参数的扩展
03
引入更多的参数，以实现更复杂的分式线性映射，并提高映射
的灵活性和适用性。
分式线性映射的推广
推广到高维空间
将分式线性映射从二维平面推广到更高维的空间 ，以处理更复杂的几何变换和函数变换。
解答1
对于题目1，首先化简$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z - 1)} = frac{(z + 1)(z - 1)}{z(z - 1)} = frac{z + 1}{z}$，然后根据 留数的定义，得到在$z = 1$和$z = 0$的留数分别为0和1。
解答2
对于题目2，首先化简$f(z) = frac{1}{z^2 - 4z + 3} = frac{1}{(z - 1)(z - 3)} = frac{1}{2}left(frac{1}{z - 1} frac{1}{z - 3}right)$，然后根据留数的定义，得到在$z = 2 + i$和$z = 2 - i$的留数分别为$frac{i}{4}$和$frac{i}{4}$。
分式线性映射在信号处理中的应用
在信号处理中，分式线性映射可以用于实现信号的滤波、频域变换和调制解调等处理，以提高信号的质量和传输 效率。
05
分式线性映射的习题和解答
分式线性映射的习题
题目1
01
题目2
02
03
题目3
设$f(z) = frac{z^2 - 1}{z(z 1)}$，求$f(z)$在$z = 1$和$z = 0$的留数。
应用
分式线性映射的导数在研究函数的性质、曲线和曲面的几何形状等 方面有重要应用。
复变函数
2．实变复值函数的概念 定义：设T 是实数集， F 是复数集，T f F
1) t R z z(t) ，称 z 是 t 的实变复值函数 z z(t) ;
2) 单值： t 一个z z(t) 多值： t 多个z z(t) ,本文只研究单值函数；
1.5复变函数
一、复变函数的概念 1．映射的概念
定义：设 E 和 F 是复平面上的两个点集， E f F
z 唯一确定 w
w 称为 z 在映射 f 下的像，记作 w f (z)，z 称为 w 在 f 下
的一个原像。 例如：设 E F {z;| z |1}，则 f : z iz ，g : z z 都是 E 到 F
w x2 y2 2 2xyi z2 2
四、函数与空间 y f (x) 二维； u f (x, y) 三维； z z(t) 三维；
w f (z) 四维，用两张复平面表示： z 平面 w 平面
例 3：设映射 w z2 ，求
1）直线 x c( 0) 在 w 平面上的像；
2
即 r 2, 2 是扇形区域 0 ,0 4 。
2
例 4：在 w 1 映射下，ｚ平面上圆周 x2 y2 9 将变成 w 平 z
面上什么曲线
［解］这是ｗ平面上以原点为中心，1/3 为半径的圆周。
y
v 2c
，将其代入（1.2.1）中，得
uc2来自v2 4c 2，
即
u
c2
v2 4c 2
是
w
平面上的抛物线方程，它的图形关于
u
轴对
称。
2）设 w ei , z rei ，则 ei r 2e2i ，
复变函数与积分变换公式汇总
复变函数与积分变换公式汇总一、复变函数复变函数是将复数域上的变量映射到复数域上的函数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中z = x + iy是自变量，u(x,y)和v(x,y)是实部和虚部函数。
复变函数的性质包括解析性、全纯性、调和以及实部虚部的关系等。
1.解析函数性质解析函数是复变函数的重要性质之一，它表示函数在其定义域内处处可导，并且其导数连续。
如果f(z)是定义在区域D上的函数，满足Cauchy-Riemann条件，则f(z)是该区域上的解析函数。
Cauchy-Riemann条件可以表示为：∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x2.全纯函数性质全纯函数是解析函数的特殊情形，它在整个复平面上都有定义，并且是解析的。
全纯函数还有许多重要的性质，如Liouville定理、最大模原理等。
3.调和函数性质调和函数是复平面上的实函数，满足拉普拉斯方程(△u=∂²u/∂x²+∂²u/∂y²=0)。
调和函数在物理学中有广泛的应用，例如描述电势、热力学等现象。
4.实部虚部关系对于任意一个复变函数f(z)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)之间有一些重要的关系。
例如，如果f(z)是一个解析函数，则它的实部和虚部函数满足调和方程，并且u(x,y)和v(x,y)是共轭调和函数。
二、积分变换公式积分变换是对函数进行积分操作的数学工具，常用于求解微分方程、信号处理等问题。
常见的积分变换公式包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
1.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种广泛应用于信号分析和控制系统的积分变换方法。
定义域为半无穷区间的函数f(t)在复平面上进行拉普拉斯变换后得到一个复变函数F(s)，满足积分方程：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] f(t)e^(-st) dt2.拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，如线性性、位移性质、尺度变换、微分性质等。
复变函数表达式
复变函数表达式复变函数是数学分析中的重要概念，是指由复数集合到复数集合的映射。
它具有形式为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的表达式，其中z=x+iy是复数变量，u(x,y)和v(x,y)是实数函数。
复变函数的研究是复分析的核心内容之一，它在物理学、工程学以及计算机科学等领域中都有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及到函数的解析性、积分、级数、留数等概念。
解析函数是指在其定义域内处处可导的复变函数。
对于解析函数，我们可以利用柯西-黎曼方程推导出它的柯西-黎曼条件，即u 和v满足一阶偏导数关系式。
这一条件是解析函数的充要条件，也是复变函数理论中的重要定理之一。
复变函数的积分也是其研究的重要内容。
在复平面上，我们可以定义沿一条曲线的积分，称为复积分。
复积分具有路径无关性，这是由于复变函数解析的性质所决定的。
通过计算复积分，我们可以得到很多重要的结果，比如柯西积分定理和留数定理等。
复级数也是复变函数理论中的重要概念之一。
对于复数列{an}，我们可以将其求和得到复级数。
复级数的收敛性与实数级数类似，但是复级数的性质更加丰富。
通过研究复级数的收敛性和性质，我们可以得到一些重要的结论，如柯西收敛准则和绝对收敛性等。
留数是复变函数理论中的重要概念之一。
对于解析函数f(z)，在其奇点z0处可以定义留数Res(f,z0)。
留数的计算可以通过留数定理来进行，这个定理是复分析中的核心定理之一。
留数定理为计算复积分提供了重要的工具，也为计算一些特殊函数的积分提供了便利。
复变函数理论在物理学中有广泛的应用。
量子力学中的波函数、电磁学中的电势函数等都可以使用复变函数来描述。
复变函数的解析性和路径无关性使得它在物理学中具有重要的意义。
复变函数理论还在工程学和计算机科学中有广泛的应用。
在信号处理中，复变函数可以用来分析信号的频谱特性；在图像处理中，复变函数可以用来进行图像的滤波和增强等。
复变函数的理论为这些应用提供了基础和工具。
复变函数理论中的共形映射及其性质
复变函数理论中的共形映射及其性质复变函数理论是数学中的一个重要分支，研究复平面上的复数函数。
复变函数理论的一个重要概念是共形映射。
共形映射是指保持角度不变的映射关系。
本文将讨论复变函数理论中的共形映射及其性质。
一、共形映射的定义共形映射是指保持角度不变的映射关系。
设f(z)是一个定义在复平面上的复变函数，如果对于平面上任意两条非平行的曲线，这两条曲线在映射f下的对应曲线的切线之间的夹角等于原曲线对应切线的夹角，那么称f(z)是一个共形映射。
二、共形映射的性质1. 保角性质：共形映射保持角度不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，如果z1、z2、w1和w2在同一条直线上，那么它们的夹角相等。
2. 保距性质：共形映射保持距离不变。
设z1和z2是复平面上任意两点，w1=f(z1)和w2=f(z2)是它们的映射点，那么z1和z2之间的距离等于w1和w2之间的距离。
3. 保边界性质：共形映射保持边界不变。
若一个区域的边界曲线在共形映射下映射到另一个区域，那么映射后的曲线仍然是原来区域的边界曲线。
4. 保圆性质：共形映射将圆映射为圆。
具体来说，若一个圆在共形映射下映射为另一个曲线，那么映射后的曲线仍然是圆。
三、常见的共形映射复平面上的共形映射有很多种，下面介绍几种常见的共形映射：1. 线性变换：线性变换是一类共形映射，表达形式为f(z)=az+b，其中a和b是复数，a≠0。
线性变换可以将直线映射为直线或者圆。
2. 幂函数：幂函数是一种共形映射，表达形式为f(z)=z^n，其中n是整数。
幂函数可以将圆映射为圆或者直线。
3. 分式线性变换：分式线性变换是另一类共形映射，表达形式为f(z)=(az+b)/(cz+d)，其中a、b、c和d是复数，ad-bc≠0。
分式线性变换可以将圆、直线或者半平面映射为圆、直线或者半平面。
四、应用领域共形映射在物理学、工程学以及计算机图形学等领域有广泛的应用。
复变函数的性质与分类
复变函数的性质与分类一、引言复变函数是复数域上的函数，它具有许多独特的性质和分类方法。
在数学和工程领域中，复变函数被广泛应用于解析几何、积分变换、微分方程等多个重要领域。
本文将介绍复变函数的定义、性质及其分类方法，以期对读者有所启发和帮助。
二、复变函数的定义复变函数是指定义域和值域都是复数集合的函数。
设z为复平面上的点，z=x+yi（x、y为实数，i为虚数单位），则z是一个复数。
若w=f(z)，其中f是一个从复数集合C到C的映射，那么f(z)就是一个复变函数。
三、复变函数的性质1. 解析性对于一个定义在某个区域上的函数f(z)，如果f(z)在该区域内是解析的，也就是说f(z)在该区域内可以展开成幂级数，则称f(z)在该区域内是解析的。
2. 全纯性如果一个函数在某个区域内具有一阶偏导数，并且这个函数的偏导数连续，那么这个函数就称为全纯函数。
3. 共轭性设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)（u、v为实函数），则f(z)的共轭函数为f*(z)=u(x,-y)-iv(x,-y)。
4. 周期性如果存在一个非零常数w，使得对于定义在某个区域上的函数f(z)，对任意z都有f(z+w)=f(z)，则称函数f(z)是周期函数。
四、复变函数的分类1. 整函数与亚纯函数整函数是指在整个复平面上具有解析性的函数。
当整函数还满足条件f(z)在无穷远处有界时，称这样的整函数为有界整函数。
亚纯函数是指在几个离散点处不解析，在其他地方均解析的复变函数。
2. 特殊类型函数包括双全纯映射、调和映射、保角映射等特殊类型的复变函数。
3. 黎曼映射定理及其应用黎曼映射定理说明了任意一个单连通区域都存在一个保角映射，将这个区域映射为单位圆盘。
黎曼映射定理在多孔区域映射等问题中有重要应用。
五、结语通过本文对复变函数的性质与分类进行介绍，希望读者能够对复变函数有更深入的了解，并能够应用到实际问题中去。
复变函数作为数学分析和工程领域中重要的工具，在不同领域都有着重要的应用价值，期待未来能够有更多关于复变函数方面的研究成果出现。
复变函数
6.sin z 仅在z = kπ 处为0, cos z 仅在z = kπ + π / 2处为0; sin iy = ishy, cos cos iy = chy chy
7. | sin z |,| cos z | 无界.
(iv)幂函数 z =e
α α Lnz
, 在每个单值分支上, ( z ) ' = α z
α
α −1
.
当α 取不同值时, 幂函数zα的多值性可能不同. 的多值性可能不同 例3.计算 (1) (-1) ;
-i
(2)i .
2
1.(1)求 cos( x + iy ),sin( x + iy )的实部和虚部; (2)证明: sin iz = ishz , cos iz = chz , (sin z ) ' = cos z. 2.求 sin i, cos(2 + i ), i , (−1) , ln(2 − 3i )的值.
(iii )三角函数 1.cos z和 sin z在C上解析, 且(sin z ) ' = cos z , (cos z ) ' = − sin z; 2.cos z,sin z以2π 为周期; 3.cos z是偶函数,sin z是奇函数; 4.和角公式成立; 5.sin z + cos z = 1,sin(π / 2 − z ) = cos z;
eiy + e − iy eiy − e − iy 又 Q cos y = ,sin y = 2 2i iz − iz iz − iz e +e e −e ∴ 定义三角函数 : cos z = ,sin z = 2 2i
从指数函数的可以定义e z的反函数Lnz , 定义为 : 满足e = z的复数w称为z的对数, 记为Lnz.同样
复变函数的基本概念与性质
复变函数的基本概念与性质复变函数是数学中一个重要的分支，它涉及复数域上的函数理论和分析。
本文将介绍复变函数的基本概念和性质，包括复数、复变函数的定义和解析性、调和函数、全纯函数等。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为z=a+bi，其中a和b分别为实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
复数除了具有实数的加法和乘法运算，还有复数的共轭运算、模运算和幅角运算等。
二、复变函数的定义和解析性复变函数从复数域到复数域的映射，可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy。
其中，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部函数。
复变函数的解析性是指函数在其定义域内可导，用柯西-黎曼条件表述，即函数的实部和虚部满足柯西-黎曼方程。
三、调和函数调和函数是一种特殊的复变函数，其实部和虚部函数均具有拉普拉斯方程，即Δu=0和Δv=0。
调和函数在物理学和工程学领域有广泛的应用，如电势问题、热传导问题等。
四、全纯函数全纯函数是复变函数中的重要概念，也称为解析函数。
全纯函数在其定义域内可导，并且导数也是全纯函数。
全纯函数具有很多良好的性质，如可分部积、洛朗级数展开、辐角原理等。
五、复变函数的性质1. 极限性质：复变函数的极限与实变函数类似，但多了收缩定理和全纯函数的唯一性。
2. 连续性质：全纯函数在其定义域内连续。
3. 导数性质：全纯函数的导数也是全纯函数，并且满足导数的性质。
4. 积分性质：沿简单闭曲线的积分与函数在该曲线内的积分无关，这是复变函数中的柯西积分定理。
综上所述，复变函数是由复数域到复数域的映射，具有许多独特的性质。
它为解决物理学、工程学等领域的问题提供了重要的数学工具。
希望本文可以帮助读者理解复变函数的基本概念和性质，并进一步探索其中的数学奥秘。
复变函数的映射
C2
则有 arg w 2 ( t 0 ) arg w1 ( t 0 ) arg z2 ( t 0 ) arg z1 ( t 0 )
1 与 2 在 w0 的夹角
C1 与 C2 在 z0 的夹角
结论: 相交于点 z0 的任意两条曲线C1与 C2之间
的夹角 在其大小和方向上都等同于经过 w f ( z )
—符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个 充分小邻域变成w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w e z 在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
设 w f ( z ) 于区域 D 内解析 , z0 D , 在点 z0 有 在数学分析中我们知道，导数用来刻画因变量 相对于自变量的变化情况，且具有相当明显的几何 导数 f ( z0 ) 0 . 过 z0 任意引一条有向光滑曲 线 意义. 那么，一个复变函数的导数将会刻画怎样的 关系呢？又有什么样的几何意义呢？ C : z z ( t ) ( t0 t t1 )
点 w0 重合 ， x 轴与 u 轴平行 , 则 C 在点 z0 的切线与
在点 w0 的切线所夹的角就是arg f ( z0 ) . 因此可
以认为曲线 C 在 z0 的切线通过变换以后绕 着点 z0转
动了一个角度arg f ( z0 ) ， 它称为变换 w f ( z ) 在 z0
意义 . 点的旋转角 . 这就是导数辐角的几何
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z ) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知， 在 C 的内部
如何求解复变函数保角映射函数
如何求解复变函数保角映射函数
复变函数保角映射函数的求解可以通过以下步骤进行：
1. 找到在象平面和原象平面上相同的角。
这是保角映射的名称来源。
例如，在某点处圆弧和实轴形成了直角交角，这恰好与第一象限在原点处的角相吻合。
2. 确定分式线性映射分子的零点和分母的零点。
在上述例子中，分子的零点是原象平面上的点，而分母的零点是象平面上的点。
3. 再找一对特殊点来确定系数。
例如，可以找到一对被映射到了实轴和虚轴上的点。
4. 利用这些点和系数，可以构建出复变函数的保角映射函数。
请注意，具体的求解过程可能会因为具体的函数和问题而有所不同。
复变函数re和im
复变函数re和im复变函数是数学分析中的一个重要概念，它是指定义在复数集上的函数。
复变函数可以分解为实部和虚部，即re和im。
本文将围绕这两个概念展开讨论。
我们来了解一下复变函数的定义。
复变函数是指将复数集映射到复数集的函数。
它的定义域和值域都是复数集。
复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
实部re是复变函数的一个重要性质，它表示函数在复平面上的水平投影。
实部函数u(x,y)是对应于复变函数f(z)的实部re的实函数。
实部函数可以看作是复变函数在复平面上的等高线。
通过观察实部函数的图像，我们可以了解函数的性质，比如函数的奇偶性、周期性等。
实部函数的性质对于理解复变函数的行为和性质起到了重要的作用。
虚部im是复变函数的另一个重要性质，它表示函数在复平面上的垂直投影。
虚部函数v(x,y)是对应于复变函数f(z)的虚部im的实函数。
虚部函数也可以看作是复变函数在复平面上的等高线。
同样，通过观察虚部函数的图像，我们可以了解函数的性质，比如函数的奇偶性、周期性等。
虚部函数的性质对于理解复变函数的行为和性质起到了重要的作用。
在复平面上，我们可以将复变函数表示为一个向量，该向量的实部和虚部分别对应于x轴和y轴上的分量。
通过对复变函数进行向量运算，我们可以利用实部和虚部的性质来求解复变函数的导数、积分等运算。
这种向量表示法使得复变函数的运算更加直观和方便。
除了实部和虚部，复变函数还有其他重要的性质。
比如，复变函数可以分析其奇点和极限。
奇点是指函数在某个点上不连续或不可导的情况。
通过对复变函数的奇点进行分析，我们可以了解函数的性质和行为。
极限是指函数在某个点上逼近某个值的情况。
通过对复变函数的极限进行分析，我们可以了解函数的趋势和变化。
总结起来，复变函数的实部和虚部是其重要的性质之一。
实部和虚部函数可以通过观察其图像来了解函数的性质和行为。
复变函数的运算与性质
复变函数的运算与性质复变函数是指在复数域上定义的函数，具有实部和虚部两个分量。
与实函数相比，复变函数更加复杂且具有独特的性质。
本文将探讨复变函数的运算和性质，以帮助读者更好地理解和应用复变函数。
一、复变函数的定义复变函数是指定义在复平面上的函数$f(z)$，其中$z=x+iy$表示复平面上的点，$x$和$y$分别是$z$的实部和虚部。
复变函数可以分为解析函数和非解析函数两类。
解析函数是指在其定义域上处处可导的函数，非解析函数则是不具备这一性质的函数。
二、复变函数的四则运算1. 复变函数的加法设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的和可以表示为$h(z)=f(z)+g(z)$。
复变函数的加法满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=f(z_1)+g(z_1)+f(z_2)+g(z_2)$。
2. 复变函数的减法与加法类似，复变函数的减法也满足交换律和结合律。
设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的差可以表示为$h(z)=f(z)-g(z)$。
3. 复变函数的乘法设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的乘积可以表示为$h(z)=f(z) \cdot g(z)$。
复变函数的乘法满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=f(z_1) \cdot g(z_1)+f(z_2) \cdot g(z_2)$。
4. 复变函数的除法复变函数的除法需要注意分母不等于零的条件。
设有两个复变函数$f(z)$和$g(z)$，它们的商可以表示为$h(z)=\frac{f(z)}{g(z)}$。
同时，复变函数的除法也满足交换律和结合律，即$h(z_1+z_2)=\frac{f(z_1)}{g(z_1)}+\frac{f(z_2)}{g(z_2)}, g(z) \neq 0$。
三、复变函数的性质1. 实部和虚部是实函数对于一个复变函数$f(z)$，它的实部和虚部分别定义为$u(x,y)$和$v(x,y)$。
复变函数基本概念
复变函数基本概念复变函数是复数域上的函数，它将复数映射为复数。
复变函数的研究与实分析中的实函数有很大的不同，它引入了很多有趣的概念和性质。
本文将介绍复变函数的基本概念，包括复数、复变函数的定义、解析函数、全纯函数等内容。
1. 复数复数是实数的扩充，由实部和虚部构成。
复数可以表示为z = x + yi，其中x和y分别为实部和虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都可以是实数。
复数具有加法、减法、乘法和除法等基本运算规则，其中乘法定义为(z1 * z2) = (x1x2 - y1y2) + (x1y2 + x2y1)i，除法定义为(z1 / z2) =[(x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2)] + [(x2y1 - x1y2) / (x2^2 + y2^2)]i。
2. 复变函数的定义复变函数是定义在复平面上的函数，它将复数映射为复数。
形式上，复变函数可以表示为f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v是实部和虚部的实函数。
3. 解析函数和全纯函数解析函数也称为全纯函数，它是复变函数的重要概念。
解析函数在一个区域内是可导的，即它在该区域内存在导数。
一个复变函数是全纯函数，当且仅当它在每个点都可导。
全纯函数具有一些重要的性质，包括保持解析、可逆和可微等。
全纯函数满足柯西-黎曼方程，即它的实部和虚部满足柯西-黎曼条件。
4. 级数展开复变函数可以用级数展开的方式表示，这是复变函数研究的重要工具之一。
著名的洛朗级数定理指出，任何复变函数都可以用洛朗级数展开表示。
洛朗级数由无穷多个项组成，每个项包含一个主项和一系列负幂项和正幂项。
它可以表示为f(z) = Σ(从负无穷到正无穷) [c_n(z-a)^n]，其中c_n称为洛朗系数，a是展开中心。
5. 解析延拓与辐角原理解析延拓是指通过复变函数在一个区域内的性质推导出在该区域之外的性质。
解析延拓可以帮助我们研究复变函数的性质和行为。
辐角原理是解析函数理论中的重要概念之一，它关注解析函数在封闭曲线内部和外部的行为。
复变函数的调和函数与共形映射
复变函数的调和函数与共形映射复变函数是在复平面上定义的函数，它可以看作是将复平面上的点映射到复平面上的点的规则。
在复分析中，调和函数是一类特殊的函数，它们满足拉普拉斯方程，即二阶偏微分方程的解。
而共形映射则是保持角度不变的特殊映射。
一、复变函数的调和函数调和函数在数学和物理中都有广泛的应用。
它们满足的拉普拉斯方程可以表达为：△u = 0其中△是拉普拉斯算子，u是定义在某个区域上的函数。
调和函数的一个重要性质是它的取值在区域的边界上给定函数的值决定。
调和函数的典型例子是多项式函数、指数函数以及三角函数。
调和函数在物理学中的应用包括电势场、热传导以及流体力学等领域。
它们在计算机图形学的模拟和图像处理中也有广泛的应用。
二、调和函数与共形映射的关系共形映射是保持角度不变的映射，它在几何学和复分析中都有重要的应用。
设F为一个函数，如果F在某个区域上保持角度不变且可导，则称F为一个共形映射。
调和函数与共形映射之间存在着密切的联系。
根据复分析的基本定理知道，如果一个函数F是共形映射，那么它可以表示为F(z)=e^{u(z)+iv(z)}，其中u和v是调和函数。
这意味着共形映射可以由调和函数来表示，而且调和函数与共形映射是一一对应的关系。
利用调和函数与共形映射之间的关系，可以解决很多几何问题。
举例来说，假设我们想要找到一个共形映射，将一个区域映射到单位圆盘上。
我们可以先找到一个调和函数，然后通过指数函数将其表示为共形映射。
三、调和函数的性质与应用除了与共形映射的关系外，调和函数还有一些重要的性质和应用。
其中一些性质包括调和函数的最大值原理、调和函数的平均值性质、调和函数的解析性等。
最大值原理指出，调和函数在区域内取得的最大值一定出现在区域的边界上。
这一性质在证明调和函数的唯一性和解析性方面起到了重要的作用。
调和函数在物理学中的应用包括电势场的求解和热传导问题的分析。
在工程学和自然科学中，调和函数也被广泛地用于解决各种问题，包括流体力学、结构分析以及电磁场的模拟等。
复变函数的基本性质和初等函数
复变函数的基本性质和初等函数复变函数的基本性质与初等函数复变函数是一种映射，其定义域和值域都是复数集，它可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)都是实函数，z=x+iy 是复数，i是虚数单位。
而初等函数是指常见的初等代数函数和初等三角函数等。
复变函数及其导数的解析性质是其最基本的性质之一。
如果函数f(z)在复平面上的一个连通开集中是解析的，则f(z)在该开集内实际上是无限可微的。
这就是我们所说的“全纯性”或“解析性”。
复变函数是最顶级别的函数，因为它会涉及到几何、代数、解析等多个领域。
本文就从极坐标、级数展开、柯西-黎曼方程、导函数四个方面来简单阐述一下复变函数的基本性质，以及这些性质与初等函数的联系。
一、极坐标极坐标在复变函数中表现尤为突出。
我们可以把f(z)表示为(r,θ)的形式，即f(z)=r(θ)e^(iθ)。
其中r表示极径，θ表示角度，e^(iθ)可以理解为旋转因子。
同时，极坐标中有一个性质是：若f(z)在z_0处解析，则极径r和角度θ在其解析点z_0附近的邻域内都是解析的。
这是因为复函数关于实变量r和θ的偏导数能够存在，而这个性质决定了极坐标下的导数公式为f′(z)=∂f(r,θ)/∂r+1/r∂f(r,θ)/∂θ。
二、级数展开级数展开在复变函数中的使用也十分普遍。
一个解析函数可以展开为关于z的幂级数，如f(z)=a0+a1z+a2z^2+...+anz^n+...。
而关于z的幂级数表达式不但方便计算，而且可以有效地判断函数的性质，例如通过判断级数的收敛半径，可以得到f(z)的连续性、无穷可微性等等。
三、柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程则为复变函数的重要基础。
对于坐标z=x+iy，我们可以通过柯西-黎曼方程把函数f(z)写为u(x,y)+iv(x,y)的形式，即：将f(z)写为实部和虚部的形式后，我们就可以利用实函数的方法来处理复变函数相关的问题。
《复变函数映射》课件
量子力学
在电路分析中，复变函数映射用于描述交流电路中的电压和电流，通过复平面上的映射关系，可以更方便地分析电路的稳定性和性能。
电路分析
在控制系统中，复变函数映射用于描述系统的传递函数和稳定性，通过在复平面上的分析和设计，可以提高系统的性能和稳定性。
控制系统
06
Байду номын сангаасCHAPTER
总结与展望
如果对于所有$epsilon > 0$，存在$delta > 0$，使得当$|z - z_0| < delta$时，有$|f(z) - f(z_0)| < epsilon$，则称$f(z)$在点$z_0$处连续。
连续函数具有局部有界性、局部保序性、可积性等性质。
连续定义
连续性质
04
CHAPTER
复变函数的映射
03
边界与边界的对应
映射不仅作用于区域内的点，也作用于区域的边界，表示复平面上区域的形状和大小的变化。
01
点与点的对应
在复平面中，每个点x可以对应另一个点y，表示复数在复平面上的变换。
02
区域与区域的对应
通过映射，可以将一个区域映射到另一个区域，表示复平面上的区域变换。
一一映射
如果对于集合A中的任意元素x，都存在唯一的元素y与之对应，并且这种对应关系是可逆的，则称这种映射为一一映射。
《复变函数映射》PPT课件
目录
引言复数基础复变函数复变函数的映射映射的应用总结与展望
01
CHAPTER
引言
01
02
03
02
CHAPTER
复数基础
复数的基本概念
总结词
复数是实数和虚数的组合，形式为$a+bi$，其中$a$和$b$是实数，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复变函数的调和函数与共形映射
复变函数的调和函数与共形映射复变函数（也称为“复数函数”）是指自复数集合到复数集合的函数，即定义域和值域都是复数。
复变函数在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
其中复变函数的调和函数和共形映射是复变函数理论中的两个重要概念。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的实值函数，而拉普拉斯方程是指函数的二阶混合偏微分方程的零解。
对于复变函数来说，调和函数可以通过其实部来定义。
给定复变函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y)，其中u(x,y)和v(x,y)分别是f(z)的实部和虚部。
如果u(x,y)满足拉普拉斯方程▽²u = 0，则称u(x,y)为f(z)的调和函数。
调和函数的一个重要性质是当一个区域内的平均值等于其边界上的值时，该函数在整个区域内都保持不变。
调和函数在电场和流体力学等领域中有着重要的应用。
在电场中，调和函数可以表示电势分布；在流体力学中，调和函数可以表示流速场。
共形映射是复变函数理论中的另一个重要概念。
共形映射是指保持角度不变的映射，即在映射前后两个曲线的夹角保持相等。
共形映射在几何学和物理学中都有重要的应用。
一个简单的例子是复平面上的保角映射，即将一个区域映射到另一个区域，并且保持两个区域内所有点的夹角不变。
这个映射可以用复变函数来表示。
常见的共形映射包括平面映射、圆盘映射和上半平面映射等。
这些映射在复变函数的研究中起着至关重要的作用。
值得一提的是，复变函数的调和函数和共形映射之间存在着紧密的联系。
在某些特定条件下，可以通过调和函数的变换来获得共形映射，并且通过共形映射可以将一个调和函数转换为另一个调和函数。
总之，复变函数的调和函数和共形映射是复变函数理论中的两个重要概念。
调和函数描述了函数的调和性质和区域内部的均匀性，而共形映射描述了保持角度不变的映射。
两者的研究为理解复变函数的性质和解决实际问题提供了基础。
复变函数映射
故 u u (x ,y )v v (x ,y )
w f ( z ) u i v u u ( x , y )v v ( x , y )
例1 wz2 令 zxiywuiv 则 w(uiv )(xiy )2x2y22xyi
w z2 u x 2 y 2 v 2 xy
1. 函数的极限
定义 设wf(z), zU(z0,),若存在 A， 数 0,
（）,当0 （0)
zz0
时,有f(z)A,
则
称 A为f(z)当zz0时
的Leabharlann 极限， lim 记f(z作 )A zz0
或当 zz0时， f(z)A
几何意义:
y
(z)
当变点z一旦进
v
(w)
入z0 的充分小去
w f(z)
z0
o
xo
w uiv (co issin )x (i)y (xco sysin )i(xsin ysin ) 即，
uxcos ysin vxsinysin
—旋转变换(映射)
➢见图2
y (z)
v (w)
o
x
o
u
图1-1
y、v (z)、(w)
y、v (z)、(w)
o
x、u
x、u
图1-2
o 图2
例5 研究w z2 所构成的映. 射
zG w f (z) wG*
一(或 个几 )z G 个 z (w ) wG*
则称z=φ(w)为w=f(z)的反函数（逆映射）.
显然w 有 f[(w)] wG*
当反函数 z单 [f(值 z)] 时 zG(一z般 [f(z)])
当函(映 数射 )w f(z)和其反(函 逆数 映)射
复变函数e^z的定义
复变函数e^z的定义复变函数，也称多元函数，是一种不断变化的函数，它把一个复合变量映射到另一个复合变量，即把一个复变量映射到另一个复变量。
其中，e^z代表一种复变函数，也称为e^z函数，它对复变量z开方，生成如下e^z的定义式：e^z=e^x+iy=e^x(cosy+isiny)，式中，x、y分别表示复变量z的实部和虚部。
该式表明，e^z函数定义了一种从复变量z到复变量e^z的映射。
e^z函数即复变函数e^z，它是一种复变函数，其性质可由欧拉公式：e^ix=cosx+isinx得知。
其中，欧拉公式表明，当x实数时，cosx和sinx的组合就是e^ix，而这就构成了e^z的定义。
除此之外，e^z函数还可以通过拉普拉斯变换来定义，拉普拉斯变换定义如下：f(z)=f(x+iy)=1/2π∫∫((x-a)^2+(y-b)^2)^(-1/2)f(a,b)dadb，式中f(z)代表函数，利用该定义，可以得到e^z函数的拉普拉斯变换定义，即f(z)=f(x+iy)=1/2π∫∫((x-a)^2+(y-b)^2)^(-1/2)e^(a+ib)dadb，通过该定义，可以看出，e^z函数可以由它的拉普拉斯变换定义，这又回到了e^z的定义中的欧拉公式。
e^z函数的另一个性质，就是它是可导的。
其导函数为e^z=e^zz，其中z代表复变量z的导数。
上述式子表明，e^z函数是可导的。
e^z函数有着丰富的应用，它可以用于求解非线性方程，也可以用于求解一些复杂的数学问题。
此外，e^z函数也被广泛用于复变分析中，用来分析复变量间的联系。
总之，e^z函数是一种有效的复变函数，它可以用来解决多个复变量间的关系，并也可以被应用于实际的数学问题的求解。
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. arg z(t0 )
z0
0
x
相交于一点的两条曲线 C1与 C2正向之间 的夹角 ,
就是
C1与
C
在交点处的两条切线正
2
向之间的夹角.
设 ： C1 : z z1(t ), C2 : z z2 (t ); arg z2 (t0 )
C2 .
z0
argz2 (t0 ) argz1 (t0 ) arg z1 (t0 )
完全含于 的G一条曲线.
从而， 仿照柯西积分定理
的古萨证明的第三步，
可以找到一条联结
w1、w2 ,
内接于 且完全含于 的折线G ,
1 于是 是G连通的.
因此，G f ( D) 是区域 .
推论 7.2 设 w f (z) 在区域 D 内单叶解析 ，则 D 的像
G f ( D) 也是一个区域 . 因 f(z)不为常数
§1 解析变换的特性
1、解析变换的保域性 2、解析变换的保角性—导数的几何意义 3、单叶解析变换的共形性
1、解析变换的保域性
要探讨解析变换的几何特性，首先要弄清楚复平面上的一个点集 (曲线或区域)与它的像集之间的对应关系.
定理 7.1( 保域定理 ) 设 w f (z) 在区域 D 内解析
且不恒为常数 , 则 D 的像 G f ( D) 也是一个区域 .
第七章 共 形 映 射
从第二章开始，利用分析的方法，即通过微分、积分和级数分别 探讨了解析函数的性质和应用 . 在这一章中，我们将从几何的角度对 解析函数的性质和应用进行讨论 .
在第一章中已经介绍过，一个复变函数 在几何上可w以看f作(把z) z 平面上的一个点集变到 w平面上的一个点集的映射(或变换). 对解析 函数来说，由它所构成的变换（简称解析变换）还需作进一步的研究 .
其次， 要证明 中G任意两点
w1 f ( z1 ), w2
f ( z2 )均可以用一条完全含于 的折线G联结起来.
由于 是D区域， 可在 内D取一条联结 的折z1线, z2 C : z z(t ) (t1 t t2 , z(t1 ) z1 , z(t2 ) z2 ). 于是，
: w f [z(t )] (t1 t t2 ) 就是联结 w1、 的并w且2
点 w 及在 C 上的点 z 有
| f ( z) w0 | | w0 w | 0,
| f ( z) w0 | | w0 w | 0
因此由儒歇定理知 ，在 C 的内部
f ( z) w [ f ( z) w0 ] w0 w 与 f ( z) w0 有相同的零点个数 , 于是 w f ( z) 在 D 内方向一致.
0
x
当 p 沿 C p0 时,
p0 p
C上 p0 处切线
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0 )
z(t0 )
y
z(t0 )
p. C z(t0 t )
p0. z(t0 )
0
x
方向与 C 一致.
y
从而 C 在 z0 有切线 ，z(t0 )
z(t0 )
C
就是切向量 ，它的倾角为
f ( z) w f (z) w0 w0 w , 由解析函数零点的孤立性，必有以 z0 为心的某 个圆周 C ,C 及 C 的内部全含于 D , 使得 f (z) w0 在 C 上及 C 的内部 (除 z0 外 )均不为零 . 因而在 C 上
| f ( z) w0 | 0 .对在邻域 | w w0 | 内的任意
证： 先证 G 是开集 (即证G 的点都是其内点 ) .
设有一点 z0 D , 使 f (z0 ) w0 G f ( D), 要证 w0 为 G 的内点 , 只须证明 w与 w0 充分接近时 ,
w也属于 G , 即须证明，当 w与 w0 充分接近时 , 方程 w f ( z) 在 D 内有解 . 为此，考察
定理 7.3 若函数 w f ( z) 在点 z0 解析 , 且 f ( z0 ) 0 , 则 f (z) 在 z0 的一个邻域内单叶解析. —符合定理条件的解析函数w = f (z)将z0的一个充分小邻域变成 w0 =f (z0)的一个曲边邻域.
w ez在区域 a Im z a 2 (a为一实数)内单叶解析
C1 z0 z1(t0 ) z2 (t0 ).
经过变换 w f (z) , C 的像 曲线 的参数方程为
: w f [z(t )] (t0 t t1 ) ,
y
z
v w(t0 )
w
w f (z)
z(t0 )
.
C
z0
. w0
0
x
0
u
由于 在点 w0 w(t0 ) 的邻域内是光滑的 , 且
2、解析变换的保角性—导数的几何意义
在设数学w分析f中(我z)们于知区 道，域导D数内 用来解刻析画因, z变0 量相D对,于在自点变量z0的有 导 变 数化将数情会况 刻f ， 画( z且 怎0 )具 样有 的0相关. 当系过明呢z显？0的又任几有意 何什意么引义样一.的那条 几么何有，意向 一义个呢光复？滑 变函曲数线的导
w(t0 ) w(t ) tt0 f ( z0 )z(t0 ) 0,
在这一章中，我们先分析解析函数所构成映射的特性，引出 共形映射这一重要概念 . 然后进一步研究分式线性函数和几个初 等函数所构成的共形映射.
共形映射之所以重要，原因在于它能把在比较复杂区域上所 讨论的问题转到比较简单区域上进行讨论 . 因此，在解决诸如流 体力学、弹性力学、电磁学等实际问题中，发挥了重要的作用.
在上一章中曾证明定理 6.11 : 若函数 f (z) 在 区域 D 内单叶解析 ，则在 D 内 f (z) 0 .
但其逆未必成立 . 例如, 函数 f (z) ez 在z 平面 上 f (z) e z 0, 但 f (z) ez在 z 平面不是单叶的.
下面的定理表明， 解析函数具有局部单叶性 .
C : z z(t ) ( t0 t t1 )
正向: t 增大的方向;
z0 z(t0 ) , 且 z(t0 ) 0 .
如果规定: 割线 p0 p正向对应于 t y
增大的方向, 那么 P0 P
p. C z(t0 t )
与 z(t0 t ) z(t0 ) 同向, t
p0. z(t0 )
即