正态分布族(自然指数分布族)性质研究

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正态分布性质研究

正态分布性质研究

正态分布性质

正态分布定义:若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布,且其概率密度函数为

σ√2π

2 2σ

则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作,读作服从,或服从正态分布。

μ。正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降

(4) 在正态曲线下方和x 轴上方范围内区域面积始终为1。3σ原则:

P (μ-σ

在实际应用中,通常认为服从正态分布N (μ,σ2)的随机变量只取(μ−3σ,μ+3σ)之间的值,并称为3σ原则。

正态分布的线性性质

(1)X~N(0,1),Y=-X,则Y~N(0,1)

证:Y 的分布函数F (y )可表示为:

F (y )=P(Y ≤y)=P(-X ≤y )=P(X ≥−y )=1-Φ(-y ) =1-[1-Φ(y)]= Φ(y) 故Y~N(0,1)

(2)设随机变量x~N (μ,σ2),当b ≠0时有Y=a+bx~N(a+b μ,b 2σ2) 证明:令Z=

Y−(a+bμ)

|b|σ

当b>0时,Z=

a+bx−(a+bμ)bσ

=

x−μ

σ

故Z~N(0,1),从而Y~N(a+b μ,b 2σ2) 当b<0时,Z=

a+bx−(a+bμ)

−bσ

=−(

x−μσ

)

根据性质(1),因为

x−μ

σ

~ N(0,1),所以Z~N(0,1)

则Y~N(a+b μ,b 2σ2)

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族是概率论和统计学中非常重要的一个概念,它是指由某个可

分解为指数函数的函数所定义的一组概率分布。这组分布具有相同的

数学形式,这种形式被称为指数族的自然形式。

在统计学中,指数族是一种完整性高、良好可控的分布族。它不仅应

用广泛,而且可用于解决多种问题。在实际应用中,指数族分布不仅

能够减少计算成本,也避免对数据的过拟合或者欠拟合。

指数族的自然形式具体是什么呢?根据最基本的定义,我们可以得出

指数族的自然形式为:

$$f_Y(y|\theta) = \exp[\dfrac{1}{\phi}(y\theta-b(\theta))+c(y,\phi)]$$

其中,$\phi$、$\theta$和$b(\theta)$、$c(y,\phi)$都是指数族分布的参数。其中,$b(\theta)$和$c(y,\phi)$又被称为分布的函数。它们能够通过构造特定的函数,使得概率分布在某些条件下具有特定的形式。

这个表达式的含义是,对于给定的$\theta$和$\phi$,函数

$f_Y(y|\theta)$是一个关于$y$的指数函数,其中$y$是随机变量,

$\theta$和$\phi$是随机变量的参数。换句话说,这个表达式指的是,随机变量$Y$的概率密度是一个关于$y$的指数函数来表示。指数函数往

往被认为是一种具有很好数学特性的函数。

同时,指数族分布也有一些重要的性质。首先,它们的方差是有限的,这对于经典的最小二乘法非常重要。其次,它们对于无限大的$x$是趋

近于0的。这个性质在表示一些物理量和序列数据时特别重要。

二项分布性质研究

二项分布性质研究

二项分布性质研究 二项分布定义:二项分布(Binomial Distribution ),即重复n 次的伯努利试验(Bernoulli Experiment ),用ξ表示随机试验的结果。

如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p ,N 次独立重复试验中发生K 次的概率是

P(ξ=k)=C n k p k (1−p)n−k ,

其中k=1,2,···,n. C n k =n!k!(n−k )!

那么就说这个分布属于二项分布。

二项分布也属于自然指数分布族

设X~b (n ,θ),其概率函数为

P(x)=P θ(X=x)=C n x θx (1−θ)n−x

=C n x exp(ln θx (1−θ)n−x )

= C n x exp[x ln θ+(n −x)ln(1−θ)]

其中

θ=ln θ

h (x )=C n x

φ(x )=−(n −x)ln(1−θ)

二项分布数字特征.

(1) 二项分布的数学期望为E ξ=np

证明:设随机变量),(~p n B ,则

应用组合公式

(2) 二项分布的方差D ξ=npq

证明

故Dξ=npq

二项分布图像

以事件A出现的次数为横坐标,以概率为纵坐标,画出二项分布的图象,可以看出:

(1)、二项分布是一种离散性分布

(2)、当p=q=0.5时,图象对称;当p不等于q时,图形是偏斜的.当p<0.5时右偏,当p>0.5时左偏.

(3) 二项分布的形状取决于p和n的大小,高峰在前面研究的最大可能值m 处

(4)、n→∞时,只要p不太靠近0或1,它趋近于正态分布N(np,npq),一般认为1/2np>=5且nq>=5时,二项分布就非常接近正态分布.

数理统计第二章抽样分布2.6节指数族

数理统计第二章抽样分布2.6节指数族
若已知,如 =0,
则单参数指数分布族{ Exp(1/ ), 0}是指数族.
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2.6.2 指数族的自然形式及自然参数空间
定义2.6.2:如果指数族有下列形式
f ( x , ) C ( )exp{ i Ti ( x )}h ( x )
i 1 k
则称它为指数族的自然形式(标准形式).此时集合
意的结果,这类分布族称为指数族. 常见的分布,如正态分布、二项分布、Poisson分布、
负二项分布、指数分布和Gamma分布都属于这类分 布族,这些表面看来各不相同的分布其实都统一在 一种包罗更广的一类称为指数族的模型中. 本节介绍指数族的定义及其简单性质
2
2.6.1 定义与例子
定义2.6.1:设F { f ( x , ) : }是定义在样本 空间 上的分布族,其中为参数空间.若其概率 函数f ( x , )可以标识为如下形式
p( x, ) C ( )exp{Q1 ( )T1 ( x )}h( x )
其中C ( )=(1 ) ,Q1 ( )=l og
n

T1 ( x ) x ,
1 n h( x ) x

因此根据定义二项分布族是指数族.
12
例2.6.4 Poisson分布族{P( ) : 0} 是指数族.
f ( x , ) C ( )exp{ Qi ( )Ti ( x )}h( x )

指数分布族的一致最优检验及样本容量的确定

指数分布族的一致最优检验及样本容量的确定

指数分布族的一致最优检验及样本容量的确定

赵丽棉;黄基廷

【摘要】论述了指数分布族的一致最优检验是存在的,并给出一致最优检验及样本容量确定的方法步骤,求出了常见分布的一致最优检验.

【期刊名称】《河池学院学报》

【年(卷),期】2014(034)002

【总页数】6页(P42-47)

【关键词】指数分布族;检验函数;功效函数;一致最优检验

【作者】赵丽棉;黄基廷

【作者单位】河池学院数学与统计学院,广西宜州546300;河池学院数学与统计学院,广西宜州546300

【正文语种】中文

【中图分类】O212.1

0 引言

设X=(X1,…,Xn)是从总体{Fθ(x),θ∈Θ}中抽取的简单样本,其中Θ为参数空间,检验问题为H0∶θ∈Θ0↔H1∶θ∈Θ1=Θ-Θ0.我们通过一个统计量在一个子样中的观察值来检验H0,则当观察到点X属于拒绝域 W 时,拒绝假设H0,否则接受H0,称称为非随机化检验。在实际问题中,有些检验函数φ(x)除了0,1外还能取(0,1)内的值,如设X=(X1,…,Xn)是从一大批产品中抽得的样本,记

G(X)为其中的次品数,当G(X)<c时认为这批产品合格;当G(X)>c时认为不合格;而当G(X)=c时可以定下(0,1)内的一个数r,作一次成功概率为r的随机试验,

根据试验结果来决定这批产品是否合格,这种检验称为随机化检验。由于子样观察值的出现带有随机性,因此判断会发生两种错误:第一,假设H0本来是对的,但

由于观察值落入拒绝域W,错误地将H0否定了,这时犯的错误称为第一类错误;

第二,假设H0本来是不对的,但由于观察值落入接受域,错误地将H0接受了,这时犯的错误称为第二类错误。一个好的检验当然是使犯两种错误的概率尽可能小,最好全为零,但实际上这是不可能的,通常只能通过限制第一类错误的概率使第二类错误的概率达到最小。用βφ(θ)=Pθ{用检验φ否定了H0}=Eθ[φ(X)](θ∈Θ)表

正态分布——概念特征广泛应用

正态分布——概念特征广泛应用

正态分布——概念特征广泛应用

正态分布,也称为高斯分布或钟形曲线,是概率论中一种非常重要的

分布。它在统计分析和科学研究中得到了广泛的应用。正态分布具有许多

独特的特征,它的形状是对称的,呈现出一个钟形曲线,其均值、方差和

标准差等统计量能够完全描述它的特征。

正态分布的概念:

正态分布是一种连续型的概率分布,它的概率密度函数可以通过以下

公式表示:

f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * exp(-((x - μ) ^ 2) / (2 *

σ ^ 2))

其中,μ表示正态分布的期望值或均值,σ表示正态分布的标准差,π是圆周率。

正态分布的特征:

1.对称性:正态分布呈现出对称的特点,也就是说,在均值两侧的概

率曲线是完全相同的,即左右对称。

2.唯一性:正态分布具有唯一的均值和标准差。均值决定了曲线的中

心位置,标准差决定了曲线的形状和宽度。

3.分布范围:正态分布的取值范围是无限的,即负无穷到正无穷。

4.弱偏态性:正态分布的偏态系数为0,即偏度为0。偏态系数用于

衡量概率分布的非对称性,当偏态系数大于0时,分布呈现正偏态,即右

侧的尾部比左侧的尾部更长。

正态分布的广泛应用:

1.统计学:正态分布在统计学中得到广泛的应用,特别是在参数估计和假设检验中。许多常见的统计模型,如回归模型和时间序列模型,都是基于正态分布假设进行建模的。

2.自然科学:正态分布在自然科学中的应用非常广泛。例如,物理学中的测量误差通常是服从正态分布的,因此在物理实验中,我们常常使用正态分布进行误差处理。

3.金融学:正态分布在金融学中扮演着重要的角色。金融市场的大多数价格变动和收益率变动都呈现出近似正态分布的特征,这是基于大量的市场参与者和随机性的结果。

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族是概率分布的一类重要形式,在统计学和机器学习中有广泛的应用。它具有很多有用的性质,可以用来描述不同类型的数据分布。本文将介绍指数族的自然形式及其特点。

指数族的自然形式可以用以下表达式表示:

$$

p(y;\theta) = h(y) \cdot \exp(\theta^T \cdot T(y) - A(\theta))

$$

其中,$y$是观测数据,$\theta$是分布的参数,$h(y)$是归一化系数,$T(y)$是统计量,$A(\theta)$是对数配分函数。

指数族的自然形式具有以下几个特点:

1. 归一化系数:指数族分布中的归一化系数$h(y)$可以保证概率分布的总和为1,使得分布满足概率公理。归一化系数的形式可以根据具体的分布类型进行选择。

2. 统计量:指数族分布中的统计量$T(y)$是关于观测数据的函数,可以用来提取数据的特征。统计量的选择可以根据具体的应用需求进行设计。

3. 对数配分函数:指数族分布中的对数配分函数$A(\theta)$是参数的函数,它可以用来控制分布的形状。对数配分函数的形式可以根据具体的分布类型进行选择。

指数族分布的自然形式具有很多优点,使得它在统计学和机器学习中得到广泛的应用。

指数族分布的自然形式具有良好的数学性质,使得它在理论推导和分析上更加方便。通过对数配分函数的求导,可以得到分布的一阶和二阶矩,进而可以计算出分布的均值和方差等重要统计量。

指数族分布的自然形式适用于各种类型的数据。例如,高斯分布、泊松分布、二项分布等都属于指数族分布的特例。通过选择不同的统计量和对数配分函数,可以适应不同类型的数据分布。

正态分布族(自然指数分布族)性质研究(3)

正态分布族(自然指数分布族)性质研究(3)

摘要

概率论是在一定条件下,通过人类的社会实践、生产活动发展起来的。而正态分布族是概率论的基础,很多问题也依赖于正态分布族。
正态分布族,又称自然指数分布族,是统计学中最重要的分布族,在统计学的许多方面有着极其重大的影响力。正态分布族不仅在数学、物理及工程等领域具有非常重要的作用,且广泛应用于生产、生活等各个领域。因为正态分布族在概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都占有十分重要的地位,因此对正态分布族性质研究具有很强的现实意义。
我们平时常见的连续型概率分布如正态分布、指数分布、伽马分布,离散型概率分布如泊松分布、二项分布、负二项分布都属于正态分布族。本论文主要是研究并概括正态分布族的性质,然后分别介绍这些属于正态分布族的概率分布,并对他们的特征和性质分别研究介绍。
关键词:统计学,正态分布族,概率分布,性质

四元数Z分布及其相关性质

四元数Z分布及其相关性质
0— 0o , , ) 那 么再令 C 叫 ( … , J ( )一 c ∞ ) 把 这些带 入定义 3中可得 密度 函数 的另 一种形 式 (( ) ,

P( z)一 c (c e p ’( x{ J )
‘ ( }( ) T ) ^ z
我 们称此 形式 为指 数型分 布 的标 准形式 .
广 西 民族 大 学 学 报 ( 自然 科 学版 )
第 1 4卷 第 4期 20 0 8年 1 月 1
J OURNAL OF GUANGXI UNI VERS T F 1 Y OR NA oNAL TI TI I ES ( t r lS in eEd t n Na u a c e c i o ) i
多年来 , 特别 在 中国代数 学领 域 , 四元数 的研 究 , 其是 四元 数矩 阵论 的研 究 , 对 尤 已经成 为 一个研 究热 点. 17 9 5年 , d ro An es n首先 研究 了 四元 数正 态模 型 , 涉及 到 四元 数 正态 分 布 及协 方 差 的极 大 似 然估 计 , 是 但
性 质 , 将 得 到 的 四 元 数 Z分 布 的 一 些 结 果 进 行 了推 广 . 并
关 键 词 :四元数; 四元数正 态分布 ; 四元数 分布 ; 四元数 Z分布
中图分类 号 :O 1 文献标 识码 : 文 章编 号 :6 3 4 2 2 0 ) 3 0 4 4 22 A 1 7 —8 6 【0 8 0 —0 4 一O

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族的自然形式

指数族是概率统计学中一类重要的分布族,它具有很多重要的性质和应用。指数族分布的自然形式指的是该分布的概率密度函数(或概率质量函数)可以写成以下形式:

p(x|\theta) = h(x) \exp(\theta^T T(x) - A(\theta))

其中,x表示随机变量的取值,\theta是分布的参数向量,h(x)是归一化常数,T(x)是充分统计量,A(\theta)是对数配分函数。不同的指数族分布具有不同的h(x)、T(x)和A(\theta)。

指数族的自然形式在统计学和机器学习中具有广泛的应用。首先,指数族分布在参数估计中起到了重要的作用。由于指数族的形式简洁,参数估计可以通过最大似然估计或贝叶斯估计等方法进行。其次,指数族分布在生成模型中也有广泛的应用。例如,高斯分布、泊松分布以及二项分布等都属于指数族分布,可以用于建模实际问题中的数据分布。此外,指数族分布还可以通过加入约束或引入适当的变换,扩展为更加复杂的分布,如混合高斯分布和隐马尔可夫模型等。

在机器学习中,指数族分布也被广泛应用于分类和回归等任务。通过引入适当的特征函数和权重向量,可以将指数族分类器构建为线性模型。这种基于指数族分布的分类器具有很好的解释性和可解释性,且具有良好的泛化能力。此外,指数族分布还可以用于构建概

率图模型,如隐马尔可夫模型和条件随机场等,用于解决序列标注和结构化预测等问题。

除了上述应用,指数族的自然形式还在信息论、统计推断和模型选择等领域有重要的应用。例如,指数族分布在信息论中的重要性质之一是,它是一类充分统计量的指数分布,可以用于构建渐近无偏估计和最小可辨识信息量准则等。指数族的自然形式还具有凸优化性质,可以方便地进行参数优化和模型选择。

人教B版高中数学选修2-3课件正态分布.pptx

人教B版高中数学选修2-3课件正态分布.pptx

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合计 207 141
102
208 537 206 1401
率与构成比的误用
年龄 受检 白内障 患者年龄构患病率(%)
组 人数 例数 成比(%) ⑸=(3)/(2)
⑴⑵ ⑶

40~ 560 68
15.18
12.14
50~ 441 129 28.79
29.25
60~ 296 135 30.13
45.61
70~ 149 97 21.65
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第三讲 正态分布及其应用要点

第三讲 正态分布及其应用要点
解:第一步,将该分布进行标准正态变换,以样本均数和 标准差代替总体均数和标准差,进行U变换。
U1=(104.0-110.15)/5.86 =-1.05 , U2=(108.0-110.15)/5.86 =-0.37
第二步,查附表1得: Ф(u1)=0.1469 ,Ф(u2)=0.3557
D=0.3557-0.1469=0.2088
例题2.17:已知u1=-1.76,u2=-0.25, 求标准正态曲线下(-1.76,-0.25)范围内 的面积。
解:查附表1,得; Φ(u1)=0.0392,同理,Φ(u2)=0.4013, 则(-1.76,-0.25)范围内的面积为 D= Φ(u2)-Φ(u1)=0.4013-0.0392=0.3621
2、百分位数法:适合偏态分布资料
步骤:
1. 从“正常人”总体中抽样:明确研究总体 2. 统一测定方法以控制系统误差。 3. 判断是否需要分组(如性别、年龄)确定。 4. 根据专业知识决定单侧还是双侧。 5. 确定绝大多数的比例;最常用95% 6. 选择适合的计算方法
异常
正常
单侧下限
正常
异常 异常
正常
u 0.3
f(X)
(u)
1
u
u 2
e 2 du
2
0.2
附表1(P261)
0.1
就是根据此公式

正态分布的性质

正态分布的性质

正态分布的性质

正态分布,也称为高斯分布,是统计学中最常见的连续型概率分布之一。正态分布广泛应用于各个领域,如自然科学、社会科学和工程学等。它具有许多独特的性质,使其成为研究和应用中的重要工具。

均值和标准差

正态分布的均值和标准差是其两个关键参数。均值决定了分布的位置,标准差则描述了分布的展布程度。在正态分布中,大约68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内,约95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内,而大约99.7%的数据位于均值加减三个标准差的范围内。

对称性

正态分布是一个对称分布,其概率密度函数在均值处取得最大值,并且两侧的概率密度函数值相等。这使得正态分布在实际应用中具有很好的性质,例如利用正态分布进行参数估计和假设检验等方面。

中心极限定理

中心极限定理是正态分布的一个重要性质,它说明了在各种类型的分布下,随着样本量的增大,样本均值的分布将逐渐逼近正态分布。这一性质为统计推断提供了重要的理论基础,使得正态分布在数据分析中得到广泛应用。

统计推断

由于正态分布的性质和中心极限定理,使得正态分布在统计推断中扮演着重要的角色。例如,利用正态分布进行置信区间估计、假设检验和回归分析等方面。正态分布还经常被用于描述各种现象的分布特征,如身高、体重等。

小结

正态分布作为一种理论模型,在实际应用中表现出了许多重要的性质。从其对称性、中心极限定理到统计推断的角色等方面,正态分布在各个领域都具有广泛的应用。通过深入理解正态分布的性质,我们可以更好地运用这一概率分布,从而更有效地进行数据分析和决策。

正态分布原理

正态分布原理

正态分布原理

正态分布,又称高斯分布,是概率论和统计学中最重要的连续型概率分布之一。它具有许多重要的性质,被广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。正态分布的形状是对称的钟形曲线,其均值、方差和标准差是其分布特征的重要参数。在实际应用中,正态分布常常被用来描述各种随机变量的分布规律,因此了解正态分布的原理和特点对于数据分析和统计推断具有重要意义。

正态分布的原理可以从多个角度来解释。首先,从数学角度来看,正态分布是

由数学家高斯在研究误差理论时提出的。它的概率密度函数可以表示为一个关于均值和标准差的函数,其曲线在均值处达到最大值,两侧逐渐下降,呈现出典型的钟形。这种对称的形状使得正态分布在描述随机变量时具有很好的性质,例如可以方便地计算概率、求解置信区间等。

其次,从统计学角度来看,正态分布在中心极限定理中扮演着重要的角色。中

心极限定理指出,大量独立随机变量的均值的分布趋近于正态分布。这意味着在很多情况下,当我们对一组随机变量进行统计分析时,可以假设其总体分布近似为正态分布,从而简化了问题的复杂性。

此外,从实际应用的角度来看,正态分布在自然界和社会现象中的广泛存在也

为其原理提供了实际基础。例如,身高、体重、考试成绩等许多现象都呈现出正态分布的特征。这种普遍性使得正态分布成为了一种重要的模型,可以帮助我们更好地理解和分析现实世界中的各种现象。

总的来说,正态分布的原理涉及数学、统计学和实际应用等多个方面,其重要

性不言而喻。了解正态分布的原理有助于我们更好地理解概率统计的基本概念,提高数据分析和统计推断的能力,为科学研究和实际应用提供有力支持。因此,对于学习者来说,深入理解正态分布的原理是非常重要的。

第5章 正态分布与自然指数分布族

第5章 正态分布与自然指数分布族

x离 越远,f (x )的值就越小.这表明,对于 越远, 的值就越小.这表明, 同样长度的区间, 越远时, 同样长度的区间,当区间离 越远时,随机 越小. 变量 X 落在该区间中的概率就越小.
2010-6-25 8
正态分布密度函数的图形性质
曲线 y = f ( x )以Ox轴为渐近线. ⑶.曲线 y = f ( x )在 x = ± σ 处有拐点;
Φ( x ) ≡ P ( X ≤ x ) = ∫
2010-6-25
x

1 e 2π
t2 2
dt
2
标准正态分布函数的性质
1 (1)Φ(0) = ; ( 2)Φ( x ) = 1 Φ( x ) 2
2010-6-25 3
一般正态分布
定义5.2 , σ 定义 随机变量X有 随机变量 有 是任意常数, > 0 是任意常数,若
E ( X ) = , D( X ) = σ
证:设 Y
2
~ N (0,1) ,则有
∞ y2 2
1 E (Y ) = ∫ y e ∞ 2π
2
dy = 0
2 2
D(Y ) = E (Y ) [ E (Y )] = E (Y )
2010-6-25 16

D( Y ) = E( Y ) ≡ ∫ y f ( y )dy
( x )2

统计学 正态分布

统计学  正态分布

2、正态曲线特点
f(X)
1. 2. 3. 4. 5. 钟型 中间高 两头低 左右对称 最高处对应于X 轴的值就是均数 6. 曲线下面积为1 7. 标准差决定曲线 的形状

X
normal curve
位置参数μ决定曲线的位置,形态参数σ决定曲线的形态
0.6
f (X )
N ( 1 ,0 .8 )
2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
4 .0 0 m m o l /L以 5 .0 0m m o l /L以 计 该 单 位 正 常 女 子 血 清 总 胆 固 醇 在 下 者 及
下 者 各 占 正 常 女 子 总 人 数 的 百 分 比 。
正态分布除了可估计频数分布外,还 是许多统计方法的基础,并可应用于 质量控制及制定医学参考值范围。
面 积 或 概 率 6 8 .2 7 % 9 5 .0 0 % 9 9 .0 0 %
三、标准正态分布
标准正态分布 (standard normal distribution)的两个 参数为:μ=0,σ=1 记为 N(0,1)
X
经 标准正态变量 u 变换:一般正态分布 N ( ,2) 被转化为 标准正态分布 N ( 0 , 1 ); 其中 u
N ( , n )
2
X X t , v n 1 S n S X
Student t分布
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摘要
概率论是在一定条件下,通过人类的社会实践、生产活动发展起来的。而正 态分布族是概率论的基础,很多问题也依赖于正态分布族。 正态分布族,又称自然指数分布族,是统计学中最重要的分布族,在统计学 的许多方面有着极其重大的影响力。正态分布族不仅在数学、物理及工程等领域 具有非常重要的作用,且广泛应用于生产、生活等各个领域。因为正态分布族在 概率论与数理统计的理论研究和实际应用中都占有十分重要的地位, 因此对正态 分布族性质研究具有很强的现实意义。 我们平时常见的连续型概率分布如正态分布、指数分布、伽马分布,离散型 概率分布如泊松分布、二项分布、负二项分布都属于正态分布族。本论文主要是 研究并概括正态分布族的性质,然后分别介绍这些属于正态分布族的概率分布, 并对他们的特征和性质分别研究介绍。 关键词:统计学,正态分布族,概率分布,性质
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0
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������
������(������)������������
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Probability theory is under certain conditions, through the human social practices and the production activities.The family of normal distribution is the basis of the theory of probability, the family a lot of problems also depends on the normal distribution. The family of normal distribution also called Natural exponential distribution.It is one of the most important family of distributions in statistics,and it has a significant influence on many aspects of statistics .The family of normal distribution in mathematics, physics and engineering, and other fields has a very important role, and are widely used in the production and living. Because the family of normal distribution in the probability theory and mathematical statistics theory research and practical application are occupies very important position, we to the family of normal distribution properties have very strong practical significance. We usually common continuous probability distributions belong to the family normal distribution, such as Normal distribution, Exponential distribution,Gamma distribution, the discrete probability distribution such as Poisson distribution, Binomial distribution, Negative binomial distribution .This paper is mainly studied and summarized the nature of the normal distribution. Then the paper respectively introduces the probability distribution of these belong to normal distribution. The final paper for their characteristics and properties of the research is introduced respectively .
������ ������ ������
������������ = arg max ������
t=1 θ∈Θ t=1
������������ − ������������ ������ + ������
t=1
������ ������������
其中������ ������������ = ln ������(������) 证明:{������������ }独立同分布于自然指数分布族分布,令������ ������������ = ln ������(������),则对数似然函 数为
1 ������ 1 ������ ������ t=1 ������������ ������ t=1 ������������ ������
������������ − ������������ ������ .
t=1
1 ������
������
������������
t=1
时,对数似然函数一阶导数为 0,因此在样本均值空间 时,对数似然函数������������ ������; ������ 取最大值。因此为了最小值
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第一章 自然指数分布族
1.1 自然指数分布族定义及其性质
1.1.1 自然指数分布族的定义
如果存在H ⊂ R上的实值函数φ(θ)以及不依赖于θ的函数h x ,非退化的随机 变量x有概率分布或概率密度函数 f x, θ = exp θx − φ θ h x ������ ∈ ������ , ������ ∈ ������ 则称x服从自然指数分布族分布(正态分布族) ,其中θ为自然参数,H为自然参 数空间,φ(θ)称为累积量母函数,������ 为支撑集,且������ 不依赖于θ.
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也超过均值空间M,则不是M = ������T 就是������T ⊂ ������。
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1.2 属于自然指数分布族的概率分布
我们常见的概率分布中有很多都是属于自然指数分布族分布的, 比如连续型 概率分布中的正态分布、指数分布、伽马分布,离散型概率分布中的泊松分布、 二项分布、 负二项分布等等都属于自然指数分布族分布,下面让我们对这些概率 分布分别进行讨论证明。
������ ������
������������ ������; ������ = ������
t=1
������������ − ������������ ������ + ������
t=1
������ ������������
求其微分得 ������������������ ������; ������ = ������������ 令 ������������������ ������; ������ =0 ������������ 则 ������������ = ������ −1 因为当θ = ������ −1 ������T 中,θ = ������ −1
0
从而有:
+∞
φ θ = ln
0
������ ������������ ������(x)dx
可证φ(θ)有各阶连续导数,于是 φ θ =
0 ′ +∞
������������ ������ ������ ������������/
0
������������
+∞
������ ������������ ������(������)������������
1.2.1 连续概率分布
1.正态分布 设X~N(μ, ������ 2 ),其概率函数为 F x; θ = 1 1 ������ 2������ exp − ������ − ������ 2������ 2
2
������μ ������ 2 ������ 2 = ������������������ 2 − 2 − 2 ������ 2������ 2������ ������ 2������ = 1 ������ 2������ exp⁡ (− ������ 2 μ ������ 2 ) exp ⁡ ( x − ) 2������ 2 ������ 2 2������ 2
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+∞
=
0 +∞ 0 +∞
������������ ������������ −������
������
������ x dx = E X
φ′′ θ =
������ x − φ′ θ ������ ������������ −������
������
������(������)������������
1.1.2 自然指数分布族的性质
定理 1.1:假设随机变量x服从自然指数分布族分布, f x, θ = exp θx − φ θ h x 则 m = E x = φ′ θ ,
+∞
������ ∈ ������ , ������ ∈ ������ ������ = ������ x = φ′′(θ)
证明:在连续情形下,令G = (0, +∞),则有 exp ������������ − φ θ h x dx = 1
KEY
WORDS : statistics,The
family
of
normal
distribution,probability
distribution,properties
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前 言
正态分布又名高斯分布, 最早是由棣莫弗提出的,并由高斯等人引进到统计 学,正态分布是应用最为广泛的连续型概率分布,其特征是钟形曲线,是一个在 数学、物理及工程等领域都极其重要的概率分布. 正态分布族,又叫自然指数分布族,是统计学中最重要的分布族,在统计学 的许多方面有着重大的影响力,并同时广泛应用社会生产生活中.该分布族包含 着很多重要的概率分布,常见的概率分布如正态分布、指数分布、伽马分布、二 项分布、负二项分布、泊松分布都属于正态分布族. 本论文旨在汇总概括研究正态分布族的几个性质, 并证明一些常见概率分布是否 属于正态分布族,并对属于正态分布族的概率分布概括研究,证明其数字特征, 即求出各个分布的数学期望和方差,并对其作出证明.然后对这些概率分布图形 特性及线性性质进行探索研究,如正态分布图像的对称性,二项分布、伽马分布 的可加性,指数分布、泊松分布的无记忆性等等.并对这些概率分布的特殊形式 进行逐一介绍,如标准正态分布就是期望为 0,标准差为 1 的正态分布;两点分 布就是 n=1 时的二项分布等.并研究属于正态分布族的概率分布共有的特征以及 其所属概率分布之间的相关联系.
= E(������ 2 ) − [E X ]2 = ������(������) m = E x = φ′ θ 成为均值参数 M = {m|m = φ′ θ ,θ ∈ H}称为均值空间 D x = φ′′ θ |������ =������ (������ ) = V(m)称V(m)为x的方差函数。 定理 1.2:设{������������ }独立同分布于自然指数分布族分布,������T ⊂ ������(������ = μ ϑ ;θ ∈ Θ), 则 ������ −1 1 ������
其中
μ ������ 2 ������ 2 φ θ = 2 2������ θ= ������ 2 h(x) = exp⁡ (− 2 ) 2������ ������ 2������ 1 2.指数分布 设X~E(λ),其概率函数为 f x = ������������ −������������ = ������exp⁡ (−������������ − 0) 其中 θ = −������ h x = ������ φ θ =0 3.伽马分布
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