选修2-2 2.3.1数学归纳法教案

；
第二步：
； 第三步，
（由
推
）
；
（由
推
）
第四步， 推 ） „„
；
（由
第 99 步，
；
（由
推
）
第 100 步， 问 2：我们能否只用最少的步骤就能证明这个结论呢？
. （由
推
）
预设：除了第一步论证之外，其余 99 个步骤的证明都可以概括成一个命题的证 明，即转化为对以下命题的证明： 若 n 取某一个值时结论成立，则 n 取其下一个值时结论也成立，即
������
问题：已知数列{an},a1=1,an+1=������ +2an，求 a4，a100 以及 an。 师生活动：学生进行计算推理后，展示思考结果.
教师追问： （1）根据递推公式 an+1=������ +2an，可以由 推出 ,说说你又是如何求得 呢？
������
出发，推出
，再由
推出
,由
������
f（40）＝1 681＝412 是合数．
问题 1、2、3、4 的设计意图：提出问题如何寻找一个科学有效的方法证明结论 的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一 （二）实验演示，探索解决问题的方法 多米诺骨牌：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一 般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？ （1） 推倒第一块骨牌； （2） 前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌 （三） 方法的形成
二、学情分析
该阶段学生的认知基础： （1）对正整数的特点的感性认识； （2）对“无穷” 的概念有一定的认识和兴趣；（3）在数列的学习中对递推思想有一定的体会； （4）在生活经验中接触到一些具有递推性质的事实； 但数学归纳法作为一种证明的方法，且不论其方法的结构形式，运用技巧， 就是对其自身的可靠性， 学生都有一定的疑虑， 具体可能会体现在以下一些方面： （1） 为什么要引进数学归纳法？验证为何不可行？ （2） 数学归纳法的两步骤中， 对第二步的认识往往难以到位.将解决由 P(k)到 P(k+1)的传递性问题， 误解为证 明 P(k+1)的真实性.由此造成对证明中何以用“假设”的不理解.（3）数学归纳 法的第二步中由 k 到 k+1 的递推性应保证 k 从第一个值时的任意一个整数都能成 立,由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去.（4）数学归纳法中的
递推是一种无穷尽的动态过程， 学生对于不断反复地运用步骤二来进行推理的模 式缺乏清晰的认知.
三、教学目标
知识与技能：理解数学归纳的原理与实质．掌握两个步骤；会证明简单的与 自然数有关的命题．培养学生观察,分析,思考,论证的能力, 发展抽象思维能力 和创新能力．培养学生大胆猜想、小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出 问题的意识和数学交流的能力． 过程与方法：努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛 围， 提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过程, 体会类比的 数学思想． 情感态度价值观： 让学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点； 体会研究数学 问题的一种方法, 激发学生的学习热情， 使学生初步形成做数学的意识和科学精 神．
∴ 当 n=1 时，结论成立 (2)假设当 n=k 时结论成立， 即 则当 n=k+1 时 ak+1= ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+[(k+1)-1]d ∴当 n=k+1 时，结论也成立 由(1)和(2)知,等式对于任何 n∈N*都成立。 例 2： 已知数列{an}，其通项公式为 an=2n-1，试猜想该数列的前 n 项和公式 Sn， 并用数学归纳法证明你的结论。 解：（1）S1=a1=1 S3= S2+a3=4+5=9 (2) 猜想 Sn=n2, S2= S1+a2=1+3=4 S4= S3+a4=9+7=16 ak=a1+(k-1)d
在应用数学归纳法时，第一步中的起点 1 可以恰当偏移(如取 k=n0)，那么由 第二步，就可证明命题对 n=n0 以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也 可作灵活的变动， 如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递 推时的基础. 数学归纳法名为归纳法， 实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法 “这 个名字是随便起的”.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要 的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一 种演绎法，它的实质是如庞加莱所说“把无穷的百度文库段论纳入唯一的公式中”，它 得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳 公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则 从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论 的发现过程中， 往往先通过对大量个别事实的观察， 通过归纳形成一般性的结论， 最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的， 而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.
已知数列｛an｝：
，求证：
.
预设：证明:(1) 当 n=1 时，
,所以结论成立.
(2) 假设当 n=k(k∈N*)时，结论成立，即 则当 n=k+1 时
，
即当 n=k+1 时，结论也成立.
由（1）(2)可得，对任意的正整数 n 都有 问 7：你能否总结出这一证明方法的一般模式?
成立.
预设：一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题 P(n)，可按下列步骤进行： （1） （2） 证明当 n=1 时命题成立； 假设当 n=k( )时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立.
则 P(1)真 P(2)真 P(3)真P(4)真P(5)真„„ 那么，对任意的正整数 n，命题 P(n)都成立.但是要给学生将高中数学中数学归
纳法的定义进行修正，一个与自然数相关的命题如果：（1）当 n 取第一个值 n0(例
如 n0=1) 时命题成立;【归纳奠基】
（2）在假设当 n=k(k∈N* ,且 k≥ n0)时命题成立的前提下，推出当 n=k+1 时命 题也成立，那么可以断定，这个命题对 n 取第一个值后面的所有正整数成立 . 【归纳递推】 设计意图：方法的提炼事实是对一种模式的提炼，通过对多米诺骨牌、课堂提问 方式的渗透， 以及对这一数学问题的解决过程的体验，部分学生可能有能力对这 一模式的特征进行概括. 问 8：数学归纳法的第一步 n 的初始值是否一定为 1？ 提示：不一定，如证明 n 边形的内角和为（n-2）·180。时。 又如：用数学归纳法证明 3n>n3(n≥3，n∈N)第一步应验证？ 问 9：对方法中的两个步骤，你是如何理解的？ 预设：一是归纳基础，二是归纳递推.两者缺一不可。数学归纳法实质上将对原 问题的证明转化为对两个步骤的证明和判断，由此可进行无限的循环,其结构如 下：
设计意图： 通过从不同的角度审视， 更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质。 （四）方法的应用 例 1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则 an=a1+(n-1)d 对于一切
n∈ N*都成立。（学生板书，教师在教室走动看同学们对数学归纳法的掌握情况 及做题规范）注：张老师建议将本例题换成 1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6 证明: (1)当 n=1 时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1,
若
（
），则
.
（*）
（
.）
问 3：你能进一步说明命题（*）的证明对原命题的证明起到什么作用吗？
问 4： 有了命题 （*） 的证明， 你能肯定
吗？你能肯定
吗？你能肯定
吗？甚至你能肯定
吗？„
问 5：给定
及命题（*），你能推出什么结论呢？
预设：通过步步递推，可以证明对任意的正整数 n，结论 成立.
都
问 6：试写出此命题的证明:（教师板书，一边板书一边做相应的强调说明）
四、教学重点与难点
教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤， 运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式， 特别要注意递推步骤中归纳假设的 运用和恒等变换的运用。 教学难点： （1）如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。（2）递推步 骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当 n=k+1 时结论正确。
数学选修 2-2
2.3.1 数学归纳法教案
北师大附中京西 江冬梅
注：本教案是在参考各种资料的基础上形成的，其中主要参考人教官网上浙江 省黄岩中学 李柏青老师关于数学归纳法的教学设计以及罗增儒 学课例分析》P246-275 课例 14“数学归纳法的教学设计” 一、教材内容解析 由于正整数无法穷尽的特点，有些关于正整数 n 的命题,难以对 n 进行一一 的验证， 从而需要寻求一种新的推理方法，以便能通过有限的推理来证明无限的 结论.这是数学归纳法产生的根源. 数学归纳法是数学上证明与自然数 N 有关的 命题的一种特殊方法， 它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中 常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 （可以理解成数学归纳法是证明与自 然数相关的命题的方法， 但主要证明一些与正整数 n 有关的简单数学命题？看了 一些资料都有不同的表述，对此有些疑问） 数学归纳法是一种证明与正整数 n 有关的命题的重要方法。它的独到之处便 是运用有限个步骤就能证明无限多个对象， 而实现这一目的的工具就是递推思想。 设 p(n)表示与正整数 n 有关的命题，证明主要有两个步骤：（1）证明 p(1) 为真；（2）证明若 p(k)为真，则 p(k+1)为真；有了这两步的保证,就可实现以 下的无穷动态的递推过程： P(1)真 P(2)真 P(3)真„
六、教学过程
（一）
创设问题情境
问题 1：如果数列{an}是一个首项为 a1，公差为 d 的等差数列，则数列{an}的通 项公式 an=？ 问题 2：已知数列{an},a1=1,an+1=������ +2an，求 a4，a100 以及 an。 问题 3：数列{an}的通项公式 an=（n2-5n+5）2，可以求得 a1=1，a2=1，a3=1，a4=1， 于是猜想出数列{an}的通项公式为 an=1。 问题 4：f(n)=n2+n+41,当 n∈N 时，是否都为质数？ 验证： f（0）＝41，f（1）＝43，f（2）＝47，f（3）＝53，f（4）＝61，f （5）＝71，f（6）＝83，f（7）＝97，f（8）＝113，f（9）＝131，f（10）＝ 151，„ ， f（39）＝1 601． 但是
P(k)真 P(k+1)真 „
著 《中学数
因此得到对于任何正整数 n，命题 p(n)都为真. 数学归纳法的两个步骤中，第一步是证明的奠基，第二步是递推的依据，即 验证由任意一个整数 n 过渡到下一个整数 n+1 时命题是否成立.这两个步骤都非 常重要， 缺一不可.第一步确定了 n=1 时命题成立， n=1 成为后面递推的出发点， 没有它递推成了无源之水；第二步确认了一种递推关系，借助它，命题成立的范 围就能从 1 开始， 向后面一个数一个数的无限传递到 1 以后的每一个正整数，从 而完成证明.因此递推是实现从有限到无限飞跃的关键，没有它我们就只能停留 在对有限情况的把握上.
五、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出 发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之 间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归
纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证 明一些与正整数 n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决 问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强 调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
预设：由前四项归纳猜想
.
（2）归纳猜想的结果并不可靠，你能否对 吗？ 设计意图：学生通过对
给以严格的证明
的求解以及多米诺骨牌游戏所渗透的思想，体会到只
需知道某一项， 就可求出其下一项的值.针对学生的回答情况， 教师可进行追问： 问 1 :利用递推公式，命题中的 n 由 1 可以推出 2，由 2 可以推出 3，由 3 可以 推出 4，···，由 99 可以推出 100. 这样要严格证明 n=100 结论成立，需要进 行多少个步骤的论证呢？ 第一步，